ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA CƠ KHÍ
BỘ MƠN CƠ ĐIỆN TỬ
---------------O0O---------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

THIẾT KẾ HỆ THỐNG TẠO SÓNG BIỂN 2D

SVTH: Nguyễn Hồng Quân
MSSV: 20402050
GVHD: PGS.TS Nguyễn Tấn Tiến

Tp HCM, tháng 6/2009


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này sẽ khơng thể hồn thành nếu tơi khơng nhận đƣợc sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình
của các thầy cơ, bạn bè và sự khích lệ của ngƣời thân. Bởi vậy, trƣớc khi công khai thành quả
lao động này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến những con ngƣời mà nếu khơng
có sự giúp đỡ của họ, tôi không biết là đến chừng nào tập luận văn này mới đƣợc ra đời.
Trƣớc hết, ngƣời có quan hệ gần gũi, có nhiều giúp đỡ trực tiếp nhất trong quá trình làm luận
văn là thầy hƣớng dẫn của tôi, thầy Nguyễn Tấn Tiến.
Kế đến, xin cảm ơn tất cả các thầy cô đã tham gia giảng dạy và quản lý lớp Việt – Pháp. Rất
nhiều mà tôi không thể kể tên ra hết ở đây.
Xin cảm ơn những ngƣời bạn ở Phịng Thí nghiệm đã có những góp ý, giúp đỡ trong quá trình

chế tạo thiết bị: anh Ngọc, Hạnh, anh Vinh.
Cảm ơn những ngƣời bạn cùng lớp Việt – Pháp đã giúp đỡ tơi trong q trình học tập trƣớc
khi tiến đến làm luận văn này.
Xin cảm ơn các y bác sĩ BV Trƣng Vƣơng và Phạm Ngọc Thạch đã giúp tôi lấy lại sức khỏe
khi tôi lâm bệnh ngay trong q trình làm luận văn.
Và khơng thể khơng kể đến sự động viên, khích lệ, giúp đỡ về vật chất của cha mẹ, anh em và
các ngƣời thân của tơi. Đây chính là chỗ dựa của tôi trong khi đang làm luận văn này.

i


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

TÓM TẮT LUẬN VĂN
Việc tạo sóng bằng cách sử dụng một máy tạo sóng (wave maker) trong một bể thử
nghiệm đã trở thành một công nghệ quan trọng trong lĩnh vực kỹ thuật bờ biển và đại dƣơng.
Máy tạo sóng khơng chỉ có mặt trong các bể thử nghiệm, trong các công cụ đo lƣờng trong
phịng thí nghiệm mà cịn hiện diện dƣới dạng tƣơng đồng lý thuyết khắp nơi trong tự nhiên.
Đó là sự tạo sóng trên mặt sơng, mặt biển do gió, do động vật bơi lội, do địa chấn, núi lửa
v.v…
Trên thế giới, lý thuyết sóng và hẹp hơn là lý thuyết máy tạo sóng đã đƣợc nghiên cứu
từ lâu, đã đào sâu đến những trƣờng hợp phức tạp; nhiều máy tạo sóng từ nhỏ đến lớn, từ đơn
giản đến phức tạp cũng đã đƣợc chế tạo. Bài luận văn này không có tham vọng “chế tạo lại
bánh xe” mà chỉ mong muốn góp phần vào những hoạt động nghiên cứu mn hƣớng mn
ngành ở bậc đại học, với đề tài có thể coi là ở những bƣớc khởi đầu của việc nghiên cứu máy
tạo sóng, đó là tìm hiểu lý thuyết việc tạo sóng đều, hai chiều bằng lý thuyết sóng tuyến tính
và chế tạo một thiết bị thực nghiệm tạo sóng đơn giản. Luận văn này cịn bao gồm việc xây
dựng bài tốn mơ hình hóa, thực hiện tính tốn mơ phỏng trên máy tính bằng chƣơng trình tự

viết và so sánh với dữ liệu thu thập đƣợc từ thiết bị thực nghiệm đã chế tạo.

ii


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

MỤC LỤC
I. Giới thiệu ............................................................................................................................... 1
II. Lý thuyết máy tạo sóng đối với sóng phẳng tạo bởi mái giầm......................................... 5
1. Các bài toán giá trị biên ................................................................................................ 6
2. Nghiệm bài toán giá trị biên tuyến tính hóa cho trƣờng hợp đáy phẳng ngang .......... 11
III. Mơ hình hóa tốn học ...................................................................................................... 21
1. Tính số sóng ................................................................................................................ 21
2. Tìm phạm vi ảnh hƣởng của những sóng dừng........................................................... 22
3. Tính độ dâng sóng nƣớc .............................................................................................. 22
IV. Kết quả mô phỏng ............................................................................................................ 25
V. Thực nghiệm....................................................................................................................... 29
1. Thiết bị thí nghiệm ...................................................................................................... 29
2. Phƣơng pháp đo .......................................................................................................... 33
3. Kết quả đo ................................................................................................................... 44
4. Nhận xét ...................................................................................................................... 46
Tham khảo .............................................................................................................................. 48
Phụ lục ..................................................................................................................................... 49
Chƣơng trình mơ phỏng tính tốn sóng nƣớc sinh ra bởi máy tạo sóng có mái giầm .... 49

iii



LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Qn

DANH SÁCH HÌNH ẢNH
Hình

Trang

Hình 1.1 ...................................................................................................................................... 2
Hình 1.2, Hình 1.3 ...................................................................................................................... 3
Hình 1.4, Hình 1.5 ...................................................................................................................... 4
Hình 2.1 ...................................................................................................................................... 5
Hình 2.2 ...................................................................................................................................... 8
Hình 2.3, Hình 2.4 .................................................................................................................... 17
Hình 2.5 .................................................................................................................................... 20
Hình 4.1, Hình 4.2. ................................................................................................................... 26
Hình 4.3, Hình 4.4. ................................................................................................................... 27
Hình 5.1. ................................................................................................................................... 29
Hình 5.2. ................................................................................................................................... 30
Hình 5.3, Hình 5.4. ................................................................................................................... 31
Hình 5.5, Hình 5.6. ................................................................................................................... 32
Hình 5.7. ................................................................................................................................... 33
Hình 5.8. ................................................................................................................................... 35
Hình 5.9. ................................................................................................................................... 36
Hình 5.10, Hình 5.11. ............................................................................................................... 37
Hình 5.12, Hình 5.13. ............................................................................................................... 38
Hình 5.14, Hình 5.15. ............................................................................................................... 39
Hình 5.16. ................................................................................................................................. 40

Hình 5.17, Hình 5.18. ............................................................................................................... 41
Hình 5.19. ................................................................................................................................. 42
Hình 5.20, Hình 21. .................................................................................................................. 43
Hình 5.22, Hình 5.23, Hình 24. ................................................................................................ 45
Hình 5.25, Hình 5.26. ............................................................................................................... 46

iv


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

DANH SÁCH BẢNG BIỂU
Bảng

Trang

Bảng 2.1 .................................................................................................................................... 12
Bảng 4.1 .................................................................................................................................... 24
Bảng 5.1 .................................................................................................................................... 47
Bảng 5.2 .................................................................................................................................... 48

v


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

I. GIỚI THIỆU


Nguyễn Hồng Quân

[1][2][3]

Việc tạo sóng bằng cách sử dụng một máy tạo sóng (wave maker) trong một bể thử
nghiệm đã trở thành một công nghệ quan trọng trong lĩnh vực kỹ thuật bờ biển và đại dƣơng.
Ngày nay hầu hết những thử nghiệm trong phòng thí nghiệm những cấu trúc nổi hay cấu trúc
có gài dƣới đáy và nghiên cứu biên dạng bờ biển cũng nhƣ những hiện tƣợng liên quan đều
dùng đến bể sóng. Bể này thƣờng có dạng hẹp, dài với một máy tạo sóng loại nào đó ở một
đầu và đầu kia là bờ triệt sóng; tuy nhiên những bờ triệt sóng dạng vành tròn cũng đƣợc đƣa
vào sử dụng khi ngƣời ta cần nghiên cứu về sự bồi tích bờ biển và lúc đó máy tạo sóng dạng
xoắn ốc đƣợc dùng để tạo sóng. Trọng mọi loại thử nghiệm này, máy tạo sóng đóng vai trị rất
quan trọng. Chuyển động sóng mà nó gây ra và yêu cầu về năng lƣợng của nó có thể đƣợc xác
định một cách khá đầy đủ từ lý thuyết sóng tuyến tính.
Máy tạo sóng trong thực tế hiện diện rộng khắp hơn mức ngƣời ta trơng đợi. Sự kích
thích của những cơn động đất dƣới đáy biển hay những cơng trình nhận tạo có thể gây ra sóng
mà ngƣời ta có thể ƣớc lƣợng dựa vào lý thuyết sóng, thực tế, tải trọng áp lên các cấu trúc có
thể xác định đƣợc. Bất kỳ vật thể chuyển động trong dịng chất lỏng có mặt thống đều phát
sinh sóng: những con vịt, những chiếc thuyền và nhiều thứ khác nữa. Máy tạo sóng cịn đƣợc
dùng trong những bể sóng thí nghiệm để đo đạc những tác động do sóng gây nên đối với
những loại kết cấu và tàu bè khác nhau, bao gồm các chủng loại tàu, những cấu trúc nền ngoài
khơi và các vật thể khác.
Lý thuyết về sóng đã thu hút nhiều nhà khoa học thuộc lĩnh vực Cơ học chất lƣu và
Toán ứng dụng trong ít nhất một thế kỷ rƣỡi qua và là một nguồn những đề tài toán học đầy
hứng khởi và cũng thƣờng là khó khăn. Ngồi tầm quan trọng trong những phân ngành kỹ
thuật và khoa học ứng dụng khác nhau ra, nhiều hiện tƣợng sóng nƣớc cịn xảy ra trong những
trải nghiệm hàng ngày. Sóng phát sinh bởi tàu trên sơng và sóng phát sinh bởi gió hay động
đất chính là những ví dụ thân thuộc nhất. Những lý thuyết tốn học về sóng nƣớc bao gồm
những phƣơng trình cơ học chất lƣu, khái niệm lan truyền sóng và vai trò then chốt của các
điều kiện biên. Những kết quả thu đƣợc từ lý thuyết có thể đƣa ra vài giải thích về một hiện

tƣợng tự nhiên hay cung cấp một bản mơ tả có thể đƣợc kiểm tra bất cứ chỗ nào mà sự mở
rộng của nƣớc cịn trong tầm tay: một con sơng hoặc một cái ao, đại dƣơng hay thậm chí một
cái bồn tắm, chậu rửa trong nhà. Tuy nhiên, việc đạt đƣợc một sự thấu hiểu những cơ chế vật
lý xác đáng đang đặt ra một thách thức lớn cho các nhà cơ học chất lƣu và toán học ứng dụng.

1


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

Trong ứng dụng thực tế, đƣợc sử dụng nhiều nhất là hai loại máy tạo sóng có dùng mái
giầm với hai kiểu chuyển động. Những máy tạo sóng này đƣợc gọi tên theo kiểu chuyển động
của giầm là máy tạo sóng kiểu piston và kiểu bản lề.
Dƣới đây là một số hình ảnh các máy tạo sóng:

Hình 1.1. Một máy tạo sóng kiểu piston (HR Wallingford Ltd)

2


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Qn

Hình 1.2. Máy tạo sóng nhiều phần tử của HR Wallingford

Hình 1.3. Máy tạo sóng kiểu bản lề của Edinburgh Designs Ltd


3


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

Hình 1.4. Một số máy tạo sóng 3D của DHI Group

Hình 1.5. Một hồ thử nghiệm có sử dụng máy tạo sóng

4


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

II. LÝ THUYẾT MÁY TẠO SÓNG ĐỐI VỚI SÓNG PHẲNG TẠO BỞI
MÁI GIẦM [1]
Các giả thiết:
1) Dịng chất lỏng khơng nén đƣợc và khơng xốy. Phần nƣớc bị dịch chuyển bởi máy
tạo sóng thì bằng với thể tích phần đỉnh sóng.
2) Mái giầm chuyển động với biên độ nhỏ và sóng có độ cao nhỏ.
3) Sóng lan truyền theo hƣớng

ra vơ cực. Ta có thể đạt đƣợc sự tƣơng đƣơng bằng

cách dùng vật hấp thụ sóng ở đầu kia của bể.


a)

b)
Hình 2.1. Sơ đồ hai kiểu mái giầm máy tạo sóng: kiểu piston (a) và kiểu bản lề (b)

5


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

1. CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN
Để thành lập cơng thức cho bài tốn sóng nƣớc biên độ nhỏ, ta cũng nên xem lại khái
quát cấu trúc của những bài toán giá trị biên mà bài tốn đang khảo sát là một ví dụ. Nhiều bài
toán vật lý cổ điển và hầu hết những bài tốn giải tích trong kỹ thuật có thể đƣợc đặt ra nhƣ
một bài toán điều kiện biên; tuy nhiên trong một vài sự khai triển điều này có thể khơng hiển
hiện rõ ràng.
Sự thành lập cơng thức một bài tốn giá trị biên đơn giản là sự phát biểu dƣới dạng các
số hạng toán học của trạng thái vật lý mà chỉ có một nghiệm duy nhất tồn tại. Việc này thông
thƣờng bao gồm việc thiết lập trƣớc hết một vùng khảo sát và xác định một phƣơng trình vi
phân phải đƣợc thỏa mãn trong vùng đó. Thƣờng thì có vơ số nghiệm cho phƣơng trình vi
phân và nhiệm vụ cịn lại là chọn trong số đó một hoặc vài nghiệm phù hợp với bài toán vật lý
đang nghiên cứu. Sự lựa chọn này đƣợc thực hiện thông qua các điều kiện biên, tức là loại bỏ
những nghiệm nào không tƣơng thích với những điều kiện này.
Ngồi những điều kiện biên khơng gian (hay hình học), cịn có những điều kiện biên
thời gian để xác định trạng thái của biến tại một vài điểm theo thời gian. Điều kiện thời gian
này đƣợc gọi là “điều kiện đầu”. Nếu chúng ta quan tâm đến sóng nƣớc, vốn tuần hồn trong
khơng gian, thì chẳng hạn ta có thể chỉ định rằng sóng lan truyền theo hƣớng
điểm


, đỉnh sóng đƣợc định vị tại

và tại thời

.

Phƣơng trình vi phân chi phối (The Governing Differential Equation)
Với giả thiết chất lỏng khơng xốy và khơng nén đƣợc, một thế vận tốc tồn tại và thỏa
mãn phƣơng trình liên tục

hay

Phân kỳ của một gradient dẫn tới phƣơng trình Laplace, phải có hiệu lực xun suốt
dịng chất lỏng

6


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

Phƣơng trình Laplace xảy ra trong nhiều lĩnh vực của vật lý và kỹ thuật và cũng đã có
nhiều cách giải nghiệm cho phƣơng trình này (ví dụ sách của Bland, 1961), do đó chỉ cần
chọn một cách giải áp dụng đƣợc cho trƣờng hợp chuyển động của sóng nƣớc riêng biệt đang
xét.
Ngồi ra, đối với dịng chất lỏng khơng phân kỳ và khơng xốy, phƣơng trình Laplace
cịn áp dụng cho hàm dịng. Sự khơng nén đƣợc hay tƣơng đƣơng là điều kiện không phân kỳ
cho hai chiều đảm bảo sự tồn tại của một hàm dịng mà từ đó có thể xác định đƣợc những vận

tốc phía dƣới sóng. Thay những vận tốc này vào điều kiện khơng xốy lần nữa lại cho ra
phƣơng trình Laplace, ngoại trừ lần này là với hàm dịng

hay

Phƣơng trình này phải có hiệu lực xun suốt dịng chất lỏng. Nếu chuyển động là xốy đƣợc
nhƣng khơng ma sát thì phƣơng trình chi phối sẽ là

Trong đó

là vận tốc xốy.

Một vài bình luận về hàm thế vận tốc và hàm dịng có thể giúp ích trong việc đạt đƣợc
sự thông hiểu tốt hơn trong những áp dụng sau này. Thứ nhất, nhƣ đã đề cập trƣớc, thế vận
tốc có thể đƣợc xác định với cả hai và ba chiều trong khi việc xác định hàm dòng trong ba
chiều chỉ làm đƣợc nếu dòng là đối xứng (trong trƣờng hợp này mặc dù dòng chảy xảy ra
trong ba chiều nhƣng một cách tốn học thì vẫn hai chiều). Do đó, hàm dịng có ứng dụng tốt
nhất trong trƣờng hợp chuyển động sóng xảy ra trên một mặt phẳng. Thứ hai, phƣơng trình
Laplace thì tuyến tính, tức là nó khơng liên quan đến những số hạng tích và do đó có những
tính chất thú vị và đáng giá của sự chồng chập, có nghĩa là nếu
trình Laplace thì

,

đều thỏa mãn phƣơng

cũng là nghiệm đúng phƣơng trình, trong đó

,


là

những hằng số bất kỳ. Nhƣ vậy ta có thể cộng thêm hay trừ bớt các nghiệm để xây dựng nên
những nghiệm áp dụng đƣợc cho những bài toán khảo sát khác nhau.
Trong trƣờng hợp bài tốn máy tạo sóng này, ta có sơ đồ phƣơng trình chi phối và các
điều kiện biên nhƣ Hình 2.2:
7


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Qn

Hình 2.2. Bài tốn điều kiện biên sóng nước hai chiều
Vì bài tốn chỉ xét sóng hai chiều nên phương trình chi phối (governing equation) thế
vận tốc là phƣơng trình Laplace chỉ liên quan đến hai tọa độ nhƣ sau:
(2.1)

1.1. Điều kiện biên động học (Kinematics boundary conditions)
Tại bất kỳ mặt biên nào, cố định nhƣ mặt đáy hay tự do nhƣ mặt nƣớc, cũng phải thỏa
mãn một số điều kiện vật lý xác định bởi vận tốc dòng chất lỏng. Những điều kiện trên động
học hạt nƣớc này đƣợc gọi là những điều kiện biên động học (kinematic boundary conditions).
Tại bất kỳ vùng mặt hay giao diện chất lỏng, rõ ràng là khơng có dịng chất lỏng chảy xun
qua giao diện vì nếu có thì sẽ chẳng có giao diện.
Biểu thức tốn học của điều kiện biên động học có thể dẫn ra từ phƣơng trình mơ tả
vùng mặt cấu thành nên mặt biên. Bất kỳ vùng mặt cố định hay chuyển động đều có thể đƣợc
. Nếu mặt đó biến động theo thời

diễn tả bằng biểu thức tốn học có dạng


gian nhƣ mặt nƣớc thì đạo hàm tồn phần của mặt đối với thời gian sẽ bằng khơng tại mặt.
Nói cách khác, nếu ta di chuyển cùng với mặt thì ta thấy nó không thay đổi.
(2.2a)

hay
(2.2b)

8


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

trong đó vector đơn vị vng góc với mặt (vector pháp tuyến) đƣợc định nghĩa
và

là vector trƣờng vận tốc với ba thành phần

.

Điều kiện biên động học đƣợc sắp xếp lại thành

(2.3)

trong đó

Điều kiện này địi hỏi thành phần vận tốc vng góc với bề mặt phải liên quan đến vận
tốc địa phƣơng của mặt. Nếu mặt khơng đổi theo thời gian thì


, có nghĩa là thành

phần vận tốc vng góc với mặt thì bằng 0.

1.2. Điều kiện biên đáy (The Bottom Boundary Condition - BBC)
Mặt biên phía dƣới của vùng khảo sát của ta đƣợc mơ tả bằng
cho trƣờng hợp hai chiều trong đó gốc tọa độ ở mức nƣớc tĩnh và
thấm qua đƣợc, ta mong đợi
Phƣơng trình mặt đáy là

(đáy nằm ngang)
là độ sâu. Nếu đáy khơng

, bởi vì đáy khơng chuyển động theo thời gian.
. Do vậy
(2.4)

1.3. Điều kiện biên động học mặt thoáng (Kinematic Free Surface Boundary
Condition - KFSBC)
Mặt thoáng của sóng có thể đƣợc mơ tả là
là độ dịch chuyển của mặt thống quanh mặt phẳng ngang

, trong đó
. Điều kiện biên động học tại

mặt thoáng là

(2.5)

9



LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

trong đó

Thực hiện phép nhân vô hƣớng ta đƣợc
(2.6)

1.4. Điều kiện biên động lực học mặt thoáng (Dynamic Free Surface Boundary
Condition)
Một đặc điểm khác biệt của những bề mặt cố định (trong không gian) là chúng có thể
chịu đƣợc sự thay đổi áp suất. Tuy nhiên, bề mặt tự do nhƣ giao diện khơng khí – nƣớc,
không thể chịu đƣợc biến thiên áp suất (bỏ qua lực căng mặt ngoài) xuyên qua giao diện và do
vậy phải có đáp ứng để duy trì áp suất đều khắp. Nhƣ thế phải có một điều kiện biên thứ hai,
gọi là điều kiện biên động học, trên bất kỳ mặt thoáng hay giao diện để định phân bố áp suất
ép lên mặt biên này.
Bởi vì điều kiện biên động lực học là một yêu cầu để áp suất trên mặt thống là đồng
đều dọc theo dạng sóng, phƣơng trình Bernoulli với

áp dụng trên mặt thống

nhƣ sau
(2.7)
trong đó p là hằng số và đƣợc lấy theo áp suất tƣơng đối,

1.5. Điều kiện biên bên (Lateral Boundary Conditions)
Xét một mái giầm thẳng đứng hoạt động nhƣ một máy tạo sóng trong một bể sóng. Nếu

độ dịch chuyển của mái giầm đƣợc mô tả bằng

10

, điều kiện biên động học là


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

trong đó

hay, tiến hành phép nhân vơ hƣớng
(2.8)
Điều kiện này địi hỏi các hạt chất lỏng tại vách di động cũng phải đi theo vách.

2. NGHIỆM BÀI TỐN GIÁ TRỊ BIÊN TUYẾN TÍNH HĨA CHO TRƢỜNG
HỢP ĐÁY PHẲNG NGANG
2.1. Giải nghiệm phƣơng trình Laplace
Một phƣơng pháp thuận tiện để giải phƣơng trình vi phân riêng phần đƣợc gọi là tách
biến. Với trƣờng hợp của ta:
(2.9)
Với sóng tuần hồn theo thời gian, ta có

. Thế vận tốc bây giờ có dạng:
(2.10)

Thế vào phƣơng trình Laplace và chia cho


ta đƣợc:
(2.11)

Rõ ràng, số hạng thứ nhất của phƣơng trình phụ thuộc vào một mình biến , trong khi
số hạng thứ hai chỉ phụ thuộc biến . Nếu ta xét sự biến thiên của

trong khi giữ

khơng đổi

thì số hạng thứ hai có thể biến thiên trong khi số hạng thứ nhất thì khơng. Việc này sẽ cho ra
một tổng khác khơng bên vế trái phƣơng trình (2.11) và nhƣ vậy phƣơng trình khơng đƣợc
nghiệm đúng. Cách duy nhất để phƣơng trình giữ đƣợc cân bằng là mỗi số hạng cùng bằng
một hằng số nhƣng trái dấu, tức là

11


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

(2.12a)

(2.12b)

Thực tế việc gán một hằng số âm cho số hạng của
phép hằng số phân tách

là khơng quan trọng bởi vì ta cho


có một giá trị ảo trong bài toán này và một cách tổng qt, hằng số

phân tách có thể là số phức.
Phƣơng trình (2.12) bây giờ bao gồm những phƣơng trình vi phân thƣờng có thể đƣợc
giải riêng. Ba trƣờng hợp có thể có bây giờ sẽ đƣợc kiểm tra dựa trên kiểu số của , đó là
trƣờng hợp
rằng nếu

thực,

và

thuần ảo. Bảng 2.1 liệt kê các trƣờng hợp riêng này (chú ý

bao gồm phần thực và ảo, điều này có thể hàm ý rằng độ cao sóng thay đổi theo

khoảng cách, điều này xảy ra trong trƣờng hợp sóng lan truyền với sự giảm chấn hay sóng
tăng cƣờng nhờ gió).
Bảng 2.1

Nghiệm có thể có của phƣơng trình Laplace, dựa trên phƣơng pháp tách biến

Tính chất của hằng số phân

Các phƣơng trình vi phân

tách k

thƣờng


Thực

Ảo

12

Nghiệm


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Qn

2.2. Tuyến tính hóa điều kiện biên động lực học mặt thống
Phƣơng trình Bernoulli phải đƣợc thỏa mãn trên

là mặt mà phƣơng trình của

nó là chƣa xác định. Một phƣơng pháp thuận tiện đƣợc dùng để đánh giá điều kiện là đánh giá
bằng cách khai triển giá trị của điều kiện tại

nó trên

(vị trí đã biết) bằng

chuỗi Taylor giản lƣợc:

trong đó
trên

.
Bây giờ với sóng vơ cùng nhỏ,

nhỏ, do đó có thể coi vận tốc và áp suất là nhỏ, nhƣ

thế tích của những biến này lại càng nhỏ:

,

hay

. Nếu ta bỏ qua những

số hạng nhỏ này thì phƣơng trình Bernoulli đƣợc viết lại nhƣ sau

Kết quả của tuyến tính hóa điều kiện biên động lực học mặt thoáng liên hệ độ dịch
chuyển tức thời của mặt thoáng với tốc độ thay đổi theo thời gian của thế vận tốc.

Do định nghĩa của ta,
gian nên

sẽ có trung bình bằng khơng theo thời gian cũng nhƣ khơng

, nhƣ vậy
(2.13)

2.3. Tuyến tính hóa điều kiện biên động học mặt thoáng
Sử dụng khai triển chuỗi Taylor để liên hệ điều kiện biên tại độ dâng chƣa biết
với


, ta có

13


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

Lần nữa ta chỉ giữ lại những số hạng nào tuyến tính đối với những thông số nhỏ, , ,
và lƣu ý rằng

không phải là hàm số của , điều kiện biên động học mặt thống cho ra:
(2.14a)

hay
(2.14b)

3. ÁP DỤNG CHO SĨNG PHẲNG SINH RA BỞI MỘT MÁI GIẦM
Nhắc lại các điều kiện biên:
Dạng tuyến tính hóa của điều kiện biên động lực học và động học:
(2.15)

(2.16)

Điều kiện biên đáy là điều kiện khơng có dòng chảy xuyên qua
(2.17)
Đối với điều kiện biên bên, theo hƣớng x dƣơng, bởi vì x lớn dần, ta địi hỏi sóng lan
truyền ra xa nhằm tận dụng điều kiện biên phát xạ (Sommerfield, 1964). Tại
động học phải đƣợc thỏa mãn trên máy tạo sóng. Nếu


, điều kiện

là sải giầm của máy tạo sóng thì

độ dịch chuyển ngang là
(2.18)

trong đó

là tần số của máy tạo sóng.

Phƣơng trình mơ tả bề mặt máy tạo sóng là

14


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

(2.19)

Điều kiện biên động học tổng quát

(2.20)

trong đó

and


ta đƣợc

. Thế

(2.21)

Với độ dịch chuyển nhỏ và vận tốc nhỏ, ta có thể tuyến tính hóa phƣơng trình này bằng
cách bỏ qua số hạng thứ hai bên vế trái.
Cũng nhƣ ở mặt thoáng, sẽ thuận tiện hơn nếu ta diễn tả điều kiện tại biên bên di động
theo vị trí trung bình của nó

. Để làm điều này ta khai triển điều kiện thành chuỗi

Taylor:

(2.22)

Rõ ràng, chỉ có số hạng đầu tiên trong chuỗi là tuyến tính đối với u và S(z), còn lại sẽ
đƣợc bỏ qua vì giả thiết là chúng rất nhỏ. Nhƣ thế thì điều kiện biên bên cuối cùng là
(2.23)

Bây giờ bài toán giá trị biên đã đƣợc xác định, mọi nghiệm có thể có của phƣơng trình
Laplace đều đƣợc kiểm tra để xác định xem chúng có thỏa mãn điều kiện biên hay khơng.
Tham khảo lại Bảng 2.1 ta tìm ra đƣợc dạng biểu thức hàm thế vận tốc tổng quát thỏa mãn
điều kiện biên đáy:

15



LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

(2.24)

Khi sử dụng máy tạo sóng để tạo ra sóng nƣớc, bên cạnh sóng tiến (progressive wave)
mong muốn, cịn có sự xuất hiện của nhiều sóng dừng (standing wave) chóng tan. Những chỉ
số , của

chỉ ra phần đó của

gắn với sóng tiến ( ) hay sóng dừng ( ).

Với bài tốn máy tạo sóng thì A phải bằng khơng bởi vì khơng thể có dịng chảy đồng
nhất qua máy tạo sóng và B có thể đƣợc cho bằng 0 mà không ảnh hƣởng đến trƣờng vận tốc.
Những số hạng còn lại phải thỏa mãn hai điều kiện biên mặt thống tuyến tính hóa, kết hợp từ
cả hai điều kiện (động lực học và động học). Điều kiện này là
(2.25)

có đƣợc bằng cách khử độ dâng mặt thống

từ phƣơng trình (2.15) và (2.16). Thế biểu thức

nghiệm vừa nãy vào điều kiện này cho ta:
(2.26)
và
(2.27)
Phƣơng trình thứ nhất là quan hệ tán sắc đối với sóng tiến, trong khi phƣơng trình thứ
hai, liên hệ giữa


và tần số của máy tạo sóng, xác định số sóng của các sóng dừng mà biên

độ của nó giảm theo hàm mũ theo khoảng cách từ máy tạo sóng. Viết lại hai phƣơng trình trên
thành
(2.28)

Nghiệm của những phƣơng trình này có thể trình bày bằng đồ thị nhƣ Hình 2.3 và 2.4

16


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

Hình 2.3. Nghiệm phương trình tán sắc của sóng tiến

Hình 2.4. Nghiệm phương trình tán sắc của sóng dừng chóng tan
Phƣơng trình thứ nhất chỉ có một nghiệm hay nói cách khác
và

chỉ có một giá trị với

cho trƣớc trong khi rõ ràng là có vơ số nghiệm cho phƣơng trình thứ hai mà tất cả đều có

thể đƣợc nhận. Điều này có nghĩa là có tồn tại một sóng tiến và vơ số sóng dừng. Mỗi nghiệm
sẽ đƣợc ký hiệu

, trong đó


là một số nguyên. Dạng thức cuối cùng của kết quả bài

toán giá trị biên sẽ nhƣ sau:

17


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

(2.29)

Số hạng thứ nhất (

) diễn tả một sóng tiến, tạo bởi máy

tạo sóng, trong khi chuỗi ở số hạng thứ hai (

) là

những sóng dừng dần tan biến khi ra xa khỏi máy tạo sóng.
Để xem thử những sóng dừng suy giảm nhanh đến mức nào trên hƣớng , ta sẽ kiểm tra
số hạng đầu tiên của chuỗi, cái mà tan biến chậm nhất. Từ Hình 2.4 ta thấy lƣợng
lớn hơn
hơn

nhƣng ta có thể tạm coi
. Với


,

phải

, nhƣ thế độ suy giảm của sóng dừng lớn
, với

, nó bằng 0.009. Do vậy số hạng thứ nhất

trong chuỗi có thể đƣợc bỏ qua từ nơi cách máy tạo sóng hai đến ba lần độ sâu.
Để có một bài giải đầy đủ,

và

phải đƣợc xác định. Điều này đƣợc thực hiện nhờ

điều kiện biên bên tại máy tạo sóng

hay

(2.30)

Bây giờ ta có một hàm của

bằng với một chuỗi các hàm lƣợng giác của z bên vế phải,

tƣơng tự trƣờng hợp chuỗi Fourier. Trong thực tế, tập hợp những hàm
lập nên một chuỗi điều hịa hồn tồn gồm những hàm
trực giao và do đó bất kỳ hàm liên tục nào cũng có thể khai triển qua chúng1. Do vậy để tìm


1

Điều này đƣợc suy ra từ định lý Sturm – Liouville. Sự trực giao có thể đƣợc chứng minh bằng cách chỉ ra rằng
những tích phân sau đây bằng không
;

18


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Nguyễn Hồng Quân

, phƣơng trình trên đƣợc nhận với

và lấy tích phân từ

đến 0. Nhờ tính

trực giao của những hàm này mà những số hạng của chuỗi khơng có đóng góp gì và vì vậy

(2.31)

Nhân phƣơng trình (2.30) với

và tích phân trên chiều sâu cho ta

(2.32)


Tùy vào dạng hàm của

mà những hệ số có thể thu đƣợc khơng mấy khó khăn. Với

trƣờng hợp đơn giản máy tạo sóng kiểu piston hay bản lề,

đƣợc xác đinh bởi

(2.33)

Vì thế

(2.34)

(2.35)

Chiều cao của sóng tiến đƣợc xác định bằng cách đánh giá
máy tạo sóng.

19

ở khoảng cách xa so với