Hàm chỉnh hình




Chương 2. Hàm chỉnh hình


Nguyễn Thủy Thanh

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 105-187.

Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Hàm khả vi, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ
bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình,
Hàm Jukovski, Đẳng cấu.
.

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục

đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.




Chu
.
o
.
ng 2
H`am chı
’
nh h`ınh
2.1 H`am kha
’
vi 106
2.1.1 H`am R
2
- kha
’
vi 106
2.1.2 D
-
a
.
o h`am theo phu
.
o

.
ng 108
2.1.3 H`am C - kha
’
vi 110
2.1.4 Mˆo
´
i liˆen hˆe
.
gi˜u
.
a C - kha
’
vi v`a R
2
- kha
’
vi . . . . . 114
2.1.5 H`am chı
’
nhh`ınh 115
2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı
’
nhh`ınh 121
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’

nh h`ınh so
.
cˆa
´
p 122
2.2.1 D
-
ath´u
.
c v`a h`am h˜u
.
uty
’
122
2.2.2 H`am w = z
n
v`a z =
n
√
w, n ∈ N 122
2.2.3 H`am e
z
124
2.2.4 H`am lˆogarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.2.5 H`am l˜uy th`u
.
a z
α
, α ∈ R 130
2.2.6 C´ac h`am so

.
cˆa
´
pkh´ac 131
2.2.7 Nh´anh chı
’
nh h`ınh cu
’
a h`am da tri
.
134
2.3 H`am chı
’
nh h`ınh v`a ´anh xa
.
ba
’
o gi´ac . . . . . . . 138
106 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
2.3.1
´
Y ngh˜ıa h`ınh ho
.
ccu

’
a acgumen cu
’
ada
.
o h`am . . . 138
2.3.2
´
Y ngh˜ıa h`ınh ho
.
ccu
’
a mˆodun da
.
o h`am . . . . . . . 140
2.3.3
´
Anh xa
.
ba
’
ogi´ac 141
2.3.4
´
Anh xa
.
liˆen tu
.
c v`a ´anh xa
.

chı
’
nh h`ınh . . . . . . . 143
2.4 C´ac d
˘a
’
ng cˆa
´
uso
.
cˆa
´
p 146
2.4.1 D
-
˘a
’
ng cˆa
´
u phˆan tuyˆe
´
nt´ınh 147
2.4.2
´
Anh xa
.
w = e
z
v`a z = log w 160
2.4.3 H`am Jukovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

2.4.4 C´ac d˘a
’
ng cˆa
´
uso
.
cˆa
´
pkh´ac 172
2.4.5 Mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.
175
2.5 B`ai tˆa
.
p 183
Su
.
.
thu he
.
ptˆa
.
pho
.
.
p c´ac h`am biˆe

´
nph´u
.
cb˘a
`
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
n C - kha
’
vi s˜e du
.
a
d
ˆe
´
nl´o
.
p c´ac h`am chı
’
nh h`ınh. D
i
.
nh ngh˜ıa t´ınh C - kha
’
vi cu
’
a h`am biˆe

´
nph´u
.
c
s˜e d
u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay ho`an to`an tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
d
i
.
nh ngh˜ıa t´ınh kha
’
vi trong gia
’
i
t´ıch thu
.
.

c. Tuy c´o su
.
.
“giˆo
´
ng nhau” bˆe
`
ngo`ai d
´o, gi˜u
.
a hai kh´ai niˆe
.
m n`ay tˆo
`
n
ta
.
inh˜u
.
ng su
.
.
kh´ac nhau rˆa
´
tcˆo
´
tyˆe
´
u m`a ta s˜e thˆa
´

y r˜o trong chu
.
o
.
ng II n`ay.
2.1 H`am kha
’
vi
2.1.1 H`am R
2
- kha
’
vi
Gia
’
su
.
’
D l`a miˆe
`
ncu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng R
2
v`a f(x, y) l`a h`am gi´a tri
.

thu
.
.
c ho˘a
.
cph´u
.
c
x´ac d
i
.
nh trong D, z
0
= x
0
+ iy
0
∈ D.
Ta c´o d
i
.
nh ngh˜ıa sau dˆay.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.1.1. H`am f d
u
.
o

.
.
cgo
.
il`aR
2
- kha
’
vi ta
.
idiˆe
’
m(x
0
,y
0
) ∈ D nˆe
´
u
tˆo
`
nta
.
i h`am tuyˆe
´
n t´ınh Ah + Bk cu
’
a c´ac biˆe
´
n thu

.
.
c h v`a k sao cho v´o
.
i h v`a
k d
u
’
b´e sˆo
´
gia cu
’
a f tho
’
a m˜an hˆe
.
th ´u
.
c
f(x
0
+ h, y
0
+ k) − f(x
0
,y
0
)=Ah + Bk + ε(h,k)ρ,
2.1. H`am kha
’

vi 107
trong d´o A, B thu
.
.
c ho˘a
.
cph´u
.
c, ρ =
√
h
2
+ k
2
v`a ε(h, k) → 0 khi ρ → 0.
Nˆe
´
u f l`a h`am R
2
- kha
’
vi ta
.
idiˆe
’
m z
0
= x
0
+ iy

0
∈ D th`ı c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
A
v`a B (thu
.
.
c ho˘a
.
cph´u
.
c) du
.
o
.
.
c x´ac di
.
nh duy nhˆa
´
t v`a tu
.
o
.
ng ´u
.
ng b˘a
`

ng
A =
∂f
∂x
(x
0
,y
0
),B=
∂f
∂y
(x
0
,y
0
)
v`a biˆe
’
uth´u
.
c
df =
∂f
∂x
(x
0
,y
0
)h +
∂f

∂y
(x
0
,y
0
)k (2.1)
d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`avi phˆan cu
’
a h`am f ta
.
idiˆe
’
m(x
0
,y
0
).
B˘a
`
ng c´ach su
.
’

du
.
ng k´y hiˆe
.
u c´o t´ınh chˆa
´
t truyˆe
`
n thˆo
´
ng dˆo
´
iv´o
.
i h v`a k:
h = dx, k = dy,t`u
.
(2.1) ta c´o
df =
∂f
∂x
(x
0
,y
0
)dx +
∂f
∂y
(x
0

,y
0
)dy.
Ta lu
.
u´yr˘a
`
ng nˆe
´
u c´ac da
.
o h`am riˆeng tˆo
`
nta
.
i trong mˆo
.
t lˆan cˆa
.
n n`ao d´o
cu
’
adiˆe
’
m(x
0
,y
0
) v`a liˆen tu
.

cta
.
idiˆe
’
mˆa
´
yth`ıf l`a h`am R
2
- kha
’
vi ta
.
idiˆe
’
m
d
´o. H`am f c´o c´ac da
.
o h`am riˆeng liˆen tu
.
c trong miˆe
`
n D du
.
o
.
.
cgo
.
il`akha

’
vi
liˆen tu
.
c trong miˆe
`
nd
´o.
Bˆay gi`o
.
ta x´et vi phˆan
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy. (2.2)
Dˆo
´
iv´o
.
i c´ac h`am z = x + iy v`a z = x −iy ta c´o
dz = dx + idy, dz = dx −idy
v`a do d´o
dx =
1
2
(dz + d
z),dy=

1
2i
(dz − d
z). (2.3)
Thˆe
´
(2.3) v`ao (2.2) ta thu du
.
o
.
.
chˆe
.
th ´u
.
c
df =
1
z

∂f
∂x
− i
∂f
∂y

dz +
1
2


∂f
∂x
+ i
∂f
∂y

dz.
108 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
B˘a
`
ng c´ach d˘a
.
t
∂f
∂z
=
1
2

∂f
∂x
− i
∂f
∂y


,
∂f
∂z
=
1
2

∂f
∂x
+ i
∂f
∂y

(2.4)
ta c´o
∂f
∂x
=
∂f
∂z
+
∂f
∂z
,
∂f
∂y
= i

∂f

∂z
−
∂f
∂z

v`a c´o thˆe
’
viˆe
´
tbiˆe
’
uth´u
.
c vi phˆan cu
’
a h`am R
2
- kha
’
vi du
.
´o
.
ida
.
ng
df =
∂f
∂z
dz +

∂f
∂z
· dz. (2.5)
D
-
i
.
nh l´y 2.1.1. Ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
n vi phˆan (2.5) cu
’
a h`am R
2
- kha
’
vi f l`a duy
nhˆa
´
t, t´u
.
cl`anˆe
´
uc´o
df = Adz + Bd
z th`ı A =
∂f
∂x
; B =

∂f
∂z
·
Ch´u
.
ng minh. V`ı dz = dx + idy, dz = dx −idy nˆen
df =(A + B)dx + i(A − B)dy.
T`u
.
d´othudu
.
o
.
.
c
A + B =
∂f
∂x
; i(A −B)=
∂f
∂y
·
Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.

ng tr`ınh n`ay ta thu du
.
o
.
.
cdiˆe
`
u pha
’
ich´u
.
ng minh.
2.1.2 D
-
a
.
o h`am theo phu
.
o
.
ng
Gia
’
su
.
’
f(z) l`a h`am R
2
- kha
’

vi ta
.
idiˆe
’
m z
0
∈ D v`a ∆f l`a sˆo
´
gia cu
’
a n´o ta
.
i
diˆe
’
m z
0
´u
.
ng v´o
.
i∆z =∆re
iα
.
Ta th`anh lˆa
.
pty
’
sˆo
´

∆f
∆z
v`a x´et gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o khi ∆z → 0 sao cho
lim
∆z→0
α = lim
∆z→0
(arg ∆z)=ϕ
trong d
´o ϕ l`a mˆo
.
tsˆo
´
cˆo
´
di
.
nh cho tru
.
´o
.
c.
2.1. H`am kha
’

vi 109
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.1.2. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
aty
’
sˆo
´
∆f
∆z
khi ∆z → 0m`aϕ = lim
∆z→0
(arg ∆z)
du
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
o h`am cu

’
a h`am f theo phu
.
o
.
ng ϕ ta
.
idiˆe
’
m z
0
.
Da
.
o h`am theo phu
.
o
.
ng ϕ du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
∂f
∂z
ϕ
v`a nhu

.
vˆa
.
y
∂f
∂z
ϕ
= lim
ϕ=const
∆z→0
∆f
∆z
·
Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay:
D
-
i
.
nh l´y 2.1.2. Gia
’
su
.
’
f l`a h`am R
2
- kha
’
vi. Khi d´otˆa

.
pho
.
.
p c´ac gi´a tri
.
d
a
.
o h`am theo phu
.
o
.
ng ta
.
idiˆe
’
m z
0
cho tru
.
´o
.
clˆa
.
p th`anh du
.
`o
.
ng tr`on v´o

.
i tˆam
ta
.
idiˆe
’
m
∂f
∂z
v`a b´an k´ınh b˘a
`
ng



∂f
∂z



.
Ch´u
.
ng minh. Theo gia
’
thiˆe
´
t ta c´o f l`a h`am R
2
- kha

’
vi, nˆen
∆f =
∂f
∂z
∆z +
∂f
∂z
∆z + o(∆z), (2.6)
trong d
´o lim
o(∆z)
∆z
= 0 khi ∆z → 0. Do d´o
∆f
∆z
=
∂f
∂z
+
∂f
∂z
e
−2iα
+ ε(∆z),
trong d
´o ε(∆z)=
o(∆z)
∆z
, v`a ta thu du

.
o
.
.
c
∂f
∂z
ϕ
= lim
∆f
∆z
=
∂f
∂z
+
∂f
∂z
e
−2iϕ
. (2.7)
Cˆong th´u
.
c (2.7) ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng c´ac gi´a tri
.

da
.
o h`am cu
’
a h`am f theo
phu
.
o
.
ng ta
.
idiˆe
’
m z
0
lˆa
´
pdˆa
`
ydu
.
`o
.
ng tr`on v´o
.
i tˆam ta
.
idiˆe
’
m

∂f
∂z
v`a b´an k´ınh
b˘a
`
ng



∂f
∂z



.
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd˘a
.
cbiˆe
.
t quan tro
.
ng l`a tru
.

`o
.
ng ho
.
.
p khi da
.
o h`am theo mo
.
i
phu
.
o
.
ng tr`ung nhau. Khi d
´o, du
.
`o
.
ng tr`on d
˜a n´oi trong di
.
nh l´y 2.1.2 s˜e suy
biˆe
´
n th`anh mˆo
.
tdiˆe
’
m

∂f
∂z
(z
0
).
110 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
2.1.3 H`am C - kha
’
vi
Gia
’
su
.
’
D l`a miˆe
`
ncu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.

c C v`a f l`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c z = x + iy
x´ac d
i
.
nh trong D.Tac´odi
.
nh ngh˜ıa quan tro
.
ng sau dˆay:
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.1.3. H`am f d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aC - kha
’
vi ta
.
id

iˆe
’
m z
0
∈ D nˆe
´
utˆo
`
n
ta
.
i gi´o
.
iha
.
n
lim
h → 0
h =0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
v`a ta n´oi r˘a
`
ng h`am f c´o d
a
.

o h`am theo biˆe
´
nph´u
.
c ta
.
idiˆe
’
m z
0
v`a k´y hiˆe
.
ul`a
f

(z
0
)hay
df
dz
(z
0
):
f

(z
0
)=
df (z
0

)
dz
= lim
h → 0
h =0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
· (2.8)
D
i
.
nh ngh˜ıa 2.1.3 d`oi ho
’
ir˘a
`
ng gi´o
.
iha
.
n (2.8) pha
’
itˆo
`
nta
.
idˆo

´
iv´o
.
i mo
.
i c´ach
cho z dˆa
`
ndˆe
´
n z
0
. N´oi ch´ınh x´ac ho
.
n, hˆe
.
th ´u
.
c (2.8) c´o ngh˜ıa r˘a
`
ng: ∀ε>0,
∃δ = δ(ε) > 0 sao cho khi 0 < |h| <δth`ı bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c




f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
− f

(z
0
)



<ε (2.9)
d
u
.
o
.
.
c tho
’
a m˜an. Nhu
.
vˆa
.
ytad

`oi ho
’
ir˘a
`
ng khi h → 0(t´u
.
cl`az → z
0
) theo bˆa
´
t
c´u
.
du
.
`o
.
ng n`ao ty
’
sˆo
´
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
pha
’
idˆa

`
nt´o
.
ic`ung mˆo
.
t gi´o
.
iha
.
n.
T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
c (2.9) c˜ung suy ra r˘a
`
ng nˆe
´
u h`am f(z) c´o d
a
.
o h`am ta
.
idiˆe
’
m z
0
th`ı n´o liˆen tu

.
cta
.
idiˆe
’
md´o. Diˆe
`
u kh˘a
’
ng di
.
nh ngu
.
o
.
.
cla
.
i l`a khˆong d
´ung.
T`u
.
di
.
nh ngh˜ıa da
.
o h`am (2.8) v`a c´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’

a gi´o
.
iha
.
n trong miˆe
`
n
ph´u
.
c suy r˘a
`
ng c´ac quy t˘a
´
cco
.
ba
’
nd
ˆe
’
t´ınh da
.
o h`am cu
’
atˆo
’
ng, t´ıch v`a thu
.
o
.

ng
2.1. H`am kha
’
vi 111
cu
’
a hai h`am. cu
’
a h`am ho
.
.
p v`a h`am ngu
.
o
.
.
cd
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac h`am biˆe
´
n thu
.
.
cd
ˆe
`
u

du
.
o
.
.
cba
’
o to`an d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac h`am biˆe
´
nph´u
.
c.
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe
’
n sang x´et vˆa
´
ndˆe
`
tu
.
.
nhiˆen l`a: t´ınh C - kha
’

vi d˜anˆeu
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i t´ınh chˆa
´
tdo
.
n gia
’
n n`ao cu
’
a c´ac h`am u(x, y)v`av(x, y) l`a phˆa
`
n
thu
.
.
c v`a phˆa
`
na
’
ocu
’
a h`am f(z).

D
-
i
.
nh l´y 2.1.3. Gia
’
su
.
’
h`am
f(z)=u(x, y)+iv(x, y)
l`a C - kha
’
vi ta
.
id
iˆe
’
m z = x + iy. Khi d´ota
.
idiˆe
’
m (x, y) h`am u(x, y) v`a
v(x, y) c´o c´ac da
.
o h`am riˆeng theo biˆe
´
n x v`a y tho
’
a m˜an diˆe

`
ukiˆe
.
n
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
(2.10)
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
·
C´ac hˆe
.
th´u
.
c (2.10) du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a c´ac diˆe
`

ukiˆe
.
n Cauchy - Riemann.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
h`am w = f(x) x´ac di
.
nh trong miˆe
`
n D ⊂ C v`a c´o da
.
o
h`am ta
.
idiˆe
’
m z ∈ D:
f

(z) = lim
∆z→0
f(z +∆z) − f(z)
∆z
= lim
∆z→0

∆w
∆z
· (2.11)
Nhu
.
vˆa
.
yv´o
.
imo
.
i c´ach cho ∆z =∆x + i∆y dˆa
`
nd
ˆe
´
n 0 gi´o
.
iha
.
n (2.11) pha
’
i
tˆo
`
nta
.
iv`ad
ˆe
`

ub˘a
`
ng mˆo
.
t gi´a tri
.
l`a f

(z). Do d´o gi´o
.
iha
.
nˆa
´
y pha
’
itˆo
`
nta
.
i trong
hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng sau
a) ∆z =∆x + i0=∆x v`a ∆x → 0.

b) ∆z =0+i∆y = i∆y v`a ∆y → 0.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pth´u
.
nhˆa
´
t ta c´o
f

(z) = lim
∆x→0

u(x +∆x, y) −u(x, y)
∆x
+ i
v(x +∆x, y) −v(x, y)
∆x

= lim
∆x→0
u(x +∆x,y) − u(x, y)
∆x
+ i lim
∆x→0

v(x +∆x, y) −v(x, y)
∆x
=
∂u
∂x
(x, y)+i
∂v
∂x
(x, y). (2.12)
112 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pth´u
.
hai:
f

(z) = lim
∆y→0


u(x, y +∆y) −u(x, y)
i∆y
+ i
v(x, y +∆y) −v(x, y)
i∆y

= lim
∆y→0
u(x, y +∆y) −u(x, y)
i∆y
+ lim
∆y→0
v(x, y +∆y) − v(x, y)
∆y
= −i
∂u
∂y
(x, y)+
∂v
∂y
(x, y). (2.13)
T`u
.
(2.12) v`a (2.13) ta thu du
.
o
.
.
c

∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
=
∂v
∂y
− i
∂u
∂y
⇔
∂u
∂x
=
∂v
∂y
∂u
∂y
= −
∂v
∂x







D

i
.
nh l´y du
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh.
R˜o r`ang l`a c´ac hˆe
.
qua
’
thu du
.
o
.
.
ct`u
.
t´ınh C - kha
’
vi l `a ˆa
´
ntu
.
o
.
.

ng ho
.
n nhiˆe
`
u
so v´o
.
ic´achˆe
.
qua
’
thu du
.
o
.
.
ct`u
.
t´ınh C -liˆen tu
.
c. Ngo`ai viˆe
.
c c´ac h`am u(x, y)
v`a v(x, y) c´o c´ac d
a
.
o h`am riˆeng cˆa
´
p 1, c´ac da
.

o h`am n`ay c`on pha
’
i liˆen hˆe
.
v´o
.
i
nhau bo
.
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan (2.10).
Nhu
.
vˆa
.
y, thˆa
.
mch´ınˆe
´
u u(x, y)v`av(x, y) c´o c´ac da
.
o h`am riˆeng cˆa
´
p1th`ı
n´oi chung h`am u + iv khˆong pha
’

i l`a h`am kha
’
vi cu
’
a z.
T`u
.
d´o, c´ac hˆe
.
th ´u
.
c Cauchy - Riemann (2.10) lˆa
.
p th`anh diˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
n dˆe
’
h`am f(z)l`aC - kha
’
vi. Tuy nhiˆen d
´o khˆong pha
’
il`adiˆe
`
ukiˆe
.

ndu
’
.Tax´et
mˆo
.
t v`ai v´ıdu
.
.
Ta x´et h`am f(z)=

|xy|. H`am n`ay triˆe
.
t tiˆeu trˆen ca
’
hai tru
.
c v`a do d´o
khi z = 0 ta c´o
∂u
∂x
=
∂u
∂y
=
∂v
∂x
=
∂v
∂y
=0

v`a d
iˆe
`
ukiˆe
.
n Cauchy - Riemann tho
’
a m˜an. Nhu
.
ng h`am f(z) khˆong C kha
’
vi
ta
.
idiˆe
’
m z = 0. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o
f(z)
z
=

|xy|
x + iy
v`a nˆe
´
u x = αr, y = βr trong

d
´o α, β l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´
c`on r>0th`ıhˆe
.
th ´u
.
cd
´odˆa
`
nt´o
.
i

|αβ|
α + iβ
khi r → 0.
Nhu
.
vˆa
.
y gi´o
.
iha
.
n khˆong duy nhˆa

´
t v`a h`am khˆong C - kha
’
vi.
2.1. H`am kha
’
vi 113
V´ıdu
.
n`ay ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng h`am f(z) c´o thˆe
’
khˆong C - kha
’
vi nˆe
´
uhˆe
.
ty
’
sˆo
´
f(z) − f(z
0
)

z −z
0
dˆa
`
ndˆe
´
n gi´o
.
iha
.
ndo
.
c theo hai du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng vuˆong g´oc. V`a n´oi
chung, h`am f c´o thˆe
’
khˆong C - kha
’
vi cho d`uty
’
sˆo
´
trˆen dˆa
`
ndˆe

´
n gi´o
.
iha
.
n
theo mˆo
.
tl´o
.
pc´acdu
.
`o
.
ng d˘a
.
cbiˆe
.
t n`ao d´o. Ch˘a
’
ng ha
.
n, ta x´et h`am
f(z)=





xy

2
(x + iy)
x
4
+ y
4
nˆe
´
u z =0,
0nˆe
´
u z =0.
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng lim
f(z) − f(0)
z
=0nˆe
´
u z → 0do
.
c theo bˆa
´
tc´u
.
du

.
`o
.
ng
th˘a
’
ng n`ao qua gˆo
´
cto
.
adˆo
.
.Nhu
.
ng trˆen du
.
`o
.
ng cong x = y
2
ta c´o
f(z) − f(0)
z
=
y
4
y
4
+ y
4

=
1
2
·
Do d´o h`am f(z) khˆong C - kha
’
vi ta
.
idiˆe
’
m z =0.
C´ac hˆe
.
th ´u
.
c (2.10) s˜el`adiˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
dˆe
’
f(z)l`aC - kha
’
vi nˆe
´
u gia
’
thiˆe

´
t
thˆem r˘a
`
ng ca
’
bˆo
´
nda
.
o h`am riˆeng cˆa
´
p1cu
’
a h`am u( x, y)v`av(x, y)dˆe
`
utˆo
`
nta
.
i
trong lˆan cˆa
.
nd
iˆe
’
m(x,y) v`a liˆen tu
.
cta
.

idiˆe
’
m(x, y). Ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 2.1.4. Nˆe
´
uta
.
idiˆe
’
m (x, y) c´ac h`am u(x, y) v`a v(x, y) c´o c´ac da
.
o
h`am riˆeng liˆen tu
.
c tho
’
a m˜an c´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n Cauchy - Riemann th`ı h`am biˆe
´
n
ph´u
.
c f(z)=u + iv c´o d

a
.
o h`am ta
.
idiˆe
’
m z = x + iy.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
c´ac h`am u v`a v c´o c´ac da
.
o h`am riˆeng liˆen tu
.
cta
.
idiˆe
’
m
(x, y). Khi d´o u v`a v kha
’
vi ta
.
idiˆe
’
md´o, t´u

.
c l`a sˆo
´
gia ∆u v`a ∆v tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
v´o
.
i c´ac sˆo
´
gia ∆x v`a ∆y c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng
∆u = u(x +∆x, y +∆y) −u(x, y)=
∂u
∂x

∆x +
∂u
∂y
∆y + o
1
(ρ),ρ→ 0
∆v = v(x +∆x, y +∆y) − v(x, y)=
∂v
∂x
∆x +
∂v
∂y
∆y + o
2
(ρ),ρ→ 0
trong d
´o ρ = |∆z| =

∆x
2
+∆y
2
, o
1
(ρ)v`ao
2
(ρ)(ρ → 0) l`a nh˜u
.
ng vˆo c`ung
b´e cˆa

´
p cao ho
.
n so v´o
.
i ρ,t´u
.
cl`a
lim
ρ→0
o
j
(ρ)
ρ
=0,j=1, 2.
114 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
Do d´o, nˆe
´
ulu
.
u´yr˘a
`
ng o
1

(ρ)+io
2
(ρ)=o(ρ)(ρ → 0) ta c´o
∆f
∆z
=
∆u + i∆v
∆x + i∆y
=
∂u
∂x
∆x +
∂u
∂y
∆y + i

∂v
∂x
∆x +
∂v
∂y
∆y

∆x + i∆y
+
o(ρ)
∆z
=
∂u
∂x

(∆x + i∆y)+
∂v
∂x
(−∆y + i∆x)
∆x + i∆y
+
o(ρ)
ρ
·
ρ
∆z
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
+
o(ρ)
ρ
·
ρ
∆z
·
V`ı



ρ
∆z




=
ρ
|∆z|
= 1 v`a lim
ρ→0
o(ρ)
ρ
=0nˆen t`u
.
d´o suy r˘a
`
ng
lim
∆z→0
∆f
∆z
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
t´u
.
c l`a ta
.
idiˆe

’
m z h`am f c´o da
.
o h`am f

(z)=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
·
2.1.4 Mˆo
´
iliˆenhˆe
.
gi˜u
.
a C - kha
’
vi v`a R
2
- kha
’
vi
C´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n Cauchy - Riemann (2.10) c´o thˆe

’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng go
.
n g`ang
ho
.
nnˆe
´
u ta su
.
’
du
.
ng kh´ai niˆe
.
mda
.
o h`am h`ınh th´u
.
c trong 1. v`a 2.

T`u
.
di
.
nh l´y 2.1.2 suy ra r˘a
`
ng nˆe
´
u f l`a h`am C - kha
’
vi ta
.
idiˆe
’
m z
0
∈ D th`ı
d
a
.
o h`am theo mo
.
iphu
.
o
.
ng ta
.
id
iˆe

’
md´odˆe
`
utr`ung nhau v`a b˘a
`
ng
∂f
∂z
·
Ch´ınh x´ac ho
.
n ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 2.1.5. H`am R
2
- kha
’
vi f trong miˆe
`
n D l`a h`am C - kha
’
vi trong
miˆe
`
nd´o khi v`a chı
’
khi n´o tho

’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n
∂f
∂z
=0. (2.14)
Ch´u
.
ng minh. 1. Gia
’
su
.
’
f l`a h`am C - kha
’
vi. Khi d
´o, theo di
.
nh ngh˜ıa 2.1.3
gi´o
.
iha
.
n (2.8) tˆo
`
nta
.

i khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao phu
.
o
.
ng ph´ap dˆa
`
n∆z d
ˆe
´
n 0, v`a
ta c´o
∆f = f

(z
0
)∆z + ε(∆z),
2.1. H`am kha
’
vi 115
trong d´o lim
∆z→0
ε(∆z)=0. T`u
.
d
´or´ut ra
df = f


(z
0
)dz,
t´u
.
cl`a
∂f
∂z
=0.
2. Gia
’
su
.
’
∂f
∂z
=0. T`u
.
cˆong th´u
.
c (2.6) ta thu du
.
o
.
.
c
∆f
∆z
=

∂f
∂z
+ ε(∆z),
trong d´o lim
∆z→0
ε(∆z)=0. T`u
.
d
´o thˆa
´
y r˜o l`a gi´o
.
iha
.
n (2.8) tˆo
`
nta
.
iv`a
f

(z
0
)=
∂f
∂z
·
Diˆe
`
ukiˆe

.
n (2.9) ch´ınh l`a diˆe
`
ukiˆe
.
n kha
’
vi ph´u
.
c Cauchy - Riemann. D
iˆe
`
u
kiˆe
.
n Cauchy - Riemann c`on c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng
∂f
∂x

+ i
∂f
∂y
= 0 (2.15)
v`a nhu
.
vˆa
.
y ta c´o d
i
.
nh l´y sau dˆa y .
D
-
i
.
nh l´y 2.1.6. H`am f l`a C - kha
’
vi ta
.
imˆo
.
td
iˆe
’
mn`aod´o khi v`a chı
’
khi n´o
l`a R
2

- kha
’
vi ta
.
idiˆe
’
md´o v`a c´ac da
.
o h`am riˆeng cu
’
a n´o ta
.
idiˆe
’
mˆa
´
y liˆen hˆe
.
v´o
.
i nhau b˘a
`
ng hˆe
.
th´u
.
c (2.15).
2.1.5 H`am chı
’
nh h`ınh

T`u
.
t´ınh C - kha
’
vi d˜a d u
.
o
.
.
cdi
.
nh ngh˜ıa ta chu
.
athˆe
’
r´ut ra nh˜u
.
ng kˆe
´
t luˆa
.
n
m`a ch´ung ta mong muˆo
´
n khi n´oi dˆe
´
ntˆa
`
m quan tro
.

ng cu
’
a kh´ai niˆe
.
m n`ay.
Dˆe
’
thu du
.
o
.
.
cnh˜u
.
ng kˆe
´
t qua
’
d´o , d `oi ho
’
i h`am f pha
’
il`aC - kha
’
vi ta
.
imˆo
.
t
lˆan cˆa

.
n n`ao d
´ocu
’
adiˆe
’
m z
0
.V`ıthˆe
´
ta c´o
116 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.1.4. 1) H`am f du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a h`am chı

’
nh h`ınh ta
.
id
iˆe
’
m z
0
nˆe
´
u
n´o l`a C - kha
’
vi ta
.
imˆo
.
t lˆan cˆa
.
n n`ao d´ocu
’
adiˆe
’
m z
0
. H`am f du
.
o
.
.

cgo
.
il`a
chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n D nˆe
´
un´ochı
’
nh h`ınh ta
.
imo
.
id
iˆe
’
mcu
’
amiˆe
`
nˆa
´
y. Tˆa
.
p
ho
.
.

pmo
.
i h`am chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n D du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aH(D).
2) H`am f(z) chı
’
nh h`ınh ta
.
id
iˆe
’
m vˆo c`ung nˆe
´
u h`am ϕ(z)=f

1
z

chı
’

nh
h`ınh ta
.
id
iˆe
’
m z =0.
Phˆa
`
n 2) cu
’
adi
.
nh ngh˜ıa 2.1.4 cho ph´ep ta x´et c´ac h`am chı
’
nh h`ınh trˆen
c´ac tˆa
.
pho
.
.
pcu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng d
´ong C.
Ta nhˆa

.
nx´et r˘a
`
ng c`ung v´o
.
i thuˆa
.
tng˜u
.
“h`am chı
’
nh h`ınh” ngu
.
`o
.
i ta c`on
d`ung nh˜u
.
ng thuˆa
.
tng˜u
.
tu
.
o
.
ng du
.
o
.

ng kh´ac sau dˆay:
“h`am chı
’
nh h`ınh” ≡ “h`am ch´ınh quy” ≡ “h`am gia
’
it´ıchdo
.
n tri
.
”.
T`u
.
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n Cauchy - Riemann v`a di
.
nh ngh˜ıa 2.1.4 dˆe
˜
d`ang suy ra
D
-
i
.
nh l´y 2.1.7. Gia
’
su
.

’
miˆe
`
n D ⊂ C v`a H(D) tˆa
.
pho
.
.
pmo
.
i h`am chı
’
nh h`ınh
trong miˆe
`
n D.
Khi d
´o
1. H(D) l`a mˆo
.
t v`anh;
2. nˆe
´
u f ∈H(D) v`a f(z) =0∀z ∈ D th`ı
1
f
∈H(D);
3. nˆe
´
u f ∈H(D) v`a f chı

’
nhˆa
.
n gi´a tri
.
thu
.
.
cth`ıf l`a h˘a
`
ng sˆo
´
.
Ch´u
.
ng minh. B˘a
`
ng c´ach t´ınh to´an tru
.
.
ctiˆe
´
ptathudu
.
o
.
.
c
∂
∂z

(f + g)=
∂f
∂z
+
∂g
∂z
,
∂
∂z
(f ·g)=
∂f
∂z
· g + f ·
∂g
∂z
·
T`u
.
d´o suy ra 1) v`a 2).
D
ˆe
’
ch´u
.
ng minh 3) ta nhˆa
.
n x´et r˘a
`
ng
∂f

∂x
,
∂f
∂y
c˜ung chı
’
nhˆa
.
n gi´a tri
.
thu
.
.
c.
Nhu
.
ng m˘a
.
t kh´ac:
∂f
∂x
= i
∂f
∂y
nˆen suy ra
∂f
∂x
≡
∂f
∂y

≡ 0. Vˆa
.
y f l`a h˘a
`
ng sˆo
´
.
2.1. H`am kha
’
vi 117
D
-
i
.
nh l´y 2.1.8. (vˆe
`
h`am ho
.
.
p).Nˆe
´
u f(w) l`a h`am chı
’
nh h`ınh trong D
∗
v`a
nˆe
´
u g : D → D
∗

l`a h`am chı
’
nh h`ınh trong D th`ı h`am ho
.
.
p f[g(z)] chı
’
nh h`ınh
trong D,
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
∂[f(g)]
∂z
=
∂f
∂w
·
∂g
∂z

+
∂f
∂w
·
∂g
∂z
·
Theo gia
’
thiˆe
´
t
∂f
∂w
=0,
∂g
∂z
=0nˆen suy ra f[g(z)] l`a h`am chı
’
nh h`ınh
trong D.
Tiˆe
´
p theo, gia
’
su
.
’
w = f(z), z ∈ D l`a h`am chı
’

nh h`ınh ´anh xa
.
d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t
-mˆo
.
tmiˆe
`
n D lˆen miˆe
`
n D
∗
.Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a theo h`am d˜a cho mˆo
˜
i z ∈ D
dˆe
`
utu
.
o
.
ng ´u

.
ng v´o
.
imˆo
.
t gi´a tri
.
w ∈ D
∗
v`a dˆo
`
ng th`o
.
i theo quy luˆa
.
td´o m ˆo
˜
i
w ∈ D
∗
chı
’
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.

imˆo
.
t gi´a tri
.
z ∈ D.T`u
.
d´o x´ac di
.
nh du
.
o
.
.
c h`am
d
o
.
n tri
.
z = ϕ(w), w ∈ D
∗
c´o t´ınh chˆa
´
tl`af[ϕ(w)] = w, w ∈ D
∗
.Nhu
.
ta biˆe
´
t

h`am z = ϕ(w)d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ah`am ngu
.
o
.
.
c v´o
.
i h`am w = f(z), z ∈ D.
Tas˜ech´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u f

(z) =0, z ∈ D th`ı h`am z = ϕ(w) l`a h`am
chı
’
nh h`ınh trˆen D
∗
.

Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
w, w +∆w ∈ D
∗
. Nh`o
.
h`am ngu
.
o
.
.
c, c´ac d
iˆe
’
m n`ay tu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.

idiˆe
’
m z, z +∆z. Theo gia
’
thiˆe
´
t h`am f c´o da
.
o h`am ta
.
idiˆe
’
m z nˆen
f(z)liˆen tu
.
cta
.
id´o : ∆ w → 0nˆe
´
u∆z → 0. Do t´ınh do
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t ta c´o
ca
’

diˆe
`
u kh˘a
’
ng di
.
nh ngu
.
o
.
.
cla
.
i: ∆z → 0nˆe
´
u∆w → 0. Nhu
.
ng khi d´o
lim
∆w→0
∆z
∆w
= lim
∆z→0
1
∆w
∆z
=
1
f


(z)
, (f

(z) =0).
Diˆe
`
ud´o c h ´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng da
.
o h`am cu
’
a h`am ngu
.
o
.
.
c z = ϕ(w)tˆo
`
nta
.
ita
.
idiˆe
’

m w
v`a b˘a
`
ng
ϕ

(w)=
1
f

(z)
,w∈ D
∗
.
V`ı w l`a d
iˆe
’
mt`uy ´y cu
’
a D
∗
, f

(z)liˆen tu
.
cv`af

(z) = 0 nˆen h`am ϕ(w)chı
’
nh

h`ınh trong D
∗
.
118 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
Ta x´et v´ı du
.
h`am w = az + b, a = 0 l`a h`am tuyˆe
´
n t´ınh nguyˆen. H`am n`ay
´anh xa
.
do
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
tm˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u

.
c z lˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c w. H`am
ngu
.
o
.
.
ccu
’
a n´o c´o da
.
ng
z =
w − b
a
·
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng h`am w = az + b v`a h`am ngu
.

o
.
.
ccu
’
an´oz =
w − b
a
chı
’
nh
h`ınh kh˘a
´
pno
.
i trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng z v`a w tu
.
o
.
ng ´u
.
ng

w

z

= a, z

w
=
1
a

.
D
-
i
.
nh l´y 2.1.9. Gia
’
su
.
’
cho chuˆo
˜
il˜uy th`u
.
a

n0
a
n
z
n
. (2.16)
Nˆe

´
u b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i (2.16) kh´ac 0 th`ı tˆo
’
ng S(z) cu
’
a n´o l`a mˆo
.
t
h`am chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
{|z| <R,R>0} cu
’
a n´o, t´u
.
c l`a khi
|z| <Rta c´o
S


(z) = lim
S(z + h) −S(z)
h
· (2.17)
Ch´u
.
ng minh. 1. D
ˆa
`
u tiˆen ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
achuˆo
˜
i
d
˜a cho (2.16) l`a R th`ı b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
R

∗
cu
’
a chuˆo
˜
ida
.
o h`am
S
0
(z)=

n1
na
n
z
n−1
(2.18)
c˜ung b˘a
`
ng R. Thˆa
.
tvˆa
.
y, hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng b´an k´ınh R
∗

b˘a
`
ng b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i

n0
na
n
z
n
.
Nhu
.
ng
lim
n→∞
n

n|a
n
| = lim
n→∞
n

1
n
n

|a
n
| = lim
n→∞
n

|a
n
|
2.1. H`am kha
’
vi 119
v`a do d´o
R
∗
=

lim
n→∞
n

n|a
n
|

−1

=

lim
n→∞
n

|a
n
|

−1
= R.
2. Gia
’
su
.
’
z l`a diˆe
’
mcˆo
´
di
.
nh t`uy ´y n˘a
`
m trong h`ınh tr`on |z| <R. Khi d´o
c´o thˆe
’
chı
’

ra sˆo
´
R
1
(0 <R
1
<R) sao cho |z| <R
1
<R. Gia
’
su
.
’
∆z l`a sˆo
´
gia
t`uy ´y cu
’
a z m`a |z +∆z| <R
1
<R.V`ı
(z +∆z)
n
− z
n
∆z
=(z +∆z)
n−1
+ z(z +∆z)
n−2

+ ···+ z
n−1
cho nˆen



S(z +∆z) −S(z)
∆z
− S
0
(z)








m

n=1
a
n

(z +∆z)
n−1
+ z(z +∆z)
n−2
+ ···+ z

n−1
− nz
n−1




+
+



∞

n=m+1
a
n

(z +∆z)
n−1
+ z(z +∆z)
n−2
+ ···+ z
n−1




+




∞

n=m+1
na
n
z
n−1



. (2.19)
X´et d
iˆe
’
m z
∗
= R
1
.V`ıdiˆe
’
m z
∗
= R
1
n˘a
`
m trong h`ınh tr`on hˆo
.

itu
.
|z| <R
cu
’
achuˆo
˜
i (2.18) nˆen t`u
.
su
.
.
hˆo
.
itu
.
tuyˆe
.
tdˆo
´
icu
’
a chuˆo
˜
i (2.18) trong h`ınh tr`on
|z| <Rsuy r˘a
`
ng: ∀ε>0, ∃M = M(ε) sao cho ∀m>M th`ı phˆa
`
ndu

.
∞

nm+1
n|a
n
|R
n−1
1
<
ε
3
· (2.20)
Do d
´ov´o
.
i m>M,t`u
.
(2.20) thu du
.
o
.
.
c



∞

n=m+1

na
n
z
n−1



<
∞

n=m+1
n|a
n
|R
n−1
1
<
ε
3
· (2.21)
v`a



∞

n=m+1
a
n


(z +∆z)
n−1
+ z(z +∆z)
n−2
+ ···+ z
n−1






∞

n=m+1
n|a
n
|R
n−1
1
<
ε
3
· (2.22)
120 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’

nh h`ınh
Tiˆe
´
p theo, t`u
.
hˆe
.
th ´u
.
c
lim
∆z→0
m

n=1
a
n

(z +∆z)
n−1
+ z(z +∆z)
n−2
+ ···+ z
n−1

=
m

n=1
na

n
z
n−1
suy r˘a
`
ng v´o
.
isˆo
´
ε>0d˜a c h o
.
n, t`ım du
.
o
.
.
csˆo
´
δ = δ(ε) > 0 sao cho v´o
.
i
|∆z| < min(δ; |R
1
−z|)th`ı



m

n=1

a
n

(z +∆z)
n−1
+ z(z +∆z)
n−2
+ ···+ z
n−1
− nz
n−1



<
ε
3
· (2.23)
B˘a
`
ng c´ach thay n>Mtrong (2.19), t`u
.
(2.21) - (2.23) suy r˘a
`
ng khi
|∆z| < min(δ, |R
1
− z|) ta c´o




S(z +∆z) −S(z)
∆z
− S
0
(z)



<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
Do d
´o
S
0
(z) = lim
∆z→0
S(z +∆z) −S(z)
∆z
= S

(z).

V`ı z l`a d
iˆe
’
mt`uy ´y cu
’
a h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
|z| <Rnˆen di
.
nh l´ydu
.
o
.
.
cch´u
.
ng
minh.
Nhˆa
.
nx´et. V`ıb˘a
`
ng ph´ep dˆo
’
ibiˆe
´
n theo cˆong th´u
.

c t = z − z
0
, z
0
=0chuˆo
˜
i

n0
a
n
(z −z
0
)
n
du
.
o
.
.
cquyvˆe
`
chuˆo
˜
i

n≥0
a
n
t

n
nˆen ta c´o di
.
nh l´y sau:
D
-
i
.
nh l´y 2.1.9
∗
. Tˆo
’
ng f(z) cu
’
a chuˆo
˜
il˜uyth`u
.
a

n0
a
n
(z −z
0
)
n
l`a h`am chı
’
nh

h`ınh trong h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
|z −z
0
| <Rcu
’
a chuˆo
˜
id´ov`ada
.
o h`am f

(z) du
.
o
.
.
c
t`ım theo cˆong th´u
.
c
f

(z)=

n1
na
n

(z −z
0
)
n−1
.
2.1. H`am kha
’
vi 121
2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı
’
nh h`ınh
Gia
’
su
.
’
miˆe
`
n D ⊂ C, C(D) l`a tˆa
.
pho
.
.
p c´ac h`am liˆen tu
.
c trong D v`a H(D)l`a
tˆa
.
pho
.

.
p c´ac h`am chı
’
nh h`ınh trong D.
Khˆong d
i sˆau v`ao chi tiˆe
´
t (viˆe
.
cd´o d`anh cho bˆo
.
mˆon tˆopˆo ho
.
c), o
.
’
dˆay chı
’
ph´ac qua viˆe
.
c x´ac d
i
.
nh tˆopˆo trong C(D). Dˆo
´
iv´o
.
itˆa
.
pho

.
.
p comp˘a
´
c K ⊂ D
bˆa
´
tk`yv`asˆo
´
ε>0bˆa
´
tk`y, d
˘a
.
t
V (K, ε)={f ∈C(D):|f(z)| <ε,∀z ∈ K}.
R˜o r`ang l`a tˆa
.
pho
.
.
p V (K, ε) l`a lˆan cˆa
.
ncu
’
a f ≡ 0 trong C(D). Ngu
.
`o
.
ita

d˜a c h ´u
.
ng minh r˘a
`
ng (xem [10], trang 188-191) nˆe
´
u {K
n
} l`a d˜ay c´ac tˆa
.
pho
.
.
p
comp˘a
´
ccu
’
amiˆe
`
n D : K
i
⊂ K
i+1
,
∞

i=1
◦
K

i
= D sao cho mˆo
˜
i comp˘a
´
c K ⊂ D
d
ˆe
`
u thuˆo
.
cmˆo
.
t K
n
n`ao d´o th`ı c´ac tˆa
.
pho
.
.
p V (K
i
,ε)dˆo
´
iv´o
.
imo
.
i K
i

v`a ε nhu
.
vˆa
.
yl`ahˆe
.
lˆan cˆa
.
nco
.
so
.
’
cu
’
a phˆa
`
ntu
.
’
0(t´u
.
cl`af ≡ 0) v`a s˜e x´ac di
.
nh mˆo
.
t tˆopˆo
m`a v´o
.
i tˆopˆo d´o C(D) l`a mˆo

.
t khˆong gian tˆopˆo. R˜o r`ang l`a d˜ay h`am f
n
∈C(D)
hˆo
.
itu
.
dˆe
`
utrˆent`u
.
ng comp˘a
´
ccu
’
amiˆe
`
n D khi v`a chı
’
khi ∀K ⊂ D, ∀ε>0,
∀n d
u
’
l´o
.
n suy ra
f
n
− f ∈ V (K, ε).

Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa r˘a
`
ng d˜ay f
n
∈C(D) c´o gi´o
.
iha
.
n l`a mˆo
.
tdiˆe
’
m trong tˆopˆo
m`a V (K, ε)lˆa
.
p th`anh hˆe
.
lˆan cˆa
.
nco
.
so
.
’
cu
’
a f ≡ 0.
V`ı H(D) l`a khˆong gian con cu

’
a khˆong gian C(D)nˆen trˆen H(D) ta x´et
tˆopˆo ca
’
m sinh bo
.
’
i tˆopˆo cu
’
a khˆong gian C(D). V´o
.
i tˆopˆo d´o , H(D) l`a khˆong
gian tˆopˆo. D
ˆo
´
iv´o
.
i khˆong gian C(D)c˜ung nhu
.
H(D) ta c´o thˆe
’
x´ac d
i
.
nh tˆopˆo
bo
.
’
i mˆetric h´oa. Do d´o c´o thˆe
’

´ap du
.
ng cho khˆong gian C(D)v`aH(D)nh˜u
.
ng
di
.
nh l´y quen thuˆo
.
cvˆe
`
khˆong gian mˆetric. Ch˘a
’
ng ha
.
n, tˆa
.
pho
.
.
p con A cu
’
a
khˆong gian E l`a d´ong khi v`a chı
’
khi gi´o
.
iha
.
ncu

’
a d˜ay diˆe
’
mbˆa
´
tk`ycu
’
a A
thuˆo
.
c A.
122 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’
nh h`ınh so
.
cˆa
´
p
2.2.1 D

-
ath´u
.
c v`a h`am h˜u
.
uty
’
Dˆe
’
´ydˆe
´
n c´ac d˘a
’
ng th´u
.
c
d(const)
dz
=0,
dz
dz
= 1 v`a c´ac quy t˘a
´
c t´ınh da
.
o h`am
ta c´o thˆe
’
kˆe
´

t luˆa
.
nr˘a
`
ng dath´u
.
c P
n
(z) l`a h`am chı
’
nh h`ınh ∀z ∈ C v`a
P
n
(z)=

n

k=0
a
k
z
n−k


=
n−1

k=0
(n − k)a
k

z
n−k−1
.
C´ac h`am h˜u
.
uty
’
R(z)=
P (z)
Q(z)
, trong d´o P (z)v`aQ(z) l`a c´ac dath´u
.
c,
chı
’
nh h`ınh ∀z ∈ C \ N(Q), trong d
´o N(Q)={z ∈ C : Q(z)=0}. Ch˘a
’
ng
ha
.
n, h`am phˆan tuyˆe
´
n t´ınh w =
az + b
cz + d
chı
’
nh h`ınh ∀z ∈ C \


−
d
c

nˆe
´
u c =0
v`a chı
’
nh h`ınh trong C nˆe
´
u c =0v`ad = 0; h`am Jukovski w =
1
2

z +
1
z

chı
’
nh h`ınh ∀z ∈ C \{0}.
2.2.2 H`am w = z
n
v`a z =
n
√
w, n ∈ N
Ta x´et c´ac gi´a tri
.

z
1
= |z
1
|e
iϕ
1
, z
2
= |z
1
|e
iϕ
2
.T`u
.
d´o
w
1
− w
2
= |z
1
|
n

e
inϕ
1
−e

inϕ
2

= |z
1
|
n
e
inϕ
2

e
in(ϕ
1
−ϕ
2
)
− 1

. (2.24)
Hˆe
.
th ´u
.
c (2.24) ch´u
.
ng to
’
r˘a
`

ng z
1
v`a z
2
c´o c`ung mˆo
.
ta
’
nh khi v`a chı
’
khi
ϕ
1
− ϕ
2
= k ·
2π
n
,k∈ Z .
Do vˆa
.
y, h`am w = z
n
do
.
ndiˆe
.
p trong miˆe
`
n D n`ao d´o khi v`a chı

’
khi D khˆong
ch´u
.
anh˜u
.
ng c˘a
.
pdiˆe
’
m kh´ac nhau z
1
v`a z
2
m`a



|z
1
| = |z
2
|
arg z
1
= arg z
2
+
2π
n

k, k ∈ Z.
2.2. Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’
nh h`ınh so
.
cˆa
´
p 123
V´ıdu
.
vˆe
`
miˆe
`
ndo
.
ndiˆe
.
pcu
’
a h`am w = z
n
l`a c´ac h`ınh qua
.
t vˆo ha
.

n
D
k
=

z ∈ C : k
2π
n
< arg z<
2π
n
(k +1),k =
0,n− 1

.
Ta chia m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c C th`anh n h`ınh qua
.
tbo
.
’
i c´ac tia dirat`u
.
gˆo
´

c
to
.
adˆo
.
θ = θ
k
=
2π
n
k, k =0, 1, ,n− 1.
Gia
’
su
.
’
D
k
l`a h`ınh qua
.
t
θ
k
<θ<θ
k+1
,ρ>0.
t´u
.
cl`a
D

k
=

z ∈ C : z = ρe
iθ
,ρ>0,θ
k
<θ= arg z<θ
k+1

.
Hiˆe
’
n nhiˆen D
k
l`a miˆe
`
n. Ta k´yhiˆe
.
u
D
∗
k
=

z ∈ C : z = ρe
iθ
,θ
k
 θ<θ

k+1
,ρ>0

.
Tiˆe
´
p theo ta d
˘a
.
t
θ = θ
k
+ ψ,θ
k
 θ<θ
k+1
.
T`u
.
d
´onˆe
´
u0 ψ<θ
1
=
2π
n
th`ı θ
k
 θ<θ

k+1
v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
i.
Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng: h`am w = z
n
´anh xa
.
do
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
tmiˆe
`
n D
∗
k

lˆen
to`an bˆo
.
m˘a
.
t ph˘a
’
ng
C
∗
= C
∗
w
=

w ∈ C : w = re
iϕ
, 0  ϕ<2π

.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o
re
iϕ
= ρ
n
e

inθ
= ρ
n
e
in(
2π
n
k+ψ)
= ρ
n
e
inψ
.
Do d
´o
r = ρ
n
,ϕ= nψ

0  ψ<θ
1
=
2π
n

.
124 Chu
.
o
.

ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
v`a t`u
.
d
´o ta thu du
.
o
.
.
ca
’
nh cu
’
a D
∗
k
l`a m˘a
.
t ph˘a
’
ng C
∗
w
.
T`u
.
ch´u
.

ng minh trˆen ta c˜ung thu du
.
o
.
.
c
ρ = r
1
n
=
n
√
r,
ψ =
ϕ
n
v`a t`u
.
d´o suy r˘a
`
ng trˆen miˆe
`
n D
∗
k
h`am w = z
n
c´o h`am ngu
.
o

.
.
c
z =(z)
k
= ρe
iθ
= r
1
n
e
i
ϕ
+2k
n
,k=0, 1, ,n− 1; w ∈ C
∗
w
. (2.25)
N´oi chung: h`am w = z
n
c´o h`am ngu
.
o
.
.
c n-tri
.
z =
n

√
w
l`a n nh´anh liˆen tu
.
c (2.25) tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i c´ac sˆo
´
k =0, 1, ,n−1. C´ac nh´anh
(2.25) x´ac d
i
.
nh bo
.
’
i c´ac sˆo
´
k =0, 1, ,n− 1 ´anh xa
.
C
∗
lˆen D
∗
0

,D
∗
1
, ,D
∗
n
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
D
ˆe
’
t´ınh da
.
o h`am cu
’
a nh´anh th´u
.
k ta pha
’
i x´et miˆe
`
n D
k
⊂ D
∗

k
.Tak´yhiˆe
.
u
C
+
w
= C
∗
w
\ R
+
.
R˜o r`ang l`a h`am chı
’
nh h`ınh w = z
n
´anh xa
.
do
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t D
k
lˆen C

+
w
,
d
ˆo
`
ng th`o
.
i h`am ngu
.
o
.
.
ctu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh theo cˆong th´u
.

c (2.25).
´
Ap du
.
ng quy t˘a
´
cd
a
.
o h`am h`am ngu
.
o
.
.
ctac´o(z ∈ D
k
)

n
√
w


=

n
√
w



k
=
1

z
n


=
1
nz
n−1
=
z
nw
=
1
n
·
r
1
n
e
i
ϕ+2kπ
n
re
i(ϕ+2kπ)
=
1

n
r
1
n
−1
e
i(
1
n
−1)(ϕ+2kπ)
=
1
n
w
1
n
−1
.
2.2.3 H`am e
z
Gia
’
su
.
’
z = x + iy. Khi d
´o
e
z
def

= e
x
(cos y + i sin y).
2.2. Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’
nh h`ınh so
.
cˆa
´
p 125
Nˆe
´
u z = x l`a sˆo
´
thu
.
.
cth`ıe
z
= e
x
,t´u
.
c l`a khi z nhˆa
.
n c´ac gi´a tri

.
thu
.
.
c th`ı h`am
biˆe
´
nph´u
.
c e
z
tr `ung v´o
.
i h`am m˜ubiˆe
´
n thu
.
.
c thˆong thu
.
`o
.
ng. D
iˆe
`
u nhˆa
.
n x´et n`ay
c`ung v´o
.

imˆo
.
tsˆo
´
t´ınh chˆa
´
tdu
.
o
.
.
c nˆeu du
.
´o
.
idˆay s˜e ch´u
.
ng to
’
t´ınh ho
.
.
pl´ycu
’
a
di
.
nh ngh˜ıa h`am m˜ubiˆe
´
nph´u

.
cv`u
.
a nˆeu.
Ta lu
.
u´ymˆo
.
tsˆo
´
t´ınh chˆa
´
tcu
’
a h`am e
z
.
1) e
z
=0 ∀z ∈ C.Diˆe
`
ud´odu
.
o
.
.
c suy ra t`u
.
di
.

nh ngh˜ıa v`a hˆe
.
th ´u
.
c e
x
=0,
|e
iy
| =1.
2) e
z
1
· e
z
2
= e
z
1
+z
2
.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
z

1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
. Khi d´o
e
z
1
· e
z
2
= e
x
1
(cos y
1
+ i sin y
1
)e
x
2
(cos y
2

+ i sin y
2
)
= e
x
1
+x
2

cos(y
1
+ y
2
)+i sin( y
1
+ y
2
)

= e
x
1
+x
2
+i(y
1
+y
2
)
= e

z
1
+z
2
.
3)
e
z
1
e
z
2
= e
z
1
−z
2
.Diˆe
`
un`aydu
.
o
.
.
c suy ra t`u
.
d
i
.
nh ngh˜ıa v`a t´ınh chˆa

´
t 2).
4) D˘a
’
ng th´u
.
c e
z+α
= e
z
⇔ α =2kπi, k ∈ Z.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
α =2kπi, k ∈ Z. Khi d´o ta c´o
e
z+α
= e
z+2kπi
= e
z
· e
2kπi
= e
z
.

Ngu
.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
´
u e
z+α
= e
z
, α = λ + iν th`ı
e
z+λ+iν
= e
z
⇒ e
z

e
λ+iν
−1

=0.
V`ı e
z
=0nˆen e
λ+iν

=1. Tas˜ech´u
.
ng minh r˘a
`
ng khi d´o λ =0,ν =2kπ,
k ∈ Z.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, t`u
.
d˘a
’
ng th´u
.
c e
λ+iν
= 1 suy r˘a
`
ng e
λ
· e
iν
=1v`adod´o e
λ
=1,
ν =2kπ, k ∈ Z;t´u
.
cl`aλ =0,ν =2kπ, k ∈ Z.Nhu

.
vˆa
.
y α =0+i2kπ =
2kπi.
126 Chu
.
o
.
ng 2. H`am chı
’
nh h`ınh
C´ac sˆo
´
2kπi, k ∈ Z m`a v´o
.
i z ∈ C bˆa
´
tk`y ta c´o d
˘a
’
ng th´u
.
c e
z+2kπi
= e
z
du
.
o

.
.
cgo
.
il`ac´ac chu k`y cu
’
a h`am e
z
v`a sˆo
´
2πi go
.
il`achu k`yco
.
ba
’
n cu
’
a n´o.
5) e
z
khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n khi z →∞v`ı lim
x→−∞
e
x
= 0, lim

x→+∞
e
x
= ∞.
6) H`am e
z
do
.
ndiˆe
.
p trong miˆe
`
n D ⊂ C khi v`a chı
’
khi miˆe
`
n D khˆong ch´u
.
a
nh˜u
.
ng c˘a
.
pd
iˆe
’
m kh´ac nhau z
1
v`a z
2

m`a
z
1
− z
2
=2nπi, n ∈ Z.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
z
1
, z
2
(z
1
= z
2
)c`ung c´o mˆo
.
ta
’
nh. Khi d´ot`u

.
hˆe
.
th ´u
.
c w
1
= w
2
suy ra
e
z
1
= e
z
2
⇔ e
z
1
−z
2
=1⇔ z
1
−z
2
=2kπi.
V´ıdu
.
vˆe
`

miˆe
`
ndo
.
ndiˆe
.
pcu
’
ah`amm˜ubiˆe
´
nph´u
.
c l`a c´ac b˘ang vˆo ha
.
n n˘a
`
m
ngang
D
k
=

z ∈ C : −∞ < Re z<+∞;2kπ < Im z<2(k +1)π,k ∈ Z

.
7) H`am e
z
liˆen tu
.
c trˆen C. Thˆa

.
tvˆa
.
yv`ı c´ac h`am Re(e
z
)=u(x, y)=
e
x
cos y,Im(e
z
)=e
x
sin y dˆe
`
u liˆen tu
.
cnˆen theo di
.
nh l´y ta c´o h`am e
z
liˆen tu
.
c.
8) H`am e
z
∈H(C). Thˆa
.
tvˆa
.
y c´ac h`am phˆa

`
n thu
.
.
c u(x, y)=e
x
cos y v`a
phˆa
`
na
’
o v(x, y)=e
x
sin y dˆe
`
u l`a nh˜u
.
ng h`am kha
’
vi v`a tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n
Cauchy - Riemann, nˆen theo di
.
nh l´y 2.1.4 ta c´o e
z

∈H(C).
2.2.4 H`am lˆogarit
Gia
’
su
.
’
cho sˆo
´
ph´u
.
c z ∈ C. Khi d´omo
.
isˆo
´
ph´u
.
c ζ ∈ C tho
’
a m˜an phu
.
o
.
ng
tr`ınh e
ζ
= z du
.
o
.

.
cgo
.
i l`a lˆogarit cu
’
asˆo
´
z ∈ C v`a du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
Ln z = ζ.
Nhu
.
vˆa
.
y
Ln z = ζ ⇔ e
ζ
= z. (2.26)
2.2. Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’

nh h`ınh so
.
cˆa
´
p 127
Gia
’
su
.
’
ζ = x + iy, z = r(cos ϕ + i sin ϕ), r = |z|, ϕ = arg z, −π<ϕ π.
Ta c´o
e
ζ
= z ⇔ e
x+iy
= r(cos ϕ + i sin ϕ)
⇔ e
x
(cos y + i sin y)=r(cos ϕ + i sin ϕ)
⇔



e
x
= r>0,
y = ϕ +2kπ, k ∈ Z;
⇔




x =lnr
y = ϕ +2kπ, k ∈ Z.
Nhu
.
vˆa
.
y
Ln z = ζ = x + iy =lnr + i(ϕ +2kπ),k∈ Z,
hay l`a
Ln z =ln|z| + iarg z +2kπi, k ∈ Z. (2.27)
Ta k´y hiˆe
.
u
ln z =ln|z| + iarg z
v`a go
.
id
´ol`agi´a tri
.
ch´ınh cu
’
aLnz.T`u
.
d´o
Ln z =lnz +2kπi, k ∈ Z.
T`u
.
hˆe

.
th ´u
.
c (2.27) suy ra r˘a
`
ng: mˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c z =0, ∞ dˆe
`
u c´o vˆo sˆo
´
gi´a
tri
.
lˆogarit, trong d´o hai gi´a tri
.
lˆogarit bˆa
´
tk`y l`a kh´ac nhau mˆo
.
tbˆo
.
i nguyˆen
cu
’
a 2πi.Nˆe

´
u z l`a sˆo
´
thu
.
.
cdu
.
o
.
ng th`ı gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a lˆogarit tr`ung v´o
.
iln|z|
v`a do d
´on´obiˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
thu
.
.
ctr`ung v´o
.
i lˆogarit cˆo

’
d
iˆe
’
n: Ch˘a
’
ng ha
.
n ln 1 = 0,
ln e =1,
Nhu
.
ng, ngo`ai c´ac gi´a tri
.
thu
.
.
cd´o, lˆogarit cu
’
a c´ac sˆo
´
thu
.
.
cdu
.
o
.
ng c`on
c´o vˆo sˆo

´
c´ac lˆogarit ph´u
.
cdu
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th´u
.
c (2.27). Ch˘a
’
ng ha
.
n:
Ln 1 = 2kπi,Lne =1+2kπi, .