Câu 1.

Câu 2.

ĐỀ TOÁN SỐ 3 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TOÁN TOÁN HỌC
Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên tập số thực
A. y = x 2 − 5 x + 6.

B. y = − x3 + 2x2 − 10x + 4.

C. y = x + 5.

D. y =

Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên:

−

x

x + 10
.
x −1

−2

y'

+

−

0

y

+

3
0

+

+

1

−

0

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −;1) .
B. ( 3;5) .
C. ( −2;3) .
Câu 3.

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?

Câu 4.


A. 55.
B. 5!.
C. 4!.
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong ở hình vẽ?

Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.

A. y = − x3 − 3x + 1.

B. y = − x3 + 3x + 1.

C. y = x 3 + x + 1.

D. y = x3 − 3x + 1.

D. ( 0; + ) .
D. 5.

Cho một cấp số cộng ( un ) với u1 = 5 và u3 = 1. Khi đó số hạng u 2 của cấp số cộng đã cho là
A. 2.
B. 3.
C. -2.
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 4.
B. 3.
C. 6.
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên dưới.


D. 6.
D. 2.

Giá trị cực đại của hàm số bằng?
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. -1.
Câu 8.

1 − x2
Đồ thị hàm số y = 2
có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng?
x + 2x
A. 1.

Câu 9.

B. 2.

C. 3.

Số giao điểm của đồ thị hàm số y =

3x + 1
và đường thẳng y = 3 là
x−3

A. 2.
B. 1.

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

x

−

−1

C. 3.

D. 0.

+

2

−

y'

D. 4.

+

y

0

−


3
2
1

−

−1


Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
A. 2.
B. 1.

C. 4.

D. 3

x+2
. Tính y ' ( 3) .
x −1
5
3
3
3
A. .
B. .
C. − .
D. − .
2
4

2
4
Câu 12. Cho hình lập phương ABCD.A' B ' C ' D ' . Góc giữa đường thẳng AC và B ' D ' bằng
A. 900.
B. 1200.
C. 450.
D. 600.
Câu 13. Hàm số y = 2x4 + 4x2 − 8 có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 11. Cho hàm số y =

A. 2.
B. 4.
C. 1.
D. 3.
Câu 14. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
A.

1
Bh.
3

B. Bh.

C.

1
Bh.
6

D. 3Bh.


Câu 15. Đồ thị (hình dưới) là đồ thị của hàm số nào?

x+2
.
x +1
2x −1
.
C. y =
x +1
A. y =

2x + 1
.
x +1
x+3
.
D. y =
1− x
B. y =

Câu 16. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 x2 − 3 tại điểm A (1;0 ) có hệ số góc bằng
A. 7.

B. -7.

C. -1.

Câu 17. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 2, u2 =
A. −


3
2

1
. Công bội của cấp số nhân bằng
2

B. 1.

C. 2.

Câu 18. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 + 2x2 − 1 trên  −1;1 bằng
A. 2.

B. -1.

Câu 19. Giá trị lớn nhất của hàm số y =
A. 4.
Câu 20. Đồ thị hàm số y =
A. y = −1.

D. 1.

C. 0.

D.

1
.

4

D. 1.

x +1
trên  2; + ) là:
x −1

B. 3.

C. 1.

2x + 1
có tiệm cận đứng là đường thẳng
x +1
B. x = 1.
C. x = −1.

D. 2.

D. y = 2.

Câu 21. Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?
A. 5.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có điểm O và G lần lượt là tâm của mặt bên ABB ' A '
và trọng tâm của ABC. Biết VABC . A' B 'C ' = 270cm3 . Thể tích của khối chóp AOGB bằng
A. 25cm3 .


B. 30cm3 .

Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

C. 15cm3 .

Phương trình 2 f ( x ) + 7 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. Vô nghiệm.
C. 3.

B. 4.
D. 2.

D. 45cm3 .


Câu 24. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong
bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. y = x 3 − x 2 − 1.
B. y = − x4 + x2 − 1.
C. y = − x3 + x2 − 1.
D. y = x 4 − x 2 − 1.
Câu 25. Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2 và chiều cao h = 12. Thể tích của khối chóp
đã cho bằng
A. 6 3.

B. 4 3.

C. 12 3.


D. 24 3.

Câu 26. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 − x + 5 biết tiếp tuyến đó vng góc với

1
3

đường thẳng y = − x + 1.
A. y = 3 x − 13.

B. y = 3 x + 13.

C. y = 3 x + 1.

D. y = 3x − 1.

Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số phân biệt sao cho tổng của tám chữ số này chia hết
cho 9?
A. 201600.
B. 203400.
C. 181440.
D. 176400
Câu 28. Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều đã
cho bằng

a3 3
.
3
1

Câu 29. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x − x + 2 trên
2
đoạn  −1;34. Tổng S = 3m + M bằng
A.

a3 3
.
4

A. S =

13
.
2

B.

a3 3
.
2

B. S =

C.

25
.
2

a3 2

.
4

C. S =

D.

63
.
2

Câu 30. Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y =

D. S =

20 + 6 x − x 2
x 2 − 8 x + 2m

11
.
2

có đúng hai đường

tiệm cận đứng là
A. 12.
B. 15.
C. 13.
D. 17.
Câu 31. Từ một hộp đựng 2019 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 2019. Chọn ngẫu nhiên ra hai thẻ. Tính xác

suất của biến cố A = “tổng số ghi trên hai thẻ nhỏ hơn 2002”.

106 − 103
.
A.
2
C2019

106 − 1
.
B.
2
C2019

106
C. 2 .
C2019

105
D. 2 .
C2019

Câu 32. Với m là một tham số thực thì đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x 2 + x − 1 và đường thẳng y = m có
nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
A. 4.
B. 1.
Câu 33. Cho khối tứ diện OABC

C. 2.
có


OA, OB, OC

đơi

D. 3.
một vuông

OA = 3cm, OB = 4cm, OC = 10cm. Thể tích khối tứ diện OABC bằng
A. 20cm3 .

B. 10cm3 .

C. 40cm3 .

D. 120cm3 .

góc

và


Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( 3 − x )(10 − 3x )
số g ( x ) = f ( 3 − x ) +

( x − 2)

2

với mọi x  . Hàm


3
1 2
x − 1) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
(
6

B. ( 0;1) .

A. (1; + ) .

2

C. ( −;0 ) .




1
2

D.  −; −  .

Câu 35. Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. S = 4 3a .

2
B. S = 2 3a .


Câu 36. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

C. S = 8a 2 .

D. S = 3a 2 .

Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; + ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;3) .
Câu 37. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y =

cos x + 1
đồng biến trên khoảng
10cos x + m

 
 0;  ?
 2
A. 9.
B. 8.
C. 10.
D. 11.
Câu 38. Cho hình chóp S. ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , SA = 1 và đáy ABC là tam
giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC.
A. 900.
B. 600.
C. 450.

D. 300.
Câu 39. Cho hình chóp S. ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a, tam giác ABC vuông
cân tại C và AC = a 2. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng
A. 1200.

B. 300.

Câu 40. Cho hàm số y =

C. 450.

D. 600.

x+m
16
( m là tham số thực) thỏa mãn min y + max y = . Mệnh đề nào
1;2
1;2
x +1
3

dưới đây đúng?
A. m  4.
B. 0  m  2.
C. 2  m  4.
D. m  0.
Câu 41. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B ' C ' D ' có AB = 1, AD = 2, AA ' = 3. Thể tích của khối
chóp D.A' B ' C ' D ' là
A. V = 1.
B. V = 3

C. V = 6.
Câu 42. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

(

)

Hàm số y = f x + 1 − 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.

D. V = 2.


Câu 43. Cho

hình

lăng

trụ

đứng

ABC.A' B ' C '

có


đáy

là

tam

giác

vng

và

AB = BC = a, AA ' = a 2, M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM và B ' C bằng
a 2
a 3
a 6
.
.
.
C. d =
D. d =
2
3
6
Câu 44. Cho hình chóp S. ABCD có SA = a, SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình vuông. Gọi M là
A. d =

a 7
.

7

B. d =

trung điểm của AD, góc giữa ( SBM ) và mặt đáy bằng 450. Tính khoảng cách từ D đến mặt
phẳng ( SBM ) .

a 3
.
C. a 2.
2
Câu 45. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên.
A.

a 2
.
2

B.

(

D.

a 2
.
3

)


Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f x 3 − 3x là
A. 7.
B. 9.
C. 11.
D. 5.
Câu 46. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

x
f '( x )

−

0
0

+

, dấu của đạo hàm được cho bởi bảng

+

2
0

−

+

Hàm số y = f ( 2 x − 2 ) nghịch biến trong khoảng nào?
B. (1;2 ) .


A. ( −; −1) .

C. ( −1;1) .

D. ( 2; + ) .

Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

x
y'

−

−

1
0

+

2
0

3
0

+

-


(

4
0

+

)

+

Biết f ( 2 ) + f ( 6 ) = 2 f ( 3) . Tập nghiệm của phương trình f x + 1 = f ( 3) có số phần tử
2

bằng
A. 5.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
Câu 48. Cho lăng trụ ABC. A' B ' C ' diện tchs đáy bằng 3 và chiều cao bằng 5. Gọi M , N , P lần lượt là
trung điểm của AA ', BB ', CC '.G , G ' lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC , A ' B ' C '. Thể tích
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm G , G ', M , N , P bằng
A. 3.

B. 6.

C. 10.

D. 5.


Câu 49. Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình bên.
3

2

Trong các giá trị a, b, c, d có bao nhiêu giá trị âm?
A. 1.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Câu 50. Một công ty cần xây dựng một kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật (bằng vật liệu gạch và xi
măng) có thể tích 2000m3 , đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Người ta
cần tính tốn sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất, biết giá xây dựng là 750.000 đ/m2. Khi đó
chi phí thấp nhất gần với số nào dưới đây?
A. 742.935.831.
B. 742.963.631.
C. 742.933.631.
D. 742.833.631.


Câu 1.

GIẢI ĐỀ TOÁN SỐ 3 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TOÁN TOÁN HỌC
Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên tập số thực
A. y = x 2 − 5 x + 6.

B. y = − x3 + 2x2 − 10x + 4.

C. y = x + 5.


D. y =

x + 10
.
x −1

Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Vì hàm số bậc 2 và hàm phân thức bậc nhất nên không đơn điệu trên tập xác định nên loại đi
hai đáp án A và
D.
Hàm số bậc nhất y = x + 5 có hệ số a = 1  0 nên hàm số luôn đồng biến trên
nên loại đáp
Câu 2.

án
C. Vậy chọn đáp án
Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên:

x

−

y'

B.

−2

+

0

y

+

3

−

0

+

1

−

+

0

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −;1) .
B. ( 3;5) .
C. ( −2;3) .

D. ( 0; + ) .


Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 3; + ) nên hàm số cũng đồng
biến trên khoảng ( 3;5) .
Câu 3.

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
A. 55.

Câu 4.

B. 5!.

C. 4!.
Hướng dẫn giải

D. 5.

Chọn
B.
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong ở hình vẽ?

A. y = − x3 − 3x + 1.

B. y = − x3 + 3x + 1. C. y = x 3 + x + 1.
Hướng dẫn giải

D. y = x3 − 3x + 1.


Chọn
B.
+ Dựa vào đồ thị ta thấy đây là đồ thị của hàm số bậc 2 với hệ số a  0 nên loại đáp án C,
D.
+ Do đồ thị đi qua điểm (1;3) nên nhận đáp án B.


Câu 5.

Cho một cấp số cộng ( un ) với u1 = 5 và u3 = 1. Khi đó số hạng u 2 của cấp số cộng đã cho là
A. 2.

B. 3.

C. -2.
Hướng dẫn giải

D. 6.

Chọn

Câu 6.

Câu 7.

B.
u +u
5 +1
= 3.

Ta có: u2 = 1 2 =
2
2
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 4.
B. 3.
C. 6.
Hướng dẫn giải
Chọn
A.

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng.
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên dưới.

Giá trị cực đại của hàm số bằng?
A. 1.
B. 3.
Chọn
Câu 8.

D. 2.

D. -1.

B.

Đồ thị hàm số y =

1 − x2
có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng?

x2 + 2x

A. 1.
Chọn

C. 2.
Hướng dẫn giải

B. 2.

C. 3.
Hướng dẫn giải

D. 4.

A.

1 − x 2  0
=
= x  [ − 1;1] \{0}
Hàm số xác định
 2
x
+
2x

0

lim+ y = + => đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng.
x →0


lim y = 0; lim− y = 0

x →−1+

x →−1

Vậy hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng.
Câu 9.

Số giao điểm của đồ thị hàm số y =
A. 2.

B. 1.

3x + 1
và đường thẳng y = 3 là
x−3
C. 3.

D. 0.


Hướng dẫn giải
Chọn

D.

3x + 1
(C )

x−3
y = 3( d )

y=

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( C ) và ( d ) :

3x + 1
= 3  3 x + 1 = 3 x − 9  0 x = 10 (vô nghiệm).
x−3
Số giao điểm của đồ thị và đường thẳng là 0.
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

−

x

−1

−

y'

+

2
+

0


y

−

3
2
1

−

−1

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
A. 2.
B. 1.
C. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
lim y = 2  tiệm cận ngang là y = 2.

D. 3

x →−

lim y = 1  tiệm cận ngang là y = 1.

x →+

lim y = −  tiệm cận đứng là x = −1.


x →( −1)

−

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Câu 11. Cho hàm số y =
A.

5
.
2

x+2
. Tính y ' ( 3) .
x −1
3
B. .
4

3
2

C. − .

3
4

D. − .


Hướng dẫn giải
Chọn

D.

Ta có: y ' =

−3

3
 y ' ( 3) = − .
4
( x − 1)
2

Câu 12. Cho hình lập phương ABCD.A' B ' C ' D ' . Góc giữa đường thẳng AC và B ' D ' bằng
A. 900.
Chọn
Ta có

B. 1200.

C. 450.
Hướng dẫn giải

D. 600.

A.

AC / / A ' C ' 

0
  AC ⊥ B ' D '. Vậy góc giữa đường thẳng AC và B ' D ' bằng 90 .
A ' C ' ⊥ B ' D '

Câu 13. Hàm số y = 2x4 + 4x2 − 8 có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 2.

B. 4.

Chọn

C.

(

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 3.

)

Ta có: y ' = 8 x3 + 8 x = 8 x x 2 + 1 .

(

)


Khi đó y ' = 0  8 x x 2 + 1 = 0  x = 0.
Bảng biến thiên

x
f '( x )

f ( x)

−

+

0
0

−

+

+

+

−8
Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
Câu 14. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
A.

1
Bh.

3

B. Bh.

C.

1
Bh.
6

D. 3Bh.

Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy bằng B là Bh.
Câu 15. Đồ thị (hình dưới) là đồ thị của hàm số nào?

A. y =

x+2
.
x +1

B. y =

2x + 1
.
x +1


C. y =

2x −1
.
x +1

D. y =

x+3
.
1− x

Hướng dẫn giải
Chọn
B.
* Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là đường thẳng: y = 2.
* Đường tiệm cận đứng là đường thẳng: x = −1.
* Đồ thị cắt trục tung tại điểm: ( 0;1) .
Câu 16. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 x2 − 3 tại điểm A (1;0 ) có hệ số góc bằng
A. 7.

B. -7.

Chọn

A.

y ' = 3x + 4x.
2


Hệ số góc k = y ' (1) = 7.
Vậy hệ số góc cần tìm là k = 7.

C. -1.
Hướng dẫn giải

D. 1.


Câu 17. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 2, u2 =
A. −

3
2

1
. Công bội của cấp số nhân bằng
2

B. 1.

C. 2.

D.

1
.
4

Hướng dẫn giải

Chọn

D.

Ta có u2 = u1q 

1
1
= 2q  q = .
2
4

Câu 18. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 + 2x2 − 1 trên  −1;1 bằng
A. 2.

B. -1.

Chọn

B.

C. 0.
Hướng dẫn giải

(

D. 1.

)


Ta có: y ' = 4 x3 + 4 x = 0  4 x x 2 + 1 = 0  x = 0
Khi đó f ( 0 ) = −1, f (1) = 2, f ( −1) = 2
Vậy min y = min  f ( 0 ) , f (1) , f ( −1) = −1
 −1;1

Câu 19. Giá trị lớn nhất của hàm số y =
A. 4.

B. 3.

Chọn
B.
Tập xác định:

y' = −

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 2.

\ 1.

2

( x − 1)

x +1
trên  2; + ) là:
x −1


2

 0 với mọi x   2; + )  hàm số nghịch biến trên  2; + ) .

Vậy max y = y ( 2 ) = 3.
 2;+ )

Câu 20. Đồ thị hàm số y =
A. y = −1.

2x + 1
có tiệm cận đứng là đường thẳng
x +1
B. x = 1.
C. x = −1.

D. y = 2.

Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Ta có:
TXĐ: D = \ −1

lim y = lim
−

x →−1


−

x →−1

2x + 1
= + suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là đường thẳng
x +1

x = −1.
Câu 21. Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?
A. 5.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Chọn
A.
Có 5 loại khối đa diện đều là: khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối mười
hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.


Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có điểm O và G lần lượt là tâm của mặt bên ABB ' A '
và trọng tâm của ABC. Biết VABC . A' B 'C ' = 270cm3 . Thể tích của khối chóp AOGB bằng
A. 25cm3 .
Chọn

B. 30cm3 .
C. 15cm3 .
Hướng dẫn giải


D. 45cm3 .

C.

Ta có:
d ( O, ( ABC ) ) =

1
AA '
2

1
1
1
d ( G; AB ) . AB mà d ( G; AB ) = d ( C ; AB ) . Khi đó S AGB = S ABC
2
3
3
1
1
Vậy: VOAGB = VABC . A ' B 'C ' = .270 = 15cm3 nên chọn đáp án C.
18
18
S AOB =

Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

Phương trình 2 f ( x ) + 7 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. Vơ nghiệm.
Chọn


B. 4.

C. 3.
Hướng dẫn giải

D. 2.

B.

Có 2 f ( x ) + 7 = 0  f ( x ) = −

7
2

7
Từ hình vẽ ta có −4  −  −3 suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường
2
7
thẳng y = − là 4  phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
2


Câu 24. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số
nào?

A. y = x 3 − x 2 − 1.

B. y = − x4 + x2 − 1. C. y = − x3 + x2 − 1.
Hướng dẫn giải


D. y = x 4 − x 2 − 1.

Chọn
D.
Dựa vào hình dáng đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương với hệ số a  0.
Câu 25. Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2 và chiều cao h = 12. Thể tích của khối chóp
đã cho bằng
A. 6 3.

B. 4 3.

C. 12 3.
Hướng dẫn giải

D. 24 3.

Chọn
B.
Khối chóp tam giác đều nên đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, do đó diện tích đáy là
B=

22. 3
= 3.
4

1
1
3.12 − 4 3.
Thể tích khối chóp đã cho là V = B.h =

3
3

Câu 26. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 − x + 5 biết tiếp tuyến đó vng góc với

1
3

đường thẳng y = − x + 1.
A. y = 3 x − 13.

B. y = 3 x + 13.

C. y = 3 x + 1.

D. y = 3x − 1.

Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Gọi tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) . Ta có y ' ( x0 ) = 2 x0 − 1.
1
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 2 − x + 5 vng góc với đường thẳng y = − x + 1 nên
3
 1
y ' ( x0 ) .  −  = −1  y ' ( x0 ) = 3  2 x0 − 1 = 3  x0 = 2.
 3

Khi đó y0 = 22 − 2 + 5 = 7  M ( 2;7 ) .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị àm số y = x 2 − x + 5 dạng y = 3. ( x − 2 ) + 7  y = 3x + 1.

Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số phân biệt sao cho tổng của tám chữ số này chia hết
cho 9?
A. 201600.
B. 203400.
C. 181440.
D. 176400
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Ta có 0 +1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 chia hết cho 9.


Do đó số gồm 8 chữ số phân biệt chia hết cho 9 thì số đó phải khơng chữ 2 trong 10 chữ số
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 và có tổng chia hết cho 9.
Ta có 5 cặp số thỏa mãn: 0;9 ;1;8 ;2;7 ; 3;6 ; 4;5.
Gọi số có 8 chữ số là a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8
Trường hợp 1: Số được lập khơng chứa cặp số 0;9 . Khi đó có 8! Số thỏa mãn.
Trường hợp 2: Số được lập không chứa một trong 4 cặp số 1;8;2;7;3;6;4;5.
Với mỗi số không chứa 1 trong 4 cặp trên, ta có 7.7! số được tạo ra thỏa mãn bài tốn.
Do đó số các số gồm 8 chữ số phân biệt không chứa một trong 4 cặp số trên là: 7.7!.4
Vậy số các số gồm 8 chữ số phân biệt chia hết cho 8 là: 8!+ 7.7!.4 = 181440 số
Câu 28. Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều đã
cho bằng

a3 3
.
A.
4

a3 3

.
B.
2

a3 2
.
C.
4

a3 3
.
D.
3

Hướng dẫn giải
Chọn

A.

Vì lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích đáy: B =

a2 3
.
4

Chiều cao của lăng trị đều là: h = a.

a2 3
a3 3
.a =

.
Thể tích của khối lăng trụ là: V = B.h =
4
4
Câu 29. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =
đoạn  −1;34. Tổng S = 3m + M bằng
A. S =

13
.
2

B. S =

25
.
2

C. S =

63
.
2

1
x − x + 2 trên
2

D. S =


11
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn

y' =

A.

1
1
x + 2 −1
−
=
2 2 x+2
2 x+2

y ' = 0  x + 1 = 1  x = −1
3
f ( −1) = − ; f ( 34 ) = 11.
2
3
−9
13
 3
m = − ; M = 11.S = 3  −  + 11 =
+ 11 = .
2

2
2
 2
Câu 30. Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y =
tiệm cận đứng là
A. 12.
Chọn

C.

B. 15.

C. 13.
Hướng dẫn giải

20 + 6 x − x 2
x 2 − 8 x + 2m

có đúng hai đường

D. 17.


6 x − x 2  0 (1)
Điều kiện: 
2
 x − 8 x + 2m  0
(1)  0  x  6.
Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì phương trình f ( x ) = x 2 − 8 x + 2m = 0 có 2 nghiệm


x1 , x2 thỏa 0  x1  x2  6.





 '  0
16 − 2m  0


a. f ( 0 )  0
 2m  0


 a. f ( 6 )  0  36 − 48 + 2m  0  6  m  8.
S
8
 0
 0
2
2
S
8
 6
 6
2
2
Vì m   m  6;7. Vậy tổng các giá trị nguyên m là 6 + 7 = 13.
Câu 31. Từ một hộp đựng 2019 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 2019. Chọn ngẫu nhiên ra hai thẻ. Tính xác
suất của biến cố A = “tổng số ghi trên hai thẻ nhỏ hơn 2002”.

A.

106 − 103
.
2
C2019

B.

106 − 1
.
2
C2019

C.

106
.
2
C2019

D.

105
.
2
C2019

Hướng dẫn giải
Chọn


C.

2
.
Số phần tử của không gian mẫu là: n (  ) = C2019

Để chọn được hai thẻ có tổng số nhỏ hơn 2002 ta xét các trường hợp sau:
TH 1: chọn số 1, khi đó có 1999 cách chọn số cịn lại thuộc tập 2;3;...;2000.
TH 2: chọn số 2, khi đó có 1997 cách chọn số còn lại thuộc tập 3;...;1999.
….
TH 1000: chọn số 1000, khi đó có 1 cách chọn số cịn lại thuộc tập 1001.
Nên n ( A )

(1999 + 1)1000 = 106 , P
= 1999 + 1997 + ... + 1 =
2

106
( A) = 2 .
C2019

Câu 32. Với m là một tham số thực thì đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x 2 + x − 1 và đường thẳng y = m có
nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
A. 4.
B. 1.
Chọn

C. 2.
Hướng dẫn giải


D.

Hàm số y = x − 2 x + x − 1 có TXĐ:
3

x

D. 3.

−

2

1
3

1

x=

; y ' = 3x − 4 x + 1; y ' = 0 
3.

x = 1
2

1

+



f '( x )

+

f ( x)

−

0

0

+

+

−23 / 27
−

−1
Dựa vào BBT đồ thị hàm số y = x − 2 x + x − 1 và đường thẳng y = m có nhiều nhất là
ba giao điểm.
OA, OB, OC
Câu 33. Cho khối tứ diện OABC
có
đơi một vng góc và
OA = 3cm, OB = 4cm, OC = 10cm. Thể tích khối tứ diện OABC bằng
3


A. 20cm3 .
Chọn

2

B. 10cm3 .
C. 40cm3 .
Hướng dẫn giải

D. 120cm3 .

A.

OC ⊥ OA
 OC ⊥ ( OAB ) .
OC ⊥ OB

Ta có: 

1
3

Do đó VC .OAB = .SOAB .OC =

1
1
.OA.OB.OC = .3.4.10 = 20cm3 .
6
6


Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( 3 − x )(10 − 3x )
số g ( x ) = f ( 3 − x ) +
A. (1; + ) .

D.

2
3
g ' ( x ) = − f ' ( 3 − x ) + 2 x ( x 2 − 1)
6

= − f ' ( 3 − x ) + x ( x 2 − 1)

2

= − 3 − ( 3 − x ) 10 − 3 ( 3 − x ) ( 3 − x − 2 ) + x ( x 2 − 1)
2

= − x (1 + 3x ) (1 − x ) + x ( x − 1) ( x + 1)
2

2

2

2

2


= ( x − 1)  x3 + 2 x 2 + x − x ( 9 x 2 + 6 x + 1)
2

= ( x − 1) ( −8 x 3 − 4 x 2 )
2

= −4 x 2 ( x − 1) ( 2 x + 1)
2

( x − 2)

2

với mọi x  . Hàm

3
1 2
x − 1) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
(
6
1

B. ( 0;1) .
C. ( −;0 ) .
D.  −; −  .
2


Hướng dẫn giải
Chọn


2

2


x

g '( x)


x = 0

g '( x ) = 0   x = 1

−1
x =
2

1
−
−
2
+

0

0
-


+

1

0

-

0

-

−1 

 g ' ( x )  0  x   −;  .
2




1
2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  −; −  .
Câu 35. Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. S = 4 3a .

Chọn


2
B. S = 2 3a .
C. S = 8a 2 .
Hướng dẫn giải

D. S = 3a 2 .

B.

Mỗi mặt của bát diện đều là một tam giác đều cạnh a nên có diện tích là

a2 3
.
4

a2 3
= 2 3a 2 .
Do vậy tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều đó bằng S = 8.
4
Câu 36. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; + ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;3) .

Hướng dẫn giải
Chọn

D.
Dựa vào đồ thị ta thấy
Hàm số đồng biến trên khoảng từ ( 0;1) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng từ ( −;0 ) và ( 2; + ) .


Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) và nghịch biến trên khoảng ( 2;3) , nên hàm số khơng
đồng biến trên khoảng ( 0;3) .
Câu 37. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y =

cos x + 1
đồng biến trên khoảng
10cos x + m

 
 0;  ?
 2
A. 9.
Chọn

B. 8.

D. 11.

A.

* Đặt t = cos x ( 0  t  1)  y =
* Hàm số y =

 y' =


C. 10.
Hướng dẫn giải

t +1
m − 10
 y' =
t;
10t + m
(10t + m2 )

cos x + 1
đồng biến trên khoảng
10cos x + m

 
 0; 
 2

 
t '  0, x   0;  . Vì trên khoảng
 2
(10t + m )
m − 10

2

 
 0;  hàm số t = cos x nghịch biến
 2


 

 2

nên t '  0, x   0;
* Từ đó suy ra:

m  10
m − 10  0
 m  −10


   m  −10  
.
 m
0  m  10
− 10  ( 0;1)
m  0


m nguyên dương nên m  1, 2,...,9.

Câu 38. Cho hình chóp S. ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , SA = 1 và đáy ABC là tam
giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC.
A. 900.
Chọn

B. 600.
D.


C. 450.
Hướng dẫn giải

D. 300.


Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó, ta có

BC ⊥ SA 
  BC ⊥ ( SIA)  BC ⊥ SI
BC ⊥ AI 
( SBC )  ( ABC ) = BC

 SI ⊥ BC


Ta có  AI ⊥ BC
 SI  SBC
(
)

 AI  ( ABC )

tan SIA =

(( SBC ) , ( ABC )) = ( SI , AI ) = SIA

SA 1
=

IA
3

Suy ra SIA = 300.
Vậy

(( SBC ) , ( ABC )) = 30 .
0

Câu 39. Cho hình chóp S. ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a, tam giác ABC vng
cân tại C và AC = a 2. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng
A. 1200.
Chọn

B. 300.
C.

C. 450.
Hướng dẫn giải

D. 600.


Ta có AB = AC 2 = 2a.

Lại có AB là hình chiếu vng góc của SB trên mặt phẳng ( ABC ) .

(

)


Suy ra SB, ( ABC ) = ( SB, AB ) = SBA
Do đó tan SBA =

SA 2a
=
= 1.
AB 2a

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 450.
Câu 40. Cho hàm số y =

x+m
16
( m là tham số thực) thỏa mãn min y + max y = . Mệnh đề nào
1;2
1;2
x +1
3

dưới đây đúng?
A. m  4.
Chọn

B. 0  m  2.
C. 2  m  4.
Hướng dẫn giải

D. m  0.


A.

1− m

Ta có: y ' =

( x + 1)

2

TH1: m = 1  y = 1 loại
TH2: m  1

min y + max y =
1;2

1;2

1 + m 2 + m 16
+
=
 m = 5 (thỏa mãn)
2
3
3

TH3: m  1

min y + max y =
1;2


1;2

2 + m 1 + m 16
+
=
 m = 5 (loại)
3
2
3

Vậy m = 5 thỏa mãn.
Câu 41. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B ' C ' D ' có AB = 1, AD = 2, AA ' = 3. Thể tích của khối
chóp D.A' B ' C ' D ' là
A. V = 1.
Chọn

D.

B. V = 3

C. V = 6.
Hướng dẫn giải

D. V = 2.


Vì ABCD.A' B ' C ' D ' là hình hộp chữ nhật nên hình chóp D.A' B ' C ' D ' có đáy A' B ' C ' D '
là hình chữ nhật và chiều cao là DD '.
Theo dữ kiện đề bài ta có: DD ' = AA ' = 3, A ' D ' = AD = 2, D ' C ' = AB = 1.

Thể tích khối chóp D.A' B ' C ' D ' là

1
1
1
V = .S A ' B 'C ' D ' .DD ' = . A ' D '.D ' C '.DD ' = .2.1.3 = 2
3
3
3
Câu 42. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

(

)

Hàm số y = f x + 1 − 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
Hướng dẫn giải
Chọn

A.

Ta có: y ' =

x +1
f ' ( x + 1 − 1)
x +1


Xét hàm số y = f ( x + 1 − 1)

Khi đó y ' không xác định tại x = −1

x = 1
x = 0
 x + 1 −1 = 0
y' = 0  

 x = −2
 x + 1 − 1 = 1

 x = −3
Ta có bảng biến thiên:
x
-3
-2
−
y'
−
−
0
+
0
y
f ( 0)
−
−1


-1
||

+

0
0

1
0

−

+
+

f ( 0)

+

f ( −1)

Dựa vào BBT hàm số có 5 cực trị nên chọn đáp án
Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A' B ' C '

−1

A.
có đáy


là

tam

giác

vuông

và

AB = BC = a, AA ' = a 2, M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM và B ' C bằng


A. d =

a 7
.
7

B. d =

a 2
.
2

C. d =

a 3
.

3

D. d =

a 6
.
6

Hướng dẫn giải
Chọn

A.

Gọi N là giao điểm của B ' B. Ta có MN / / B ' C  ( AMN ) / / B ' C

(

)

(

)

(

)

Do đó d ( AM , B ' C ) = d B ' C , ( AMN ) = d B ', ( AMN ) = d B, ( AMN ) = d
Xét tứ diện vng B. AMN có
Vậy d =


1
1
1
1
1
4
2
7
=
+
+
= 2 + 2 + 2 = 2.
2
2
2
2
d
BA
BM
BN
a
a
a
a

a 7
7

Câu 44. Cho hình chóp S. ABCD có SA = a, SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình vng. Gọi M là

trung điểm của AD, góc giữa ( SBM ) và mặt đáy bằng 450. Tính khoảng cách từ D đến mặt
phẳng ( SBM ) .
A.

a 2
.
2

B.

a 3
.
2

C. a 2.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn

A.

Ta có: ( SBM )  ( ABCD ) = BM
0
Kẻ AH ⊥ BM  Góc giữa ( SBM ) và mặt đáy là SHA và SHA = 45 .

Do đó SAH là tam giác vng cân, SH = a 2.

a 2

.
3


Kẻ AK ⊥ SH  d ( A, ( SBM ) ) = AK =

a 2
.
2

Vì M là trung điểm của AD nên d ( D, ( SBM ) ) = d ( A, ( SBM ) ) =

a 2
2

Câu 45. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên.

(

)

Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f x 3 − 3x là
A. 7.

B. 9.

Chọn

C. 11.
Hướng dẫn giải


D. 5.

B.

(

) (

 x = 1

)

2
3
Ta có g ' ( x ) = 3 x − 3 f ' x − 3 x = 0  

3
 f ' ( x − 3 x ) = 0

 x3 − 3x = t ( −2  t )

Dựa vào đồ thị ta có f ' ( x3 − 3x ) = 0   x3 − 3x = u ( −2  u  0 )(*)
 3
 x − 3x = v ( 0  v  2 )
Xét h ( x ) = x 3 − 3x  h ' ( x ) = 3x 2 − 3 = 0  x = 1 ta có bảng biến thiên sau:

x
y'
y


−

−1
0
2

+

+

1
0

−

+

+

−2

−

Dựa vào bảng biến thiên ta được (*) có 7 nghiệm phân biệt khác 1 nên g ' ( x ) = 0 có 9

(

)


nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số g ( x ) = f x 3 − 3x có 9 cực trị.
Câu 46. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

x
f '( x )

−

0
0

+

, dấu của đạo hàm được cho bởi bảng

−

2
0

+
+

Hàm số y = f ( 2 x − 2 ) nghịch biến trong khoảng nào?
A. ( −; −1) .

B. (1;2 ) .

C. ( −1;1) .
Hướng dẫn giải


Chọn
B.
Từ bảng xét dấu của đạo hàm ta có:

f ' ( x )  0  0  x  2.
x  0
f '( x)  0  
.
x

2


D. ( 2; + ) .


y ' = 2 f ' ( 2x − 2).

y '  0  f ' ( 2 x − 2 )  0  0  2 x − 2  2  1  x  2.
Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

x
y'

−

−

1

0

2
0

+

3
0

+

-

(

4
0

+
+

)

Biết f ( 2 ) + f ( 6 ) = 2 f ( 3) . Tập nghiệm của phương trình f x 2 + 1 = f ( 3) có số phần tử
bằng
A. 5.

B. 3.


C. 2.
Hướng dẫn giải

D. 4.

Chọn
D.
Theo đề bài f ( 2 ) + f ( 6 ) = 2 f ( 3)  f ( 2 ) − f ( 3) = f ( 3) − f ( 6 ) .
Do f ( 2 )  f ( 3)  f ( 3) − f ( 6 )  0  f ( 3)  f ( 6 ) .
Do X = x 2 + 1  1.
Ta có bảng biến thiên
X
1
2
0
+
0
f '( X )

+

3
0

−

4
0

b

+

f (X )

f ( 3)

f (1)

 x2 + 1 = 3
.
Ta có f ( x + 1) = f ( 3)   2
 x + 1 = b ( 4  b  6 )( 2 )
Xét đồ thị hàm số y = x 2 + 1( P ) .
2

Dựa vào đồ thị ( P ) suy ra:
+ Phương trình x 2 + 1 = a vơ nghiệm.
+ Phương trình x 2 + 1 = 3 có 2 nghiệm phân biệt.
+ Phương trình x2 + 1 = b có 2 nghiệm phân biệt.

(

)

+

f ( 6)

f ( 4)


Vậy phương trình f x 2 + 1 = f ( 3) có 4 nghiệm phân biệt.

+

6


Câu 48. Cho lăng trụ ABC. A' B ' C ' diện tchs đáy bằng 3 và chiều cao bằng 5. Gọi M , N , P lần lượt là
trung điểm của AA ', BB ', CC '.G , G ' lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC , A ' B ' C '. Thể tích
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm G , G ', M , N , P bằng
A. 3.
Chọn

B. 6.

C. 10.
Hướng dẫn giải

D. 5.

D.

Diện tích tam giác MNP là S MNP = S ABC = 3.

mp ( MNP ) song song với mp ( ABC ) và mp ( A ' B ' C ') .
Ta có d ( G; ( MNP ) ) = d ( G '; ( MNP ) ) =

1
5
d ( G; ( A ' B ' C ' ) ) = .

2
2
Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm G , G ', M , N , P là

1
1 5
V = 2.VG .MNP = 2. .S MNP .d ( G; ( MNP ) ) = 2. .3. = 5.
3
3 2
Câu 49. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình bên.

Trong các giá trị a, b, c, d có bao nhiêu giá trị âm?
A. 1.
Chọn

B. 3.

C. 4.
Hướng dẫn giải

D.

Quan sát đồ thị ta thấy:
+) Dựa vào dáng đồ thị suy ra a  0.

D. 2.


+) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm suy ra d  0
+) y ' = 3ax 2 + 2bx + c

Do hai điểm cực trị trái dấu nên suy ra PT y ' = 0 có hai nghiệm trái dấu suy ra a, c trái dấu.
Vậy c  0
+) y " = 6ax + 2b
Do điểm uốn có hồnh độ dương nên a, b trái dấu, do đó b  0
Vậy chỉ có a  0, d  0.
Câu 50. Một công ty cần xây dựng một kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật (bằng vật liệu gạch và xi
măng) có thể tích 2000m3 , đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Người ta
cần tính tốn sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất, biết giá xây dựng là 750.000 đ/m2. Khi đó
chi phí thấp nhất gần với số nào dưới đây?
A. 742.935.831.
B. 742.963.631.
C. 742.933.631.
D. 742.833.631.
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Gọi chiều rộng của đáy hình chữ nhật là x ( m ) thì chiều dài của đáy là 2x ( m ) với x  0.
Chiều cao của kho chứa là h ( m ) với h  0.
Theo giả thiết, ta có x.2 x.h = 2000  h =

1000
.
x2

2
Diện tích tồn phần của kho chứa là S = 2 x.2 x + 2.2 x.h + 2.x.h = 4 x +

6000
.
x


Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích tồn phần của kho chứa phải nhỏ nhất.
Ta có S ' = 8 x −

6000 8 x3 − 6000
=
.
x2
x2

S ' = 0  8x3 − 6000 = 0  x = 5 3 6.
Bảng biến thiên

x

0

S'
S

−

+

53 6
0

+

S min


(

)



(

Vậy S min = S 5 3 6  chi phí thấp nhất là  4. 5 3 6



)

2

+

6000 
.750000  742933631.
5 3 6 