1/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
TỔ TỐN

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ I
Mơn: TỐN 7
Năm học: 2021-2022

Phạm vi ôn tập
* Đại số: Đến hết bài 10. Làm trịn số (Chương I)
* Hình học: Tồn bộ chương I.
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
A. ĐẠI SỐ
Các phép toán trên tập hợp số hữu tỉ, lũy thừa của một số hữu tỉ, tính chất của tỉ lệ
thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, khái niệm về giá trị tuyệt đối, căn bậc hai.
1. Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trong tập hợp số hữu tỉ.
+)

a b ab
;
 
m m
m

+)

a c ad  bc
;
 
b d
bd

+)

a c ac
;
 
b d bd

+)

a c a d ad
.
:   
b d b c bc

2. Lũy thừa của một số hữu tỉ. (Nắm được các cơng thức và tính chất)
n

an
a
+)    n ;
b
b


+) a m .a n  a m  n ;
+) a n : a m  a n  m (a  0; n  m) ;
+)  a n    a m   a m.n .
m

n

+)  ab   a n .b n ;
n

+)  abc   a nb n c n ;
n

n

+) a n : b n 

an  a 
   (b  0)
bn  b 

Nhóm Tốn THCS:
/>

2/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê


+) a1  a; x 0  1( x  0)
+) x 2  a 2  x   a ; x 3  a 3  x  a .
3. Giá trị tuyệt đối của một số.
+) x  x  x  0; x   x  x  0
+) x  a  a  0   x   a
+) x  0  x  0 ;
+) x  a  a  0  - không tồn tại giá trị của x .
+) x  0, x ;
+) x  y  x   y ;
4. Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
+)

a c
  ad  bc  b  0, d  0 
b d

+) ax  by 

x y
  a, b  0 
b a

+)

a c
a b
    a , b, c , d  0 
b d
c d


+)

x y
x y x y x y
(các mẫu phải khác 0)
   

a b
a b a b a b

x y z
x y z x  y  z x  y  z x  y  z x  y  z
(các mẫu
     



a b c
a b c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c
khác 0)

+)

+) x, y, z tỉ lệ với a, b, c nếu
+) Đặt

x y z
  . Ta viết: x : y : z  a : b : c
a b c


x y
  k  x  ak ; y  bk .
a b

5. Số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, vơ hạn tuần hồn; Quy ước làm
trịn số.
B. HÌNH HỌC
Hai góc đối đỉnh, đường thẳng song song, đường thẳng vng góc.
Nhóm Tốn THCS:
/>

3/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

1. Hai góc đối đỉnh, tính chất, dấu hiệu nhận biết.
2. Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song.
+) Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
+) Tính chất của hai đường thẳng song song.
3. Hai đường thẳng vng góc, song song.
a //b
+) 
cb
c  a
 a  c, b  c
+) 

 a //b
a  b
+) a //b, b //c, a  b  a //b
4. Viết GT, KL của một định lý, bài toán.
II. BÀI TẬP. THAM KHẢO
A. Trắc nghiệm
Hãy khoanh tròn vào các chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:.
Câu 1:

Với x   , khẳng định nào sau đây là sai:
A. x  x ( x  0) .

B. x  x ( x  0) .

C. x  0 nếu x  0 .

D.

x  0 nếu

C. x 6  x 2 .

D. x10  x 2 .

x0.
Câu 2:

Với x là số hữu tỉ khác 0 , tích x 6 .x 2 bằng:
A. x12 .


Câu 3:

Phân số không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là:
A.

Câu 4:

3
.
12

Cho biết
A.

Câu 5:

B. x 9 : x .

B.

7
.
35

C.

3
.
21


D.

7
.
25

C.

2
.
3

D.

6
.
5

5 2
 , khi đó x có giá trị là:
x 3

10
.
3

Cho a  b  c  0 và

B. 7,5 .


a b c
a  2b  c
  . Tìm giá trị của H 
2 3 4
abc

Nhóm Tốn THCS:
/>

4/
29

Nhóm Tốn THCS
A. H 
Câu 6:

Tốn học là đam mê

3
.
4

B. H 

4
.
3

C. H  12 .


D. H 

1
.
12

Khẳng định nào sau đây đúng
A. Hai góc có chung đỉnh thì bằng nhau.
B. Hai góc bằng nhau và có một cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia là
hai góc đối đỉnh.
C. Hai góc bằng nhau có đỉnh chung là hai góc đối đỉnh.
D. Hai góc cùng kề bù với một góc thứ 3 thì đối đỉnh.

Câu 7:

Cho đường thẳng d . Có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng vng góc với d .
A. 1 .

Câu 8:

B. 2 .

D. Vô số.

Số đường trung trực của một đoạn thẳng là bao nhiêu?
A. 1 .

Câu 9:

C. 3 .


B. 2 .

C. 3 .

D. Vô số.

Ba đường thẳng xx, yy , zz  cắt nhau tại O . Khi đó có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh khác
góc bẹt?
B. 6 .

A. 2 .

C. 3 .

D. 8 .

Câu 10: Cho a ∥ b, b ∥ c và d  a . Lập luận nào sau đây sai?
A. a ∥ c vì cùng vng góc với b .

B. a ∥ c vì cùng song song với b .

C. d  b vì d  a và a ∥ b .

D. d  c vì d  b và b∥ c .

B. Tự luận
Dạng 1 : Thực hiện các phép tính
Bài 1:


Tính giá trị của các biểu thức sau:
 1 2 12   5 1 
a) A   2        ;
 5 7 13   7 13 

b) B 

12 5 12 1
1
. 
. 
.12 ;
17 7 17 7 17.7

1
1
c) B    2 
6
3

Bài 2:

2

 13 
:  3  .
 36 

Tính giá trị của các biểu thức sau:


Nhóm Tốn THCS:
/>

5/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

2
1  2 
a) A 
;


5
5
5
2

0

1
2 1
1

b) 2  3    2 .4   2  :  .8 ;
2
9 2


3

 2 
c) C   
 3 

3

2

40 29
 2  2 .3
:    13 15 .
 3  8 .9

Dạng 2: Tìm x .
Bài 3:

Tìm x biết
a)  2 x  1, 4  1,5  3x   0 b)
c)

Bài 4:

2x 1
x4
 x
0
3 6

2

x  3 3 1  5 x 13 x  1
d)
.



5
2
2
36
3

Tìm x biết
a) 2 x 

x3 5
1 1
 0
 b)
1, 5
6
5 2

4 1, 6
x2
2x 1
c) 2 x : 
 0 d)


5 4
5
3
2

1
 2x 1 
e) 
  .
4
 3 

Bài 5:

Tìm x , biết: a)

5
x4
x3
3
3
; b)
; c) 2 x 2   6  : 27  0


x 3
12
12
x3


Dạng 3: Tìm GTLN,GTNN.
Bài 6:

Tìm GTNN của biểu thức: a) P  2 x  4  5 ; b) E   2 x  7  

Bài 7:

Tìm GTLN của biểu thức: A   x 2  5 .

2

2
.
5

Dạng : Tìm x , y , z
Bài 8:

Tìm x, y, z biết:
a) 2 x  5 y , 3 x  y  1

Nhóm Tốn THCS:
/>
b)

x y
 và x 2  2 xy  16
2 3



6/
29

Nhóm Tốn THCS
c)
Bài 9:

Tốn học là đam mê

x 3

 y và x3  y 3  91 .
2 5

Tìm x, y, z biết:
a) 3 x  5 y; 2 y  3 z; x  y  z  2

b)

x y
z
 
; x 2  y 2  52
2 3 5

Dạng 5: Luỹ thừa
Bài 10:

Tìm số tự nhiên n sao cho

a) 2 n  2n3  72

b) 9 : 27 n 

1
81

c) (5n ) 2  2511

Dạng 6: Chứng minh tỉ số bằng nhau
Bài 11:

Cho

a c
 và a , b, c, d khác 0 . Chứng minh rằng:
b d

a 2 2a 2  3b 2
a) 2  2
c
2c  3d 2
Bài 12:

Cho

4 x  5 y 5 z  3x 3 y  4 z
.



3
4
5

b)
CMR:

2a  3c 2b  3d
.

c
d

x y z
  .
5 4 3

Dạng 7: Toán đố, suy luận
Bài 13:

Bài 14:

Ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển đi

1
1
số thóc ở kho I, số thóc ở kho II,
5
6


1
số thóc ở kho III thì số thóc cịn lại ở ba kho bằng nhau. Tìm số tấn thóc của mỗi
11
kho lúc đầu.
Có 2011 số hữu tỉ sao cho bất kì 3 số nào trong chúng cũng có tổng là một số âm. Chứng
minh rằng tổng của 2011 số đó là một số âm.

Dạng 8: Tính góc, chứng minh song song, vng góc
Bài 15:

7 

Cho hình vẽ: biết a  c, b  c 
A1  A
2 . Tính B1 ?
11

Nhóm Tốn THCS:
/>

7/
29

Nhóm Tốn THCS

Bài 16:

Tốn học là đam mê

Cho tam giác ABC có AB  AC . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy M

  ABC
 và AM  AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy
sao cho BAM

N sao cho CAN
ACB  và AN  AC . Từ A vẽ đường thẳng d  BC . Chứng minh:
Đường thẳng d là trung trực của đoạn MN .

Bài 17:
Bài 18:
Bài 19:


Cho tam giác ABC , vẽ tia Ax là tia đối của tia AB . Chứng minh CAx
ABC  
ACB .
Vẽ hình và ghi GT, KL của định lý sau: Nếu một đường thẳng vng góc với một trong
hai đường thẳng song song thì nó cũng vng góc với đường thẳng kia.
Cho góc vuông xOy . Lấy A thuộc tia Ox , B thuộc tia Oy ( OA  OB ). Từ A kẻ
đường thẳng song song với Oy , từ B kẻ đường thẳng song song với Ox , chúng cắt
nhau ở C .
a) Tính góc ACB ;
b) Kẻ tia phân giác của góc xOy , cắt AC ở D . Tính góc ADO ;
c) Kẻ tia phân giác của góc ACB , cắt OB ở E . Chứng minh OD //CE .

Bài 20:

Cho hình vẽ bên:

  90

Biết Ax / / By , 
yBA  140 , BAD

AED  40 , 
ADC  50

;
a) Tính BAE
Nhóm Tốn THCS:
/>

8/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

b) Chứng minh ED  DA

  40 . Chứng minh
c) Trên nửa mặt phẳng bờ là DE không chứa điểm A vẽ EDN
NC //By
HẾT

Nhóm Tốn THCS:
/>

9/
29


Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D


B

C

B

C

B

D

A

B

A

Câu 1:

Với x   , khẳng định nào sau đây là sai:
A. x  x ( x  0) .

B. x  x ( x  0) .

C. x  0 nếu x  0 .

D.

x  0 nếu


C. x 6  x 2 .

D. x10  x 2 .

x0.
Lời giải
Chọn D
Câu 2:

Với x là số hữu tỉ khác 0 , tích x 6 .x 2 bằng:
A. x12 .

B. x 9 : x .
Lời giải

Chọn B
Ta có x 6 .x 2  x 8  x 9 : x .
Câu 3:

Phân số không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là:
A.

3
.
12

B.

7

.
35

C.

3
.
21

D.

7
.
25

C.

2
.
3

D.

6
.
5

Lời giải
Chọn C.
Câu 4:


Cho biết
A.

10
.
3

5 2
 , khi đó x có giá trị là:
x 3

B. 7,5 .
Lời giải

Chọn B

Nhóm Tốn THCS:
/>

10/
29

Nhóm Tốn THCS
Ta có

Tốn học là đam mê

5 2


x 3

2 x  15
x

Câu 5:

15
 7, 5 .
2

Cho a  b  c  0 và
A. H 

3
.
4

a b c
a  2b  c
  . Tìm giá trị của H 
2 3 4
abc

B. H 

4
.
3


C. H  12 .

D. H 

1
.
12

Lời giải
Chọn C
Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a  2b  c a  2b  c
  

(1)
2 3 4 264
12
a b c abc abc
  

 a  b  c. (2)
2 3 4 2  3 4
1

Từ (1) và (2) ta có

a  2b  c
 a  b  c.
12


a  2b  c
 12 .
abc

Câu 6:

Khẳng định nào sau đây đúng
A. Hai góc có chung đỉnh thì bằng nhau.
B. Hai góc bằng nhau và có một cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia là
hai góc đối đỉnh.
C. Hai góc bằng nhau có đỉnh chung là hai góc đối đỉnh.
D. Hai góc cùng kề bù với một góc thứ 3 thì đối đỉnh.
Lời giải
Chọn B.

Câu 7:

Cho đường thẳng d . Có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng vng góc với d .
A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .
Lời giải

Nhóm Tốn THCS:
/>
D. Vô số.



11/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

Chọn D.
Câu 8:

Số đường trung trực của một đoạn thẳng là bao nhiêu?
A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. Vô số.

Lời giải
Chọn A.
Câu 9:

Ba đường thẳng xx, yy , zz  cắt nhau tại O . Khi đó có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh khác
góc bẹt?
B. 6 .

A. 2 .

C. 3 .

Lời giải

Chọn B
Quan sát hình vẽ thấy có 6 cặp góc đối
đỉnh.
Câu 10: Cho a ∥ b, b ∥ c và d  a . Lập luận nào
sau đây sai?
A. a ∥ c vì cùng vng góc với b .
B. a ∥ c vì cùng song song với b .
C. d  b vì d  a và a ∥ b .
D. d  c vì d  b và b∥ c .
Lời giải
Chọn A
Sửa lại thành a ∥ c vì cùng song song với b .

B. PHẦN TỰ LUẬN:
Bài 1:

Tính giá trị của các biểu thức sau:
 1 2 12   5 1 
a) A   2        ;
 5 7 13   7 13 

b) B 

12 5 12 1
1
. 
. 
.12 ;

17 7 17 7 17.7

1
1
c) C    2 
6
3

2

 13 
:  3  .
 36 

Nhóm Toán THCS:
/>
D. 8 .


12/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê
Lời giải

 1 2 12   5 1 
a) A   2       
 5 7 13   7 13 

 11 2 12  5 1
A
   
7 13  7 13
 5
A

11 2 12 5 1
   
5
7 13 7 13

A

11 2 12 5 1
   
5
7 13 7 13

 2 5   12 1  11
A      
 7 7   13 13  5
A  1   1 
A

11
5

11
.

5

b) B 

12 5 12 1
1
12 5 12 1 12
12
12  5 1 1  12
. 
. 
.12  .  . 
      .1  .
17 7 17 7 17.7
17 7 17 7 17.7 17  7 7 7  17
17
2



Bài 2:

2

2

1   13   1 13   121   11   36 
1
C    2  :  3      :  
 

 . 

6   36   3 6   36   6   121 
3

c)
121  36 
. 
  1 .
36  121 

Tính giá trị của các biểu thức sau:
2
1  2 
a) A 
;


5
5
5
2

0

1
2 1
1

b) 2  3    2 .4   2  :  .8 ;

2
9 2

3

 2 
c) C   
 3 

3

2

40 29
 2  2 .3
:    13 15 .
 3  8 .9

Lời giải

Nhóm Toán THCS:
/>

13/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê


2
  2  1 4 2
1  2 
4
 1 
a) A 


   

    1 .
5
5
5
5
5 5 5
 5    5 
2

0

1
1
2 1
1

b) 2  3    2 .4   2  :  .8  8  3.1  .4   4.2  .8  8  3  1  64  74 .
4
2
9 2


3

 2 
c) C   
 3 

Bài 3:

3

2

40 29
240.329
2 240.329 2 2
 2 
 2  2 .3


:    13 15    

  0.
13
15
3 239.330
3 3
 3  8 .9
 3   23  .  32 


Tìm x biết
a)  2 x  1, 4  1,5  3x   0
b)

2x 1
x4
 x
0
3 6
2

c)

x  3 3

5
2

d)

1  5 x 13 x  1
.


2
36
3

Lời giải
a)  2 x  1, 4  1,5  3x   0

7

 x   10
 2 x  1, 4  0
 2 x  1, 4



 1,5  3 x  0
3 x  1, 5
x  1

2
 7 1
Vậy, x   ; 
 10 2 

b)

2x 1
x4
 x
0
3 6
2

2x 1
x
 x 20
3 6

2

2 1 1
x     2
3 6 2

0 x  2 (vô lí)

Nhóm Tốn THCS:
/>

14/
29

Nhóm Tốn THCS
Vậy khơng tồn tại x để
c)

Tốn học là đam mê
2x 1
x4
 x
0
3 6
2

x  3 3

5
2


  x  3 .2   3 .5

2 x  6  15
2 x  21
x

21
2

Vậy x 
d)

21
.
2

1  5 x 13 x  1


2
36
3

1 5 x 13 x 1


 
2 2 36 3 3
x 5 x 13 1 1



 
3 2 36 3 2
x 5 x 13 18 12


 
3 2 36 36 36

 1 5  17
x   
 3 2  36
 13  17
x

 6  36
x

17  13 
:

36  6 

x

17
78

Vậy x 

Bài 4:

17
.
78

Tìm x biết

Nhóm Tốn THCS:
/>

15/
29

Nhóm Tốn THCS
a) 2 x 

b)

Tốn học là đam mê

1 1

5 2

x3 5
 0
1, 5
6


4 1, 6
c) 2 x : 
0
5 4

d)

x2
2x 1

5
3
2

1
 2x 1 
e) 
  .
4
 3 

Lời giải
a) 2 x 

1 1

5 2

1 1
1 1



2x  5  2
2x  2  5


2x  1   1
2x   1  1


5
2
2 5
3
3
3



 2 x  10
 x  10 : 2
 x  20



2 x   7
x   7 : 2
x   7




10
10
20

 3 7 
Vậy x   ; 
 20 20 

b)

x3 5
 0
1, 5
6



x3 5

1, 5
6

 x  3 5
5.1,5

 1,5  6
x  3  6



x3 5
 x  3  5.1,5
 1,5  6

6


Nhóm Tốn THCS:
/>

16/
29

Nhóm Tốn THCS

x  3 

x  3 


5

x 
4

5
x 

4


Toán học là đam mê
5
17

3
x

4
4

5
x   7
3

4
4

 17 7 
Vậy x   ;  
4
 4
4 1, 6
c) 2 x : 
0
5 4
 2x :

4 2

5 5


2 4 8
 2x  . 
5 5 25
 x

8
4
:2 
25
25

Vây x 
d)

4
.
25

x2
2x 1

5
3

 x  2 1  2x
 5  3
3  x  2   5 1  2 x 



3  x  2   5  2 x  1
 x  2  2x 1
 5
3
3 x  6  5  10 x
3 x  10 x  5  6


3 x  6  10 x  5
3 x  10 x  5  6
1

x

3 x  10 x  5  6
13 x  1
13



3
x

10
x


5

6


7
x


11
11


x 

7
 1 11 
Vậy, x   ; 
 13 7 
2

1
 2x 1 
e) 
 
4
 3 

Nhóm Tốn THCS:
/>

17/
29


Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

 2 x  1  2  1  2
1
 2x 1


   

3
2

 

3
2


2
 2x 1 2
 2x 1  1
 1

  
 3
2
 3   2 


1
 2x 1



 3
2x 1 
2


 2x 1  1
2x 1 
 3

2

2x 1 

2x 1 


2x 

2x 


3

2x 
2


3
2x 

2

3

1
2x 
2

3
2x 
1

2

3
2
3
2

3
1
2
3
1
2
1


x 
2

5
x 

2

1
1
:2 
2
4
5
5
:2 
2
4

 1 5 
Vậy, x   ;  .
 4 4

Bài 5:

Tìm x , biết: a)

5
x4

x3
3
3
; b)
; c) 2 x 2   6  : 27  0 .


x 3
12
12
x3

Lời giải
a) Ta có:

 x  4  .2  10  2 x  8  2 x  18  1
5
x4
5.2
suy ra


x 3
12
12.2
2x  6
24
2 x  18
 x  3 .2


5
1 x  3  5  x  8 .
x3
Vậy x  8
x3
3
2
b) Ta có:

  x  3  36  x  3  6 hoặc x  3  6 . Suy ra x  3 hoặc
12
x3
x  9 .
Vậy x  3 hoặc x  9 .
c) Ta có:

Với

2 x 2   6  : 27  0
3

2 x 2   216  : 27  0
Nhóm Tốn THCS:
/>

18/
29

Nhóm Tốn THCS


Tốn học là đam mê

2 x 2   8   0
2 x2  8
x2  4
Suy ra x  2 hoặc x  2 .
Vậy x  2 hoặc x  2 .

Dạng 3: Tìm GTLN,GTNN.
Bài 6:

Tìm GTNN của biểu thức: a) P  2 x  4  5 ; b) E   2 x  7  
2

2
.
5

Lời giải
a) Vì 2 x  4  0  2 x  4  5  0  5  2 x  4  5  5
Vậy

giá

trị

nhỏ

nhất


của

biểu

thức

P là

5

khi

2
5

khi

2 x  4  0  2 x  4  0  2 x  4  x  2
b) Vì  2 x  7   0   2 x  7  
2

Bài 7:

Vậy

giá

2x  7

2


2

trị

nhỏ

2
2
2 2
2
 0    2x  7   .
5
5
5 5

nhất

của

 0  2 x  7  0  2 x  7  x 

biểu

thức

7
.
2


Tìm GTLN của biểu thức: A   x 2  5 .
Lời giải
Vì x 2  0  0  x 2  0  0   x 2  5  0  5   x 2  5  5 .
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 5 khi x 2  0  x  0 .

Bài 8:

Tìm x, y, z biết:
a) 2 x  5 y , 3 x  y  1
x y
 và x 2  2 xy  16
2 3
x 3
c) 
 y và x3  y 3  91 .
2 5

b)

Lời giải
a) 2 x  5 y , 3 x  y  1
Ta có: 2 x  5 y 

x y
3x y



5 2
15 2


Nhóm Tốn THCS:
/>
E

là


19/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3x y 3x  y 1
 

15 2 15  2 17

Với

x 1
5

x
5 17
17


Với

y 1
2

 y
2 17
17

Vậy x 
b.

5
2
;y 
17
17

x y
 và x 2  2 xy  16
2 3

Đặt

x y
  k  x  2 k ; y  3k
2 3

Thay x  2k ; y  3k vào biểu thức x 2  2 xy  16 , ta được:
k  1

(2k ) 2  2(2k )(3k )  16  4k 2  12k 2  16  16k 2  16  k 2  1  
 k  1
Với k  1  x  2; y  3
Với k  1  x  2; y  3
Vậy x  2; y  3 hoặc x  2; y  3
c)

x 3

 y và x3  y 3  91 .
2 5

Ta có:
Giả sử:

x 3
x
y

y 

2 5
6 5
x
y
  k  x  6k , y  5k .
6 5

Theo đề bài ta có: x3  y 3  91
Nên  6k    5k   91  216k 3  125k 3  91  91k 3  91  k 3  1  k  1

3

3

Suy ra: x  6.  1  6

y  5.  1  5
Nhóm Toán THCS:
/>

20/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

Vậy ( x; y )   6;  5 .
Bài 9:

Tìm x, y, z biết:
a) 3 x  5 y; 2 y  3 z; x  y  z  2
b)

x y
z
 
; x 2  y 2  52 .
2 3 5


Lời giải
a) Từ 3 x  5 y 
Từ 2 y  3 z 
Từ 1 ,  2  

x y
 (1)
5 3

y
z

(2)
3 2

x y
z
x yz
2 1
 



5 3 2 5  3  (2) 10 5

x 1

5  5
x  1



3
y 1

 
 y 
5
3 5

2
 z 1

 2  5
 z  5

 3 2 
Vậy ( x; y; z )   1; ; 
 5 5 

b) Giả sử

x y
z
 
 k  x  2k , y  3k , z  5k .
2 3 5

Theo đề bài x 2  y 2  52
 4 k 2  9 k 2  52
 13k 2  52

 k2  4

 k  2
Với k  2  x  4; y  6; z  10
Với k  2  x  4; y  6; z  10
Vậy ( x, y, z )  (4;6;  10);(4;  6;10)

Nhóm Tốn THCS:
/>

21/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

Dạng 5: Luỹ thừa
Bài 10:

Tìm số tự nhiên n sao cho
a) 2 n  2n3  72

b) 9 : 27 n 

1
81

.
Lời giải

a) 2 n  2n3  72
2n (1  23 )  72
2 n.9  72
2n  8

2 n  23

n3
Vậy n  3 .
b) 9 : 27 n 
27 n  9 :

1
81

1
81

27 n  729
27 n  27 2

n2
Vậy n  2 .
c) (5n ) 2  2511
52 n  52.11

 n  11
Vậy n  11 .
Dạng 6: Chứng minh tỉ số bằng nhau
Bài 11:


Cho

a c
 và a , b, c, d khác 0 . Chứng minh rằng:
b d

Nhóm Toán THCS:
/>
c) (5n ) 2  2511


22/
29

Nhóm Tốn THCS
a)

Tốn học là đam mê

a 2 2a 2  3b 2

c 2 2c 2  3d 2

b)

2a  3c 2b  3d
.

c

d

Lời giải
a)

a 2 2a 2  3b 2

c 2 2c 2  3d 2

Ta có:

a c
a b
a 2 b2
    2  2
b d
c d
c
d

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Hay
b)

a 2 b 2 2a 2 3b 2 2a 2  3b 2




c 2 d 2 2c 2 3d 2 2c 2  3d 2


a 2 2a 2  3b 2

( đpcm).
c 2 2c 2  3d 2

2a  3c 2b  3d
.

c
d

Ta có:

a c 2a 3c
 

b d 2b 3d

Áp
dụng
tính
chất
dãy
tỉ
số
bằng
a c 2a 3c 2a  3c
c 2a  3c
2a  3c 2b  3d

 


 


b d 2b 3d 2b  3d
d 2b  3d
c
d

Bài 12:

Hay

2a  3c 2b  3d
( đpcm).

c
d

Cho

4 x  5 y 5 z  3x 3 y  4 z
.


3
4
5


CMR:

nhau

ta

có:

x y z
  .
5 4 3

Lời giải
Ta có:

4 x  5 y 5 z  3x 3 y  4 z
12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z





3
4
5
9
16
25


Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z 12 x  15 y  20 z  12 x  15 y  20 z
0




0
9
16
25
9  16  25
9  16  25

12 x  15 y  0
x y z

Từ đó ta có: 20 z  12 x  0  12 x  15 y  20 z    (đpcm)
5 4 3
15 y  20 z  0


Nhóm Tốn THCS:
/>

23/
29

Nhóm Tốn THCS


Tốn học là đam mê

Dạng 7: Tốn đố, suy luận
Bài 13:

Ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển đi

1
1
số thóc ở kho I, số thóc ở kho II,
5
6

1
số thóc ở kho III thì số thóc cịn lại ở ba kho bằng nhau. Tìm số tấn thóc của mỗi
11
kho lúc đầu.

Lời giải
Gọi số thóc lúc đầu ở ba kho I, II, III lần lượt là a , b , c (tấn). ( 0  a, b, c  710 ).
Ba kho thóc có 710 tấn nên: a  b  c  710 .
Sau khi chuyển đi

1
4a
số thóc thì số thóc cịn lại ở kho I là:
(tấn).
5
5


Sau khi chuyển đi

1
5b
số thóc thì số thóc cịn lại ở kho II là:
(tấn).
6
6

Sau khi chuyển đi

1
10c
số thóc thì số thóc cịn lại ở kho I là:
(tấn).
11
11

Vì sau khi chuyển thì số thóc ở ba kho bằng nhau nên:

4a 5b 10c
.


5
6
11

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
4a 5b 10c

4a 1 5b 1 10c 1
a
b
c
abc
710




 







 10
5
6
11
5 20 6 20 11 20
25 24 22 25  24  22 71

 a  250

 b  240
c  220


Vậy số thóc lúc đầu ở ba kho I, II, III lần lượt là 250 tấn, 240 tấn, 220 tấn.
Bài 14:

Có 2011 số hữu tỉ sao cho bất kì 3 số nào trong chúng cũng có tổng là một số âm. Chứng
minh rằng tổng của 2011 số đó là một số âm.
Lời giải
Vì tổng 3 số bất kì trong 2011 sô hữu tỉ là một số âm nên trong 2011 có ít nhất một số
âm ( vì nếu tất cả các số đều dương thì tổng 3 số bất kì là số dương). Chọn riêng số âm
đó cịn 2010 số ta chia thành 670 nhóm mỗi nhóm 3 số và tổng mỗi nhóm là số âm. Khi
đó tổng 2011 số ta viết thành tổng của 671 số âm, tổng này là số âm.
Vậy tổng 2011 số đã cho là một số âm.

Nhóm Tốn THCS:
/>

24/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê

Dạng 8: Tính góc, chứng minh song song, vng góc
Bài 15:

7 

Cho hình vẽ: biết a  c, b  c 
A1  A
2 . Tính B1 ?

11

.
Lời giải
Ta có 
A1  
A2  1800 ( Vì hai góc kề bù)
7 
Mà 
A1  A
2 nên
11

7  
18 
0
A2  A2  1800  A
2  180
11
11
  1800 : 18  1100
A
2
11
7

A1  .1100  700
11

Vì a  c, b  c  a / /b ( theo tính chất từ vng góc đến song song)


 ( hai góc đồng vị)

A1  B
1
  700
B
1
Bài 16:

Cho tam giác ABC có AB  AC . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy M
  ABC
 và AM  AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy
sao cho BAM

N sao cho CAN
ACB  và AN  AC . Từ A vẽ đường thẳng d  BC . Chứng minh:
Đường thẳng d là trung trực của đoạn MN .
Lời giải

Nhóm Tốn THCS:
/>

25/
29

Nhóm Tốn THCS

Tốn học là đam mê


A

M

B

N

C

H
d

AB  AC (gt) 

AM  AB (gt)   AM  AN (1)
AN  AC (gt) 
  ABC
 mà 2 góc ở vị trí so le trong suy ra AM // BC (dhnb)
Ta có: BAM

Ta có: CAN
ACB  mà 2 góc ở vị trí so le trong suy ra AN // BC (dhnb)
Vì

AM / / BC 
  A, M , N thẳng hàng (Tiên đề Ơclit) (2)
AN / / BC 

 MN / / BC (định lí 3 đường thẳng song song)


Có

d  BC


  d  MN (Từ vng góc đến song song) (3)
MN / / BC 
Từ (1) và (2)  A là trung điểm MN (4)

Từ (3) và (4)  d là đường trung trực của MN
Bài 17:


Cho tam giác ABC , vẽ tia Ax là tia đối của tia AB . Chứng minh CAx
ABC  
ACB .
Lời giải

x
A

B
Nhóm Tốn THCS:
/>
C