CHỦ ĐỀ 4: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1: NGUYÊN HÀM
A- LÝ THUYẾT
K
Kí hiệu
là một khoảng, hay một đoạn hay một nửa khoảng.
1) Định nghĩa
f ( x)
F ( x)
f ( x)
K
Cho hàm số
xác định trên . Hàm số
được gọi là nguyên hàm của hàm số
F′( x) = f ( x)
K
K
trên nếu
với mọi x thuộc .
2) Định lý
F ( x)
f ( x)
F ( x) + C
∀C ∈ R
K
là một nguyên hàm của
trên thì
hàm số
cũng là một
a. Nếu
f ( x)

K
nguyên hàm của
trên .
F ( x) , G ( x)
f ( x)
C
K
b. Đảo lại nếu
là hai nguyên hàm của
trên thì tồn tại một hằng số
sao
cho
F ( x) = G ( x) + C
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

f ( x)

ký hiệu là

∫ f ( x) = F ( x) + C
K

.

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên
đều có nguyên hàm trên
”
3) Tính chất của nguyên hàm.
f ,g
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

K
a. Nếu
là hai hàm số liên tục trên thì
.
∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
k
b.
với mọi số thực khác 0.
∫ [ k. f ( x) + l.g ( x) ]dx = k ∫ f ( x)dx + l ∫ g ( x)dx
Suy ra
′
∫ f ( x)dx = f ( x ) + C
c.
.
4) Công thức nguyên hàm từng phần
∫ udv = uv − ∫ vdu
.
5) Công thức đổi biến số
∫ f [u ( x ) ]u′ ( x ) dx = F [u ( x ) ] + C
.
6) Bảng nguyên hàm và vi phân

(

)

1

K



u = u ( x)

Hàm sơ cấp

Hàm số hợp
1) ∫ du = u + C

1) ∫ dx = x + C

2) ∫ xα dx =

3)

∫

Thường gặp

d ( ax + b ) =

.

1) Vi phân

1
dx
a

1 1
α

x
u
(ax + b)α +1 + C
+ C ( α ≠ −1) 2) ∫ uα du =
+ C ( α ≠ −1) 2) ∫ ( a x + b ) dx = ×
a α +1
α +1
α +1
α +1

α +1

dx
= ln x + C ( x ≠ 0 )
x

3)

∫

dx
1
du
= ln ax + b + C ( a ≠ 0 )
= ln u + C ( u ( x ) ≠ 0 ) 3) ∫
ax + b a
u

4) ∫ cos xdx = sin x + C


4) ∫ cos udu = sin u + C

4) ∫ cos(ax + b)dx =

5) ∫ sin xdx = − cos x + C

5) ∫ sin udu = − cos u + C

1
5) ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C
a

6) ∫

1
dx = tan x + C
cos 2 x
x≠

Với

π
+ kπ
2

1
7) ∫ 2 dx = − cot x + C
sin x
Với


6) ∫

x ≠ kπ

u ( x) ≠
Với
.

7) ∫
Với

8) ∫ e x dx = e x + C

1
du = tan u + C
cos 2 u

1
sin( ax + b) + C
a

6) ∫

dx
1
= tan ( ax + b ) + C
(
)
cos ax + b
a


7) ∫

dx
−1
= cot ( ax + b ) + C
sin ( ax + b )
a

2

π
+ kπ
2

1
du = − cot u + C
sin 2 u

2

u ( x ) ≠ kπ

8) ∫ eu du = eu + C

8) ∫ e ax + b dx =

1 ax+ b
e
+C

a

1
ax
au
px + q
u
a px + q + C ( 0 < a ≠ 1)
9) ∫ a dx =
+ C ( 0 < a ≠ 1) 9) ∫ a du =
+ C ( 0 < a ≠ 1) 9) ∫ a dx =
p
.ln
a
ln a
ln a
x

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng công thức nguyên hàm cơ bản và mở rộng (không có đk).
f ( x ) = cos 3x
Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
Hướng dẫn giải.
sin ( ax + b )
sin 3 x
+ C ⇒ ∫ cos 3xdx =
+C
∫ cos ( ax + b ) dx =
a
3
Ta có:

.
1
f ( x) =
5x − 2
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số
Hướng dẫn giải.
dx
1
dx
1
∫ ax + b = a ln ax + b + C ⇒ ∫ 5x − 2 = 5 ln 5x − 2 + C
Ta có:
.
f ( x ) = 2sin x
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
Hướng dẫn giải.
2


Ta có:

∫ sin xdx = − cos x + C ⇒ ∫ 2 sin xdx = 2∫ sin xdx = −2 cos x + C
J = ∫ ( x + 3 x + 1) dx

.

2

Câu 4: Tính nguyên hàm


Hướng dẫn giải.
J = ∫ ( x 2 + 3 x + 1) dx =

Câu 5: Tìm nguyên hàm

F ( x)

3

2

x 3x
+
+ x+C
3
2

2 x4 + 3
f ( x) =
( x ≠ 0)
x2

là:
Hướng dẫn giải.
2x4 + 3
2 x3 3
 2 3
I =∫
d
x

=
2
x
+
d
x
=
− +C
÷
∫ 
x2
x2 
3
x
.
F ( x)
f ( x ) = 1 − x + x2
Câu 6: Tìm nguyên hàm
của hàm số
là
Hướng dẫn giải.
2
3
x
x
2
∫ ( 1 − x + x ) dx = x − 2 + 3 + C
.
3
x − 1)

(
f ( x) =
( x ≠ 0)
F ( x)
x3
Câu 7: Tìm nguyên hàm
của hàm số
.
Hướng dẫn giải.

∫

( x − 1)
x3

3

của hàm số

.

x3 − 3x 2 + 3x − 1
3
1
 3 3 1
dx = ∫
dx = ∫ 1 − + 2 − 3 ÷dx =x − 3ln x − + 2 + C
3
x
x 

x 2x
 x x

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) = 7

x

Hướng dẫn giải.
a
7x
x
x
a
d
x
=
+
C
⇒
7
d
x
=
+C
∫
∫
ln a
ln 7

Ta có:
.
1
f ( x ) = x 2 − 3x +
x
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Hướng dẫn giải.
1
x3 3x 2
 2
f
x
dx
=
x
−
3
x
+
dx
=
−
+ ln x + C
(
)
÷
∫
∫ 
x

3
2
.
2
f ( x) = x − 2x +1
Câu 10: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
.
Hướng dẫn giải.
1
2
3
2
∫ f ( x ) dx = ∫ ( x − 2 x + 1) dx = 3 x − x + x + C
.
x

3

.


f ( x) =
Câu 11: Tìm guyên hàm của hàm số

1

1 1
−
x x2


.
Hướng dẫn giải.

1 
1
dx = ln x + + C
2 ÷
x


∫ f ( x ) dx = ∫  x − x

f ( x ) = 2x +
Câu 12: Tìm guyên hàm của hàm số



.

3
x2

.
Hướng dẫn giải.

3 
3
dx = x 2 − + C
2 ÷
x



∫ f ( x ) dx = ∫  2 x + x

.
f ( x ) = x + 3x 2 − 2 x + 1
3

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn giải.
1 4
3
2
3
2
∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + 3x − 2 x + 1) dx = 4 x + x − x + x
.
1


J = ∫  + x ÷dx
x

Câu 14: Tính ngun hàm
Hướng dẫn giải.
1
1

J = ∫  + x ÷dx = ln x + x 2 + C

2
x

.
f ( x ) = cos 3x
Câu 15: Tìm guyên hàm của hàm số
.
Hướng dẫn giải.
1
∫ cos3xdx = 3 sin 3x + C
.
∫ sin(3 x − 1)dx
Câu 16: Tính
.
Hướng dẫn giải.
1
∫ sin(3x − 1)dx = − 3 cos(3x − 1) + C
.
∫ (cos 6 x − cos 4 x)dx
Câu 17: Tính
.
Hướng dẫn giải.
1
1
∫ (cos 6 x − cos 4 x)dx = 6 sin 6 x − 4 sin 4 x + C
.
f ( x ) = sin 2 x
Câu 18: Tìm nguyên hàm của
Hướng dẫn giải.
1

1
∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C
.
4


Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = cos 5 x

Hướng dẫn giải.
1
1
∫ cos 5 xdx = 5 ∫ cos 5 xd (5x) = 5 sin 5 x + C
Ta có:
.
f ( x ) = sin 2 x
Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Hướng dẫn giải.
1
1
1
1
2
2
∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C = − 2 ( 1 − 2 sin x ) + C = sin x − 2 + C
Ta có:
.
1

f ( x) =
2
cos ( 2 x + 1)
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Hướng dẫn giải.
1
1
1
1
∫ cos 2 ( 2 x + 1) dx = 2 ∫ cos2 ( 2 x + 1) d (2 x + 1) = 2 tan ( 2 x + 1) + C
Ta có:
.
f ( x ) = cos5 x.cos x
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Hướng dẫn giải.
Ta có:
1
1
1
∫ cos 5 x.cos xdx = ∫ 2 ( cos 6 x + cos 4 x ) dx = 2 ∫ cos 6 xdx + 2 ∫ cos 4 xdx
=

1
1
1
cos 6 xd (6 x) + ∫ cos 4 xd (4 x) = sin 6 x + sin 4 x + C
∫
12

8
12
8

Câu 23: Tìm guyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2sin 3x cos 2 x

.

.
Hướng dẫn giải.
1

∫ 2sin 3x cos 2 x dx = ∫ ( sin 5 x + sin x ) dx = ∫ sin 5 xdx + ∫ sin xdx = − 5 cos 5 x − cos x + C
F ( x ) = e + tan x + C

.

x

Câu 24: Chứng

minh rằng hàm số
1
f ( x ) = ex +
cos 2 x
.

Hướng dẫn giải.

( F ( x ) ) ′ = ( e x + tan x + C ) ′ = e x + cos12 x
.
x
y = cos 2
2
Câu 25: Tìm guyên hàm của hàm số
.
Hướng dẫn giải.
1
1
∫ 2 ( 1 + cos x ) dx = 2 ( x + sin x ) + C
.
5

là nguyên hàm của hàm số


f ( x ) = e2 x − e x

Câu 26: Tìm guyên hàm của hàm số
2x
x
∫ ( e − e ) dx =

.
Hướng dẫn giải.

e2 x
− ex + C
2


Câu 27: Tìm nguyên hàm của

.
f ( x ) = e3 x + 3
Hướng dẫn giải.
1
1 3x +3
ax + b
ax +b
3 x +3
∫ e dx = a e + C ⇒ ∫ e dx = 3 e + C

Áp dụng công thức
J = ∫ ( 2 x + 3x ) dx
Câu 28: Tính
.

.

Hướng dẫn giải.

∫( 2

+ 3x ) dx =

x

x


x

2
3
+
+C
ln 2 ln 3

.
f ( x ) = e + cos x
x

Câu 29: Tìm nguyên hàm của

∫( e

x

Hướng dẫn giải.

+ cos x ) dx = e + sin x + C
x

Câu 30: Tìm ngun hàm của hàm số

.
ex
y= x
2


.
Hướng dẫn giải.

x

e
 ÷
e
ex
e
 2 +C =
dx
=
dx
=
+C
x
∫ 2x
∫  2 ÷
e
1
−
ln
2
2
(
)
ln
2
x


x

Câu 31: Tìm gun hàm

F ( x)

của hàm số

2

 x +1 
f ( x) = 
÷
 x 
2

.

( x ≠ 0)
.

Hướng dẫn giải.
2

2

 x2 + 1 
1
1 


 2
2
−2
∫ f ( x ) dx = ∫  x ÷ dx = ∫  x + x ÷ dx = ∫  x + 2 + x 2 ÷ dx = ∫ ( x + 2 + x ) dx

=

Câu 32:

3

x
x 1
+ 2 x − x −1 + C = − + 2 x + C
3
3 x

.
f ( x) =

F ( x)

F ( x)

.

3

là một nguyên hàm của hàm số

.
Hướng dẫn giải.
6

2x + 3
( x ≠ 0)
x2

, biết rằng

F ( 1) = 1

. Tìm


∫

2x + 3
3
2 3 
dx = ∫  + 2 ÷dx = F ( x ) = 2 ln x − + C
2
x
4
x x 

3
F ( 1) = 1 ⇒ C = 4 ⇒ F ( x ) = 2 ln x − + 4
4


.

.

Dạng 2. Tìm nguyên hàm thoả mãn có điều kiện cho trước.
Câu 33: Cho

F ( x)

f ( x ) = ex + 2x

là một nguyên hàm của hàm số

F ( x)

F ( 0) =

và thỏa mãn

3
2

. Tìm

Hướng dẫn giải.
x
2
∫ f ( x ) dx = ∫ ( e + 2 x ) dx = e + x + C
.
3

1
1
F ( 0 ) = e 0 + 02 + C = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = e x + x 2 +
2
2
2
x

Câu 34: Cho hàm số

f ( x)

thỏa mãn

f ′ ( x ) = 3 − 5sin x

.
f ( 0 ) = 10

và
. Tìm
Hướng dẫn giải.
f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3 − 5sin x ) dx = 3 x + 5cos x + C
Ta có:
.
f ( 0 ) = 3.0 + 5cos 0 + C = 10 ⇒ C = 5
.

f ( x)


.

3. DẠNG 3: Phương pháp đổi biến số
Kiến thức thường cần nhớ:
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
định. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
a) Nếu:

∫ f ( x ) = F ( x) + C

và với

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt

ϕ '( t )

u = ( x)

là hàm số có đạo hàm thì:

x =ϕ ( t)

. Trong đó

ϕ ( t)

∫ f (u )du = F (u ) + C

cùng với đạo hàm của nó (


là những hàm số liên tục ) thì ta được:

∫ f ( x)dx = ∫ f ϕ ( t )  ϕ ' ( t ) dt = ∫ g (t )dt = G (t ) + C

.

Từ đó ta trình bày hai dạng toán về phương pháp đổi biến số như sau:

Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 để tính nguyên hàm:
PHƯƠNG PHÁP CHUNG.
Ta thực hiện theo các bước sau:
7

I = ∫ f ( x)dx

.


ϕ ( x)

 Bước 1: Chọn t =

. Trong đó

 Bước 2: Tính vi phân hai vế:

là hàm số mà ta chọn thích hợp.

dt = ϕ ' ( x ) dx


.

f ( x) dx = g ϕ ( x )  ϕ ' ( x ) dx = g (t )dt

 Bước 3: Biểu thị:
 Bước 4: Khi đó:

ϕ ( x)

.

I = ∫ f ( x )dx = ∫ g (t )dt = G (t ) + C

* Chú ý: Ta có một số dấu hiệu để đổi biến thường gặp:

STT

Dạng nguyên hàm
f ′( x)
dx
f ( x)

Cách đặt

Đặc điểm nhận dạng

t = f ( x)

Biểu thức dưới mẫu


1

∫

2

∫ f e

 t ′ ( x ) dx


t = t ( x)

Biểu thức ở phần số mũ

3

∫ f t ( x )  t ′ ( x ) dx

t = t ( x)

Biểu thức trong dấu ngoặc

4

∫ f  t ( x )  t ′ ( x ) dx

t = n t ( x)

Căn thức


5

∫ f ( ln x )

dx
x

t = ln x

t( x)

n

dx
x

đi kèm biểu thức theo

6

∫ f ( sin x ) .cos x dx

t = sin x

cos x dx

7

∫ f ( cos x ) .sin x dx


t = cos x

sin x dx

8

∫ f ( tan x ) cos

t = tan x

dx
cos 2 x

9

10

dx

∫

f ( cot x )

∫ f (e )e
ax

2

x


dx
sin 2 x

ax

dx

Đôi khi thay cách đặt

t = cot x

t = eax
t = t ( x)

bởi
8

dx
sin 2 x

e ax dx
t = m.t ( x ) + n

ln x

đi kèm biểu thức theo
đi kèm biểu thức theo

đi kèm biểu thức theo


đi kèm biểu thức theo
đi kèm biểu thức theo

sin x
cos x

tan x

cot x

e ax

ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn.


Câu 35: Tìm các họ nguyên hàm sau đây

a)

2
4
∫ x 1 − x dx

∫x

b)

1
dx

x +1

∫x

c)

x 2 + 9 dx

3

Lời giải
Giải theo tự luận

a) Xét
Đặt

∫x

4

1 − x 2 dx
.

t = 4 1 − x2 ⇒ t 4 = 1 − x2 ,

2 ( 1 − x2 ) 4 1 − x2
2t 5
+C
∫ x 1 − x dx = −2∫ t.t dt = − 5 + C = −
5

2

4

Khi đó

b) Xét

Đặt

suy ra

1
dx
x +1

∫x

3

.

t = x +1 ⇒ t2 = x +1

∫x
Khi đó

. Suy ra

Đặt


∫x

t = x 2 + 9 ⇒ t 2 = x2 + 9

Khi đó

Như vậy

t −1
+ C = ln
t +1

x 2 + 9 dx = ∫ x 2 x 2 + 9. xdx

3

∫x

 2tdt = dx

2
x = t −1

1
2t
2
1 
 1
dx = ∫ 2

dt = ∫ 2 dt = ∫ 
−
÷dt
t −1
x +1
 t −1 t +1 
( t − 1) t

= ln

c) Xét

4t 3dt = −2 xdx ⇒ −2t 3dt = xdx

2

3
∫x

. Suy ra

x +1 −1
+C
x +1 +1

.

tdt = xdx
 2 2
x = t − 9


t5
3
x + 9.xdx = ∫ ( t − 9 ) t.tdt = ∫ ( t − 9t ) dt = 5 − 3t + C.
2

2

(
x + 9 dx =
2

4

x2 + 9
5

)

2

5

−3

(

Nhận xét:
9


)

3

x2 + 9 + C


Câu 36:Tìm các họ nguyên hàm sau đây

a)

ln 2 x − 1
∫ x ln x dx

Lời giải
Giải theo tự luận

a) Xét

Đặt

ln 2 x − 1
∫ x ln x dx

t = ln x,

Khi đó

suy ra


.

1
dt = dx
x

ln 2 x − 1
t 2 −1
t2
ln 2 x
 1
d
x
=
d
t
=
t
−
d
t
=
−
ln
t
+
C
=
− ln ln x + C
∫ x ln x

∫ t
∫  t ÷ 2
2

Câu 37:Tìm ngun hàm:
I =∫

ln 2 x + 1
dx
x

Lời giải.

t = ln x ⇒ dt =
1. Đặt

Suy ra

dx
x

 t3 
 ln 3 x

I = ∫ (t 2 + 1)dt =  + t ÷+ C = 
+ ln x ÷+ C
3 
 3



.

NHẬN BIẾT.
f ( x) =
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số
3x 4
∫ f ( x ) dx = 2 x 4 + 6 + C.
A.
.

C.

∫

f ( x ) dx = x 3 ln ( x 4 + 1) + C .

x3
.
x4 + 1

B.

∫ f ( x ) dx = ln ( x
1

.

D.
Lời giải


Chọn D
Giải theo tự luận
10

4

+ 1) + C.

∫ f ( x ) dx = 4 ln ( x

4

.

+ 1) + C.


t = x + 1,
4

suy ra

1
dt = 4 x 3dx ⇒ dt = x3dx
4

Đặt

Như thế


x3
1 dt 1
1
1
4
4
∫ x 4 + 1 dx = 4 ∫ t = 4 ln t + C = 4 ln x + 1 + C = 4 ln ( x + 1) + C.

Giải theo pp trắc nghiệm
(Giải theo Casio nếu có).
Nhận xét:.
Câu 39. Kết quả của phép tính
sin 5 x
+C
5
A.
.

∫ sin

4

x cos x dx

là
5

B.

cos x

+C
5

−
.

C.

sin 5 x
+C
5

.

D.

sin 5 x + C

Lời giải
Chọn A
Giải theo tự luận
Xét

∫ sin

Khi đó

4

x cos x dx


t = sin x,

Đặt

4
4
∫ sin x cos x dx = ∫ t dt =

suy ra

dt = cos x dx

.

t5
cos5 x
+C =
+C
5
5

Giải theo pp trắc nghiệm
(Giải theo Casio nếu có).
Nhận xét:.
I = ∫ x ( x 2 + 7 ) dx
15

Câu 40. Kết quả của
1 2

x +7
32
A.

(

)

16

+C
.

B.

là :

16
1 2
x + 7)
(
32

.

C.

16
1 2
x + 7)

(
16

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
I = ∫ x ( x 2 + 7 ) dx
15

Đặt

1
u = x 2 + 7 ⇒ du = 2 xdx ⇒ xdx = du
2

11

D.

16
1 2
x + 7) + C
(
2

.


I=

Vậy

16
1 15
1 16
1 2
u
d
u
=
u
+
C
=
x
+
7
+C
(
)
2∫
32
32

.

y = −e cos x sin x

Câu 41. Nguyên hàm của hàm số
là

y = ecos x
y = −esin x
A.
.
B.
.

C.

y = esin x

.

D.

y = −ecos x

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét

− ∫ ecos x sin xdx

, bằng cách đặt

t = cos x

ta có


dt = − sin xdx

nên

− ∫ ecos x sin xdx = ∫ et dt = −et + C = ecos x + C

Câu 42. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
dx
x
x
∫ x = 2 x + c.
∫ 2 dx = 2 + c.
A.
.
B.
.

dx

C.

∫x

2

=

1
+ c.

x

.

dx

.

D.

∫ x + 1 = ln x + c.

Hướng dẫn giải
Chọn A
t = x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt ⇒ ∫
Đặt

Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số

A.

.

B.

e tan x + tan x + C

.

C.


e tan x .tan x + C

Hướng dẫn giải
Chọn A

t = tan x ⇒ dt =
Đặt
Câu 44. Để tính

∫ sin

4

.

e tan x
.
cos 2 x

f ( x) =

e tan x + C

dx
2t
= ∫ dt = 2t + C = 2 x + C .
t
x


dx
t
t
tan x
cos 2 x ⇒ I = ∫ e dt = e + C ⇒ I = e + C

.

x.cos xdx

thì nên:

A. Dùng phương pháp đổi biến số đặt

t = cos x

.

B. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt
12

u = sin 4 x

dv = cos xdx

.

.

D.


e tan x
+C
cos 2 x

.


C. Dùng phương pháp đổi biến số đặt

t = sin x

.

D. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt

u = cos x

4
 dv = sin xdx

.

Hướng dẫn giải
Chọn.

C.

Câu 45. Nếu một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) thì
1

F ( ax + b ) + C
A. a
.

1
F ( ax + b )
B. a
.

C.

∫ f ( ax + b ) dx

F ( ax + b ) + C

.

bằng
D.

1
− F ( ax + b ) + C
a

.

Hướng dẫn giải
Chọn A

♦Tựluận:Đặtt=ax +b ta códt=


1
dx
a

1

nên

∫ f ( ax + b )dx= a F (ax + b) + C

♦Trắcnghiệm:.
Câu 46. Nguyên hàm của hàm số

e +C

f ( x ) = e2 x

2x

A.

2e + C

là

2x

.


B.

.

C.

e2 x
+C
2

.

D.

1
+C
e2 x

.

Hướng dẫn giải
Chọn C

Tự luận: Áp dụng công thức

∫e

ax + b

1

dx = eax +b + C
a

với

a≠0

; thay

a=2

và

b=0

để có

kết quả

f ( A) −

d
( F1 ( x ) )
dx

x= A

♦Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính casio: cú pháp
Biến A được nhập từ bàn phím để kiểm tra, A là hằng số thỏa mãn tập xác định và có giá
trị nhỏ.

Nếu kết quả cho ít nhất một giá trị khác 0 thì loại phương án đó.
Nếu kết quả ln cho giá trị bằng 0 với một dãy giá trị của A thì chọn phương án đó.
Chú ý: để dễ đọc kết quả ta nên chọn máy tính ở chế độ fix - 9 (shift-mod-6-9).
13


Nhập vào biểu thức vào máy tính

1 shift Sto.
d  e2 x 

÷ =0
e 2A − dx  2  x = A

Câu 47.

A.

e

2A

= −7,389
x= A

loại

chọn.
f ( x ) = cos 2 x


Tìm nguyên hàm của hàm số
1
∫ f ( x ) dx = 2 sin 2 x + C
A.
.
C.

d 2x
(e )
− dx

∫ f ( x ) dx = 2sin 2 x + C

.

1

B.

.

D.

∫ f ( x ) dx = − 2 sin 2 x + C
∫ f ( x ) dx = −2 sin 2 x + C

.

.


Hướng dẫn giải
Chọn A

1

♦Tự luận: Áp dụng công thức

b=0

Câu 48.

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

với

a≠0

; thay

a=2

và

để có kết quả.
f ( x ) = (3 − 2 x) 5

Tìm nguyên hàm của hàm số
1
1
1

1
6
6
4
4
− ( 3 − 2x ) + C
− ( 3 − 2x ) + C
( 3 − 2x ) + C
( 3 − 2x ) + C
12
12
12
12
A.
.
B.
. C.
D
Hướng dẫn giải
Chọn B

♦Tự luận:

5
∫ (3 − 2 x) dx =

1 (3 − 2 x)5+1
1
+ C = − (3 − 2 x )6 + C
5+1

−2
12

♦Trắc nghiệm: TXĐ của hàm số là R
Nhập vào biểu thức vào máy tính ( cho A tùy ý )
d  1
6
− ( 3 − 2x ) ÷ = 0

( 3 − 2A ) − dx  12
 x= A
5

2 shift sto.

A.

Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) = 2x −1
14

.

chọn.


2

A.


∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x − 1)
1

C.

∫ f ( x ) dx = − 3

1

2x −1 + C
.

B.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x − 1)
1

2x −1 + C
.

D.

∫ f ( x ) dx = 2

2x −1 + C
.

2x −1 + C


Hướng dẫn giải
Chọn B

♦Tự luận: Ta có:

∫

1

f ( x ) dx = ∫ 2 x − 1dx = ∫ ( 2 x − 1) 2 dx

3

1 ( 2 x − 1) 2
1 2
= .
+C = . .
3
2
2 3
2

( 2 x − 1)

1
+ C = . ( 2 x − 1) . 2 x − 1 + C
3

3


.

Dạng 4. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Câu 50. Tính
1 2
1
x ln x − x 2 + C
2
4
A.
.

∫ x ln xdx
B.

.
1 2
1
x ln x − x 2 + C
2
2

dx

du =

u = ln x

x

⇒

2
dv = xdx v = x

2

1
1
ln x 3 − x 2 + C
2
4

.C.
Lời giải

1

∫ x ln xdx = 2 x

Đặt
. Do đó
Vậy chọn đáp án A
x
∫ ( x − 1) e dx
Câu 51. Tính
.
x
x
( x − 1) e + e + C

xe x − e x + C
A.
.
B.
.

Đặt

u = x − 1
 du = dx
⇒


x
x
 dv = e dx v = e

Do đó

C.
Lời giải

ln x −

D.

x

x


Vậy chọn đáp án D
15

x

.

1
1
1
xdx = x 2 ln x − x 2 + C
∫
2
2
4

xe x + C

.

D.

.

∫ ( x − 1) e dx = ( x − 1) e − ∫ e dx = ( x − 1) e
x

2

.


1 2
1
x ln x − x + C
2
2

− e x + C = ( x − 2) e x + C

( x − 2) ex + C

.


∫ x sin 2 xdx

Câu 52. Tính
.
1
1
− x cos 2 x − sin 2 x + C
2
4
A.
.
1
1
− x cos 2 x + sin 2 x + C
2
4

C.
.

Đặt

B.
D.
Lời giải

du = dx
u = x

⇒

1
dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x

2

− x cos 2 x + sin 2 x + C

.
1
1
− x cos 2 x − sin 2 x + C
2
2

.
1

1
1
1
∫ x sin 2 xdx = − 2 x cos 2 x + 2 ∫ cos 2 xdx = − 2 x cos 2 x + 4 sin 2 x + C

Do đó
Vậy chọn đáp án C
2

∫
1

Câu 53. Nếu
I =2
A.
.
Lời giải
Chọn

2

f ( x ) dx = 2

I = ∫ 3 f ( x ) − 2  dx
1

thì
B.

I =3


bằng bao nhiêu?
I =4
C.
.

.

D.

2

2

2
I = ∫ 3 f ( x ) − 2 dx = 3∫ f ( x ) dx − 2∫ dx = 3.2 − 2 x = 6 − 2 = 4
1
1
1
1
1

 1

0

Câu 54. Cho
đúng?
a+b = 2
A.

.
Lời giải

B.

a − 2b = 0

với

suy ra

a, b

.

là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
C.

a + b = −2

.

D.

a + 2b = 0

.

D.
1


1

Ta có

.

1 

∫  x + 1 − x + 2 ÷ dx = a ln 2 + b ln 3

Chọn

.

C.
2

Ta có

I =1

1 
 1
∫0  x + 1 − x + 2 ÷ dx = ( ln x + 1 − ln x + 2 ) = ( ln 2 − ln 3) − ( ln1 − ln 2 ) = 2 ln 2 − ln 3
0
a = 2, b = −1 ⇒ a + 2b = 0

.


16


0

ổ

2 ử

ữ
ũỗỗỗốx +1 + x - 1ứữ
ữdx
Cõu 55. Kt qu của tích phân
a +b
Khi đó
bằng:

- 1

3
2

được viết dưới dạng

-

A. .
Lời gii
Chon


B.

3
2

.

5
2

C.

a + b ln 2

-

.

D.

5
2

a, bẻ Ô

.

.

B.


ổx 2
ổ
2 ử
ỗ
ữ
ỗ
x
+
1
+
dx
=
ữ
ỗ + x + 2 ln x ũỗốỗ
ữ
ỗ
x - 1ứ
ố2
0

- 1

0

ử
1
ữ
1ữ
= - 2 ln 2 = a + b ln 2 ị

ữ
ữ
ứ- 1 2

Ta có

Vậy

với

1
3
a + b = - 2 =2
2

ìï
1
ïï a =
2
í
ïï
ïỵ b =- 2

.

e

I = 4∫ x ( 1 + ln x ) dx = a.e 2 + b.
1


Câu 56. Ta có tích phân
M = −5
A.
.
Lời giải
Chọn

B.

M = −2

Tính
.

C.

M = ab + 4(a + b)
M =5

.

a, b ∈ Z
(trong đó
)
M = −6
D.
.

C.
e


e

1

1

I = 4 ∫ x ( 1 + ln x ) dx = 2 ∫ ( 1 + ln x ) d ( x 2 )
Ta có:

e

e

1 
e2 1 
= 2 ( 1 + ln x ) x 2 − ∫ x 2 × dx  = 2  2e 2 − 1 − + ÷ = 3e2 − 1
1
x 
2 2

1


Nên

a = 3, b = −1

nên


3

∫
Câu 57 : Cho

3

1

,

I = 14
A.
.
Lời giải
Chọn

∫[

f ( x) dx = −5

M =5

.
3

f ( x) − 2 g ( x) ] dx = 9

1


I = ∫ g ( x)dx
. Tính

B.

I = −14

.

C.

D.

17

1

I =7

.
.

D.

I = −7

.


3


3

3

3

3

1

1

1

1

1

∫ [ f ( x) − 2 g ( x)] dx = 9 ⇔ ∫ f ( x)dx − ∫ 2 g ( x)dx = 9 ⇔ ∫ f ( x)dx − 2∫ g ( x)dx = 9
⇔ −5 − 2 I = 9 ⇔ I = −7

Câu 58 : Biết

∫ xe

2x

A.
Lời giải

Chọn

Đặt

dx = axe 2 x + be 2 x + C
1
4

a.b =

.

. Tính tích

a.b

a.b = −

.

C.

1
8

.
a.b =

.


D.

 du = dx
 u=x
1 x
1 2x
1 x 1 2x

⇔

1 2 x ⇒ I = x.e − ∫ e dx = x.e − e dx + C .
2x
2
2
2
4
 dv = e dx
v = 2 e

2

1

 a = 2
1
⇒ a.b = −

8
b = − 1


4

1

−6

4

f ( x ) dx = −3.

∫
A.

B.

1
4

a, b ∈ ¤

C.

Suy ra

Câu 59 : Cho

.
, với

a.b = −


.

Tính
.

.

x

∫ f  2 ÷ dx
2

B.

3
−
2

.

.

C.

−1

.

D.


Lời giải
Chọn

A.

t=

Cách 1: Đặt
4

∫
Khi đó

2

x
⇒ 2t = x ⇔ dx = 2dt
2
2

2

1

1

f ( x ) dx = 2∫ f ( t ) dt = 2∫ f ( x ) dx = 2. ( −3) = −6
.


BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A – LÝ THUYẾT
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

18

5

.

1
8

.


1. Định lý 1: Cho hàm số

 a; b

y = f (x)

liên tục, khơng âm trên
. Khi đó diện tích S của
y = f (x)
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và 2 đường thẳng
b

x = a, x = b


S = ∫ f (x)dx
là:

a

2. Bài tốn liên quan:
Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
a;b

y = f (x)

x =a x =b
, trục hoành và hai đường thẳng
,
được xác định:

19

liên tục trên đoạn

S=

b

∫ f (x) dx
a


b


S=

∫ f (x) dx
a

b
c3

20


Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x) y = g(x)
,
liên tục
b

trên đoạn

a;b

và hai đường thẳng

x =a x =b
,
được xác định:

S=


∫ f (x) − g(x) dx
a

c2

Chú ý:
- Nếu trên đoạn

[a;b]

, hàm số

f (x)

khơng đổi dấu hay
21

f(x) = 0

khơng có nghiệm thuộc


(a; b)

S=

b

∫


f (x) dx =

a

thì:

b

∫ f (x)dx
a

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài tốn 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

x = g(y) x = h(y)
,
và hai

d

y=c y=d
đường thẳng
,
được xác định:

S=

∫ g(y) − h(y) dy
c


Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị

S=

xn

∫

f (x) − g(x)dx

x1

. Trong đó:

x1 , xn

(C1) : f1(x) (C2 ) : f2(x)
,
là:

tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

f (x) = g(x)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY
1. Thể tích vật thể:
Gọi

B


là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các điểm
S(x)
a và b;
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox
S(x)
[a;b]
x (a ≤ x ≤ b)
tại điểm ,
. Giả sử
là hàm số liên tục trên đoạn
.

22


x

(V )
S(x)

b

a

O

2. Thể tích khối trịn xoay:
Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
y = f (x)
x =a x =b

đường
, trục hoành và hai đường thẳng
,
quanh trục Ox:

23


Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
x = g(y)
y=c y=d
đường
, trục hoành và hai đường thẳng
,
quanh trục Oy:

24


d

y

O

x

c

 (C): x = g(y)


 (Oy): x = 0

 y= c
 y = d

d

V y = π ∫ [ g( y )] dy
2

c

Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
y = f (x) y = g(x)
x =a x =b
đường
,
và hai đường thẳng
,
quanh trục Ox:
b

V = π ∫ f 2(x) − g2(x) dx
a

y = f ( x)
[a; b].
S
Câu 1: Cho hàm số

liên tục trên
Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
y = f ( x),
x = a, x = b
trục hồnh, các đường thẳng
được xác định bằng cơng thức nào sau đây ?
b

a

S = − ∫ f ( x )dx.

A.

a

b

S = ∫ f ( x)dx.

B.

b

b

S = ∫ f ( x)dx.

C.


a

y = f ( x)

S = ∫ f ( x ) dx.

D.

a

Câu 2: Cho đồ thị hàm số
như hình dưới. Diện tích
hình phẳng (phần gạch trong hình) được tính theo cơng thức nào sau đây?
25