Cân b ng Histogram
ng: Tìm m t bi n đ i phi tuy n
g = T(f )
áp d ng cho m i pixel c a nh f(x,y), đ
g(x,y) phân ph đ u.

•Ýt

Tr
Khoa Tốn - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Cân b ng Histogram
• Chúng ta có giá tr xám r liên t c trong [0,1], r=0 mô t
màu đen và r=1 mơ t màu tr ng.
• Chúng ta c n xây d ng m t bi n đ i s=T(r), trên c s
histogram c a nh, bi n đ i này s làm t ng c ng nh.

• T có các tính ch t:
– T(r) là hàm t ng đ u v i 0≤r≤1
– T(r) ánh x t

[0,1] vào [0,1].

Tr

Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Cân b ng Histogram
• Xem xét bi n đ i ng c r=T-1(s) và xem nh bi n đ i ng c
•
•
•

này c ng th a hai đi u ki n trên.
Xem nh giá tr xám c a nh ban đ u (A) và k t qu (B) nh
bi n ng u nhiên trong [0, 1].
t pin(r) và pout(s) là m t đ xác su t các giá tr xám c a A và
B.
N u bi t pin(r) vàT(r), và T-1(s) th a đi u ki n 1, chúng ta có
th vi t (lý thuy t xác su t):

dr ⎤
⎡
p out (s ) = ⎢ p in (r ) ⎥
ds ⎦ r = T −1 ( s )
⎣

• M t cách đ t ng c ng nh là thi t k m t bi n đ i T(.)

m c xám nh phân b không chu n trong [0, 1].

pout(s)=1, 0 ≤s≤1
Tr

Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Cân b ng Histogram
• Các vùng c a histogram đ c ch nh đ “cân đ i

•
•
•

b ng nhau” trong m c xám. K thu t này đ c g i
là
cân
b ng
histogram
(histogram
r
equalization).
s = T (r ) = ∫ p in (w )dw ,

0 ≤ r ≤1
Xem nh là bi n đ i
o
CDF (cumulative distribution function) c a pin(r)
c ng th a 2 đi u ki n trên.
ds
T ph ng trình trên ta suy ra, dr = pin (r )

Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Cân b ng Histogram
• Thì k t qu s là

p out

⎡
1 ⎤
(s ) = ⎢ p in (r )
⎥
(
)
p

r
in
⎣
⎦ r = T −1 ( s )

= [1]r = T −1 ( s ) = 1, for 0 ≤ s ≤ 1

• Hàm m t đ xác su t c a g là đ u mà khơng quan
•
•

tâm f.
Dùng m t hàm bi n đ i đ cân b
giá tr xám r, c a f, chúng ta có th
g có các giá tr xám chu n.
i u này s làm t ng c ng nh,
ho t).
Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng CDF c a các
có m t nh m i
(t ng vùng linh

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>


Cân b ng Histogram
• R i r c hóa, ta s có:pin ( rk ) = nk , for 0 ≤ r ≤ 1, vaø 0 ≤ k ≤ L − 1
– L: T ng s m c xám
– nk: s l ng pixel m c xám rk

n

– n: T ng s pixel trong nh

• CDF s là

k

k
ni
sk = T (rk ) = ∑ = ∑ pin (ri ), for 0 ≤ k ≤ L − 1
i =0 n
i =0

• Cân b ng histogram không ph i lúc nào c ng cho
k t qu nh mong mu n, ch hi u qu khi
histogram b d n l i. i u này có th gây ra sai
c nh và vùng, có th gây ra nhi u.

Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com


ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d cân b ng Histogram

nh ban đ u

Sau khi cân b ng histogram
Tr

Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d cân b ng Histogram

Tr
Khoa Tốn - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007


/>

Ví d
• Xem xét m t b c
nh kích th c
64x64
8 m c
xám (0, 1, …, 7).
Chu n hóa giá tr
xám
(0, 1/7, 2/7, …,
1). Histogram sau
chu n hóa nh
b ng:

Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

k

rk

nk

p(rk)=nk/n

0

1
2
3
4
5
6
7

0
1/7
2/7
3/7
4/7
5/7
6/7
1

790
1023
850
656
329
245
122
81

0.19
0.25
0.21
0.16

0.08
0.06
0.03
0.02

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d

Tr
Khoa Tốn - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d
• Áp d ng bi n đ i nh
trên, chúng ta có k t
qu
(sau khi làm
trịn):

0


s0 = T (r0 ) = ∑ pin (ri ) = pin (r0 ) = 0.19 → 1
i =0

7

1

s1 = T (r1 ) = ∑ pin (ri ) = pin (r0 ) + pin (r1 ) = 0.44 → 3
i =0
2

s2 = T (r2 ) = ∑ pin (ri ) = pin (r0 ) + pin (r1 ) + pin (r2 ) = 0.65 → 5
i =0

• Chú ý, có duy nh t 5
giá tr xám r i r c --(1/7, 3/7, 5/7, 6/7, 1)
đ c gán nhãn là (s0,
s1, …, s4).

3

s3 = T (r3 ) = ∑ pin (ri ) = pin (r0 ) + pin (r1 ) +
i =0
4

s4 = T (r4 ) = ∑ pin (ri ) = pin (r0 ) + pin (r1 ) +
i =0
5


s5 = T (r5 ) = ∑ pin (ri ) = pin (r0 ) + pin (r1 ) +
i =0
6

s6 = T (r6 ) = ∑ pin (ri ) = pin (r0 ) + pin (r1 ) +
i =0
7

s7 = T (r7 ) = ∑ pin (ri ) = pin (r0 ) + pin (r1 ) +
i =0

Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

7
7

+ pin (r3 ) = 0.81 → 6

7

+ pin (r4 ) = 0.89 → 6
+ pin (r5 ) = 0.95 → 1
+ pin (r6 ) = 0.98 → 1
+ pin (r7 ) = 1.00 → 1

ng HKHTN Tp.HCM
2007


/>
7


Ví d
bi n
đ i
histogram c a g là
Histogram c a g là
x , khơng chính
hồn tồn, chu n.

•V i

này

•

x p
xác

k

sk

nk

p(sk)=nk/n


0
1
2
3
4

1/7
3/7
5/7
6/7
1

790
1023
850
985
448

0.19
0.25
0.21
0.24
0.11

Dùng hàm imhist và histeq trong
image processing toolbox

Tr
Khoa Toán - Tin h c


CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d

nh ban đ u
nh sau khi cân b ng
/>Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d

Histogram c a nh ban đ u

Tr
Khoa Tốn - Tin h c

CuuDuongThanCong.com


Histogram c a nh sau cân b ng

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d

nh ban đ u

nh sau khi cân b ng
Tr

Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d

Histogram c a nh ban đ u

Tr
Khoa Tốn - Tin h c


CuuDuongThanCong.com

Histogram c a nh sau cân b ng

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d

nh ban đ u

nh sau khi cân b ng
Tr

Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d

Histogram c a nh ban đ u

Tr

Khoa Tốn - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

Histogram c a nh sau cân b ng

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d

nh ban đ u

nh sau khi cân b ng

Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ví d

Histogram c a nh ban đ u


Tr
Khoa Tốn - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

Histogram c a nh sau cân b ng

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ch đ nh d ng Histogram
• Cân b ng histogram cung c p m t nh có các pixel đ c
phân b chu n m c xám (theo lý thuy t).
• ơi khi chúng ta khơng mu n đi u này. Thay vì v y,
chúng ta c n m t bi n đ i mà cho ta m t histogram theo
ý mình. K thu t này g i là ch đ nh histogram
(histogram specification).
• Gi s nh f có m t đ xác su t pin(r). Chúng ta mu n tìm
m t bi n đ i z=H(r), và m t đ xác su t c a g là pout(z).
r
• Áp d ng bi n đ i
s = T (r ) = ∫ pin (w)dw,

0 ≤ r ≤1

(*)


o

đ

nh m i có m t đ xác su t chu n.
Tr

Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ch đ nh d ng Histogram
• N u g có m t đ chu n: ν

z

= G ( z ) = ∫ pout (w )dw,

0 ≤ z ≤1

(* *)

o

• T m c xámν chúng ta có z b ng bi n đ i ng c z=G-1(ν).

• N u thay vì dùng m c xám ν t (**), chúng ta dùng s t

(*) (c hai đ u là phân b chu n), thì:
z = H(r) = G-1[T(r)]
s cho nh m i có phân b c th pout(z), t nh có m t
k
đ pin(r).
n
sk = T ( rk ) = ∑ i , for 0 ≤ k ≤ L − 1 vaø
i=0 n
• R i r c các m c xám, ta có
k
ν k = G ( zk ) = ∑ pout ( zi ), for 0 ≤ k ≤ L − 1
i=0

Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

Ch đ nh d ng Histogram

• N u bi n đ i zk→G(zk) là 1-1, bi n đ i ng c sk→G-1(sk) đ c xác đ nh d
•
•


dàng, t đây chúng ta có th phân chia v i m t t p nh các giá tr xám r i
r c.
Trong th c t , zk → G(zk) không ph i lúc nào c ng là 1-1, chúng ta ph i
thi t l p các giá tr xám phù h p v i histogram có, càng chính xác càng t t.
Ví d : xem xét nh 64x64 8 m c xám

Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

k

rk

nk

p(rk)=nk/n

0
1
2
3
4
5
6
7

0

1/7
2/7
3/7
4/7
5/7
6/7
1

790
1023
850
656
329
245
122
81

0.19
0.25
0.21
0.16
0.08
0.06
0.03
0.02

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>


Ví d
• Xem xét bi n đ i z=H(r)= G-1[T(r)], v i histogram nh
sau:

Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

k

zk

pout(zk)

0

0

0.00

1

1/7

0.00

2


2/7

0.00

3

3/7

0.15

4

4/7

0.20

5

5/7

0.30

6

6/7

0.20

7


1

0.15

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>

• Và G nh sau:

Ví d

0

ν 0 = G ( z0 ) = ∑ pout (zi ) = pout ( z0 ) = 0.00 → 0

• Bi n đ i T(r) nh sau: ν = G(z ) =
1

ri→sk

nk

p(sk)

r0 → s0 = 1/7

790


0.19

r1 → s1 = 3/7

1023

0.25

r2 → s2 = 5/7

850

0.21

r3,r4 → s3 = 6/7 985

0.24

r5, r6,r7 → s4=1

0.11

448

1

i =0
1

∑ p (z ) = p (z ) + p (z ) = 0.00 → 0

i =0

out

i

out

0

out

1

2

ν 2 = G ( z2 ) = ∑ pout (zi ) = pout ( z0 ) + pout ( z1 ) + pout (z 2 ) = 0.00 → 0
i =0
3

ν 3 = G ( z3 ) = ∑ pout ( zi ) = pout ( z0 ) + pout (z1 ) +
i =0
4

ν 4 = G ( z4 ) = ∑ pout (zi ) = pout (z0 ) + pout (z1 ) +
i =0
5

ν 5 = G (z5 ) = ∑ pout ( zi ) = pout ( z0 ) + pout (z1 ) +
i =0

6

ν 6 = G ( z6 ) = ∑ pout (zi ) = pout ( z0 ) + pout ( z1 ) +
i =0
7

ν 7 = G ( z7 ) = ∑ pout (zi ) = pout (z0 ) + pout (z1 ) +
i =0

Tr
Khoa Toán - Tin h c

CuuDuongThanCong.com

+ pout ( z3 ) = 0.15 → 1

7

+ pout ( z 4 ) = 0.35 → 2

7

+ pout (z5 ) = 0.65 → 5

7

+ pout ( z6 ) = 0.85 → 6

7


+ pout (z7 ) = 1.00 → 1

ng HKHTN Tp.HCM
2007

/>