Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 379-383, DOI 10.15625/vap.2019000306

Khảo sát động học theo thời gian thực cho cơ hệ máy phay
CNC 5 trục DMU50e
Nguyễn Văn Công, Chu Anh Mỳ
Học viện Kỹ thuật Quân sự
E-mail:

Tóm tắt
Cơ hệ các máy CNC 5 trục đều có cấu trúc mạch vịng khơng
gian, 5 bậc tự do. Khảo sát động học cơ hệ máy phay CNC 5
trục thuần túy về mặt hình học sẽ chỉ phục vụ cho việc xây dựng
bộ Post-processor. Để khảo sát được các ứng xử động học, động
lực học của cơ hệ trong quá trình gia cơng thực thì cần phải xem
xét tới quy luật chuyển động trên các quỹ đạo cắt trong quá
trình gia cơng. Do vậy, bài báo trình bày việc mơ hình hóa động
học, khảo sát động học của cơ hệ trên quỹ đạo cắt ứng với một
quy luật chuyển động cụ thể. Kết quả nghiên cứu là tiền đề quan
trong trong việc thực hiện các khảo sát động học và động lực
học đối với cơ hệ máy phay CNC 5 trục.
Từ khóa: Máy CNC 5 trục, Động học máy phay CNC.

2. Động học cơ hệ máy phay DMU50e
Việc xây dựng mơ hình động học và lập các phương
trình động học cho hệ máy CNC 5 trục thường được thực
hiện bằng cách coi hệ máy phay CNC 5 trục như một cơ
hệ gồm 2 tay máy liên hợp (hình 1), một tay máy mang
dao cụ (Tool) và một tay máy mang phơi (Workpiece) [2].
Tùy vào cấu hình cụ thể của từng dạng máy phay CNC 5
trục mà 2 chuỗi động học của 2 tay máy liên hợp có thể là

4 khâu với 1 khâu hoặc 3 khâu với 2 khâu… Từ đó, ứng
dụng lý thuyết động học về cơ cấu tay máy để thiết lập
các ma trận chuyển đổi và lập ra hệ phương trình động
học.

1. Mở đầu
Nghiên cứu động học, động lực học hệ máy phay
CNC là một trong những vấn đề nghiên cứu cơ bản luôn
nhận được sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế
giới. Trong việc phát triển các cấu hình mới đối với máy
phay CNC đặc biệt là các máy phay CNC nhiều trục, vấn
đề nghiên cứu động học có ý nghĩa vơ cùng quan trọng.
Đối với một cấu hình máy phay CNC 5 trục cụ thể, xuất
phát từ góc nhìn động học, chúng ta cũng có thể tiếp cận
và giải quyết rất nhiều yếu tố liên quan tới máy CNC như
tính tốn sai số, bù sai số, xây dựng quỹ đạo dao cụ hợp
lý, xây dựng bộ hậu xử lý…
Vấn đề nghiên cứu động học cơ hệ máy phay CNC 5
trục đã có nhiều kết quả nghiên cứu được cơng bố trên
thế giới. Có những nghiên cứu tập trung xây dựng hệ
phương trình động học cho các cấu hình máy phay CNC
5 trục tổng quát, tiêu biểu như [1, 2]. Có nghiên cứu xuất
phát từ mơ hình động học để giải quyết vấn đề bù sai số
hình học [3, 4]. Có nhiều kết quả nghiên cứu công bố về
vấn đề xây dựng bộ post-processor cho các cấu hình máy
phay CNC 5 trục khác nhau [5, 6, 7]. Trên cơ sở như vậy,
bài báo xác định mục tiêu xây dựng mơ hình động học
cho cơ hệ máy phay CNC 5 trục DMU50e và khảo sát bài
tốn động học thuận và ngược có kể tới quy luật vận tốc
cũng chính là khảo sát động học cho cơ hệ theo thời gian

thực.

Hình 1. Sơ đồ cấu trúc tổng quát máy phay CNC 5 trục
Hệ phương trình động học sẽ thể hiện mối tương
quan giữa vị trí điểm tâm mũi dao và hướng của trục dao
với 5 giá trị tọa độ điều khiển máy CNC (5 tọa độ: 3 tịnh
tiến và 2 quay). Ví dụ với một cấu hình máy phay CNC 5
trục cụ thể là DMU50e, hệ phương trình động học sẽ thể
hiện quan hệ giữa bộ tham số (x, y, z, i, j, k) và (X, Y, Z,
B, C). Trong đó, bộ tham số (x, y, z, i, j, k) là bộ tham số
tọa độ điểm tâm mũi dao và các véctơ chỉ phương của
trục dao trong hệ tọa độ phơi, cịn bộ tham số (X, Y, Z, B,
C) là các tham số tọa độ trong hệ tọa độ máy. Cơ hệ máy
phay CNC DMU50e gồm 2 chuỗi động học liên hợp.
Chuỗi thứ nhất gồm 2 khâu liên kết với nhau bằng các
khớp quay, chuỗi này mang phơi. Đây chính là 2 trục
quay B và C của máy. Chuỗi thứ 2 mang dao, gồm 3 khâu


Nguyễn Văn Công, Chu Anh Mỳ
liên kết với nhau bởi 3 khớp tịnh tiến. Đây chính là 3 trục
tịnh tiến X, Y, Z của máy. Mơ hình động học của cơ hệ
máy phay CNC 5 trục DMU 50e được mô tả như hình 2.

2.1. Động học thuận
Bài tốn động học thuận đối với cấu hình máy phay
CNC 5 trục DMU50e là bài toán xác định sự phụ thuộc
của bộ tham số (x, y, z, i, j, k) theo bộ tham số (X, Y, Z, B,
C).
Xác định các ma trận chuyển đổi thuần nhất giữa các

hệ tọa độ trong chuỗi động học thứ nhất:
- Ma trận chuyển đổi thuần nhất từ hệ tọa độ máy ra
hệ tọa độ khâu B là:
0
0  cos( B)  sin( B ) 0 0 
1 0 0 0  1 0
 0 1 0 0   0 2 / 2  2 / 2 0  sin( B ) cos( B) 0 0 



T0B  
 0
0 0 1 d  0 2 / 2
0
1 0 
2
/
2
0




0
0 1 
0
1  0
 0 0 0 1   0 0

 sin( B )


cos( B)

2 / 2*sin( B)
T0B  
 2 / 2*sin( B)
0

0

2 / 2*cos( B)

 2/2

2 / 2*cos( B)

2/2

0

0

0

0
d 
1 

(1)


(2)

- Ma trận chuyển đổi thuần nhất từ khâu B tới khâu C
Hình 2. Mơ hình động học cơ hệ máy phay CNC 5 trục
DMU50e
Chuỗi động học thứ nhất gồm giá (thân máy) và 2
khâu B và C, trong chuỗi động học này, các khâu liên kết
với nhau bằng khớp quay. Góc độ giữa trục 2 khớp quay
là 450, trục khớp quay C có phương thẳng đứng.
Chuỗi động học thứ hai gồm giá (thân máy) và 3
khâu (X, Y, Z) liên kết với nhau bằng khớp tịnh tiến. Các
khâu có phương vng góc với nhau từng đơi một, khâu
Z có phương chuyển động thẳng đứng (song song với
trục khớp C).
Các thông số động học của máy DMU50e:
- Cấu hình máy dạng XYZBC, trong đó trục B
khơng vng góc với trục C
- Góc giữa 2 trục quay B và C là 450
- Hai trục quay cắt nhau tại điểm có khoảng cách
d=155mm tính từ tâm bàn quay trục C
- Khoảng làm việc của B là [00 , 1800]
- Khoảng làm việc của C là [-1800 , 1800]
Đặt hệ tọa độ tuyệt đối của máy (O0x0y0z0) tại vị trí
tâm bàn quay C khi góc quay B và C đều bằng 00. Trục z
có phương thẳng đứng, chiều như hình 2.
Với chuỗi động học thứ nhất: Đặt hệ tọa độ của khâu
B (O1x1y1z1) tại vị trí giao nhau giữa trục B và trục C.
trục z1 có phương trùng với với trục B, chiều như hình 2.
Đặt hệ tọa độ của khâu C (O2x2y2z2) có gốc tọa độ trùng
với gốc tọa độ O0, trục z2 thẳng đứng, chiều như hình 2.

Với chuỗi động học thứ hai: Các hệ tọa độ của các
khâu X, Y, Z đều đặt tại tâm mũi dao, các trục z đều trùng
với đường tâm trục dao. Hệ tọa độ gắn trên khâu tịnh tiến
Z chính là hệ tọa độ gắn với dao cụ, gốc tọa độ đặt tại tâm
mũi dao, trục z là đường tâm dao.

là:
1

0
T  
0
0
C
B

0

0
2/2

2/2

- 2/2
0

2/2
0

 cos(C )


 2 / 2sin(C )
TBC  
 2 / 2sin(C )

 0

0  1 0 0 0  cos(C )

0  0 1 0 0  -sin(C )

0  0 0 1 - d  0


1  0 0 0 1  0

sin(C ) 0 0 
cos(C ) 0 0 
0
1 0 

0
0 1 

sin(C )

0

2 / 2 cos(C )


2/2

 2 / 2 cos(C )

2/2

0

0

0


 2 / 2d 
 2 / 2 d 
1


(3)

(4)

- Ma trận chuyển đổi thuần nhất từ máy tới khâu C
(chính là từ máy tới phơi) là:
T0W  T0B * TBC

(5)

Đối với chuỗi động học thứ hai:
- Ma trận chuyển đổi thuần nhất từ máy tới khâu Z

(chính là từ máy tới dao cụ) là:
1
0
T0T  T0X * TXY * TYZ  
0

0

0 0 X
1 0 Y 
01 Z

0 01

(6)

TWT  TW0 * T0T  (T0W ) 1 * T0T

(7)

Ta có

Véctơ chỉ phương của trục dao cụ nằm trong cột thứ
ba của ma trận TWT , tọa độ điểm tâm mũi dao nằm trong
cột thứ tư của ma trận

TWT . Như vậy:


Khảo sát động học theo thời gian thực cho cơ hệ máy phay CNC 5 trục DMU50e

i
j

k

0

x
0
0
y 
 TWT * 
1
z


1
0

0
0 
0

1

(8)

Từ đây ta xác định được hệ phương trình động học
thuận cho cơ hệ máy phay CNC 5 trục DMU50e:
i  sin(C ) / 2  (cos( B) sin(C )) / 2  ( 2cos(C ) sin( B)) / 2


(9)

j  (cos( B)cos(C )) / 2  cos(C ) / 2  ( 2sin( B) sin(C )) / 2

(10)

k  cos(B)/2 + 1/2

(11)

x  ( Z * sin(C )) / 2  (Y * sin(C )) / 2  (d * sin(C )) / 2  X * cos( B)* cos(C )  (Y * cos( B)* sin(C )) / 2
 ( Z * cos( B)* sin(C )) / 2  (d * cos ( B)* sin(C )) / 2  ( 2 * Y * cos(C )* sin( B)) / 2

(12)

 ( 2 * Z * cos(C )* sin( B)) / 2  ( 2 * d * cos(C )* sin( B)) / 2  ( 2 * X * sin( B)* sin(C )) / 2
y  (Y * cos(C )) / 2  ( Z * cos(C )) / 2  (d * cos(C )) / 2  (Y * cos( B) * cos(C )) / 2
 ( Z * cos ( B) * cos (C )) / 2  (d * cos ( B) * cos(C )) / 2  X * cos( B) * sin(C )

(13)

 ( 2 * X * cos(C ) * sin( B)) / 2  ( 2 * Y * sin( B) * sin(C )) / 2  ( 2 * Z * sin( B) * sin(C )) / 2
 ( 2 * d * sin( B) * sin(C )) / 2

(14)

z  Z / 2  Y / 2  d / 2  (Y * cos( B)) / 2  ( Z * cos ( B)) / 2  (d * cos ( B)) / 2  ( 2 * X * sin( B)) / 2

2.2. Động học ngược

Bài tốn động học ngược đối với cấu hình máy phay
CNC 5 trục DMU50e là bài toán xác định sự phụ thuộc
của bộ tham số (X, Y, Z, B, C) theo bộ tham số (x, y, z, i,
j, k). Việc giải bài tốn động học ngược nói chung có thể
sử dụng phương pháp giải tích hoặc phương pháp số. Đối
với cơ hệ máy phay CNC 5 trục, ứng dụng phương pháp
giải tích sẽ cho kết quả nhanh và chính xác hơn. Trong
nghiên cứu này, phương pháp giải tích cũng được ứng
dụng để tìm hệ phương trình động học ngược cho cơ hệ
máy phay CNC 5 trục DMU50e.
Thực hiện các biến đổi giải tích và sử dụng khái niệm
hàm arctan 2 biến, ta sẽ nhận được hệ phương trình động
học ngược cho cơ hệ máy phay CNC 5 trục DMU50e:
B  arccos(2k -1)



C  arctan 1- k  i  2 k - k 2











(15)


j, 2  k - k 2  i   k -1 j 




(16)



X  - y 2 k - k 2 - x  2 xk  cos(C )   x 2 k - k 2  2 yk - y  sin(C )   d - z  2 k - k 2




















(18)

Z   x 2  k - k 2   yk - y  cos(C )   y 2  k - k 2  - xk  x  sin(C )  d - dk  zk





(19)







Hình 3: Quỹ đạo chuyển động của cắt gọt

(17)

Y   x 2 k - k 2  yk  cos(C )   y 2 k - k 2 - xk  sin(C ) - z  d - dk  zk



Việc phân biệt hai loại quỹ đạo hình học và vật lý sẽ
giúp ta nghiên cứu ứng xử động lực học của cơ hệ theo
thời gian thực. Bởi vì quỹ đạo vật lý sẽ thể hiện được quỹ
đạo chuyển động và vận tốc, gia tốc của chuyển động tại
từng điểm trên quỹ đạo đó và tại từng thời điểm trong
suốt thời gian chuyển động.

Có nhiều phương pháp xây dựng quỹ đạo hình học
đối với những quỹ đạo là những đường cong tự do trong
không gian. Một trong các phương pháp đó là sử dụng
phương trình đường cong Bezier. Theo phương pháp này,
để tạo ra đường cong, ta cần xác định tọa độ các điểm cực
của đường cong. Số lượng điểm cực tối thiểu phụ thuộc
vào bậc của đường cong.
Quy luật vận tốc của chuyển động trong kỹ thuật
thường ứng dụng một số loại như quy luật đều, quy luật
hình thang, quy luật tam giác. Trong nghiên cứu này quy
luật vận tốc dạng hình thang được sử dụng làm ví dụ để
tính tốn.
Với quỹ đạo hình học như trong hình 3 và quy luật
vận tốc hình thang như trong hình 4 ta sẽ tính tốn được
vận tốc tại từng điểm trên quỹ đạo, từ đó tính ra thời gian
chuyển động và xây dựng được quy luật vận tốc theo thời
gian thực. Việc tính tốn (lập trình quỹ đạo) theo thời
gian được thực hiện theo [8].

3. Khảo sát động học theo thời gian thực
3.1. Quỹ đạo hình học và quỹ đạo vật lý
Khái niệm quỹ đạo hình học là khái niệm chỉ quỹ đạo
chuyển động của điểm công tác về mặt hình học, tức là
chỉ quan tâm tới hình dạng hình học trong không gian mà
không quan tâm tới quy luật chuyển động trên quỹ đạo.
Khi tính tới quy luật chuyển động trên quỹ đạo chính
là vận tốc của chuyển động (thuật ngữ trong gia công cắt
gọt gọi là lượng tiến dao) thì ta sẽ có được quỹ đạo vật lý.
Như vậy ứng với một quỹ đạo hình học nhất định, tùy
theo quy luật vận tốc chuyển động trên quỹ đạo đó ta sẽ

có những quỹ đạo vật lý khác nhau.

Hình 4: Quy luật vận tốc trên quỹ đạo cắt
Ta xây dựng được mối quan hệ giữa các tọa độ x, y, z
theo thời gian thực như hình 5.


Nguyễn Văn Cơng, Chu Anh Mỳ

Hình 5: Giá trị các tọa độ x, y, z theo thời gian thực
Từ các tọa độ x, y, z trên quỹ đạo hình học ta tính
tốn các giá trị cơsin chỉ hướng của véc tơ trục dụng cụ i,
j, k tương ứng. Trong gia công CNC 5 trục, người ta
thường chọn trục dao cụ luôn nghiêng trong cả 2 mặt
phẳng so với véctơ pháp tuyến của quỹ đạo. Giá trị góc
nghiên theo mặt phẳng yOz là  = 100, giá trị góc
nghiêng theo mặt phẳng xOz là β = 80.
Từ đó ta tính được bộ giá trị (i, j, k) tương ứng tại
từng vị trí (x, y, z) trên quỹ đạo theo thời gian thực.

Hình 7: Giá trị 3 biến khớp tịnh tiến X, Y, Z

Hình 8: Vận tốc 3 biến khớp tịnh tiến X, Y, Z

Hình 6: Giá trị bộ (i, j, k) theo thời gian thực
3.2. Khảo sát động học ngược theo thời gian thực
Với hệ các phương trình động học ngược cho cơ hệ
máy phay CNC 5 trục DMU50e đã được thiết lập, căn cứ
vào các giá trị đầu vào (x, y, z, i, j, k) theo thời gian thực,
ta sẽ tìm ra bộ giá trị (X, Y, Z, B, C) tương ứng. Từ đó ta

xây dựng được các quy luật theo thời gian của tọa độ, vận
tốc và gia tốc cho 5 biến khớp này.
Đồ thị giá trị, vận tốc và gia tốc của 3 biến khớp tịnh
tiến X, Y, Z như trong hình 7, hình 8, hình 9.

Hình 9: Gia tốc 3 biến khớp tịnh tiến X, Y, Z
Đồ thị vận tốc và gia tốc của 2 biến khớp quay B, C
như trong các hình 10, hình 11, hình 12.


Khảo sát động học theo thời gian thực cho cơ hệ máy phay CNC 5 trục DMU50e
B, khi cắt theo quy luật vận tốc biến đổi (đường V1 trong
hình 4) thì độ dốc của 2 nhánh của đồ thì giá trị trong
hình 10 đều khác so với khi cắt theo lượng tiến dao đều
(đường V2 trong hình 4). Tương tự như vậy, quy luật vận
tốc (thể hiện trong hình 11) và quy luật gia tốc (thể hiện
trong hình 12) đều phụ thuộc vào quy luật của vận tốc
chuyển động trên quỹ đạo cắt.

4. Kết luận

Hình 10: Đồ thị giá trị 2 biến khớp quay B, C

Bài báo đã xây dựng được hệ phương trình động học
thuận và ngược cho cơ hệ máy phay CNC 5 trục
DMU50e. Trên cơ sở hệ phương trình động học của cơ
hệ, bài báo đã khảo sát ứng xử động học theo thời gian
thực. Các kết quả trên là tiền đề quan trọng giúp cho việc
khảo sát động học và động lực học cơ hệ máy phay CNC
5 trục.


Tài liệu tham khảo
[1]

E.L.J. Bohez. Five-axis milling machine tool kinematic
chain design and analysis. International Journal of
Machine Tool & Manufacture, 42, (2002), pp. 505–520.

[2]

O. Remus Tutunea-Fanta, His-Yung Feng. Configuration
analysis of five-axis machine tools using a generic
kinematic model. International Journal of Machine Tool &
Manufacture, 44, (2004), pp. 1235–1243.

[3]

Y.Y. Hsu, S.S. Wang. A new compensation method for
geometry errors of five-axis machine tools. International
Journal of Machine Tool & Manufacture, 47, (2007), pp.
352–360.

Hình 11: Đồ thị vận tốc 2 biến khớp quay B, C

[4]

Jianxiong Chen, Shuwen Lin, Bingwei He. Geometric
error compensation for multi-axis CNC machines based on
differential


transformation.

International

Journal

of

Advanced Manufacturing Technology, 71, (2014), pp.
635–642.
[5]

Chen-Hua She, Chun-Cheng Chang. Design of a generic
five-axis postprocessor based on generalized kinem-atics
model of machine tool. International Journal of Machine
Tool & Manufacture, 47, (2007), pp. 537–545.

[6]

Knut Sorby. Inverse kinematics of five-axis machines near
singular configurations. International Journal of Machine
Tool & Manufacture, 47, (2007), pp. 299–306.

[7]

Jixiang Yang, Yusuf Altintas. Generalized kinematics of
five-axis serial machines with non-singular tool path
generation. International Journal of Machine Tool &
Manufacture, 75, (2013), pp. 119–132.


Hình 12: Đồ thị gia tốc 2 biến khớp quay B, C
Như vậy, với việc sử dụng quỹ đạo vật lý, thơng qua
hệ các phương trình động học ngược ta sẽ nhận đươc các
quy luật biến đổi của các góc quay B và C theo thời gian
thực. Ta nhận thấy, với cùng một quỹ đạo cắt, tuy nhiên,
lượng tiến dao (Feedrate) thay đổi theo các giá trị và quy
luật khác nhau thì ứng xử động học của các khâu trong cơ
hệ máy phay CNC 5 trục sẽ rất khác nhau. Ví dụ với khâu

[8]

Nguyễn Văn Khang & Chu Anh Mỳ. Cơ sở robot công
nghiệp. NXB Giáo dục Việt Nam. 2011.