Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 318-323, DOI 10.15625/vap.2019000296

Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát
cấp phân số
Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung
Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
E-mail: ,


Tóm tắt
Đạo hàm cấp phân số đang được sử dụng để mô tả quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng, giữa lực và dịch chuyển, giữa lực và vận
tốc,… trong các hệ cơ học và cơ điện tử. Bài báo này nghiên
cứu dao động của dầm tính đến yếu tố phi tuyến hình học và cản
cấp phân số. Sử dụng phương pháp trung bình hóa tính tốn dao
động cộng hưởng của dầm và ảnh hưởng của số hạng cản cấp
phân số đến đường cong biên độ - tần số.

phương trình dao động uốn của dầm chú ý đến tính phi
tuyến hình học có dạng [8, 9]
4w
2 w
2w
w
EI 4  N 2   A 2  
 k f w  p ( x, t ) (1)
t
x
x
t

p ( x, t )

P0 (t )
x

Từ khóa: dầm phi tuyến hình học, đạo hàm cấp phân số, dao
động cộng hưởng, phương pháp trung bình hóa.

z

Hình 1. Mơ hình dầm

1. Mở đầu
Đạo hàm và tích phân cấp phân số đã được đề cập
đến từ cuối thế kỷ XVII. Tuy nhiên phải đến cuối thế kỷ
XIX lý thuyết đạo hàm và tích phân cấp phân số mới
được nghiên cứu bởi các nhà toán học Liouville,
Grünwald, Letnikov, Riemann, v.v… Lúc đầu lý thuyết
đạo hàm cấp phân số được phát triển chủ yếu như là một
lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích
cho các nhà tốn học. Tuy nhiên, một vài chục năm gần
đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm và tích phân cấp
khơng ngun rất phù hợp cho sự mơ tả tính chất của
nhiều loại vật liệu mới, chẳng hạn như vật liệu polymer.
Họ cũng chỉ ra rằng những mơ hình cấp phân số thích
hợp hơn những mơ hình cấp ngun đã được sử dụng
trước đó. Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử
dụng các mơ hình dựa trên đạo hàm cấp phân số là hợp lý
và phù hợp [1-7].
Trong bài báo này, áp dụng phương trình dao động

phi tuyến của dầm của dầm [8] thiết lập phương trình vi
tích phân phi tuyến mô tả dao động của dầm khi chú ý
đến tính chất phi tuyến hình học và cản cấp phân số. Sử
dụng phương pháp Ritz-Galerkin biến đổi phương trình
vi tích phân mô tả dao động uốn của dầm về hệ phương
trình vi phân thường. Sau đó áp dụng phương pháp trung
bình hóa tính tốn dao động cộng hưởng của dầm.

2. Biến đổi phương trình dao động của dầm
phi tuyến về hệ phương trình vi phân thường
Trong bài báo này xét dao động uốn của dầm khi tính
chất đàn hồi của vật liệu tuân theo quy luật đàn hồi tuyến
tính, xét ảnh hưởng của tính phi tuyến hình học và bỏ
qua tác dụng của lực ở đầu trục, P0 (t )  0 . Khi đó

Xét trường hợp trên dầm cịn có thêm thành phần cản
 w
cấp phân số   . Khi đó phương trình (1) trở thành
t
4
 w
2w
2w
EI 4  N 2   A 2
x
x
t
w
 w


    k f w  p ( x, t ) (2)
t
t
Trong (2), thành phần lực dọc N có dạng
2
EA L  w 
N
(3)

 dx
2 L 0  x 
Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin ta tìm nghiệm của
phương trình vi - tích phân (2) dưới dạng


w( x, t )    n ( x)qn (t )

(4)

n 1

Trong đó  n ( x) là hàm dạng của dầm. Theo [10] hàm
dạng  n ( x) thỏa mãn phương trình sau
d 4  n ( x)  A 2
n  n ( x )

(5)
EI
dx 4
Trong đó

n 4 4 EI
n2 
(6)
 AL4
Từ (4) ta suy ra
w  d  i ( x)

qi (t )
x i 1 dx
Do đó
2
w w   d  i ( x) d  j ( x)
 w 
 
qi (t )q j (t ) (7)

 
x x i 1 j 1 dx
dx
 x 
Thế (7) vào biểu thức (3) ta được


Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung
N

EA    L d  i ( x) d  j ( x) 
dx  qi (t )q j (t )
 
2 L i 1 j 1  0 dx

dx


x
, ta có
L
L d  ( x) d  j ( x)
1 L d  i ( ) d  j ( )
i
d
dx  
0 dx
L 0 d
dx
d
Ta đưa vào ký hiệu
L d  ( ) d  j ( )
i
(9)
kij  
d
0
d
d
thì
L d i  x  d  j  x 
1
dx  kij
(10)
0 dx

dx
L
Thế (10) vào (8) ta được
EA  
(11)
N  2  K ij qi (t )q j (t )
2 L i 1 j 1
Thế (4), (5) và (11) vào phương trình (2) ta được

Nếu ký hiệu  



   Aq (t )   q (t )  k
n

n 1

n

f

qn (t )



   Aq (t )   q (t )  k
n

f


(12)

 qn (t ) 
  n ( )
t  

( )d   1

Nếu sử dụng ký hiệu


 d 


 1

1
d n
d n d m

d    knm (18)
d  0 0 d d


 m

0

Chú ý đến các điều kiện biên của dầm, ta có

 m (0)  0,  m (1)  0 với dầm hai đầu bản lề hoặc

d  n (0)
d  n (1)
 0,
 0 với dầm đầu tự do.
d
d

Từ đó suy ra
kf 

  qm (t )


(
)
qm (t )   m2 
q
t

A
A m
 A t 

E
2  L4








 K
n 1 i 1 j 1

ij

K mn qi q j qn 

(19)

1

1
 m ( ) p ( , t )d 
(20)
 AL 0
Phương trình (19) có thể viết ở dạng tổng hữu hạn
kf 

  qm (t )


(
)
qm (t ) 
qm (t )   m2 
q

t

A
A m
 A t 

hm (t ) 



E
2  L4

M

M

M

 k k
n 1 i 1 j 1

q q j qn 

ij mn i

(14)

 hm (t ),
(m  1, 2,..., M )

(21)
Trong một vài tài liệu người ta thường chuẩn hóa các hàm
riêng bằng biểu thức
 m ( )  2 sin(m  ) ,
(22)
và đưa vào ký hiệu
1
 2 m 2 khi m  n
d n d m
knm  kmn  
d  
(23)
d
khi m  n
0
0 d

(15)

Khi đó phương trình (21) có dạng
  qm (t )

 

qm (t ) 
qm (t )  m2  1  4  qm (t )  
A
 A t 
 m 


 qn (t ) 
2
  m ( )d 
t   0
1

1
 m ( ) p ( , t )d 
L 0

1
 ( ) p( , t )d   hm (t )
 AL 0 m

Trong đó

Ta chọn hàm  m ( ) chuẩn hóa theo điều kiện
0

0

1
d 2  n ( )
d  d n
d


0  m d  d
d 2


1

1



2
m

  m ( )



1
d 2  n ( )
EA   

k
q
(
t
)
q
(
t
)
q
(
t
)

(
)
d

 ij i j n  m
2 L4 n 1 i 1 j 1
d 2
0

1

1



(13)
Nhân phương trình (13) với hàm dạng  m ( ) và lấy
tích phân trên tồn bộ chiều dài của dầm từ 0 đến L, sử
dụng tính chất trực giao của hàm dạng, ta được
  Aqm (t )   qn (t )  k f qm (t ) 
  Am2 qm (t )  

(17)

Chú ý rằng

qm (t ) 

 p( , t )




1

1
 m ( ) p( , t )d 
 AL 0





d 2  n ( )
EA   

K
(
t
)
(
t
)
q
(
t
)
q
q

ij

i
j
n
2 L4 n 1 i 1 j 1
d 2



kf
  qm (t )

qm (t )  m2 qm (t ) 
qm (t )  
A
A
 A t 

E   
 kij Rmn qi (t )q j (t )qn (t ) 
2 L4  n 1 i 1 j 1

qn (t )

  An2 qn (t )  

(16)

hai đầu ngàm, hoặc

Chú ý rằng

d 2  n ( x) 1 d 2  n ( )
 2
dx 2
L
d 2
Do đó phương trình (12) có dạng





 qn (t ) 
  n ( x)
t  

 p ( x, t )



qm (t ) 



d 2  n ( x)
EA   
 2  K ij qi (t )q j (t )qn (t )

2 L n 1 i 1 j 1
dx 2


n 1

Rmn    m ( )



  An2 qn (t )  

n

d 2  n ( )
d
d 2
0
thì phương trình (14) có dạng
1

(8)



m2
2

2R m

M

2


n q q
n 1

2

2
n m

 hm (t )

(24)


Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số
Trong đó

phương trình (32) có dạng
q(t )   2 q(t )   f  q, D p q, q 

 4 EI
,
m2  02 m 4 , 02 
 AL4
k

kf

 A02

I

,
A

, R

(25)

với 0 là tần số cơ bản.
Khi ta lấy M  1 , từ (24) ta có
q1 (t ) 


(26)

Phương trình vi phân (26) là phương trình Duffing có
thêm số hạng cản dạng đạo hàm cấp phân số.
Để có thể áp dụng phương pháp trung bình hóa, giả
thiết rằng phương trình (26) có thể viết dưới dạng sau
q1 (t )  02 q1 (t )   [  k02 q1 (t ) 

02
2R

2

q13 (t ) 

 p  p q1 (t )

 h1 (t )]

 A t p


q (t )
A 1
(27)

Hàm h1 (t ) ở vế phải được tính từ biểu thức (19) và (21)
1

h1 (t )



1
1 ( ) p( , t )d 
 AL 0
1

1
2 sin(  ) p ( , t )d  ,
(28)
 AL 0
còn  là tham số bé. Xét trường hợp dầm chịu tác dụng
của tải trọng ngoài phân bố đều với quy luật
p( x, t )  P0 cos t  p( , t )  P0 cos t
(29)
Khi đó hàm h1 (t ) có dạng



1

h1 (t )



1
2 sin(  ) P0 cos td 
 AL 0

2P 2
 0
cos t
 AL

(30)

3.1. Thiết lập phương trình đường cong biên độ tần số
Để nghiên cứu dao động cộng hưởng chính của hệ
(26),   0 , ta đặt

 2  02  
(31)
Trong đó,  là tham số bé,  thể hiện sự sai lệch giữa
 với 0 .Từ đó, phương trình (27) có dạng
q1 (t )   2 q1 (t )    k   2       q1 (t )






2

  

2R2

q13 (t ) 

2
,
2R2




q (t )
A 1

 p  p q1 (t )
2P 2
 0
cos t
 A t p
 AL

(32)

Bỏ qua ảnh hưởng của các vô cùng bé bậc cao  2 ,


 p q (t )
 E cos t , (34)
t p


,
A

p
2P 2
,
E 0
A
 AL
Biến đổi phương trình vi phân (33) về dạng chuẩn
Lagrange-Bogoliubov bằng phép biến đổi
q  a cos 
(35)
q   a  sin 
(36)
  t  
(37)
Trong đó a,  là các hàm biến đổi chậm theo thời gian.
Đạo hàm phương trình (35) theo thời gian và so sánh với
(36) ta có hệ thức
a cos   a sin   0
(38)
Đạo hàm biểu thức (36) theo thời gian ta có q . Sau đó
thay thế (35), (36) và q vào phương trình (33) ta được
p 


a  sin   a  cos    f (q, D p q, q )
(39)
Giải hệ hai phương trình đại số tuyến tính, các phương
trình (38) và (39), ta nhận được a và 
3
a  
f (a,  ,  ) sin 

(40)
3
  
f (a,  ,  ) cos 
a

Trong đó
f (a,  ,  )    k  2    a cos    a 3 cos3 
 p q t 

 E cos     (41)
t p
Thực hiện tính thành phần đạo hàm cấp phân số dựa trên
công thức sau [3]
p 

D p cos  x   p cos   x 
,
2 

(42)

p 

p
p
D sin  x   sin   x 

2 

  a  si n    p

3. Khảo sát dao động trong vùng cộng hưởng
chính



Trong đó q1 (t ) được thay bằng q(t) và hàm vế phải có
dạng
f (q, D p q, q )    k  2    q (t )   q 3 (t )
  q (t )   p

2

q1 (t )  02 1  k  q1 (t )  0 2 q13 (t )
A
2R
 p  p q1 (t )

 h1 (t )
 A t p


(33)

q  a cos   a cos  t   

 a cos  cos   t   a sin  sin   t 

(43)

 q t 
p

p 

(44)
 a p cos   

2 
t p

Khi đó biểu thức (41) trở thành
f (a,  ,  )    k  2    a cos    a 3 cos3    a  sin 
p 

  p  p a cos
(32)   2   E cos     (45)
Phương trình trung bình hóa của hệ (40) có dạng


Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung
a  





  



a

(46)

f  a,  ,   cos     2  a,  

Chú ý đến biểu thức (45) ta được
 p a p
 p
sin 
f  a,  ,   sin  
2
 2

  a E sin 
,


2
2



 p a p

 p a0 p

2
3
 p   a0 k 3a0


cos 
(48)

2
2
8
 2 
a  E cos  0
 0 
0
2
2
Bình phương hai vế hai biểu thức rồi cộng lại ta được
phương trình đường cong biên độ tần số

  p a0 p
 p   a0 
sin 




2
2 
 2 


2

2
3
  p a0 p
 p   a0 k 3a0 a0 


 
cos 


2
2
8
2 
 2 


E2
0
4

 da0
 dt  1  a0 , 0 


 d 0    a ,  
2
0
0
 dt
Nên ta có
d  a 
  
  
   1   a    1  

dt
a

0
  0
d  

  2 
  2 

  a      

dt
a

0

0

Ta biểu diễn nghiệm dưới dạng
 a  M 1et ,   M 2 et

(51)

(52)

(53)

Với M i  i  1, 2  là các hằng số. Thay thế các biểu thức
này vào (50) ta sẽ có các phương trình đại số đối với các
hằng số M i  i  1, 2 
  1 

  
   M1    1  M 2  0
 

  0
  a 0


(54)
   2 

  2 

 M 1         M 2  0
 a 0
0

 

Để cho các hằng số M i  i  1, 2  không đồng thời triệt
tiêu, định thức của các hệ số của chúng     phải bằng

2

0
(49)

3.2. Khảo sát ổn định của nghiệm dừng
Để nghiên cứu tính ổn định của các nghiệm dừng
a0 ,  0 xác định bởi phương trình (46) của phương trình
vi phân (38) ta hãy xét nghiệm tùy ý a,  của nó với giá
trị đầu đủ gần a0 ,  0 . Nghiệm a,  sẽ được biển diễn
dưới dạng
a  a0   a,    0  
Trong đó  a,  là 2 biến mới. Rõ ràng nếu  a, 
dần tiến tới 0 khi t tăng lên vơ cùng thì nghiệm a,  của
hệ (40) sẽ dần đến nghiệm dừng a0 ,  0 khi t tiến đến vơ
cùng, khi đó nghiệm dừng a0 ,  0 của hệ (46) sẽ ổn định.
Như vậy là sự ổn định của nghiệm dừng a0 ,  0 sẽ được
tính tốn theo sự biến thiên của các hàm  a,  .
Khai triển Taylor vế phải của 2 phương trình trên ta có:
da da0 d  a 


dt
dt
dt



  
  
  1  a0 ,  0    1   a   1     ...,


a


0

0 

d d 0 d  


dt
dt
dt

(50)

Do

2
3
 p   ak 3a 

cos 



2
2
8
 2 
E cos  a


(47)
2
2
Từ điều kiện a0  0, 0  0 ta suy ra biểu thức xác định
nghiệm dừng
 p a0 p
 p   a0 E sin  0

 0,
sin 

2
2
2
 2 

f  a,  ,   cos   






  2 
  
   2  a0 ,  0   
 a   2     ...

 a 0
  0 


f  a,  ,   sin    1  a,  

 1 
 
 a 0



  
 2 
 a 0

 1 

  0



  
  2  

  0

0

(55)

Hoặc
 1  2 


 0
 a

2   

   2 1  2 
2  1 

0
(56)

 a 0
 a
Nếu 2 nghiệm  của phương trình (56) đều có phần thực
âm thì nghiệm a0 ,  0 của hệ (40) sẽ ổn định tiệm cận,
nghĩa là
   2 
0
H  a0 , 0    1 
 0

 a
   2 1  2 

0
K  a0 , 0    1 

 a 0
 a
Trong đó


Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số
 p 
H  a0 , 0    p 1 p sin 
 
 2 

2  2 k 2 
3
 p 

K  a0 , 0    p  2 p   a02 
 cos 

4
3
3
 2 



 p  p 1
2p
2
 32sin 
    p  16   p
 2 
 16  4 k 2   48 a02 k  16 2  32 k   2

 27 a04 2  48 a 2  16 2

3.3. Vẽ đồ thị đường cong biên độ tần số
Xét phương trình (27)
q(t )  o2 q (t )  ko2 q(t )   q 3 (t )
 p q (t )
 E cos t
t p
Để vẽ đường cong biên độ tần số theo phương trình (49)
ta sử dụng bộ số liệu sau đây :
 p  0.1, p  0.5, E  1,   1,
  q (t )   p

  0.2, k  0.1, 0  1,   0
Một số kết quả tính được thể hiện trên các hình 2, 3 và 4.
Trong đó hình 2 là đồ thị đường cong biên độ - tần số.
Hình 3 là ảnh hưởng của tham số cản cấp phân số
 p  0.1;0.2;0.5 . Hình 4 là ảnh hưởng của bậc đạo hàm
cấp phân số p  0.25; 0.5; 0.75 .

Hình 4. Đường cong biên độ - tần số (xét tới ảnh hưởng
của tham số p )


4. Kết luận
Trong bài báo này, việc tính tốn dao động phi tuyến
hình học của dầm chịu tác dụng của lực cản cấp phân số
đã được khảo sát. Một vài kết quả chính của bài báo có
thể tóm tắt như sau:
1) Thiết lập phương trình dao động của dầm có tính
đến yếu tố phi tuyến hình học và lực cản cấp phân số. Sau
đó sử dụng phương pháp Ritz-Galerkin biến đổi phương
trình vi tích phân mơ tả dao động uốn của dầm về hệ
phương trình vi phân thường. Trong trường hợp đơn giản
khi chỉ xét một số hạng đầu tiên trong khai triển
Ritz-Galerkin ta nhận được phương trình Duffing có số
hạng cản cấp phân số.
2) Áp dụng phương pháp trung bình hóa tính tốn
dao động cộng hưởng của dầm. Nghiên cứu một vài ảnh
hưởng của số hạng cấp phân số đến đường cong biên độ tần số.

Lời cảm ơn
Bài báo này được hoàn thành với sự tài trợ bởi Quỹ Phát
triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED).
Hình 2. Đường cong biên độ - tần số (đường nét đứt thể
hiện điều kiện ổn định)

Tài liệu tham khảo
[1]

K.B. Oldham, J. Spanier, The Fractional Calculus, Dover
Publications, New York 1974.


[2]

Miller, K.S. and Ross, B., An introduction to the
Fractional

Calculus

and

Fractional

Differential

Equations, John Wiley & Sons Inc., New York 1993.
[3]

Podlubny, I., Fractional Differential Equations, Academic
Press, San Diego 1999.

[4]

Baleanu, D., et al.(eds), Fractional Dynamics and Control,
Springer, New York 2012.

[5]

Hình 3. Đường cong biên độ - tần số (xét tới ảnh hưởng
của tham số  p )

Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có

đạo hàm cấp phân số, Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học
và Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt
Nam, 2017.


Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung
[6]

Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien, Subharmonic
resonance of Duffing oscillator with fractional-order
derivative, ASME Journal of Computational and Nonlinear
Dynamics, Vol. 11, pp. 051018, 2016.

[7]

Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien,
Resonance oscillation of third order forced van der Pol
system with fractional order derivative, ASME Journal of
Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11, Issue 4,
pp. 0410301-0410305, 2016.

[8]

H. Kauderer, Nichtlineare Mechanik, Springer-Verlag,
Berlin 1958.

[9]

Nguyễn Văn Quyền, Dao động hỗn độn của dầm phi tuyến,
Luận văn Thạc sỹ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội,

2011.

[10] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4),
NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2005.