Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 275-282, DOI 10.15625/vap.2019000290

Phân tích động bài tốn nứt phẳng của vật liệu FGM bằng
phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4)
Nguyễn Đình Dư1, Nguyễn Đình Đức2, và Bùi Quốc Tính3
1
2
3

Khoa Kỹ thuật Cơng trình, Đại học Lạc Hồng

Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Department of Civil and Environmental Engineering, Tokyo Institute of Technology, Tokyo, Japan
E-mail:

Tóm tắt
Trong bài báo này, hệ số cường độ ứng suất động (DSIFs) của
vật liệu FGM trong bài tốn nứt phẳng hai chiều được tính tốn
và phân tích bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4).
Phần tử XCQ4 là sự kết hợp giữa phần tử hữu hạn mở rộng
(XQ4) với thủ tục nội suy kép (CIP) được phát triển gần đây
nhằm làm trơn trường đạo hàm thay vị bất liên tục tại nút. Tại
đỉnh vết nứt được làm giàu bởi các hàm chức năng cơ bản và
hàm Heaviside thì hỗ trợ làm giàu dọc theo đường nứt. Hệ số
DSIFs được tính tốn từ dạng động của tích phân tương tác
khơng đồng nhất kết hợp với trường tiệm cận gần vết nứt. Kết
quả thu được từ phương pháp nghiên cứu được so sánh với các
kết quả tham khảo như phương pháp không lưới, phương pháp

XFEM, phương pháp phần tử biên (BEM).
Từ khóa: Thủ tục nội suy kép CIP, Vật liệu FGM, Cơ học phá
hủy.

1. Mở đầu
Vật liệu chức năng hay vật liệu có tính chất cơ lý biến
đổi, tên quốc tế thường được nhắc đến là Functionally
Graded Material (FGM), đã thu hút đáng kể sự quan tâm
của cộng đồng khoa học trong và ngoài nước bởi các tính
năng ưu việt mà nó mang lại [1]. Sự ra đời ban đầu của nó
là một sự địi hỏi thực tế về một dạng vật liệu có khả năng
khắc phục được nhược điểm của kim loại khi chịu nhiệt
độ cao, sau đó thì được áp dụng một cách rộng rãi và
nhanh chóng vào nhiều lĩnh vực như hàng khơng vũ trụ,
năng lượng hạt nhân, sinh học, điện tử, quang học, chuyển
đổi năng lượng. Cấu tạo chính của vật liệu FGM bao gồm
hai thành phần là gốm và kim loại, đẳng hướng và khơng
đồng nhất. Với thuộc tính biến đổi đều, vật liệu FGM giúp
cải thiện khả năng chống lại sự phân tách lớp và hình
thành vết nứt do mỏi. Đặc biệt là làm giảm hoặc loại bỏ
đáng kể sự tập trung ứng suất giữa các lớp vật liệu trong
vật liệu composite. Nhìn chung, khi thiết kế kết cấu vật
liệu FGM, vấn đề về cơ học phá hủy cần được quan tâm,
quan trọng hơn là khi chịu tải trọng động, đều đó sẽ giúp
kéo dài tuổi thọ kết cấu [2].
Mặc dầu vật liệu FGM khác với liệu đồng nhất là tận
dụng tối đa sự phân hóa để khai thác được ưu điểm của
vật liệu cấu thành. Tuy nhiên, trường ứng suất gần đỉnh
vết nứt thì mang tính đơn lẻ, cũng giống như vật liệu đồng


nhất, là giống nhau cho bất kỳ sự thay đổi nào của mô đun
đàn hồi [3]. Năng lượng biến dạng được tích tụ mạnh mẽ
trong vùng lân cận đỉnh vết nứt do trường ứng suất cục bộ
này, và đó là nguyên nhân cho sự phát triển vết nứt bắt
đầu. Trường ứng suất này khơng thể tính là một điểm mà
là cả một miền lân cận đỉnh vết nứt được đại diện bởi hệ
số cường độ ứng suất (SIFs). Hiện nay, rất nhiều phương
pháp giải tích đều tính được SIFs, trong phân tích động
thì được gọi là DSIFs, của vật liệu FGM được công bố
rộng rãi [4], [5]. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ giải
quyết những bài tốn đơn giản trong khi phương pháp số
thì linh hoạt hơn và phù hợp với nhiều bài toán phức tạp.
Phương pháp BEM được tác giả Gao và cộng sự tính SIFs
theo mode I cho tấm FGM bị nứt [6], còn DIFs thì được
cơng bố bởi hai nhóm tác giả Zhang [7] và Sladek [8].
Nhóm tác giả Bùi Quốc Tính thì áp dụng thành công
phương pháp không lưới với hàm dạng được cải tiến
trong việc tính tốn SIFs và cả DSIFs cho vật liệu FGM
[9]. Phổ biến hơn hết là phương pháp Phần tử hữu hạn mở
rộng (XFEM), đã được công bố bởi nhiều tác giả. Có thể
nhắc đến ở đây là nhóm tác giả Kim và Paulino, họ đã sử
dụng các dạng tích phân tương tác khác nhau để tính SIFs
và DSIFs cho nhiều dạng bài tốn khác nhau, có thể tìm
thấy chi tiết trong [10], [11]. Kết quả thu được là đáng tin
cậy.
Gần đây, một phương pháp số mới được phát triển dựa
trên nền tảng là FEM truyền thống nhưng được cải tiến
với thủ tục nội suy kép (consecutive-interpolation
procedure – CIP) nhằm khắc phục những hạn chế của
FEM về sự bất liên tục của trường đạo hàm. Bắt đầu từ

cuối năm 2014, nhóm tác giả Bùi Quốc Tính cơng bố
thành cơng khi phân tích các vấn đề cơ vật rắn chịu tải
tỉnh với phần tử CQ4 (Phần tử hữu hạn tứ giác nội suy
kép) [12], tiếp theo đó là cơng bố về bài tốn động [13]
của cùng nhóm tác giả. Nối tiếp thành cơng đó, tác giả
Zuoyi Kang cùng các cộng sự áp dụng phần tử CQ4 với
kỹ thuật làm giàu, được gọi là XCQ4, để phân tích và tính
tốn hệ số SIFs cho vật liệu đồng nhất đẳng hướng [14]
và DSIFs cho vật liệu composite dị hướng [15]. Trong bài
báo này, phần tử XCQ4 được áp dụng vào tính tốn và
phân tích hệ số DSIFs của vật liệu FGM. Hai ví dụ số sẽ


 

Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức và Bùi Quốc Tính

được thực hiện và so sánh với các công bố trước đó nhằm
đánh giá hiệu quả của phương pháp.

2. Cơ học phá hủy trong vật liệu FGM
Xét một vật thể 2-D bị nứt, được cấu thành từ vật liệu
FGM chịu điều kiện như Hình 1. Phương trình tổng thể ở
dạng thu gọn sau khi áp dụng các điều kiện biên tương
ứng có thể được viết như [9]:

u




T

 d     S  u d     uT b d     uT t d 
u






(1)
Trong đó,  là khối lượng riêng, b là lực bản thân, t
là ngoại lực,  u là biến phân của trường chuyển vị u, 
là trường ứng suất. Mỗi quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng vẫn tuân thủ theo Định luật Hooke’s và được viết
như sau:

  C(x)

(2)

Trong đó, C(x) là ma trận tính chất vật liệu khơng
đồng nhất và phụ thuộc môđun đàn hồi E(x) và hệ số nở
hơng (x). Đối với bài tốn phẳng, C(x) được viết như
bên dưới:
1   ( x)  ( x)
E ( x)

C ( x) 
 ( x) 1   ( x)

1


(
x
)
1

2

(
x
)


  0
0


0


0

1   ( x)  / 2 

Cho trường hợp biến dạng phẳng

C ( x) 


 1  ( x)
E ( x) 
 ( x) 1
1   ( x)2 
 0
0


0


0

1   ( x)  / 2 

(3)

cho trường

hợp ứng suất phẳng

(4)

 
Trường ứng suất và chuyển vị vùng lân cận đỉnh vết
nứt của vật liệu FGM cũng giống như vật liệu đồng nhất.
Tuy nhiên có sự điều chỉnh ở môđun đàn hồi chống cắt
trong trường chuyển vị cho phù hợp. Đối với mode phá
hoại thứ nhất, trường ứng suất và chuyển vị được viết như
sau:



KI
 
    3  
cos   1  sin   sin   
 xx 
2
2 r
 
 2   2 


KI
 
    3  

 yy  2 r cos  2  1  sin  2  sin  2  


KI
u x 
2 TIP


KI

u y  2 
TIP



r
 
  
cos    TIP  1  2sin 2   
2
 2 
 2 

(5)

r
 
  
sin   TIP  1  2cos 2   
2
 2 
 2 

Tương tự cho mode phá hoại thứ 2,

K II
 
 
 3  
sin    2  cos   cos   
 xx  
2 r

 2 

2
 2 

  K II sin    cos    cos  3 
 
 
 
 yy
2 r
2
2
 2 


K II
r
 
  
sin    TIP  1  2cos 2   
u x 
2

2

2


 2 



TIP

K II
r
 
  

cos    TIP  1  2sin 2   
u y   2
2
2

 
 2 
TIP


(6)

Trong đó, KI và KII là hệ số SIFs cho mode I và mode II,
µTIP là môđun đàn hồi chống cắt tại đỉnh nứt với

TIP  0.5ETIP / 1  TIP  ; TIP   3  TIP  / 1  TIP  cho bài

toán ứng suất phẳng và TIP  3  4 TIP cho bài toán biến
dạng phẳng.

3. Phần tử hữu hạn tứ giác mở rộng nội suy
kép (XCQ4)
3.1. Phần tử CQ4

Phần tử CQ4 là sự cải tiến từ phần tử Q4 với thủ tục
CIP được phát triển duy nhất bởi nhóm nghiên cứu mà
đứng đầu là tác giả Bùi Quốc Tính. Những thuộc tính ưu
việt cũng như chi tiết về phần tử CQ4 dễ dàng tìm thấy
trong [12], [13], [14], [15]. Để tiện theo dõi, trong bài viết
này, phần tử CQ4 sẽ được trình bày một cách ngắn gọn
như sau.
Giá trị tại một điểm cần nội suy x(x, y) trong phần tử
hữu hạn tứ giác được thể hiện trong Hình 2. Hàm dạng
CQ4 với thủ tục CIP có thể được viết như sau:
n4



[I]

[I]

R   I N [ I ]  Ix N ,x  Iy N ,y
I 1

 

(7)

trong đó N [I ] là hàm dạng cơ bản Lagrange, các đạo hàm
[I]

[I]


trung bình N ,x , N ,y được viết như sau:
Hình 1. Mơ hình nứt 2-D của vật liệu FGM

N ,x[ I ] 

  we N ,x[ I ][ e ] ,

S I

N ,y[ I ] 

  we N ,y[ I ][ e ] 

S I

(8)


 
Phân tích động bài tốn nứt phẳng của vật liệu FGM
bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4)

Hình 2. Minh họa miền nội suy trong phần tử CQ4

Hình 3. Mơ phỏng hàm dạng Q4 thơng thường (a) và hàm dạng CQ4 (b) trong 2D

Trong phương trình (8), SI là số phần tử có chung nút I,

N ,x[ I ][ e ]


là đạo hàm của N

[I]

được tính theo phần tử thứ

e và we là hàm trọng số của phần tử thứ e được định nghĩa
bởi [12].

we 

e
với e là diện tích phần tử thứ e
 e

(9)

e S I

Các hàm I ,Ix ,Iy trong phương trình (7) là chìa
khóa của phương pháp CFEM, chi tiết có thể tìm thấy
trong [12], [13], [14].
Bằng kỹ thuật nội suy kép, đạo hàm trung bình được
cộng vào cơng thức nội suy truyền thống của phần tử Q4,
hàm dạng CQ4 có sự trơn và liên tục tại nút cũng như trên
cạnh biên. Hình 3 minh họa hàm dạng cho cả CQ4 và Q4.
3.2. Kỹ thuật nội suy tại vùng nứt bởi phần tử XCQ4
Cũng giống như phần tử XQ4, việc xấp xỉ trường
chuyển vị tại đỉnh vết nứt và dọc theo vết nứt cũng được


thực hiện tương tự cho pần tử XCQ4 [14]. Bằng cách
thêm các hàm chức năng để làm giàu hàm nội suy nhằm
tăng sự chính xác khi mơ phỏng trường chuyển vị. Hai
vùng chức năng được chọn để làm giàu. Đầu tiên là vùng
dọc theo vết nứt, các nghiên cứu từ trước đến nay đều
chọn hàm Heaviside có giá trị H  f ( x)   1 nếu
f ( x)  0 và H  f ( x)   1 nếu f ( x)  0 với f ( x ) là
hàm khoảng cách từ điểm nội suy đến đường nứt. Tiếp
theo là vùng kỳ dị xung quanh đỉnh nứt. Bốn hàm chức
năng làm giàu được trích xuất từ lời giải giải tích có cơng
thức như phương trình (10) sẽ được cộng dồn vào hàm
nội suy. Cũng trong phương trình (10), r là khoảng cách
từ điểm cần nội suy đển đỉnh vết nứt,  là góc tạo bởi
giữa tiếp tuyến với đường nứt tại đỉnh vết nứt và đường
nối từ điểm x đến đỉnh vết nứt, tất cả được minh họa trong
Hình 4.


 

Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức và Bùi Quốc Tính


  
r sin   

2 


  

r cos   

2 
 F  ( x),   1,..., 4   


 
 r sin   sin( ) 
2




 
 r cos   sin( ) 


2

*
trong đó ETIP
 ETIP cho trường hợp ứng suất phẳng và

*
2
ETIP
 ETIP / 1TIP
 cho trường hợp biến dạng phẳng.

(10)


Sau một vài phép biến đổi tốn học nhất định, tích phân J
được viết lại như sau:

J d  J (1)  J (2)  I (1,2)

(14)

 
trong đó J(1) và J(2) là tích phân J ở trạng thái (1) và trạng
thái (2), I(1,2) là tích phân tương tác và trong mơ hình vật
liệu FGM [10] có thể được tính như sau:
(2) (1)
(2) (1)
I (1,2)    ij(1)ui(2)
,1   ij ui ,1   ij  ij 1 j q, j dA
A

(2) (1)
(1) (2)
  ui(1)ui(2)
,1   ij , j ui ,1  Cijkl ,1 kl  ij  qdA

(15)

A

 
Hình 4. Hình ảnh minh họa các thơng số trong phương trình (10)


Cuối cùng, chuyển vị tại một điểm bất kỳ được xấp xỉ
theo phần tử XCQ4 có cơng thức tổng quát như sau:

u h ( x) 

 R ( x)u   R ( x)  a H  f ( x)  

I Ws



I

I

R

K Wt

K

J Wc

J

J

4

( x) F  ( x)bK


(11)

liên quan đến hàm dật cấp Heaviside và hàm làm giàu
tiệm cận.

4. Tính tốn DSIFs cho vật liệu FGM
Hệ số cường độ ứng suất (DSIFs) là tham số chính để
đánh giá hành vi tại đỉnh nứt và vùng lân cận khi phân
tích động. Tích phân tương tác thường được dùng và được
hình thành bằng cách kết hợp giữa trường thực và trường
ảo trong tích phân độc lập (tích phân J) khi tính tốn
DSIFs. Cơng thức tích phân J trong phân tích động [16]
được định nghĩa như sau:
1


J d    ij ui ,1  W 1 j q. j dA     ui ui ,1  Cijkl ,1 ij  kl qdA
A
A
2


(12)
trong đó W  1 / 2 ij  ij là mật độ năng lượng biến dạng;
C ijk l là tensor đàn hồi; q là hàm trọng số có giá trị bằng 1

trong vùng lân cận đỉnh nứt và bằng 0 trên biên tích phân
J, chi tiết hàm q có thể tìm thấy trong [14]. Trong cơ học
rạng nứt đàn hồi tuyến tính, mối quan hệ giữa DSIFs (KI,

KII) và tích phân J được diễn giải như bên dưới:
1
K I2  K II2    
* 
ETIP

(1, 2 )
*
K I  I ModeI
ETIP
/ 2,

(1, 2 )
*
K II  I ModeII
ETIP
/2

(16)

 

5. Kết quả số

 1

Trong đó RI là hàm dạng CQ4 như phương trình (7). Ws,
Wc, Wt lần lượt là tập hợp các nút thông thường, nút thuộc
đường nứt và nút thuộc đỉnh nứt. uI là chuyển vị tại nút
phần tử, aI và b K  lần lượt là chuyển vị tại các nút bổ sung


Jd 

Sau cùng, giá trị DISFs được trích xuất từ tích phân
tương tác như sau:

(13) 

Trong phần này, một vài ví dụ số được phân tích
nhằm đánh giá hiệu suất của phần tử XCQ4 khi áp dụng
vào vật liệu FGM. Các mẫu thử có hình dáng đơn giản và
phức tạp. Kết quả thu được trong tất cả các trường hợp sẽ
được so sánh với những kết quả cơng bố trước đó để đánh
giá sự chính xác của phương pháp đề xuất.
5.1. Tấm chữ nhật nứt trung tâm (CCT)
Mẫu thử đầu tiên là tấm hữu hạn hình chữ nhật có
kích thước hình học 2H = 40mm, 2W = 20mm, vết nứt có
chiều dài 2a = 4.8mm và phương là nằm ngang, chi tiết
như Hình 5. Lực tác động có dạng hàm Heaviside được áp
đặt vào biên trên và biên dưới của tấm FGM. Hệ số nở
hông  = 0.3 là hằng số trong suốt tấm. Trong khi môđun
đàn hồi Young và khối lượng riêng thì biến đổi theo cùng
một hàm số mũ, cần lưu ý rằng tỷ số E/ là hằng số, được
cho như sau:
E  E 0 exp(  1 x   2 y )
(17)
   0 exp( 1 x   2 y )
trong đó E0 = 199.992 GPa and 0 = 5000 kg/m3 là môđun
đàn hồi và khối lượng riêng khi vật liệu là đồng nhất. 1
và 2 là hai hệ số mô tả sự biến đổi của vật liệu theo hai

phương x và y. Khi vật liệu là đồng nhất (1=2=0), bằng
phần tử XCQ4, Z. Kang cùng các cộng sự đã phân tích và
thu được kết quả DSIFs rất tốt với các phương pháp hiện
hành khi so sánh [15]. Trong ví dụ này, hệ số  được chọn
có giá trị cao, 1=2=0.1 mm-1, để thấy được sự phân hóa
vật liệu mạnh mẽ.


 
Phân tích động bài tốn nứt phẳng của vật liệu FGM
bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4)

Hình 5. Dạng hình học CCT và cách chia lưới

Mẫu thử CCT tương tự cũng được xem xét bởi Song
cùng các cộng sự với kỹ thuật DTC [10] và Bùi Quốc
Tính cùng các cơng sự với phương pháp khơng lưới mở
rộng (X-PRIM) [9]. Phương pháp tích phân miền thời
gian Newmark được chọn với bước thời gian t = 0.1 µs.
Lưới được chia với 2109 (3757) phần tử có quy tắc, xem
Hình 5.
Kết quả DSIFs tại đỉnh nứt bên phải thu được khi
phân tích thể hiện trong Hình 6. Trục hồnh thể hiện thời
gian được chuẩn hóa tCd/H, Cd là vận tốc sóng dọc, trong



khi giá trị DSIFs được chuẩn hố với K I ,K II /  0  a

Hình 6. Đồ thị biểu diễn giá trị DSIFs theo thời gian của phương

pháp được nghiên cứu XCQ4, XPRIM [9] và của XFEM với kỹ
thuật DTC [10]



được thể hiện trên trục tung. Dữ liệu hình ảnh cho thấy
các giá trị chuẩn hóa KI và KII đều bằng khơng trong thời
điểm chưa đến t* = 0.9 và sau đó giá trị bắt đầu tăng dần
dưới tác dụng của tải trọng động, dễ dàng nhận thấy giá
trị KII tăng chậm hơn giá trị KI. Độ lớn của cả hai DSIFs
đều biến đổi nhưng DSIF của mode-I có giá trị cực đại là
lớn hơn mode-II vì rõ ràng mẫu thử bị phá hoại theo
mode-I. Kết quả thu được cũng cho thấy rằng phần tử
XCQ4 là đáng tin cậy vì đường DSIFs-Thời gian là khớp
với hai phương pháp tham khảo.
Hành vi DSIFs trong Hình 6 có thể dễ dàng giải thích
được bằng ý nghĩa vật lý. Tại thời điểm bắt đầu lực tác
dụng, sóng dọc được tạo ra tại biên lực và sau đó lan
truyền đến đỉnh nứt. Trong khoảng thời gian này, tức là từ
lúc t = 0 đến tCd/H = 1, giá trị DSIFs luôn bằng không.
Độ lớn của DSIFs bắt đầu tăng khi sóng đàn hồi tiếp cận
đỉnh nứt. Đỉnh đầu tiên của DSIFs tương ứng với sóng
đàn hồi được truyền tới đỉnh nứt, sau đó độ lớn giảm chút
ít khi sóng tiếp tục đi xa đỉnh nứt. Sóng đàn hồi sẽ bị phản
xạ khi chúng gặp phải các cạnh biên của mẫu thử. Sự
tương tác giữa sóng đến và sóng phản xạ tại vùng lân cận
đỉnh nứt gây ra một sự nhiễu động của DSIFs được mơ ta
trong Hình 6 ngay kề đỉnh đầu tiên. Các diễn biến tiếp
theo trong Hình 6 được giải thích tương tự.


Hình 7. Giá trị DSIFs được chuẩn hóa với ba mật độ lưới và lời
giải tham khảo

Mật độ chia lưới ln có sự ảnh hưởng nhất định đến
kết quả thu được khi thực hiện với phương pháp Phần tử
hữu hạn thông thường trong mô phỏng số. Phương pháp
nghiên cứu cũng không phải là một ngoại lệ, một khảo sát
sự ảnh hưởng của mật độ chia lưới đến giá trị DSIFs được
thực hiện trong ví dụ này với ba cách chia lưới có mật độ
tăng dần từ 21×33, 29×45 và 37×57. Kết quả so sánh giá
trị chuẩn hóa DSIFs cho ba giải pháp chia lưới là tốt gần
như nhau so với kết quả tham khảo và được thể hiện trong
Hình 7. Tuy nhiên, quan sát kỹ hơn, kết quả hiện tại chỉ ra
rằng lưới thô gây ra độ lệch so với kết quả tham chiếu tại
những vùng nhiễu động và tại các vị trí đỉnh cực trị.
Trong khi kết quả thu được từ lưới mịn thì có sự trùng
khớp tốt hơn. Như vậy, mật độ lưới có ảnh hưởng đến độ


 

Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức và Bùi Quốc Tính

chính xác của DSIFs nên việc chọn lưới thích hợp là cần
thiết khi phân tích.
5.2. Tấm FGM có lỗ trịn và hai vết nứt
Một đích của ví dụ này là để chứng minh sự đa dạng
của phần tử XCQ4 khi phân tích một mẫu thử có hình
dạng phức tạp với lỗ tròn ở giữa và hai vết nứt xuất phát
từ lỗ trịn. Mẫu thử có dạng hình chữ nhật có chiều cao

2H=60mm và chiều rộng 2W=30mm. Một lỗ tròn nằm ở
tâm hình chữ nhật có bán kính r = 3.75mm. Vết nứt nằm
trên đường thẳng đi qua tâm hình trịn và có góc nghiên
θ=30° so với phương ngang, xem Hình 8. Khoảng cách
giữa hai đỉnh nứt là 2a=15mm. Ngoại lực tác dụng là lực
dựt cấp và được áp đặt vào biên trên và biên dưới. Mơ
hình được chia lưới với 1441 phần tử CQ4 biến dạng
phẳng như thể hiện trong Hình 8. Bước thời gian
t=0.2µs được chọn trong mơ hình số này.
Vấn đề đầu tiên được xem xét với tấm là vật liệu ở
dạng đồng nhất. Các thơng số tính chất vật liệu được lấy
như sau: Môđun đàn hồi Young’s E=199.992Gpa, khối
lượng riêng =5000kg/m3 và hệ số Poisson’s =0.3. Hình
9 thể hiện giá trị DSIFs thu được từ phần tử XCQ4 khi so
sánh với hai lời giả tham khảo của Song [10] và
Fedelinski [17]. Kết quả cho thấy DSIFs thu được từ
phương pháp nghiên cứu là phù hợp với lời giải tham
chiếu. Mặc khác, đường cong thu được bởi tác giả
Fedelinski có độ lệch tương đối so với đường cong của
Song và đường cong thu được từ XCQ4. Một điểm cần
lưu ý là tổng số phần tử CQ4 là 1441 bao gồm phần tử có
quy tắc và bất quy tắc trong khi Song dùng 1350 phần tử
Q8 cùng 204 phần tử T6 khi phân tích. Nhưng kết quả là
tương đồng giữa hai phương pháp. Như vậy, với số bậc tự
do ít hơn nhưng kết qua thu được từ XCQ4 là rất tốt so
với Song phân tích bởi FEM [10].

Hình 9. Kết quả so sánh giữa phương pháp nghiên cứu và lời
giải tham khảo (Fedelinski et al, 1994. và Song et al, 2006)
Bảng 1. Tính chất vật liệu và vận tốc sóng dọc tại biên trái và

biên phải

Biên trái
Biên phải

E
(Mpa)


(kg/m3)

Vận tốc
sóng dọc
(mm/s)

3811
11130

948
1812

2.33
2.88

Tiếp theo, ứng xử động của tấm FGM bị nứt được
khảo sát với tính chất vật liệu biến đổi tuyến tính theo
phương ngang và được đề xuất bởi Rousseau và các cộng
sự [18]. Môđun đàn hồi và khối lượng riêng được mô tả
như sau:
E ( x )  244 x  7471


(MPa),

 ( x )  28.8 x  1380

(kg / m 3 ) .

(18)

Hệ số nở hông  = 0.3 là hằng số trong tồn miền của
tấm. Tính chất vật liệu và vận tốc sóng đàn hồi (sóng dọc)
tại biên trái và biên phải được thể hiện trong Bảng 1. Cần
lưu ý rằng vận tốc sóng dọc là khác nhau tại hai biên vì tỷ
số giữa mơđun đàn hồi và khối lượng khơng cịn là hằng
số.

Mode-I
Đỉnh phải

Đỉnh trái

Mode-II

 

 

Hình 8. Hình dạng tấm FGM với lỗ trịn trung tâm có vết nứt và
cách chia lưới
Hình 10. Kết quả so sánh giữa XCQ4 với lời giải tham khảo của

tấm FGM biến đổi tuyến tính theo phương x


 
Phân tích động bài tốn nứt phẳng của vật liệu FGM
bằng phần tử tứ giác mở rộng nội suy kép (XCQ4)
Trong sự nghiên cứu về độ chính xác, hành vi phản
ứng động được tính tốn bởi phần tử XCQ4 so sánh cùng
với kết quả từ Song [10] cho cả đỉnh phải và trái thể hiện
trong Hình 10. Cũng tương tự như vật liệu đồng nhất, kết
quả phân tích với vật liệu FGM biến đổi tuyến tính theo
phương ngang thì phương pháp nghiên cứu cũng cho kết
quả tốt với lời giải tham chiếu mặc dầu số phần tử là ít
hơn. Điều đó cho thấy hiệu suất của phần tử XCQ4 mang
lại là rất tốt. Dễ dàng nhận thấy DSIFs tại đỉnh phải có độ
lớn bắt đầu khác khơng là sớm hơn đỉnh trái, điều này là
do vận tốc sóng dọc ở bên phải là lớn hơn bên trái, có thể
tham khảo trong Bảng 1. Tương tư, độ lớn DSIF của
mode-I tại đỉnh phải luôn cao hơn đỉnh trái ở cùng thời
điểm là do các thuộc tính vật liệu lớn hơn.

t=9µs, sóng đàn hồi bắt đầu đến đỉnh nứt phải nhưng
chưa đến đỉnh nứt trái, xem Hình 11b. Do đó, độ lớn
DSIFs tại đỉnh nứt phải bắt đầu thay đổi trong khi giá trị
tại đỉnh nứt trái vẫn giữ nguyên giá trị khơng, xem Hình
10. Trong khoảng thời gian xung quanh t=11µs, xem
Hình 11c, sóng đàn hồi lan truyền đến đỉnh nứt phải, giá
trị DSIF đạt đỉnh đầu tiên. Sóng đàn hồi sau đó tiếp tục
lan truyền và lấp đầy trên tồn miền tấm FGM như Hình
11d.


6. Kết luận
Trong nghiên cứu này, một hướng tiếp cận hiệu quả
khi xử dụng phần tử XCQ4 vào phân tích động vật liệu
FGM bị nứt. Phần tử CQ4 là một sự cải tiến từ Q4 mang
sự liên tục cho trường ứng suất và biến dạng, điều này rất
phù hợp cho mơ hình bài tốn nứt. Đặc biệt là vật liệu
FGM với tính chất vật liệu biến đổi liên tục trong toàn
tấm. Các kết quả thu được cho thấy hiệu suất của phương
pháp nghiên cứu là rất tốt. Do đó, những nghiên cứu thêm
về phân tích động với nhiều dạng tải khác nhau cho các
loại vật liệu phức tạp khác như đa pha, vật liệu tổng hợp.
Những nghiên cứu tiếp cho bài toán động phát triển vết
nứt dưới tải trọng tuần hoàn sẽ là một hướng thú vị.

Lời cảm ơn
Nhóm tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Kỹ thuật
Cơng trình, trường Đại học Lạc Hồng cũng như trường
Đại học Công nghệ - ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện
hồn thành nghiên cứu này.

Tài liệu tham khảo

Hình 11. Trường ứng suất yy tại nhiều thời điểm khác nhau của
tấm FGM có lỗ trịn bị nứt

Một điểm thú vị trong phân tích này là tính chất vật lý
của hành vi cơ rạng nứt trong Hình 10 được giải thích
thơng qua trường ứng suất yy tại nhiều thời điểm khác
nhau, được thể hiện trong Hình 11. Có thể xem sự lan

truyền trường ứng suất yy chính là vận tốc sóng dọc. Tại
thời điểm t = 8µs, xem Hình 11a, rõ ràng là sóng dọc
chưa lan truyền đến đỉnh nứt nên DSIFs tại đỉnh phải và
trái đều bằng không, xem Hình 10. Tiếp đến, thời điểm

[1] K. Shirvanimoghaddam, M. Naebe, "Functionally graded
materials: a review of fabrication and properties," Appl.
Mater, vol. Today 5, pp. 223-245, 2016.
[2] Nguyễn Đình Đức Nguyễn Hoa Thịnh, Vật liệu composite
– Cơ học và Công nghệ. Hà Nội: Nhà xuất bản Khoa học
và Kỹ thuật, 2002.
[3] F. Erdogan F. Delale, "The crack problem for a
nonhomogeneous plane," J. Appl. Mech, vol. 50, pp. 609614, 1983.
[4] G.J. Weng, N. Brunswick, Z. Duan C. Li, "Dynamic stress
intensity factor of a functionally graded material under
antiplane shear loading," Acta Mech, vol. 149, no. 1-4, pp.
1-10, 2001.
[5] M. Ayatollahi M. Monfared, "Dynamic stress intensity
factors of multiple cracks in an orthotropic strip with FGM
coating," Engng. Fract. Mech., vol. 109, pp. 45-57, 2013.
[6] C. Zhang, J. Sladek, V. Sladek X.W. Gao, "Fracture
analysis of functionally graded materials by a BEM,"
Compos. Sci. Technol, vol. 68 , pp. 1209–1215, 2007.
[7] A. Savaidis, G. Savaidis, H. Zhu C. Zhang, "Transient
dynamic analysis of a cracked functionally graded material
by a BIEM," Comput. Mater. Sci, vol. 26, pp. 167–174,
2003.
[8] V. Sladek, C. Zhang J. Sladek, "An advanced numerical
method for computing elastodynamic fracture parameters
in functionally graded materials," Comput. Mater. Sci., vol.

32 , pp. 532–543, 2005.


 

Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức và Bùi Quốc Tính

[9] Nha Thanh Nguyen, Le Van Lich, Minh Ngoc Nguyen,
Thien Tich Truong Tinh Quoc Bui, "Analysis of transient
dynamic fracture parameters of cracked functionally graded
composites by improved meshfree methods," Theoretical
and Applied Fracture Mechanics, vol. 96, pp. 642-657,
2018.
[10] G.H. Paulino S.H. Song, "Dynamic stress intensity factors
for homogeneous and smoothly heterogeneous materials
using the interaction integral method," Int. J. Solids Struct,
vol. 43, pp. 4830–4866, 2006.
[11] G.H. Paulino J.-H. Kim, "Finite element evaluation of
mixed mode stress intensity factors in functionally graded
materials," Int. J. Numer. Meth. Eng, vol. 53, pp. 1903–
1935, 2002.
[12] Vo DQ, Zhang Ch, Nguyen DD Bui QT, "A consecutiveinterpolation quadrilateral element (CQ4): formulation and
applications ," Finite Elem Anal, vol. 84, pp. 14–31, Des
2014.
[13] Nguyen DD, Zhang XD, Hirose S, Batra RC Bui QT,
"Analysis of 2-dimensional transient problems for linear
elastic and piezoelectric structures using the consecutiveinterpolation quadrilateral element (CQ4)," Eur J Mech
A/Solids, vol. 58, pp. 112-130, 2016.
[14] Bui QT, Nguyen DD, Saitoh T, Hirose S Kang ZY, "An
extended consecutiveinterpolation quadrilateral element

(XCQ4) applied to linear elastic fracture mechanics," Acta
Mech, vol. 226, pp. 3991–4015, 2015.
[15] Tinh Quoc Bui, Du Dinh Nguyen, Sohichi Hirose Zuoyi
Kang, "Dynamic stationary crack analysis of isotropic
solids and anisotropic composites by enhanced local
enriched consecutive-interpolation elements," Composite
Structures, vol. 180, pp. 221–233, 2017.
[16] G.H. Paulino J.H. Kim, "Consistent formulations of the
interaction integral method for fracture of functionally
graded materials," J. Appl. Mech, vol. 72, pp. 351-364,
2005.
[17] P., Aliabadi, M.H., Rooke, D.P Fedelinski, "The dual
boundary element method: bJ-integral for dynamic stress
intensity factors," International Journal of Fracture, vol.
65, no. 4, pp. 369-381, 1994.
[18] C.-E., Tippur, H.V. Rousseau, "Dynamic fracture of
compositionally graded materials with cracks along the
elastic gradient: experiment and analysis," Mechanics of
Materials 33, vol. 33, no. 7, pp. 403–421, 2001.