Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 269-274, DOI 10.15625/vap.2019000289

Nghiên cứu, tính tốn tần số dao động riêng nhỏ nhất của lưỡi
cưa trong máy xẻ nhiều lưỡi dạng khung kiểu mới
Phùng Văn Bình1, Trần Anh Vàng1, Hoàng Thị Diệu1, Đặng Văn Thức2, Đặng Hoàng Minh3
1

Khoa Hàng không Vũ trụ, Học viện Kỹ thuật Quân sự; 2Trung tâm Công nghệ, Học viện Kỹ thuật Quân sự
3

Khoa Cơng nghệ Cơ khí, Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
E-mail:

Tóm tắt

Bài báo trình bày phương pháp tính tần số dao động riêng
bé nhất của lưỡi cưa trong máy xẻ nhiều lưỡi dạng khung
kiểu mới. Các nghiên cứu tính tốn tần số dao động lưỡi
cưa của máy xẻ loại này chủ yếu là dùng phương pháp
phần thử hữu hạn (PTHH), còn trong nghiên cứu này
phương pháp giải tích đã được sử dụng. Để tổng qt hóa
bài tốn, lưỡi cưa được mơ hình hóa là một dầm thành
mỏng có mặt cắt hình chữ nhật ở điều kiện tiền ứng suất
dưới tác dụng của lực dọc trục F và mơmen uốn M ở 2
đầu. Cơng thức giải tích tính tần số dao động riêng nhỏ
nhất của lưỡi cưa ở hai điều kiện biên khác nhau đã được
xây dựng nhờ phương pháp năng lượng. Phần mềm
Ansys APDL đã được sử dụng để kiểm chứng tính đúng
đắn của cơng thức giải tích tìm ra. Kết quả mơ phỏng chỉ
ra rằng, cơng thức giải tích tính tần số giao động riêng

của lưỡi cưa là đúng đắn, đồng nhất với kết quả mô
phỏng số. Các hệ thức giải tích ngắn gọn trong nghiên
cứu này có thể được ứng dụng trực tiếp cho việc tối ưu
thiết kế máy xẻ nói riêng và phân tích dao động dầm
thành mỏng nói chung.

máy xẻ kiểu mới so với máy xẻ dạng khung truyền thống
sử dụng cơ cấu tay quay con trượt, đó là hệ có khả năng
tự cân bằng, nhỏ, gọn, tiết kiệm năng lượng, tốc độ quay
trục chính cao [2-3].

3
1

4

2

Hình 1. Sơ đồ ngun lý của máy xẻ kiểu mới
1-Động cơ; 2, 3-trục trên và dưới; 4-Blog gồm 6 mơđun cưa

Từ khóa: Máy xẻ nhiều lưỡi, tần số dao động riêng nhỏ nhất,
dầm thành mỏng, dao động kỹ thuật, tối ưu thiết kế.

1. Giới thiệu
Đã từ lâu, phân tích dao động kỹ thuật ln là một
bước quan trọng khơng thể thiếu trong q trình thiết kế
máy, đặc biệt là đối với các thiết bị làm việc ở tốc độ cao.
Cơ sở về phân tích dao động đã được trình bày trong lý
thuyết cơ học cổ điển với nhiều phương pháp tính tốn,

phân tích khác nhau [1]. Song song với đó, hàng loạt các
phần mềm cũng ra đời để giúp nhà thiết kế phân tích
được chính xác các đặc tính về dao động của hệ thống cơ
khí. Và quá trình thiết kế máy xẻ nhiều lưỡi dạng khung
kiểu mới cũng không là một ngoại lệ. Tuy mẫu thử
nghiệm máy xẻ đã được phát triển cách đây hơn 20 năm
bởi Blokhin (Liên Bang Nga), nhưng đến nay vấn đề dao
động của máy xẻ vẫn chưa được giải quyết triệt để [2-3].
Máy xẻ gồm 6 môđun cưa giống nhau, được hoạt
động theo nguyên lý bốn khâu bản lề hình bình hành
(Hình 1). Chuyển động được truyền từ trục dưới lên trục
trên trực tiếp qua các lưỡi cưa mà không cần cơ cấu
truyền chuyển động phụ. Hai trục được đồng bộ và
chuyển động với cùng một tốc độ quay. Các môđun cưa
được xắp xếp hợp lý đảm bảo sự cân bằng động của cả hệ
thống. Nhờ sự cải tiến cơ bản này, mẫu thử nghiệm đầu
tiên (Hình 2) đã chứng tỏ những ưu điểm vượt trội của

Hình 2. Mẫu thử nghiệm máy xẻ kiểu mới
1- Đế máy; 2 – Blog nhiều lưỡi xẻ; 3 –Động cơ;
4 – Cơ cấu tiếp vật liệu; 5– Bảng điều khiển

Tuy nhiên, quá trình nghiên cứu chế thử cũng chỉ ra
rằng, việc tăng tốc độ quay trục chính đến một giá trị nhất
định sẽ gây ra hiện tượng cộng hưởng dao động, gây ra
sự rung lắc, gãy hỏng lưỡi cưa (Hình 3). Và đây cũng là
rào cản lớn nhất đối với việc tăng tốc độ của máy xẻ, dẫn
đến sự hạn chế về năng suất làm việc của thiết bị này
[2-3].
Ở trường hợp tổng quát, lưỡi cưa được mơ hình hóa

là một dầm thành mỏng có mặt cắt hình chữ nhật ở điều
kiện tiền ứng suất dưới tác dụng của lực dọc trục F và mô


Phùng Văn Bình, Trần Anh Vàng, Đặng Văn Thức, Hồng Thị Diệu, Đặng Hoàng Minh
men uốn M ở 2 đầu. Đây cũng là một đối tượng nghiên
cứu thú vị được nhiều tác giả quan tâm.
Với sự phát triển của phương pháp tính tốn hiện đại,
một số tác giả đã nghiên cứu dao động uốn-xoắn của dầm
nhờ phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH). Các nghiên
cứu này cho phép tính giá trị tần số dao động riêng nhỏ
nhất của dầm thành mỏng với các bộ thông số xác định
[4]. Đặc biệt, Tahmaseb đã chỉ ra ảnh hưởng của mômen
đến dạng dao động và giá trị của tần số dao động riêng
thứ nhất [5]. Tuy nhiên, phương pháp PTHH thường chỉ
cho phép giải bài tốn xi chứ khơng thuận lợi sử dụng
trong bài toán thiết kế. Nghĩa là, nếu cho trước một bộ
thông số của lưỡi cưa và điều kiện biên xác định, phần
mềm sẽ cho biết tần số dao động riêng của hệ bằng bao
nhiêu. Còn để trả lời cho câu hỏi, tần số dao động riêng
liên hệ với các đặc tính hình học của và ngoại lực của hệ
như thế nào? Và lựa chọn bộ thông số như thế nào là phù
hợp nhất thì phần mềm lại khơng thể đưa ra được đáp án.
Ví dụ như trong bài tốn tối ưu thiết tối ưu lưỡi cưa với
các tiêu chí hoặc ràng buộc liên quan vấn đề dao động, thì
việc xây dựng hàm số mô tả sự phụ thuộc của tần số dao
động riêng theo các thông số khác của hệ ln là một vấn
đề cần thiết [2].

APDL. Kết quả tìm ra được ứng dụng trực tiếp trong việc

phân tích dao động và tối ưu thiết kế máy xẻ nhiều lưỡi
dạng khung kiểu mới nói riêng, cũng như trong phân tích
dao động của dầm thành mỏng nói chung.

2. Các dạng dao động và phương pháp tính
tần số dao động riêng nhỏ nhất của lưỡi cưu
Trong mục này, chúng ta sẽ làm rõ bản chất của vấn
đề cộng hưởng đối với máy xẻ và phương pháp tính tần
số dao động riêng của lưỡi cưa.

2.1. Các dạng dao động của lưỡi cưa
Nghiên cứu [4] đã chỉ ra rằng, đối với máy xẻ kiểu
mới này thì tần số dao động riêng của lưỡi cưa nhỏ hơn
nhiều tần số dao động riêng của các chi tiết khác. Các
dạng dao động riêng của lưỡi cưa được thể hiện trên hình
(Hình 4). Trong các dạng dao động này thì đáng quan tâm
nhất là dạng dao động riêng thứ nhất (dạng uốn-xoắn kết
hợp) bởi vì giá trị này gần với miền giá trị của tần số
quay của trục chính máy xẻ khi làm việc. Bởi vậy, hiện
tượng cộng hưởng thường xảy ra khi tần số quay của trục
chính trùng với tần số dao động riêng nhỏ nhất của lưỡi
cưa.

a)

b)

Ngoài phương pháp PTHH, một số tác giả cũng sử
dụng phương pháp giải tích để tính tốn tần số dao động
riêng của dầm thành mỏng dưới tác dụng của lực kéo giãn

hoặc nén ban đầu, ví dụ như cơng trình của Jun [6],
Abramovich [7], Suryanarayan [8], Dokumaci [9]. Các
cơng trình kể trên đã đánh giá được sự ảnh hưởng của độ
lệch tâm và giá trị lực dọc trục đến tần số dao động riêng.
Tuy nhiên, ở các cơng trình kể trên, tác giả thường tập
trung vào việc phân tích định tính mà chưa đưa ra cơng
thức giải tích tường minh để đánh giá giá trị của tần số
dao động riêng của hệ. Ngồi ra, thành phần mơmen cũng
chưa được các tác giả đưa vào trong mơ hình tính tốn.
Trong bài báo này, các tác giả sẽ tập trung vào việc
xây dựng cơng thức giải tích để tính tần số dao động
riêng nhỏ nhất của lưỡi cưa. Phương pháp năng lượng, cụ
thể là công thức Rayleigh–Ritz [10] sẽ được sử dụng để
giải quyết bài tốn. Hệ thức giải tích tường minh và ngắn
gọn tìm ra sẽ thể hiện rõ sự phụ thuộc của tần số dao
động riêng nhỏ nhất của dầm theo thơng số hình học, đặc
tính vật liệu và giá trị ngoại lực. Hai điều kiện biên sẽ
được xem xét là “gối đỡ đơn giản” và “dầm bị kẹp ở hai
đầu”. Tính đúng đắn của các cơng thức thu được được
kiểm chứng bởi mơ phỏng số nhờ phần mềm ANSYS

c)

d)
Hình 4. Các dạng dao động riêng của lưỡi cưa
a) Dạng 1 – uốn; b) dạng 2 – uốn; c) dạng 3 – uốn xoắn;
d) dạng 4 – uốn xoắn 2 nhịp
y
b


F
e

o

L/2

z

h

Hình 3. Vấn đề cộng hưởng dao động gây phá hủy lưỡi cưa khi
thử nghiệm chạy khơng tải

L/2

Hình 5. Mơ hình của lưỡi cưa dưới tác dụng của lực kéo giãn
ban đầu F lệch trục một khoảng e

Để tránh hiện tượng cộng hưởng, lưỡi cưa được kéo
căng trước với một lực ban đầu F (Hình 5). Lực căng F
thường lệch trục một khoảng e về phía răng cưa để tăng
độ cứng của răng cưa khi xẻ gỗ. Nguyên lý này cũng
giống việc lắp đặt và tăng cứng cho các cưa gỗ cầm tay


Phân tích dao động của lưỡi cưa trong máy xẻ nhiều lưỡi dạng khung kiểu mới

60


dạng 3- 3

40
2-

1-

dạng 1

dạng 2

𝒇𝟎𝟏
20 Hz

20

Miền giá trị của tốc độ quay trục
chính máy xẻ

0
0

845

1690

2536

𝑭, N
Lực kéo giãn


Hình 6. Sự phụ thuộc của phổ dao động vào giá trị lực kéo giãn
ban đầu F

Trong bài báo này, với mục đích để đơn giản q
trình tính tốn, lưỡi cưa có thể mơ hình hóa giống như
một dầm thành mỏng với mặt cắt hình chữ nhật (bỏ qua
hiệu ứng của phần răng cưa) ở điều kiện biên tiền ứng
suất, dưới tác dụng của lực kéo lệch trục (Hình 5). Cần
chú ý rằng, mơ hình tính tốn này chỉ phù hợp với kiểu
lưỡi cưa trong máy xẻ (sọc) dạng khung với kích thước
chiều dài L lớn hơn đáng kể với độ rộng h (L>10 h), và
độ dày b cũng không quá nhỏ. Đối với các lưỡi cưa quá
mỏng và bản rộng (ví dụ như lưỡi cưa vịng), thì việc sử
dụng mơ hình dầm sẽ khơng phù hợp, gây ra sai số lớn.
Khi đó cần sử dụng mơ hình tấm để tăng độ chính xác
của kết quả. Tuy nhiên, khi đó việc tính tốn sẽ trở lên
phức tạp hơn nhiều.

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét bài toán tổng qt
hơn, đó là tính tốn tần số dao động riêng của dầm thành
mỏng dưới tác dụng của hai tải trọng đồng thời là lực dọc
trục và mơmen. Quy trình tính tốn và kết quả sẽ được
trình bày ở mục 2.2.

2.2. Phương pháp tính tần số dao động riêng nhỏ
nhất của dầm ở điều kiện biên tiền ứng suất
Trong mục này, tác giả tập trung vào việc xây dựng
công thức giải tích cho tần số dao động riêng nhỏ nhất
của dầm thành mỏng cắt hình chữ nhật ở điều kiện biên

tiền ứng suất do lực dọc trục và mômen gây ra.
y
y
dz

M

u

M
z

o
l

z

L/2
x

η

b
x

o

h

hay việc căng dây đàn… Lực kéo căng ban đầu F sẽ tạo

ra cho lưỡi cưa một dạng ứng suất trước (hiện tượng
“prestress”), làm tăng cứng cho lưỡi cưa [4]. Nhờ vậy, giá
trị các tần số dao động riêng lưỡi cưa sẽ được tăng lên và
đẩy ra khỏi miền giá trị của tốc độ quay của trục chính
máy xẻ khi làm việc. Để giải thích cho hiện tượng này, có
thể xem đồ thị (Hình 6), ở đó chỉ ra sự phụ thuộc của phổ
dao động của lưỡi cưa vào giá trị lực kéo giãn ban đầu F
[4]. Giả sử muốn thiết kế máy xẻ với dải tốc độ làm việc
là 0÷1200 v/ph, nghĩa là dải tần số quay của trục chính sẽ
trong khoảng 0÷20 Hz. Nhìn trên đồ thị có thể thấy, khi
lực căng F=0 N, giá trị của tần số dao động riêng nhỏ
nhất f01 < 20 Hz, như vậy trong vùng làm việc của máy xẻ
sẽ tiềm ẩn nguy cơ xảy ra hiện tượng cộng hưởng dao
động. Khi lực kéo căng F tăng lên, giá trị tần số dao động
riêng f01 sẽ được đẩy cao hơn 20 Hz, nhờ vậy mà hiện
tượng cộng hưởng không thể xảy ra trong dải tốc độ làm
việc của máy xẻ. Đồ thị cũng chỉ ra rằng, giá trị của các
tần số dao động riêng thứ 2, thứ 3… là cao hơn hẳn tần số
quay của trục chính máy xẻ. Điều đó có nghĩa là, để máy
xẻ khi làm việc không xảy ra hiện tượng cộng hưởng, thì
cần phải đảm bảo cho cho tần số dao động riêng nhỏ nhất
của lưỡi cưa lớn hơn là f01> 20 Hz. Bởi vậy, việc tính tốn
giá trị tần số dao động riêng nhỏ nhất f01 của lưỡi cưa làm
một bước quan trọng không thể thiếu trong quá trình thiết
kế máy xẻ.
Tần số,
Hz
4 - dạng 4

F


ξ

L/2

v

ᵠ

m ξ

uo
ζ

o

u

z
dz

m

L/2

L/2

Hình 7. Mơ hình dầm thành mỏng

Xét dầm thành mỏng với mặt cắt hình chữ nhật

khơng đổi, có chiều dài L, chịu tác dụng trước đồng thời
bởi lực dọc trục F và mơmen M. Gọi Oxyz là hệ trục tọa
độ tồn cục với gốc O đặt tại trong tâm mặt cắt ngang ở
chính giữa dầm (Hình 7). Ngồi hệ trục tọa độ toàn cục,
sử dụng hệ trục tọa độ địa phương Oξηζ gắn với mặt cắt
ngang được xét của dầm khi biến dạng. Gọi u, v lần lượt
là chuyển vị ngang của dầm tương ứng với hai hướng x
và y. Chuyển vị và góc xoắn của mặt cắt ngang được coi
là nhỏ.
Quy trình tính tần số dao động riêng được thể hiện
trên Hình 8. Xuất phát từ điều kiện biên của dầm, có thể
chọn dạng hàm của chuyển vị u. Dựa trên hệ phương
trình (1), tìm được dạng hàm của góc xoắn φ. Từ đó, có
thể xác định các biểu thức của thế năng biến dạng U,
công của ngoại lực W và động năng của hệ T. Dựa vào
định luật bảo toàn năng lượng, cụ thể là cơng thức
Rayleigh-Ritz [10], có thể tìm được tần số góc dao động
ω của hệ.
Hệ phương trình mơ tả trạng thái biến dạng của dầm
như sau:


 4u ( z, t )
 2 ( z , t )
 2u ( z, t )






EI
M
F

z 4
z 2
z 2

(1)
 2 ( z, t )
 2u( z, t )




GJ 
M

z 2
z 2
Biểu thức thế năng đàn hồi của hệ được tổng hợp từ 2
thành phần, thứ nhất liên quan đến biến dạng uốn và thứ
hai liên quan đến biến dạng xoắn, như sau:
L
2

2

L
2


2
  2u( z ) 
  ( z) 
U  EI   
d
z
GJ




 dz
2



0  z
0  z

(2)


Phùng Văn Bình, Trần Anh Vàng, Đặng Văn Thức, Hồng Thị Diệu, Đặng Hoàng Minh

 2 ( z , t )
M  2u ( z, t )




Thay
theo (1) vào
GJ
z 2
z 2
(2) thu được:
L
2

L

2

2

  2u( z) 
M 2 2  u ( z ) 
U  EI   
d
z

 
(3)

 dz
2
G.J 0  z 

0  z
Mặt khác, công của mômen M và lực dọc trục F được

xác định như sau:
L
2

L
2

W  2  ( Mu '' )  dz  F   u
0



' 2

 dz

(4)

0

u( z)

Điều kiện biên

Hệ (1)

 ( z)

Thế năng biến dạng đàn hồi U


uz 

f 


4  EI  GJ   2  GJ  FL2  L2 M 2

2
3L4  GJ   bh

(9)

2.3. Tính tốn tần số dao động riêng lưỡi cưa
Áp dụng cho việc tính tốn dao động của lưỡi cưa
cua máy xẻ nhiều lưỡi (Hình 5) bằng cách thay M= F∙e,
thu được cơng thức tính tần số dao động riêng của lưỡi
cưa ở hai trường hợp điều kiện biên khác nhau.
Lưỡi cưa ở điều kiện biên hai đầu dầm là gối đỡ
Từ (7) thu được cơng thức tính tần số dao động riêng
của lưỡi cưa:

f 

1 EI  GJ  2  GJ  FL2  L2 F 2 e 2 )

2
L4 GJ  bh

(10)


4 EI  GJ  2  GJ  FL2  L2 F 2 e 2
3L4 GJ  bh

(11)

Các công thức (10) và (11) được ứng dụng trực tiếp
cho việc thiết kế tối ưu máy xẻ nhiều lưỡi dạng khung thế
hệ mới với các ràng buộc liên quan đến cộng hưởng dao
động [2-3].

Tần số dao động riêng 𝜔
Hình 8. Quy trình tính tần số dao động riêng

Theo công thức Rayleigh–Ritz, tần số dao động riêng
nhỏ nhất của hệ được tính gần đúng như sau:
(5)

Trong đó khối lượng suy rộng m của dầm được tính
theo cơng thức sau:
L
2

m   m( z )  u 2 ( z )  dz

(8)

Lưỡi cưa ở điều kiện biên hai đầu bị kẹp
Từ (9) thu được cơng thức tính tần số dao động riêng
ở điều kiện biên khi lưỡi cưa bị kẹp 2 đầu như sau:


Rayleigh–Ritz Method
2 𝑈 𝑊
𝜔
𝑚

2  (U  W )
m

u0
 2 z 
 [1  cos 
]
2
 L 

Giá trị tần số dao động riêng nhỏ nhất của dầm thu
được theo sơ đồ (Hình 9) và các hệ thức (1)÷(6) như sau:

f 

Cơng của ngoại lực W

2 

-L/2 như sau:

(6)

0


Với m ( z )    b  h là khối lượng riêng của dầm
trên một đơn vị chiều dài.
Trường hợp điều kiện biên hai đầu dầm là gối đỡ
Dạng hàm của chuyển vị thỏa mãn điều kiện biên

3. Kiểm chứng kết quả
Trong mục này, các cơng thức giải tích (10) và (11)
thu được ở trên sẽ được so sánh với kết quả với mô
phỏng số được thực hiện trên phần mềm Ansys APDL.
Việc so sánh được tiến hành với một dầm thành mỏng
mặt cắt hình chữ nhật, vật liệu của dầm là thép (Steel),
với các thông số cụ thể là chiều dài L = 0.8 (m), chiều
rộng h = 0.06 (m), độ dày b = 0.003 (m), môđun đàn hồi
E = 2∙1011 (N/m2), hằng số Poisson μ = 0.28, khối lượng
riêng ρ = 7850 (kg/m3). Q trình tính tốn được thực
hiện việc với các bộ giá trị (F,e) khác nhau. Độ lệch e
tăng từ 0 đến 2h. Lực F nhận giá trị âm tương ứng với
trường hợp dầm bị nén. Mơ hình phần tử hữu hạn của
dầm thành mỏng được thể hiện trên hình (Hình 9).

u z   z  0 và u z   z  0 tại các các đầu mút z =
''

''

-L/2 và z = L/2 là u z ( z )  u0  cos

z
L


. Từ sơ đồ (Hình

8) và các hệ thức (1)÷(6), thu được tần số dao động riêng
nhỏ nhất của dầm như sau:

 1 EI  GJ    GJ  FL  L  M )
 .
(7)
2 2
L4  GJ   bh
Với M=0, từ (7) thu được công thức trùng với kết quả
trong cơng trình [1].
Trường hợp điều kiện biên dầm bị kẹp ở hai đầu
Dạng hàm của chuyển vị thỏa mãn điều kiện biên
u ( z )  0 và u ' ( z )  0 tại 2 đầu mút là z = -L/2 và z =
f 

2

2

2

2

Hình 9. Mơ hình FEM dầm thành mỏng trên phần mềm ANSYS
APDL

a) Dầm ở điều kiện biên gối đỡ đơn giản
Ở điều kiện biên gối đỡ đơn giản, dạng dao động

riêng thứ nhất của dầm được thể hiện trên hình (Hình 10).


Phân tích dao động của lưỡi cưa trong máy xẻ nhiều lưỡi dạng khung kiểu mới
b) Dầm ở điều kiện biên bị kẹp 2 đầu
Ở điều kiện biên dầm ở điều kiện biên bị kẹp 2 đầu,
dạng dao động riêng thứ nhất của dầm được thể hiện trên
Hình 12.

a)

a)

b)
Hình 10. Dạng dao động thứ nhất của dầm thành mỏng ở điều
kiện biên gối đỡ. a) Hình chiếu 3D; b) Hình chiếu từ trên

Sự phụ thuộc của tần số dao động riêng nhỏ nhất theo
các giá trị F, e được thể hiện trên đồ thị (Hình 11) và
bảng 1.
f, Hz
25

e=0
e=h

b)
Hình 12. Dạng dao động riêng thứ nhất của dầm thành mỏng ở
điều kiện biên dầm bị kẹp ở 2 đầu. a) Hình chiếu 3D; a) Hình
chiếu từ trên


Bảng 2. Giá trị tần số dao động riêng của dầm thành
mỏng ở điều kiện biên dầm kẹp ở 2 đầu

20
e = 2h
15

e
APDL

Giải
tích

Sai lệch
(%)

APDL

Giải
tích

Giải
tích

-600
-300
0
300
600

900
1200
1500
1800
2100

19.9
22.4
24.6
26.6
28.5
30.2
31.8
33.4
34.8
36.2

19.8
22.4
24.8
26.9
28.9
30.8
32.5
34.2
35.7
37.3

0.6
0.1

0.7
1.1
1.5
1.8
2.1
2.4
2.6
2.9

19.7
22.3
24.6
26.6
28.3
29.8
31.2
32.4
33.5
34.4

19.5
22.4
24.8
26.9
28.7
30.3
31.8
33.1
34.3
35.3


F, N

0
-400

0

400

800

1200

1600

2000

Hình 11. Sự phụ thuộc của tần số dao động riêng nhỏ nhất vào
các giá trị lực F và độ lệch trục e ở điều kiện biên gối đỡ đơn
giản – theo Ansys APDL và cơng thức giải tích (10)

So sánh cho thấy sai lệch tướng đối của kết quả thu
được bằng 2 phương pháp là không nhiều (< 3%). Sai
lệch lớn nhất là 2.7% tương ứng với bộ giá trị F=-200 N
và e=0 mm. Trên Hình 11, các đường liền thể hiện kết
quả thu được bằng phương pháp giải tích theo cơng thức
(10) và các điểm rời rạc thể hiện kết quả thu được nhờ
phần mềm Ansys APDL. Đồ thị cũng chỉ ra rằng, tần số
dao động riêng thứ nhất tỉ lệ thuận với giá trị lực căng F,

tuy nhiên lại tỉ lệ nghịch với độ lệch trục e. Điều này
cũng phù hợp với lý thuyết được trình bày trong các cơng
trình trước đây [6-9].
Bảng 1. Giá trị tần số dao động riêng của dầm thành
mỏng ở điều kiện biên gối đỡ
e

0

F

APDL

Giải
tích

-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600

7.95
10.94
13.22

15.16
16.88
18.44
19.88
21.22
22.48
23.67

7.73
10.73
13.05
15.02
16.76
18.34
19.79
21.14
22.41
23.61

h
Sai
lệch
(%)
2.77
1.97
1.28
0.91
0.70
0.55
0.44

0.36
0.30
0.25

APDL

Giải
tích

7.61
10.68
12.96
14.84
16.45
17.86
19.12
20.25
21.28
22.22

7.67
10.73
13.02
14.90
16.51
17.92
19.18
20.32
21.35
22.29


h

F

10

5

0

APDL

2h
Sai
lệch
(%)
0.7
0.1
0.7
1.1
1.5
1.8
2.0
2.3
2.5
2.6

APDL


Giải
tích

18.8
22.2
24.6
26.4
27.7
28.6
29.1
29.2
29.0
28.4

18.6
22.2
24.8
26.7
28.1
29.0
29.6
29.7
29.5
28.9

So sánh cũng cho kết luận tương tự sai lệch tương
đối của kết quả thu được từ 2 phương pháp là khơng
nhiều (dưới 3%). Ngồi ra, so sánh giá trị của tần số dao
động riêng nhỏ nhất của lưỡi cưa ở 2 điều kiện biên cũng
cho thấy, ở trường hợp lưỡi cưa bị kẹp ở 2 đầu, tần số dao

động riêng nhỏ nhất của lưỡi cưa lớn hơn đáng kể. Do đó,
trong q trình thiết kế chế tạo máy xẻ, nên sử dụng điều
kiện biên này để tăng độ cứng vững và ổn định của hệ
thống.
f, Hz
40
e=0
e=b
30

e = 2b

20

APDL

2h
Sai
lệch
(%)
0.77
0.50
0.46
0.37
0.36
0.33
0.34
0.34
0.32
0.33


APDL

Giải
tích

7.44
10.68
12.85
14.46
15.66
16.55
17.18
17.57
17.75
17.72

7.49
10.73
12.91
14.51
15.72
16.61
17.24
17.63
17.81
17.77

Sai
lệch

(%)
0.9
0.1
0.7
1.1
1.4
1.6
1.7
1.8
1.8
1.7

Sai
lệch
(%)
0.64
0.45
0.41
0.37
0.38
0.38
0.37
0.36
0.35
0.30

Giải
tích

10


0
-600

0

600

1200

1800

F, N
2400

Hình 13. Sự phụ thuộc của tần số dao động riêng nhỏ nhất vào
các giá trị lực F và độ lệch trục e ở điều kiện biên dầm bị kẹp ở
hai đầu– theo Ansys APDL và công thức giải tích (11)


Phùng Văn Bình, Trần Anh Vàng, Đặng Văn Thức, Hồng Thị Diệu, Đặng Hoàng Minh
thin-walled Timoshenko beams. International Journal of

4. Kết luận

Mechanical Sciences 46 (2004) 299–320.

Bài báo trình bày về vấn đề dao động lưỡi cưa trong
máy xẻ nhiều lưỡi dạng khung kiểu mới. Hiện tượng
cộng hưởng dao động xảy ra khi tần số quay của trục

chính trùng với tần số dao động riêng nhỏ nhất của lưỡi
cưa, gây phá hủy kết cấu. Để tránh hiện tượng cộng
hưởng, biện pháp kéo căng lưỡi cưa với một lực lệch trục
đã được sử dụng. Khi đó, dạng dao động riêng thứ nhất
của lưỡi cưa sẽ là dạng dao động kết hợp uốn-xoắn. Một
quy trình tính tốn dựa vào phương pháp năng lượng đã
được xây dựng để tính tần số dao động riêng nhỏ nhất của
dầm thành mỏng có mặt cắt hình chữ nhật ở điều kiện
biên tiền ứng suất dưới tác dụng của lực dọc trục và mơ
men. Kết quả tìm ra là các hệ thức giải tích tường minh
ngắn gọn, liên hệ giữa tần số dao động riêng nhỏ nhất của
dầm thành mỏng với các đặc tính hình học và giá trị của
ngoại lực. So sánh các kết quả giải tích thu được với mô
phỏng số nhờ phần mềm Ansys APDL cho thấy, sai lệch
tương đối là không nhiều (dưới 3%). Bởi vậy, các cơng
thức giải tích ngắn gọn sẽ được ứng dụng trực tiếp cho
việc thiết kế tối ưu máy xẻ nhiều lưỡi dạng khung thế hệ
mới. Ngoài ra, so sánh giá trị của tần số dao động riêng
nhỏ nhất của lưỡi cưa ở 2 điều kiện biên khác nhau cũng
cho thấy, trong quá trình thiết kế chế tạo máy xẻ, nên sử
dụng điều kiện biên lưỡi cưa bị kẹp ở hai đầu để tránh
hiện tượng cộng hưởng dao động và tăng độ ổn định của
hệ thống. Cuối cùng, cần nhấn mạnh rằng, quy trình tính
tốn và kết quả thu được cịn có thể ứng dụng cho việc
phân tích dao động và tối ưu thiết kế dầm thành mỏng nói
chung.

Tài liệu tham khảo
[1] S. Timoshenko, Vibration Problems in Engineering, New
York, USA, 1964.

[2] Фунг В. Б. Автоматизация и
принятия

решений

при

управление процессом
многокритериальном

проектировании пильного блока лесопильного станка.
Дис. на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва, 2017.160.
[3] Dang H. M., Phung V. B., Nguyen V. D, Multi-objective
design for a new type of frame saw machine. International
Journal of Mechanical and Production Engineering
Research and Development, Apr 2019, Vol. 9, Issue 2,
449-466.
[4] Прокопов В. С. Разработка методики численного анализа
динамических характеристик многопильного станка с
круговым поступательным движением дереворежущих
полотен: Дис. на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва,
2013. 205 с.
[5] M. Tahmaseb Towliat Kashani, Supun Jayasinghe, and Seyed
M. Hashemi, On the Flexural-Torsional Vibration and
Stability of Beams Subjected to Axial Load and End
Moment.

Shock

and


Vibration,

2014,

/>[6] Jun Li, Rongying Shen, Hongxing Hua, Xianding Jin,
Coupled bending and torsional vibration of axially loaded

[7] H. Abramovich, Natural frequencies of timoshenko beams
under compressive axial loads. Journal of Sound and
Vibration (1992) 157(l), 183-189.
[8] S. Suryanarayan and A. Joshi, Coupled Flexural Torsional
Vibration of an Eccentrically Stretched Strip, Journal of
Applied Mechanics, Vol. 49/669, 1982.
[9] E. Dokumaci, An exact solution for coupled bending and
torsion vibrations of uniform beams having single
cross-sectional symmetry, Journal of Sound and Vibration
(1987) 119(3), 443-449.
[10] Hakan Ozbasaran, Convergence of the Rayleigh–Ritz
Method for buckling analysis of arbitrarily configured
I-section beam–columns. Archive of Applied Mechanics,
2019. />