Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 238-243, DOI 10.15625/vap.2019000284

Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động
và ổn định
Nguyễn Đơng Anh(1,2,3*), Nguyễn Cao Thắng(1,2)
(1)

Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
(2)

(3)

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

tuyến tính hóa kdn và hệ số trở về

1. Mở đầu
Thiên nhiên và cuộc sống luôn chứa đựng các
khuynh hướng đối ngẫu nhau. Đó là các yếu tố có tính
chất trái ngược nhau, hoặc bổ trợ cho nhau. Do vậy, việc
nghiên cứu khoa học cũng cần phản ánh được tính chất
này. Gần đây, cách tiếp cận đối ngẫu đã được đề xuất để
nghiên cứu đáp ứng của các hệ phi tuyến [1,2] và đã
được phát triển trong nhiều công trình, ví dụ [3-17]. Một
ưu điểm quan trọng của cách tiếp cận đối ngẫu đối với
một vấn đề khoa học là ln xem xét hai khía cạnh khác
nhau (đối ngẫu) của vấn đề; điều này cho phép việc
nghiên cứu trở nên hài hòa và phản ánh được thực chất

hơn. Bài báo giới thiệu tóm tắt một số kỹ thuật đối ngẫu
ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định. Một số ví
dụ minh họa về kỹ thuật đối ngẫu được giới thiệu và bình
luận nhằm đánh giá các nghiên cứu phát triển tiếp theo.

2. Thay thế tương đương đối ngẫu
Trong Cơ học ta thường hay thay gần đúng đối tượng
A được mô tả bằng hàm A(x) bằng đối tượng B được mô
tả bằng hàm B(x). Như vậy, ta sẽ thay A(x) xấp xỉ bằng
kttB(x) với hệ số thay thế tương đương ktt được xác định
bằng tiêu chuẩn bình phương tối thiểu:

Stt

A(x )

ktt B(x )

2

min

(1)

ktt

trong đó chỉ số tt viết tắt của chữ thông thường, < . > là
phép lấy trung bình tiền định hoặc trung bình xác suất.
Trong trường hợp B(x) là hàm tuyến tính hệ số thay thế
tương đương ktt thường được gọi là hệ số tuyến tính hóa

tương đương. Với cách tiếp cận đối ngẫu cho bài toán
thay thế, ta xét dạng mở rộng của tiêu chuẩn (1) thành
tiêu chuẩn đối ngẫu như sau

Sdn

1

p

A(x )

p kdn B(x )

kdn B(x )
A(x )
dn

trong đó chỉ số dn ký hiệu đối ngẫu,

2

2

(2)

min

kdn ,
dn


dn

là hệ số trở về, p

là trọng số của sự thay thế trở về được chuẩn hóa
0 p 1
(3)
Với p=0 tiêu chuẩn (3) trở thành tiêu chuẩn (2). Giả
sử cho trước trọng số p, từ điều kiện cực tiểu (2) dẫn tới
các phương trình xác định hệ số thay thế tương đương

kdn

p

1

p

AB
dn

B2

;

dn

như sau


dn

kdn

AB
(4)

A2

Giải hệ phương trình (4) được

1 p AB
,
1 r 2p B2

kdn

1
dn

1

p
r 2p

r2

(5)


trong đó r là đại lượng đặc trưng cho mức độ phụ
thuộc của A và B, xác định theo công thức

AB

r

(6)

A2

B2

Trong bài báo [17] giá trị trọng số p được chọn theo
cơng thức

p

1

r2

(7)
1 r2
Có thể nhận thấy từ (6) và (7) giá trị của trọng số p
phụ thuộc vào đại lượng r 2 mà là chỉ số cho mức độ khác
biệt giữa A và B. Thay (7) vào (5) sẽ cho giá trị của hệ số
thay thế tương đương

kw


2r 2 AB
1 r 4 B2

(8)

Như vậy sử dụng tiêu chuẩn thay thế đối ngẫu (3) với
giá trị trọng số xác định theo (7), (6) hàm A(x) được thay
thế tương đương bằng kdnB(x) trong đó hệ số thay thế
tương đương kdn xác định theo (8). Với cách thay thế
trên ta không phải làm việc với hàm A(x) nữa mà chỉ phải
làm việc với hàm B(x). Đặc biệt khi khi B(x) là hàm
tuyến tính của x ta sẽ đưa bài tốn phi tuyến về bài tốn
tuyến tính dễ giải hơn nhiều.

3. Thay thế tương đương địa phương-toàn thể
Năm 2012, dựa trên cách tiếp cận đối ngẫu, N. D.
Anh, L.X. Hung và L. D. Viet [5] đã phát triển tiêu chuẩn
sai số bình phương địa phương – tổng thể cho các hệ
ngẫu nhiên phi tuyến bằng cách kết hợp hai phạm trù địa
phương và tổng thể. Giả sử ta thay hàm ngẫu nhiên A(x)
xấp xỉ bằng kB(x) với hệ số thay thế k được xác định
bằng tiêu chuẩn bình phương tối thiểu:


Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Cao Thắng

S

A(x )


kB(x )

2

min
k

(9)

2

kB(x ) P(x )dx

min
k

(10)

Trong đó P(x ) là hàm mật độ xác suất (PDF) của x .

[x ]r

A(x )B(x )
(11)

B 2 (x )

Do khoảng tích phân trong (10) là (
), tiêu

,
chuẩn (10) có thể được gọi là tiêu chuẩn bình phương tối
thiểu tồn thể. Với giả thiết cho rằng phép lấy tích phân
cần tập trung hơn để cho nghiệm chính xác hơn, Anh và
Di Paola vào năm 1995 đề nghị tiêu chuẩn bình phương
tối thiểu địa phương
r

[(A(x )

x

kB(x ))2 ]

kB(x ))2P(x )dx

(A(x )
r

min
k

x

(12)
với r là một số dương nào đó,

x

là độ lệch chuẩn của x


và [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương
r

x

r

x

(.)P (x )dx

[. ]

(13)

A(x )B(x )
(14)

B 2 (x )

Ta thấy từ (12) và (13) hệ số k sẽ là hàm số của r. Sử
dụng quan điểm đối ngẫu ta có thể chọn k bằng giá trị
trung bình tồn thể như sau [5]:

k

k (r )

1

Lim
s
s

s

k (r )dr

(15)

(17)

1

b

1
r

r

r

1 1
xn
r (n 1)

x ndx
0


1

rn

r

n

0

1

(18)

Giá trị trung bình địa phương-tồn thể tại lát cắt s
của hàm xn sẽ là
n

[[x )]]s
(n

1

1

1

[y(x )]r dr

1 s s

1
rn
1)2 (1 s )

1

(n

s

rn

1

1 s s n
(1 s n 1 )

1

1)2 (1

1

dr
(19)

s)

Ta thấy rằng giá trị trung bình địa phương-tồn thể
tại lát cắt s của hàm xn là một hàm của s, và khi s = 1 giá

trị này sẽ bằng giá trị trung bình thơng thường của xn
1
(20)
[[x n ]]1
xn
(n 1)
Như vậy giá trị trung bình địa phương-tồn thể tại lát
cắt s là sự mở rộng của giá trị trung bình thơng thường và
chứa giá trị trung bình thơng thường như trường hợp
riêng.

Một sự phát triển khác của cách lấy trung bình thơng
thường là cách lấy trung bình trọng số. Ta xét hàm x(t)
trên miền từ 0 đến vô cùng. Giá trị trung bình trọng số
của x(t) được xác định như sau
W (x (t ))

0

4. Giá trị trung bình địa phương-tồn thể
Giả sử y(x) là hàm khả tích của xє[a, b]. Ta có thể
đưa ra các giá trị trung bình địa phương-tồn thể của y(x)
như sau. Ta xác định giá trị trung bình địa phương tại lát
cắt r của hàm y(x) với r є [a,b] theo công thức
r

1
r

a


y(x )dx

(16)

a

Giá trị trung bình địa phương-tồn thể tại lát cắt s
của hàm y(x) với s є [a,b] theo công thức

0

h(t )x (t )dt

(21)

trong đó h(t) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
d
0

trong đó <.> là ký hiệu giá trị trung bình thơng thường
cho hàm số. Ta thu được một tiêu chuẩn thay thế tương
đương mới gọi là tiêu chuẩn thay thế địa phương – toàn
thể. Theo tiêu chuẩn này hàm ngẫu nhiên A(x) được thay
tương đương bằng hàm kB(x) với hệ số thay thế k được
xác định theo (13), (14), (15).

[y(x )]r

[y(x )]r dr

s

5. Giá trị trung bình trọng số đối ngẫu

Tương tự (11) từ (12) ta có

k (r )

s

y(x )dxdr
b s s r a a
Ví dụ với y(x) = xn và a=0, b=1 ta có
n

Suy ra:

k

b
1

Viết chi tiết (7) ta có

A(x )

b

1


[[y(x )]]s

h(t )dt

1

(22)

Hàm số h(t) gọi là hàm trọng số. Phép lấy trung bình
trọng số được sử dụng nhiều trong toán học cũng như
trong cuộc sống thường ngày. Sự hiệu quả của nó phụ
thuộc rất nhiều vào cách chọn hàm trọng số. Trong bài
báo này hàm trọng số đối ngẫu sau đây được giới thiệu
[10]
h(t ) s 2 2te s t ; s, t 0
(23)
Như ta thấy hàm trọng số đối ngẫu (23) thu được
bằng cách lấy tích của hàm đồng biến t với hàm nghịch
biến e s t . Kết quả là hàm trọng số đối ngẫu (23) vừa
đồng biến vừa nghịch biến (xem Hình 1).


Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định

Hình 1. Hàm trọng số đối ngẫu (23)
Dựa trên hàm trọng số đối ngẫu (23) một giá trị trung
bình trọng số mới được đề nghị áp dụng cho hàm số
ω-tuần hoàn x(ωt) như sau

Ws (x ( t ))


x( t)
0

s2 e

s

s 2 2te

0

s

s t

Hình 3. Plots of

cos n

s

versus n for s=2

Hình 4. Plots of

sin n

s


versus s for n=2

Hình 5. Plots of

sin n

s

versus n for s=2

x ( t )dt
(24)

x ( )d

Ta sử dụng hai ký hiệu cho giá trị trung bình trọng số
(24) để dùng chúng trong các trường hợp tùy theo sự tiện
lợi. Chỉ số s dùng để phân biệt với giá trị trung bình
thơng thường thu được khi cho s→0. Sử dụng phép biến
đổi Laplace ta có

Ws (cos n t )
s2

Đồ thị của

s t

cos(n t )dt
s


cos(n )e

0

Ws (sin(n t ))
s2

s 2 2te

0

0

0

cos n

s 2 2te

s t

sin(n )e
s

s

d

s2


s
(s

2

2

n

2

(25)

n 2 )2

sin(n t )dt
s2

d

(26)
2sn
2 2
(s
n )
2

theo s và n được cho trên các


Hình 2-3. Ta thấy rằng giá trị trung bình trọng số (25) có
một giá trị cực tiểu tại 0khi s → ∞. Đối với các hàm điều hòa bậc cao
Ws (cos n t ) , Ws (sin n t ) tiến tới 0 khi n → ∞. Ta lưu
ý rằng giá trị trung bình trọng số (25) Ws (cos n t ) bằng
0 tại hai giá trị của s, cụ thể s=0 and s=n. Đồ thị của
sin n
theo s và n được cho trên các Hình 4-5.
s

Sử dụng (25) ta có

cos 2n
2
1
cos 2n t
1
Ws ( ) Ws (
)
2
2
2
1 cos 2n
Ws (sin2 n t ) Ws (
2
1
cos 2n t
1
Ws ( ) Ws (
)

2
2
2

Ws (cos2 n t ) Ws (

1

t

)
1 2 s2
s
2 (s 2

t

4n 2
4n 2 )2

,
(27)

)
1 2 s2
s
2 (s 2

4n 2
4n 2 )2

.

Ta có thể khai triển hàm ω-tuần hồn x(ωt) theo chuỗi
Fourier

x( t )

x0

(xic cos i t

x is sin i t )

i 1

và sử dụng (25) và (26) để thu được
Hình 2. Plots of

cos n

s

versus s for n=2

(28)


Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Cao Thắng

Ws (x ( t )) Ws (x 0
x0

(x icWs (cos i t )
i 1

x0

(x ic cos i t
i 1

s

2
i

s2
(x ic 2
(s
1

x is sin i t ))

x isWs (sin i t ))

i2
i 2 )2

ta tính

A2

(29)

trong đó h,

0

x

, ,

x

t

là các hằng số dương,

(31)

t

là quá

trình ngẫu nhiên ồn trắng có trung bình bằng khơng và
cường độ đơn vị.
x 3 , B x , ta sẽ thay A
x 3 k wB k wx
Đặt A
và đưa phương trình phi tuyến (31) về phương trình

tuyến tính

x

2hx

2
0

(

k w )x

t

(32)

Từ đó sẽ thu được phương trình xác định mơmen đáp
ứng bậc 2 [17]

kw x 2

2
0

x2

2

,

,

(34)

x2 ,r2

45
(36)
x2
17
Thay (36) vào (33) được phương trình xác định
momen đáp ứng bậc 2 của hệ Duffing (31)
kw

45
17

x2

2

2
0

w

x2

2

0

4h

w

hay

Có nhiều ví dụ khác nhau về ứng dụng của các kỹ
thuật đối ngẫu trình bày ở trên. Trước hết kỹ thuật thay
thế tương đương đối ngẫu đã được áp dụng để phân tích
dao động ngẫu nhiên phi tuyến cho hệ cơ học 1 bậc tự do
và nhiều bậc tự do trong [3,4,17]; áp dụng để tính tốn
các tham số tối ưu của bộ giảm chấn TMD cho hệ kết cấu
có cản [6,8]; áp dụng để phân tích dao động tuần hồn
(flutter) của mơ hình dao động uốn xoắn cho thiết diện
cánh máy bay [11]; áp dụng để phân tích bài tốn nhiệt
vệ tinh quỹ đạo thấp [15,16]. Kỹ thuật trung bình trọng
số đối ngẫu được áp dụng để phân tích tần số dao động
phi tuyến cho nhiều hệ khác nhau [14,18,19], cũng như
cho kết cấu dầm micro và nano [20,21]. Kỹ thuật thay thế
tương đương dịa phương-toàn thể được áp dụng để phân
tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến cho hệ cơ học 1 và
nhiều bậc tự do trong [5,9]; áp dụng để tính tốn các
tham số tối ưu của bộ giảm chấn TMD cho hệ kết cấu có
cản [12]; Kỹ thuật tuyến tính hóa điều chỉnh-một dạng
của kỹ thuật đối ngẫu-được áp dụng để phân tích dao
động ngẫu nhiên phi tuyến cho kết cấu dầm [7,13]. Trong
bài báo này chúng ta chỉ xét minh họa hệ sau đây.

Dao động phi tuyến trong hệ Duffing
Ta xét hệ sau

2hx

x2

3

3

x2

3
5
Sử dụng (34) để tính giá trị trọng số p theo (7) và hệ
số thay thế tương đương theo (8) sẽ cho
(35)
p 1/ 4

6. Một số ví dụ ứng dụng

x

2

15

x4

B2

So sánh (29) với (30) ta thấy rằng giá trị trung bình
trọng số có chứa các thơng tin về các thành phần điều hịa
bậc cao của hàm ω-tuần hoàn x(ωt) (cụ thể là các hệ số
xic và xis) trong khi giá trị trung bình thơng thường khơng
chứa các thong tin này. Từ đó có thể nhận dịnh rằng giá
trị trung bình trọng số có thể cho các kết quả chính xác
hơn về hàm x(ωt).

3

x6

AB

2is
x is 2
)
(s
i 2 )2

Từ (29) thu được giá trị trung bình thông thường của
hàm x(ωt) bằng cách cho s=0
x( t)
W0 (x ( t )) x 0
(30)

2
0

2

2

0
(33)
4h
Để áp dụng kỹ thuật thay thế tương đương đối ngẫu

x2

17
90

w

2
0

2

45
17

4
0

(37)

h

Để áp dụng kỹ thuật thay thế kinh điển (thông
thường) ta lấy cực tiểu sai số thay thế x 3 bằng kclx

( x3

kcl x )2

k

Suy ra

min

(38)

kcl

x2

3

(39)

Thay (39) vào (33) tìm được phương trình xác định
momen đáp ứng bậc 2

x2

cl

của hệ Duffing (31) theo kỹ

thuật thay thế tương đương kinh điển

3

x2

2

2
o

GL

x2

2

0

4h

GL

(40)

So sánh sai số của các mômen đáp ứng

kỹ thuật thay thế đối ngẫu và
thay
h

thông

thế
0.5 ;

0

thường

1;

Bảng 1, trong đó

x2
của

cl

x2

w

tính theo

tính theo kỹ thuật

hệ

Duffing

với

2 và γ thay đổi được cho trong

x2

cx

mơmen đáp ứng chính xác

[xem 17]. Ta thấy rằng sai số nghiệm đã được giảm khá
nhiều khi tính phi tuyến của hệ tăng dần.
Bảng 1. So sánh các lời giải gần đúng của hệ Duffing
(kỹ thuật thay thế đối ngẫu)
Sai
Sai số
x2
x2
x2
số
cl
w
cx
(%)
(%))
0.01

0.9721
0.9717
0.05 0.9748 0.28
0.05
0.889
0.883
0.64
0.894 0.62
0.1
0.818
0.805
1.49
0.821 0.47
0.5
0.579
0.549
5.29
0.570 1.59
1.0
0.468
0.434
7.19
0.454 2.95
5.0
0.254
0.227
10.74 0.240 5.76
10.0
0.189
0.167

11.77 0.176 6.62


Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định
Kỹ thuật thay thế tương đương địa phương-toàn thể
dựa trên giả thiết rằng các giá trị của dịch chuyển và vận
tốc của hệ phi tuyến chỉ tập trung trong một miền hữu
hạn. Giả thiết này có thể được minh họa bằng đồ thị của
hàm phân bố xác suất của hệ Dufing (26) được cho trên
hình 6.

x2

momen đáp ứng bậc 2

GL

của hệ Duffing (31) như

sau theo kỹ thuật thay thế tương đương địa phương-toàn
thể

x2

2.4119

2

2
o

GL

x2

2
GL

4h

0

(46)

So sánh sai số của các mômen đáp ứng
theo kỹ thuật thay thế địa phương-tồn thể và

x2
x2

GL

cl

tính
tính

theo kỹ thuật thay thế thơng thường của hệ Duffing với
1, h 0.25,
1 ; hệ số đàn hồi phi tuyến

o
0.1
0.075
p
0.05
0.025

thay đổi được cho trong Bảng 2, trong đó
2
0
0
-2
0

x

-2

x
2

( x3

kx )2

x2

min

(41)

k

cx

mơmen đáp ứng chính xác [xem 5]. Ta cũng thấy rằng sai
số nghiệm đã được giảm khá nhiều khi tính phi tuyến của
hệ tăng dần.
Bảng 2. So sánh các lời giải gần đúng của hệ Duffing
(kỹ thuật thay thế địa phương-tồn thể)

Hình 6. Đồ thị hàm PDF p x , x , γ =1.0
Để xác định k theo kỹ thuật thay thế tương đương địa
phương-toàn thể trước hết ta tính cực tiểu địa phương sau

x2

0.1
1.0
10
100

cx

0.8176
0.4680
0.1889
0.2543

x2

kd

2
sai số (%) x

0.8054 -1.490
0.4343 -7.194
0.1667 -11.768
0.2270 -10.740

GL

0.8327
0.4692
0.1839
0.2624

sai số (%)
1.857
0.263
-2.626
3.150

trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương
r

x

( )P(x )dx

[. ]
r

(42)

x

Suy ra
r

k (r )

x

x 4P(x )dx

x4

r

x

2

r

x

x

x 2P(x )dx
r

x2

2T2,r
2T1,r

x

2

(43)

x

T2,r

2

T1,r

x2

trong đó ký hiệu
r

Tn,r

x

2n

(x )dx, (x )

1

x2
2

(44)
e
2
Tiếp theo hệ số thay thế tương đương k tính theo kỹ
thuật thay thế tương đương địa phương-tồn thể bằng giá
trị trung bình cộng của k(r). Như vậy ta có
0

k

k (r )
Lim
s

1
s
x2

Lim

s

T2,r

s

Lim
s

k (r )dr
0

x2

T1,r

0

s

1
s

dr

7. Kết luận
Thiên nhiên và cuộc sống luôn chứa đựng các
khuynh hướng đối ngẫu nhau. Đó là các yếu tố có tính
chất trái ngược nhau, hoặc bổ trợ cho nhau. Do vậy, việc
nghiên cứu khoa học cũng cần phản ánh được tính chất

này. Gần đây, cách tiếp cận đối ngẫu đã được đề xuất để
nghiên cứu đáp ứng của các hệ phi tuyến [1,2] và đã
được phát triển trong nhiều cơng trình, ví dụ [3-17]. Một
ưu điểm quan trọng của cách tiếp cận đối ngẫu đối với
một vấn đề khoa học là luôn xem xét hai khía cạnh khác
nhau (đối ngẫu) của vấn đề; điều này cho phép việc
nghiên cứu trở nên hài hòa và phản ánh được thực chất
hơn. Bài báo giới thiệu tóm tắt một số kỹ thuật đối ngẫu
ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định. Một ví dụ
minh họa về kỹ thuật đối ngẫu được giới thiệu cho thấy
cách tiếp cận đối ngẫu là một cách tiếp cận hiệu quả
trong nghiên cứu khoa học có thể tiếp tục nghiên cứu
phát triển cho nhiều bài toán khác.

Lời cám ơn. Bài báo được sự tài trợ của Quỹ Phát
triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED)
mã số 107.04-2018.12. và của Viện Hàn lâm KHCNVN
cho NCVCC mã số NCVCC 03.07/19-19.

(45)

Tài liệu trích dẫn
1
s

s

0

T2,r

T1,r

dr

2.4119

x2

Thay (45) vào (33) tìm được phương trình xác định

1. N.D. Anh, Duality in the analysis of responses to
nonlinear systems. Vietnam J. Mech. 32(4) (2010)
263–266.


Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Cao Thắng
2. ND. Anh, Dual approach to averaged values of
functions. Vietnam J. Mech. 34(3), 211–214 (2012).
3. N.D. Anh, N.N. Hieu, N.N. Linh, A dual criterion of
equivalent linearization method for nonlinear systems
subjected to random excitation, Acta. Mech.(3) (2012)
645–654.
4. Anh, N.D., Zakovorotny, V.L., Hieu, N.N., Diep,
D.V.: A dual criterion of stochastic linearization
method for multi-degreeof-freedom systems subjected
to random excitation. Acta Mec., 2667–2684.
5. N.D. Anh, L.X. Hung, L.D. Viet, Dual approach to
local mean square error criterion for stochastic
equivalent linearization. Acta Mech. 224, 241–253
(2013).

6. ND Anh, NX Nguyen, Design of TMD for damped
linear structures using the dual criterion of equivalent
linearization method, International Journal of
Mechanical Sciences, 2013, Volume 77, December
2013, Pages 164-170.
7. N.D. Anh, I. Elishakoff, N.N. Hieu Extension of the
regulated stochastic linearization to beam vibrations,
Prob. Eng. Mech 35(2014), 2–10.
8. N.D. Anh and N.X. Nguyen, Design of
non-traditional dynamic vibration absorber for
damped linear structures, J. Mechanical Engineering
Science, vol. 228(1), pp.45-55, 2014.
9. N.D. Anh, L.X. Hung, L.D. Viet, N.C. Thang,
Global-local mean square error criterion for
equivalent linearization of nonlinear systems under
random excitation, Acta. Mech., 226(9) (2015)
3011-3029.
10. N. D. Anh, Dual approach to averaged values of
functions: A form for weighting coefficient, Vietnam
J. Mech., 37(2) (2015) 145–150.
11. Triet, N.M., Extension of dual equivalent
linearization technique to flutter analysis of two
dimensional nonlinear airfoils. Vietnam J. Mech.
37(3), 217–230 (2015)
12. N.D.Anh, N.X.Nguyen, N.H.Quan, Global-local
approach to the design of dynamic vibration absorber
for damped structures, Journal of Vibration and
Control, vol. 22(14), pp. 3182-3201,2016
13. N.D. Anh, I. Elishakoff, N.N. Hieu, Generalization of
Seide’s problem by the regulated stochastic

linearization technique, Meccanica, 2017 (52),
pp1003-1016.
14. N. D. Anh, N. Q. Hai, and D. V. Hieu. The equivalent
linearization method with a weighted averaging for
analyzing of nonlinear vibrating systems. Latin
American J. Solids and Structures, 14(9) (2017)
1723–1740.
15. N.D. Anh, NN Hieu, PN Chung, NT Anh Thermal
radiation analysis for small satellites with single-node
model using techniques of equivalent linearization,
Applied Thermal Engineering, 2016, Volume
94, Pages 607-614.
16. P. N. Chung, N. D. Anh, N. N. Hieu, D. V. Manh,
Extension of dual equivalent linearization to

nonlinear analysis of thermal behavior of a two-node
model for small satellites in Low Earth Orbit,
International Journal of Mechanical Sciences, 133
(2017), pp 513-523.
17. N. D. Anh, N. N. Linh, A weighted dual criterion of
the equivalent linearization method for nonlinear
systems subjected to random excitation, Acta. Mech.,
2018, Volume 229, Issue 3, pp 1297–1310.
18. D. V. Hieu and N. Q. Hai. Analyzing of Nonlinear
Generalized Duffing Oscillators Using the Equivalent
Linearization Method with a Weighted Averaging.
Asian Research Journal of Mathematics, vol. 9(1):
1-14, 2018.
19. D. V. Hieu, N. Q. Hai, and D. T. Hung. The
Equivalent Linearization Method with a Weighted

Averaging for Solving Undamped Nonlinear
Oscillators. Journal of Applied Mathematics, Volume
2018, Article ID 7487851, 15 pages.
20. D. V. Hieu, N. D. Anh, L.M. Quy, N. Q. Hai,
Nonlinear vibration of microbeams based on the
nonlinear elastic foundation using the equivalent
linearization methodwith a weighted averaging,
Archive of Applied Mechanics, 2019 (under reviewer).
21. D. V. Hieu, N. D. Anh, L.M. Quy, D. T. Hung,
Nonlinear vibration of nanobeams under electrostatic
force based on the nonlocal strain gradient theory,
International Journal of Mechanics and Materials in
Design, 2019 (accepted for publication).