Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 196-200, DOI 10.15625/vap.2019000278

Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn
khơng gian với tích Kronecker
Nguyễn Thái Minh Tuấn
Bộ mơn Cơ học Ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
E-mail:

Tóm tắt
Sử dụng tích Kronecker là một cách để lưu trữ các thông tin có
nhiều hơn hai chỉ số trong một mảng hai chiều, nhờ đó mà khả
năng của đại số ma trận được mở rộng. Báo cáo này dùng định
nghĩa đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector của Nguyễn
Văn Khang và tích Kronecker, đồng thời đưa ra một số định
nghĩa cũng như tính chất khác để phân tích động lực học một
vật rắn khơng gian. Nhờ đó, một dạng ma trận mới của các
phương trình Newton-Euler sẽ được thiết lập.

 a11B a12 B
a B a B
22
A  B =  21


 ar 1 B ar 2 B

1. Mở đầu
Các phép tính ma trận được sử dụng rất phổ biến
trong động lực học hệ nhiều vật bởi sự thuận tiện trong
việc viết các cơng thức tổng qt. Tuy nhiên, các phép

tính căn bản như nhân hoặc cộng các ma trận là không đủ
trong nhiều trường hợp, nhất là khi ta cần làm việc với
các đạo hàm theo biến vector.
Sử dụng tích Kronecker, các nghiên cứu của Nguyễn
Văn Khang [1-3] trình bày một định nghĩa nhất quán của
đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector, một số tính
chất của phép tốn này và dạng ma trận của phương trình
Lagrange loại hai và phương trình Lagrange với nhân tử.
Các kết quả đó giúp cho việc thiết lập các phương trình vi
phân chuyển động của hệ nhiều vật trở nên tiện lợi hơn,
khi các phép tính cần thực hiện đều là các phép tính với
ma trận, thay vì phải thực hiện với từng phần tử của ma
trận như khi sử dụng các ký hiệu Christoffel [4].
Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm ma trận theo
biến vector, tác giả cũng đã đưa ra một dạng mới của
phương trình Lagrange loại hai, trong đó thể hiện rõ các
thành phần bậc hai [5].
Báo cáo này sẽ xây dựng một dạng ma trận mới của
các phương trình Newton-Euler. Một phần kết quả đã
được trình bày trước trong phụ lục của luận án của tác giả
[6].

2. Một số phép tính ma trận
2.1 Tích Kronecker
Định nghĩa 1. Tích Kronecker của hai ma trận
A r s = [aij ] và B p q là một ma trận cỡ rp  sq [7-9]

(1)

Tích Kronecker có những tính chất sau đây [7-9]

( A  B)  C = A  (B  C) ,

(2)

( A  B) = A  B ,
A  (B + C) = A  B + A  C ,
(B + C)  A = B  A + C  A ,
( A  B)(C  D) = ( AC)  (BD) .

(3)
(4)

T

Từ khóa: Newton-Euler, tích Kronecker, dạng ma trận.

a1s B 
a2 s B 
.


ars B 

T

T

(5)
(6)


Để các phép tính có thể thực hiện được, trong các
cơng thức (4) và (5) thì các ma trận B và C phải cùng cỡ,
trơng cơng thức (6) thì cỡ của các ma trận phải thỏa mãn
điều kiện cần để thực hiện các phép nhân ma trận AC và
BD.
2.2. Đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector
Định nghĩa 2. Đạo hàm riêng của một hàm ma trận
matrix A(x) cỡ r  s theo biến vector x cỡ n1 là
một ma trận cỡ r  sn được xác định như sau [1-3]

A(x)  a1
=
x
 x

a2
x

as 
,
x 

(7)

trong đó a i là cột thứ i của ma trận A

A = a1 a2

as  .


(8)

Ta có một số định lý sau đây.
Định lý 1. [1-3]

A ( x) =

dA(x) A(x)
=
(Es  x) .
dt
x

(9)

Định lý 2. [1-3]

(A(x)B(x)) A(x)
B(x)
.(10)
=
(B(x)  En ) + A(x)
x
x
x
Định lý 3.


Nguyễn Thái Minh Tuấn


d (J r s (q n1 )q)
J (q)
= J (q)q +
(q  q) .
dt
q

(11)

 0T

A =  αT3
 −αT2


Chứng minh. Áp dụng (9) và (6), ta có

d (J (q)q)
d (J (q))
= J (q)q +
q
dt
dt
J (q)
= J (q)q +
(q  E n )(E1  q)
q
.
J (q)
= J (q)q +

(qE1 )  (E n q)
q
J (q)
= J (q)q +
(q  q)
q

αT2 

−α1T  .
0T 

−αT3
0T
α1T

(17)

Định lý 5. Từ (15) và (17), dễ dàng chứng minh được
rằng

Ax = A(E3  x) .

(18)

3. Dạng ma trận của các phương trình
Newton-Euler

Định lý 4.


(E p  xn1 )A pmd m1 = (A  En )(d  x) .

là

(12)

Xét một vật rắn B di chuyển trong một hệ quy chiếu
quán tính (0): O0 x0 y0 z0 . Hệ quy chiếu động gắn với vật
được ký hiệu là (b): Ob xb yb zb . Ma trận cosine chỉ hướng
của B là Ab(0) (q) , trong đó q n1 là vector các tọa độ suy

Chứng minh. Áp dụng (6) hai lần liên tiếp, ta có

rộng độc lập. A b(0) được xác định như sau

(E p  x) Ad = (E p  x)( Ad  E1 )
= (E p Ad)  (xE1 )
= ( Ad)  (En x)

Ab(0) = xb(0) , y b(0) , zb(0) 
.

= ( A  En )(d  x)
Định nghĩa 3. Lũy thừa Kronecker bậc k của ma trận
A được xác định như sau

A k = A 

A k  N .


(13)

k A

trong đó xb(0) , y b(0) và zb(0) lần lượt là các vector đơn
vị của hệ Ob xb yb zb viết trong hệ quy chiếu quán tính
(0). Một số tính chất của ma trận cosine chỉ hướng liên
quan đến vector [10, 11]

(A ) = (A )

2.3. Ma trận đối xứng lệch ứng với phép nhân có
hướng và dạng mở rộng
Định nghĩa 4. Ứng với phép nhân có hướng, ma trận
đối xứng lệch của vector

a =  a1 a2

a3 

(14)

là [10], [11]

 0
a =  a3
 −a2

−a3
0

a1

a2 
−a1  .
0 

(0)
b

A u

(b)

(b )
0

(0)

= A(0b) ,

(20)

=u

(0)

,

(21)


=u

(b )

,

(22)

ω(0) = Ab(0) ( A

(0) T
b

ω( b ) = ( A

Ab(0)

)

(0) T
b

)

,

(23)
(24)

trong đó u(0) và u(b) lần lượt là vector đại số của một

vector hình học u bất kỳ trong hệ quy chiếu (0) và (b),
 là vận tốc góc của vật rắn B.
Ta biết rằng tensor hạng hai
m

(15)

Định nghĩa 5. Ma trận khối đối xứng lệch của một ma
trận có ba hàng

α1T 
 
A = αT2 
α T 
 3

(0) −1
b

(0) T
b

A u

T

(19)

T =  ak  bk ,


(25)

k =1

với ak  bk là tích dyad của hai vector a k và bk còn
m là một số nguyên dương nào đó, có ma trận như sau
[10]
m

T =  a k bTk .
(16)

k =1

Từ (21) ta có

(26)


Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn khơng gian với tích Kronecker

(

(0)
(0)
a(0)
a(kb) ( b(kb) )
k ( b k ) = Ab
T


T

)(A

)

(0) T
b

k = 1, m . (27)

Định lý 6. Từ (27) ta có thể suy ra được rằng

T(0) = Ab(0) T(b ) ( Ab(0) )

T

trong đó 0 vC và 0 aC là vận tốc và gia tốc khối tâm C
của B khi quan sát trong hệ quy chiếu (0), m là khối
lượng của B.
Sử dụng khái niệm ma trận Jacobi tịnh tiến [5, 10,
11], và ma trận Hesse tịnh tiến, ta có [5]

(28)
0

với T(0) và T( b ) lần lượt là ma trận của tensor T
biểu diễn trong hệ quy chiếu (0) và (b).
Tương tự, ta cũng có


T(b ) = A(0b) T(0) ( A(0b) ) .
T

0

Ab(0) u(b ) ( Ab(0) ) = u(0) .
T

(30)

Chứng minh. Xét một vector r bất kỳ, ta có phép
nhân có hướng

(0)
C

(37)
2

= J q+ H q .
0

(0)
TC

0

(0)
TC


(0)
HTC
=

(0)
 0 JTC
q

(38)

(39)

là ma trận Hesse tịnh tiến của điểm C đối với hệ quy
chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (0).
Như vậy phương trình (36) sẽ được viết về dạng tiện
dụng như sau
(0)
(0) 2
m 0 JTC
q + m 0 HTC
q = f e (0)

l = ur .

(40)

(31)

Viết (31) lần lượt trong hai hệ quy chiếu (0) và (b), ta
có [10, 11]


l (0) = u(0) r (0) ,
l (b ) = u(b ) r (b ) .

(32)
(33)

b) Viết trong hệ quy chiếu động gắn với vật
Tương tự như phần trước, ta sử dụng các ma trận
Jacobi và Hesse tịnh tiến của điểm C đối với hệ quy chiếu
(0), viết trong hệ quy chiếu (b)
0
0

Từ (21), (33) và (20), ta suy ra
0

=A l

(0) ( b )
b

= Ab(0) u (b ) r (b )
T

0

hay

(


l (0) = Ab(0) u( b ) ( A

)

(0) T
b

)r

(0)

,

e

0

(35)

có thể viết về dạng ma trận như sau

m 0 vC(0) = m 0 aC(0) = f e(0)

2

= J q+ H q ,

(b )
HTC

=

0

(b )
TC

0

(b )
TC

 J
.
q
0

(b)
TC

(41)
(42)
(43)

aC(b)  0 vC(b) .

(34)

3.1. Dạng ma trận của các phương trình Newton
a) Viết trong hệ quy chiếu qn tính

Gọi F e là tổng các ngoại lực tác dụng vào vật rắn
B. Phương trình Newton dạng vector hình học [10]

m vC = m aC = F

v

(b )
C

(44)

Ta cần sử dụng hệ thức sau đây [5]

So sánh (32) và (34), chú ý rằng r là một vector bất
kỳ, ta suy ra định lý cần chứng minh.

0

(b )
(0)
vC(b ) = 0 JTC
q = A(0b ) 0 JTC
q,

Tuy nhiên cần chú ý rằng

= Ab(0) u (b ) ( Ab(0) ) Ab(0) r ( b )

0


= a
0

(29)

Định lý 7. Với một vector u bất kỳ, ta có hệ thức

l

v

(0)
C

(0)
trong đó 0 J TC
là ma trận Jacobi tịnh tiến của điểm C đối
với hệ quy chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (0) và

0

(0)

(0)
vC(0) = 0 JTC
q,

(0)
(b)

HTC
= Ab(0) 0 HTC
+

Ab(0) 0 (b)
( JTC (q)  En ) .
q

(45)

Nhân trái cả hai vế của (45) với A (0b ) , ta có
(0)
(b)
A(0b ) 0 HTC
= 0 HTC
+ A(0b)

Ab(0) 0 (b)
( JTC (q)  En ) . (46)
q

Nhân trái cả hai vế của (40) với A (0b ) và chú ý đến
(46), ta có
(b)
m 0 JTC
q

(36)

.(47)

 (b)

Ab(0) 0 ( b )
+ m  0 HTC
+ A(0b )
( JTC (q)  En )  q 2 = f e( b)
q




Nguyễn Thái Minh Tuấn

Việc sử dụng (40) hay (47) phụ thuộc vào việc ta dễ
dàng viết được (37) hay (41) hơn. Nếu khơng có sự khác
biệt thì thơng thường (40) sẽ được sử dụng do công thức
này gọn gàng hơn (47).
3.2. Dạng ma trận của các phương trình Euler
a) Viết trong hệ quy chiếu quán tính
Gọi mCe là tổng moment đối với khối tâm C của các
ngoại lực và ngoại ngẫu lực tác dụng vào vật rắn B.
Phương trình Euler dạng vector hình học [10]

IC 0b + 0b  ( IC 0b ) = mCe

(48)

có thể viết trong hệ quy chiếu qn tính như sau

góc B khi quan sát trong hệ quy chiếu (0), I C là tensor

quán tính khối của B đối với khối tâm C.
Sử dụng khái niệm ma trận Jacobi quay [5, 10, 11],
và ma trận Hesse quay, ta có [5]

0

ω

(0)
b

trong đó

= α
0

0

(0)
b

(50)

= J q+ H q
0

(0)
Rb

0


(0)
Rb

2

.

(51)

J (0)
là ma trận Jacobi quay của B đối với hệ
Rb

quy chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (0) và
0

H (0)
Rb =

ωC(b ) = 0 J (Rbb) q = A (0b ) 0 J (0)
Rb q ,

0

ω

0

H (Rbb) =


 0 J (0)
Rb

(52)

q

là ma trận Hesse quay của B đối với hệ quy chiếu (0), viết
trong hệ quy chiếu (0).
Để ý đến (50), (18) và (12), ta có
(0) 0 (0)
ωb(0) IC(0) 0 ωb(0) = 0 J (0)
J Rb q
Rb (E3  q)I C
(0) (0)
= 0 J (0)
Rb ((I C J Rb )  E n )(q  q)

.

(53)

Như vậy phương trình (49) sẽ được viết về dạng tiện
dụng như sau

(

)


(0) 0
0 (0)
(0) 0 (0)
IC(0) 0 J (0)
H(0)
J Rb )  En ) q2 = mCe (0)
Rb q + I C
Rb + J Rb ((I C

(54)

(b )
Rb

 0 J (Rbb)
q

0

(b)
Rb

2

(56)

,

(57)


.

(58)

0

α b(b ) = 0 ωb(b ) .

(59)

I C(b ) 0 J (Rbb) q

(

)

+ I C(b ) 0 H (Rbb) + 0 J (Rbb) ((I C(b ) 0 J (Rbb) )  En ) q 2 = mCe (b )

.(60)

Thông thường I C(0) biến đổi theo thời gian trong khi

I C( b ) là một ma trận hằng số nên (60) thường được ưa
dùng hơn (54).
Kết hợp (40) và (60), ta có
Mq + C*q2 = Σ e .

(61)

trong đó

(0)
 m 0 JTC

M =  (b ) 0 (b )  ,
I C J Rb 

(0)
 m 0 HTC
C =  (b ) 0 (b ) 0 (b ) (b ) 0 (b )
 I C H Rb + J Rb ((I C J Rb )  En )

(

f e (0) 
Σ e =  e (b )  .
mC 

(62)

)


,


(63)

(64)

Về mặt hình thức, (61) khơng khác gì dạng ma trận

của phương trình Lagrange loại 2 được thiết lập trong [5].
Cơng thức của C* có vẻ phức tạp, nhưng khơng khó để
tính tốn trên máy tính, thực tế hồn tồn có thể viết gọn
trong một dịng lệnh. Hơn nữa, C* chỉ phụ thuộc vào q,
khơng phụ thuộc vào q , đây cũng chính là một ưu điểm
của phương trình đề xuất so với các cách viết cũ [10, 11]
khi cần thực hiện trên máy tính.

4. Kiểm chứng

b) Viết trong hệ quy chiếu động gắn với vật
Phương trình (48) viết trong hệ quy chiếu (b)

IC(b ) 0 ωb(b) + 0 ωb(b ) IC(b) 0 ωb(b) = mCe (b)

= J q+ H q
0

Chú ý rằng, khác với trường hợp tịnh tiến, trong
trường hợp này

*

0

(b )
b

(49)


trong đó 0b và 0b = 0b là vận tốc góc và gia tốc

ωb(0) = 0 J (0)
Rb q ,

0

Do đó, dạng của phương trình Euler viết trong hệ quy
chiếu gắn với vật có dạng rất giống với (54)

IC(0) 0 ωb(0) + 0 ωb(0) IC(0) 0 ωb(0) = mCe (0)

0

Jacobi và Hesse quay của B đối với hệ quy chiếu (0), viết
trong hệ quy chiếu (b)

(55)

Tương tự như phần trước, ta sử dụng các ma trận

Với các định nghĩa, tính chất và định lý đã nêu, có
thể chứng minh được rằng phương trình đề xuất hoàn
toàn giống với các cách viết các phương trình
Newton-Euler khác [10, 11].
Dạng ma trận của các phương trình Euler đã được sử
dụng trong [6] để khảo sát một vật rắn quay quanh điểm


Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn khơng gian với tích Kronecker

cố định chịu các tiếp xúc có ma sát và cho kết quả hồn
tồn giống với [12].

[11] Schiehlen, W. and Eberhard, P.: Applied Dynamics (Vol.

5. Kết luận

[12] von Wagner, U., Hochlenert, D., and Hagedorn, P.:

Báo cáo đã nêu ra các cơ sở tốn học với tích
Kronecker và ma trận đối xứng lệch ứng với phép nhân
có hướng của hai vector. Từ đó, các phương trình Newton
và các phương trình Euler trong hệ quy chiếu qn tính
cũng như trong hệ quy chiếu gắn với vật được thiết lập.
Các phương trình được đề xuất có dạng

Mq + C*q2 = Σ e
với M và C* đều chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng
chứ không phụ thuộc vào các vận tốc suy rộng, rất tiện
dụng trong tính tốn, nhất là khi sử dụng máy tính.
Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể sẽ là mở rộng các
phương trình trên cho hệ nhiều vật, hệ nhiều vật có cấu
trúc phức tạp hoặc hệ nhiều vật đàn hồi.

Tài liệu tham khảo
[1]

Khang, N. V.: Partial derivative of matrix functions with
respect to a vector variable, Vietnam Journal of Mechanics
30(4), 269-279, 2008.


[2]

Khang, N. V.: Consistent definition of partial derivatives
of matrix functions in dynamics of mechanical systems,
Mechanism and Machine Theory 45, 981-988, 2010.

[3]

Khang, N. V.: Kronecker product and a new matrix form of
Lagrangian equations with multipliers for constrained
multibody systems, Mechanics Research Communications
38, 294-299, 2011.

[4]

Spong M. W., Hutchinson S., and Vidyasagar, M.: Robot
modeling and control. John Wiley & Sons Inc., New York
2006.

[5]

Tuan, N. T. M., Pham, C. T., Khoa, D. D., and Phong, P.
D.: Kinematic and dynamic analysis of multibody systems
using the Kronecker product, Vietnam Journal of Science
and Technology, 57(1), 112-127, 2019.

[6]

Tuan, N. T. M.: Effect of vibrations on friction in the

context of brake squeal (Doctoral dissertation). TU Berlin,
2019. />
[7]

Zhang, F.: Matrix theory: basic results and techniques.
Springer Science & Business Media, 2011.

[8]

Brewer, J.: Kronecker products and matrix calculus in
system theory, IEEE Transactions on circuits and systems,
25(9), 772-781, 1987.

[9]

Laub, A. J.: Matrix analysis for scientist and engineers
(Vol. 91). Society for Industrial and Applied Mathematics,
Philadelphia, 2005.

[10] Khang, N. V.: Động lực học hệ nhiều vật (In lần thứ hai có
sửa chữa và bổ sung). Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật,
Hà Nội 2017.

57). Berlin: Springer, 2014.
Minimal models for disk brake squeal. Journal of Sound
and Vibration, 302(3), 527-539, 2007.