Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 177-182, DOI 10.15625/vap.2019000275

Động lực học tay máy robot có liên kết chương trình
Nguyễn Văn Khang1), Nguyễn Văn Quyền1), Lương Bá Trường2), Nguyễn Văn Long3)
1)

Bộ môn Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
2)

3)

Bộ môn Cơ điện tử, Trường Đại học Thủy Lợi

Bộ môn Cơ điện tử, Trường Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

E-mail: 1){khang.nguyenvan2, quyen.nguyenvan}@hust.edu.vn, 2), 3)

Tóm tắt
Hệ nhiều vật chịu các liên kết chương trình có thể xem thuộc
vào tập hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng. Các phương trình
chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng thường là
hệ các phương trình vi phân – đại số. Trong báo cáo này trình
bày việc áp dụng các phương trình Lagrange dạng nhân tử để
thiết lập hệ phương trình vi phân-đại số của hệ nhiều vật chịu
các liên kết chương trình. Sau đó trình bày chi tiết một bài tốn
động lực học thuận robot có liên kết chương trình.
Từ khóa: Tay máy Robot, liên kết chương trình, phương trình
vi phân-đại số, phương pháp khử nhân tử Lagrange, động lực
học thuận.

1. Mở đầu
Động lực học hệ nhiều vật chịu các liên kết chương
trình là lĩnh vực khoa học có ý nghĩa thực tế và đang
được quan tâm nghiên cứu [1-7]. Hệ nhiều vật chịu các
liên kết chương trình thực chất thuộc vào tập hệ nhiều vật
có cấu trúc mạch vịng. Để thiết lập phương trình chuyển
động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng, người ta
thường sử dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử,
phương trình Kane dạng nhân tử, phương pháp tách cấu
trúc,… [8, 9]. Các phương trình mơ tả chuyển động của
hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng thường là hệ các
phương trình vi phân – đại số. Các phương pháp giải hệ
phương trình vi phân – đại số thường được phân thành
hai nhóm:
 Các phương pháp biến đổi hệ phương trình vi
phân-đại số về hệ phương trình vi phân thường.
Sau đó sử dụng thuật tốn số giải hệ phương trình
vi phân thường [8,9].
 Các phương pháp số giải trực tiếp hệ phương trình
vi phân đại số [8, 9].
Trong bài báo này trình bày việc áp dụng phương
pháp khử các nhân tử Lagrange tính tốn động lực học
thuận robot có liên kết chương trình.

2. Phương pháp số giải phương trình
Lagrange dạng nhân tử
Sử dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử, chúng
ta thu được hệ phương trình vi phân – đại số mô tả
chuyển động của hệ nhiều vật hôlônôm chịu liên kết giữ
và lý tưởng [8, 9].


M (s, t )s + C (s, s, t )s + g (s, t ) =

t (t ) - FsT (s, t ) l

f (s, t ) = 0

(1)
(2)

T

Trong đó s = éêës1, s2 ,..., sn ùûú là các toạ độ suy rộng dư,
M (s, t) là ma trận khối lượng suy rộng của hệ, t (t ) là
véctơ lực suy rộng ứng với các lực hoạt động khơng có
T
thế, l = éêël1, l2 ,..., lr ùúû là véctơ các nhân tử Lagrange,
T
f = éëê f1, f2 ,..., fr ùûú =0 là các điều kiện ràng buộc, Fs là
ma trận Jacobi của f cỡ r ´ f , C (s, s, t ) là ma trận

quán tính ly tâm và Coriolis.
Để thuận tiện cách viết ta đưa vào ký hiệu
p1 (s, s, t ) = t (t) - C (s, s, t )s - g (s, t )

(3)

Phương trình (1) bây giờ có dạng
M (s, t)s + FsT (s, t ) l = p1


(4)

Đạo hàm hai lần phương trình liên kết (2) ta thu được các
phương trình
¶f
¶f
= ss + ft = 0
f =
s +
(5)
¶s
¶t
f = Fss + Fss + ft = 0
Fss = -(Fss + ft ) =: p2

(6)

Các phương trình (4) và (6) có thể viết lại dưới dạng ma
trận như sau
éM FT ù é s ù é p ù
s ú ê ú
ê
ê 1ú
(7)
êF
ú êl ú = ê p ú
0
êë s
úû êë úû êë 2 úû
Xác định các điều kiện đầu của các toạ độ suy rộng phụ

thuộc và các vận tốc suy rộng phụ thuộc [10, 11]
Để có thể tích phân được các phương trình vi phân
dạng tọa độ dư, thì việc xác định các điều kiện đầu của
các tọa độ suy rộng phụ thuộc và vận tốc của chúng là
cần thiết. Vì vậy trước tiện ta trình bày vấn đề này.
Khi giải hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ
nhiều vật có f bậc tự do, ta phải cho trước f giá trị
đầu của các toạ độ suy rộng độc lập và các vận tốc suy
rộng độc lập q1 (0),..., q f (0), q1 (0),..., qf (0) . Trong hệ
phương trình (2) cịn có r toạ độ suy rộng dư
z1 (t ),..., z r (t ) . Vì vậy ta cịn phải xác định các điều kiện
đầu của các toạ độ suy rộng và các vận tốc suy rộng dư.
Từ các phương trình (2) và (5) ta có


Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Quyền, Lương Bá Trường, Nguyễn Văn Long
fj (q1 (0),..., q f (0), z1 (0),..., z r (0), 0) = 0,

( j = 1,..r )

(8)
f

¶f j

r

¶f j

¶f j


å ¶q (0)q (0) + å ¶z (0) z (0) + ¶t (0) = 0,
i =1

i

i

k =1

k

k

(9)

( j = 1,..., r )

Từ phương trình liên kết (8) khi biết q1 (0),..., q f (0) ta
dễ dàng xác định được các giá trị gần đúng của
z1 (0),..., z r (0) (chẳng hạn bằng phương pháp đồ thị).
Lấy các giá trị này làm giá trị đầu, giải hệ phương trình
đại số phi tuyến (8) bằng phương pháp lặp
Newton-Raphson tìm được các giá trị đầu của các toạ độ
suy rộng dư khá chính xác.
Để xác định các giá trị đầu của các vận tốc suy rộng
dư, ta xét hệ phương trình (9)
f ¶f
r
¶f

¶f
å ¶zj (0) zk (0) = -å ¶qj (0)qi (0) - ¶tj (0), (10)
k =1
i =1
k

i

( j = 1,..., r )

Hệ (10) là hệ r phương trình đại số tuyến tính của r ẩn
là z1 (0),..., zr (0) . Giải hệ phương trình đại số này ta xác
định được các giá trị đầu của các vận tốc suy rộng dư.
Phương pháp khử các nhân tử Lagrange [8, 9, 12]
Khử các nhân tử Lagrange, biến đổi hệ phương trình
vi phân đại số (1), (2) về hệ phương trình vi phân thường
với số phương trình bằng số tọa độ suy rộng có dư của
hệ.
Từ (4) ta suy ra
RT Ms + RT FsT l = RT p1
(11)
é E ù
Trong đó R(q, z ) = êê -1 úú ,
êë-Fz Fq úû
é ¶f
ù
ê 1 ....... ¶f1 ú
ê
ú
¶z r ú

ê ¶z 1
ê
Fz = ê ... ....... ... úú , Fq =
ê
ú
¶fr ú
ê ¶fr
.......
ê
ú
ê¶
¶z r úû
ë z1
Sử dụng định lý trực giao [9]
RT FsT = 0

é ¶f
ê 1
ê
ê ¶q 1
ê
ê ...
ê
ê ¶fr
ê
ê ¶q 1
ë

¶f1 ùú
ú

¶q f ú
ú
....... ... ú
ú
¶fr ú
.......
ú
¶q f ú
û
.......

Từ (11) ta có
RT Ms = RT p1

thỏa mãn các phương trình ràng buộc vị trí và phương
trình ràng buộc vận tốc và dẫn đến các sai lệch:
f (sk , tk ) ¹ 0 , k = 1, 2,..., f (sk , sk , tk ) ¹ 0 , k = 1, 2,... (17)
Theo phương pháp Baumgarte, thay vì giải phương trình
f(s, s, t ) = 0
ta sẽ tiến hành giải phương trình:
f(s, s, t ) + 2a f (s, s, t ) + b 2 f (s, t ) = 0
(18)
Trong đó các hệ số được chọn thỏa mãn điều kiện sau:
0 < a £ b . Các số hạng 2af và b 2 f đóng vai trị số
hạng điều khiển. Nhờ việc sử phương trình (18) thay cho
phương trình (6) ta sẽ khử dần hoặc khử hồn tồn được
sai số tích lũy trong q trình tích phân. Như thế thay cho
giải hệ phương trình:
M (s, t)s + FsT (s, t ) l - p1 (s, s, t ) = 0
(19)

f(s, s, t ) = 0
ta sẽ tiến hành giải hệ phương trình sau:
M (s, t)s + FsT (s, t ) l - p1 (s, s, t ) = 0
f(s, s, t ) + 2a f (s, s, t ) + b 2 f (s, t ) = 0

(20)

Hệ phương trình (20) có thể viết lại dưới dạng ma trận
T
é
ùé ù é
ù
êM (s, t ) F (s, t)ú ê s ú = ê p1 (s, s, t )ú
(21)
ê F s, t
ú
ê
ú
ê
0r´r ú êl ú ê p3 (s, s, t )úú
êë ( )
ë
û
ë
û
û
trong đó
p3 (s, s, t ) = p2 (s, s, t ) - 2a êé F (s, t)s + ft ùú - b 2 f (s, t )
ë
û

é ¶F
ù
F
¶
E Ä s ) +
= -ê
+ 2aF (s, t)ú s - 2a ft - ftt
ê ¶s ( n
ú
¶t
ë
û
(22)

3. Bài tốn động lực học thuận tay máy robot
hai khâu có liên kết chương trình
(12)
(13)

Hệ hai phương trình (13) và (6) có thể viết lại dưới dạng
ma trận như sau
éRT M ù
é T ù
ê
ú s = êR p1 ú
(14)
ê F ú
ê p ú
ëê s ûú
ëê 3 ûú

Nếu ta đưa vào ký hiệu
éRT M ù
ú
D = êê
ú
F
êë s úû
thì từ (14) ta suy ra hệ phương trình vi phân sau :

éRT p ù
1ú
(16)
s = D-1 êê
ú = g(s, s, t )
p
êë 3 úû
Hệ (16) là phương trình vi phân chuyển động của hệ
nhiều vật có cấu trúc mạch vịng trong dạng các toạ độ
suy rộng có dư.
Chú ý : Phương pháp tích phân số phương trình (16)
thường gặp phải các sai số tích phân. Sau mỗi bước tích
phân, do sai số tính tốn, các giá trị si , si khơng cịn

(15)

Áp dụng phương pháp giải hệ phương trình vi phân –
đại số trình bày ở mục trên, ta nghiên cứu bài toán động
lực học thuận tay máy robot hai khâu có liên kết chương
trình như hình 1. Liên kết chương trình ở đây là địi hỏi
điểm thao tác E chuyển động trên một quỹ đạo cho trước.

Cho tay máy 2 khâu chuyển động trong mặt phẳng thẳng
đứng. Thanh OO1 đồng chất chiều dài l1 , khối lượng
m1 , khối tâm tại C1. Thanh O1E đồng chất chiều dài l2 ,

khối lượng m2 , khối tâm tại C2. Điểm thao tác E có khối
lượng mE chuyển động trên đường thẳng AB.


Động lực học tay máy Robot có liên kết chương trình
(26)
Các lực suy rộng của các lực hoạt động khơng thế
Q1* = t1,Q2* = t2
(27)

 

Phương trình ràng buộc điểm thao tác E luôn chuyển
động trên một đường thẳng AB
xE - xA
y - yA
x
y
hay E + E - 1 = 0
= E
xB - xA
yB - yA
l3
l4
Thay tọa độ điểm E từ (24) vào phương trình ràng buộc
trên ta có phương trình liên kết:

f (q1, q2 ) = l1l 3 sin q1 + l1l 4 cos q1
(28)
+l2l 3 sin (q1 + q2 ) + l2l 4 cos (q1 + q2 ) - l 3l 4 = 0

Hình 1. Tay máy Robot hai khâu

Chọn các tọa độ suy rộng là q1 và q2 . Mơmen qn tính
khối đối với trục quay đi qua khối tâm của các khâu lần
1
1
lượt là JC = m1l12 ,JC = m2l22
1
2
12
12
Vận tốc góc của các khâu: w1 = q1, w2 = q1 + q2 .
Tọa độ các khối tâm và điểm thao tác
él
ù
éx ù êê 1 cos q1 úú
ê C1 ú
2
ú;
êy ú = êê l
êë C1 úû ê 1 sin q úú
1
êë 2
úû
(23)
é

ù
l2
ê
ú
éx ù êl1 cos q1 + cos (q1 + q2 )ú
ê C2 ú = ê
2
ú
êy ú ê
êë C 2 úû ê l sin q + l2 sin q + q úú
( 1 2 )ú
1
1
2
ëê
û
éx ù él cos q + l cos (q + q )ù
1
2
1
2 ú
ê Eú = ê1
(24)
êy ú ê l sin q + l sin q + q ú
(
ê
1
2
1
2 ) úû

ëê E ûú ë 1
Động năng của tay máy:
1
1
1
1
1
T = m1vC2 + JC w12 + m2vC2 + JC w22 + mE vE2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
Với vC2 = xC2 + yC2 ;vC2 = xC2 + yC2 ;vE2 = xE2 + yE2
1

1

1

2

2

2


Ta dễ dàng tính được biểu thức động nng ca tay mỏy:
ộổ
ự
ử
ổ
ử
ờỗỗ m1 + m2 + mE ữữl 2 + ỗỗ m2 + m ữữl l cos q ỳ
ữữ 1 ỗ
ữ12
ờỗỗ 6
2ỳ
Eữ
ữứ
ữứ
2
ố
ốỗ 2
ỳ q2
T = ờờ
ỳ 1
ổ
ử
ờ ỗ m2 mE ữữ 2
ỳ
+
ờ+ ỗỗ
ỳ
ữữl2
ờ ỗố 6
ỳ

2 ữứ
ở
ỷ
ộổ m
ửữ
ổm
ửữ ự
+ ờờỗỗỗ 2 + mE ữữl1l2 cos q2 + ỗỗỗ 2 + mE ữữl22 ỳỳ q1q2
(25)
ữứữ
ỗ 2
ốỗ 3
ứữữ ỷỳ
ởờố
ổm
m ửữ
+ ỗỗỗ 2 + E ữữl22 q22
2 ữứữ
ốỗ 6
Th nng ca tay mỏy:
= m1gyC + m2gyC + mE gyE
1
2
ổm
ửữ
ổm
ửữ
ỗ
1
= ỗỗ

+ m2 + mE ữữl1 sin q1 + ỗỗỗ 2 + mE ữữl2 sin (q1 + q2 )
ỗố 2
ữữứ
ốỗ 2
ứữữ

S dng phng trỡnh Lagrange loi 2 dng nhõn t
d ổỗ ảT ửữữ ảT
ảP
ảf
ỗỗ
=+ Qk* - l
(k = 1, 2)
ữữ
dt ốỗ ảqk ứữ ảqk
ảqk
ảqk
Ta thu c hai phng trỡnh chuyn ng ca robot.
ộổ m
ự
ử
ờỗỗ 1 + m + m ữữl 2 + (m + 2m )l l cos q ỳ
ữ
ờỗỗ 3
Eữ 1
E 12
2
2
2ỳ
ứữ

ờố
ỳ q
ờ ổ
ỳ 1
ử
m
ờ ỗ 2
ỳ
ữ
+ mE ữữl22
ờ+ ỗỗ
ỳ
ữữứ
ờ ỗố 3
ỳ
ở
ỷ
ộổ m
ổm
ửữ ự
ửữ
ỗ
2
2
ờ
ỳ
ỗ
+ ờỗỗ + mE ữữl1l2 cos q2 + çç
+ mE ÷÷l2 ú q2
çè 3

÷÷ø ú
ø÷
êëçè 2
û
ỉm
÷ư
ç
2


(29)
- (m2 + 2mE )l1l2 q1q1 sin q2 - ỗỗ
+ mE ữữl1l2 q22
ữữứ
ỗố 2
ổm
ửữ
+ ỗỗỗ 1 + m2 + mE ữữ gl1 cos q1
ữứữ
ốỗ 2
ổm
ữử
+ ỗỗỗ 2 + mE ữữ gl2 cos (q1 + q2 )
ỗố 2
ữữứ
ổ
ữữử
ỗl l cos q1 - l1l 4 sin q1
= t1 - l ỗỗ 1 3
ữ

ỗỗố+l2l 3 cos (q1 + q2 ) - l2l 4 sin (q1 + q2 )ữữứ
ộổ
ử
ổ
ử ự
ờỗỗ m2 + m ữữl l cos q + ỗỗ m2 + m ữữl 2 ỳ q
ữ12
ờỗỗ 2
ỗ
Eữ
Eữ
2
2ỳ 1
ỗố 3
ứữ
ứữữ ỳỷ
ờởố
ổm
ửữ
ổm
ửữ
+ ỗỗỗ 2 + mE ữữl22 q2 + ççç 2 + mE ÷÷l1l2 q22 sin q2
çè 3
÷÷ø
èç 2
ø÷÷

(30)

ỉm

ư÷
+ ççç 2 + mE ÷÷ gl2 cos (q1 + q2 )
ữứữ
ốỗ 2
= t2 - l1 l2l 3 cos (q1 + q2 ) - l2l 4 sin (q1 + q2 )

(

)

Các phương trình vi phân (29), (30) và phương trình đại
số (28) tạo thành hệ 3 phương trình vi phân – đại số mô
tả chuyển động của tay máy robot.

4. Mô phỏng số
Để giải hệ phương trình vi phân đại số trên ta cần
biết các tham số của hệ và các điều kiện đầu. Các tham
số của robot được cho như sau
l1 = 2 éëêm ùûú , l2 = 3.5 éëêm ùûú , l 3 = 5 éëêm ùûú , l 4 = 5 éëêm ùûú ,
m1 = 200 éëêkg ùûú , m2 = 35 éëêkg ùûú , mE = 25 éëêkg ùûú ,
J 1 = 450 éêkg ⋅ m 2 ùú ,J 2 = 35 éêkg ⋅ m 2 ùú .
ë
û
ë
û


Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Quyền, Lương Bá Trường, Nguyễn Văn Long
Giả sử các lực tác dụng lên các khâu dẫn có dạng
t1 = 0.1 ⋅ sin(2pt ) éëêN ⋅ m ùûú ,

t2 = 0.1 ⋅ sin(2pt ) + 15000 éëêN ⋅ m ùûú .
Các điều kiện đầu của các tọa độ suy rộng độc lập được
cho trước, còn điều kiện đầu của các tọa độ suy rộng dư
được xác định từ phương trình liên kết. Ta có
é rad ù
ú,
q1 (0) = 0.5781 éêërad ùúû , q1 (0) = 1.5457 ê
ê s ú
ë
û
é rad ù

é
ù
ê
ú.
q2 (0) = -0.8957 ëêrad ûú , q2 (0) = -1.7494
ê s ú
ë
û
Sử dụng phần mềm MATLAB tính tốn mơ phỏng số.
Một phần các kết quả tính tốn được trình bày trên các
hình từ 2 đến 9. Trong đó hình 2 là đồ thị các góc quay
q1 và q2 . Hình 3 là đồ thị vận tốc các góc này. Hình 4 là
đồ thị biểu thị sai số tính tốn thể hiện qua phương trình
liên kết. Kết quả trên đồ thị này cho ta độ chính xác rất
cao của thuật tốn.

Hình 2.


Hình 4. Sai số của phương trình liên kết

Để có thể kiểm tra độ chính xác của thuật tốn chúng ta
biểu diễn dịch chuyển góc và vận tốc góc trên cùng một
hình vẽ như hình 5 và 6. Trong đó hình 5 là đồ thị của q1
và q1 cịn hình 6 là đồ thị của q2 và q2 . Hình 7 là đồ
thị nhân tử Lagrange. Trong [9] đã chỉ ra ý nghĩa của
nhân tử Lagrange.

Đồ thị các góc khớp

Hình 5. Đồ thị q1 và q1

Hình 3. Đồ thị các vận tốc góc khớp

Hình 6. Đồ thị q2 và q2


Động lực học tay máy Robot có liên kết chương trình
Trên hình 9 biểu diễn cấu hình của tay máy (robot arm
configuration) theo thời gian. Trong đó đường màu đỏ là
vị trí ban đầu của tay máy, đường màu tím là vị trí cuối
của tay máy.

5. Kết luận

Hình 7. Đồ thị nhân tử Lagrange theo thời gian

Một trong các yêu cầu của bài tốn động lực học tay máy
robot có liên kết chương trình là kiểm tra xem điểm thao

tác E (hoặc khâu thao tác) có thực hiện đúng chuyển
động trên quỹ đạo chương trình hay khơng. Vấn đề này
trong các tài liệu [1-7] chưa được đề cập đến. Trong bài
báo này chúng tôi đặc biệt quan tâm đến vấn đề này. Dựa
trên kết quả giải hệ phương trình vi phân đại số, trên hình
8 biểu diễn quỹ đạo chuyển động của điểm thao tác E.

Động lực học tay máy robot chịu các liên kết chương
trình là bài tốn có ý nghĩa khoa học và thực tế. Bài toán
này liên quan trực tiếp với bài tốn lập trình quỹ đạo cho
chuyển động robot. Trong bài báo này đã trình bày các
nghiên cứu về bài toán động lực học thuận robot có liên
kết chương trình. Các kết quả mơ phỏng số cho thấy
phương pháp nghiên cứu và thuật toán đề xuất có khả
năng áp dụng cao. Bài tốn động lực học ngược đang
được nghiên cứu trong nhóm và sẽ cơng bố trong thời
gian tới.

Lời cảm ơn
Bài báo này được hoàn thành với sự tài trợ bởi Quỹ Phát
triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED).

Tài liệu tham khảo
[1]

Rosen A.,

E. Edelstein, Investigation of a new

formulation of the Lagrange method for constrained

dynamic systems, ASME-Journal of Applied Mechanics,
vol. 64, pp.116-122, 1987.
[2]

Rosen A., Applying the Lagrange method to solve
problems of control constraints, ASME-Journal of
Applied Mechanics, vol. 66, pp.1013-1015, 1989.

[3]

Jankowski K., Dynamics of controlled mechanical
systems with material and program constraints - I Theory,
Mechanism

and

Machine

Theory,

vol.24,

No.3,

pp.175-179, 1989.
[4]

Jankowski K., Dynamics of controlled mechanical
systems with material and program constraints-II
Methods of solution, Mechanism and Machine Theory,


Hình 8. Quỹ đạo điểm E trong mặt phẳng

vol.24, No.3, pp.181-185, 1989.
[5]

Jankowski K., Dynamics of controlled mechanical
systems with material and program constraints-III
Illustrative examples, Mechanism and Machine Theory,
vol.24, No.3, pp.187-193, 1989.

[6]

Do Sanh, Dinh Văn Phong, Do Dang Khoa, Tran Duc,
Control of program motion of dynamic system using
relative motion, Technische Mechanik, Band 28, Heft 3-4,
pp. 211-218, 2008.

[7]

Vu Duc Binh, Do Dang Khoa, Phan Dang Phong, Do
Sanh, Program motion of unloading manipulatos,
Vietnam Journal of Science and Technology 56(5),
662-670, Hanoi 2018.

[8]
Hình 9. Cấu hình của robot

De Jalon J. G., E. Bayo, Kinematic and Dynamic
Simulation of Multibody Systems. Springer-Verlag, New

York, 1994.


Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Quyền, Lương Bá Trường, Nguyễn Văn Long
[9]

Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật (in lần thứ
2). NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2017.

[10] Nguyen Van Khang: Ein Beitrag zur dynamischen
Analyse

ebener

Koppelgetriebe

mit

mehreren

Freiheitsgraden mit Hilfe der numerischen Lösung der
Bewegungsdifferentialgleichungen.

Diss.

A,

TH

Karl-Marx-Stadt, 1973.

[11] Nguyen Van Khang, Über eine Methode zur Lösung der
Bewegungs- gleichungen von Mechanismen mit mehreren
Freiheitsgraden. WZ der TH Karl-Marx-Stadt 17, N.1,
S.59-70, 1975.
[12] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Quyền, Nghiên cứu so
sánh một vài phương pháp giải hệ phương trình vi
phân-đại số của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng.
Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc,
03-05/8/2015, Tập 2, Tr. 147-158, Đà Nẵng 2016.