Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 167-176, DOI 10.15625/vap.2019000274

Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot
một khâu đàn hồi
Nguyễn Văn Khang1), Đinh Công Đạt 1,2), Nguyễn Sỹ Nam3)
1)

Bộ môn Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
2)

Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Mỏ - Địa Chất
3)

Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Xây dựng
E-mail:

Tóm tắt
Động lực học ngược robot có khâu đàn hồi là bài toán đang
được quan tâm nghiên cứu hiện nay. Trong bài báo này, lý
thuyết điều khiển ổn định phương trình vi phân tuyến tính hệ số
tuần hồn được sử dụng để đảm bảo chuyển động thực của
robot có khâu đàn hồi sai khác chuyển động mong muốn của
khâu thao tác nhỏ như có thể. Thí dụ mơ phỏng số được thực
hiện cho thấy hiệu quả của phương pháp đề xuất.
Từ khóa: Robot đàn hồi, động lực học ngược, phân tích dao
động, tuyến tính hóa, hệ quy chiếu đồng hành.

1. Mở đầu
Mơ hình hóa và điều khiển robot đàn hồi là bài tốn
có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, và đang được quan tâm

nghiên cứu hiện nay [1-4]. Trong đó bài tốn động lực
học ngược robot đàn hồi là bài tốn có ý nghĩa kỹ thuật
nhưng khơng đơn giản [5-11]. Trong bài báo này trình
bày việc áp dụng phương pháp hệ quy chiếu đồng hành
(Floating frame of reference approach) [12-13] thiết lập
phương trình chuyển động của robot có khâu đàn hồi.
Tương tự như ý tưởng của H. Asada [5] bài toán động lực
học ngược của tay máy robot đàn hồi được tính theo ba
bước: Bước 1, xác định chuyển động của các khâu rắn
khả dĩ và mômen khả dĩ các khâu dẫn. Bước hai thiết lập
phương trình dao động của các khâu đàn hồi dựa theo
chuyển động của các khâu rắn khả dĩ, rồi phân tích biến
dạng động của các khâu đàn hồi sao cho chuyển động của
các khâu không đi xa khỏi chuyển động của các khâu
cứng ảo. Bước ba từ chuyển động của các khâu cứng ảo
và biến dạng đần hồi ta tính các mơ men các khâu dẫn
sao cho thực hiện được chuyển động của khâu thao tác.
Trong đó việc tính tốn hai bước một và ba về ngun tắc
khơng có gì khó khăn. Việc tính tốn bước hai là bài tốn
khó cịn cần nghiên cứu tiếp. Trong bài báo này trình bày
một ý tưởng mới giải quyết khâu hai của bài toán động
lực học ngược robot có khâu đàn hồi.

quy chiếu đồng hành để thiết lập phương trình vi phân
chuyển động của tay máy robot đàn hồi một khâu.
Xét mơ hình tay máy như hình 1. Tay máy OE được
xem là thanh đàn hồi, chiều dài khi chưa biến dạng là l.
Đầu O của thanh gắn cứng vào khâu O (bao gồm cả động
cơ) quay quanh trục O, đầu E mang khối lượng mE .
Thanh được xem là đồng chất, thiết diện A, mật độ khối

là ρ. Mômen phát động của động cơ là τ. Hệ tọa độ
Ox 0y 0 là hệ tọa độ cố định, hệ tọa độ đồng hành Oxy là
hệ tọa độ động, chuyển động quay đồng thời cùng với
robot rắn.

Xét trường hợp thanh OE đàn hồi chỉ thực hiện biến
dạng uốn ngang (bỏ qua biến dạng dọc thanh). Xét điểm
P tại vị trí x trên thanh, gọi w (x , t ) là chuyển vị ngang
của điểm P.
2.1. Động năng của robot
Động năng của hệ gồm động năng của khâu đàn hồi
OE, động năng của khâu quay 1 và động năng của khối
lượng mE
T = TOE + T1 + TE
(1)
Trong đó động năng của khâu quay 1 là
1
T1 = J 1qa2
(2)
2
J 1 là mơ men qn tính của khâu 1 (bao gồm cả động

2. Thiết lập phương trình chuyển động của
robot đàn hồi 1 khâu bằng phương pháp hệ
quy chiếu đồng hành

cơ) đối với điểm O.
Động năng thanh đàn hồi OE khi thanh bị uốn là

Trong [12, 13] Shabana đã trình bày một số phương

pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ
nhiều vật đàn hồi. Trong đó có phương pháp hệ quy chiếu
đồng hành. Trong bài báo này áp dụng phương pháp hệ

Xét điểm P* cách đầu O một đoạn x, sau khi biến
dạng đến vị trí P ta có
xP = -xqa sin qa - w sin qa - wqa cos qa

l

TOE =

1
rAvP2 dx
2 ò0

(3)


Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam
yP = xqa cos qa + w cos qa - wqa sin qa

l

Vận tốc điểm P là
 a
vP2 = xP2 + yP2 = w 2 + x 2 qa2 + w 2 + 2xwq

(


)

P2 = mE gyE + ò yP mgdx
0

(4)

Thay (4) vào (3) ta được
l

TOE =

l

)

)

l

=

0

= mE g (l sin qa + wE cos qa ) +

l

1
1

rAqa2 ò x 2dx + rAò w 2dx
2
2
0
0
l

1
 a dx
+ rAò w 2qa2 + 2xwq
2
0

(

l

Do

+ò (x sin qa + w cos qa ) mgdx

1
 a dx
rA
w 2 + x 2 qa2 + w 2 + 2xwq
2 ị0

((

ị x dx =

2

0

)

l3
,
3

(5)

(

)

(

0

+mg cos qa ị
0

(6)

Trong đó wE là độ võng tại E, wE = w (l, t ) . Động
năng của tải trọng E
1
TE = mE vE2
2

Từ (4) ta suy ra

)

vE2 = wE2 + l 2 qa2 + w E 2 + 2lw E qa

(13)

Trong đó m = rA là phân bố khối lượng trên đơn vị
dài (kg/m). Vậy thế năng của hệ là
m gl sin qa
P = mE g (l sin qa + w E cos qa ) + OE
2
l

l

1
 a dx
+ rAò w 2qa2 + 2xwq
2
0

2

+mg cos qa ò wdx

nên từ (5) ta suy ra biểu thức

1

1
TOE = rAl 3qa2 + rAò w 2dx
6
2
0

mOE gl sin qa

l

động năng OE

l

= mE g (l sin qa + wE cos qa )

(7)

2

l ỉ ¶ 2w ư
1
wdx + EI ũ ỗỗỗ 2 ữữữ dx
0 ỗ ảx ữ
2
ố
ứ

2.3. Phng trỡnh vi phân chuyển động của robot
Theo phương pháp Ritz-Galerkin, chuyển vị uốn

ngang tương đối w (x , t ) trong hệ toạ độ đồng hành
Oxy , có trục Ox quay quanh O cùng khâu rắn có thể
khai triển bởi biểu thức sau
N

w(x , t ) = å Xi (x )qe (t )

Thay (8) vào (7) ta được
1
TE = mE éêl 2qa2 + wE2 qa2 + w E 2 + 2lw E qa ùú
(9)
ë
û
2
Thay (2), (6) và (9) vào (1) ta cú biu thc ng
nng ca robot
ổ1
ử
1
1
T = ỗỗỗ J 1 + mE l 2 + rAl 3 ữữữqa2
ỗố 2
2
6
ứữ
l
1
1
+ mE éêwE2 qa2 + w E 2 + 2lw E qa ùú + rAò w 2dx
ë

û 2
0
2
l
l
1

+ rAqa2 ò w 2dx + rAqa ò xwdx
(10)
0
0
2

2.2. Thế năng của robot
Thế năng biến dạng đàn hồi của thành OE được tính
theo cơng thức [13, 14]
2
l
ổ ả2w ửữ
1
ỗ
Pdh = ũ EI ỗỗ 2 ữữ dx
(11)
2 0
ốỗ ảx ữứ
Trong ú E l mụ un n hồi của vật liệu, I là mơ
men qn tính mặt cắt ngang, Giả thiết thanh đồng chất
thiết diện không đổi, ta có biểu thức thế năng đàn hồi:
2
l ỉ ¶ 2w ử

1
ữ
ỗ
Pdh = EI ũ ỗỗ 2 ữữ dx
(12)
0 ỗ ¶x ÷
2
è
ø
Để tính thế năng của trọng lực, ta chọn gốc thế năng
là đường ngang qua trục Ox0. Do đó ta có

(15)

i

i =1

(8)

(14)

Trong đó: w(x, t) là chuyển vị uốn ngang của thanh
tại vị trí x, ở thời điểm t, Xi (x ) là các hàm thỏa mãn điều
kiện biên của thanh đàn hồi, qe (t ) là các tọa độ dạng phụ
i

thuộc vào thời gian và là đại lượng chưa xác định.
Trong trường hợp thanh OE một đầu ngàm một đầu
tự do thì phương trình đặc trưng của dầm có dạng [14]

1 + cos l cosh l = 0
(16)
Giải hệ phương trình (16) ta nhận được các trị riêng
li (i=1, 2, …). Từ đó các hàm X i (x ) có dạng [14]
ỉ l x ư÷
ỉ l x ư÷
X i (x ) = cos ỗỗỗ i ữữ - cosh ççç i ÷÷
÷
çè l ÷ø
çè l ø÷÷

+

ỉl x ư
ỉ l x ửử
cos li + cosh li ổỗ
ỗỗ- sin ỗỗỗ i ữữữ + sinh ỗỗỗ i ữữữữữữ
ữ
ỗố l ữữứ
ỗố l ữữữ
sin li + sinh li ỗố
ứứ

(17)

X i (l ) = cos (li ) - cosh (li )
+

cos li + cosh li
sin li + sinh li


(- sin (l ) + sinh (l ))
i

(18)

i

Từ (15) ta suy ra
N

wE (t ) = å X i (l )qe (t )
i =1

i

(19)

Từ (15) thực hiện các phép đạo hàm, bình phương, tích
phân rồi thay vào các công thức (10) và (14) ta được các
biểu thức động nng v th nng cho tay mỏy
ổ1
ử
1
1
T = ỗỗỗ J 1 + mE l 2 + rAl 3 ữữữqa2
ữứ
ỗố 2
2
6



Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi
N
é 2 N N
ù
êq å å X (l ) X (l )q q + 2lq å X (l )q ú
a
i
j
ei e j
a
i
ei ú
ê
1
i =1
ú
+ mE ê iN=1 jN=1
ê
ú
2
ê+å å X i (l ) X j (l )qe qe
ú
i
j
ê i =1 j =1
ú
ë
û

N
N
N
1
+ rAqa2 å å mij qe qe + rAqa å Diqe
i
j
i
2
i =1 j =1
i =1
(20)
N
N
1
+ r å mij qe qe
i
j
2
i =1 j =1

N
ỉ
ư m gl sin qa
P = mE g ỗỗỗl sin qa + å X i (l )qe (t ) cos qa ÷÷÷ + OE
i
ỗố
2
ứữ
i =1


N
N
N
1
+mg cos qa ồ C iqe + EI å å kij qe qe
i
i
j
2
i =1
i =1 j =1

(21)

ò X dx

Ci =

i

i

mij =

ị
0

ị


X i¢¢X j¢¢dx

(22)

tọa độ suy rộng qj. Lực hoạt động tác dụng vào hệ chỉ có
mơmen phát động τ do đó chỉ có lực suy rộng Qa* = τ
ứng với tọa độ suy rộng qa . Phương trình vi phân cho
tọa độ khâu dẫn qa có dạng
N
N
é
ù
êJ + m l 2 + 1 rAl 3 + rAå å m q q ú
E
ij ei e j ú
ê 1
3
i =1 j =1
ê
ú q
N
N
ê
ú a
ê+mE å å X i (l ) X j (l )qe qe
ú
i
j
ê
ú

i =1 j =1
ë
û
N
N
N
N
é
ù
+ êê2mE å å X i (l ) X j (l ) + 2rAå å mij úú qa qe qe
i
j
i =1 j =1
i =1 j =1
ëê
ûú
N

N

+rAå Diqe + mE l å X i (l )qe
i

i

i =1

N
ổ
ử

= -mE g ỗỗỗl cos qa - ồ X i (l )qe sin qa ữữữ
i
ữứ
ỗố
i =1
(23)
N
m glcosqa
- OE
+ mg sin qa å C iqe + τ
i
2
i =1
Nếu ta chọn N các tọa độ đàn hồi qei, các phương
trình vi phân đối với các tọa độ đàn hồi qei có dạng
N

N

mE å å X i (l ) X j (l )qej +mE l å X i (l )qa
i =1 j =1
N

i =1

N

N

N


N

+rAå Diqa + rAå å mij qe + EI å å kijqe
i =1

N

i =1

i =1

(24)

Trường hợp sử dụng 1 khai triển đầu cho biến dạng
đàn hồi (tức N = 1), ta thu được hệ 2 phương trình vi
phân chuyển động của robot đàn hồi như sau
é
ù
êJ + m l 2 + 1 rAl 3 + m X 2 (l )q 2 + rAm q 2 ú q
1
1
11
1
E
E
e
e
ê
ú a

1
3
ë
û

(

)

+ éê2mE X12 (l ) + 2rAm11 ùú qa qe1qe1 + rAD1qe
1
ë
û
mOE glcosqa
+mE lX 1 (l )qe +
- mg sin qaC 1qe1
1
2

)

(25)

2
1

1

2
a


1

= -mE gX1 (l ) cos qa - mg cos qaC 1

1

(26)

0

Trong đó Q j* là lực suy rộng khơng có thế ứng với

N

N

j

-m q X (l )qe - rAq m11qe + EIk11qe

Để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động
của tay máy, ta sử dụng các phương trình Lagrange loi 2
vit cho h hụlụnụm
d ổỗỗ ảT ửữữ ảT
ảP
=+ Q j* , j=1,2,,n
ữỗ
dt ỗỗố ảq j ứữữ ảq j
ảq j


i =1

i =1 j =1

= -mE g å X i (l )cos qa - mg cos qa å C i

2
E a

l2

X i X jdx ; kij =

j

i =1 j =1

1

0

l2

N

mE X12 (l )qe1 + mE lX1qa + rAD1qa + rAm11qe

ò xX dx ;


0

N

(

l2

; Di =

N

= -mE g l cos qa - X1 (l )qe1 sin qa + τ

Trong đó ta sử dụng các ký hiệu sau
l2

N

-mE qa2 å å X i (l ) X j (l )qe - rAqa2 å å mij qe

i =1 j =1

j

i =1 j =1

3. Tuyến tính hóa phương trình chuyển động
của robot đàn hồi quanh chuyển động cơ bản
Để tuyến tính hóa phương trình chuyển động của

robot đàn hồi, ta cần xác định chuyển động cơ bản của
nó. Trong cơng trình này chuyển động của robot khi xem
các khâu là rắn được xem là chuyển động cơ bản của
robot đàn hồi.
3.1. Động lực học ngược robot rắn
Khi cơ hệ là rắn, vị trí khâu thao tác E được xác định
bởi công thức sau
x E = l cos qa , yE = l sin qa
(27)
Ký hiệu JOE là mơmen qn tính của thanh OE đối
với điểm O. Khi thanh OE là thanh đồng chất, thiết diện
không đổi ta có
1
1
JOE = mOE l 2 = rAl 3
(28)
3
3
Ký hiệu J E là mơmen qn tính của khối lượng mE
đối với điểm O. Xemvật nặng là một chất điểm ta có
J E = mE l 2
(29)
Từ (28) và (29) ta suy ra
1
JO = rAl 3 + mE l 2 + J 1
(30)
3
Tay máy robot là vật rắn quay quanh trục cố định, áp
dụng định lý biến thiên mômen động lượng ta có
m gl cos qa

JOqa = τ(t ) - OE
- mE glcosqa
2
ổ1
ử
ỗỗ rAl 3 + m l 2 + J ữữq =
ữ a
1ữ
E
ỗỗố 3
ứ

j

= -mOE g

l
cosqa - mE glcosqa + τ(t )
2

(31)


Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam
Giả sử quy luật chuyển động của khâu dẫn có dạng
p p
qa (t ) = + sin (2pt )
(32)
2 2
Đạo hàm biểu thức (32) rồi thay vào (31) ta được

ỉ1
ư
τ(t ) = -2p 3 ỗỗỗ rAl 3 + mE l 2 + J 1 ữữữ sin (2pt )
ốỗ 3
ứữ
ổ
ử
p p
l
+mOE g cos ççç + sin (2pt )÷÷÷
(33)
2
èç 2 2
ø÷
ỉp p
ư
+mE glcos ççç + sin (2pt )ữữữ
ữứ
ỗố 2 2
Ta im thao tỏc E có dạng
ỉp p
ư
x E = l cos (qa ) = l cos ỗỗỗ + sin (2pt )ữữữ
ữứ
ỗố 2 2
ổp p
ử
yE = l sin (qa ) = l sin ỗỗỗ + sin (2pt )ữữữ
ữứ
ỗố 2 2


Hỡnh 3a. Ta xE

(34)

tính tốn mơ phỏng số, ta cho biết các tham số
động học và động lực học của robot dưới dạng bảng 1
như sau.
Bảng 1. Các tham số của cơ rắn
Thông
Giá trị
Đơn vị
số
l
0.9
m
A
1x10-4
m2
r
2700
kg/m2
I
2.0834x10-10
m4
m
kg
0.972
J1
kg.m2

5.86x10-5
mE
0.1
kg
Với bảng thơng số tính tốn ở trên, sử dụng chương
trình Matlab cho ta kết quả của tọa độ khâu thao tác và
mơmen khâu dẫn trên các hình vẽ 2, 3a, 3b, 3c.

Hình 3b. Tọa độ yE

Hình 3c. Quỹ đạo của điểm E
3.2. Tuyến tính hóa phương trình chuyển động của
robot đàn hồi quanh chuyển động cơ bản
Hệ phương chuyển động (25), (26) là trường hợp
riêng của hệ phương trình [15]
M(s)s = p1 (s, s, t, t )
(35)
Ta khai triển phương trình (35) quanh chuyển động
cơ bản sR (t ), và τ R (t ) . Trong đó sR (t ) là chuyển
Hình 2. Mơ men phát động khi cơ cấu rắn

động của robot khi các khâu là rắn
é q R (t )ù éq R (t )ù
sR (t ) = êê aR úú = êê a úú ,
0 ú
q t
û
ëê e ( )ûú ëê
é q R (t )ù
é q R (t )ù

s R (t ) = êê a úú , sR (t ) = êê a úú
êë 0 úû
êë 0 úû
cịn τ R (t ) là mơ men khi các khâu là rắn.

(36)


Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi

é τR ù é τR ù
τ R (t ) = êê aR úú = êê a úú
êë τe úû êë 0 úû
Ta đưa vào các ký hiệu sau
s (t ) = sR (t ) + Ds (t ) = sR (t ) + y (t )
s (t ) = s

R

s (t ) = sR
τ

( 2)

(37)

4.1. Điều khiển ổn định
(38)

(t ) + Ds (t ) = s (t ) + y (t )

(t ) + Ds (t ) = s (t ) + y (t )

(t ) = τ

R

R

(39)

R

(40)

Để đơn giản trong biến đổi ta viết lại phương trình
(35) dưới dạng
(42)
f1 (s, s) = M(s)s
Trong đó: f1 Ỵ Â f , p1 Ỵ Â f . Khai triển Taylor các
hàm f1 (s, s) và p1 (s, s, τ, t ) quanh chuyển động cơ bản
sR , s R , sR , τ R [15, 16], bỏ qua

Trong đó yh (t ) là nghiệm của phương trình thuần

(43)

(
)

)


(

)

các phần tử trên đường chéo chính là các số dương.
Phương trình tuyến tính hóa lúc này trở thành
 + CL (t ) y + KL (t ) y
ML (t ) y
(46)
2
()
(2)
(2)
= h L (t ) - KD y - KP y
Trong đó
ék
0ùú (2) éêkP 0ùú
(2)
KD = êê D
ú ; KP = ê 0 0ú
êë 0 0úû
êë
úû
Chuyển về và biến đổi ta được
2
 + éêCL (t ) + K(D ) ùú y
ML (t ) y
ë
û

(2)
(2)
+ éê KL (t ) + KP ùú y = h L (t )
ë
û

(47)

(2)

 + C(2)
M(2)
t y
t y + K(2)
t y = h L (t )
L ( )
L ( )
L ( )

(48)

Với
(2)

ML (t ) = ML (t )

(49)

(2)


(2)

(2)

(2)

(2)

KL (t ) = KL (t ) + KP
CL (t ) = CL (t ) + KD

é
ù
0
ê
ú
ê
ú
h L (t ) = ê éê-mE gX1 (l ) cos qaR - mg cos qaRC 1 ùú ú
êê
úú
ê ê-mE lX1qaR - rAD1qaR
úû úû
ëë

(2)

(50)

(2)


 + CL (t ) y + KL (t ) y = 0
ML (t ) y

(54)

Để biến đổi phương trình vi phân (54) về hệ phương
trình bậc nhất, ta đặt
y2 = y ; y1 = y
Khi đó hệ phương trình (54) có dạng
y 1 = y2

()
()
()
()
y 2 = -ML -1 (t ) CL (t ) y2 - ML -1 (t ) KL (t ) y1
2

Chú ý rằng biểu thức gia lượng Dτ trong (41) là
thành phần mômen bổ xung của mômen phát động của
động cơ. Người ta thường chọn mômen bổ xung thêm
dưới dạng
(44)
Dτa = - éêKD q a - q Ra + KP q a - q Ra ùú
ë
û
éDτ ù é-K q - q R - K q - q R ù
a
a

a ú
P
Dτ = êê a úú = êê D a
ú (45)
0
0
ê
úû
ëê
ûú ë
Trong đó KD và KP là các ma trận đường chéo với

)
(

nhất

các số hạng phi tuyến,

phương trình vi phân (35) trở thành
 + CL (t ) y + KL (t ) y = h L (t )
ML (t ) y

(2)

Như trên, phương trình chuyển động tuyến tính của
của robot đàn hồi (47) là hệ phương trình vi phân tuyến
tính hệ số tuần hồn. Nghiệm của (47) có dạng
y (t ) = yh (t ) + y* (t )
(53)


(41)

+ Δτ

(

4. Điều khiển ổn định và phân tích dao động
đàn hồi tuyến tính

2

2

2

(55)

Đặt
éy ù
z = êê 1 úú
y
ëê 2 ûú
é
ù
0
E
ú
A (t ) = êê
(2)-1

(2)
(2)-1
(2)
M
K
M
C
y
t
t
t
t
êë
() L ()
( ) L ( ) 2 úúû
L
L
Hệ (55) trở thành
z = A (t ) z

(56)

(57)

(58)

Bài toán ổn định yêu cầu ta phải chọn KP và KD sao
cho nghiệm thuần nhất yh (t) tiến tới 0 nhanh, khi đó
nghiệm y (t )  y* (t ) nhanh [18].
Để tính tốn mơ phỏng số ta đưa các thơng số tính

tốn như bảng 2.
Bảng 2. Các tham số của cơ cấu đàn hồi
Thông
Giá trị
Đơn vị
số
l
0.9
m
A
1x10-4
m2
r
2700
kg/m2
2.0834x10-10
m4
I
kg
m
0.972
N/m
E
7.11x1010
kg.m2
J1
5.86x10-5
kg
mE
0.1

p p
+ sin (2pt
rad
qa
2 2

(51)
(52)

Chọn các ma trận KP , KD và khảo sát ổn định của
hệ thông qua các số mũ Floquet [17,18].


Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam
Trường hợp 1
é 0.5 0ù
é
ù
ú ; K = ê 0.6 0ú
(59)
KP = êê
D
ú
ê
0 0ú
0 0úú
ëê
û
ëê
û

Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được
l1 = 0.6059 + 0.0000i
l2 = -4.8623 + 0.0000i
(60)
l3 = -9.5721 + 0.0000i
l4 = -17.7524 + 3.1416i
Có một phần thực dương nên hệ không ổn định
Trường hợp 2
é0.95 0 ù
é
ù
ú ; K = ê0.1 0ú
(61)
KP = êê
ê 0 0ú
0 úú D
êë 0
êë
úû
û
Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được
l1 = -0.3292 + 0.3345i
l2 = -0.3292 - 0.3345i
(62)
l3 = -8.9079 + 3.1416i
l4 = -14.0069 + 0.0000i
Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định
Trường hợp 3
é 1 0ù
é

ù
ú ; K = ê2 0ú
(63)
KP = êê
D
ú
ê
0 0ú
0 0úú
ëê
û
ëê
û
Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được
l1 = -0.0369 + 0.0000i
l2 = -10.6635 + 0.0000i
(64)
l3 = -10.8238 + 3.1416i
l4 = -15.0181 + 0.0000i
Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định
Trường hợp 4
é 5 0ù
é
ù
ú ; K = ê10 0ú
KP = êê
(65)
ú D
ê 0 0ú
êë 0 0úû

êë
úû
Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được
l1 = -0.4071 + 0.0000i
l2 = -12.2119 + 3.1416i
(66)
l3 = -2.5532 + 0.6076i
l4 = -2.5532 - 0.6076i
Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định

4.2. Chuyển động đàn hồi ổn định
Trong các trường hợp hệ ổn định theo tiêu chuẩn số
mũ Floquet, ta tiến hành tìm nghiệm riêng của phương
trình
(2)

 + C(2)
M(2)
t y
t y + K(2)
t y = h L (t )
L ( )
L ( )
L ( )

(67)

Sử dụng các công thức tích phân Newmark, GS.
Nguyễn Văn Khang và cộng sự đã đưa ra thuật tốn tìm
điều kiện đầu nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân

tuyến tính hệ số tuần hoàn [17, 18]. Dưới đây ta nhặc lại
một số kết quả chính.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần
hồn có dạng

M(t )q + C(t )q + K(t )q = f (t ),
(68)
Trong đó M(t), C(t), K(t) là các ma trận cấp n ´ n ,
f(t) là véctơ lực mở rộng. Các ma trận đó đều là hàm tuần
hoàn với chu kỳ T
M(t+T) = M(t), C(t+T) = C(t),
(69)
K(t+T) = K(t), f(t+T) = f(t).
Nghiện tuần hồn của phương trình (68) có chu kỳ T
thỏa mãn điều kiện đầu sau đây
q(0) = q(T ), q (0) = q (T ), q(0) = q(T )
(70)

Sử dụng thuật tốn trình bày trong [17, 18] ta tìm
được nghiệm của phương trình (67), ta có
y* = éê y1* y*2 ùú
(71)
ë
û
Khi chọn được KP và KD sao cho hệ ổn định nhanh
thì nghiệm
y* » y
(72)
Khi đó ta có tọa độ khớp quay trở thành
qa (t ) = qaR (t ) + y1 (t )

(73)
Chuyển vị đàn hồi tại điểm cuối thanh
w (l, t ) = X1 (l ) y2 (t )

(74)

Tọa độ điểm thao tác E

( )
( )
= l sin (q (t )) + w (l, t ) cos (q (t ))

x E = l cos qa (t ) - w (l, t ) sin qa (t )

(75)

yE

(76)

a

a

Tính tốn số cho các trường hợp 2, 3,4 ở trên ta được
Trường hợp 2
é0.95 0 ù
é
ù
ú ; K = ê0.1 0ú

(77)
KP = êê
ê 0 0ú
0
0 úú D
ëê
û
ëê
ûú


Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi

Hình 5a. Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi đàn hồi

Hình 5b. Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi

Hình 5c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến
tính đàn hồi

Hình 6. Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi
Trường hợp 3
é 1 0ù
é
ù
ú ; K = ê2 0ú
KP = êê
(78)

D
ú
ê
0 0ú
0 0úú
ëê
û
ëê
û

Hình 7a. Sai lệch tọa độ rắn

Hình 7b. Chuyển vị đàn hồi

Hình 8a. Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi tính đến
đàn hồi

Hình 8b. Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi


Nguyễn Văn Khang, Đinh Cơng Đạt, Nguyễn Sỹ Nam

Hình 8c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến
tính đàn hồi

Hình 8c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến
tính đàn hồi

Hình 9. Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính

đàn hồi
Trường hợp 4
é 5 0ù
é
ù
ú ; K = ê10 0ú
KP = êê
(79)
ê 0 0ú
0 0úú D
ëê
û
ëê
ûú

Hình 10a. Sai lệch tọa độ rắn

Hình 7b. Chuyển vị đàn hồi

Hình 11a. Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi tính đến
đàn hồi

Hình 11b. Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi

Hình 11c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét
đến tính đàn hồi


Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi


Hình 9. Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi
Từ những két quả mô phỏng trên, ta thấy vị trí điểm
thao tác khi khâu dẫn là khâu đàn hồi khá gần vị trí điểm
thao tác khi khâu rắn xem là khâu rắn.

Hình 12b. Mơ men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi trong trường hợp 3.

5. Động lực học ngược robot đàn hồi
Sử dụng kết quả của bài tốn điều khiển ổn định, ta
tính tốn mômen phát động khi cho biết chuyển động của
khâu đàn hồi nhờ vào phương trình (25). Ta lần lượt tính
tốn với các trường hợp 2,3 và 4
Trường hợp 2
Chọn
é0.95 0 ù
é
ù
ú ; K = ê0.1 0ú
KP = êê
(80)
D
ú
ê
ú
0ú
êë 0
êë 0 0úû

û
Trường hợp 3
Chọn
é 1 0ù
é
ù
ú ; K = ê2 0ú
(81)
KP = êê
D
ú
ê
ú
êë 0 0úû
êë0 0úû
Trường hợp 4
Chọn
é 5 0ù
é
ù
ú ; K = ê10 0ú
(82)
KP = êê
ê 0 0ú
0 0úú D
ëê
û
ëê
ûú
Kết quả mơ phỏng số được trình bày trên các hình 12a,

12b, 12c.

Hình 12a. Mơ men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi trong trường hợp 2.

Hình 12c. Mơ men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi trong trường hợp 4.
Từ các hình vẽ trên ta thấy khi phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất (54) ổn định động lực tốt thì
mơmen khâu dẫn đàn hồi và mômen khâu dẫn xem là rắn
sai khác nhau ít. Mơmen bổ sung nhỏ.

6. Kết luận
Bài tốn động lực học ngược của tay máy đàn hồi là
bài tốn đang được quan tâm nghiên cứu. Trong bài báo
trình bày một thuật tốn mới tìm nghiệm gần đúng
chuyển động của các khâu của robot. Sau đó dựa vào
phương trình vi phân của robot có khâu đàn hồi ta dễ
dàng tìm được biểu thức gần đúng tính mơmen của các
khâu dẫn. Phương pháp trình bày trong bài báo này là
phương pháp tổng quát khi khâu dẫn quay đều khi robot
là rắn và dao động phụ của các khâu đàn hồi là nhỏ.
Khi tính tốn, ta xem chuyển động cơ bản của robot
là chuyển động của robot khi các khâu là khâu rắn tuyệt
đối. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa thiết lập
phương trình vi phân dao động quanh chuyển động cơ
bản. Khi khâu dẫn quay đều ta nhận được hệ phương
trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hồn. Sử dụng lý
thuyết Floquet ta tìm điều kiện ổn định của robot đàn hồi.
Với giả thiết gần đúng, xem chuyển động đàn hồi là nhỏ,



Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam
chuyển động thực gần đúng của các khâu của robot là
tổng chuyển đông khi các khâu là rắn tuyệt đối và chuyển
động đàn hồi. Từ đó đề xuất phương án mới tính tốn
động lực học ngược robot có khâu đàn hồi.

[13] A. A. Shabana, Computational Continuum Mechanics,
Cambridge University Press, 2008.
[14] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4),
NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2005.
[15] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật (in lần thứ

Lời cảm ơn

2), NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2017.

Bài báo này được hoàn thành với sự tài trợ bởi Quỹ Phát
triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED).

[16] Nguyễn Dỗn Phước, Phân tích và điều khiển hệ phi
tuyến, NXB Bách khoa Hà Nội, 2015.
[17] Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien (2012):
Parametric

Tài liệu thamkhảo
[1]

M.


Benosman,

G.L.

Vey,

Control

of

flexible

manipulators: A survey, Robotica .22 (2004), pp.
533-545.
[2]

S.K. Dwivedy, P. Eberhard, Dynamic analysis of flexible
manipulators, a literature review, Mechanism and
Machine Theory 41 (2006), pp. 740-777.

[3]

H, N. Rahimi, M. Nazemizadeh, Dynamic analysis and
intelligent control techniques for flexible manipulators: a
review, Advanced Robotics, Vol.28 (2), pp.63-76, 2014.

[4]

K. Lochan, B.K. Roy, B. Subudhi, A review on two-link

flexible manipulators, Annual Reviews in Control, Vol.
42, pp 346-367, 2016.

[5]

H. Asada, Z.-D. Ma, H. Tokumaru, Inverse dynamics of
flexible robot arms: Modeling and computation for
trajectory control, ASME-Journal of Dynamic Systems,
Meassurement, and Control, Vol. 112(1990), pp. 177-185.

[6]

E. Bayo, H. Moulin, An efficient computation of the
inverse dynamics of flexible manipulators in the time
domain, Proc. IEEE Conference on Robotics and
Automation, Scottsdale, Arizona, 1989, pp. 710-715.

[7]

E. Bayo, Ph. Papadopoulos, J. Stubbe, M.A. Serna,
Inverse dynamics and kinematics of multi-link elastic
robots: An iterative frequency domain approach, The
International Journal of Robotics Research, Vol. 8, No.6,
pp. 49-62, 1989.

[8]

W. Khalil, F. Boyer, An efficient calculation of computed
torque control of flexible manipulators, Proc. of the IEEE
International Conference on Robotics and Automation 1,

1995, pp. 609-614.

[9]

vibration

analysis

of

transmission

mechanisms using numerical methods. In: Advances in

E. Carrera, M.A. Serna, Inverse dynamics of flexible
robots, Mathematics and Computers in Simulation,
Vol.41 (1996), pp. 485-508.

[10] F. Boyer, W. Khalil, An efficient calculation of flexible
manipulator inverse dynamics, The International Journal
of Robotics Research, Vol. 17, No.3, pp. 282-293, 1998.
[11] R. Seilfred, Dynamics of Underactuated Multibody
Systems, Springer, Switzerland 2014.
[12] A. A. Shabana, Flexible Multibody Dynamics: Review of
Past and Recent Developments, Multibody System
Dynamics, Vol.1 (1997), pp.189–222.

Vibration Engineering and Structural Dynamics, Edited
by F.B. Carbajal, Intech, Croatia, pp.301-331.
[18] Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB

Bách khoa Hà Nội, 2016.