Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 37-42, DOI 10.15625/vap.2019000253

Phân tích hệ số động lực theo các mơ hình và các quy trình
thiết kế khác nhau
Nguyễn Xuân Toản1), Trần Văn Đức2), Nguyễn Duy Thảo3)
1,3)
1,3)

Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

;
2)

Khoa Đào tạo Quốc tế, Trường Đại học Duy Tân
2)



Tóm tắt
Hệ số động lực trên cầu do tải trọng di động gây ra là một
mảng nghiên cứu đã được đề cập trong các tiêu chuẩn thiết kế
và được các tác giả quan tâm từ lâu. Các nghiên cứu cho thấy
khi lựa chọn mơ hình phân tích của cơng trình cầu và tải trọng
di động khác nhau sẽ cho kết quả hệ số động lực khác nhau.
Hiện nay, các nghiên cứu hệ số động lực có xu hướng sử dụng
mơ hình tương tác giữa tải trọng xe gồm nhiều khối lượng và
cơng trình cầu ngày càng gần với thực tế hơn. Trong bài báo này
tác giả trình bày một số kết quả nghiên cứu hệ số động lực trên
cầu dầm do tải trọng di động gây ra, từ mơ hình hoạt tải xe di
động đơn giản một khối lượng đến mơ hình hoạt tải xe là xe ba

trục, mỗi trục xe được mô hình hóa gồm hai khối lượng, mỗi
khối lượng được liên kết với một lò xo và một giảm chấn tương
ứng với cấu tạo của lốp và nhíp xe. Trên cơ sở phân tích động
học của cầu chịu tải trọng xe di động được giả thuyết có độ
cứng của lốp và nhíp xe thay đổi, các tác giả đã phân tích, khảo
sát và đánh giá mức độ ảnh hưởng của độ cứng lốp và nhíp xe
đến hệ số động lực của cầu dầm.
Từ khóa: Hệ số động lực, cầu dầm, hoạt tải, xe di động, độ
cứng lốp xe, độ cứng nhíp xe.

1. Giới thiệu chung
Bài toán dao động của kết cấu cầu chịu tải trọng di
động đã được quan tâm nghiên cứu từ giữa thế kỷ XIX.
Cơng trình nghiên cứu sớm nhất đã được công bố bởi tác
giả R. Willis và Stokes (1849) [1], [3], các tác giả đã thiết
lập phương trình vi phân dao động của mơ hình tải trọng
có khối lượng di chuyển trên dầm không khối lượng. Tác
giả E. Winkler (1868) [2] đã đề xuất mơ hình đơn giản
nhất với giả thiết bỏ qua khối lượng của tải trọng xe di
động và khối lượng của dầm, đồng thời bỏ qua các hiệu
ứng quán tính, đây cũng là cơ sở để hình thành lý thuyết
về “đường ảnh hưởng” của tải trọng di động và O. Mohr
(1874) đã ứng dụng lý thuyết “đường ảnh hưởng” để giải
bài toán kết cấu. Tác giả G. Stokes (1896) [3] đã giải
phương trình vi phân dao động của R.Willis dưới dạng
chuỗi lũy thừa và đưa ra hệ số động lực trên cơ sở tỉ lệ
giữa độ võng động và độ võng tĩnh lớn nhất. Tác giả S.A.
Iliaxevic [2] đã đề xuất mơ hình tải trọng không khối
lượng di chuyển lên dầm được quy đổi thành một khối


lượng tập trung đặt tại giữa dầm và bỏ qua lực cản, tác
giả đã lập phương trình vi phân dao động và hệ số động
lực cực đại và vận tốc tới hạn của tải trọng di động.
Tương tự như mơ hình của S.A.Iliaxevic, nhưng để chính
xác hơn, tác giả A.N. Krưlov (1905) [2] đã mơ hình hóa
phần tử dầm có khối lượng phân bố đều, tác giả đã giải
bài tốn này và tìm được nghiệm chính xác từ phương
trình vi phân dao động của hệ có vơ số bậc tự do khi bỏ
qua tới lực cản, với các kết quả giá trị độ võng, mômen
uốn, lực cắt do tải trọng động gây ra tại các mặt cắt tùy
thuộc vào vị trí và thời điểm của lực tác dụng.
Ban đầu hướng nghiên cứu chỉ tập trung cho phương
tiện xe lửa, nhưng dần về sau với sự phát triển mạnh và
đa dạng của phương tiện giao thông đường bộ, nhiều
công trình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đã xây
dựng mơ hình tương tác động giữa cơng trình cầu và tải
trọng xe di động phù hợp với thực tế hơn [4, 5, 6]. Cho
tới nay, trong tiêu chuẩn thiết kế cầu của một số quốc gia
và Việt Nam [7, 8] vẫn có sự khác nhau về việc tính tốn
hệ số động lực. Nhìn chung, kết quả nghiên cứu của các
tác giả có sự chênh lệch cũng là nguyên nhân gây tranh
cãi và trở ngại cho việc lựa chọn hệ số động lực khi đưa
vào thiết kế.
Trong báo cáo này, các tác giả giới thiệu các kết quả
phân tích hệ số động lực theo một số tiêu chuẩn và theo
các cơng thức tính của các tác giả trên thế giới đã cơng bố
trong thời gian trước đây. Bên cạnh đó các tác giả phân
tích thêm hệ số động lực (1+IM) của một cầu dầm 7 nhịp
42m chịu tác dụng của tải trọng xe di động theo mơ hình
tương tác động lực giữa xe ba trục và cầu dầm. Các trục

xe được giả thuyết có độ cứng thay đổi, để đưa vào mơ
hình tương tác và giải bằng các phương pháp số. Kết quả
phân tích sẽ được so sánh với các kết quả tính tốn theo
các tiêu chuẩn và theo các cơng thức tính của các tác giả
trên thế giới đã cơng bố.

2. Một số mơ hình tính hệ số động lực
2.1. Tải trọng không khối lượng di động trên dầm
không khối lượng
Hình 1 là mơ hình đơn giản nhất do E. Winkler và O.
Morh (1868) [2] đề xuất làm cơ sở để xây dựng lý thuyết


Nguyễn Xuân Toản, Trần Văn Đức, Nguyễn Duy Thảo
"đường ảnh hưởng". Mơ hình này chỉ có tầm quan trọng
trong phân tích tĩnh kết cấu cơng trình cầu chịu tải trọng
P di động di chuyển với vận tốc v.

Hình 1. Mơ hình tải trọng khơng khối lượng di động trên dầm
khơng khối lượng

2.2. Tải trọng có khối lượng di chuyển trên hệ dầm
khơng có khối lượng
Hình 2 là mơ hình đã được đề nghị bởi R. Willis
(1849) [1], và G. Stokes (1896) [3] đã giải phương trình
trên dưới dạng chuỗi luỹ thừa và đã đưa ra được tỷ số
giữa độ võng động cực đại với độ võng tĩnh của vật có
khối lượng Mp di chuyển trên dầm giản đơn có chiều dài
nhịp l như cơng thức (1) dưới đây.


Hình 2. Mơ hình tải trọng có khối lượng di chuyển trên hệ dầm
khơng có khối lượng

(1  IM )  1 

M pl
3EJ

v2

với  và t là quãng đường và thời gian vật di chuyển; m
là khối lượng dầm trên chiều dài.
2.4. Tải trọng có khối lượng di chuyển trên hệ dầm có
khối lượng
Mơ hình tải trọng có khối lượng di chuyển trên dầm
có khối lượng (hình 4a) được Jeefcot (1929) [9] đề xuất
và đã giải bài tốn. Tiếp sau đó có nhiều tác giả đề xuất
mơ hình phức tạp hơn với 01 tải trọng 1 khối lượng 4b,
02 khối lượng như hình 5a và “n” tải trọng 2 khối lượng
như hình 5b.

Hình 4. Mơ hình tải trọng có khối lượng di chuyển trên hệ dầm
có khối lượng

(1)

với EJ là độ cứng kháng uốn của dầm.
2.3. Tải trọng không khối lượng di chuyển trên hệ
dầm có khối lượng
Ngược lại với mơ hình của R. Willis, hình 3 là mơ

hình bỏ qua khối lượng của tải trọng di động, và chỉ xét
đến khối lượng của dầm, hình 3 (a) đề xuất bởi S.A.
Iliaxevic và (b) đề xuất bởi A.N. Krưlov (1905) [2].

Hình 5. Mơ hình tải trọng hai khối lượng di động trên dầm có
khối lượng

Hình 3. Mơ hình tải trọng khơng khối lượng di chuyển trên hệ
dầm có khối lượng

Khi đó hệ số động lực được tính như cơng thức (2)
dưới đây:

(1  IM )  1 

v



m
EJ

(2)

Trong đó: m1i - Khối lượng của thân xe, kể cả hàng
hoá truyền xuống trục xe thứ i; m2i - Khối lượng của
trục xe thứ i. k1i, d1i - Độ cứng và độ giảm chấn của nhíp
xe; k2i, d2i - Độ cứng và độ giảm chấn của lốp xe.
Gi.sinI= Gi.sin(it+i) là lực kích thích điều hoà do
khối lượng lệch tâm của động cơ; L- Chiều dài của phần

tử dầm.
2.5. Mơ hình tương tác động lực giữa xe và cầu
Để mô tả sự tương tác động lực giữa tải trọng di động
và cơng trình cầu được gần với thực tế hơn, nhóm tác giả
Nguyễn Xuân Toản, Trần Văn Đức [4], [5], [6] đã công


Phân tích hệ số động lực theo các mơ hình và các quy trình thiết kế khác nhau
bố một số kết quả nghiên cứu về mơ hình tương tác động
lực giữa xe và cầu như trên hình 6a, 6b.

tương đối giữa trục xe thứ i và phần tử dầm; hi - khoảng
cách tĩnh từ trọng tâm các khối lượng mi đến trục của
phần tử dầm đang xét khi hệ không dao động; Tti - lực ma
sát giữa lốp xe thứ i với mặt cầu khi hãm xe. Các lực
quán tính, lực cản, lực đàn hồi, lực kích thích và lực hãm
tác dụng lên hệ như hình 6.
Áp dụng nguyên lý D’Alembert, phương pháp
Galerkin và kết hợp với lý thuyết Green [13] cho hệ
phương trình dao động viết dưới dạng ma trận ta được:

M e .q  Ce .q  K e .q   f e 

(4)

trong đó Me,Ce,Ke - lần lượt là ma trận khối lượng, ma
trận cản, ma trận độ cứng hỗn hợp của toàn hệ (xe và
dầm) [4], [5], [6].
Các tác giả đã xây dựng thuật toán và viết chương
trình phân tích dao động bằng ngơn ngữ lập trình Delphi

7 theo thuật tốn của phương pháp phần tử hữu hạn và
các phương pháp số [14], kết quả thể hiện ở mục 3.
2.6. Tính tốn hệ số động lực theo các tiêu chuẩn
Thông thường trong một số tiêu chuẩn thiết kế 22
TCN 272-05 [7], AASHTO [8], BS5400 [10], JRAS
[11], KBDS [12], hệ số động lực có thể xác định dựa vào
chiều dài nhịp và theo quy định riêng như trong Bảng 1.
Bảng 1. Hệ số động lực trong tiêu chuẩn của một số quốc gia
Hình 6. Mơ hình xe 2 trục và 03 trục có xét lực hãm
và thay đổi tốc độ

Quốc gia

Trong đó:
vi .(t  ti )  xelf ;

xi  
 ai .(t  tbi )

 vi .(t  tbi )  xelf ;
vi .(tbi  ti )  
2




Đơn vị Ký hiệu

(1+IM)


L

Mỹ

1+50/(L+125)  1,3

ft

Anh

1,25

Thép

Tr, La:

1+20/(L+50)

m

khi tbi  t  tei

BTCT

Tr:

1+20/(L+50)

m


thường

La:

1+7/(L+20)

ft

BTCT dự Tr:

1+20/(L+50)

m

Nhật

(3)

L - chiều dài của phần tử dầm đang xét ; xo - toạ độ
trọng tâm của xe và hàng trừ trục xe; xi - toạ độ của trục
xe thứ i tại thời điểm đang xét; xelf- khoảng cách từ đầu
cầu đến đầu trái của phần tử dầm đang xét; w1, w2, w3 chuyển vị đứng của phần tử dầm tại vị trí trục 1, 2, 3; vi vận tốc của trục xe thứ i trước khi hãm xe; ai - gia tốc của
trục xe thứ i khi hãm xe (ai<0); ti- thời điểm trục xe thứ i
bắt đầu vào phần tử dầm; tbi- thời điểm trục xe thứ i bắt
đầu hãm xe; tei - thời điểm trục xe thứ i ở điểm cuối của
phần tử dầm; t - thời điểm đang xét; P  G. sin( .t   )
là lực kích thích điều hoà do do động cơ gây ra. Với Ω là
vận tốc góc, α là góc pha ban đầu, G là biên độ dao động;
m - khối lượng của xe và hàng trừ khối lượng của các trục
xe; mi - khối lượng của trục xe thứ i; ksi, dsi - độ cứng và

độ giảm chấn của hệ thống treo, nhíp xe thứ i; kti, dti - độ
cứng và độ giảm chấn của lốp xe thứ I; s - quãng đường
xe di chuyển;  - góc quay của khung xe (rad); u - chuyển
vị tuyệt đối của khung xe tại khối tâm, tọa độ tuyệt đối
của khối lượng m; ūi - chuyển vị tuyệt đối của khung xe
tại vị trí trục xe thứ i;ui - chuyển vị tuyệt đối của trục xe
thứ i, tọa độ tuyệt đối của khối lượng mi ; ysi - chuyển vị
tương đối giữa khung xe và trục xe thứ i;yti - chuyển vị

ứng lực La:
Hàn Quốc

Tr, La:

Việt Nam

1+10/(L+25)

ft

1+15/(L+40)

m

1,25

tiêu chuẩn
AASHTO
BS5400


khi ti  t  tbi

Bản

Với 0  xi  L

Cách xác định

JRAS

KBDS

22TCN272-05

Với: L - chiều dài nhịp; Tr - xe tải; La - làn xe.

3. Một số kết quả phân tích hệ số động lực
Để có bức tranh tổng quát về hệ số động lực trong
cầu dầm dưới tác dụng của tải trọng xe di động, các tác
giả tiến hành phân tích, tính tốn hệ số động lực theo
phương pháp số, các công thức (1), (2) và các tiêu chuẩn
AASHTO, BS5400, JRAS, KBDS, 22TCN272-05.
Sơ đồ tải trọng xe 03 trục di chuyển trên cầu Hoà
Xuân, thành phố Đà Nẵng như trên hình 7.

Hình 7. Sơ đồ tải trọng xe 03 trục di chuyển trên cầu Hoà Xuân


Nguyễn Xuân Toản, Trần Văn Đức, Nguyễn Duy Thảo
3.1. Thông số kỹ thuật của xe và cầu

14500
10500

2000

2000

truck
1%

300

1%

2%

1900

175

2%

250

1250

600

4@2500=10000


1250

12500

Hình 8. Mặt cắt ngang cầu Hồ Xn

Tải trọng xe dùng để phân tích là xe tải ben ASIA có
03 trục như hình 9
Hình 10. Mơ hình phân tích dao động cầu dầm liên tục chịu tác
dụng xe 03 trục

Tốc độ xe chạy khi khảo sát dao động là v=10(m/s)
và v=20(m/s); độ cứng của nhíp và lốp xe sẽ được thay
đổi:k11=3.69÷81377(T/m); k12=k13=5.06÷111359(T/m);
k21=k22=k23=7.4÷162755(T/m); Tương ứng Ln(K1i) =
Ln(K2i) = 2÷12. Các biều đồ hệ số động lực của chuyển
vị đứng tại các nút 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14 trên
hình 10 khi thay đổi độ cứng của nhíp xe, độ cứng của
lốp xe, đồng thời hệ số động lực (1+IM) được tính theo
một số tiêu chuẩn được thể hiện trên các bảng 2, 3 và các
hình 11, 12.
Bảng 2. Hệ số động lực khi vận tốc xe chạy v=10m/s
Nút

Hình 9. Xe tải ben ASIA
a) Ảnh thực tế của xe; b) thông số kích thước của xe.

Thơng số kỹ thuật của kết cấu cầu:
E = 3230769230(kg/m2); Id = 0.6879 (m4); Ad =
1.3776 (m2); Ad = 3800(kg/m);  = 0.027;  = 0.01;

g=9.81(m/s2).
Thông số kỹ thuật của xe cơ bản:
m11 = 4820(kg); m12 = m13 = 4455(kg); m21 = 110(kg); m22
= m23 = 220(kg); k11 = 1200000(N/m); k12 = k13 =
2600000(N/m); k21 = 2400000(N/m); k22 = k23 =
3800000(N/m); d11 = 7344(Ns/m); d12 = d13 =
3672(Ns/m); d21 = 4000(Ns/m); d22 = d23 = 8000(Ns/m).
(các ký hiệu giải thích ở mục 2).
3.2. Kết quả phân tích hệ số động lực
Sơ đồ kết cấu cầu Hoà Xuân chịu tác dụng của xe 03
trục được mơ hình hố theo phương pháp phần tử hữu
hạn như hình 10.

(1+IM) ứng với Ln(K1i) =Ln(K2i)T/m
2

4

6

8

10

12

Nút 2

1.850 1.831 1.112 1.010 1.009 1.005


Nút 3

1.894 1.812 1.168 1.022 1.016 1.018

Nút 4

1.895 1.946 1.214 1.067 1.053 1.059

Nút 6

1.244 1.632 1.168 1.039 1.035 1.036

Nút 7

1.373 1.639 1.232 1.038 1.038 1.039

Nút 8

1.510 1.677 1.262 1.031 1.028 1.027

Nút 10

1.000 2.072 1.120 1.028 1.028 1.028

Nút 11

1.000 2.063 1.106 1.025 1.025 1.024

Nút 12


1.000 2.040 1.121 1.024 1.025 1.024

Nút 14

1.073 1.824 1.051 1.024 1.024 1.024
(1+IM) theo công thức

Công thức (1) 1.009 1.009 1.009 1.009 1.009 1.009
Công thức (2) 1.175 1.175 1.175 1.175 1.175 1.175
(1+IM) theo Tiêu chuẩn
AASHTO
BS5400,
22TCN272-05

1.190 1.190 1.190 1.190 1.190 1.190
1.250 1.250 1.250 1.250 1.250 1.250

JRAS

1.217 1.217 1.217 1.217 1.217 1.217

KBDS

1.183 1.183 1.183 1.183 1.183 1.183


Phân tích hệ số động lực theo các mơ hình và các quy trình thiết kế khác nhau
Bảng 3. Hệ số động lực khi vận tốc xe chạy v=20m/s
(1+IM) ứng với Ln(K1i) =Ln(K2i)T/m
Nút

2

4

6

8

10

12

Nút 2

1.154 2.352 1.184 1.294 1.308 1.310

Nút 3

1.278 2.397 1.299 1.338 1.337 1.347

Nút 4

1.474 2.424 1.431 1.367 1.337 1.374

Nút 6

1.850 1.774 1.327 1.160 1.160 1.184

Nút 7


1.686 1.781 1.435 1.211 1.190 1.218

Nút 8

1.558 1.823 1.445 1.224 1.218 1.247

Nút 10

1.000 1.879 1.144 1.103 1.095 1.112

Nút 11

1.000 1.998 1.092 1.142 1.131 1.152

Nút 12

1.000 2.168 1.197 1.170 1.161 1.179

Nút 14

1.474 1.492 1.095 1.080 1.077 1.087
(1+IM) theo công thức

Công thức (1) 1.036 1.036 1.036 1.036 1.036 1.036
Công thức (2) 1.350 1.350 1.350 1.350 1.350 1.350
(1+IM) theo Tiêu chuẩn
AASHTO
BS5400,
22TCN272-05


1.190 1.190 1.190 1.190 1.190 1.190
1.250 1.250 1.250 1.250 1.250 1.250

JRAS

1.217 1.217 1.217 1.217 1.217 1.217

KBDS

1.183 1.183 1.183 1.183 1.183 1.183

Hình 11. Biểu đồ hệ số động lực của cầu khi v=10m/s

Hình 12. Biểu đồ hệ số động lực của cầu khi v=20 m/s

Qua kết quả phân tích hệ số động lực trên các bảng 2,
bảng 3 và trên hình 11, hình 12 cho thấy:
+ Độ cứng của nhíp và lốp xe ảnh hưởng rất lớn đến
hệ số động lực.
+ Khi xe chạy với v=10m/s, hệ số động lực (1+IM)

đạt tới 2.1 ứng với độ cứng của lốp Ln(K2i)=4 hay
K2i=54.6(T/m) và độ cứng của nhíp K1i=37.36(T/m), hệ
số này giảm dần về 1 khi Ln(K2j)>8.
+ Nếu xe chạy với v=20m/s, hệ số động lực (1+IM)
đạt tới 2.48 ứng với độ cứng của lốp Ln(K2j)=4 hay
K2j=54.6(T/m) và độ cứng của nhíp K1i=37.36(T/m), hệ
số này giảm dần về dưới 1.3 khi Ln(K2i)>8.
+ Xét trên cùng tham số độ cứng nhíp và lốp xe, hệ số
động lực tương ứng với tốc độ xe chạy 20m/s lớn hơn so

với tốc độ xe chạy 10m/s.
+ Xe tải thơng dụng có độ cứng của lốp
Ln(K2i)=4.8÷6.2 hay độ cứng của lốp xe là
K2i=120÷480(T/m) và độ cứng của nhíp xe là
K1i=30÷380(T/m), khi đó trung bình của hệ số (1+IM) =
1.1÷1.9.
+ Hệ số (1+IM) khi tính theo cơng thức (1) xấp xỉ 1.0
và hầu như ít thay đổi khi tốc độ thay đổi từ 10 đến
20m/s.
+ Khi vận tốc xe chạy v= 10m/s, hệ số động lực khi
tính theo các cơng thức (2) và các tiêu chuẩn khá tập
trung và tương ứng với trường hợp phân tích có độ cứng
nhíp và lốp xe thay đổi là Ln(K1i) và Ln(K2i)= 4.8÷6.2
(T/m) hay độ cứng của lốp xe K2i=121.5÷493(T/m) và độ
cứng của nhíp K1i=81.4÷337(T/m).
+ Khi vận tốc xe chạy v= 20m/s, hệ số động lực khi
tính theo các cơng thức (2) và các tiêu chuẩn khơng cịn
tập trung và tương ứng với trường hợp phân tích có độ
cứng nhíp và lốp xe thay đổi là Ln(K1i) và Ln(K2i)> 6.0
hay độ cứng của lốp xe K2i >403 (T/m) và độ cứng của
nhíp K1i > 276 (T/m). Trong trường hợp này giá trị
(1+IM) tính theo cơng thức (1), (2) và theo các tiêu chuẩn
nằm trong vùng được bao bởi các giá trị (1+IM) mà nhóm
tác giả phân tích theo mơ hình tương tác động lực xe-cầu.

4. Kết luận
Trong báo cáo này, các tác giả giới thiệu các kết quả
phân tích hệ số động lực theo một số tiêu chuẩn và theo
các cơng thức tính của các tác giả trên thế giới đã công bố
trong thời gian trước đây. Bên cạnh đó các tác giả phân

tích thêm hệ số động lực (1+IM) của một cầu dầm 7 nhịp
42m chịu tác dụng của tải trọng xe di động theo mơ hình
tương tác động lực giữa xe ba trục và cầu dầm. Kết quả
nghiên cứu cho thấy độ cứng của nhíp xe, lốp xe và tốc
độ xe chạy ảnh hưởng rất lớn đến giá trị của hệ số động
lực. Hệ số động lực (1+IM) được tìm thấy ứng với độ
cứng nhíp và lốp xe của các loại xe thông dụng lớn hơn
giá trị trong tiêu chuẩn thiết kế hiện hành là 1.25 [7] và
1.3 [8]. Điều này cần được lưu ý và xem xét trong q
trình thiết kế cơng trình cầu.


Nguyễn Xuân Toản, Trần Văn Đức, Nguyễn Duy Thảo

Tài liệu tham khảo
[1] R. Willis, The effect produced by causing weights to travel
over elastic bars, in Report of the commissioners appointed to
inquire into the application of iron to railway structures,
Appendix B, Stationery office, London, England 1849.
[2] Phạm Khắc Hùng, Đào Trọng Long, Lê Văn Q, Lều Thọ
Trình, Ổn định và Động lực học cơng trình. NXB. Đại học và
Trung học chun nghiệp, Hà Nội 1974.
[3] Stokes, G., Discussion of a differential equation relating to a
breaking of railway bridges. Transactions of the Cambridge
Philosophical Society, 8, 1896, p.707.
[4] X. N. Toan, V. T. Duc, A Study on the Dynamic Interaction
between Three-Axle Vehicle and Continuous Girder Bridge with
Consideration of Braking Effects. Journal of Construction
Engineering, Volume 2017, Article ID 9293239, 12 pages.
[5] X. N. Toan, V. T. Duc, An Investigation on the Dynamic

Response of Cable Stayed Bridge with Consideration of
Three-Axle Vehicle Braking Effects. Journal of Computational
Engineering, Volume 2017, Article ID 4584657, 13 pages.
[6] X. N. Toan, V. T. Duc, Determination of dynamic impact
factor for continuous girder bridge due to vehicle braking force
by finite element method and experimental. Vietnam Journal of
Mechanics, 39, 02, 2017, pp.149-164.
[7] Bộ Giao thông Vận tải, Tiêu chuẩn thiết kế cầu
22TCN272-05, Nhà xuất bản Giao thông Vận tải, Hà Nội 2005.
[8] AASHTO, AASHTO LRFD Bridge Design Specifications, 6th
Edition,

American

Association

of

State

Highway

and

Transportation Officials, 4th Edition, Washington, D.C. 2012.
[9] Jeefcot, H., On the vibration of beam under the action of
moving loads. Philosophical Magazine, 48(7), 1929, p.66-97.
[10] BS5400, Concrete and composite bridge part 2:
Specification for loads. British Standards Institution, London,
United Kingdom, 1978.

[11] Japan Road Association’s Specifications, Part 1: Common
specifications for highway bridges, Japan Road Association,
Japan, 1996.
[12] Korea Bridge Design Specifications, Roadway standard
specification codes, Korea Roadway Transportation Association,
Ministry of Land, Transport and Maritime Affairs, 2005.
[13] R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of structures,
McGraw-Hill, Inc. Singapore, 1993.
[14] O. C. Zienkiewicz, R. C. Taylor, The finite element method,
5th Edition, Butterworth Heinemann: Oxford, 2000.