Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 30-36, DOI 10.15625/vap.2019000252

Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng
của tải trọng xe 3 trục mơ hình 2 khối lượng
Nguyễn Xn Toản 1) , Nguyễn Thị Kim Loan 2) , Nguyễn Duy Thảo 3)
1,2,3)

Email:

1)

Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Đà Nẵng

, 2) , 3)

Tóm tắt
Hệ số động lực do hoạt tải gây ra trong cầu giàn thép rất
quan trọng và ln được các kỹ sư xem xét khi tính tốn thiết
kế. Tuy nhiên trong các qui trình thiết kế vẫn dùng chung một
hệ số động lực cho nhiều loại kết cấu cầu khác nhau trong đó có
cầu giàn thép. Trong bài báo này các tác giả giới thiệu một số
kết quả phân tích hệ số động lực của cầu giàn thép dưới tác
dụng của tải trọng xe 3 trục mơ hình 2 khối lượng bằng phương
pháp số. Kết quả nghiên cứu cho thấy hệ số động lực của các
chuyển vị, lực cắt, lực dọc và mơmen có sự khác biệt đáng kể
và thay đổi rất lớn khi tốc độ xe chạy khác nhau. Kết quả này
góp phần làm rõ và cung cấp thêm một số thông tin cho các kỹ
sư khi phân tích thiết kế cầu giàn thép.
Từ khóa: Hệ số động lực, chuyển vị, lực cắt, lực dọc, mômen,
cầu giàn thép, tải trọng di động, phương pháp số.

1. Giới thiệu chung
Hiện nay, hầu hết các quy trình thiết kế cầu đều có
quy định mức độ ảnh hưởng của tải trọng xe di dộng đến
kết cấu cầu thông qua hệ số động lực. Tuy nhiên trong
các qui trình thiết kế vẫn dùng chung một hệ số động lực
cho nhiều loại kết cấu cầu khác nhau trong đó có cầu giàn
thép [1], [2]. Nhiều nghiên cứu về dao động và xác định
hệ số động lực của các cơng trình cầu nói chung đã được
cơng bố trong thời gian qua. Tuy nhiên các nghiên cứu về
cầu giàn thép vẫn còn rất hạn chế. Các kết quả đã công bố
cho thấy hệ số động lực có sự thay đổi đáng kể đối với
mỗi loại kết cấu khác nhau, tải trọng và tốc độ xe chạy
khác nhau [3] ÷ [11].
Trong bài báo này các tác giả áp dụng các phương
pháp số vào phân tích hệ số động lực của cầu giàn thép
dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mơ hình 2 khối
lượng. Để giảm bớt tính phức tạp, trong bài tốn này các
tác giả tiến hành nghiên cứu dao động của cầu giàn thép
trên mơ hình kết cấu phẳng. Sự phân bố tải trọng theo
phương ngang cầu được phân tích theo qui luật địn bẩy
đối với kết cấu cầu có hai giàn chủ. Sự tương tác của tải
trọng lên mặt cầu và hệ dầm mặt cầu trong từng phân
đoạn được đưa về mơ hình dầm tương đương. Các phân
đoạn này có sự liên kết và truyền tải trọng về các nút
thuộc biên có đường xe chạy.
Kết quả nghiên cứu được thực hiện trên mơ hình số
của cầu giàn thép gồm 1 nhịp 70m dưới tác dụng của tải
trọng xe 03 trục mơ hình hai khối lượng.


2. Mơ hình tính tốn
Xét mơ hình tương tác động lực giữa cầu giàn thép

và tải trọng xe di động được mơ tả như hình 1:

Hình 1. Mơ hình tương tác giữa cầu giàn thép
và tải trọng xe di động

Các thanh đứng, thanh xiên và thanh biên của giàn
được xem xét như là các phần tử thanh cơ bản chịu kéo
nén và uốn đồng thời. Các phần tử dầm thuộc mặt đường
xe chạy được xem xét như là các phần tử tương tác trực
tiếp với tải trọng xe di động. Mơ hình tương tác động lực
giữa xe 3 trục và phần tử dầm như hình 2 [4]:

Hình 2. Mơ hình tương tác động lực giữa xe 3 trục
và phần tử dầm [4]

Trong đó:
Pi  Gi .sin  i - lực kích thích điều hồ đối với trục
xe thứ i.
m1i - khối lượng của thân xe, kể cả hàng hoá truyền
xuống trục xe thứ i.
m2i - khối lượng của trục xe thứ i.
k1i, d1i - độ cứng và độ giảm chấn của nhíp xe thứ i.
k2i, d2i - độ cứng và độ giảm chấn của lốp xe thứ i.
L- chiều dài của phần tử dầm.
ai- toạ độ của trục xe thứ i tại thời điểm đang xét với
tốc độ di chuyển đều:
ai  vi . t  ti  với t  ti

(1)
vi - vận tốc của tải trọng thứ i.
ti -thời điểm tải trọng thứ i bắt đầu vào phần tử dầm.
t - thời điểm đang xét.

3. Phương trình vi phân dao động
3.1. Phương trình của tải trọng di động
Cấu trúc của tải trọng di động thứ i được tách ra như
hình 3:


Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan và Nguyễn Duy Thảo
w
(z)
(y)

Gi .sin i

m1i

EFd .

k1i .y1i + d1i .y1i
m2i

m2i.g

k2i

d2i


k2i.y2i + d2i .y2i
x

wi

O

(8)

Trong đó:
EJd - độ cứng chống uốn của phần tử dầm.
EFd - độ cứng dọc trục của phần tử dầm.
Fd – khối lượng phân bố của phần tử dầm trên 1 đơn
vị chiều dài.
 và  - hệ số ma sát trong và hệ số ma sát ngoài của
phần tử dầm.
u, w - chuyển vị của phần tử dầm tại tiết diện đang
xét theo phương ox và oy;
q(x) -Lực phân bố trên phần tử dầm theo phương Ox.

m1i .g
d1i

k1i

 2u
 2u
u
 Fd . 2  .  q( x )

2
x
t
t

Hình 3. Cấu trúc của tải trọng di động thứ i

Quy ước chiều dương của tải trọng và w, y, z hướng
lên trên.
y1i và y2i: Chuyển vị tương đối giữa khối lượng m1i
so với m2i và khối lượng m2i so với phần tử dầm tại thời
điểm đang xét theo phương thẳng đứng.
wi  w  x,t  x  a là độ võng của phần tử dầm tại vị trí
i

của tải trọng thứ i ở thời điểm đang xét.
Gọi z1i và z2i là toạ độ tuyệt đối của khối lượng m1i
và m2i theo phương thẳng đứng:
z1i  y1i  y2i  w

(2)

z2i  y2i  w

Kết hợp (3), (5), (6), (7) và (8) ta có hệ phương trình
vi phân dao động uốn và dao động dọc của phần tử dầm
chịu tải trọng di động như sau:
üï
ïï
ïï

ïï
ïï
2
2
¶u
¶u
¶u
ïï
EFd . 2 + rFd . 2 + b. = q(x)
ïï
¶x
¶t
¶t
ïï
N
ý
ïï
p(x, z, t) = åxi (t).[Gi sin Yi - (m1i + m2i ).g - m1i .z1i - m2i .z2i ].d(x - ai )
ïï
i=1
ïï



.
z
G
.sin
m
.

g
+
+
m1i .z1i d1i .z1i k1i .z1i d1i .z2i k1i 2i = i Yi - 1i
ïï
ï
m2i .z2i + (d1i + d2i ).z2i + (k1i + k2i ).z2i - d1i .z1i - k1i .z1i =-m2i .g + d2i w i + k2i wi ùù
ùù
(i =1á N)
ùỵù
ổ ả4w
ả5w ử
ả2w
ảw
= p( x, z, t)
EJd .ỗỗỗ 4 + q. 4 ữữữ + rFd . 2 + b.
ữ
ỗố ảx
ảx .ảt ø
¶t
¶t

Kết hợp (2) với (3) và biến đổi ta được phương trình
của tải trọng di động thứ i:

(9)
Áp dụng phương pháp Garlerkin kết hợp với lý
thuyết Green, biến đổi hệ phương trình (9) về dạng ma
trận như sau:
[M e ].{q} + [Ce ].{q} + [K e ].{q} = {f e }

(10)
[Me], [Ce], [Ke]- lần lượt là ma trận khối lượng, ma
trận cản, ma trận độ cứng hỗn hợp:


 (4)

m2i .z2i  (d1i.  d2i ).z2i  (k1i  k2i ).z2i  d1i .z1i  k1i .z1i  m2i .g  d2i .wi  k2i .wi 

0 
0 
Mww Mwz1 Mwz2 
Cww 0
 Kww 0
[Me]   0 Mz1z1 0 ; [Ce]  0 Cz1z1 Cz1z2 ; [Ke]  0 Kz1z1 Kz1z2 
 0
Cz2w Cz2z1 Cz2z2
Kz2w Kz2z1 Kz2z2
0 Mz2z2

Áp dụng nguyên lý Đalambe viết phương trình cân
bằng cho khối lượng m1i và m2i:


(3)

..
.
.
m2i .z2i  k2i. .y2i  d 2i . y2i  k1i .y1 y  d1i . y1i  m2i .g  0 

..

.

m1i .z1i  k1i. .y1i  d1i . y1i  m1i .g  Gi .sin  i  0

..

.

.

m1i .z1i  d1i..z1i  k1i .z1i  d1i .z2i  k1i .z2i  G.sin
i  m1i .g
i
..

.

.

.

.

Trên hình 3: Fi  k2i . y2i  d 2i . y 2i kết hợp với (3) ta được:
..

..


Fi  Gi .sin  i   m1i  m2 i  .g  m1i . z1i  m2i . z 2i

(5)

Viết lại dưới dạng phân bố và thêm hàm tín hiệu điều
khiển lôgic:
1 khi ti  t  ti  Ti
0 khi t  ti va t  ti  Ti

 i (t )  

; Ti 

L
vi

Ta được:
..
..


pi ( x, z, t )  i (t ). Gi .sin  i   m1i  m2i  .g  m1i . z1i  m2i . z 2i  . ( x  ai )



(6)
Trong đó d ( x - ai ) là hàm Delta – Dirac.
3.2. Phương trình dao động của phần tử dầm
Theo [12] phương trình dao động uốn của phần tử
dầm với tiết diện không đổi chịu tải trọng phân bố p(x,z,t)

có xét đến ảnh hưởng của ma sát trong và ma sát ngoài
như sau:
 4 w
5 w 
2 w
w
 p( x,z,t ) (7)
EJ d . 4  . 4   Fd . 2  .
x .t 
t
t
 x

Phương trình vi phân dao động dọc của phần tử có
xét đến hệ số ma sát:

(11)

q, q , q, f e lần lượt là véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị, lực
tổng qt:
ìïW üï
ïï ïï
ï ï
{q} = ïíï Z1 ùýù ;
ùù ùù
ùợù Z 2 ùỵù

ỡùW ỹù
ùù ùù
ù ï

{q } = ïíï Z 1 ïýï ;
ïï  ïï
ïỵï Z 2 ùỵù

ùỡùW ùỹù
ù ù

ùỡù Fw ùỹù
ù ù

ùù Z ùù
ợù 2 ỵù

ù ù
ợùù Fz 2 ỵùù

{q } = ùớù Z 1 ïýï ; { f e } = ïíï Fz1 ïýï

(12)

Mww, Cww, Kww - lần lượt là ma trận khối lượng, ma
trận cản, ma trận độ cứng của phần tử dầm cơ bản vừa
chịu lực dọc trục vừa chịu uốn, có thể tìm thấy trong tài
liệu [12] ÷ [15]. Các ma trận và các véctơ cịn lại có thể
tìm thấy trong tài liệu [4].
3.3. Phương trình vi phân dao động của tồn hệ thống
Để ứng dụng vào phân tích dao động theo mơ hình
tương tác giữa cầu giàn thép với tải trọng di động như
hình 1, sau khi rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử
thanh cơ bản và phần tử dầm tương tác với tải trọng xe di

động, ta sử dụng thuật toán của phương pháp phần tử hữu
hạn và xây dựng hệ phương trình vi phân dao động cho
tồn hệ, phương trình tổng qt viết dưới dạng ma trận
như sau (13):
 .. 
.
 
M .U   C .U   K .U   F 
 
 
 

(13)


Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng
Trong đó: [M], [C], [K] lần lượt là ma trận khối
lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng của tồn hệ thống
theo mơ hình tương tác động lực học giữa cầu giàn thép
và tải trọng di động.
 ..   .     
U  , U  , U  ,  F  : lần lượt là véctơ gia tốc, vận
       

tốc, chuyển vị, lực tương đương mở rộng cho tồn hệ
thống theo mơ hình tương tác động lực học giữa cầu giàn
thép và tải trọng di động.

4. Ứng dụng phân tích hệ số động lực của
cầu giàn thép

4.1. Các số liệu cơ bản của cầu giàn thép và tải trọng
Kết cấu cầu giàn thép được mô hình hóa như hình 3,
gồm 10 khoang, mỗi khoang 7m, cao 9.5m, chiều dài kết
nhịp 70m, vật liệu thép có E=2*107 T/m2, hệ dầm mặt cầu
có Jdmc=0.000542 m4, khối lượng của hệ dầm, bản, lớp phủ
và bộ hành là 6.31 T/m2 , hệ số ma sát =0.01, =0.01. Kết
cấu giàn đối xứng, các thanh giàn tiết diện chữ H có các
tham số cơ bản như bảng 1. Ký hiệu thanh được đánh theo
số hiệu nút ở hai đầu thanh. Ví dụ thanh 1-2 là thanh biên
dưới đầu giàn liên kết nút 1 với nút 2.
Bảng 1 : Các tham số cơ bản của các thanh giàn

k22=k23=320T/m,
d11=0.7344Ts/m,
k21=160T/m,
d12=d13=0.3672Ts/m, d21=0.4Ts/m, d22=d23= 0.8Ts/m.
4.2. Phân tích hệ số động lực của cầu giàn thép
Hệ số động lực (1+IM) được xác định theo công
thức:
( 1  IM ) 

S d max
St max

(14)

Trong đó:
Stmax  nội lực tĩnh hoặc chuyển vị tĩnh lớn nhất.
Sdmax  nội lực động hoặc chuyển vị động lớn nhất.
(xét tại cùng một vị trí trên kết cấu).

Hệ số động lực của chuyển vị tại mỗi nút gồm 3
thành phần được tính theo chuyển vị ngang (Ux), chuyển
vị thẳng đứng (Uy) và chuyển vị xoay (Uz) tương ứng
với các nút ở biên dưới và biên trên của giàn được tính
theo cơng thức (14). Hệ số động lực của lực cắt, lực dọc
và mômen của các phần tử thanh biên dưới, biên trên,
thanh đứng và thanh xiên cũng được tính theo cơng thức
(14).
Kết quả khảo sát hệ số động lực (1+IM) của chuyển
vị ngang, chuyển vị dọc và chuyển vị xoay tại các nút
giàn biên dưới khi xe ASIA chạy với vận tốc từ 1m/s
đến 50m/s được thể hiện trên hình 4÷6:

Hình 4. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị ngang Ux

Xe di động loại ASIA ba trục [11], có các tham số
cơ bản như sau: m=15T, m11=2.94T, m12=m13=5.89T,
m21=0.06T,
m22=m23=0.11T,
Pi=0,
x1=5.65m,
x2=4.35m, x3=0m, k11=120T/m, k12=k13=260T/m,

Hình 5. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị đứng Uy


Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan và Nguyễn Duy Thảo
tới giá trị lớn nhất (1+IM) max sau đó lại giảm dần. Hệ số
động lực của chuyển vị xoay có sự thay đổi và độ phân
tán lớn khi xe chạy ở tốc độ cao.

Trong phạm vi khảo sát, phần lớn hệ số động lực của
chuyển vị đứng và ngang đạt cực trị khi xe chạy với vận
tốc từ 25m/s đến 35m/s, nhưng đến vận tốc cao hơn thì
hệ số động lực lại có xu hướng giảm dần.
Tại mỗi điểm khảo sát khác nhau, kết quả hệ số
Hình 6. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị xoay Uz

Thực hiện phân tích tương tự với các nút giàn biên
trên, kết quả thu được thể hiện trên hình 7÷9:

động lực (1+IM)max khác nhau.
Kết quả khảo sát hệ số động lực của lực cắt, lực dọc
và mômen ở các thanh giàn biên dưới, biên trên, thanh
đứng và thanh xiên do tác dụng của tải trọng xe ứng với
các vận tốc khác nhau được thể hiện trên hình 10÷21:

Hình 7. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị ngang Ux
Hình 10. Biểu đồ hệ số động lực của lực cắt

Hình 8. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị thẳng đứng Uy
Hình 11. Biểu đồ hệ số động lực của lực dọc

Hình 9. Biểu đồ hệ số động lực của chuyển vị xoay Uz

Qua kết quả phân tích cho thấy khi tốc độ của tải
trọng di động tăng, hệ số động lực của chuyển vị đứng
và ngang tại các điểm khảo sát có xu hướng tăng và đạt

Hình 12. Biểu đồ hệ số động lực của mômen



Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng

Hình 13. Biểu đồ hệ số động lực của lực cắt

Hình 17. Biểu đồ hệ số động lực của lực dọc

Hình 14. Biểu đồ hệ số động lực của lực dọc

Hình 18. Biểu đồ hệ số động lực của mơmen

Hình 15. Biểu đồ hệ số động lực của mơmen

Hình 16. Biểu đồ hệ số động lực của lực cắt

Hình 19. Biểu đồ hệ số động lực của lực cắt

Hình 20. Biểu đồ hệ số động lực của lực dọc


Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan và Nguyễn Duy Thảo

Hình 21. Biểu đồ hệ số động lực của mơmen

Qua kết quả phân tích cho thấy khi tốc độ của tải
trọng di động tăng, hệ số động lực của lực dọc trong các
thanh biên trên, biên dưới và thanh treo đứng có xu
hướng tăng theo và đạt tới giá trị lớn nhất (1+IM)

max


sau đó lại giảm dần. Trong khi đó hệ số động lực của

Hình 24. Hệ số động lực của chuyển vị xoay và mômen

Tương tự hệ số động lực trung bình của chuyển vị
thẳng đứng và lực cắt, chuyển vị ngang và lực dọc,
chuyển vị xoay và mômen tại các nút giàn biên trên như
hình 25÷27.

lực dọc trong các thanh xiên và hệ số động lực của lực
cắt trong các thanh giàn dao động quanh giá trị 1. Hệ số
động lực của mômen thay đổi và phân tán khá lớn khi
tốc độ xe chạy cao.
Tại mỗi điểm khảo sát khác nhau, có hệ số động lực
của nội lực (1+IM) max khác nhau.
Thực hiện tính tốn hệ số động lực trung bình của
chuyển vị thẳng đứng và lực cắt, chuyển vị ngang và lực
dọc, chuyển vị xoay và mômen. Kết quả tại các nút

Hình 25. Hệ số động lực của chuyển vị ngang và lực dọc

thuộc biên dưới của giàn như hình 22÷24.

Hình 22. Hệ số động lực của chuyển vị ngang và lực dọc

Hình 26. Hệ số động lực của chuyển vị đứng và lực cắt

Hình 23. Hệ số động lực của chuyển vị đứng và lực cắt
Hình 27. Hệ số động lực của chuyển vị xoay và mômen



Phân tích hệ số động lực trong cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng
Qua kết quả phân tích hệ số động lực trên cầu giàn

[4] Nguyễn Xuân Toản, Phân tích dao động của cầu dây văng

thép do tải trọng xe ba trục chạy với tốc độ v=1-50 m/s,

dưới tác dụng của tải trọng di động. Luận án TS. Kỹ thuật,

hệ số động lực của các chuyển vị và các thành phần nội
lực trong dầm có sự khác biệt đáng kể. Nếu xét trong

Hà Nội, 2007.
[5] Nguyễn Xuân Toản, Trần Đức Long, Trần Văn Đức (2011).

Ảnh hưởng của tốc độ và khối lượng xe di động đến dao

phạm vi kết cấu cầu chịu tác dụng trực tiếp của làn xe

động của cầu dầm liên tục nhiều nhịp. Tạp chí Giao thơng

chạy, thì chênh lệch giữa hệ số động lực (1+IM) trung

Vận tải, Số 8/2011.

bình của chuyển vị ngang và lực dọc là 12.9%, giữa
chuyển vị thẳng đứng và lực cắt là 60.5%, giữa chuyển


[6] Nguyễn Xuân Toản, “Phân tích hệ số động lực của chuyển

vị và lực cắt trong cầu dầm liên tục do tải trọng di động gây
ra bằng phương pháp số”, TTCT Hội nghị Khoa học toàn

vị xoay và mômen là 2.9%. Với các nút giàn biên trên

quốc lần thứ 2 về Cơ kỹ thuật và Tự động hóa, NXB. Bách

thì chênh lệch giữa hệ số động lực (1+IM) trung bình

khoa Hà Nội, 10/2016, trang 196-202.

của chuyển vị ngang và lực dọc là 31.7%, giữa chuyển

[7] Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo, Kuriyama

vị thẳng đứng và lực cắt là 63.1%, giữa chuyển vị xoay

Yukihisa, “Phân tích hệ số động lực của chuyển vị, mô men

và mômen là 11.6%.
Kết quả phân tích hệ số động lực trong phạm vi
nghiên cứu cho thấy với tốc độ xe chạy qua cầu tăng đến
phạm vi khai thác 20m/s đa số đều lớn hơn hệ số động
lực đang được áp dụng tại nước ta là 1.25 theo tiêu chuẩn
22TCN-272-05 [2].

5. Kết luận
Bài báo giới thiệu một số kết quả phân tích hệ số động

lực của kết cấu cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng
di động. Kết quả nghiên cứu cho thấy hệ số động lực của
các chuyển vị, lực cắt, lực dọc và mơmen có sự khác biệt
đáng kể. Hệ số động lực tại các vị trí khác nhau, theo
phương khác nhau có kết quả khác nhau, chênh lệch lớn
khi tốc độ chạy xe cao. Tại mỗi điểm khảo sát khác nhau
có hệ số động lực khác nhau. Kết quả phân tích hệ số
động lực trong phạm vi nghiên cứu cho thấy với tốc độ xe
chạy qua cầu tăng đến phạm vi khai thác 20m/s đa số đều
lớn hơn hệ số động lực đang được áp dụng theo tiêu
chuẩn 22TCN-272-05 là 1.25.
Do vậy việc sử dụng chung một hệ số động lực trong
các qui trình thiết kế cầu cũng cần lưu ý thêm. Kết quả
này góp phần làm rõ và cung cấp thêm thơng tin cho các
kỹ sư khi phân tích thiết kế cầu giàn thép.

Tài liệu tham khảo
[1] AASHTO, AASHTO LRFD Bridge Design Specifications,
6th Edition, American Association of State Highway and
Transportation Officials, 4th Edition, Washington, D.C.
(2012).
[2] Bộ Giao thông Vận tải, Tiêu chuẩn thiết kế cầu

22TCN272-05, Nhà xuất bản Giao thông Vận tải, Hà Nội,
(2005)
[3] Đỗ Anh Cường, Tạ Hữu Vinh, "Tương tác giữa kết cấu hệ

thanh và tải trọng xe di động". TTCT. Hội nghị Khoa học
Toàn quốc về Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 7, NXB. Đại
học Quốc gia Hà Nội, tr. 92-101, 2004.


uốn và lực cắt trong cầu dầm SuperT có bản mặt cầu liên
tục nhiệt do tải trọng di động gây ra bằng phương pháp số”,
Tạp chí Giao thơng Vận tải, số 03/2017, trang 42-45,
ISSN: 2354-0818.
[8] Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo, Nguyễn Văn Hoan,

“Xác định hệ số động lực của cầu dầm Super T có bản liên
tục nhiệt do tải trọng di động gây ra bằng phương pháp đo
đạc thực nghiệm”, Tạp chí Giao thông Vận tải,

số

08/2017, trang 71-74, ISSN: 2354-0818.
[9] Toan X. N., Duc V. T., "A finite element model of vehicle cable stayed bridge interaction considering braking and
acceleration", The 2014 World Congress on Advances in
Civil, Environmental, and Materials Research. Busan,
Korea, p.109, (20p.)
[10] Xuan-Toan Nguyen, Van-Duc Tran, “Determination of
dynamic impact factor for continuous girder bridge due to
vehicle braking force with finite element method analysis
and experimental investigation”, Vietnam Journal of
Mechanics, VAST, Vol. 39, No. 2 (2017), pp. 149 – 164.
ISSN 0866-7136.
[11] Xuan-Toan Nguyen, Van-Duc Tran, and Nhat-Duc Hoang,
“A Study on the Dynamic Interaction between Three-Axle
Vehicle and Continuous Girder Bridge with Consideration
of Braking Effects”. Journal of Construction Engineering,
Volume 2017, Article ID 9293239, 12 pages. ISSN:
2314-5986.

[12] Ray W. Clough and Joseph Penzien, Dynamics of

structures. McGraw-Hill, Inc. Singapore, 1993.
[13] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method.
McGraw-Hill, Inc, Vol 1&2, New York, 1989.
[14] Reddy J.N., An Introduction to the Finite Element Method.
McGraw-Hill, Inc. Singapore, 1991.
[15] Smith I. M., Griffith D. V., Programming the finite element

method. Jonh Wiley & Sons, Singapore, 1988.