Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 93-97, DOI 10.15625/vap.2019000262

Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mơ hình
Euler-Lagrange bất định
Nguyễn Dỗn Phước(1,*), Nguyễn Hồi Nam(1)
(1)

Bộ mơn Điều khiển Tự động – Viện Điện, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
(*)

E-mail:

Tóm tắt
Bài báo cáo này giới thiệu một số phương pháp điều khiển cho
hệ cơ có mơ hình Lagrange bất định cả về tham số và cấu trúc.
Các phương pháp giới thiệu ở đây được phát triển từ những
phương pháp đã có. Kỹ thuật phát triển ở đây khá đơn giản, dựa
trên nền tuyến tính từng đoạn dọc trục thời gian và tối ưu hóa
từng đoạn để bù bất định, song lại mang tính hiệu quả ứng dụng
rất cao. Điều đó được bài báo chứng thực thông qua kết quả mô
phỏng trên một vài hệ robot.
Từ khóa: Tối ưu hóa từng đoạn trên trục thời gian, tuyến tính
hóa từng đoạn, ổn định ISS.

1. Mở đầu
Để điều khiển một đối tượng bất kỳ người ta cần phải
biết thông tin về đối tượng điều khiển đó. Thơng tin tạm
được xem là tương đối đầy đủ cho việc phân tích và điều
khiển, tức là đủ cho việc thiết kế được bộ điều khiển,
được hiểu là mô hình tốn. Tuy nhiên, khơng thể và cũng

khơng bao giờ hy vọng là sẽ có được một mơ hình tốn
mơ tả chính xác tuyệt đối đối tượng điều khiển. Nói cách
khác, giữa mơ hình tốn và đối tượng ln tồn tại một sai
lệch. Bởi vậy khi phân tích hay thiết kế bộ điều khiển
luân phải lưu ý tới các sai lệch này.
Những sai lệch mơ hình chính có thể biểu diễn hoặc
thơng qua tham số bất định của mơ hình, hoặc thông qua
các thành phần nhiễu thay đối cấu trúc mơ hình. Các
dạng mơ hình tốn như vậy được gọi là mơ hình bất định.
Đối với các hệ cơ đủ cơ cấu chấp hành mà mơ hình
tốn được xây dựng với phương pháp Euler-Lagrange
[1], đều rơi vào một trong những dạng như sau:
1. Mơ hình tường minh (khơng có sai lệch):
(1)
M (q )q  C (q ,q)q  g (q )  u ,
trong đó q  (q1,  ,qn )T , u  (u1,  ,un )T lần lượt
là vector của n biến khớp và vector của n tín hiệu
điều khiển, M (q ),C (q ,q), g (q ) là hai ma trận và
vector tham số mơ hình.
Các ma trận tham số mơ hình này thỏa mãn [2, 3]:
 M (q ) là ma trận đối xứng xác định dương.
 Cặp ma trận M (q ),C (q ,q) thỏa mãn tính phản đối
xứng, tức là M (q )  C (q ,q)  C T (q ,q) .
 Ở nhiều mơ hình tường minh (1) các tham số cịn
thỏa mãn thêm [4]: C (q ,q)  C T (q ,q)

2. Mơ hình chứa vector gồm m tham số hằng khơng
xác định được chính xác, cịn gọi là mơ hình bất định
tham số:
(2)

M (q , )q  C (q ,q, )q  g (q , )  u ,
trong đó   1,  ,m  là các hằng số bất định.
T

Ở loại mơ hình này, bên cạnh hai các tính chất đối
xứng xác định dương và phản đối xứng của
M (q ),C (q ,q) , thì sự phụ thuộc của  vào mơ hình
là tuyến tính, tức là ln tồn tại một ma trận
F (q ,q,q) kiểu n  m để có [2, 4]:
M (q , )q  C (q ,q, )q  g (q , )  F (q ,q,q) .

(3)

3. Mơ hình chứa vector gồm n tham số hàm khơng
xác định được (cịn gọi là mơ hình bất định cấu trúc):
(4)
M (q )q  C (q ,q)q  g (q )  u   (q ,q,q,t ) ,
với   1,  ,n 

T

là vector các hàm bất định.

4. Mơ hình vừa bất định tham số, vừa bất định cấu trúc:
(5)
M (q , )q  C (q ,q, )q  g (q , )  u   (q ,q,q,t ) .
Đã có rất nhiều phương pháp phân tích và thiết kế bộ
điều khiển cho những dạng mơ hình Euler-Lagrange trên
được cơng bố trong nhiều năm qua. Đơn cử là tuyến tính
hóa chính xác, hay cịn gọi là bù trọng trường, và tuyến

tính hóa chính xác thích nghi theo nguyên tắc giả định rõ
giới thiệu ở [2], điều khiển trượt và ổn định ISS [2, 3],
điều khiển thụ động [4].
Bài báo này sẽ dựa trên một số các phương pháp cơ
bản đó để phân tích và phát triển lên thành phương pháp
mới, đơn giản, nhưng áp dụng hiệu quả được cho những
hệ bất định hằng số hoặc hàm số hoặc cả hai. Với mục
đích như vậy, trước tiên, ở Phần 2, bài báo sẽ nhắc lại hai
phương pháp cơ bản được sử dụng làm nền tảng cho sự
phát triển sau này là phương pháp bù trọng trường và
tuyến tính hóa chính xác thích nghi [2]. Tiếp theo, bài
báo sẽ trình bày hai phương pháp phát triển từ đó ở Phần
3. Cuối cùng, ở Phần 4, bài báo sẽ minh họa tính hiệu quả
của các phương pháp phát triển này thơng qua ví dụ số.

2. Các phương pháp điều khiển cơ bản
2.1. Điều khiển bù trọng trường
Phương pháp này đã được trình bày chi tiết tại các tài
liệu [2, 3, 4]. Một số phiên bản mở rộng của nó cũng như
những phân tích, nhận xét ưu nhược điểm của phương pháp
cũng đã được trình bày tại [5]. Nó có nội dung như sau:


Nguyễn Dỗn Phước, Nguyễn Hồi Nam
Định lý 1:

2. Ở mơ hình loại 2 có:

Bộ điều khiển


u  M (q )(r  K1e  K 2e )  C (q ,q)q  g (q )

(6)

trong đó e  r  q , K1, K 2 kiểu n  n là hai ma trận
đối xứng xác định dương được chọn sao cho
In 
 0
A n

 K1 K 2 
với 0n , I n là ma trận không và ma trận đơn vị kiểu
n  n , là ma trận Hurwitz, sẽ làm cho các biến khớp q

của hệ (1) bám tiệm cận theo được quỹ đạo mẫu đặt
trước r  (r1,  , rn )T .
Chứng minh: Xem [2,5].
■
Bàn thêm: Việc chọn hai ma trận đối xứng xác định
dương K1, K 2 kiểu n  n có thể được thực hiện đơn
giản với:
K1  diag(k1i ), K 2  diag(k 2i ) thỏa k 22i  k1i  0 . (7)
2.2. Điều khiển tuyến tính hóa chính xác thích nghi
Đây là phương pháp áp dụng cho lớp hệ có mơ hình
bất định tham số hằng (2). Tư tưởng của phương pháp là
tạm thay vector hằng bất định  bởi vector hàm p (t )
rồi sử dụng bộ điều khiển (6), tức là:

u  M (q , p ) r  K1e  K 2e   C (q ,q, p )q  g (q , p ) .


(8)

Tiếp theo, dựa vào tính chất (3) của  đối với mơ hình
để xác định quy luật chỉnh định cho p (t ) để vẫn có
được chất lượng bám ổn định như sau:
p  EBT Px ,
(9)
trong đó:
1. E là ma trận kiểu m  m đối xứng xác định dương
tùy chọn.
2. P là nghiệm đối xứng xác định dương của phương
trình Lyapunov:
AT P  PA  Q
có Q là ma trận kiểu n  n đối xứng xác định

dương cũng tùy chọn và
0n m


In 
 0
e 
x   , A   n
, B  


1
  
e 
 K1 K 2 

 M (q , p ) F (q ,q ,q ) 

3. K1, K 2 kiểu n  n là hai ma trận đối xứng xác định
dương được chọn sao cho A là Hurwitz.
Định lý 2: Bộ điều khiển (8) cùng cơ cấu chỉnh định (9) sẽ
làm cho các biến khớp q của hệ bất định (2) bám tiệm
cận theo được quỹ đạo mẫu đặt trước r  (r1,  , rn

)T

Chứng minh: Xem [2,5].

.

Trước tiên có thể thấy rằng tất cả các dạng bất định
của mơ hình Euler-Lagrange (1)-(5) đều đưa được về một
cấu trúc chung như sau:
(10)
M (q )q  C (q ,q)q  u  d (q ,q,q,t ) ,
1. Ở mơ hình loại 1 có d (q ,q,q,t )  g (q ) .

 C (q ,q, p )  C (q ,q, )  ,q  g (q , )

trong đó p là hằng số tùy chọn và
M (q )  M (q , p ), C (q ,q)  C (q ,q, p )

3. Ở mơ hình loại 3 có d (q ,q,q,t )   (t )  g (q ) .
4. Ở mô hình loại 4 có:
d (q ,q,q,t )   (t )  M (q , p )  M (q , )  q
 C (q ,q, p )  C (q ,q, )  ,q  g (q , )


Như vậy, bất cứ một phương pháp điều khiển nào áp
dụng được cho hệ (10) cũng đều sử dụng được cho một
trong bốn loại hệ Euler-Lagrange ở trên.
3.1. Điều khiển bền vững ISS
Phương pháp này được hình thành từ suy nghĩ rằng
điều gì sẽ xảy ra khi áp dụng bộ điều khiển (6) nêu trong
định lý 1 cho hệ có thành phần bất định hàm (10), ngay
cả khi có:
(11)
d (q ,q,q,t )   (t )  g (q )
khi chuyển hệ 3 về thành (10).
Từ lời chứng minh định lý 1 trong [5] thì có thể thấy
câu trả lời rằng, khi đó bộ điều khiển trên sẽ khơng làm
cho các biến khớp q của hệ (10), bám tiệm cận theo
được quỹ đạo mẫu r mà thay vào đó nó chỉ tiệm cận tới
một lân cận của quỹ đạo mẫu có sai lệch bám phụ thuộc
vào:

d  sup d (q ,q,q,t ) .

(12)

t

Vậy, hiển nhiên để nâng cao chất lượng điều khiển ta
cần phải giảm sai lệch bám này. Để làm được điều đó, ta
sẽ đưa thêm vào bộ điều khiển một tín hiệu bổ sung s (t )
sao cho với nó sai lệch bám được nhỏ đi. Đó cũng chính
là nội dung của định lý sau.

Định lý 3: Bộ điều khiển
(13)
u  M (q )(s  r  K1e  K 2e )  C (q ,q)q
với e  r  q , K1  diag(k1i ), K 2  diag(k 2i ) là hai ma
trận đường chéo kiểu n  n có k 22i  k1i  0 và s (t ) là
hàm tùy chọn, miễn rằng có được:
p  s  M (q )1d

thỏa mãn điều kiện bị chặn:
■

3. Những phương pháp phát triển

trong đó d là thành phần bất định hàm. Chẳng hạn:

d (q ,q,q,t )  M (q , p )  M (q , )  q

p   với  cho trước.

sẽ đưa được sai lệch bám x  col(e ,e) của hệ (10) về tới
lân cận gốc:
 

  x  R 2n x 

 

trong đó

  max k1i , k 2i  ,   min k12i , k 22i  k1i  .

i

Chứng minh: Xem [5].

i

■


Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mơ hình Euler-Lagrange bất định
Bàn thêm: Có thể thấy ngay rằng nếu chọn:
k11  k12    k1n  a  0
k 21  k 22    k 2n  ab với b  a  1

sẽ có được   a ,   a 2 nên cũng có:
lim mes   0 ,

In
 x   0n

 0n 
x   1   
x 
u  d 
1C (x , x ) 
1  

(
)
x

M
x
0
1
1 2 
 2  n
 M (x 1 ) 
 A(x )x  B (x ) u  d 

(15)
trong đó x 1  q , x 2  q và

a 

tức là khi a được chọn càng lớn, sai lệch bám sẽ càng
nhỏ. Khi a   thì sai lệch bám sẽ bằng 0.
3.2. Điều khiển bù bất định
Có thể thấy ngay rằng trong trường hợp d  0 thì
bộ điều khiển (6), mà bây giờ được cải biên thành:
(14)
u  M (q )(r  K1e  K 2e )  C (q ,q)q
sẽ làm cho các biến khớp q của hệ (10) bám tiệm cận
theo được quỹ đạo mẫu r cho trước. Như vậy, nếu vẫn
muốn sử dụng bộ điều khiển (14) cho trường hợp có
d  0 thì đơn giản nhất là ta thêm vào bộ điều khiển một

cơ cấu ước lượng thành phần bất định hàm d  d như
mơ tả ở hình 1.

 0n

A(x )  
 0n

In

 0n 
(16)
 , B (x )  
1 
M (x 1 )1C (x 1, x 2 ) 
 M (x 1 ) 

là các ma trận phụ thuộc trạng thái.
2. Tiếp theo ta chọn một khoảng dịch chuyển trên trục
thời gian Ts với tk  kTs , k  0,1,  cách đều
nhau. Đây là những thời điểm mà d (t ) sẽ được ước

lượng xấp xỉ thành d k  d (tk ) .
Ở đây ta cần giả thiết rằng ma trận B (x ) là đủ hạng
tại mọi điểm trạng thái x k  x (tk ) , tức là có:
rank B (x k )  n , x k .

3. Tùy chọn z 1 và d 1 . Gán x 1  0, k  0 .

4. Đo x k  x (tk ) . Tính:
Akx  I 2n  Ts A(x k 1 ), Akz  I 2n  Ts A(z k 1 ),
Bk  Ts B (x k 1 ),


z k  Akz z k 1  Bk u  d k 1 



1
d k  BkT Bk  BkT x k  z k  Akz z k 1  Akx x k 1

5. Đưa u  d k trong đó u lấy từ (14), vào điều khiển



Hình 1: Bù thành phần bất định hàm ở đầu vào

Có khá nhiều cơ cấu ước lượng thành phần bất định
hàm hiện được sử dụng, trong đó nhiều nhất là mạng
neural. Ở đây, trong bài báo này, thay vì sử dụng mạng

neural chúng tơi sẽ sử dụng cơ cấu ước lượng d  d
được giới thiệu ở tài liệu [6] theo nguyên tắc tối ưu từng
đoạn trên trục thời gian như mô tả ở hình 2. Khác với
mạng neural mà ở đó cơ cấu ước lượng luôn phụ thuộc
vào bộ điều khiển được sử dụng, bộ ước lượng của [6]
không cần sử dụng tới bộ điều khiển nên có thể nói nó áp
dụng được cho mọi hệ điều khiển. Ngoài ra, nếu so sánh
với mạng neural, bộ ước lượng của [6] có cấu trúc đơn
giản hơn rất nhiều và tốc độ ước lượng cũng rất nhanh do
không cần phải mất thời gian để huấn luyện mạng.



đối tượng. Nói cách khác, tín hiệu đầu vào sau bù của
đối tượng sẽ là:


u  d k  d (tk )

như được mơ tả ở hình 3.
6. Gán k : k  1 rồi quay về 4.
Định lý 4: Nếu trạng thái sau bù x k  x (tk ) đo được từ
hệ ở thời điểm tk biểu diễn chính xác được bởi:

x k  Akx x k 1  Bk u  d k 1  d (tk ) 

thì:

(17)


d k  d (tk ) .

Chứng minh: Xem [6].

■

Hình 3: Cấu trúc điều khiển bù bất định
Hình 2: Nguyên tắc ước lượng tối ưu từng đoạn

Nguyên tắc làm việc của bộ ước lượng thành phần
bất định hàm nêu trong tài liệu [6] được tóm tắt như sau:
1. Trước tiên ta chuyển hệ (10) về dạng song tuyến:

Bàn thêm: Định lý trên khẳng định rằng sai lệch ước
lượng hồn tồn phụ thuộc vào việc lượng tử hóa hệ song

tuyến (15) thành (17). Ngồi ra, có thể thấy thêm rằng
phương pháp bù bất định này áp dụng được cho cả những
hệ khơng dừng, tức là những hệ có ma trận tham số


Nguyễn Dỗn Phước, Nguyễn Hồi Nam
khơng những phụ thuộc trạng thái mà còn phụ thuộc cả
thời gian:
x  A(x ,t )x  B (x ,t ) u  d  .

4. Ví dụ minh họa
Trong bài báo này chúng tơi sẽ chỉ tập trung vào
minh họa phương pháp điều khiển bù bất định, cũng là vì
phương pháp này tổng quát hơn phương pháp điều khiển
ổn định ISS, do nó cịn có thể áp dụng được cho cả
những lớp hệ bất định cấu trúc.
Đối tượng được chúng tôi chọn để minh họa chất
lượng bộ điều khiển bù bất định này là hệ robot planar có
thành phần bất định hàm đầu vào (hình 4):
M (q )q  C (q ,q)q  g (q )  u  
trong đó:
 M M2 
 c11 c12 
 g1 
M (q )   1
 , C (q ,q)  
 , g (q )   
M
M
c

c
3
 2
 21 22 
 g2 
u 
q 
u   1 , q   1 
u
 2
q2 

với [2]:
M1 



m1l12
l2
 1  m 2  l12  2  l1l 2 cosq 2    2
4
4



m 2l 2 
l

l1  2  l1 cosq 2    2


2 
2

m 2l 2
M3 
 2
2
c11  2c12  q2m 2l1l 2 sin q 2
M2 

m 2l1l 2
sin q 2 , c22  0
2
m gl
l


g1  1 1 cosq1  m 2g  l1 cosq1  2 cos q1  q 2  
2
2


m 2gl 2
g2 
cos q1  q 2 
2
và g  9.81 là gia tốc trọng trường, m1  m 2  0.3 là
khối lượng hai cánh tay robot, 1   2  0.6 là moment
quán tính các khớp quay, l1  1, l 2  0.7 là độ dài hai


chuyển mơ hình robot về dạng (15) với:
d (q ,t )   (t )  g (q )
cũng nhhư các ma trận A(x ), B (x ) theo (16). Quỹ đạo
mẫu r đặt trước là hai hằng số:
r   0.5 , 0.7  .
T

(18)

Hằng số thời gian dịch chuyển trên trục thời gian được
chọn là Ts  0.1 .
Bộ điều khiển có nhiệm vụ đo hai giá trị biến khớp
hiện thời q  q1 , q 2 

T

ở thời điểm tk hiện tại, tính

tốn ra hai biến điều khiển u  u1 , u 2 

T

là các giá trị

moment áp đặt cho động cơ quay biến khớp, sao cho cuối
cùng đầu ra bám tiệm cận theo được các giá trị đặt và
chất lượng bám đó khơng phụ thuộc thành phần bất định
hàm d (q ,t ) .
Bảng 1 là nội dung chi tiết của bộ điều khiển khi đã
được cài đặt trên MatLab. Nó gồm hai phần, phần

chương trình chính có tên là runPlanar.m được thực
hiện ứng với k  0,1,  để đưa tín hiệu điều khiển vào
đối tượng robot và phần thực hiện các phép tính mơ
phỏng động học của robot trong từng khoảng thời gian
được điều khiển kTs  t  (k  1)Ts có tên là Planar.m.
Các kết quả mơ phỏng chất lượng được thể hiện từ
hình 4 đến hình 6, trong đó hình 4 và hình 5 là tín hiệu








nhận dạng được d  d1 , d 2



T

cùng giá trị thực d  d1 , d 2 

T

của thành phần bất định
của nó và hình 6 là hai

giá trị biến khớp của robot.


c21  q1

cánh tay robot.
Thành phần bất định hàm được giả định là:
 0.1sin  0.3t   0.2cos  0.1t  
 .
 0.3cos  0.2t   0.2sin  0.5t  

 (t )  

Hình 4: Kết quả nhận dạng thành phần bất định hàm d1 (t ) .

Nó bao gồm tất cả các thành phần sai lệch mơ hình cũng
như các sai lệch tín hiệu điều khiển do cơ cấu chấp hành
gây nên.

Hình 4: Robot phẳng 2 bậc tự do

Để cài đặt bộ điều khiển bù bất định, trước tiên ta

Hình 5: Kết quả nhận dạng thành phần bất định hàm d 2 (t ) .


Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mơ hình Euler-Lagrange bất định
bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác. Thậm chí tốc độ
nhận dạng là rất nhanh, chỉ sau khoảng 2s .
Ở hình 6 ta thấy được quỹ đạo biến khớp cũng đã
bám theo được hai giá trị mẫu đặt trước (18) chỉ sau
khoảng 7s .


5. Kết luận

Hình 6: Quỹ đạo hai biến khớp của robot.
Bảng 1: Chương trình điều khiển bù bất định cho robot Planar.
runPlanar.m
global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx
dh d
g=9.81; w=[0.5;0.7]; w_d=[0;0]; w_dd=[0;0];
m1=0.3; m2=0.3; l1=1; l2=0.7;
delta1=0.6; delta2=0.6;
x0=[0 0 -2 2]; z0=x0'; t0=0;
N=200; Ts=0.1; dh=[0;0];
px=[]; ti=[]; pd=[]; pdh=[];
for i=1:N+1
[t,x]=ode45(@Planar,[t0 t0+Ts],x0);
k=length(t); t0=t(k);
ti=[ti (i-1)*Ts]; px=[px;x0];
Mz1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos(
z0(2)))+delta2;
Mz2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(z0(2)))+delta2;
Mz3=(m2*l2)/2+delta2;
Mz=[Mz1 Mz2;Mz2 Mz3];
cz11=-z0(4)*m2*l1*l2*sin(z0(2));
cz12=-z0(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2));
cz21=-z0(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2));
cz22=0;
Cz=[cz11 cz12;cz21 cz22];
Az=[0 0 1 0;0 0 0 1;zeros(2) -Mz¥Cz];
B=Ts*Bx; A_x=eye(4)+Ts*Ax; A_z=eye(4)+Ts*Az;
z=A_z*z0+B*(u-dh);

dh=(inv(B'*B)*B')*(x(k,:)'-z+A_z*z0-A_x*x0');
z0=z; x0=x(k,:);
pd=[pd d]; pdh=[pdh dh];
end
figure(1);
plot(ti,px(:,1),ti,px(:,2)); legend('q1','q2');
figure(2);
plot(ti,pd(1,:),ti,pdh(1,:)); legend('d1','dh1');
figure(3);
plot(ti,pd(2,:),ti,pdh(2,:)); legend('d2','dh2');

Planar.m
function dx = Planar(t,x)
global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx
dh d
M1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos(x(2
)))+delta2;
M2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(x(2)))+delta2;
M3=(m2*l2)/2+delta2; M=[M1 M2;M2 M3];
c11=-x(4)*m2*l1*l2*sin(x(2));
c12=-x(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2));
c21=-x(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2)); c22=0;
C=[c11 c12;c21 c22];
g1=m1*g*l1/2*cos(x(1))+m2*g*(l1*cos(x(1))+l2/2*cos(
x(1)+x(2)));
g2=m2*g*l2/2*cos(x(1)+x(2));
d=[0.1*sin(0.3*t)+0.2*cos(0.1*t);0.3*cos(0.2*t)+0.2
*sin(0.5*t)]-[g1;g2];
e=w-[x(1);x(2)]; e_dot=w_d-[x(3);x(4)];
K1=eye(2); K2=2*eye(2);

u=M*(w_dd+K1*e+K2*e_dot)+C*[x(3);x(4)];
Ax=[0 0 1 0;0 0 0 1;zeros(2) –inv(M)*C];
Bx=[0 0;0 0;inv(M)];
dx=Ax*x+Bx*(u+d-dh);
end

Các kết quả mô phỏng trên đã khẳng định được chất
lượng điều khiển bù giống như đã thiết kế. Hai thành
phần bất định hàm đã được nhận dạng tốt phục vụ cho
điều khiển bù. Bộ điều khiển (hình 3) được sử dụng ở
đây chỉ đơn giản là bộ điều khiển (14) được cải biên từ

Từ kết quả nhận xét và phân tích về những phương
pháp điều khiển hiện có cho hệ Euler-Lagrange chứa các
thành phần bất định, bài báo đã đưa ra hai phương pháp
cải biên chúng đề tổng quát hóa cho tất cả các dạng bất
định khác nhau, kể cả cho trường hợp hệ có sai lệch
khơng cấu trúc của mơ hình.
Với ví dụ minh họa cho trường hợp đối tượng là
robot Planar có chứa bất định hàm, đại diện cho tất cả các
thành phần bất định của mơ hình (tham số mơ hình, sai
lệch mơ hình khơng cấu trúc) cũng như nhiễu đầu vào,
bài báo cũng đã khẳng định được chất lượng của bộ điều
khiển bù đề xuất. Từ đó có thể thấy phương pháp điều
khiển này đã sẵn sàng áp dụng được vào thực tế.

Tài liệu tham khảo
1

David Morin: Introduction to Classical Mechanics: With

Problems and Solutions. Cambridge University 2008.

2

Frank

L.Lewis,

Darren

M.Dawson

and

Chaouki

T.Abdallah: Robot Manipulator Control. Theory and
Practice. Marcel Dekker, Inc. 2004.
3

Jean-Jacques E Slotine and Weiping Li: Applied Nonlinear
Control. Prentice Hall 1991.

4

Ortega, R; Loria, A.; Nicklasson, P.J. and Ramirez, H.S.:
Passivity bassed Control of Euler-Lagrange Systems.
Springer Verlag 1998.

5


Phước, N.D.: Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến. NXB
Bách khoa 2012.

6

Phuoc D. Nguyen and Nam H. Nguyen: Unknown Input
Disturbance Estimator for Time-Varying Bilinear Systems
based on Time Receding Optimization. Submitted in IEEE
Trans. on Automatic Control, 15.7.2019.