Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 57-62, DOI 10.15625/vap.2019000256

Một đề xuất dạng phổ của tải lưu thơng trên cầu
Phạm Bảo Tồn 1,*, Ngơ Kiều Nhi1
1

PTN Cơ học Ứng dụng, Khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh
E-mail:

Tóm tắt
Bài báo đề cập đến dao động của dầm đàn hồi tựa đơn chịu tải di
động với các vận tốc ngẫu nhiên. Đây là mô hình nghiên cứu ảnh
hưởng của phương tiện lưu thơng ngẫu nhiên lên ứng xử của cầu.
Dựa trên lý thuyết dầm Euler-bernouli, phương pháp thống kê và
phương pháp phân tích Fourier, bài toán tải ngẫu nhiên được tách
thành tổng hợp những tải cơ bản. Từ những phân tích đặc điểm
phổ của đáp ứng bởi các tải di động, nghiên cứu này trình bày
một cách nhìn nhận khách quan trong việc mơ hình hóa dạng phổ
của tải ngẫu nhiên di động. Kết quả này có thể sử dụng cho nhiều
nghiên cứu tiếp theo về tải ngẫu nhiên di động.
Từ khóa: dầm, tải di động, dao động ngẫu nhiên, phổ.

1. Mở đầu
Các công trình dân dụng, trong đó có cầu, giữ vai trị
quan trọng trong mọi hoạt động của xã hội. Bài toán xác
định và đánh giá tình trạng trong kết cấu phổ biến như dầm,
tấm và khung đã thu hút nhiều sự quan tâm của các kỹ sư,
nhà nghiên cứu và quản lý cơng trình xây dựng. Tín hiệu
dao động của kết cấu thu được thường ở 3 dạng chủ yếu,
bao gồm: trạng thái dao động tự do, trạng thái dao động

cưỡng bức, và trạng thái dao động ngẫu nhiên [1]. Zonta
và Modena [2] đã tiến hành phân tích hiện tượng phách
trong dao động tự do của một tấm panô bê tông dự ứng lực
và thấy rằng hiện tượng này chỉ xảy ra khi dầm có vết nứt.
Một số nghiên cứu phân tích hiện tượng phách trong dao
động tự do để đánh giá tính trạng kết cấu đã được cơng bố
[3-4]. Farrar và cộng sự (2000) nghiên cứu sự biến đổi các
tham số trạng thái modal bởi các nguồn kích thích khác
nhau sử dụng phương pháp thống kê [5]. Các kết quả thực
nghiệm thu được từ một thí nghiệm tác động của hệ thống
kích rung được so sánh với những kết quả từ các thí
nghiệm dao động bởi tác nhân mơi trường. Nghiên cứu cho
rằng tải trọng tự nhiên không cho phép xác định được tất
cả các dạng dao động như tải trọng nhân tạo là do sự thiếu
hụt của một số dải tần số trong phổ công suất của tải ngõ
vào. Tương tự hai tác giả Haritos và Abu-Aisheh [6] đã
nghiên cứu kỹ thuật kiểm tra động lực học khi cầu chịu tác
dụng của mơi trường (như gió, dịng chảy) để xác định hiện
trạng của kết cấu. Zhang (1994) [7] đã so sánh giữa tín hiệu
dao động tự do và dao động điều hịa trên kết cấu cầu và
nhận thấy tín hiệu dao động điều hịa bởi bộ kích rung cho
nhiều thơng tin hữu ích hơn. Filipe và các cơng sự [8] đã

tiến hành khảo sát sự giảm chấn ở một số mơ hình thực
như khung giàn mái che của sân vận động, cầu đi bộ và cầu
dây văng ở 2 trạng thái dao động tự do và dao động ngẫu
nhiên. Kết quả cho thấy giá trị giảm chấn xác định từ dao
động tự do rất ổn định. Còn trong trạng thái dao động ngẫu
nhiên, giá trị giảm chấn rất phân tán (độ lệch tới 50%). Tuy
nhiên, tín hiệu thu được bởi dao động ngẫu nhiên qua các

phép phân tích thích hợp còn hữu dụng hơn các trạng thái
dao động khác vì nó chứ nhiều thơng tin và phản ảnh ứng
xử thực tế của cơ hệ [9].
Khoảng 20 năm gần đây, trên thế giới xuất hiện những
cây cầu dây văng có chiều dài lớn [10]. Chúng chịu tác
dụng khốc liệt của mơi trường như: dịng lưu thơng liên
tục, gió to, bão, sóng biển,… vì vậy nguy cơ thảm họa là
rất lớn. Xuất phát từ thực tế, đã hình thành các hệ thống đo
thu thập số liệu thường xuyên khi cầu vẫn đang hoạt động.
Đối với một nước có mật độ giao thông phức tạp, cũng như
kinh tế đang phát triển như Việt Nam, thì biện pháp sử
dụng chính các hoạt tải của cơng trình cầu (chủ yếu là dịng
phương tiên lưu thơng) làm nguồn kích thích cho cơng tác
đánh giá trình trạng cầu là hợp lý nhất. Tuy nhiên, điểm
khó khăn khi áp dụng kích thích hoạt tải thực là lực thay
đổi liên tục, bên cạnh đó giá trị tần số khơng ổn định và
tồn tại nhiều nhiễu trong tín hiệu đo.
Trong dao động kết cấu, phương pháp phân tích phổ
giúp các kỹ sư chuyển tín hiệu trong miền thời gian sang
miền tần số nhằm giám sát các hiệu ứng động lực học quan
trọng như hiệu ứng cộng hưởng. Đối với đáp ứng dao động
ngẫu nhiên, hàm mật độ phổ công suất PSD (Power
Spectral Density) là công cụ hữu dụng để xác định tình
trạng cơ học của kết cấu [11]. Đối với mơ hình nghiên cứu
đáp ứng của cơ hệ trong miền tần số thì tín hiệu phổ của
tải và đáp ứng có quan hệ với nhau thơng qua hàm đáp ứng
tần số. Hàm đáp ứng tần số chứa đầy đủ các thông tin về
bản chất của cơ hệ. Nếu đối với tải tiền định có dạng phổ
xác định phối hợp với đáp ứng của cơ hệ được khảo sát sẽ
cho biết tình trạng của cơ hệ. Tuy nhiên rất nhiều nghiên

cứu [11] về tải ngẫu nhiên để đơn giản trong q trình khảo
sát lý thuyết đều giả sử tải có dạng nhiễu trắng (tín hiệu
phổ có dạng hằng số trong tồn miền tần số) và có vị trí cố
định. Bên cạnh đó cũng có nhiều nghiên cứu về tải ngẫu
nhiên di động [12-15] có dạng nhiễu trắng nhưng các
nghiên cứu này chỉ tập trung khảo sát đáp ứng tín hiệu


Phạm Bảo Tồn và Ngơ Kiều Nhi
miền thời gian. Vì vậy trong bài báo này, nhóm tác giả
muốn giới thiệu một nhìn nhận mới về dạng phổ của tải
ngẫu nhiên di động để làm cơ sở cho các nghiên cứu về
đáp ứng của cơ hệ sau này.

2. Lý thuyết dao động của dầm bời tải trọng
di động
Kích thước chiều dọc của nhịp cầu thường lớn hơn
nhiều các kích thước cịn lại và được gia cố bởi các thanh
dầm phía dưới với 2 đầu tựa lên trụ. Tải lưu thông chủ yếu
tác dụng lực theo phương vng góc với nhịp, do vậy trạng
thái chịu lực chủ yếu của nhịp là uốn ngang phẳng. Trong
các nghiên cứu hệ thống tương tác giữa nhịp cầu và dịng
lưu thơng, nếu chỉ quan tâm đến đối tượng nhịp và bỏ qua
tác động qua lại giữa cấu tạo xe cộ và kết cấu cầu, ta có thể
đơn giản hóa xe cộ lưu thơng qua cầu thành tải trọng f(x,t)
di chuyển trên một thanh dầm (Hình 1).

j x
l


 j (x)  sin

(5)

Trong đó j(x) là hàm dạng thứ j và qj là giá trị chuyển
vị suy rộng. Với dạng nghiệm (4), thế vào phương trình vi
phân (1), nhân cả 2 vế cho hàm dạng j(x) và tích phân trên
chiều dài dầm. Ta có:
(6)
qj  2b q j   2j q j  Q j (t )
Với:

Q j (t ) 

1

l

(7)

  ( x  t ) f (t ) ( x)dx

i

j

0

l


   (r ) (r )d r   
i

0

j

j ij

(8)

l

 2  (r ) (r )d r  2   
b i

0

j

j

j

j ij

Trong đó µj và Qj(t) lần lượt là khối lượng suy rộng,
lực suy rộng của cơ hệ tại dạng dao động thứ j. Với hj(t) là
hàm đáp ứng của cơ hệ tại dạng dao động thứ j thì nghiệm
của phương trình (6) có thề tìm ở dạng:



q j (t ) 

(9)

 h (t )Q (t   )d
j

j



 1 bt
 e sin dj t t  0
(10)
h j (t )   dj
0
t0

Thế các giá trị tọa độ suy rộng từ (9) vào phương trình (4)
ta sẽ có đáp ứng của dầm tại các vị trí xác định trên dầm
theo thời gian:
w( x, t ) 

Hình 1: Mơ hình dầm tựa giản đơn với tải di chuyển

Theo lý thuyết dầm Euler Bernouli, phương trình vi
phân chuyển động của dầm [16]:
EJ


w 4  x, t 
w 2  x, t 
w  x, t 

 2 b
   x  t  f (t ) (1)

4
2
x
t
t

Trong đó: x là vị trí điểm trên dầm, 𝜔 là tần số giảm
chấn, t là thời gian, f(t) là tải di chuyển,  là khối lượng
riêng của dầm trên một đơn vị chiều dài,  là tốc độ của
tải di chuyển.
Điều kiện biên và điều kiện đầu là:

w(0, t )  0;

w(l , t )  0,

 2 w( x, t )
x 2

 2 w( x, t )
x 2


 0;
x0

w( x, 0)  0;


w( x, t )
 0;
t
t 0

0

(2)

x l

(3)

Đáp ứng của dầm



j 1

d

( t  )

sin dj (t   ) f ( )sin  j  d (11)


Với  chính là tần số riêng giảm chấn của dạng dao
động thứ j và =/l.
 Phân tích phổ
Nếu f(t) được định nghĩa như là hàm ngẫu nhiên dừng
dạng nhiễu trắng có giá trị hiệu dụng Sf thì hiệp phương
sai của f(t) được định nghĩa như sau:
(12)
C ff (t1 , t2 )  E  f (t1 ) f (t2 )   2 S f  (t2  t1 )
Với E[.] là kỳ vọng toán học. Khi đó hiệp phương sai của
hàm lực di chuyển trở thành
C ff ( x1 , x 2 , t1 , t2 )    x1   t    x 2   t  C ff (t1 , t2 ) (13)
Hiệp phương sai của hàm lực suy rộng:
1
CQ Q (t1 , t2 ) 
 (ct ) (ct )C (t , t )
 j  k j 1 k 2 ff 1 2
j

k

2

(4)

(14)

Như vậy hàm mật độ phổ công suất của hàm lực suy rộng
sẽ được tính theo bằng cách phân tích Fourier hiệp phương
sai của hàm lực suy rộng.

 
1
(15)
SQ ( ) 
CQ Q (t1 , t2 ) e  i ( t  t ) dt1 dt2
2  
4  
Khi đó mật độ phổ công suất Sq() của đáp ứng tại tọa
độ suy rộng được tính thơng qua hàm đáp ứng tần số và
hàm mật độ phổ của lực suy rộng SQ() như sau:
j

Nghiệm của phương trình vi phân (1) có thể tìm ở dạng
tổng quát:

w(x, t )    j (x) q j (t)

2   j (x) t 
e

 l j 1 dj 0

2

1

k

S q j ( )  H j ( ) SQ j ( )


(16)


Một đề xuất dạng phổ của tải lưu thông trên cầu

Cuối cùng hàm mật độ phổ của đáp ứng chuyển vị tại từng
điểm trên dầm.


Sw (x,  )    j2 ( x )Sq ( )

(18)

j

j 1

Theo công thức (18) ta thấy hàm mật độ phổ đáp ứng của
dầm là tổng hợp hàm mật độ phổ của từng dạng dao động
riêng. Vì vậy để khảo sát phổ đáp ứng tổng thể của kết cấu,
ta có thể khảo sát từng phần phổ của từng dạng dao động
riêng lẻ.
Sw ( x ,  ) 

4 S f

 2 l 2




 sin

2

j 1

 j x 
1

 2
2
 l   j    2ib

2







sin 2  j t  e i dt

(19)
Phổ dao động của kết cấu chịu tải di động ngồi phụ
thuộc vào giá trị tải và tính chất cơ học của kết cấu còn phụ
thuộc vào vận tốc của tải. Trong thực tế rất nhiều phương
tiện lưu thông không những với tải trọng khác nhau mà còn
với nhiều vận tốc. Cho nên đối với tải lưu thơng ngồi biên
độ ngẫu nhiên cần quan tâm đến vận tốc ngẫu nhiên trên

dầm.

phân tích phổ và hàm mật độ phổ S(½l,t) được thể hiện
trên hình 3. Rõ ràng ảnh hưởng của pha lên hình dạng phổ
rất nhỏ khơng đáng kể. Ngồi ra trên phổ đáp ứng ngồi
hài có tần số trùng với tần số cưỡng bức của tải còn xuất
hiện các hài khác có biên độ đáng kể tại các tần số tương
ứng gây ra bởi vận tốc của tải.

3

Chuyển vị w (mm)

Với hàm đáp ứng tần số được tính theo cơng thức (17):

1
(17)
H j ( )   h j (t )e  it dt  2

 j   2  2ib

2.5

θ1
θ2

2

θ3


1.5
0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25

Thời gian (s)
Hình 2: Đáp ứng tại vị trí ½ của dầm bởi 1 tải điều hịa di
chuyển có pha ban đầu khác nhau

Giả sử hàm lực f(t) có dạng biến thiên cơ bản là một
hàm điều hòa f(t)=F sin(t + ) với F là biên độ tải,  là
tần số cưỡng bức và  là pha ban đầu. Trong nghiên cứu
của tác giả Fryba [16] đã đề xuất giới hạn tính phức tạp của
lực điều hịa bằng cách đơn giản hóa pha ban đầu  =0. Vì
khi tiến hành thực nghiệm, ta rất khó xác định được pha
ban đầu của hiện tượng điều hòa, nên nghiên cứu này đã
mở rộng cho trường hợp  biến thiên ngẫu nhiên có giá trị
từ 0 đến 2. Khi đó phương trình (11) trở thành:
F 
(20)
w(x, t) 
cos A( )  A( )  sin  B( )  B( )  (x)
l





j 1

1 


2



2

2

1

1 

1

2
j

  2   4 b2 2
2

 2 b s in  t 
B ( ) 



  2j   2  c os  t  e  b t cos  j t






b
 2j   2  e  t sin  dj t 
 dj

b

  2j   2
 2   b2   2  b t
e
sin  t  dj
sin  dj t


 dj

cos  rt  e  b t cos  dj t 

1
( 2j   2 ) 2  4 b2 2
 2 b



θ1
θ2
θ3

0.0015
0.0010

0.0005
0.0000
0

5

10

15

Tần số (Hz)
Hình 3: Phổ đáp ứng tại vị trí ½ của dầm bởi 1 tải điều hịa di
chuyển có pha ban đầu khác nhau

1   f  j , 1   f  j



0.0020

j

với
A ( ) 

PSD của chuyển vị

3. Đề xuất dạng phổ của tải lưu thông




Đáp ứng tại một vị trí xác định của dầm w(l/2,t) ứng
với các góc pha θ khác nhau được thể hiện trên hình 2.
Thấy rằng hình dạng đáp ứng theo thời gian sẽ bị ảnh
hưởng bởi góc pha của tải. Đối với bài tốn nhận dạng cơ
hệ thì sử dụng dạng đáp ứng trong miền thời gian sẽ gây ra
khó khăn trong việc xác định các thông số cơ bản của cơ
hệ bởi vì rất khó xác định sự thay đổi của đáp ứng là do cơ
hệ thay đổi hay do tải. Để khắc phục điều này nên chuyển
đáp ứng trong miền thời gian sang miền tần số thơng qua

Đối với cơng trình cầu một lúc có nhiều phương tiện
lưu thơng với tải trọng và vận tốc khác nhau nên sẽ tạo ra
một tập các giá trị biên độ biến thiên ngẫu nhiên trên tồn
miền tần số của phổ. Vì thế ta có thể mơ hình hóa tải lưu
thơng trên cầu thành xấp xỉ tổng các hàm lực biến thiên
điều hịa khơng những có biên độ Fk, tần số cưỡng bức k
khác nhau mà cịn có vận tốc di chuyển k khác nhau.
n

f ( x , t )    ( x  k t )Fk sin(k   k )

(21)

k 1

Thế hàm lực di chuyển (21) vào (7), ta có cơng thức tính
hàm lực suy rộng:
Q j (t ) 




1

i
1

i

n

   ( x   t ) F sin( t ) sin
l

k 1

k

0

k

k

j x
dx
l

n


 F sin( t )sin j
k 1

1
2 i

k

k

n

 F cos(
k 1

k

k

k

 j k )t  cos(k  j k )t 

(22)


Phạm Bảo Tồn và Ngơ Kiều Nhi
Vậy hàm lực suy rộng là một tập hợp vơ số hài có biên độ
khác nhau. Để khảo sát sự ảnh hưởng vận tốc của tải,
nghiên cứu này đã tiến hành mơ hình hóa phổ của lực suy

rộng SQ trong cơng thức (16) có dạng biên độ của hài tần
số biến thiên ngẫu nhiên theo quy luật phân bố chuẩn (Hình
4). Theo đó hàm mật độ phổ của đáp ứng dao động tương
ứng có dạng như trên hình 5.

cực trị có tần số trùng với tần số riêng của cơ hệ. Nhưng
với mơ hình tải di động ngẫu nhiên đề xuất thì trên hình
dạng phổ (Hình 5) xuất hiện nhiều cực trị kế cận nhau. Khi
khảo sát đáp ứng dao động của một nhịp cầu Sài Gịn thì
hình dạng phổ (Hình 6) cũng có dấu hiệu tương tự.

4. Mơ hình thí nghiệm
Mơ hình thí nghiệm được chế tạo tại Phịng thí
nghiệm Cơ học Ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Tp.
Hồ Chí Minh (Hình 7). Hệ thống bao gồm các thiết bị chủ
yếu: khung dầm thép (N1) có kích thước 0,92x0,1x0.005m,
tải di chuyển (N2) , hệ thống truyền động xe (N3) gồm máy
biến tần và động cơ, hệ thống đo (N4) gồm 4 cảm biến (K1,
K2, K3, K4) lắp đặt phân bố đều dọc trên dầm.

Hình 4: Phổ của các hàm lực ngẫu nhiên di động khác nhau

Hình 7: Phổ dao động của đáp ứng cơ hệ với các lực ngẫu nhiên
khác nhau

Hình 5: Phổ dao động của cơ hệ với các lực ngẫu nhiên khác
nhau

Hình 6: Phổ dao động của nhịp cầu Sài Gịn bởi tải lưu thơng


Ta thấy trong lý thuyết, hàm lực kích thích thường giả sử
là một hàm ngẫu nhiên dừng dạng nhiễu trắng với dạng
phổ có biên độ hằng tại tất cả các hài tần số. Nên trong đồ
thị phổ của đáp ứng sẽ chỉ xuất hiện những hài có biên độ

Mơ hình dầm [N1]: cấu tạo gồm có một tấm thép với
kích thước (dài 92 cm, rộng 10 cm và dày 0,5 cm) như một
dầm cầu thực. Dầm được đặt tựa trên hai gối đỡ như hình
5. Đầu tiếp xúc của dầm với gối đỡ ta có gắn thêm tấm đệm
có tác dụng giảm sự va đập của dầm và gối đỡ (tương tự
như miếng lót cao su nằm giữa nhịp và trụ cầu). Ngoài ra
trên khung, mỗi đầu ta thiết kế thêm 2 bệ đỡ gắn sát với
mỗi đầu dầm, mép trên của 2 bệ đỡ bằng với mép trên của
dầm. Hai bệ đỡ có tác dụng làm đầu vào và đầu ra cho tải
giúp mơ hình tải di động giống với thực tế hơn (tải di
chuyển từ bên ngoài tiến vào cầu và kết thúc là ra hồn
tồn khỏi cầu).
Mơ hình tải di động [N2]: cấu tạo từ một khối kim loại
phía bên dưới có lắp bánh xe và nối với hệ thống truyền
động [N3] bằng dây khơng giãn nhằm giúp tải có thể
chuyển động trên dầm. Để tạo được lực điều hòa với tần
số bất kỳ, ta gắn lên trên tải một động cơ có kết nối với
biến tần. Trên trục của động cơ có lắp thêm 1 khối lệch tâm
để tạo lực điều hòa. Khối lượng tổng cơng của tải là m=4,2
kg. Ngồi ra ta có thể thay đổi tốc độ quay của động cơ
bằng cách điều khiển biến tần để tạo ra lực biến thiên với
độ lớn và tần số kích thích khác nhau.


Một đề xuất dạng phổ của tải lưu thông trên cầu

Hệ thống truyền động cho tải [N3]: cấu tạo gồm 1
động cơ 3 pha, truyền động bằng đai và điều khiển bằng
biến tần. Hệ thống có tác dụng truyền động giúp cho tải
chuyển động trên dầm với tốc độ khác nhau.
Hệ thống đo [N4]: gồm 4 cảm biến gia tốc (K1, K2,
K3, K4) lắp đặt phân bố đều dọc trên dầm. Cảm biến K1
gần gối trái, K2 và K3 ở giữa dầm, K4 gần gối phải.
Bảng 1. Các thông số thí nghiệm

Tham số

Giá trị
7800
2x105
4,2


E
m

Đơn vị
Kg/m3
Mpa
kg

Trong nghiên cứu này, mục đích thí nghiệm là nhằm
mơ hình hóa q trình phương tiện lưu thông với vận tốc
khác nhau trên cầu. Theo Lee [17] vận tốc của tải υm (Bảng
2) trong mơ hình thí nghiệm được tính tốn dựa vào mối
quan hệ đồng dạng với tỉ lệ tần số góc vận tốc của phương

tiện (υr/lr) và tần số cơ bản r của cầu. Mơ hình cầu được
chọn ở đây là nhịp thép cầu Sài Gòn dài 267,45 m với tần
số cơ bản là 1,675 Hz. Một số vận tốc của tải trong mơ
hình thí nghiệm tương ứng với vận tốc của các phương tiện
lưu thơng thực tế được tính tốn (Bảng 2).

m / lm   r / lr 
m

Hình 8: Phổ dao động của đáp ứng tại vị trí K1 của dầm

(23)

r

Bảng 2: Các vận tốc tải
Vận tốc tải
υ1
υ2
υ3

Thực tế
25,2 km/h
33,6 km/h
42 km/h

Thí nghiệm
18,84 cm/s
25,12 cm/s
31,4 cm/s


Mục đích của thí nghiệm là khảo sát ảnh hưởng của
mơ hình tải di động với biên độ biến thiên và vận tốc khác
nhau. Để kiểm chứng giả thiết, ta chia điều kiện kích thích
thành hai nhóm ảnh hưởng khác nhau đến các mẫu tín hiệu
bao gồm: Vận tốc của xe, tần số cưỡng bức. Nghiên cứu
đã tiến hành lần lượt thay đổi 6 cấp tần số cưỡng bức trải
đều từ 10 Hz đến 15 Hz. Ứng với mỗi tần số cưỡng bức sẽ
cho tải di chuyển liên tục với 40 cấp vận tốc khác nhau từ
chậm đến nhanh (thấp nhất là 18,84 cm/s và cao nhất là
33,34 cm/s). Như vậy thu được 240 tín hiệu đáp ứng khác
nhau. Phân tích phổ của lần lượt 40 tín hiệu ngẫu nhiên
trong tập tín hiệu khảo sát. Sau đó lấy giá trị trung bình của
40 phổ tương ứng, ta được phổ đáp ứng của dầm chịu tác
dụng của các tải điều hòa và vận tốc tải khác nhau. Hình 8,
9,10,11 lần lượt thể hiện 6 phổ trung bình của 6 tập mẫu
(gồm 40 phổ) ngẫu nhiên từ tập hợp (240 phổ) tín hiệu
khảo sát được. Ta thấy trên hình dạng phổ của dầm có 2
vùng tần số ứng với 2 dao động riêng của dầm. Trên mỗi
vùng tần số (dao động riêng thứ j) thì đều tồn tại nhiều đỉnh
cực trị xung quanh giá trị tần số riêng của dạng dao động
riêng tương ứng. Vậy chứng tỏ với tải lưu thơng ngẫu nhiên
thì ln xuất hiện cùng lúc các đỉnh cực trị xung quanh giá
trị tần số riêng của kết cấu.

Hình 9: Phổ dao động của đáp ứng tại vị trí K2 của dầm

Hình 10: Phổ dao động của đáp ứng tại vị trí K3 của dầm



Phạm Bảo Tồn và Ngơ Kiều Nhi
[6] N. Haritos, and E. Abu-Aisheh. Dynamic testing
techniques for structural identification of bridges. In
Proceedings of the Australasian Structural Engineering
Conference, Auckland, pp. 117-124,1998.
[7] Z. Zhang. Error study of bridge tests for the purpose of
structure identification. In Proceedings of the 12th
International

Modal

Analysis

Conference

(IMAC),

Honolulu, USA, pp. 433-441, 1994.
[8] F. Magalhães, Á. Cunha, E. Caetano, R. Brincker.
Damping estimation using free decays and ambient
vibration tests. Mechanical Systems and Signal Processing,
Vol. 24, pp. 1274–1290, 2010.
[9] Q.W. Zhang. Statistical damage identification for bridges
using ambient vibration data. Computers and Structures,
Vol. 85, pp. 476–485, 2007.
Hình 11: Phổ dao động của đáp ứng tại vị trí K4 của dầm

[10] J.M. Ko, Y.Q. Ni, J.Y. Wang, Z.G. Sun and X.T. Zhou,
Studies of vibration-based damage detection of three cablesupported bridges in Hong Kong. Civil Engineering in the


5. Kết luận

21st Century, Beijing, pp. 105–112, 2000.

Bài báo đã trình bày một đề xuất mới nhằm mơ hình
hóa tải lưu thơng trên cầu trong miền tần số bằng cách sử
dụng hàm mật độ phổ có biên độ ngẫu nhiên. Kết quả lý
thuyết và thí nghiệm đều cho kết quả khá tương đồng với
thực nghiệm trên kết cấu cầu thực. Điều này chứng tỏ mơ
hình đề xuất của nhóm tác giả hợp lý. Từ đó giúp cho các
nghiên cứu lý thuyết sau này về vấn đề dao động của kết
cấu cầu bởi tải lưu thông ngẫu nhiên thực.

[11] L. D. Lutes, S. Sarkan. Random Vibrations: Analysis of
Structural

and

Mechanical

Systems.

Butterworth-

Heinemann, 2003.
[12] L. Fryba, Non-stationary response of a beam to a moving
random force, Journal of Sound and Vibration, Vol 46,
323–338, 1976.
[13] H. S. Zibdeh, Stochastic vibration of an elastic beam
due to random moving loads and deterministic


Tài liệu tham khảo
[1] W. X. Ren, Z. H. Zong. Output-only modal parameter
identification of civil engineering structures. Structural
Engineering and Mechanics, 17, (3-4), (2003),pp. 429–
444.
[2] D. Zonta and C. Modena. Observations on the Appearance
of Dispersive Phenomena in Damaged Structures. Journal
of Sound and Vibration, 241, (5), (2001), pp. 925-933.
[3] N. K. Nhi, P. B. Toan, A study on damage detection of
beam using free decays vibration tests, In Proceedings of
the Sixth Viet Nam Conference on Mechatronics, Ha Noi Viet Nam (December, 2012), pp. 124-132..
[4] N. N. Hai, P. B. Toan. Damage condition assessment of
beam structure based on wavelet analysis and power
spectrum of its measured free decay response. In
Proceedings of the Seventh Viet Nam Conference on
Mechatronics, Bien Hoa - Viet Nam (November, 2014), pp.
562-569.
[5] C. R.. Farrar, P. J. Cornwell, S.W. Doebling, and M. B.
Prime. Structural health monitoring studies of the Alamosa
Canyon

and

I-40

Bridge.

Los


Alamos

National

Laboratory Report LA-13635-MS, New Mexico, U.S.A, ,
2000.

axial

forces, Engineering Structures, Vol 17, No. 7, pp. 530-535,
1995.
[14] P. Sniady, S. Biernat, R. Sieniawska and S. Zukowski,
Vibrations of the beam due to a load moving with
stochastic velocity, Probabilistic Engineering Mechanics
16 (2001), 53–59.
[15] M. Abu-Hilal, Vibration of beams with general boundary
conditions due to a moving random load, Archive of
Applied Mechanics Vol. 72, pp. 637–650, 2003.
[16] L. Fryba. Vibration of Solids and Structures Under

Moving Loads, Third ed., Thomas Telford, London,
1999.
[17] J. W. Lee, J. D. Kim, C. B. Yun , J. H. Yi and J. M. Shim,
Health-monitoring method for bridges under ordinary
traffic loadings, Journal of Sound and Vibration, vol. 257,
no. 2, pp. 247-264, 2002.