LỜI NÓI ĐẦU
Khởi đầu trong lịch sử, đại số tuyến tính gắn liền với việc giải các phương trình tuyến tính. Để nghiên cứu
sâu sắc hơn cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, người ta đã xây
dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian vectơ ,ánh xạ tuyến tính.
Ngày nay, đại số tuyến tính được ứng dụng vào rất nhiều lĩnh vực khác nhau từ giải tích, hình học vi phân,
lí thuyết biểu diễn nhóm tới cơ học, vật lý,kỹ thuật,kinh tế… Vì vậy,nó đã trở thành một môn học cơ sở cho việc
đào tạo cử nhân, kỹ sư thuộc các ngành khoa học tự nhiên và công nghệ,kỹ thuật và kinh tế trong tất cả các
trường đại học trên thế giới.
Đối tượng phục vụ của bài báo cáo là sinh viên các ngành kinh tế và quản trị kinh doanh, những người sử
dụng toán học như là “Phương tiện” để tìm hiểu và phân tích các vấn đề của kinh tế và quản trị kinh doanh.Vì vậy
bài báo cáo khơng đi sâu vào việc trình bày các chứng minh mà tập trung vào việc giới thiệu ý nghĩa của các khái
niệm và các kết quả liên quan đến việc tìm hiểu và phân tích vấn đề kinh tế. Tuy nhiên, bài báo cáo cũng rất chú
trọng đến việc đảm bảo tính logic của tốn học và rèn luyện các kỹ năng “thực hành” Để giải các ví dụ, bài tập cụ
thể.
Tuy đã cố gắng trong quá trình biên soạn laị những gì mà tơi học được ở học phần tốn A1 (Đại số tuyến
tính). Nhưng sai sót là điều khó có thể tránh khỏi. Rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của thầy cơ giáo và
các bạn sinh viên giúp cho bài báo cáo hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

Người làm báo cáo
SV. Nguyễn Thị Trâm Anh

Đại số tuyến tính 1

1


Chương 1: TẬP HỢP – ÁNH XẠ - QUAN HỆ - SỐ PHỨC
Bài 1: Khái niệm về tập hợp, tập hợp con, các phép toán trên tập hợp
__________________________________________________________

1. Tập hợp:
1.1 Khái niệm:
Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa, mà được hiểu một cách trực
giác như sau: “Một tập hợp là một sự quần tụ các đối tượng có cùng thuộc tính nào đó; những
đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp đó.
Ví dụ:
- Tập hợp các sinh viên của một trường đại học.
- Tập hợp các số nguyên tố.
Ta thường ký hiệu tập hợp bởi chữ cái viết hoa như A, B, C,…, X, Y, Z, … và các phần tử của
tập hợp thường được ký hiệu bởi một chữ cái viết thường a, b, x, y.
Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết a ∈ A và đọc là “a thuộc A”. Nếu b không phải là
phần tử của A thì ta ký hiệu b ∉ A và đọc là “b khơng thuộc A”.
Ví dụ:
- ¥ là tập hợp các số tự nhiên
- ¢ là tập hợp các số nguyên
- ¡ là tập hợp các số thực
- ¤ là tập hợp các số hữu tỉ
- S = {1; 2;3} là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 4.
- Tập rỗng là tập hợp khơng có phần tử nào.
Ký hiệu: ∅ .
Ví dụ: tập hợp các số thực mà bình phương của số đó bằng – 1 là tập rỗng.
1.2 Cách xác định một tập hợp:
Một tập hợp có thể được xác định bằng các cách như:
- Phương pháp liệt kê: Một tập hợp có thể xác định bằng cách liệt kê ra hết các phần tử
thuộc tập hợp đó. Phương pháp này chỉ dùng đối với tập hợp hữu hạn.
Ví dụ: A = {1; 3; 4; 5; 7}
- Phương pháp chỉ ra thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp có thể nhận biết bằng cách chỉ ra
thuộc tính của đối tượng và dựa vào thuộc tính này ta có thể biết phần tử nào đó có thuộc tập
hợp này hay khơng.
Ví dụ: B = {M | OM = r} là tập hợp các điểm nằm trên mặt cầu tâm O bán kính r.

C = {n ∈ ¥ | n M3} là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3.
1.3 Sự bằng nhau của hai tập hợp:
Định nghĩa: Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mọi phần tử của A
đều là phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B đều là phần tử của A. Khi đó ta viết A = B.
Từ định nghĩa muốn chứng minh A = B phải chứng minh các điều sau:
- Nếu x ∈ A thì x ∈ B
Đại số tuyến tính 1

2


- Nếu x ∈ B thì x ∈ A
2. Tập hợp con:
2.1 Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của
tập hợp B thì khi đó ta nói tập A chứa trong B, hay tập A là tập hợp con của tập hợp B.
Ký hiệu: A ⊂ B
Vớ d:
- ÂÔ Ă
- Tp hp {1; 3} l tp hợp con của tập hợp {1; 2; 3}
- Tập hợp các tam giác đều là tập hợp con của tập hợp các tam giác.
2.2 Tính chất:
- Với mọi tập hợp A thì A ⊂ A ;
- Với mọi tập hợp A thì ∅ ⊂ A ;
- Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C (tính chất bắc cầu);
- Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B .
2.3 Tập các tập con của một tập hợp
Cho A là một tập hợp, ký hiệu P( A) là tập các tập con của tập A.
Nếu A có n phần tử thì P(A) sẽ có 2n phần tử.
Ví dụ: A = {a} khi P( A) = {∅, a}
A = {a, b, c} thì P( A) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}

3. Các phép toán trên tập hợp
3.1 Hợp của các tập hợp
3.1.1 Định nghĩa: Cho A và B là hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc ít
nhất một trong hai tập A, B là hợp của hai tập A, B.
A
Ký hiệu: C = A ∪ B hoặc A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}
Biểu đồ Venn:
A

B

Ví dụ: Nếu định nghĩa A, B, C là các tập như sau: A = {x | f ( x) = 0} và B = {x | g ( x) = 0} thì
C = {x | f ( x ).g ( x) = 0} . Khi đó C = A ∪ B
3.1.2 Định lý: Với A, B, C là các tập nào đó khi đó
i)
Nếu B ⊂ A thì A ∪ B = A ;
ii) Với mọi tập hợp A thì A ∪ ∅ = A và A ∪ A = A ;
iii) A ∪ B = B ∪ A ;
iv) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C .
3.2 Giao của các tập hợp
3.2.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc cả hai tập
hợp A, B là giao của
hai tập hợp A, B.
A
C = A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}
Ký hiệu:
Biểu đồ Venn:
A
Đại số tuyến tính 1


B

3


3.2.2 Định lý: Với A, B, C là các tập hợp tùy ý thì ta có các khẳng định sau:
i) Nếu B ⊂ A thì A ∩ B = B . Với mọi tập hợp A thì A ∩ ∅ = ∅ và A ∩ A = A ;
ii) A ∩ B = B ∩ A ;
iii) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) .
3.2.3 Định lý: Cho A, B, C là các tập tùy ý khi đó:
i) A ∩ ( A ∪ B) = A ;
ii) ( A ∩ B) ∪ B = B ;
iii) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ;
iv) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) .
3.3 Hiệu của hai tập hợp
3.3.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc A và
không thuộc B là hiệu của tập A và tập B.
Ký hiệu: C = A\B hoặc A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}
Biểu đồ Venn:

A\ B

A

B

3.3.2 Định lý: Với A, B, C, D là các tập nào đó, khi đó:
1. A \ B = ∅ khi và chỉ khi A ⊂ B ;
2. Với A, B bất kỳ thì A \ B ⊂ A ;
3. Nếu A ⊂ B và D ⊂ C thì A \ C ⊂ B \ D ;

4. Nếu A ⊂ B thì với tập C bất kỳ ta có C \ B ⊂ C \ A .
3.4 Phần bù
Nếu B ⊂ A thì A\B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu C A ( B) hay
C A ( B) = {x ∈ A | x ∉ B} .
Thực chất phần bù C A ( B) là hiệu A\B với điều kiện B ⊂ A nên mọi tính chất liên quan đến
phần bù được suy ra từ tính chất của phép hiệu A\B.
3.4.1 Định lý: Với các tập A, B, C tùy ý ta có
- A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B) ∩ ( A \ C ) ;
A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C ) .
-

Công thức đối ngẫu De Morgan
Đại số tuyến tính 1

4


-

C A (U Bi ) = I (C A ( Bi )) ;

-

C A (I Bi ) = U(C A ( Bi )) .

i

i

i


i

Ta có thể phát biểu phần bù của hợp bằng giao các phần bù, phần bù của giao bằng hợp các
phần bù.
3.5 Hiệu đối xứng của A và B:
Ký hiệu: A∆ B = ( A \ B) ∪ ( B \ A)
Biểu đồ Venn:

A\ B

A

B

3.6 Tích Descartes của các tập hợp
Giả sử a và b là hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng này ta thành lập đối tượng thứ ba
ký hiệu (a; b) và gọi là cặp (a; b). Hai cặp (a; b) và (c; d) được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
a = c và b = d. Nếu a ≠ b thì cặp (a; b) và (b; a) được coi là khác nhau.
3.6.1 Định nghĩa: Tích Descartes của n tập hợp A1 , A2 ,..., An là tập hợp gồm tất cả các dãy sắp
thứ tự (a1 ; a2 ;...; an ) trong đó a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 ,..., an ∈ An .
Ta ký hiệu tích Descartes trên là A1 × A2 × ... × An . Nếu A1 = A2 = ... = An thì tích Descartes của
chúng được ký hiệu là An .
3.6.2 Ví dụ: Cho A1 = {a; b} , A2 = {c; d }, A3 = {1; 2} . Khi đó:
A1 × A2 × A3 = {(a; c;1), (a; d ;1), (a; c; 2), ( a; d ; 2), (b; c;1), (b; c; 2), (b; d ;1), (b; d ; 2)}

3.6.3 Nhận xét: A × B = ∅ khi và chỉ khi A = ∅ hoặc B = ∅ .
Nếu A × B ≠ ∅ thì A '× B ' ⊂ A × B khi và chỉ khi A ' ⊂ A và B ' ⊂ B .

Bài 2: Khái niệm cơ bản về ánh xạ - Các ánh xạ đặc biệt

Đại số tuyến tính 1

5


______________________________________________________
1. Ánh xạ:
1.1 Khái niệm:
Cho hai tập hợp X và Y. Một quy tắc tương ứng f mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ một phần
tử y ∈ Y được gọi là ánh xạ từ tập X vào tập Y.
f
Ký hiệu: f : X → Y hoặc X 
→Y .
Phần tử y ∈ Y , tương ứng với phần tử x ∈ X qua ánh xạ f, khi đó, x được gọi là tạo ảnh của y
và y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f.
Ngoài ra, X được gọi là tập nguồn (miền xác định), Y cịn được gọi là tập đích (miền giá trị)
của ánh xạ f.
1.2 Ví dụ:
- Hàm số y = x – 1 là ánh xạ từ tập số thực ¡ vào ¡
- Hàm số y = lg x là ánh xạ từ ¡ + vào ¡
- Phép tương ứng mỗi số x ∈ ¡ + với một số y ∈ ¡ sao cho x = y 2 không là ánh xạ vì với một
giá trị x > 0 ta sẽ có hai giá trị của y là: y = x và y = − x đều tương ứng với x.
-

Phép tương ứng f : ¡ → ¡ sao cho f ( x) =

1
khơng phải là ánh xạ vì với x = −1∈ ¡ thì
x +1


khơng có y ∈ ¡ tương ứng với x đã cho.
1.3 Định nghĩa: Bộ phận A của tập X được gọi là ổn định đối với ánh xạ f với
f : X → Y ⇔ ∀a ∈ A, f ( a) ∈ A .
1.4 Ánh xạ bằng nhau:
Định nghĩa:
Cho f và g là hai ánh xạ từ X vào Y. Ánh xạ f được gọi là bằng ánh xạ g nếu f(x) = g(x) với
mọi x ∈ X .
Nếu với mọi x ∈ X đều có f ( x) = a với a là một phần tử xác định của Y, thì ta nói f là một
ánh xạ không đổi, hay ánh xạ hằng số.
Nếu X = Y và f ( x) = x, với mọi x ∈ X thì f được gọi là ánh xạ đồng nhất của X. Ký hiệu 1X .
Nhận xét: Hai ánh xạ f và g là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chung tập nguồn và chung
tập đích và ∀x ∈ X , f ( x) = g ( x) .
2. Ảnh và tạo ảnh:
2.1 Ảnh của một tập hợp:
a) Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X → Y và A là một tập con của X. Tập con của Y gồm ảnh của
tất cả các phần tử của A được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f.
Ký hiệu: f(A). Hay, f ( A) = { f ( x) | x ∈ A} .
Khi đó, y ∈ f ( A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f ( x) .
b) Định lý: Cho ánh xạ f : X → Y . Với hai tập con tùy ý A và B của X ta có:
f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B ) và f ( A ∩ B) ⊂ f ( A) ∩ f ( B) .
(Sinh viên tự chứng minh như bài tập.)
2.2 Tạo ảnh của một tập hợp:

Đại số tuyến tính 1

6


a) Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X → Y và U là một tập con tùy ý của Y. Tập con của X gồm
các phần tử x ∈ X sao cho f ( x) ∈ U được gọi là tạo ảnh toàn phần của U qua ánh xạ f .

Ký hiệu: f −1 (U ) . Khi đó, f −1 (U ) = {x ∈ X | f ( x) ∈ U } và x ∈ f −1 (U ) ⇔ f ( x ) ∈ U .
b) Định lý: Cho ánh xạ f : X → Y . Với hai tập con bất kỳ A, B của Y thì
-

f −1 ( A ∪ B ) = f −1 ( A) ∪ f −1 ( B ) ;

-

f −1 ( A ∩ B ) = f −1 ( A) ∩ f −1 ( B ) .

(Sinh viên tự chứng minh như bài tập nhỏ).
3. Các loại ánh xạ đặc biệt
3.1 Đơn ánh:
3.1.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X → Y được gọi là một đơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau
x1 và x2 bất kỳ của X thì f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Nói cách khác, f là một đơn ánh nếu mọi phần tử của tập
đích chỉ có tối đa một tạo ảnh trong tập nguồn.
Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một đơn ánh ta chứng minh:
∀x1 , x2 ∈ X , x1 ≠ x2 thì f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) .
Hoặc ∀x1 , x2 ∈ X , f ( x1 ) = f ( x2 ) thì x1 = x2 .
3.1.2 Ví dụ:
Ánh xạ f : ¡ → ¡ xác định bởi f ( x) = x 2 không là đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 1.
Ánh xạ f : Ơ Ô xỏc nh bi f (n) =
n thỡ

1
l một đơn ánh vì với hai số tự nhiên khác nhau m,
n

1 1
≠ .

n m

Nếu A ⊂ E , ánh xạ nhúng chính tắc

iA : A → E
xa x

là một đơn ánh được gọi là đơn ánh chính tắc

từ A vào E.
3.2 Toàn ánh:
3.2.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X → Y được gọi là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nói cách khác
f : X → Y là toàn ánh nếu với mọi y ∈ Y đều tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y.
Toàn ánh f : X → Y còn được gọi là ánh xạ toàn ánh từ X lên Y.
Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một tồn ánh thì ta cần chứng minh ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X sao
cho f(x) = y.
Nhận xét:
Nói cách khác một ánh xạ f : X → Y là toàn ánh khi và chỉ khi mọi phần tử của Y có ít nhất
một tạo ảnh trong X.
3.2.2 Ví dụ:
Ánh xạ f : ¡ → ¡ xác định bởi công thức f ( x) = cos x khơng là tồn ánh vì tồn tại số 2 ∈ ¡
mà khơng có x ∈ ¡ để cos x = 2 . Tuy nhiên nếu xét ánh xạ g từ tập số thực ¡ vào đoạn [-1, 1] thì
g là tồn ánh.

3.3 Song ánh
Đại số tuyến tính 1

7



3.3.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X → Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn
ánh.
Để chứng minh một ánh xạ f là song ánh thì ta phải chứng minh f là đơn ánh và f là toàn ánh,
hoặc chứng minh rằng ∀y ∈ Y tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f ( x) = y .
3.3.2 Ví dụ:
Ánh xạ đồng nhất 1X : X → X là một song ánh.
Ánh xạ

f :¡ → ¡
x a x2

không là song ánh vì nó khơng phải là tồn ánh (cũng khơng là đơn ánh).

Nhận xét: Một ánh xạ bất kỳ từ E vào E gọi là một hốn vị của E.
Ví dụ:
Cho

f :¥ → ¥
x a 2x

và
g :¥ → ¥
y

y a 2
 y −1
 2

Nếu y chẵn
Nếu y lẻ


Khi đó f là đơn ánh khơng là tồn ánh. g là tồn ánh khơng là đơn ánh.
(Sinh viên tự kiểm tra.)
3.4 Tích các ánh xạ:
3.4.1 Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z . Ánh xạ

h: X → Z
được gọi
x a g ( f ( x))

là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g. Ký hiệu h = g o f hay h = gf.
Nhận xét: Theo định nghĩa ta chỉ xác định được tích gf khi tập đích của f chứa trong tập
nguồn của g.
Nếu f : X → X và g : X → X thì ta có thể xác định được tích fg và tích gf, tuy nhiên gf có thể
khác với fg, hay tích của hai ánh xạ khơng giao hốn.
Ví dụ:
Nếu f và g là hai ví dụ cho ở trên thì g o f = Id N nhưng
f og : ¥ → ¥
x
xa 
x −1

Nếu y chẵn
Nếu y lẻ

3.4.2 Định lý: Cho f : X → Y , g : Y → T và h : T → U thì h(gf)=(hg)f.
3.4.3 Định lý: Giả sử f : X → Y và g : Y → T là hai ánh xạ và h = gf : X → T . Khi đó:
a) Nếu f, g là các đơn ánh thì h là đơn ánh;
b) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh;
c) Nếu h là đơn ánh và f là tồn ánh thì g là đơn ánh;

d) Nếu f, g là tồn ánh thì h là tồn ánh;
e) Nếu h là tồn ánh thì g là tồn ánh;
Đại số tuyến tính 1

8


f) Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì f là tồn ánh.
3.4.4 Hệ quả: Giả sử f : X → Y và g : Y → T là các song ánh thì gf cũng là song ánh.
3.5 Ánh xạ ngược
3.5.1 Định nghĩa: Giả sử f : X → Y và g : Y → X là hai ánh xạ thỏa: gf = 1X và fg = 1Y thì khi
đó g được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f.
Ví dụ: Ánh xạ

f :¡ → ¡
x a x3

có ánh xạ ngược

f −1 : ¡ → ¡
ya

3

y

Trong trường hợp các hàm, khái niệm ánh xạ ngược chính là khái niệm hàm số ngược.
3.5.2 Định lý: Ánh xạ f : X → Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh. Nếu f là song
ánh thì f −1 cũng là song ánh.
3.5.3 Định lý: IÁnh xạ ngược của một ánh xạ là duy nhất.

3.5.4 Định lý: Nếu f : E → F và g : F → G là những song ánh, thì g o f : E → G là song ánh
−1
và ( g o f ) = f −1 og −1
3.6 Thu hẹp và thác triển (hoặc mở rộng) ánh xạ:
3.6.1 Thu hẹp ánh xạ:
Cho X và Y là hai tập hợp và f : X → Y là một ánh xạ, gọi A là một tập con của X. Khi đó
thu hẹp của f vào A là ánh xạ ký hiệu là f | A xác định bởi:
f |A: A → Y
x a f ( x)

3.6.2 Thác triển (mở rộng) ánh xạ:
Cho X và Y là hai tập hợp và f : X → Y là một ánh xạ, X’ là tập hợp sao cho X ⊂ X ' . Khi đó,
mở rộng của f trên X’ là ánh xạ g : X ' → Y sao cho ∀x ∈ X , g ( x ) = f ( x) .
Ví du:
f :¡ * →¡
sin x
xa
x
g :¡ → ¡

Khi đó, ánh xạ g là một mở rộng của f được xác định bởi:

 sin x

xa  x
1

x≠0
x=0


Nhận xét: g là mở rộng duy nhất của f và liên tục tại 0.

Tóm tắt chương:
Đại số tuyến tính 1

9


Chương này giới thiệu một số kiến thức nền tảng của Toán học bao gồm: Khái niệm tập hợp,
ánh xạ, quan hệ, một số nội dung về phép thế và số phức. Sinh viên cần tham khảo thêm phụ lục
1, giới thiệu một số nội dung cơ bản của logic toán nhằm bước đầu làm quen với cấu trúc các
mệnh đề toán học và một số phương pháp chứng minh một mệnh đề toán học. Đây là những nội
dung cơ bản để học tốt các mảng kiến thức sau này.
Khi học xong chương này, sinh viên phải trả lời được các câu hỏi sau:
1. Tập hợp là gì? Có những cách nào để xác định một tập hợp? Chứng minh tập con và
chứng minh hai tập bằng nhau như thế nào?
2. Ánh xạ là gì? Cách chứng minh một phép tương ứng là ánh xạ? Muốn chứng minh một
ánh xạ là đơn ánh, toàn ánh, song ánh như thế nào?

Bài tập:
A. Về tập hợp
1. Chứng minh với mọi tập A, B, C ta ln có:
a) A \ ( A \ B) = A ∩ B ;
b) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B) \ ( A ∩ C ) ;
c) ( A \ B) ∪ ( A \ C ) = A \ ( B ∩ C ) ;
d) ( A \ B) ∪ ( B \ A) = ( A ∪ B) \ ( A ∩ B);
e) A ∩ ( B \ A) = ∅
f) A \ B = A \ ( A ∩ B) = ( A ∪ B ) \ B
2. Các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
a) A \ ∅ = A ;

b) ( A \ B) \ C = A \ ( B \ C );
c) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B ) \ ( A ∩ C ) .
3. Chứng minh rằng:
a) ( A ∩ B) × (C ∩ D) = ( A × C ) ∩ ( B × D) ;
b) A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C )
c) A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C )
d) A × ( B \ C ) = ( A × B) \ ( A × C )
e) ( A × C ) ∩ ( B × D) = ( A ∩ B) × (C ∩ D)
4. Tích Descartes có tính chất kết hợp khơng? Vì sao?
5. Giả sử X là tập có n phần tử và r là số tự nhiên khác khơng bé hơn bằng n. Tính
a) Số các tập con của X gồm r phần tử;
b) Số các phần tử của P(X).
B. Về phép thế
1. Tìm tất cả các phép thế của mỗi tập sau và xác định dấu của mỗi phép thế:
a) X 3 = {1, 2,3}

Đại số tuyến tính 1

10


b) X 4 = {1, 2,3, 4}
2. Cho các phép thế sau:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
ữ ii) à = 
÷ iii) ω = 
÷
6 5 4 3 2 1

 4 1 3 6 5 2
3 4 1 2 6 5

i) σ = 

a) Với mỗi phép thế trên hãy xác định dấu của nó, tìm phép thế nghịch đảo và dấu của
phép thế nghịch đảo đó.
b) Tính σµ và ϖµ
3. Chứng minh rằng:
a) Mỗi phép thế bậc n (n>1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (k, k+1)
trong đó 1 ≤ k < n .
b) Mỗi phép thế bậc n (n>1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (1, k)
trong đó 1 < k ≤ n .
4. Chứng minh rằng mỗi phép thế chẵn đều có thể phân tích thành tích các vịng xích độ dài
3.
5. Xác định dấu của các phép thế sau:
 1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4 5

a) 
c) 
÷ b) 
÷
÷
 2 3 1
3 2 4 1
 2 1 5 3 4

6. Tính σπ , πσ , σ 2 , π 2 , σπ −1 trong các trường hợp sau:
1 2 3 4 5

 1 2 3 4 5

d) 
÷
 4 3 2 5 1

1 2 3 4 5

a) σ = 
÷, π = 
÷
2 1 5 3 4
3 5 2 4 1
1 2 3 4
1 2 3 4
÷, π = 
÷
3 4 2 1
 4 1 2 3

b) σ = 

7. Tìm số nghịch thế của phép thế sau, từ đó suy ra đâu là phép thế chẵn, đâu là phép thế lẻ:
1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 


1

2

... n 

a) 
b) 
c) 
÷
÷
÷
5 3 2 4 1
1 9 6 3 2 5 4 7 8 
 n n − 1 ... 1 
8. Cho π là một phép thế thuộc Sn , chứng minh rằng sign(π ) = s ign(π −1 )
C. Về quan hệ
1. Cho X là tập các điểm trong không gian và O là một điểm cố định của X. Trong X ta xác
định quan hệ R như sau:
PRP’ khi và chỉ khi O, P, P’ thẳng hàng.
a/ R có phải là quan hệ tương đương trong X hay khơng?
b/ R có phải là quan hệ tương đương trong X\{O} hay không?
2. Trong tập các số nguyên ¢ xác định các quan hệ R và T như sau:
a R b khi và chỉ khi a + b lẻ
a T b khi và chỉ khi a + b chẵn.
Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì?
3. Cho tập X ≠ 0 . Trên tập P( X ) các tập con của X xác định các quan hệ P, Q, R, S như sau:

Đại số tuyến tính 1


11


APB
AQB
ARB
ASB

⇔ A∪ B = A
⇔ A\B = A
⇔ A∪B
⇔ A ∩ B=∅

Hãy xét xem những quan hệ trên có những tính chất gì?
4. Trên tập số thực ¡ cho quan hệ T như sau: aTb nếu a 2 = b 2
Chứng minh T là một quan hệ tương đương.
E. Về ánh xạ
1. Trong các ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Trong trường
hợp song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược.
a. X = ¡ , Y = (0, π ), f ( x) = arc cot x
b. X = [1; 2], Y = [1, 7], f ( x) = x 2 + 3x − 3
c. X = Y = ¡ , f ( x ) = 3 x − 4 | x |;
x2
;
1 + x2 + x4
1+ x 
e. X = (-1; 0) Y = ¡ , f ( x) = ln 
÷.
1− x 


d. X = ¡ , Y = [0;5], f ( x) =

2. Đưa ra ví dụ về ánh xạ f, g sao cho
a. gf tồn tại nhưng fg không tồn tại
b. gf và fg đều tồn tại nhưng khác nhau.
3. Cho f : X → Y là ánh xạ, A và B là các tập con của X, C và D là các tập con của Y. Chứng
minh:
a. f ( A ∪ B ) = f ( A) ∪ f ( B );
b. f ( A ∩ B ) ⊂ f ( A) ∩ f ( B );
c. f −1 (C ∪ D) = f −1 (C ) ∪ f −1 ( D);
d. f −1 (C ∩ D) = f −1 (C ) ∩ f −1 ( D);
e. f ( X \ A) ⊃ f ( X ) \ f ( A);
f. f −1 (Y \ C ) = X \ f −1 (C ).

4. Cho ánh xạ f : A → B . Chứng minh:
a) f là đơn ánh khi và chỉ khi với mọi tập hợp X và với mọi cặp ánh xạ
g : X → A, g ' : X → A thì
fg = fg’suy ra g = g’.
b) f là toàn ánh khi và chỉ khi với mọi tập hợp Y và với mọi cặp ánh xạ
h : B → Y ; h ' : B → Y thì hf = h ' f suy ra h = h’.
5. Giả sử f : X → Y là ánh xạ và A ⊂ X ; B ⊂ Y . Chứng minh:
a) f −1 ( f ( A)) ⊃ A và f ( f −1 ( B )) ⊂ B ;
b) f −1 ( f ( A)) = A , với mọi A ⊂ X khi và chỉ khi f là đơn ánh.
c) f ( f −1 ( B)) = B , với mọi B ⊂ Y khi và chỉ khi f là toàn ánh.

Đại số tuyến tính 1

12



6. Cho ánh xạ

f :¡ → ¡
x a x2

. Hãy tìm:

a) Ảnh của các đoạn [-1, 1]; (-2; 1]
b) Tạo ảnh của các đoạn [-1, 1], [1, ∞ )
7. Cho ánh xạ f : ¡ → ¡ bởi f ( x) = x 3 − 24 x + 2
a) Xác định f ( ¡ ) ;
b) Cho A = [-1; 1], xác định f −1 ( A) .
8. Cho hai ánh xạ f : A → C và g : B → D . Gọi h là ánh xạ thỏa:
h : A× B → C × D
h(a; b) = ( f (a ); g (b)), ∀(a, b) ∈ A × B

Chứng minh rằng:
a. Nếu f,g là đơn ánh thì h là đơn ánh;
b. Nếu f, g là tồn ánh thì h là toàn ánh;
c. Các mệnh đề đảo của hai mệnh đề trên có đúng khơng?
9. Giả sử X ∆ là tập hợp các tam giác, X 0 là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng.
a) Quy tắc cho tương ứng mỗi tam giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó có phải là
ánh xạ từ X ∆ đến X 0 không? Tại sao?
b) Quy tắc cho tương ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp trong nó có phải là ánh xạ
0
từ X đến X ∆ khơng? Tại sao?
F. Số phức
1. Tính các biểu thức sau:
a. (2 + i)(3 − i ) + (3 + 2i)(4 + i);
(5 + i)(7 − 6i )

b.
;
3+i
c. (2 + i)3 + (2 − i )3 ;
d.

(1 + i )5
(1 − i )3

e. i n , n ∈ ¢.

2. Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình sau:
a. (2 + i ) x + (1 + 2i) y = 1 − 4i;
b. (3 + 2i) x + (1 + 3i ) y = 4 − 9i.
3. Tìm dạng lượng giác của số phức sau:
a. 5;
b. – 2;
c. -3i;
d. 1 + i;
e. 1 – i;

Đại số tuyến tính 1

13


f. 3 − i;

(


)

g. 1 − 2 + 3 i.

4. Biến đổi về dạng lượng giác để tính các biểu thức sau:
a) (1 + i )1000 ;
b) (1 + i 3)150 ;
c) ( 3 + i )30 ;
24


3 i
d)  1 +
+ ÷
2 2÷


12

 1− i 3 
e) 
÷
÷
 1+ i 

5. Tính các giá trị sau theo cos α và sin α
a) cos 5α
b) sin 7α
c) cos nα và sin nα
6. Hãy giải các phương trình sau trên £

a. x 2 = i;
b. x 2 = 3 − 4i;
c. x 2 = −12i;
d. x 2 − 5 x + 4 + 10i = 0;
e. x 2 + (2i + 7) x + 13 − i = 0.

7. Viết dưới dạng lượng giác những phần tử của tập hợp sau:
a. 6 i ;
b. 8 8 2(1 − i );
c. 3 1;
d . 4 −4;

e. 3 1 + i ;
f.
g.

3

3

2 − 2i
8 + 24i
3−i

h. 4 −72(1 − i 3)
8. Biểu diễn trên mặt phẳng phức các tập hợp sau:
a. {z | z |= 3};
b. {z | z − 1 + i |≤ 2};

Đại số tuyến tính 1


3


c.  z 1 ≤| z |< 2, π ≤ arg(z) ≤ π 
4


d. { z | z − 1|≤ 1,| z − 1 − i |< 1}

14


Chương 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Bài 1: Khái niệm ma trận và các phép toán trên ma trận
______________________________________________________
1. Ma trận:
1.1 Định nghĩa:
Ma trận m × n là một bảng số hình chữ nhật gồm m dịng, n cột (m,n là
các số nguyên dương
Hay viết gọn là A = (aij )m×n hoặc A = [aij ]m×n trong đó i = 1, m chỉ số dòng và j = 1, n
chỉ số cột của phần tử.
Hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bij )m×n được gọi là bằng nhau nếu aij = bij với mọi
i = 1, m và j = 1, n .
Ví dụ: Ma trận

1 2 3 
1 2 3 



A=
 ; B = 4 5 6 
4
5
6

 2x3
7 8 9  3 x 3

1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt:
1.2.1 Ma trận vuông:
Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có
khái niệm ma trận vng. Ký hiệu tập các ma trận vuông là M(n; K), với n là
cấp của ma trận vuông.
A=

 a11 a12
a
 21 a22
 M M

 an1 an 2

... a1n 
... a2 n 
O
M

... ann 


Trong ma trận vuông các phần tử a11 , a22 ,..., ann là các phần tử nằm trên đường
chéo chính, các phần tử an1 , a( n −1)2 ,..., a1n là các phần tử nằm trên đường chéo phụ.
Ví dụ:
1 2 
A=
 là
3 4 

ma trận vuông cấp hai và

1 2 3 
B =  4 5 7 
7 8 9 

là một ma trận vuông cấp

3.
Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4. Phần tử nằm trên
đường chó chính của ma trận B là 1, 5, 9.
1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột:

Đại số tuyến tính 1

15


Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng, được gọi là ma trận dòng. Tương
tự, nếu n = 1 thì ta có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột. Ma trận
dòng và ma trận cột thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột.
Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dịng, một cột.

Ví dụ:
Ma trận dịng:

A = [ 1 2 3 4]

và ma trận cột

1 
B =  5 
7 

1.2.3 Ma trận khơng
Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ta
dùng số 0 để biểu thị cho mọi ma trận khơng cấp m x n.
Ví dụ:
Ma trận 0 cấp 2x3:

0 0 0
0 0 0



1.2.4 Ma trận chéo
Ma trận vng có các phần tử ngồi đường chéo chính đều bằng 0 và các
phần tử trên đường chéo chính khác không được gọi là ma trận chéo (hay ma
trận đường chéo). Ma trận chéo cấp n có dạng
A=

 a11 0
0 a

22

M M

0
0

0
0 
a ≠ 0, ∀i :1, n
M ii

... ann 

...
...
O

(

)

Ví dụ:
1 0
 0 −1
C=
0 0

0 0


0
0
1
0

0
0 
0

4

Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi diag(a1 , a2 ,..., an ) với các
phần tử trên đường chéo chính là a1 , a2 ,..., an
1.2.5 Ma trận đơn vị:
Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng
1, được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu I n
1.2.6 Ma trận tam giác
Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được
gọi là ma trận tam giác
Đại số tuyến tính 1

16


A=
Trong đó
Ví dụ:

B


 b11 0
b
b22
21
=  M M

bn1 bn 2

Ví dụ:

aij = 0 khi

2
4
0
0

0
0 
M

... bnn 

Trong đó

...
...
O

... a1n 

... a2 n 
O
M

... ann 

i> j được gọi là ma trận tam giác trên.

1
0
A=
0

0

3
3
1
0

 a11 a12
0 a
22

M M

0
0

4

2 
là
2

5

3 0 0
B = 1 2 0  là
0 1 1 

ma trận tam giác trên

bij = 0 khi

i < j được gọi là ma trận tam giác dưới.

ma trận tam giác dưới.

Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung
là ma trận tam giác.
1.2.7 Ma trận chuyển vị
a) Định nghĩa:
Cho ma trận A, ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu AT là ma trận mà
trong đó, vai trị của dịng và cột hoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên
chỉ số của chúng.
Giả sử ta có ma trận A=

 a11 a12
a
 21 a22

 M M

 am1 am 2

ma trận A là

a1n 
a2 n 
thì khi đó ma
M

... amn 
 a11 a21 ... am1 
a
a22 ... am 2 
AT =  12
 M M O
M


 a1n a2 n ... amn 
...
...
O

trận chuyển vị của

Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận AT có cấp là n x m.
Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và ngược
lại chuyển vị của ma trận dịng là ma trận cột.

Ví dụ:

Đại số tuyến tính 1

17


Ma trận

1 2 3 4 
A = 5 6 7 8 
9 1 2 3 

thì ma trận chuyển vị của ma trận A là

b) Định lý: Cho các ma trận
sau:
T
( AT ) = A .

A, B ∈ M mxn ( K ) .

1
2
AT = 
3

4

5

6
7
8

9
1 
2

3

Khi đó ta có các khẳng định

AT = BT ⇔ A = B

1.2.8 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng:
Nếu ma trận vng A thỏa AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng.
Ví dụ: Ma trận

Ma trận

 1 2 3
A =  2 1 0 
 3 0 1 

1 2 3
 2 0 −1
A=
 3 −1 −1

4 2 0


4
2 
0

3

là một ma trận đối xứng cấp3.

là ma trận đối xứng cấp 4.

Nếu ma trận vuông A thỏa AT = − A thì Ama trận phản đối xứng.
Ví dụ:
Ma trận

0
 −2
B=
 −3

4

2 3 −4 
0 −5 1 
5 0 3

1 −3 0 

là ma trận phản đối xứng.


Định lý:Nếu A là ma trận đối xứng thì

aij = a ji , ∀i, j = 1, n

Nếu A là ma trận phản xứng thì aij = −a ji , ∀i, j = 1, n , từ đây suy ra aii = 0 (các
phần tử trên đường chéo chính bằng 0).
1.2.9 Ma trận bậc thang:
Nếu một ma trận trên K có các dịng khác 0 nằm bên trên các dịng 0, đồng
thời trên hai dịng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới
nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên thì ma trận đó được gọi là
ma trận bậc thang trên K.
Ví dụ: Ma trận

 0 −3 12 1 7 0 
0 0 1 2 3 4 

B=
 0 0 0 0 4 5  là


0 0 0 0 0 0 

ma trận bậc thang có ba dịng khác

0.
Đại số tuyến tính 1

18



1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận: bao gồm các phép
biến đổi sau
i. Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau.
ii. Nhân dịng thứ i với một số khác khơng.
iii. Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số λ với i ≠ j .
Nếu thay từ dịng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Ma trận B được gọi là tương đương dịng với ma trận A nếu có một số hữu
hạn phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B.
Nhận xét:
- Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến
đổi sơ cấp.
- Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất
phản xạ; đối xứng; bắc cầu.
- Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị I n qua duy
nhất một phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.
Ví dụ:
1 0 0
I 3 =  0 1 0 
 0 0 1 

thì có các ma trận sơ cấp nhận được từ

I3

qua các phép biến

đổi sơ cấp là:
0 0 1 
S1 = 0 1 0 
1 0 0 


với

d1 ↔ d 4
I 3 
→ S1

1 0 0 
S 2 = 0 1 0 
0 0 4 

với

d 3 → 4 d3
I 3 

→ S2

1 0 2 
S3 = 0 1 0 
0 0 1 

với

d1 →d1 + 2 d 4
I 3 
→ S3

2. Các phép toán trên ma trận
2.1 Phép cộng các ma trận

2.1.1 Định nghĩa: Tổng của hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bij )m×n là một ma
trận C = (cij ) m×n với cij = aij + bij . Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B.

Đại số tuyến tính 1

19


 a11 a12
a
 21 a22
 M M

 am1 am 2

a1n   b11 b12
a2 n   b21 b22
+
M  M M
 
... amn  bm1 bm 2

...
...
O

... b1n   a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n 
... b2 n   a21 + b21 a22 + b22 ... a2 n + b2 n 
=
O M  M

M
O
M 
 

... bmn   am1 + bm1 am 2 + bm 2 ... amn + bmn 

2.1.2 Ví dụ:
 1 −2 3 
A=

 2 −1 4 

và

0 2 1 
B=
.
1 3 −4 

Khi đó,

1 0 4 
A+ B = 

3 2 0 

2.2 Phép nhân ma trận với một số:
2.2.1 Định nghĩa:Tích của ma trận A = (aij )m×n với số λ thu được bằng cách
nhân các phần tử của ma trận A với số λ , ký hiệu λ A . Ta có, λ A = (λ aij )m×n

2.2.2 Ví dụ:
 4 −2 −3  −8 4 6 
−2 
=

 7 −3 2   −14 6 −4

Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi là
phép trừ của hai ma trận.
 2 3 −5
A=

4 2 1 

và

 2 −1 3 
B=

 3 5 −2 

0 4 −8
A− B = 

 1 −3 3 
A, B, C ∈ M mxn ( K ) và λ, µ ∈ K ta

2.2.3 Định lý: Với
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)

c) 0 + A = A + 0 = A
d) A + (-A ) = (-A) + A = 0
T
e) ( A + B ) = AT + BT

thì

có:

f) λ ( A + B) = λ A + λ B
g) (λ + µ ) A = λ A + µ A
2.3 Phép nhân hai ma trận:
2.3.1 Định nghĩa:
Cho hai ma trận A = (aij )m×r và B = (bij )r×n , khi đó tích của hai ma trận A và B,
ký hiệu là AB là một ma trận C = (cij )m×n với các phần tử cij là tổng của các tích
các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với cột j của ma trận B.
Tức là

r

cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + air brj = ∑ aik bkj

Đại số tuyến tính 1

k =1

20


 a11 a12

a
 21 a22
 M M

 ai1 ai 2
 M M

 am1 am 2

... a1r 
... a2 r   b11 b12

... M b21 b22
.
... air   M M

M M  br1 br 2

... amr 

... b1n   c11 c12
... b2 j ... b2 n   c21 c22
=
M M M M  M M
 
... brj ... brn   cm1 cm 2
... b1 j

c1n 
c2 n 


cij M

... cmn 
...
...

Chú ý:
Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận
B bằng đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp m x p và B là
ma trận cấp p x n thì AB là ma trận cấp m x n. Do đó, với A và B là hai ma
trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng khơng hẳn suy ra được tích của hai
ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận khơng giao hốn.
Ngồi ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0.
2.3.2 Ví dụ:
a) Giả sử

 1 2
A=

 −1 3 

và

 2 1
B=

 0 1

khi đó;


 2 3
AB = 

 −2 2 

và

 1 7
BA = 
.
 −1 3 

Vậy

AB ≠ BA

b) Với

1 0 
0 0 
C=
;D = 


0 0
1 0 

ta có


0 0 
CD = 

0 0 

mặc dù

C ≠ 0; D ≠ 0 .

Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B
có thể hốn vị với nhau. Ma trận đơn vị có thể hốn vị với mọi ma trận cùng
cấp.
c) Cho

1 2 −1
A=

3 1 4 

 −2 5 
B =  4 −3
 2 1 

d) Cho

thì

và

1.(−2) + 2.4 + ( −1).2 1.5 + 2.(−3) + (−1).1  4 −2 

AB = 
=
3.5 + 1.( −3) + 4.1  6 16 
 3.(−2) + 1.4 + 4.2

 1 x 3
A=

 2 −1 1 

và

2
B =  4  .
 y 

Nếu

12 
AB =  
6

hãy tìm x và y

Giải:
Đại số tuyến tính 1

21



Ta có

2
 1 x 3    2 + 4 x + 3 y  12 
AB = 
 4 =
=6
y
 2 −1 1  y  
  
 

Suy ra y = 6 và x = -2. ■
2.3.4 Định lý:
Cho A, A ' ∈ M mxn ( K ) và B, B ' ∈ M nxp ( K ) và

C ∈ M pxq ( K ) và ∀α ∈ K thì:

A0nxp = 0mxp ;
0rxm A = 0 rxn ;
A( B ± B ') = AB ± AB ';

( AB )

T

= BT AT ;

α ( AB) = (α A) B = A(α B ), ∀α ∈ K


2.3.5 Định lý: Với

A = diag(a1 , a2 ,..., an ) và B = diag(b1 , b2 ,..., bn ) thì

A ± B = diag(a1 ± b1 , a2 ± b2 ,..., a1 ± b1 )
AB = diag(a1b1 , a2b2 ,..., a1b1 )

2.3.6 Nhận xét:
Cho các ma trận A1 , A2 ,..., An là các ma trận có số cột của ma trận liền trước
bằng số dòng của ma trận liền sau. Khi đó tích của n ma trận này được định
nghĩa theo cách quy nạp sau:
A1 A2 A3 = ( A1 A2 ) A3
A1 A2 A3 A4 = ( A1 A2 A3 ) A4
M
A1 A2 A3 A4 ... An −1 An = ( A1 A2 ... An −1 ) An

Hơn thế bằng cách chứng minh quy nạp ta có:
( A1 A2 .... An )T = AnT AnT−1... A2T A1T

2.4 Lũy thừa ma trận:
2.4.1 Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là:
Ak = 1
A.2
A...3A
.
k lân

Cụ thể,

A0 = I n ; A1 = A; A2 = A. A;..., Ak = Ak −1.A


2.4.2Ví dụ: Cho

0 1 0 
A = 0 0 1 
0 0 0 

thì ta được

0 0 1

÷
A = 0 0 0÷
0 0 0÷


2

và

0 0 0

÷
A = 0 0 0÷
0 0 0÷


3

Nhận xét: Có những ma trận khác ma trận không nhưng lũy thừa k lần với

k ∈ ¥ sẽ thành ma trận khơng.
Đại số tuyến tính 1

22


Một ma trận A ∈ M (n; K ) thỏa tính chất tồn tại một số k ∈ ¥ , sao cho Ak = 0 thì
khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy linh.
Một ma trận A ∈ M (n; K ) thỏa tính chất A2 = 0 thì khi đó ma trận A được gọi là
ma trận lũy đẳng.
2.4.3 Tính chất:
Cho A ∈ M (n; K ) và r , s ∈¥ , khi đó:
 ( 0 ) r = 0;
 ( In )

r

= In



Ar + s = A r . A s



Ars = ( Ar )

s

2.4.5 Định lý: Giả sử A, B là hai ma trận giao hoán trong M(n;K) (nghĩa

là AB = BA) và k ∈ ¥ , khi đó ta có:
 ( AB)k = Ak .B k ;


Ak − B k = ( A − B )( Ak −1 + Ak − 2 B + ... + B k −1 ) ;



( A + B) k = ∑ Cki Ai B k −i .

i

k

2.5 Đa thức của ma trận:
Cho f là một đa thức bậc n trên K có dạng
f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0
n −1

Giả sử A ∈ M (n; K ) thì ta gọi f ( A) = an A + an −1 A + ... + a1 A + a0 I n là đa thức của ma
trậnA.
3
2
Ví dụ: Cho f ( x) = x − 3x + 5 . Hãy tính f (A) với
n

 1 2 3
 2 0
A=
; B =  5 4 6 


0 3
 7 1 8 

Ta có

8 0   4 0 
1 0 1 0 
f ( A) = A3 − 3 A2 + 5 I 2 = 
−3
+5


=

 0 27   0 9 
0 1 0 5

(Sinh viên tự giải f (B )như là bài tập nhỏ).

Đại số tuyến tính 1

23


Bài 2: Định thức - Định nghĩa, các tính chất, cách tính định thức
______________________________________________________________
__
1. Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A| được tính
bằng

det A =

∑ sign π a

a

1π (1) 2π (2)

π ∈S n

...anπ ( n )

, trong đó

Sn là

tập tất cả các phép thế của tập hợp

gồm n số tự nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}.
Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường
được gọi là một định thức cấp n.
Ví dụ:
Khi n = 2
Ta có nhóm các phép thế

 1 2   1 2  
S 2 = 
÷;  2 1 ÷
1
2


 



Suy ra biểu thức tính định thức cấp 2 là:

a11

a12

a21 a22

= a11a22 − a12 a21

Khi n = 3
Ta có nhóm các phép thế
 1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3  
S 3 = 
÷; 
÷; 
÷; 
÷; 
÷; 
÷
 1 2 3   2 1 3   1 3 2   3 2 1   2 3 1   3 1 2  

Suy ra:
a11
A = a21

a31

a12
a22
a32

a13
a23 = a11a22 a33 − a12 a21a33 − a23a32 a11 − a13 a22 a31 + a12 a23a31 + a13a21a32 =
a33

= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a12 a21a33 − a23a32 a11 − a13a22 a31

2. Cách tính định thức bậc 2 và bậc 3:
Theo trên ta có
Cho

a 
a
A =  11 12 ÷
 a21 a22 

ta có định thức của ma trận A là detA hay |A|, được tính

bằng
det A =

∑ signπ a

π ∈S2


Đại số tuyến tính 1

a

1π (1) 2π (2)

= a11a22 + ( −1)a12 a21 = a11a22 − a12a21.

24


 a11
A =  a21
 a31

a12
a22
a32

a13 
a23 
a33 

khi đó ta có

∑ signπ a

a

a


= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 − a13a22 a31 − a11a23 a32 − a12 a21a33 .

Cho
det A =

1π (1) 2π (2) 3π (3)

π ∈S3

Công thức trên thường được nhớ theo quy tắc Sarrus như sau: Ta viết them
cột thứ nhất và thứ hai vào bên phải định thức ta được
a11 a12
a21 a22
a31 a32

a13 a11
a23 a21
a33 a31

a12
a22
a31

Thì tích các phần tử trên ba đường chấm chấm sẽ có dấu như sau

Ví dụ:
1 2 3
2 1 3 = 1.1.2 + 2.1.3 + 2.3.3 − 3.1.3 − 3.1.1 − 2.2.2 = 6
3 1 2

2 1
= 2.3 − 2 = 4
2 3

3. Các tính chất
3.1 Tính chất 1: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là
det A = det AT .

Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dịng
thì cũng đúng với cột và ngược lại.
Ví dụ:
2 0 2 1
=
=6
1 3 0 3

3.2 Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dịng
bất kỳ của định thức thì định thức đổi dấu.
Ví dụ:

(i ≠ j )

(hoặc hai cột khác nhau)

1 3 5
3 1 7
2 7 9 =−2 7 9
3 1 7
1 3 5


Đại số tuyến tính 1

25