đại số tuyến tính tập hợp – ánh xạ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (586.04 KB, 85 trang )
Sinh viên:
Đại số tuyến tính 1
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
1
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
Chương 1: TẬP HỢP – ÁNH XẠ
§ 1: Tập hợp (SET)
__________________________________________________________
1.1 Khái niệm:
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, khơng được định nghĩa,
được mơ tả bằng những ví dụ cụ thể.
Tập hợp khơng có phần tử nào cả thì được gọi là tập rỗng
Ví dụ:
- Tập hợp các sinh viên của một trường đại học.
- Tập hợp các số nguyên tố.
Ta thường ký hiệu tập hợp bởi chữ cái viết hoa như A, B, C,…, X, Y, Z, … và các
phần tử của tập hợp thường được ký hiệu bởi một chữ cái viết thường a, b, x, y.
Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết a �A và đọc là “a thuộc A”. Nếu b khơng
phải là phần tử của A thì ta ký hiệu b �A và đọc là “b không thuộc A”.
Các tập hợp số
�= 0,1, 2,K là tập hợp các số tự nhiên (Set of natural nember)
�= 0, �1, �2,K là tập hợp các số nguyên (Set of centegers)
�= �� , là tập hợp các số vô tỉ (The set of real numbers)
�= ba / a, b �; b
2
� = a bi / a, b �� ; i 1 là tập hợp số phức (The set of complex
0 là tập hợp các số hữu tỉ (Set of national numbers)
numbers)
Tập rỗng là tập hợp khơng có phần tử nào.
Ký hiệu: �.
Ví dụ: tập hợp các số thực mà bình phương của số đó bằng – 1 là tập rỗng.
1.2 Cách xác định một tập hợp:
Một tập hợp có thể được xác định bằng các cách như:
Phương pháp liệt kê: Một tập hợp có thể xác định bằng cách liệt kê ra hết
các phần tử thuộc tập hợp đó. Phương pháp này chỉ dùng đối với tập hợp
hữu hạn.
Ví dụ: A = {1; 3; 4; 5; 7}
Phương pháp chỉ ra thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp có thể nhận biết bằng
cách chỉ ra thuộc tính của đối tượng và dựa vào thuộc tính này ta có thể biết
phần tử nào đó có thuộc tập hợp này hay khơng.
Ví dụ: B {M | OM r} là tập hợp các điểm nằm trên mặt cầu tâm O bán kính r.
C {n ��| n M3} là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3.
1.3 Tập con, Sự bằng nhau của hai tập hợp:
Đại số tuyến tính 1
2
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
Định nghĩa: Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mọi phần tử
của A đều là phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B đều là phần tử của A. Khi
đó ta viết A = B.
A �B � x �A � X �B , �: tap con
A được gọi là tập con thực sự của B nếu A là tập con của B và A �B
A B � x �A � x �B
� A �B va B �A
1.4 Tập các tập con của một tập hợp
Cho A là một tập hợp, ký hiệu P( A) là tập các tập con của tập A.
Nếu A có n phần tử thì P(A) sẽ có 2n phần tử.
X P A / �A
Chú ý: tập {Ø } là tập hợp của mọi tập.
Ví dụ: A = {a} khi P ( A) {�, a}
A = {a, b, c} thì P( A) {�,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}
1.5 Các phép toán trên tập hợp
1.5.1 Hợp của các tập hợp
1.5.1.1 Định nghĩa: Cho A và B là hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm các
phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A, B là hợp của hai tập A, B.
A
Ký hiệu: C A �B hoặc A �B {x | x �A hoặc x �B}
Biểu đồ Venn:
A
B
Ví dụ: Nếu định nghĩa A, B, C là các tập như sau: A {x | f ( x) 0} và
B {x | g ( x) 0} thì C {x | f ( x).g ( x) 0} . Khi đó C A �B
1.5.1.2 Định lý: Với A, B, C là các tập nào đó khi đó
i)
Nếu B �A thì A �B A ;
ii) Với mọi tập hợp A thì A �� A và A �A A ;
iii) A �B B �A ;
iv) A �( B �C ) ( A �B ) �C .
1.5.2 Giao của các tập hợp
1.5.2.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử
thuộc cả hai tập hợp A, B là giao của hai tập hợp A, B.
C A �B {x | x �A và x �B}
Ký hiệu:
A
Biểu đồ Venn:
A
B
Đại số tuyến tính 1
3
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
Ví dụ: 0,9, 7,3 � 3,5,9, 6 3,9
1.5.2.2 Định lý: Với A, B, C là các tập hợp tùy ý thì ta có các khẳng định sau:
i) Nếu B �A thì A �B B . Với mọi tập hợp A thì A �� � và A �A A ;
ii) A �B B �A ;
iii) ( A �B ) �C A �( B �C ) .
1.5.2.3 Định lý: Cho A, B, C là các tập tùy ý khi đó:
i) A �( A �B ) A ;
ii) ( A �B ) �B B ;
iii) A �( B �C ) ( A �B) �( A �C ) ;
iv) A �( B �C ) ( A �B) �( A �C ) .
1.5.3 Hiệu của hai tập hợp
1.5.3.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử
thuộc A và không thuộc B là hiệu của tập A và tập B.
Ký hiệu: C = A\B hoặc A \ B {x | x �A và x �B}
Biểu đồ Venn:
A\ B
A
B
Ví dụ: 3,9,1,5 \ 8,5, 7,1 3,9
1.5.3.2 Định lý: Với A, B, C, D là các tập nào đó, khi đó:
1. A \ B � khi và chỉ khi A �B ;
2. Với A, B bất kỳ thì A \ B �A ;
3. Nếu A �B và D �C thì A \ C �B \ D ;
4. Nếu A �B thì với tập C bất kỳ ta có C \ B �C \ A .
1.5.4 Phần bù
1.5.4.1 Định nghĩa Nếu B �A thì A\B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu
C A ( B) (complement of B in A) hay C A ( B) {x �A | x �B} . (
Thực chất phần bù C A ( B) là hiệu A\B với điều kiện B �A nên mọi tính chất liên
quan đến phần bù được suy ra từ tính chất của phép hiệu A\B.
Ví dụ:
A 3,5, 7,9, 4 ; B 3,5,9
� C A ( B ) A \ B 7, 4
1.5.4.2 Định lý: Với các tập A, B, C tùy ý ta có
A \ ( B �C ) ( A \ B) �( A \ C ) ;
-
A \ ( B �C ) ( A \ B ) �( A \ C ) .
1.5.5 Hiệu đối xứng của A và B:
Ký hiệu: A B ( A \ B) �( B \ A)
Đại số tuyến tính 1
4
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
Biểu đồ Venn:
A\ B
A
B
1.5.6 phép nhân
a.
Ví dụ:
A �B a, b / a �A , b �B
A a, b ; B c, d , e
A B
a , c ; a , d ; a , e ; b, c ; b , d ; b , e
1.6 Tích Descartes của các tập hợp
Giả sử a và b là hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng này ta thành lập đối tượng
thứ ba
ký hiệu (a; b) và gọi là cặp (a; b). Hai cặp (a; b) và (c; d) được gọi là bằng
nhau khi và chỉ khi a = c và b = d. Nếu a �b thì cặp (a; b) và (b; a) được coi là khác
nhau.
1.6.1 Định nghĩa: Tích Descartes của n tập hợp A1 , A2 ,..., An là tập hợp gồm tất cả
các dãy sắp thứ tự (a1 ; a2 ;...; an ) trong đó a1 �A1 , a2 �A2 ,..., an �An .
Ta ký hiệu tích Descartes trên là A1 �A2 �... �An . Nếu A1 A2 ... An thì tích
Descartes của chúng được ký hiệu là An .
Ví dụ: Cho A1 {a; b} , A2 {c; d }, A3 {1; 2} . Khi đó:
A1 �A2 �A3 {(a; c;1), (a; d ;1), (a; c; 2), (a; d ; 2), (b; c;1), (b; c; 2), (b; d ;1), (b; d ; 2)}
1.6.2 Nhận xét: A �B � khi và chỉ khi A � hoặc B �.
Nếu A �B �� thì A '��B ' A B khi và chỉ khi A ' �A và B ' �B .
Đại số tuyến tính 1
5
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
§ 2: Ánh xạ (MAP)
______________________________________________________
2.1 Định nghĩa: Cho X , Y là các tập khác Ø. Một ánh xạ f : X � Y là quy tắc đặt
tương ứng mỗi phần tử của x �X với một phần tử y �Y . Ta ký hiệu y f ( x) và gọi y
là ảnh của x , x gọi là tạo ảnh của y . Tập X gọi là tập xác định, tập Y gọi là tập giá
trị của ánh xạ f.
f
Ký hiệu: f : X � Y hoặc X ��
�Y .
Ví dụ:
1. f : �� �
x a 2 x 1 , x ��
Ta hiểu: f ( x) 2 x 1, x ��
f (0) 1 ;
2.
f (1) 3.
f ( x ) x 2 , x �� là ánh xạ
f:
�� ��
0
x a x2
3.
sin: �� 1;1
x a sin x
4. Hàm số y = x – 1 là ánh xạ từ tập số thực � vào �
5. Hàm số y lg x là ánh xạ từ � vào �
6. Phép tương ứng mỗi số x �� với một số y ��sao cho x y 2 không là ánh xạ
vì với một giá trị x 0 ta sẽ có hai giá trị của y là: y x và y x đều tương
ứng với x.
7. Phép tương ứng f : �� � sao cho f ( x)
1
khơng phải là ánh xạ vì với
x 1
x 1��thì khơng có y �� tương ứng với x đã cho.
2.2 Định nghĩa: Bộ phận A của tập X được gọi là ổn định đối với ánh xạ f với
f : X � Y � a �A, f ( a) �A .
2.3 Ánh xạ bằng nhau:
Định nghĩa:
Cho f và g là hai ánh xạ từ X vào Y. Ánh xạ f được gọi là bằng ánh xạ g nếu f(x) =
g(x) với mọi x �X .
Nếu với mọi x �X đều có f ( x) a với a là một phần tử xác định của Y, thì ta nói f
là một ánh xạ khơng đổi, hay ánh xạ hằng số.
Nếu X = Y và f ( x) x, với mọi x �X thì f được gọi là ánh xạ đồng nhất của X. Ký
hiệu 1X .
Đại số tuyến tính 1
6
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
Nhận xét: Hai ánh xạ f và g là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chung tập nguồn
và chung tập đích và x �X , f ( x ) g ( x ) .
2.4 Ảnh của ánh xạ
Định nghĩa:
Cho ánh xạ f : X � Y là một ánh xạ, giả sử A �X ,
Ký hiệu:
f ( A) f ( x) / a �X �Y
Ta gọi tập f ( A) là tập ảnh của A qua ánh xạ f ,khi A X , ta ký hiệu,
f ( x) Im f
Và gọi Im f là ảnh của f
Ví dụ:
sin: �� �
x a sin x
Im sin sin � 1;1
� �
Nếu A �0; ; �
� 4 2
� 2 �
� sin A �
0;
,1�
� 2 �
2.5 Tạo ảnh của một tập hợp:
Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X � Y và U là một tập con tùy ý của Y. Tập con của
X gồm các phần tử x �X sao cho f ( x) �U được gọi là tạo ảnh toàn phần của U qua
ánh xạ f .
Ký hiệu: f 1 (U ) . Khi đó, f 1 (U ) {x �X | f ( x) �U } và x �f 1 (U ) � f ( x ) �U .
Định lý: Cho ánh xạ f : X � Y . Với hai tập con bất kỳ A, B của Y thì
-
f 1 ( A �B ) f 1 ( A) � f 1 ( B) ;
-
f 1 ( A �B ) f 1 ( A) � f 1 ( B) .
2.6 Các loại ánh xạ
2.6.1 Ánh xạ đồng nhất
Định nghĩa : f ( x) : X � X
xa x
Nghĩa là: 1X x x , x �X
1X còn được ký hiệu là id X (Identify)
2.6.2 Ánh xạ Đơn ánh:
Định nghĩa: Ánh xạ f : X � Y được gọi là một đơn ánh nếu
�
a, b X , a
b
f (a )
f (b)
Nói khác đi f đơn ánh � a, b �X nếu f ( a) f (b) thì a b .
Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một đơn ánh ta chứng minh:
Đại số tuyến tính 1
7
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
x1 , x2 ι X , x1
x2 thì f ( x1 ) �f ( x2 ) .
Hoặc x1 , x2 �X , f ( x1 ) f ( x2 ) thì x1 x2 .
Ví dụ:
1. cho f : �� �
x a 2x 5
a, b �� nếu f ( a) f (b) � 2a 5 2b 5 � 2a 2b
� a b vậy f là đơn ánh
2. Cho g : �� �
x a x2 1
Kiểm tra tính đơn ánh của g
Ta có
g 1 12 1 2
g 1 1 1 2
2
� g 1 g 1 � g không đơn ánh
2. Ánh xạ f : �� � xác định bởi f ( x) x 2 không là đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 1.
3. Ánh xạ f : �� � xác định bởi f (n)
khác nhau m, n thì
1
là một đơn ánh vì với hai số tự nhiên
n
1 1
� .
n m
4. Nếu A �E , ánh xạ nhúng chính tắc
iA : A � E
xa x
là một đơn ánh được gọi là đơn
ánh chính tắc từ A vào E.
2.6.3 Ánh xạ Toàn ánh:
Định nghĩa: Ánh xạ f : X � Y được gọi là một toàn ánh nếu với y �Y , x �X
sao cho
y f x .
Nói khác đi : phương trình y f x có nghiệm trong X với mỗi y Y
Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một tồn ánh thì ta cần chứng minh
y �Y , x �X sao cho f(x) = y.
Nhận xét:
Nói cách khác một ánh xạ f : X � Y là toàn ánh khi và chỉ khi mọi phần tử của Y có
ít nhất một tạo ảnh trong X.
Ví dụ:
1. Xét f : �� �
x a x2 2 x 3
Giải phương trình: f x y y ��
� x2 2x 3 y
Đại số tuyến tính 1
8
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
� x2 2x 3 y 0
∆´ 1 3 y 4 y
Do đó phương trình f x y có nghiệm khi và chỉ khi
0 y
∆´ �۳
4
Từ đó phương trình f x 5 (VN)
� không tồn tại x ��: f x 5 hay f không toàn ánh
2. Xét f : �� �
x a cos x
y � 1,1 � 1 �y �1
Giải phương trình: f x y � cos x y
Phương trình ln có nghiệm y � 1,1 � ánh xạ toàn ánh.
Ánh xạ f : �� �xác định bởi công thức f ( x) cos x khơng là tồn ánh vì
tồn tại số 2 �� mà khơng có x ��để cos x 2 . Tuy nhiên nếu xét ánh xạ g
từ tập số thực �vào đoạn [-1, 1] thì g là tồn ánh.
2.6.4 Ánh xạ Song ánh
Định nghĩa: Ánh xạ f : X � Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa
là tồn ánh.
Nói khác đi: f song ánh khi và chỉ khi y �Y thì !x �X
3.
y f x � phương trình y f x có nghiệm duy nhất.
Để chứng minh một ánh xạ f là song ánh thì ta phải chứng minh f là đơn ánh và f là
toàn ánh, hoặc chứng minh rằng y �Y tồn tại duy nhất x �X sao cho f ( x) y .
Ví dụ:
Ánh xạ đồng nhất 1X : X � X là một song ánh.
Ánh xạ
f : �� �
x a x2
không là song ánh vì nó khơng phải là tồn ánh (cũng khơng là
đơn ánh).
Nhận xét: Một ánh xạ bất kỳ từ E vào E gọi là một hốn vị của E.
Ví dụ:
Cho
f : �� �
x a 2x
và
Đại số tuyến tính 1
9
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
g : �� �
Nếu y chẵn
�y
�
�
y a �2
�y 1
�2
Nếu y lẻ
Khi đó f là đơn ánh khơng là tồn ánh. g là tồn ánh khơng là đơn ánh.
2.7 Tích các ánh xạ:
Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : X � Y và g : Y � Z .
h g o f : X � Z được gọi là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g.
Được xác định như sau : h x g f x , x �X
Nhận xét:
1) Theo định nghĩa ta chỉ xác định được tích gf khi tập đích của f chứa trong
tập nguồn của g.
2) Nếu f : X � X và g : X � X thì ta có thể xác định được tích fg và tích gf,
tuy nhiên gf có thể khác với fg, hay tích của hai ánh xạ khơng giao hốn.
3) Phép nhân ánh xạ khơng có tính chất giao hốn: g o f �f og
Ví dụ:
1.
f : �� �
;
x a x2
ta có:
g : �� �
x a 3x 5
h g o f : �� � ,
Được xác định như sau:
h x g f x g x2 3 x 2 5
f og : �� � ,
Được xác định như sau: x h g f 3x 5 3 x 5
2
x
g of
f og
2. Nếu f và g là hai ví dụ cho ở trên thì g o f Id N nhưng
f og : �� �
�x
xa �
�x 1
Nếu y chẵn
Nếu y lẻ
Định lý: Cho f : X � Y , g : Y � T và h : T � U thì h(gf)=(hg)f.
Định lý: Giả sử f : X � Y và g : Y � T là hai ánh xạ và h gf : X � T . Khi đó:
a) Nếu f, g là các đơn ánh thì h là đơn ánh;
b) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh;
c) Nếu h là đơn ánh và f là tồn ánh thì g là đơn ánh;
d) Nếu f, g là tồn ánh thì h là tồn ánh;
e) Nếu h là tồn ánh thì g là tồn ánh;
f) Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì f là tồn ánh.
Hệ quả: Giả sử f : X � Y và g : Y � T là các song ánh thì gf cũng là song ánh.
Đại số tuyến tính 1
10
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
2.8 Ánh xạ ngược
Định nghĩa: Cho f : X � Y là ánh xạ nếu ánh xạ g : Y � X
Sao cho: g o f 1X ;
f og 1Y
Thì ta gọi g là ánh xạ ngược của f
Và ký hiệu: g f 1
Ví dụ:
1.
f : �� �
x a 4x 7
a. CM f là song ánh
b. Tìm f 1
Giải:
f x y � 4 x 7 y
Xét:
y 7
4
g : �� �
Lập ánh xạ
x7
xa
4
�x
Xét:
Xét:
g o f x
g f x g 4x 7
4x 7 7 x
4
� g o f 1�
�y 7 � � y 7 �
f og y f g y f �
4�
� �
� 7 y
�4 �� 4 �
� f og 1�
� f og 1�
Vậy
g f 1 � f song ánh
2. Ánh xạ
f : �� �
x a x3
có ánh xạ ngược
f 1 : �� �
ya
3
y
Trong trường hợp các hàm, khái niệm ánh xạ ngược chính là khái niệm hàm số
ngược.
Định lý: Ánh xạ f : X � Y là song ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ ngược
y f 1 :Y � X
Chú ý:
1. Nếu f song ánh thì f 1 cũng song ánh và ngược lại.
2. Nếu f : x a y
Thì f 1 : y a x
Đại số tuyến tính 1
11
Sinh viên:
3.
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
f 1 o f 1X
f o f 1 1Y
Tóm tắt chương:
Chương này giới thiệu một số kiến thức nền tảng của Toán học bao gồm: Khái
niệm tập hợp, ánh xạ, quan hệ, một số nội dung về phép thế và số phức. Sinh viên cần
tham khảo thêm phụ lục 1, giới thiệu một số nội dung cơ bản của logic toán nhằm
bước đầu làm quen với cấu trúc các mệnh đề toán học và một số phương pháp chứng
minh một mệnh đề toán học. Đây là những nội dung cơ bản để học tốt các mảng kiến
thức sau này.
Khi học xong chương này, sinh viên phải trả lời được các câu hỏi sau:
1. Tập hợp là gì? Có những cách nào để xác định một tập hợp? Chứng minh tập
con và chứng minh hai tập bằng nhau như thế nào?
2. Ánh xạ là gì? Cách chứng minh một phép tương ứng là ánh xạ? Muốn chứng
minh một ánh xạ là đơn ánh, toàn ánh, song ánh như thế nào?
Bài tập:
A. Về tập hợp
1. Chứng minh với mọi tập A, B, C ta ln có:
a) A \ ( A \ B) A �B ;
b) A �( B \ C ) ( A �B) \ ( A �C ) ;
c) ( A \ B) �( A \ C ) A \ ( B �C ) ;
d) ( A \ B) �( B \ A) ( A �B ) \ ( A �B );
e) A �( B \ A) �
f) A \ B A \ ( A �B) ( A �B) \ B
2. Các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
a) A \ � A ;
b) ( A \ B) \ C A \ ( B \ C );
c) A �( B \ C ) ( A �B) \ ( A �C ) .
3. Chứng minh rằng:
B)�Ǵ
(C D ) ( A C ) ( B D ) ;
a) ( A Ǵ�
( B �Ǵ
C ) ( A B) ( A C )
b) A ��
( B �ȴ
C ) ( A B) ( A C )
c) A ��
d) A �( B \ C ) ( A �B ) \ ( A �C )
C ) Ǵ�
( B D) ( A B) (C D)
e) ( A �Ǵ
5. Giả sử X là tập có n phần tử và r là số tự nhiên khác không bé hơn bằng n. Tính
a) Số các tập con của X gồm r phần tử;
b) Số các phần tử của P(X).
Đại số tuyến tính 1
12
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
B. Về ánh xạ
1. Trong các ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Trong trường hợp song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược.
a. X �, Y (0, ), f ( x) arc cot x
b. X = [1; 2], Y = [1, 7], f ( x) x 2 3 x 3
c. X Y �, f ( x ) 3x 4 | x |;
x2
;
d. X �, Y [0;5], f ( x)
1 x2 x4
1 x �
�
.
e. X = (-1; 0) Y �, f ( x ) ln � �
1 x �
�
2. Đưa ra ví dụ về ánh xạ f, g sao cho
a. gf tồn tại nhưng fg không tồn tại
b. gf và fg đều tồn tại nhưng khác nhau.
3. Cho f : X � Y là ánh xạ, A và B là các tập con của X, C và D là các tập con của
Y. Chứng minh:
a. f ( A �B ) f ( A) � f ( B );
b. f ( A �B ) � f ( A) � f ( B );
c. f 1 (C �D) f 1 (C ) � f 1 ( D );
d. f 1 (C �D) f 1 (C ) � f 1 ( D );
e. f ( X \ A) � f ( X ) \ f ( A);
f. f 1 (Y \ C ) X \ f 1 (C ).
4. Cho ánh xạ f : A � B . Chứng minh:
a) f là đơn ánh khi và chỉ khi với mọi tập hợp X và với mọi cặp ánh xạ
g : X � A, g ' : X � A thì
fg = fg’suy ra g = g’.
b) f là toàn ánh khi và chỉ khi với mọi tập hợp Y và với mọi cặp ánh xạ
h : B � Y ; h ' : B � Y thì hf h ' f suy ra h = h’.
5. Giả sử f : X � Y là ánh xạ và A �X ; B �Y . Chứng minh:
a) f 1 ( f ( A)) �A và f ( f 1 ( B)) �B ;
b) f 1 ( f ( A)) A , với mọi A �X khi và chỉ khi f là đơn ánh.
c) f ( f 1 ( B)) B , với mọi B �Y khi và chỉ khi f là toàn ánh.
6. Cho ánh xạ
f : �� �
x a x2
. Hãy tìm:
a) Ảnh của các đoạn [-1, 1]; (-2; 1]
b) Tạo ảnh của các đoạn [-1, 1], [1, �)
7. Cho ánh xạ f : �� �bởi f ( x) x 3 24 x 2
a) Xác định f ( �) ;
b) Cho A = [-1; 1], xác định f 1 ( A) .
Đại số tuyến tính 1
13
Sinh viên:
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ
8. Cho hai ánh xạ f : A � C và g : B � D . Gọi h là ánh xạ thỏa:
h : A �B � C �D
h(a; b) ( f (a ); g (b)), (a, b) A B
Chứng minh rằng:
a. Nếu f,g là đơn ánh thì h là đơn ánh;
b. Nếu f, g là tồn ánh thì h là toàn ánh;
c. Các mệnh đề đảo của hai mệnh đề trên có đúng khơng?
Đại số tuyến tính 1
14
Chương 2. Ma trận – Định thức
Chương 2: Ma trận và định thức
(Matrix and determinant)
§1: Ma trận
______________________________________________________
1.1 Định nghĩa:
Cho m, n là những số nguyên dương .Ta gọi một ma trận cấp m �n là một bảng
số gồm m hàng và n cột
a11 a12
�
�
a21 a22
�
�M M
�
am1 am 2
�
... a1n �
... a2 n �
�
O
M�
�
... amn �
hoặc
Hay viết gọn là
A ( aij ) m�n
�a11 a12 ...
�
�a21 a22 ...
�M M O
�
am1 am 2 ...
�
hoặc
a1n �
�
a2 n �
M�
�
amn �
A [aij ]m�n
trong đó i 1, m chỉ số dòng và
j 1, n chỉ số cột của phần tử.
Trong đó aij là số thực nằm ở hàng i và cột j
Hai ma trận
A ( aij )m�n
và
B (bij ) m�n
được gọi là bằng nhau nếu
aij bij
với mọi
i 1, m và j 1, n .
1 2 3�
�
1 2 3�
�
�
A�
4 5 6�
� ;B �
�
4
5
6
�
�
2x3
�
�
7
8
9
�
�
3x3
Ví dụ: Ma trận
1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt:
1.2.1 Ma trận vng:
Ma trận có số hàng bằng số cột được gọi là ma trận vuông
A=
a11 a12
�
�
a21 a22
�
�M M
�
an1 an 2
�
Cho
... a1n �
... a2 n �
�
O
M�
�
... ann �
A aij n�n
là một ma trận vuông cấp n . Ta gọi các phần tử
a11 , a22 ,K , ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A aij n�n .
Ví dụ:
1 2 3�
�
B�
4 5 7�
1 2�
�
�
�
A� �
�
�
7
8
9
3 4 �là ma trận vuông cấp hai và
�
�là một ma trận vng
�
cấp 3.
Đại số tuyến tính 1
15
Chương 2. Ma trận – Định thức
Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4. Phần tử nằm trên
đường chó chính của ma trận B là 1, 5, 9.
1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột:
Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dịng, được gọi là ma trận dòng. Tương tự,
nếu n = 1 thì ta có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột. Ma trận dòng và ma
trận cột thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột.
Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dịng, một cột.
Ví dụ:
Ma trận dịng:
1.2.3 Ma trận khơng
A 1 2 3 4
Cho
A [aij ]m�n
và ma trận cột
1
��
��
B ��
5
��
7
��
là ma trận cấp m �n
Nếu aij 0i, j thì ta gọi A là là ma trận khơng cấp m �n
Ký hiệu : 0m�n
Ví dụ:
0 0 0�
�
�
�
0 0 0�
�
Ma trận 02�3
1.2.4 Ma trận chéo
Ma trận vuông có các phần tử ngồi đường chéo chính đều bằng 0 và các phần
tử trên đường chéo chính khác khơng được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường
chéo). Ma trận chéo cấp n có dạng
a11 0
�
�0 a
22
�
�M M
�
0
�0
... 0 �
... 0 �
�
O M�
�
... ann �
A=
Ví dụ:
1 0
�
�
0 1
C�
�
0 0
�
0 0
�
0
0
1
0
a
ii
�0, i :1, n
0�
0�
�
0�
�
4�
Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi diag(a1 , a2 ,..., an ) với
các phần tử trên đường chéo chính là a1 , a2 ,..., an
1.2.5 Ma trận đơn vị:
Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1,
được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu I n
Đại số tuyến tính 1
16
Chương 2. Ma trận – Định thức
1 0 0�
�
�
In �
0 1 0�
�
�
�
0
0
1
�
�
Ví dụ:
1.2.6 Ma trận tam giác
Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là
ma trận tam giác
A=
a11 a12
�
�0 a
22
�
�M M
�
0
�0
... a1n �
... a2 n �
�
O
M�
�
... ann �
a 0
Trong đó ij
khi i> j được gọi là ma trận tam
giác trên.
1
�
�
0
A�
�
0
�
0
�
Ví dụ:
B=
b11 0
�
�
b21 b22
�
�M M
�
bn1 bn 2
�
2
4
0
0
3
3
1
0
4�
2�
�
2�
�
5 �là ma trận tam giác trên
... 0 �
... 0 �
�
O M�
�
... bnn �
b 0
Trong đó ij
khi i < j được gọi là ma trận tam giác
dưới.
3 0 0�
�
B�
1 2 0�
�
�
�
�
0
1
1
�
�là ma trận tam giác dưới.
Ví dụ:
Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là
ma trận tam giác.
1.2.7 Ma trận chuyển vị
Định nghĩa:
T
Cho ma trận A, ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu A là ma trận mà
trong đó, vai trị của dịng và cột hoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số
của chúng. Giả sử ta có ma trận A=
của ma trận A là
Đại số tuyến tính 1
a11 a21
�
�
a
a22
AT �12
�M M
�
a1n a2 n
�
a11 a12
�
�
a21 a22
�
�M M
�
am1 am 2
�
... a1n �
... a2 n �
�
O
M�
�
... amn �
thì khi đó ma trận chuyển vị
... am1 �
... am 2 �
�
O
M�
�
... amn �
17
Chương 2. Ma trận – Định thức
T
Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận A có cấp là n x m.
Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và ngược lại
chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột.
A
A
A B A B
�
A �
A , ��
Tính chất :
A �B
B �
A A �
( B thực hiện được)
Ví dụ:
1 2 3 4�
�
�
A�
5 6 7 8�
�
�
�
9
1
2
3
�
�thì ma trận chuyển vị của ma trận A là
Ma trận
1 5 9�
�
�
2 6 1�
T
�
�
A
�
3 7 2�
�
�
4 8 3�
�
Định lý: Cho các ma trận A, B �M mxn ( K ) . Khi đó ta có các khẳng định
sau:
A
T T
A
.
A B � AB
T
T
1.2.8 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng:
T
Nếu ma trận vng A thỏa A A thì ta nói A là ma trận đối xứng.
1 2 3�
�
�
A�
2 1 0�
�
�
�
3
0
1
�
�là một ma trận đối xứng cấp3.
Ví dụ: Ma trận
1 2 3 4�
�
�
2 0 1 2 �
�
�
A
�
3 1 1 0 �
�
�
4 2 0 3 �là ma trận đối xứng cấp 4.
�
Ma trận
T
Nếu ma trận vuông A thỏa A A thì A ma trận phản đối xứng.
Ví dụ:
Đại số tuyến tính 1
18
Chương 2. Ma trận – Định thức
�0
�
2
B�
�
3
�
�4
Ma trận
2 3 4 �
0 5 1 �
�
5 0 3�
�
1 3 0 �là ma trận phản đối xứng.
Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì
aij a ji , i, j 1, n
a a , i, j 1, n
ji
Nếu A là ma trận phản xứng thì ij
, từ đây suy ra aii 0 (các
phần tử trên đường chéo chính bằng 0).
1.2.9 Ma trận bậc thang:
Nếu một ma trận trên K có các dịng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời
trên hai dòng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dịng dưới nằm bên phải
phần tử khác 0 đầu tiên của dịng trên thì ma trận đó được gọi là ma trận bậc thang trên
K.
0 3 12 1 7 0 �
�
�
0 0 1 2 3 4�
�
B�
�
0 0 0 0 4 5�
�
�
0
0
0
0
0
0
�
�là ma trận bậc thang có ba dịng khác
Ví dụ: Ma trận
0.
1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận:
bao gồm các phép biến đổi sau
i. Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau.
ii. Nhân dịng thứ i với một số khác khơng.
iii. Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số với i �j .
Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Ma trận B được gọi là tương đương dịng với ma trận A nếu có một số hữu hạn
phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B.
Nhận xét:
- Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến đổi sơ
cấp.
- Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất
phản xạ; đối xứng; bắc cầu.
- Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị I n qua duy nhất
một phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.
Ví dụ:
1 0 0�
�
�
I3 �
0 1 0�
�
�
�
0
0
1
�
�thì có các ma trận sơ cấp nhận được từ I 3 qua các phép biến đổi
sơ cấp là:
Đại số tuyến tính 1
19
Chương 2. Ma trận – Định thức
0 0 1�
�
�
S1 �
0 1 0�
�
d1 � d 4
�
�
1
0
0
� S1
�
�với I 3 ���
1 0 0�
�
S2 �
0 1 0�
�
�
d3 �4 d3
�
�
0
0
4
�
� S2
�
�với I 3 ���
1 0 2�
�
�
S3 �
0 1 0�
�
d1 �d1 2 d 4
�
�
0
0
1
� S3
�
�với I 3 ����
1.4 Các phép toán trên ma trận
1.4.1 Phép cộng các ma trận
Định nghĩa: Tổng của hai ma trận
C (cij ) m�n
với
cij aij bij
a11 a12
�
�
a21 a22
�
�M M
�
am1 am 2
�
A ( aij )m�n
và
B (bij ) m�n
là một ma trận
. Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B.
... a1n � �
b11 b12
�
�
... a2 n � �
b
b22
21
O
M � �M M
��
... amn � �
bm1 bm 2
... b1n � �a11 b11
�
... b2 n �
� �a21 b21
O
M� � M
� �
... bmn � �
am1 bm1
a12 b12 ... a1n b1n �
a22 b22 ... a2 n b2 n �
�
M
O
M �
�
am 2 bm 2 ... amn bmn �
Ví dụ:
1 2 3 �
0 2 1�
1 0 4�
�
�
�
A�
B�
A B �
�
�
2 1 4 � và
1 3 4 �. Khi đó,
3 2 0�
�
�
�
�
1.4.2 Phép nhân ma trận với một số:
A (aij ) m�n
Định nghĩa: Tích của ma trận
với số thu được bằng cách nhân
A ( aij ) m�n
các phần tử của ma trận A với số , ký hiệu A . Ta có,
Ví dụ:
4 2 3� �8 4 6 �
�
2 �
�
7 3 2 �
14 6 4 �
�
� �
�
Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi là phép
trừ của hai ma trận.
2 3 5�
2 1 3 �
�
�
A�
B�
�
4 2 1 �và
3 5 2 �
�
�
�thì
0 4 8�
�
A B �
1 3 3 �
�
�
Định lý: Với A, B, C �M mxn ( K ) và , �K ta có:
a) A + B = B + A
Đại số tuyến tính 1
20
Chương 2. Ma trận – Định thức
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) 0 + A = A + 0 = A
d) A + (-A ) = (-A) + A = 0
A B
e)
T
AT BT
f) ( A B) A B
g) ( ) A A A
1.4.3 Phép nhân hai ma trận:
Định nghĩa:
Cho hai ma trận
A (aij )m�r
và
B (bij ) r�n
C (cij ) m�n
, khi đó tích của hai ma trận A và B, ký
c
hiệu là AB là một ma trận
với các phần tử ij là tổng của các tích các phần tử
tương ứng dịng i của ma trận A với cột j của ma trận B.
r
Tức là
a11 a12
�
�
a21 a22
�
�M M
�
�ai1 ai 2
�M M
�
am1 am 2
�
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... air brj �aik bkj
k 1
...
...
...
...
M
...
a1r �
b11 b12
a2 r �
��
�
b21 b22
M��
.
�
air ��M M
�
br1 br 2
M��
�
amr �
...
...
M
...
b1 j
b2 j
M
brj
...
...
M
...
b1n � �
c11 c12
�
b2 n �
c21 c22
� �
M� �M M
� �
brn � �
cm1 cm 2
... c1n �
... c2 n �
�
cij M�
�
... cmn �
Chú ý:
Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận B
bằng đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp m x p và B là ma trận cấp
p x n thì AB là ma trận cấp m x n. Do đó, với A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có
tích của AB, ta cũng khơng hẳn suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác,
tích của hai ma trận khơng giao hốn.
Ngồi ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0.
Ví dụ:
2 1�
�1 2 �
�
�2 3 �
�1 7 �
A�
B� �
AB �
BA �
�
�
1 3 �và
0 1�khi đó;
2 2 �và
1 3 �
�
�
�
�
�.
a) Giả sử
Vậy AB �BA
1 0�
0 0�
0 0�
�
�
�
C� �
;D � �
CD � �
0 0�
1 0 �ta có
0 0 �mặc dù C �0; D �0 .
�
�
�
b) Với
Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B có
thể hốn vị với nhau. Ma trận đơn vị có thể hốn vị với mọi ma trận cùng cấp.
Đại số tuyến tính 1
21
Chương 2. Ma trận – Định thức
1 2 1�
�
A�
3 1 4�
�
�và
c) Cho
2 5 �
�
�
B �4 3�
�
�
�
2
1
�
�
1.( 2) 2.4 ( 1).2 1.5 2.( 3) ( 1).1� �
4 2 �
�
AB �
�
�
3.5 1.( 3) 4.1 � �
6 16 �
�3.(2) 1.4 4.2
�
thì
1 x 3�
�
A�
2 1 1 �
�
�và
d) Cho
2
��
��
B ��
4
��
y
��
12 �
�
AB � �
�6 �hãy tìm x và y
. Nếu
Giải:
2
��
1 x 3��� �
2 4x 3y � �
12 �
�
AB �
4
�
�
�
�
2 1 1��� � y
6�
�
�
�
�
��
y
��
Ta có
Suy ra y = 6 và x = -2. ■
Định lý:
B, B ' �M nxp ( K )
C �M pxq ( K )
Cho A, A ' �M mxn ( K ) và
và
và �K thì:
A0nxp 0mxp ;
0rxm A 0 rxn ;
A( B �B ') AB �AB ';
AB
T
BT AT ;
( AB) ( A) B A( B), �K
Định lý: Với A diag(a1 , a2 ,..., an ) và B diag(b1 , b2 ,..., bn ) thì
A �B diag( a1 �b1 , a2 �b2 ,..., a1 �b1 )
AB diag(a1b1 , a2b2 ,..., a1b1 )
Nhận xét:
Cho các ma trận A1 , A2 ,..., An là các ma trận có số cột của ma trận liền trước bằng
số dịng của ma trận liền sau. Khi đó tích của n ma trận này được định nghĩa theo cách
quy nạp sau:
A1 A2 A3 ( A1 A2 ) A3
A1 A2 A3 A4 ( A1 A2 A3 ) A4
M
A1 A2 A3 A4 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An
Hơn thế bằng cách chứng minh quy nạp ta có:
( A1 A2 .... An )T AnT AnT1... A2T A1T
1.4.4 Lũy thừa ma trận:
Đại số tuyến tính 1
22
Chương 2. Ma trận – Định thức
Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là:
Ak 1
A. 2
A...3A
k lân
.
k 1
Cụ thể, A I n ; A A; A A. A;..., A A . A
0
1
2
k
0 1 0�
0 0 1�
0 0 0�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
3
A�
0 0 1�
A �
0 0 0� A �
0 0 0�
�
�
�
0 0 0�
0 0 0�
0 0 0�
�
�thì ta được
�
�và
�
�
Ví dụ: Cho
Nhận xét: Có những ma trận khác ma trận khơng nhưng lũy thừa k lần với
k ��sẽ thành ma trận không.
k
Một ma trận A �M (n; K ) thỏa tính chất tồn tại một số k ��, sao cho A 0 thì
khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy linh.
2
Một ma trận A �M (n; K ) thỏa tính chất A 0 thì khi đó ma trận A được gọi là
ma trận lũy đẳng.
Tính chất:
Cho A �M (n; K ) và r , s ��, khi đó:
0 0;
r
In In
r
rs
r
s
A A .A
Ars Ar
s
Định lý: Giả sử A, B là hai ma trận giao hoán trong M(n;K)
(nghĩa là AB = BA) và k ��, khi đó ta có:
k
k
k
( AB) A .B ;
k
k
k 1
k 2
k 1
A B ( A B)( A A B ... B ) ;
i
( A B ) k �Cki Ai B k i .
k
1.4.5 các tính chất của phép tốn ma trận
1.4.5.1 phép cộng ma trận cùng cấp
A B C A B C
A B B A
A 0 0 A A
A A A A 0
A X B X � A B
1.4.5.2
A B C AB AC
Đại số tuyến tính 1
23
Chương 2. Ma trận – Định thức
B C A BA CA
(Nếu phép nhân thực hiện được)
1.4.5.3 AB �BA
A B
2
A B A B A A B B A B
A2 AB BA B 2
Trong đó A, B là các ma trận vuông cấp n
A�
00
A 0 (Nếu phép nhân thực hiện được)
1.4.5.4 0 �
0 0�
A0
Đặc biệt A và 0 là các ma trận vng cấp n thì A �
In In �
A A Với A là ma trận vuông cấp n
1.4.5.5 A �
I n Là ma trận đơn vị cấp n
An �
A m An m
A
n m
1.4.5.6
Am�n
Với A lầm trận vuông, m, n ��
Quy ước :
A0 I A �0
0
Ví dụ
1 2� �
1 0�
�
� � � �
3 5� �
0 1�
�
1.4.5.7
K l A K �A l �A ; K , l ��
A là ma trận tùy ý cấp n
l A K l �
A ; K , l ��
K�
0�
A0
1 A A
Đại số tuyến tính 1
24
Chương 2. Ma trận – Định thức
§2: Định thức của ma trận vuông
________________________________________________________________
2.1 Định thức cấp 2
Cho một ma trận vuông cấp 2 là:
a
�
A �11
a21
�
a12 �
, aij ��
a22 �
�
Định thức của A là số thực
A det A
a11
a21
1 4
a12
a11�a22 a21 �
a12
a22
1�
5 0�
45
Ví dụ : 0 5
2.2 Định thức cấp 3
Cho một ma trận vuông cấp 3 là :
a11
A a21
a31
a12
a22
a32
a11 1
11
a13
a23 a11 �
A11 a12 �
A12 a13 �
A13
33
a22
a32
a23
1 2 a21
a12 1
a33
a31
a23
13 a21
a13 1
a33
a31
a22
a32
Ví dụ :
1 2 3
5
3
11 4
13 2
0 4 5 1�
1 � 2 �
1 � 23 4 19
1 7
4 5
2 1 7
Định thức đường chéo bằng tích đường chéo chính
Định thức tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính
2.3 Một số tính chất định thức
Tính chất 1: Định thức khơng đổi qua phép chuyển vị
tức là det A det A .
Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dịng thì
cũng đúng với cột và ngược lại.
Ví dụ:
2 0 2 1
6
1 3 0 3
Đại số tuyến tính 1
25
