Bài thu hoạch môn đại số tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (527.69 KB, 84 trang )
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
Mục lục
Mở đầu………………………………………………………………………trang 02
Chương 1 : Tập hợp và ánh xạ………………………………………………trang 03
Chương 2 : Ma trận và định thức …………………………………………...trang 11
Chương 3 : Không gian vectơ……………………………………………….trang 38
Chương 4 : Ánh xạ tuyến tính……………………………………………….trang 50
Chương 5 : Hệ phương trình tuyến tính …………………………………….trang 61
Phụ lục……………………………………………………………………….trang 70
1
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
MỞ ĐẦU
Bài thu hoạch mơn “ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH” nhằm giúp chúng ta hệ thống lại
những nội dung kiến thức đã học trong chương trình học mơn học tốn A1(ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH) dành cho các nghành kinh tế.
“ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH” là một mơn học, một phương pháp tốn học được áp
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật và khơng thể thiếu trong các
chương trình đào tạo Cao đẳng- Đại học. Chúng ta cần phải nắm rõ được những khái
niệm cơ bản, các thuật toán và vận dụng thành thạo trong quá trình học tập
Bài thu hoạch này giúp em có thể hiểu rõ hơn về môn học cũng như tạo điều kiện
ôn tập để đạt kết quả cao trong học tập. Trong nội dung bài thu hoạch có sử một số tài
liệu được sưu tầm trên các trang mạng xã hội nên nội dung vẫn cịn nhiều thiếu sót.
Mong thầy và các bạn sinh viên trong quá trình đọc giúp chúng em tìm ra lỗi và sửa
chữa. Đó là niềm vinh dự lớn đối với em.
Em xin chân thành cảm ơn !
2
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
Chương 1: TẬP HỢP – ÁNH XẠ - QUAN HỆ - SỐ PHỨC
Bài 1: Khái niệm về tập hợp, tập hợp con, các phép toán trên tập hợp
__________________________________________________________
1. Tập hợp:
1.1 Khái niệm:
Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa, mà được hiểu một cách trực
giác như sau: “Một tập hợp là một sự quần tụ các đối tượng có cùng thuộc tính nào đó; những
đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp đó.
Ví dụ:
- Tập hợp các sinh viên của một trường đại học.
- Tập hợp các số nguyên tố.
Ta thường ký hiệu tập hợp bởi chữ cái viết hoa như A, B, C,…, X, Y, Z, … và các phần tử
của tập hợp thường được ký hiệu bởi một chữ cái viết thường a, b, x, y.
Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết
phần tử của A thì ta ký hiu
Vớ d:
Ơ
-
Â
-
Ă
-
Ô
-
v c l a thuc A. Nu b không phải là
và đọc là “b không thuộc A”.
là tập hợp các số tự nhiên
là tập hợp các số nguyên
là tập hợp các số thực
là tập hợp các số hữu tỉ
S = {1; 2;3}
là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 4.
Tập rỗng là tập hợp khơng có phần tử nào.
-
-
b∉ A
a∈ A
∅
-
-
Ký hiệu: .
Ví dụ: tập hợp các số thực mà bình phương của số đó bằng – 1 là tập rỗng.
1.2 Cách xác định một tập hợp:
Một tập hợp có thể được xác định bằng các cách như:
Phương pháp liệt kê: Một tập hợp có thể xác định bằng cách liệt kê ra hết các phần tử
thuộc tập hợp đó. Phương pháp này chỉ dùng đối với tập hợp hữu hạn.
Ví dụ: A = {1; 3; 4; 5; 7}
Phương pháp chỉ ra thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp có thể nhận biết bằng cách chỉ ra
thuộc tính của đối tượng và dựa vào thuộc tính này ta có thể biết phần tử nào đó có thuộc tập
hợp này hay khơng.
Ví dụ:
B = {M | OM = r}
C = {n ∈ ¥ | n M3}
là tập hợp các điểm nằm trên mặt cầu tâm O bán kính r.
là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3.
3
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
1.3 Sự bằng nhau của hai tập hợp:
Định nghĩa: Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mọi phần tử của A
đều là phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B đều là phần tử của A. Khi đó ta viết A = B.
Từ định nghĩa muốn chứng minh A = B phải chứng minh các điều sau:
-
Nếu
x∈ A
thì
x∈B
x∈B
x∈ A
Nếu
thì
2. Tập hợp con:
2.1 Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập
hợp B thì khi đó ta nói tập A chứa trong B, hay tập A là tập hợp con của tập hợp B.
A⊂ B
Ký hiệu:
Ví d:
-
-
ÂÔ Ă
Tp hp {1; 3} l tp hp con ca tập hợp {1; 2; 3}
- Tập hợp các tam giác đều là tập hợp con của tập hợp các tam giác.
2.2 Tính chất:
A⊂ A
- Với mọi tập hợp A thì
;
-
∅⊂ A
Với mọi tập hợp A thì
;
B⊂C
A⊂C
A⊂ B
- Nếu
và
thì
(tính chất bắc cầu);
A⊂ B
B⊂ A
A=B
- Nếu
và
thì
.
2.3 Tập các tập con của một tập hợp
-
P ( A)
Cho A là một tập hợp, ký hiệu
là tập các tập con của tập A.
Nếu A có n phần tử thì P(A) sẽ có 2n phần tử.
Ví dụ: A = {a} khi
P( A) = {∅, a}
P( A) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}
A
A = {a, b, c} thì
3. Các phép tốn trên tập hợp
A3.1∩Hợp
B của các tập hợp
3.1.1 Định nghĩa: Cho A và B là hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc
ít nhất một trong hai tập A, B là hợp của hai tập A, B.
C = A∪ B
B
Ký hiệu:
Biểu đồ Venn:
hoặc
A ∪ B = {x | x ∈ A
hoặc
x ∈ B}
4
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
Ví dụ: Nếu định nghĩa A, B, C là các tập như sau:
C = {x | f ( x).g ( x) = 0}
A = {x | f ( x) = 0}
và
B = {x | g ( x) = 0}
thì
C = A∪ B
. Khi đó
3.1.2 Định lý: Với A, B, C là các tập nào đó khi đó
B⊂ A
A∪ B = A
Nếu
thì
;
A∪∅ = A
A∪ A = A
ii) Với mọi tập hợp A thì
và
;
A∪ B = B ∪ A
iii)
;
i)
A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C
iv)
.
3.2 Giao của các tập hợp
3.2.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc cả hai
tập hợp A, B là giao của hai tập hợp A, B.
C = A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}
A∩ B
Ký hiệu:
Biểu đồ Venn:
A
B
Định lý: Với A, B, C là các tập hợp tùy ý thì ta có các khẳng định sau:
A∩∅ = ∅
B⊂ A
A∩ B = B
A∩ A = A
i) Nếu
thì
. Với mọi tập hợp A thì
và
;
A∩ B = B ∩ A
;
3.2.2
ii)
iii)
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
.
3.2.3 Định lý: Cho A, B, C là các tập tùy ý khi đó:
i)
A ∩ ( A ∪ B) = A
ii)
iii)
;
( A ∩ B) ∪ B = B
;
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
;
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
iv)
.
3.3 Hiệu của hai tập hợp
3.3.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc A và
không thuộc B là hiệu của tập A và tập B.
A\ B
A
Ký hiệu: C = A\B hoặc
Biểu Bđồ Venn:
A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}
5
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
3.3.2 Định lý: Với A, B, C, D là các tập nào đó, khi đó:
A\ B =∅
A⊂ B
1.
khi và chỉ khi
;
A\ B ⊂ A
2. Với A, B bất kỳ thì
;
D⊂C
A\C ⊂ B \ D
A⊂ B
3. Nếu
và
thì
;
C\B⊂C\A
A⊂ B
4. Nếu
thì với tập C bất kỳ ta có
.
3.4 Phần bù
Nếu
B⊂ A
thì A\B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu
C A ( B) = {x ∈ A | x ∉ B}
CA ( B)
-
hay
.
Thực chất phần bù
là hiệu A\B với điều kiện
phần bù được suy ra từ tính chất của phép hiệu A\B.
3.4.1 Định lý: Với các tập A, B, C tùy ý ta có
-
C A ( B)
A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B) ∩ ( A \ C )
B⊂ A
nên mọi tính chất liên quan đến
;
A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C )
.
Công thức đối ngẫu De Morgan
C A (U Bi ) = I (C A ( Bi ))
-
i
i
;
C A (I Bi ) = U(C A ( Bi ))
i
i
.
Ta có thể phát biểu phần bù của hợp bằng giao các phần bù, phần bù của giao bằng hợp các
phần bù.
3.5 Hiệu đối xứng của A và B:
-
A\ B
A∆ B = ( A \ B) ∪ ( B \ A)
A
Ký hiệu:
B
Biểu đồ Venn:
6
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
3.6 Tích Descartes của các tập hợp
Giả sử a và b là hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng này ta thành lập đối tượng thứ ba
ký hiệu (a; b) và gọi là cặp (a; b). Hai cặp (a; b) và (c; d) được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
a = c và b = d. Nếu
a≠b
thì cặp (a; b) và (b; a) được coi là khác nhau.
3.6.1 Định nghĩa: Tích Descartes của n tập hợp
sắp thứ tự
( a1 ; a2 ;...; an )
trong đó
a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 ,..., an ∈ An
Ta ký hiệu tích Descartes trên là
chúng được ký hiệu là
3.6.2 Ví dụ: Cho
A
A1 , A2 ,..., An
A1 × A2 × ... × An
. Nếu
là tập hợp gồm tất cả các dãy
.
A1 = A2 = ... = An
thì tích Descartes của
n
.
A1 = {a; b} A2 = {c; d }, A3 = {1; 2}
,
. Khi đó:
A1 × A2 × A3 = {(a; c;1), (a; d ;1), ( a; c; 2), ( a; d ; 2), (b; c;1), (b; c; 2), (b; d ;1), (b; d ; 2)}
3.6.3 Nhận xét:
A× B = ∅
A=∅
B=∅
khi và chỉ khi
hoặc
.
A× B ≠ ∅
A '× B ' ⊂ A × B
A' ⊂ A
B'⊂ B
Nếu
thì
khi và chỉ khi
và
.
Bài 2: Khái niệm cơ bản về ánh xạ - Các ánh xạ đặc biệt
______________________________________________________
1. Ánh xạ:
1.1 Khái niệm:
Cho hai tập hợp X và Y. Một quy tắc tương ứng f mỗi phần tử
phần tử
y ∈Y
Ký hiệu:
x∈ X
với một và chỉ một
được gọi là ánh xạ từ tập X vào tập Y.
f : X →Y
hoặc
f
X
→Y
.
7
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
y ∈Y
-
Hàm số
y = lg x
là ánh xạ từ
Phép tương ứng mỗi số
trị
-
x∈ X
Phần tử
, tương ứng với phần tử
qua ánh xạ f, khi đó, x được gọi là tạo ảnh của y
và y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f.
Ngoài ra, X được gọi là tập nguồn (miền xác định), Y cịn được gọi là tập đích (miền giá trị)
của ánh xạ f.
1.2 Ví dụ:
¡
¡
Hàm số y = x – 1 là ánh xạ từ tập số thực
vào
x>0
+
+
vào
¡
với một số
ta sẽ có hai giá trị của y là:
Phép tương ứng
có
x∈¡
¡
y= x
f ( x) =
f :¡ → ¡
sao cho
y∈¡
y∈¡
và
sao cho
y=− x
1
x +1
x = y2
khơng là ánh xạ vì với một giá
đều tương ứng với x.
không phải là ánh xạ vì với
x = −1∈ ¡
thì khơng
tương ứng với x đã cho.
1.3 Định nghĩa: Bộ phận A của tập X được gọi là ổn định đối với ánh xạ f với
f : X → Y ⇔ ∀a ∈ A, f (a ) ∈ A
.
1.4 Ánh xạ bằng nhau:
Định nghĩa:
Cho f và g là hai ánh xạ từ X vào Y. Ánh xạ f được gọi là bằng ánh xạ g nếu f(x) = g(x) với
mọi
x∈ X
.
f ( x) = a
x∈ X
Nếu với mọi
đều có
với a là một phần tử xác định của Y, thì ta nói f là một
ánh xạ không đổi, hay ánh xạ hằng số.
f ( x ) = x,
x∈ X
Nếu X = Y và
với mọi
thì f được gọi là ánh xạ đồng nhất của X. Ký hiệu
Nhận xét: Hai ánh xạ f và g là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chung tập nguồn và
∀x ∈ X , f ( x) = g ( x)
chung tập đích và
2. Ảnh và tạo ảnh:
2.1 Ảnh của một tập hợp:
1X
.
.
f : X →Y
a) Định nghĩa: Cho ánh xạ
và A là một tập con của X. Tập con của Y gồm ảnh
của tất cả các phần tử của A được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f.
Ký hiệu: f(A). Hay,
Khi đó,
f ( A) = { f ( x) | x ∈ A}
y ∈ f ( A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f ( x)
b) Định lý: Cho ánh xạ
f : X →Y
.
.
. Với hai tập con tùy ý A và B của X ta có:
8
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
f ( A ∪ B ) = f ( A) ∪ f ( B )
f ( A ∩ B ) ⊂ f ( A) ∩ f ( B )
và
(Sinh viên tự chứng minh như bài tập.)
2.2 Tạo ảnh của một tập hợp:
a) Định nghĩa: Cho ánh xạ
x∈ X
các phần tử
sao cho
f −1 (U )
Ký hiệu:
và U là một tập con tùy ý của Y. Tập con của X gồm
được gọi là tạo ảnh toàn phần của U qua ánh xạ f .
f −1 (U ) = {x ∈ X | f ( x ) ∈U }
f : X →Y
−1
−1
−1
−1
−1
−1
f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B)
-
f ( x) ∈ U
. Khi đó,
b) Định lý: Cho ánh xạ
f : X →Y
.
và
x ∈ f −1 (U ) ⇔ f ( x) ∈U
.
. Với hai tập con bất kỳ A, B của Y thì
;
f ( A ∩ B) = f ( A) ∩ f ( B)
.
(Sinh viên tự chứng minh như bài tập nhỏ).
3. Các loại ánh xạ đặc biệt
3.1 Đơn ánh:
3.1.1 Định nghĩa: Ánh xạ
x1
x2
f : X →Y
được gọi là một đơn ánh nếu với hai phần tử khác
f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
nhau và
bất kỳ của X thì
. Nói cách khác, f là một đơn ánh nếu mọi phần tử
của tập đích chỉ có tối đa một tạo ảnh trong tập nguồn.
Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một đơn ánh ta chứng minh:
∀x1 , x2 ∈ X , x1 ≠ x2
thì
f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
∀x1 , x2 ∈ X , f ( x1 ) = f ( x2 )
Hoc
3.1.2 Vớ d:
nh x
f :Ă Ă
f :Ơ Ô
nh xạ
n thì
1 1
≠
n m
thì
xác định bởi
.
x1 = x2
.
f ( x) = x 2
f (n) =
xác định bởi
1
n
không là đơn ánh vì f(1) = f(-1) = 1.
là một đơn ánh vì với hai số tự nhiên khác nhau m,
.
iA : A → E
A⊂ E
Nếu
, ánh xạ nhúng chính tắc
từ A vào E.
3.2 Toàn ánh:
xa x
là một đơn ánh được gọi là đơn ánh chính tắc
9
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
3.2.1 Định nghĩa: Ánh xạ
f : X →Y
f : X →Y
là toàn ánh nếu với mọi
Toàn ánh
f : X →Y
được gọi là một tồn ánh nếu f(X) = Y. Nói cách khác
y ∈Y
đều tồn tại
x∈ X
sao cho f(x) = y.
còn được gọi là ánh xạ toàn ánh từ X lên Y.
Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một toàn ánh thì ta cần chứng minh
sao cho f(x) = y.
Nhận xét:
Nói cách khác một ánh xạ
một tạo ảnh trong X.
3.2.2 Ví dụ:
f :¡ → ¡
f : X →Y
∀y ∈ Y , ∃x ∈ X
là toàn ánh khi và chỉ khi mọi phần tử của Y có ít nhất
f ( x ) = cos x
2∈¡
khơng là tồn ánh vì tồn tại số
x∈¡
cos x = 2
¡
mà khơng có
để
. Tuy nhiên nếu xét ánh xạ g từ tập số thực vào đoạn [-1, 1] thì
g là tồn ánh.
Ánh xạ
xác định bởi cơng thức
3.3 Song ánh
f : X →Y
3.3.1 Định nghĩa: Ánh xạ
được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là
toàn ánh.
Để chứng minh một ánh xạ f là song ánh thì ta phải chứng minh f là đơn ánh và f là tồn
ánh, hoặc chứng minh rằng
3.3.2 Ví dụ:
Ánh xạ đồng nhất
∀y ∈ Y
1X : X → X
tồn tại duy nhất
x∈ X
sao cho
f ( x) = y
.
là một song ánh.
f :¡ → ¡
x a x2
Ánh xạ
không là song ánh vì nó khơng phải là tồn ánh (cũng khơng là đơn ánh).
Nhận xét: Một ánh xạ bất kỳ từ E vào E gọi là một hốn vị của E.
Ví dụ:
Cho
và
f :¥ →¥
x a 2x
g :¥ → ¥
y
y a 2
y −1
2
Nếu y chẵn
Nếu y lẻ
10
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
Khi đó f là đơn ánh khơng là tồn ánh. g là tồn ánh khơng là đơn ánh.
(Sinh viên tự kiểm tra.)
3.4 Tích các ánh xạ:
3.4.1 Định nghĩa: Cho hai ánh xạ
f : X →Y
và
g :Y → Z
h = g of
. Ánh xạ
h: X → Z
x a g ( f ( x))
được gọi
là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g. Ký hiệu
hay h = gf.
Nhận xét: Theo định nghĩa ta chỉ xác định được tích gf khi tập đích của f chứa trong tập
nguồn của g.
f :X →X
g:X → X
Nếu
và
thì ta có thể xác định được tích fg và tích gf, tuy nhiên gf có thể
khác với fg, hay tích của hai ánh xạ khơng giao hốn.
Ví dụ:
Nếu f và g là hai ví dụ cho ở trên thì
f og : ¥ → ¥
x
xa
x −1
3.4.2 Định lý: Cho
b)
c)
d)
e)
f)
nhưng
Nếu y chẵn
Nếu y lẻ
f : X →Y
,
g :Y → T
f : X →Y
a)
g o f = Id N
và
h :T → U
thì h(gf)=(hg)f.
g :Y → T
3.4.3 Định lý: Giả sử
và
là hai ánh xạ và
Nếu f, g là các đơn ánh thì h là đơn ánh;
Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh;
Nếu h là đơn ánh và f là tồn ánh thì g là đơn ánh;
Nếu f, g là tồn ánh thì h là tồn ánh;
Nếu h là tồn ánh thì g là tồn ánh;
Nếu h là tồn ánh và g là đơn ánh thì f là tồn ánh.
3.4.4 Hệ quả: Giả sử
3.5 Ánh xạ ngược
f : X →Y
và
f : X →Y
g :Y → T
f :¡ → ¡
x a x3
. Khi đó:
là các song ánh thì gf cũng là song ánh.
g :Y → X
3.5.1 Định nghĩa: Giả sử
và
đó g được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f.
h = gf : X → T
là hai ánh xạ thỏa:
gf = 1X
và
fg = 1Y
thì khi
f −1 : ¡ → ¡
ya
3
y
Ví dụ: Ánh xạ
có ánh xạ ngược
Trong trường hợp các hàm, khái niệm ánh xạ ngược chính là khái niệm hàm số ngược.
3.5.2 Định lý: Ánh xạ
ánh thì
f
f : X →Y
có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh. Nếu f là song
−1
cũng là song ánh.
11
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
3.5.3 Định lý: IÁnh xạ ngược của một ánh xạ là duy nhất.
3.5.4 Định lý: Nếu
( g of )
−1
= f
−1
f :E →F
og
và
g:F →G
là những song ánh, thì
g of : E → G
là song
−1
ánh và
3.6 Thu hẹp và thác triển (hoặc mở rộng) ánh xạ:
3.6.1 Thu hẹp ánh xạ:
Cho X và Y là hai tập hợp và
f : X →Y
thu hẹp của f vào A là ánh xạ ký hiệu là
là một ánh xạ, gọi A là một tập con của X. Khi đó
f |A
xác định bởi:
f |A: A → Y
x a f ( x)
3.6.2 Thác triển (mở rộng) ánh xạ:
Cho X và Y là hai tập hợp và
f : X →Y
đó, mở rộng của f trên X’ là ánh xạ
Ví du:
là một ánh xạ, X’ là tập hợp sao cho
g : X '→Y
sao cho
∀x ∈ X , g ( x) = f ( x)
X ⊂X'
. Khi
.
f :¡ * → ¡
sin x
xa
x
g :¡ → ¡
Khi đó, ánh xạ g là một mở rộng của f được xác định bởi:
sin x
xa x
1
x≠0
x=0
Nhận xét: g là mở rộng duy nhất của f và liên tục tại 0.
Chương 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Bài 1: Khái niệm ma trận và các phép toán trên ma trận
______________________________________________________
1. Ma trận:
1.1 Định nghĩa:
Ma trận m × n là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột (m,n là các số
nguyên dương)
12
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
A=
A = (aij ) m×n
Hay viết gọn là
cột của phần tử.
Hai ma trận
và
j = 1, n
A = (aij ) m×n
và
hoặc
A = [ aij ]m×n
B = (bij ) m×n
trong đó
i = 1, m
chỉ số dòng và
j = 1, n
aij = bij
được gọi là bằng nhau nếu
với mọi
chỉ số
i = 1, m
.
1 2 3
1 2 3
A=
; B = 4 5 6
4
5
6
2x3
7 8 9 3 x 3
Ví dụ: Ma trận
1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt:
1.2.1 Ma trận vuông:
Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có khái niệm ma
trận vng.
A=
Trong ma trận vng các phần tử
chính, các phần tử
Ví dụ:
an1 , a( n −1)2 ,..., a1n
a11 , a22 ,..., ann
là các phần tử nằm trên đường chéo
là các phần tử nằm trên đường chéo phụ.
1 2 3
B = 4 5 7
7 8 9
1 2
A=
3 4
là ma trận vuông cấp hai và
là một ma trận vuông cấp 3.
Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4. Phần tử nằm trên đường chó
chính của ma trận B là 1, 5, 9.
1.2.2 Ma trận dịng, ma trận cột:
Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dịng, được gọi là ma trận dịng. Tương tự, nếu n = 1
thì ta có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột. Ma trận dòng và ma trận cột
thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột.
Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dịng, một cột.
Ví dụ:
A = [ 1 2 3 4]
1
B = 5
7
Ma trận dịng:
và ma trận cột
1.2.3 Ma trận khơng
Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ta dùng số 0 để
biểu thị cho mọi ma trận không cấp m x n.
Ví dụ:
13
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
0 0 0
0 0 0
Ma trận 0 cấp 2x3:
1.2.4 Ma trận chéo
Ma trận vng có các phần tử ngồi đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử trên
đường chéo chính khác khơng được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo). Ma
trận chéo cấp n có dạng
(a
ii
A=
≠ 0, ∀i :1, n
)
Ví dụ:
1 0
0 −1
C=
0 0
0 0
0
0
1
0
0
0
0
4
Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi
diag( a1 , a2 ,..., an )
với các phần tử
a1 , a2 ,..., an
trên đường chéo chính là
1.2.5 Ma trận đơn vị:
Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, được gọi
In
là ma trận đơn vị, ký hiệu
1.2.6 Ma trận tam giác
Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma
trận tam giác
A=
aij = 0
Trong đó
Ví dụ:
B=
khi i> j được gọi là ma trận tam giác trên.
1
0
A=
0
0
2
4
0
0
3
3
1
0
4
2
2
5
là ma trận tam giác trên
bij = 0
Trong đó
khi i < j được gọi là ma trận tam giác dưới.
3 0 0
B = 1 2 0
0 1 1
Ví dụ:
là ma trận tam giác dưới.
Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là ma trận
tam giác.
1.2.7 Ma trận chuyển vị
a) Định nghĩa:
14
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
AT
Cho ma trận A, ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu
là ma trận mà trong đó,
vai trị của dịng và cột hốn chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng.
Giả sử ta có ma trận A=
thì khi đó ma trận chuyển vị của ma trận A là =
AT
Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận
có cấp là n x m.
Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và ngược lại chuyển vị
của ma trận dịng là ma trận cột.
Ví dụ:Ma trận
1 2 3 4
A = 5 6 7 8
9 1 2 3
b) Định lý: Cho các ma trận
(A )
T T
thì ma trận chuyển vị của ma trận A là
A, B ∈ M mxn ( K )
1
2
T
A =
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
. Khi đó ta có các khẳng định sau:
=A
.
AT = BT ⇔ A = B
1.2.8 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng:
Nếu ma trận vng A thỏa
Ví dụ: Ma trận
Ma trận
1 2 3
A = 2 1 0
3 0 1
1 2 3 4
2 0 −1 2
A=
3 −1 −1 0
4 2 0 3
Nếu ma trận vng A thỏa
Ví dụ:
Ma trận
0
−2
B=
−3
4
AT = A
thì ta nói A là ma trận đối xứng.
là một ma trận đối xứng cấp3.
là ma trận đối xứng cấp 4.
AT = − A
2 3 −4
0 −5 1
5 0 3
1 −3 0
thì A ma trận phản đối xứng.
là ma trận phản đối xứng.
aij = a ji , ∀i , j = 1, n
Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì
aij = − a ji , ∀i, j = 1, n
Nếu A là ma trận phản xứng thì
trên đường chéo chính bằng 0).
, từ đây suy ra
aii = 0
(các phần tử
15
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
1.2.9 Ma trận bậc thang:
Nếu một ma trận trên K có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời trên
hai dịng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử
khác 0 đầu tiên của dịng trên thì ma trận đó được gọi là ma trận bậc thang trên K.
0 −3 12 1 7 0
0 0 1 2 3 4
B=
0 0 0 0 4 5
0 0 0 0 0 0
Ví dụ: Ma trận
là ma trận bậc thang có ba dịng khác 0.
1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận: bao gồm các phép biến đổi
sau
i. Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau.
ii. Nhân dòng thứ i với một số khác khơng.
i≠ j
λ
iii. Cộng dịng thứ i với dòng thứ j nhân với một số với
.
Nếu thay từ dịng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Ma trận B được gọi là tương đương dòng với ma trận A nếu có một số hữu hạn phép
biến đổi sơ cấp dịng biến ma trận A thành ma trận B.
Nhận xét:
- Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến đổi sơ
cấp.
- Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất phản xạ;
đối xứng; bắc cầu.
- Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị
phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.
Ví dụ:
1 0 0
I 3 = 0 1 0
0 0 1
thì có các ma trận sơ cấp nhận được từ
I3
In
qua duy nhất một
qua các phép biến đổi sơ cấp
là:
0 0 1
S1 = 0 1 0
1 0 0
1 0 0
S2 = 0 1 0
0 0 4
1 0 2
S3 = 0 1 0
0 0 1
với
với
d1 ↔ d4
I 3
→ S1
d 3 → 4 d3
I 3
→ S2
d1 → d1 + 2 d4
I 3 →
S3
với
2. Các phép toán trên ma trận
16
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
2.1 Phép cộng các ma trận
2.1.1 Định nghĩa: Tổng của hai ma trận
C = (cij ) m×n
A = (aij ) m×n
cij = aij + bij
với
và
B = (bij ) m×n
là một ma trận
. Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B.
C=
2.1.2 Ví dụ:
1 −2 3
A=
2 −1 4
0 2 1
B=
1 3 −4
và
. Khi đó,
2.2 Phép nhân ma trận với một số:
2.2.1 Định nghĩa: Tích của ma trận
phần tử của ma trận A với số
2.2.2 Ví dụ:
λ
, ký hiệu
1 0 4
A+ B =
3 2 0
A = (aij ) m×n
λA
. Ta có,
với số
λ
thu được bằng cách nhân các
λ A = (λ aij ) m×n
4 −2 −3 −8 4 6
−2
=
7 −3 2 −14 6 −4
Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi là phép trừ của
hai ma trận.
2 3 −5
A=
4 2 1
và
2 −1 3
B=
3 5 −2
thì
0 4 −8
A− B =
1 −3 3
A, B, C ∈ M mxn ( K )
λ, µ ∈ K
2.2.3 Định lý: Với
và
ta có:
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) 0 + A = A + 0 = A
d) A + (-A ) = (-A) + A = 0
e)
f)
( A + B)
T
= AT + BT
λ ( A + B) = λ A + λ B
(λ + µ )A = λ A + µ A
g)
2.3 Phép nhân hai ma trận:
2.3.1 Định nghĩa:
Cho hai ma trận
A = (aij ) m×r
C = (cij ) m×n
và
B = (bij ) r ×n
, khi đó tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là
AB là một ma trận
với các phần tử
dòng i của ma trận A với cột j của ma trận B.
cij
là tổng của các tích các phần tử tương ứng
17
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
r
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + air brj = ∑ aik bkj
k =1
Tức là
Ví dụ:
=
Chú ý:
Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận B bằng
đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp m x p và B là ma trận cấp p x n
thì AB là ma trận cấp m x n. Do đó, với A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của
AB, ta cũng khơng hẳn suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai
ma trận khơng giao hốn.
Ngồi ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0.
2.3.2 Ví dụ:
a) Giả sử
1 2
A=
−1 3
và
2 1
B=
0 1
1 0
0 0
C=
;
D
=
1 0
0 0
b) Với
ta có
khi đó;
2 3
AB =
−2 2
0 0
CD =
0 0
và
1 7
BA =
−1 3
. Vậy
AB ≠ BA
C ≠ 0; D ≠ 0
mặc dù
.
Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B có thể
hốn vị với nhau. Ma trận đơn vị có thể hốn vị với mọi ma trận cùng cấp.
c) Cho
1 2 −1
A=
3 1 4
và
−2 5
B = 4 −3
2 1
thì
1.(−2) + 2.4 + ( −1).2 1.5 + 2.( −3) + ( −1).1 4 −2
AB =
=
3.5 + 1.( −3) + 4.1 6 16
3.( −2) + 1.4 + 4.2
d) Cho
1 x 3
A=
2 −1 1
2
B = 4
y
và
. Nếu
12
AB =
6
hãy tìm x và y
Giải:
2
1 x 3 2 + 4 x + 3 y 12
AB =
4 =
=6
y
2 −1 1 y
Ta có
18
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
Suy ra y = 6 và x = -2.
2.3.4 Định lý:
B, B ' ∈ M nxp ( K )
A, A ' ∈ M mxn ( K )
Cho
và
C ∈ M pxq ( K )
và
và
∀α ∈ K
thì:
A0nxp = 0mxp ;
0rxm A = 0 rxn ;
A( B ± B ') = AB ± AB ';
( AB )
T
= BT AT ;
α ( AB ) = (α A) B = A(α B ), ∀α ∈ K
A = diag(a1 , a2 ,..., an )
2.3.5 Định lý: Với
B = diag(b1 , b2 ,..., bn )
và
thì
A ± B = diag( a1 ± b1 , a2 ± b2 ,..., a1 ± b1 )
AB = diag( a1b1 , a2b2 ,..., a1b1 )
2.3.6 Nhận xét:
A1 , A2 ,..., An
Cho các ma trận
là các ma trận có số cột của ma trận liền trước bằng số
dịng của ma trận liền sau. Khi đó tích của n ma trận này được định nghĩa theo cách quy
nạp sau:
A1 A2 A3 = ( A1 A2 ) A3
A1 A2 A3 A4 = ( A1 A2 A3 ) A4
M
A1 A2 A3 A4 ... An −1 An = ( A1 A2 ... An −1 ) An
Hơn thế bằng cách chứng minh quy nạp ta có:
( A1 A2 .... An )T = AnT AnT−1... A2T A1T
2.4 Lũy thừa ma trận:
Ak = 1
A. 2
A...3A
k lân
2.4.1 Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là:
.
k −1
A = I n ; A = A; A = A. A;..., A = A . A
0
1
2
k
Cụ thể,
0 1 0
A = 0 0 1
0 0 0
2.4.2 Ví dụ: Cho
0 0 1
A = 0 0 0 ÷
÷
0 0 0÷
0 0 0
A = 0 0 0 ÷
÷
0 0 0÷
2
thì ta được
3
và
Nhận xét: Có những ma trận khác ma trận không nhưng lũy thừa k lần với
thành ma trận khơng.
k ∈¥
sẽ
19
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
A ∈ M ( n; K )
k ∈¥
Ak = 0
Một ma trận
thỏa tính chất tồn tại một số
, sao cho
thì khi đó
ma trận A được gọi là ma trận lũy linh.
A ∈ M ( n; K )
A2 = 0
Một ma trận
thỏa tính chất
thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận
lũy đẳng.
2.4.3 Tính chất:
A ∈ M (n; K )
r, s ∈ ¥
Cho
và
, khi đó:
( 0)
r
= 0;
( In )
r
= In
Ar + s = Ar . A s
Ars = ( Ar )
s
2.4.5 Định lý: Giả sử A, B là hai ma trận giao hoán trong M(n;K) (nghĩa là AB = BA)
và
k ∈¥
, khi đó ta có:
( AB ) k = Ak .B k
;
Ak − B k = ( A − B )( Ak −1 + Ak − 2 B + ... + B k −1 )
;
i
( A + B ) k = ∑ Cki Ai B k −i .
k
Bài 2: Định thức - Định nghĩa, các tính chất, cách tính định
thức
________________________________________________________________
1. Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A| được tính bằng
det A =
∑ sign π a
π ∈Sn
a
1π (1) 2π (2)
...anπ ( n )
, trong đó
số tự nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}.
Sn
là tập tất cả các phép thế của tập hợp gồm n
Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường được gọi là một
định thức cấp n.
Ví dụ:
Khi n = 2
Ta có nhóm các phép thế
1 2 1 2
S2 =
÷;
÷
1
2
2 1
20
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
a11
a12
a21 a22
= a11a22 − a12 a21
Suy ra biểu thức tính định thức cấp 2 là:
Khi n = 3
Ta có nhóm các phép thế
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
S3 =
÷;
÷;
÷;
÷;
÷;
÷
1
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
1
2
3
1
3 1 2
Suy ra:
a11 a12
A = a21 a22
a31 a32
a13
a23 = a11a22 a33 − a12 a21a33 − a23 a32 a11 − a13a22 a31 + a12 a23a31 + a13a21a32 =
a33
= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 − a12 a21a33 − a23a32 a11 − a13a22a31
2. Cách tính định thức bậc 2 và bậc 3:
Theo trên ta có
a
a
A = 11 12 ÷
a21 a22
Cho
ta có định thức của ma trận A là detA hay |A|, được tính bằng
∑ signπ a
det A =
a
1π (1) 2π (2)
π ∈S 2
a11 a12
A = a21 a22
a31 a32
= a11a22 + (−1)a12 a21 = a11a22 − a12 a21.
a13
a23
a33
Cho
det A =
khi đó ta có
∑ signπ a
a
a
1π (1) 2π (2) 3π (3)
π ∈S3
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 − a11a23 a32 − a12a21a33 .
Công thức trên thường được nhớ theo quy tắc Sarrus như sau: Ta viết them cột thứ
nhất và thứ hai vào bên phải định thức ta được
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13 a11
a23 a21
a33 a31
a12
a22
a31
Thì tích các phần tử trên ba đường chấm chấm sẽ có dấu như sau
Ví dụ:
21
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
1 2 3
2 1 3 = 1.1.2 + 2.1.3 + 2.3.3 − 3.1.3 − 3.1.1 − 2.2.2 = 6
3 1 2
2 1
= 2.3 − 2 = 4
2 3
3. Các tính chất
3.1 Tính chất 1: Định thức khơng đổi qua phép chuyển vị, tức là
det A = det AT .
Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dịng thì cũng
đúng với cột và ngược lại.
Ví dụ:
2 0 2 1
=
=6
1 3 0 3
(i ≠ j )
3.2 Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dịng
định thức thì định thức đổi dấu.
(hoặc hai cột khác nhau) bất kỳ của
1 3 5
3 1 7
2 7 9 =− 2 7 9
3 1 7
1 3 5
Ví dụ:
3.3 Tính chất 3: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một cột) của định thức
được nhân với
λ
thì định thức mới bằng định thức ban đầu nhân với
λ
.
1 2 3
1 2 3
4 2 6 = 2. 2 1 3
9 8 6
9 8 6
Ví dụ:
det(λ A) = λ n det( A).
Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vng cấp n thì
3.4 Tính chất 4: Cho A là ma trận vng cấp n. Giả sử dịng thứ i của ma trận A có
aij = aij' + aij''
thể biểu diễn dưới dạng
...
det A = a + ai1''
...
'
i1
với j = 1, 2, …,n. Khi đó ta có:
...
...
...
...
''
'
''
a + ai2 ... ain + ain = ai1'
...
...
...
...
'
i2
... ... ... ... ... ... ...
ai2' ... ain' + ai1'' ai2'' ... ain''
... ... ... ... ... ... ...
Trong đó các dịng cịn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn tồn như nhau và chính là
các dịng cịn lại của ma trận A.
22
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 = 6 5 4 + −2 0 2
7 8 9 7 8 9 7 8 9
Ví dụ:
Từ tính chất trên, ta cũng có kết quả tương tự đối với cột.
Chú ý: Các tính chất 2, 3, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên của định thức.
Từ các tính chất trên ta có các kết quả sau:
3.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong các điều
kiện sau:
Có một dịng mà tất cả các phần tử của dịng đó đều bằng 0,
Có hai dịng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau,
di
Có một dịng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại dòng
di = a1d1 + a2 d 2 + ... + ai −1di −1 + ai +1d i +1 + ... + ak d k + ...
với
ai ∈
mà
K.
3.6 Tính chất 6: Định thức sẽ khơng thay đổi nếu:
Nhân một dịng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng.
Cộng vào một dịng một tổ hợp tuyến tính của các dịng khác.
Nhận xét:
- Nếu thay từ dịng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng.
- Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc tính detA bằng
định nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, ngồi cách vận dụng các tính chất trên
của định thức, ta cịn rất hay sử dụng định lý Laplace sau đây.
4. Định lý Laplace:
4.1 Định thức con và phần bù đại số:
1≤ k ≤ n
Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa
. Các phần tử nằm
trên giao của k dòng bất kỳ và k cột bất kỳ của A làm nên một ma trận vuông cấp k của
A. Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp k của A.
1 ≤ i, j ≤ n
Đặc biệt, khi cho trước
, nếu ta xóa đi dịng i, cột j của ma trận A ta sẽ được
Aij = (−1)i + j M ij
M ij
ma trận con cấp n-1 của ma trận A, ký hiệu là
aij
bù đại số của phần tử
. Khi đó,
được gọi là phần
aij
(với
là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận A).
23
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
Ví dụ: Xét ma trận
1
0
A=
1
0
2
2
5
5
3
4
1
2
2
1
4
1
D2 =
1 2
=2
0 2
khi đó. Định thức
được gọi là định
2 4 1
M 11 = 5 1 4
5 2 1
thức con cấp 2 của A. Ta có
cột 1 của ma trận A là:
khi đó phần bù đại số của phần tử ở dòng 1 và
A11 = ( −1)1+1 | M 11 |= 51
Nhận xét:
i1 , i2 ,..., ik
Nếu M là định thức con của A tạo bởi các dòng
của M. Ký hiệu là M’ được xác định như sau:
j1 , j2 ,..., jk
và
thì phần bù đại số
M ' = (−1)i1 +i2 +...+ik + j1 +....+ jk det( K )
với K là ma trận có được từ ma trận A khi bỏ đi các dòng
i1 , i2 ,..., ik
j1 , j2 ,..., jk
và các cột
.
M=
1 2
1 5
Ví dụ: Đối với ma trận A cho trên, xét
dòng 3; cột 1 và cột 2. Khi đó,
dịng 1, dịng 3
4 1
K =
2 1
là định thức của A tạo bởi dịng 1 và
là ma trận có được từ ma trận A sau khi bỏ đi
M ' = ( −1)1+1+1+ 2+3+1+3+ 2
cột 1 và cột 2. Vậy,
4 1
=2
2 1
.
4.2 Định lý Laplace: Cho A là ma trận vng cấp n
Khi đó
Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i thì detA được biểu diễn dưới dạng
n
det A = (−1)i +1 ai1 Ai1 + ( −1)i + 2 ai2 Ai2 + ... + (−1) i + n ain Ain = ∑ (−1) i + k aik Aik
k =1
Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn dưới dạng
n
det A = ( −1) j +1 a1 j A1 j + ( −1) j + 2 a2 j A2 j + ... + ( −1) j + n anj Anj = ∑ ( −1) j + k akj Akj
k =1
Ví dụ:
24
Họ và tên:
Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính
1
2
A=
3
d
0
0
c
0
2
b
4
0
a
0
5
0
a) Xét ma trận
Nhận thấy dịng 4 có nhiều số 0, nên khai triển định thức theo dịng 4 ta có:
0 2 a
A = (−1) d 0 b 0
c 4 5
4 +1
.
0 2 1
0 b 0
c 4 5
Tiếp tục khai triển theo dòng thứ 3 của định thức
A = − d .c.
ta có:
2 a
= − dc(− ab) = abcd
b 0
0
2
B=
1
0
3
3
1
4
0
1
3
0
5
1
0
5
b) Xét ma trận
2 1 1
2 3 1
1+ 4
B = ( −1) 3 1 3 0 + (−1) 5 1 1 3
0 0 5
0 4 0
1+ 2
Khai triển theo dịng 1 có
Khai triển theo dịng cuối của 2 định thức trên có:
B = (−1)1+ 2 .3.5.( −1)3+3
2 1
2 1
+ (−1)1+4 4.(−1) 2 +3 .5
= 25
1 3
1 3
4.3 Định lý Laplace (tổng quát):
A ∈ M n (K )
Cho
det( A) =
i1 < i2 < ... < ik
, chọn trong A các dòng
MM '
. Khi đó,
i1 , i2 ,..., ik
các định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng
phần bù đại số của M.
∑
j1 < j2 <...< jk
, với M là
j1 , j2 ,..., jk
và các cột
và M’ là
Ví dụ:
25
