Ung dung dao ham xet su bien thien va tim GTLN GTNN cua ham so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Hàm số f đồng biến trên D  (x1, x2  D, x1 < x2  f(x1) < f(x2). Haøm soá f nghòch bieán treân D  (x1, x2  D, x1 < x2  f(x1) > f(x2). 2. Ñieàu kieän caàn Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K. a) Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f(x)  0, x  K. b) Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f(x)  0, x  K. 3. Điều kiện đủ Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K. a) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K. b) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K. c) Nếu f(x) = 0, x  K thì f không đổi trên K. Chuù yù: Neáu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì f đồng biến (nghịch biến) trên đoạn [a; b]. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. – Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y  = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới haïn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch bieán cuûa haøm soá. Baøi 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: 2 a) y  2 x  4 x  5. x2 5 y x 4 4 b). 2 c) y x  4 x  3. 3 2 d) y x  2 x  x  2. 2 e) y (4  x )( x  1). 3 2 f) y  x  3 x  4 x  1. 1 y  x4  2x2  1 4 g). 4 2 h) y  x  2 x  3. 1 1 y  x4  x2  2 10 10 i). k) n). y. 2x  1 x 5. y. 2 x 2  x  26 x 2. l) o). y. x 1 2 x. m). y  x  3 . 1 1 x. p). y 1  y. 1 1 x. 4 x 2  15 x  9 3x .. Baøi 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: 4 3 2 a) y  6 x  8x  3 x  1. d). y. b). 2x  1 x2. g) y  2 x  1 . e) 3 x. y y. x2  1 x2  4. c). y. x2  x 1 x2  x 1 .. x x 2  3x  2. 2 h) y  x 2  x. f) y  x  3  2 2  x . 2 i) y  2 x  x.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>    y sin 2 x    x    2 2 k) Baøi 3. a). y.    y sin 2 x  x    x    2 2. l). Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 4 x2  2 x  1 2x2  x  3. b). y. 3x 2  4 x  4 x2  x 1. 2 c) y  x x  4. 2 d) y  x  2 x  x .. VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Cho haøm soá y  f ( x , m) , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh K (K là một khoảng, một đoạn, hay một nửa khoảng), có đạo hàm trên K và phương trình y’=0 có hữu hạn nghiệm trên K.  Hàm số f đồng biến trên K  y  0, x  K.  Haøm soá f nghòch bieán treân K  y  0, x  K. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chuù yù: 1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2 2) Neáu y ' ax  bx  c thì:  a b 0  c 0 y ' 0, x      .  a  0   0 .  a b 0  c 0 y ' 0, x      .  a  0   0 . 2 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) ax  bx  c :  Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.. . b 2a ).  Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =  Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 2 4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) ax  bx  c với số 0:   0   0   x1  x2  0  P  0 0  x1  x2   P  0 S  0  S  0   x  0  x2  P  0  1 3 2 5) Để hàm số y ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1; x2) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:  Tính y.  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:.  a 0    0 . (1).

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  Biến đổi. x1  x2 d. thaønh. ( x1  x2 )2  4 x1 x2 d 2. . (2)  Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m..  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Bài 4. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc taäp xaùc ñònh) cuûa noù: 3. a) y x  5 x  13 d). y. x2  2x  3 x 1. b). y. x3  3x 2  9 x  1 3. e) y 3 x  sin(3 x  1). c) f). y. 2x  1 x 2. y. x 2  2mx  1 x m .. Bài 5. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) y  5 x  cot( x  1). b) y cos x  x. c) y sin x  cos x  2 2 x.. Bài 6. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác ñònh) cuûa noù: 3 2 a) y  x  3mx  (m  2) x  m b). d). y. mx  4 x m. e). y. x 3 mx 2   2x 1 3 2. y. x 2  2mx  1 x m. c) f). y. x m x m. y. x 2  2mx  3m 2 x  2m .. Bài 7. Tìm m để hàm số: 3 2 a) y  x  3 x  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.. 1 1 y  x 3  mx 2  2mx  3m  1 3 2 b) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c). y . 1 3 x  (m  1)x 2  (m  3)x  4 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.. Bài 8. Tìm m để hàm số: a). y. x3  (m  1)x 2  (m  1) x  1 3 đồng biến trên khoảng (1; +).. 3 2 b) y x  3(2m  1) x  (12m  5) x  2 đồng biến trên khoảng (2; +).. c) d) e) f). y. mx  4 (m 2) x m đồng biến trên khoảng (1; +).. y. x m x  m đồng biến trong khoảng (–1; +).. y. x 2  2mx  3m 2 x  2m đồng biến trên khoảng (1; +).. y.  1   2 x 2  3x  m   ;   . 2 x 1 nghịch biến trên khoảng  2 VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:  Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.  Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.  Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. Chuù yù: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f  (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). Bài 9. Chứng minh các bất đẳng thức sau: x. a) c). x3  sin x  x , với x  0 6. x  tan x, với 0  x . Baøi 10..  2. b). a  sin a  b  sin b, với 0  a  b .  2.  2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:. 2x  sin x  , với 0  x   2 a). x3 x3 x 5 x  sin x  x   , với x  0 6 6 120 b).  2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:. x sin x  cos x  1, với 0  x . Baøi 12.. x a) e  1  x, với x  0. c).  2.. a  tan a  b  tan b, với 0  a  b . Baøi 11.. c). d). sin x  tan x  2 x , với 0  x . Chứng minh các bất đẳng thức sau:. tan a a   , với 0  a  b  2 a) tan b b c). 2 1  sin x  tan x  x , với 0  x  3 2 b) 3. ln(1  x )  ln x . Baøi 13.. 1 , với x  0 1 x. b) ln(1  x )  x , với x  0. . . 2 2 d) 1  x ln x  1  x  1  x . logn (n  1)  log(n1) ( n  2), n  1. Chứng minh bất đẳng thức sau. VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:  Chọn được nghiệm x0 của phương trình. Trong nhiều trường hợp, khơng thể tính được nghiệm x0, ta có thể chỉ ra hàm y = f(x) – g(x) liên tục trên D, tồn tại a, b thuộc D sao cho y(a).y(b) 0 từ đó chứng tỏ phương trình (*) có nghiệm.  Xét các hàm số y = f(x) (C 1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C 1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Baøi 14. a). Giaûi caùc phöông trình sau: x  x 5  5. 5 3 b) x  x  1  3 x  4 0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x  x  5  x  7  x  16 14. c) Baøi 15. a). 5. x  1  5 x  2  5 x  3 0. Baøi 17.. b) ln( x  4) 5  x x x x d) 2  3  5 38 .. Giaûi caùc baát phöông trình sau: x  1  3 5 x  7  4 7 x  5  5 13 x  7  8. a). x 2  15 3x  2  x 2  8 .. Giaûi caùc phöông trình sau:. x x x c) 3  4 5. Baøi 16.. d). 2 b) 2 x  x  x  7  2 x  7 x  35 .. Giaûi caùc heä phöông trình sau:. 2 x  1  y 3  y 2  y   2 y  1  z3  z 2  z  3 2 a) 2 z  1  x  x  x.  x y 3  y 2  y  2   y  z3  z 2  z  2  3 2 b)  z  x  x  x  2.  y3 6 x 2  12 x  8  3  z 6 y 2  12 y  8  3 2 c)  x 6 z  12 z  8.  tan x  tan y y  x  5 2 x  3y   4      x, y  2 d)  2. sin x  sin y 3 x  3y   x  y  5  x , y  0   e) cot x  cot y  x  y  . 5 x  7 y 2 0  x , y   g). sin 2 x  2 y sin 2 y  2 x 2 x  3y   0  x , y   2 f) . 3 2 HD: a, b) Xeùt haøm soá f (t ) t  t  t d) Xeùt haøm soá f(t) = tant + t. 2 c) Xeùt haøm soá f (t ) 6t  12t  8. VẤN ĐỀ 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên Ta nhắc lại khái niệm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D   ).  f ( x ) M , x  D M max f ( x )   D x0  D : f ( x0 ) M . a)  f ( x ) m, x  D m min f ( x )   D x0  D : f ( x0 ) m . b) Chú ý max f ( x )  f (b), min f ( x )  f (a) [a;b ] a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [a;b] . max f ( x )  f (a), min f ( x )  f (b) [a;b ] b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì [a;b ] . Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân. Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.  Tính f (x).  Xeùt daáu f (x) vaø laäp baûng bieán thieân.  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].  Tính f (x).  Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).  So sánh các giá trị vừa tính và kết luận. M max f ( x ) max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) [ a;b ]. m min f ( x ) min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n ) [ a;b ]. Baøi 18.. .. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: 2. 3 4 b) y 4 x  3x. a) y x  4 x  3 2 d) y  x  x  2. e). y. 4 2 c) y  x  2 x  2. x 1 x2  2x  2. x2  x 1 1 y  y  x  ( x  0) x x2  x 1 g) h) Baøi 19. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:. f). 2. i). y y. 2x2  4x  5 x2 1 x4  x2 1 x3  x. 3 2 a) y 2 x  3 x  12 x  1 treân [–1; 5]. 3 b) y 3 x  x treân [–2; 3]. 4 2 c) y  x  2 x  3 treân [–3; 2] 3x  1 y x  3 treân [0; 2] e). 4 2 d) y  x  2 x  5 treân [–2; 2] x 1 y x  1 treân [0; 4] f). 4 x2  7x  7 y x 2 g) treân [0; 2]. 1 x  x2 y 1  x  x 2 treân [0; 1] h). ( x  0). .. 2 i) y  100  x treân [–6; 8] k) y  2  x  4  x . Baøi 20. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: 1 2sin x  1 y y 2 sin x  2 cos2 x  cos x  1 a) b) c) y 2sin x  cos x  1. d) y cos 2 x  2sin x  1. y sin3 x  cos3 x. e) f). 2 2 g) y 4 x  2 x  5  x  2 x  3. y. x2  1 x4  x2 1. 2 2 h) y  x  4 x  x  4 x  3 .. VẤN ĐỀ 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.  Chứng minh một bất đẳng thức.  Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức. Baøi 21. biểu thức:. Giả sử. D  ( x; y; z) / x  0, y  0, z  0, x  y  z 1. P. x y z   x 1 y 1 z 1 .. . Tìm giá trị lớn nhất của.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  1 1 1  P 3      (x 1)  (y 1)  (z 1)  1  1  1  9   x  1 y  1 z  1  . Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:  x 1 y 1 z 1  HD: 3 1 3 min P  4.  P  4 . Daáu “=” xaûy ra  x = y = z = 3 . Vaäy D Baøi 22..  5 ( x; y ) / x  0, y  0, x  y   4  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho D =  4 1 S  x 4y ..  x  x  x  x  4 y   1  1  1  1 . 4 1  1  4( x  y )    25  25  x x x x 4y   x 4y  HD:  1  S  5. Daáu “=” xaûy ra  x = 1, y = 4 . Vaäy minS = 5.  ( x; y) / x  0, y  0, x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Baøi 23. Cho D = x2 y2 1 P  xy 1 x 1 y xy . x2 y2 1 1 1 1 P (1  x )   (1  y )   2   2 1 x 1 y x  y HD: = 1 x 1 y x  y .  (1  x )  (1  y)  ( x  y)  1  1  1  9  1 x 1 y x  y  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: 1 1 1 9 5 1 5     1  x 1  y x  y 2  P  2 . Daáu “=” xaûy ra  x = y = 3 . Vaäy minP = 2 .  ( x; y) / x  0, y  0, x  y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Baøi 24. Cho D = P. HD:. x 1  1 y y xy P    2     4 x  y2 8 8  2 1. y y 1 y y 3   33 . .  y2 8 8 y2 8 8 4. 3x 2  4 2  y2  4x y2. .. x 1 x 1  2 . 1 4 x (1). Theo bất đẳng thức Cô–si: 4 x (2),. 9 9 (3)  P  2 . Daáu “=” xaûy ra  x = y = 2. Vaäy minP = 2 .. VẤN ĐỀ 7: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước. Goïi y0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f(x) treân D, thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm:  f ( x ) y0 (1)  (2) x  D Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m  y0  M . (3) Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được: min f ( x ) m; max f ( x ) M D D . Baøi 25. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> a) c). y y. x2  x 1 x2  x 1. b). 2sin x  cos x  1 sin x  2 cos x  3. d). y y. 2 x 2  7 x  23 x 2  2 x  10 2sin x  cos x  3 2 cos x  sin x  4 .. VẤN ĐỀ 8: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT min f ( x ) m; max f ( x ) M D Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có D . Khi đó:  f ( x )   1) Heä phöông trình  x  D coù nghieäm  m    M.  f ( x )   2) Heä baát phöông trình  x  D coù nghieäm  M  .  f ( x )   3) Heä baát phöông trình  x  D coù nghieäm  m  . 4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  . 5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M  . Baøi 26. a) Baøi 27.. Giaûi caùc phöông trình sau: 4. x  2  4 4  x 2. x. b) 3  5 6 x  2 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:. 2 a) x  2 x  1 m. c) Baøi 28.. x. 3 x  6 x . b). 2 x  2x . (2  x )(2  x ) m. (3  x )(6  x ) m. 7  x  2  x  (7  x )(2  x ) m d) Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x   :. 2 a) x  2 x  1  m. 2 b) m 2 x  9  x  m. mx 4  4 x  m 0 . 3 2 Baøi 29. Cho baát phöông trình: x  2 x  x  1  m  0 . a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]. b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]. Baøi 30. Tìm m để các bất phương trình sau:. a) mx  b). 1 x 5  (1  x )5  16 c). x  3 m  1 coù nghieäm.. (m  2) x  m  x  1 2. 2. coù nghieäm x  [0; 2].. c) m( x  x  1) x  x  1 nghiệm đúng với mọi x  [0; 1].. c).

<span class='text_page_counter'>(9)</span>