ĐỀ CƯƠNG MÔN VẬT LÝ CHẤT RẮN
I/ Câu hỏi lý thuyết
1. Khai triển một hàm tuần hoàn bất kỳ với chu kỳ là một véc tơ mạng tinh thể theo chuỗi Fourier của
các véc tơ mạng đảo.
2. Có bao nhiêu loại mạng Bravais hai chiều và ba chiều?
3. Cách xác định chỉ số Miller cho mặt phẳng tinh thể và các hướng của tinh thể
4. Các điều kiện nhiễu xạ Bragg của sóng trong tinh thể. Đưa ra ít nhất hai cách phát biểu của điều kiện
Bragg.
5. Cách xác định vùng Brillouin thứ nhất?
6. Thế nào là năng lượng liên kết? Từ công thức biểu diễn thế năng Lennard-Jones giữa hai nguyên tử,
tính năng lượng liên kết trong các tinh thể khí trơ.
7. Tính năng lượng tổng cộng và năng lượng liên kết trong các tinh thể ion. Cách xác định hằng số
Madelung cho tinh thể ion 1 chiều?
8. Khảo sát dao động mạng tinh thể đơn nguyên tử.
9. Khảo sát dao động mạng tinh thể gồm nhiều loại nguyên tử trong một ô nguyên thủy. Thế nào là các
nhánh dao động âm học và nhánh dao động quang học?
10. Định nghĩa phonon.
11. Định luật Debye về sự phụ thuộc T3 của nhiệt dung riêng do ảnh hưởng của phonon ở nhiệt độ thấp.
12. Khí điện tử tự do Fermi trong trường hợp 1 chiều.
13. Khí điện tử tự do Fermi trong trường hợp 3 chiều.
14. Nhiệt dung riêng của khí điện tử tự do Fermi trong trường hợp 3 chiều.
15. Chuyển động của điện tử trong điện từ trường. Hiệu ứng Hall cổ điển.
16. Định lý Bloch của hàm sóng một điện tử trong trường thế của tinh thể tuần hồn. Hàm Bloch.
17. Mơ hình điện tử gần như tự do. Ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong việc tính tốn năng lượng
và hàm sóng một điện tử trong tinh thể. Nguồn gốc của khe năng lượng.
18. Lời giải của phương trình sóng tổng qt gần biên vùng Brillouin.
19. Phương pháp liên kết chặt trong việc tính tốn cấu trúc năng lượng của điện tử trong chất rắn.
20. Khối lượng hiệu dụng của điện tử trong tinh thể.
II/ Câu hỏi bài tập
1. Chứng minh rằng trong tinh thể khơng có trục đối xứng bậc 5 mà chỉ có trục đối xứng bậc
1,2,3,4,6.

2. Hãy tính độ xếp chặt ơ cơ sở (hay hệ số xếp chặt η) trong mô hình quả cầu cứng đối với tinh thể
lập phương tâm khối và tinh thể lập phương tâm mặt.
3. Tính hằng số mạng của tinh thể muối ăn NaCl nếu biết khối lượng riêng của NaCl là
ρ=2,18.10 3 ( kg/m3 ) , khối lượng nguyên tử của Na và Cl tương ứng là A Na=23 amu,
A Cl =35,5 amu.
4. Xét mặt phẳng (100) và (110) của tinh thể lập phương tâm mặt. Các chỉ số mặt phẳng này được
xét trong hệ trục tọa độ của ô cơ sở theo qui ước. Hãy tìm chỉ số của hai mặt phẳng này nếu
chọn hệ trục tọa độ trùng với các trục của các vectơ cơ sở của ô nguyên tố.
c
8
5. Chứng minh rằng, trong một tinh thể lục giác xếp chặt ,
= =1,633.
a
3
6. Chỉ ra rằng, trong tinh thể kim cương, góc xen giữa hai đường thẳng bất kì nối một điểm mạng
với 4 nút mạng lân cận gần nhất bằng cos− 1 ( − 1/3 )=109o .
a1 , ⃗
a2 , ⃗
a3 và các góc tạo bởi chúng lần
7. Ba véc tơ cơ sở của một mạng tinh thể bất kỳ là ⃗
lượt là α, β, γ. Chứng minh rằng thể tích của ô cơ sở V c =a 1 a2 a3 √ 1 −cos 2 α − cos2 β − cos2 γ .

√


8. Biểu diễn các góc giữa các véc tơ mạng đảo
véc tơ mạng cơ sở α , β , γ .

~
α ,


9. Chứng minh rằng thể tích của ơ cơ sở mạng đảo là

~
β ,

~
γ

thơng qua các góc tạo bởi các

2π
~
V c=
, trong đó
Vc

V c là thể tích của ơ

cơ sở của mạng thuận.
10. Tính các véc tơ cơ sở của mạng đảo của tinh thể CaCO3 . Biết rằng CaCO3 có cấu trúc tứ
giác đều với a1=a2=a 3=a , α =β=γ trong đó a=6.36 A˚ , α =46,6 o .
11. Trên giấy ghi ảnh nhiễu xạ tia X của một tinh thể có cấu trúc lập phương đơn giản có thể có
nhiều nhất bao nhiêu vạch. Biết độ dài bước sóng tia X λ=1,789.10−8 cm và hằng số mạng
tinh thể a=2,86.10− 8 cm.
12. Các vectơ mạng cơ sở của một mạng lục giác được biểu diễn như sau:
a2= ( √ 3 a /2 ) ⃗x + ( a /2 ) ⃗y
⃗
a2=− ( √ 3 a/2 ) ⃗x + ( a/ 2 ) ⃗y
⃗

a3 =c ⃗z
⃗
(a) Chứng minh rằng, thể tích của ơ cơ sở bằng V c =√ 3/2 a2 c .
(b) Chứng minh rằng, véc tơ cơ sở của mạng đảo được biểu diễn bởi:
(2 π )
(2 π )
2π
2π
⃗
⃗
b1 =
b2=−
⃗x +
⃗y ;
⃗x +
⃗y ;
a
a
√3 a
√3 a
(c) Vẽ phác thảo vùng Brillouin thứ nhất của mạng lúc giác.

( )

( )

2π
⃗
b3 =
⃗z

c

( )

b2 +l ⃗
b3 ) trực giao với mặt phẳng
13. (a) Chứng minh rằng, véc tơ mạng đảo ⃗g ( ⃗g=h b⃗1+ k ⃗
(hkl).
(b) Chứng minh rằng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song liên tiếp trong họ mặt phẳng
2
(hkl) bằng d hkl=
.
|⃗g|
(c) Đối với tinh thể lập phương đơn giản, chứng minh rằng d 2hkl=a2 / ( h2 +k 2+l 2 ) .
14. Chứng minh rằng mạng đảo của mạng lập phương tâm mặt là mạng lập phương tâm khối và
ngược lại.
15. Trong một vật rắn lượng tử, năng lượng điểm không của các nguyên tử chủ yếu sinh ra do động
năng chuyển động của các nguyên tử. Xét mơ hình tinh thể He 4 một chiều đơn giản trong đó
mỗi nguyên tử He được xem như chuyển động giới hạn trong một đoạn thẳng L. Ở trạng thái
cơ bản, các nguyên tử He4 được lượng tử hóa giống như một sóng có bước sóng là 2L. Tính
năng lượng điểm khơng của hệ He 4 .
16. Tìm năng lượng liên kết của phân tử H2 (theo kJ/mol) trong mạng lập phương tâm mặt nếu giả
thiết rằng mỗi phân tử H2 giống như một quả cầu và các thơng số trong biểu diễn thế LennardJones ϵ=50× 10−16 erg , σ =2.96 A˚ . So sánh giá trị tìm được với giá trị thực nghiệm đo
được 0,751 kJ/mol.
17. Chứng minh rằng hệ số m, n (m, n > 0) trong biểu diễn thế năng cặp giữa các nguyên tử
a b
U ( R )=− n + m
r r
thỏa mãn điều kiện m > n nếu a, b > 0.
18. Sử dụng thế năng Lennard-Jones để tính tỉ số năng lương liên kết của Neon trong cấu trúc lập

phương tâm mặt và lập phương tâm khối. Biết hệ số tổng trong mạng tinh thể lập phương tâm
khối là: ∑ p−ij 12=9.11418 ∑ p−ij 6=12.2533 .


19. Xét một chuỗi tinh thể muối ăn NaCl gồm 2N ions Na +, Cl- có điện tích ± q lần lượt xếp xen
kẽ nhau trong đó thế năng do tương tác đẩy giữa hai ion lân cận gần nhất có dạng A / Rn .
(a) Chứng minh rằng, ở trạng thái cân bằng
2
− 2 Nq ln 2
1
U ( R0 )=
1−
(CGS)
R0
n
trong đó R0 là khoảng cách giữa các ion ở trạng thái cân bằng.
(b) Nếu tinh thể bị nén lại sao cho R0 → R0 ( 1− x ) . Chỉ ra rằng công cần thiết để nén một đơn
1 2
Cx , trong đó:
vị chiều dài tinh thể có dạng
2
α Nq2 (
C=
n −1 ) (CGS)
R0
20. Xét một chuỗi các nguyên tử cùng loại có khối lượng M sắp xếp thành tinh thể một chiều có
hằng số mạng a và hằng số lực tương tác giữa các nguyên tử lân cận C. Phương trình chuyển
động của ngun tử thứ s có dạng:
us =u cos ( ω t − sKa )
(a) Chỉ ra rằng tổng năng lượng của hệ nguyên tử một chiều được biểu diễn bởi công thức:

duu 2 1
1
E= M ∑
+ C ∑ ( u s −u s+ 1 )2
2
dt
2
s
s
trong đó tổng năng lượng được tính trên tất cả các nguyên tử s.

( )

( )

(b) Thay us trong công thức (1), chỉ ra rằng trung bình theo thời gian của tổng năng lượng
tính trên một nguyên tử là:
1
1
2 2 1
2
2 2
M ω u + C ( 1 −cos Ka ) u = M ω u
4
2
2
trong đó có sử dụng hệ thức tán sắc:
ω2 =( 4 C / M ) sin 2 ( Ka /2 )
21. Chứng minh rằng trong giới hạn bước sóng dài, phương trình chuyển động của sóng có thể đưa
về dạng phương trình sóng đàn hồi liên tục:

2
d2u
2d u
=v
dt 2
dt 2
với v là vận tốc truyền sóng.
22. Xét một chuỗi gồm 2 loại nguyên tử có cùng khối lượng M sắp xếp xen kẽ nhau. Hằng số lực
tương tác giữa các nguyên tử lân cận lần lượt là C và 10C. Khoảng cách giữa hai nguyên tử lân
cận là a/2. Xác định tần số dao động ω ( K ) tại các véc tơ sóng K=0 và K=π /a .
23. Xét một chuỗi các nguyên tử có khối lượng M1 và M2 được sắp xếp xen kẽ nhau. Hằng số lực
tương tác giữa các nguyên tử lân cận đều bằng C. Xác định tỉ số biên độ dao động của hai loại
nguyên tử tại giá trị véc tơ sóng, K max =π /a . Nhận xét về sự chuyển động của hai phân mạng
tinh thể tại giá trị Kmax.
24. Biết định luật tán sắc của phonon âm học trong tinh thể một chiều đơn nguyên tử là
qa
C
ω=ωm sin
; ω m=2
. Hãy chứng minh rằng hàm mật độ năng lượng trong trường
2
M
2N
hợp tinh thể một chiều là g ( ω )=
.
π √ ω2m −ω 2
25. Xét một mạng tinh thể vng hai chiều của các ngun tử có khối lượng M tương tác với các
nguyên tử lân cận gần nhất theo hằng số lực tương tác C .
(a) Tìm mật độ trạng thái phonon trong giới hạn bước sóng dài.


| |

√


(b) Xác định nhiệt dung riêng của mạng tinh thể ở nhiệt độ rất thấp trong mơ hình của Debye.
26. Giả sử rằng trong một tinh thể ba chiều, một nhánh phonon quang học tuân theo hệ thức tán sắc
2
ω ( k ) =ω 0 − Ak ở gần k= 0 . Chứng minh rằng hàm mật độ trạng thái được biểu diễn bởi
3
1 /2
đối với ω<ω0 và D ( ω )=0 với ω>ω0 .
D ( ω )= ( L /2 π ) ( 2 π / A 3 /2 ) ( ω 0 − ω )
3
27. Chứng minh rằng động năng của N khí điện tử tự do 3 chiều ở 0 độ K là U 0= Nϵ F . Trong
5
đó ϵ F là năng lượng Fermi.
28. (a) Chứng minh rằng áp suất của một khí điện tử tự do có thể tích V tại nhiệt độ 0K được
2U 0
biểủ diễn bởi mối liên hệ p=
.
3V
(b) Chỉ ra rằng độ đàn hồi khối B=− V ( δp/δV ) của một khí điện tử tự do tại 0K bằng
5p
B=
=10 U 0 /9 V
3
29. Trong một hệ khí điện tử tự do hai chiều, chứng minh rằng:
(a) Mật độ trạng thái không phụ thuộc vào năng lượng và bằng D ( ε ) =m/π ℏ
(b) Ở nhiệt độ T, thế hóa của khí điện tử hai chiều Fermi được xác định bằng:

μ (T ) =k B T ln [ exp ( πn ℏ/ mk B T ) − 1 ]
với n điện tử trên một đơn vị diện tích.
30. Tính năng lượng Fermi, vectơ Fermi, vận tốc Fermi, nhiệt độ Fermi của natri (Na) và đồng (Cu)
trong mơ hình khí điện tử tự do nếu biết:
31. (a) Na có cấu trúc mạng lập phương tâm khối với a=4,225 A˚ và Na có hóa trị 1.
(b) Cu có cấu trúc mạng lập phương tâm mặt với a=3,615 A˚ và Cu có hóa trị 2.
32. Mơ hình điện tử tự do của một kim loại giả thiết rằng các điện tử dẫn có thể xét gần đúng như
một khí các điện tử tự do với n là mật độ điện tử và τ là thời gian va chạm. Hãy chứng
tỏ trong mơ hình này, độ dẫn điện của kim loại có thể được biểu diễn bởi cơng thức:
2
ne τ
σ=
m
33. Tính thời gian hồi phục điện tử trong kim loại đồng (Cu) biết độ dẫn điện của Cu σ =6 ×107
Ω-1m-1, khối lượng riêng của Cu ρ=8,94 g cm-3, khối lượng phân tử đồng μ=63,5 g mol-1.
34. Mơ hình Drude đưa ra độ dẫn điện phụ thuộc tần số trong mơ hình khí điện tử tự do ba chiều có
mật độ điện tử n và vận tốc υ. Sử dụng phương trình chuyển động của điện tử trong điện trường
dv υ
+ =− eE , chỉ ra rằng, độ dẫn điện phụ thuộc tần số theo công thức:
xoay chiều, m
dt τ
1+i ω τ
σ ( ω )=σ ( 0 )
2
1+ ( ω τ )
với σ0 là độ dẫn điện tĩnh được xác định như bài 32.

(

)


(

)