Một số mở rộng của luật số lớn k l chung cho không gian banach
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (342.03 KB, 39 trang )
1
MỤC LỤC
Mở đầu
3
Chương 1. Xác suất trên không gian Banach
5
1.1
1.2
1.3
Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1
Định nghĩa không gian tôpô
. . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2
Định nghĩa không gian mêtric . . . . . . . . . . . .
5
1.1.3
Định nghĩa không gian Banach (thực) . . . . . . . .
6
1.1.4
Định nghĩa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.5
Định nghĩa σ−đại số . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.6
Định nghĩa độ đo xác suất . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.7
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.8
Không gian xác suất, không gian xác suất đầy đủ . .
8
1.1.9
Định nghĩa các tập Borel trong không gian tôpô
. .
8
Phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.1
Định nghĩa ánh xạ đo được . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.2
Định nghĩa phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . .
9
1.2.3
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.4
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5
Định nghĩa họ các phần tử ngẫu nhiên độc lập . . . 10
1.2.6
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1
Định nghĩa sự hội tụ
. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2
Định nghĩa các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 11
2
1.3.3
1.4
Định nghĩa dãy phần tử ngẫu nhiên cơ bản . . . . . 11
Kỳ vọng có điều kiện. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1
Định nghĩa kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3
Định nghĩa kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . 12
1.4.4
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.5
Định nghĩa martingale
1.4.6
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. Một số mở rộng của luật số lớn của K.L. Chung
cho không gian Banach
15
2.1
Các bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2
Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập trên không
gian Rademacher loại p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3
2.4
2.2.1
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Luật số lớn cho dãy phù hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Luật số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập theo
hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận
37
Tài liệu tham khảo
38
3
MỞ ĐẦU
Trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học, luật số lớn nói chung
và luật mạnh số lớn (LMSL) nói riêng đóng vai trị rất quan trọng.
Năm 1930, Kolmogorov đã chứng minh LMSL cổ điển Kolmogorov: Nếu
dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập, cùng phân phối với E|X1 | < ∞,
thì
n
1
Xk → EX1 h.c.c (n → ∞).
n
k=1
Từ đây, người ta cố gắng mở rộng luật số lớn quan trọng này theo các
hướng khác nhau.
Năm 1947, K.L. Chung chứng minh được định lý mà ngày nay ta gọi
là LMSL của Chung: Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập
và 0 < an ↑ ∞, nếu ϕ là hàm dương, chẵn và liên tục sao cho hoặc
ϕ(t)
↓
|t|
và
∞
n=1
khi |t| ↑
Eϕ(Xn )
<∞
ϕ(an )
thỏa mãn, hoặc
ϕ(t)
↑
|t|
và
và
ϕ(t)
↓
t2
∞
EXn = 0,
n=1
thỏa mãn, thì
∞
n=1
Xn
an
khi |t| ↑
Eϕ(Xn )
<∞
ϕ(an )
hội tụ hầu chắc chắn.
Ở định lý này, K.L. Chung sử dụng một hàm ϕ để kết luận khả năng
hội tụ hầu chắc chắn của tổng các biến ngẫu nhiên. Trong những năm gần
4
đây, nhiều nhà tốn học đã tìm các điều kiện yếu hơn điều kiện trong định
lý của K.L. Chung mà vẫn đảm bảo thực hiện được luật mạnh số lớn.
Nhiều kết quả tổng quát từ LMSL của Chung cũng đã được mở rộng
cho không gian Banach khả li E.
Trong luận văn này, chúng tơi trình bày một số chứng minh chi tiết
cho các bổ đề cần thiết, mở rộng một số định lý thực cho không gian
Banach để mở rộng LMSL của Chung cho dãy phù hợp {Xn , Fn , n ≥ 1},
dãy {Xn , n ≥ 1} và mảng {Xni , 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} các phần tử ngẫu
nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả li E bằng cách sử dụng dãy
{ϕn , n ≥ 1} là dãy hàm Borel thỏa mãn một số điều kiện yếu hơn điều
kiện của K.L. Chung.
Nội dung luận văn này gồm hai chương:
Chương 1: Xác suất trên không gian Banach
Trong chương này chúng tôi nhắc lại các định nghĩa, định lý cơ bản của
xác suất, các khái niệm về xác suất trên không gian Banach.
Chương 2: Một số mở rộng của luật số lớn của K.L. Chung cho
khơng gian Banach
Đây là phần chính của luận văn. Trong chương này, trước hết chúng tôi
phát biểu và chứng minh các bổ đề cần thiết, sau đó chứng minh một số
mở rộng của luật số lớn K.L. Chung cho dãy phù hợp, dãy các phần tử
ngẫu nhiên độc lập và mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng.
Luận văn hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn
Văn Quảng, sự nổ lực của bản thân tác giả và sự giúp đỡ của gia đình,
bạn bè và đồng nghiệp. Mặc dù tác giả đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn
luận văn vẫn còn nhiều khiếm khuyết, rất mong được sự đóng góp ý kiến
của quý thầy, cơ và các bạn để luận văn được hồn chỉnh hơn.
Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo
hướng dẫn, các thầy, cơ trong tổ Xác suất Thống kê và Tốn Ứng dụng Khoa Toán - Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học và hoàn thành luận văn, xin cảm ơn Khoa Đào tạo Sau đại học Đại học Vinh, trường THPT số 2 Quảng Trạch - Quảng Bình, các bạn bè
đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học và thực hiện đề tài.
Vinh, ngày 05 tháng 09 năm 2010
Tác giả
5
Chương 1
XÁC SUẤT TRÊN KHƠNG GIAN BANACH
1.1
Khơng gian xác suất
1.1.1
Định nghĩa không gian tôpô
Cho X = ∅. Một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu có
các tính chất
(τ 1):
∅ ∈ τ; X ∈ τ,
(τ 2):
Ui ∈ τ, i ∈ I ⇒
Ui ∈ τ ,
i∈I
(τ 3):
U, V ∈ τ ⇒ U ∩ V ∈ τ .
Khi đó, cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô. Mỗi tập U ∈ τ gọi là
một tập mở, phần bù của tập mở gọi là tập đóng.
Giả sử A là một tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi đó, tập con
đóng bé nhất của X, chứa A gọi là bao đóng của A và được ký hiệu là [A].
Tập A ⊂ X gọi là tập trù mật trong X nếu [A] = X. Không gian (X, τ ) gọi
là không gian khả ly (tách được), nếu nó có tập con đếm được trù mật.
1.1.2
Định nghĩa không gian mêtric
Cho X = ∅. Một ánh xạ d : X × X → R được gọi là mêtric (khoảng
cách) trên X, nếu
i)
d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X,
ii)
d(x, y) = 0 ⇔ x = y ,
iii)
d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,
iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó, cặp (X, d) gọi là khơng gian mêtric.
Giả sử (X, d) là khơng gian mêtric. Ta nói dãy (xn ) ⊂ X hội tụ về x ∈ X
khi n → ∞, nếu d(xn , x) → 0 khi n → ∞. Dãy (xn ) ⊂ X được gọi là dãy
Cauchy, nếu ∀ε > 0, ∃N ∈ N : d(xm , xn ) < ε, ∀m, n ≥ N .
Không gian mêtric (X, d) gọi là không gian đầy đủ, nếu mọi dãy Cauchy
đều hội tụ.
6
1.1.3
Định nghĩa không gian Banach (thực)
Không gian vectơ thực E gọi là không gian định chuẩn, nếu tồn tại ánh
xạ . : E → R thỏa mãn
i)
x ≥ 0, ∀x ∈ E,
ii)
x = 0 ⇔ x = 0,
iii)
kx =| k | .
x , ∀k ∈ R, ∀x ∈ E,
iv)
x+y ≤ x
+
y , ∀x, y ∈ E.
Nếu đặt d(x, y) = x − y , với x, y ∈ E thì (E, d) là khơng gian mêtric.
Khi đó d gọi là mêtric sinh bởi chuẩn . .
Không gian định chuẩn (E, . ) được gọi là không gian Banach nếu
(E, d) là không gian đủ, với d là mêtric sinh bởi chuẩn . .
Giả sử E là không gian Banach. Ký hiệu
E∗ = {f : E → R : f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục}.
Ta gọi E∗ là khơng gian liên hợp của E.
Với f ∈ E∗ , chuẩn của f được xác định bởi công thức
f = sup | f (x) |,
x ≤1
nên
| f (x) |≤ f
1.1.4
·
x , ∀x ∈ E.
Định nghĩa đại số
Giả sử Ω = ∅ và P(Ω) là họ tất cả các tập con của Ω. Mỗi họ C ⊂ P(Ω)
sẽ được gọi là một lớp.
Lớp A ⊂ P(Ω) được gọi là một đại số nếu
i) Ω ∈ A,
ii) A ∈ A ⇒ AC = Ω \ A ∈ A,
iii)
A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A.
7
Định nghĩa σ−đại số
1.1.5
Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là một σ−đại số nếu
i) Ω ∈ F ,
ii) A ∈ F ⇒ AC = Ω \ A ∈ F ,
∞
An ∈ F .
iii) An ∈ F (∀n = 1, 2, ...) ⇒
n=1
1.1.6
Định nghĩa độ đo xác suất
Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng, F là một σ−đại số các tập con
của Ω. Khi đó, cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo.
Giả sử (Ω, F) là một không gian đo. Một ánh xạ P : F → R được gọi
là độ đo xác suất trên F nếu
i) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F
ii) P(Ω) = 1
(tính khơng âm),
(tính chuẩn hóa),
iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, ...), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j) thì
∞
P(
∞
An ) =
n=1
P(An )
(tính cộng tính đếm được).
n=1
Các điều kiện (i) - (iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác suất.
1.1.7
Định lý
Giả sử A, B, C, ... ∈ F . Khi đó xác suất của chúng có các tính chất
1. P(∅) = 0.
2.
Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
3. P(Ω \ A) = 1 − P(A).
4.
Nếu A ⊂ B thì P(B \ A) = P(B) − P(A) và do đó P(A) ≤ P(B).
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
n
6. P(
n
P(Ak ) −
Ak ) =
k=1
k=1
P(Ak ∩ Ai ) +
1≤k
P(Ak ∩ Al ∩ Am ) − · · · + (−1)n−1 P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ).
1≤k
8
∞
An ) ≤
7. P(
n=1
8.
∞
P(An ).
n=1
(Tính liên tục của xác suất)
i) Nếu {An , n ≥ 1} là dãy đơn điệu tăng, A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ...,
thì tồn tại
∞
lim P(An ) = P(
n→∞
An ).
n=1
ii) Nếu {An , n ≥ 1} là dãy đơn điệu giảm, A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ...,
thì tồn tại
∞
lim P(An ) = P(
n→∞
1.1.8
An ).
n=1
Không gian xác suất, không gian xác suất đầy đủ
Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng, F là một σ−đại số các tập con
của Ω, P là độ đo xác suất trên F . Khi đó, bộ ba (Ω, F, P) được gọi là
khơng gian xác suất.
Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp.
σ−đại số F được gọi là σ−đại số các biến cố.
Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố.
Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn.
Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố khơng thể có.
Biến cố A = Ω \ A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
Nếu A ∩ B = AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc.
Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu
mọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố.
Để đơn giản, từ nay về sau, khi nói đến khơng gian xác suất (Ω, F, P),
ta ln xem đó là khơng gian xác suất đầy đủ.
1.1.9
Định nghĩa các tập Borel trong không gian tôpô
Giả sử X là khơng gian tơpơ. Khi đó σ− đại số bé nhất chứa các tập
mở của X được gọi là σ− đại số Borel và ký hiệu là B(X).
9
Ví dụ: Lấy X = R thì
B(R) = σ{(−∞, a) | a ∈ R}
= σ{(a, +∞) | a ∈ R}
= σ{[a, b) | −∞ < a < b < +∞}
= σ{(a, b] | −∞ < a < b < +∞}.
1.2
1.2.1
Phần tử ngẫu nhiên
Định nghĩa ánh xạ đo được
Giả sử (Ω1 , F1 ) và (Ω2 , F2 ) là hai không gian đo. Ánh xạ X : Ω1 → Ω2
gọi là ánh xạ F1 /F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì X −1 (B) ∈ F1 .
1.2.2
Định nghĩa phần tử ngẫu nhiên
Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, E là không gian Banach khả
ly, G là σ−đại số con của σ−đại số F , B(E) là σ−đại số Borel. Ta nói ánh
xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G−đo được, nhận giá trị trong E nếu
X là G/B(E) đo được (nghĩa là với mọi B ∈ B(E) thì X −1 (B) ∈ G ).
Phần tử ngẫu nhiên F−đo được sẽ được gọi đơn giản là phần tử ngẫu
nhiên. Hiển nhiên, nếu X là phần tử ngẫu nhiên G−đo được thì X là phần
tử ngẫu nhiên.
Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E gọi là phần tử ngẫu nhiên rời rạc nếu
lực lượng của tập hợp X(Ω) là |X(Ω)| không quá đếm được.
Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì X gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn
giản.
1.2.3
Định lý
Giả sử E1 , E2 là không gian Banach, T : E1 → E2 là ánh xạ B(E1 )/B(E2 )
đo được, X : Ω → E1 là phần tử ngẫu nhiên G−đo được. Khi đó ánh xạ
T (X) : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên G−đo được.
Suy ra, nếu ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G−đo được, thì
ánh xạ X : Ω → R là đại lượng ngẫu nhiên G−đo được.
10
1.2.4
Định lý
Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G−đo được khi và chỉ khi
với mọi f ∈ E∗ thì f (X) là đại lượng ngẫu nhiên G−đo được.
1.2.5
Định nghĩa họ các phần tử ngẫu nhiên độc lập
Giả sử {Xt , t ∈ } là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên
không gian (Ω, F, P) nhận giá trị trong (E, B(E)). Khi đó, họ {Xt , t ∈ }
gọi là độc lập, nếu với mọi bộ hữu hạn tj ∈
và Aj ∈ B(E), 1 ≤ j ≤ n,
ta có
n
n
P(
Xt−1
(Aj )) =
j
j=1
P(Xt−1
(Aj )).
j
j=1
Từ định nghĩa này, suy ra
Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach, {Xt , t ∈ } là họ phần tử
ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong E1 . Khi đó, nếu với mỗi t ∈ ,
Tt : E1 → E2 là ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo được, thì họ {Tt (Xt ), t ∈ } là
họ các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong E2 .
1.2.6
Định lý
Giả sử X1 , X2 , · · · , Xn là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên
không gian (Ω, F, P) nhận giá trị trong (E, B(E)). Khi đó, điều kiện cần
và đủ để X1 , X2 , · · · , Xn độc lập là với mọi f1 , f2 , · · · , fn ∈ E∗ , các đại
lượng ngẫu nhiên f1 (X1 ), f2 (X2 ), · · · , fn (Xn ) độc lập.
1.3
1.3.1
Sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên
Định nghĩa sự hội tụ
Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn ) gọi là hội tụ đến ánh xạ X : Ω → E nếu
Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn), với mọi ω ∈ Ω, nghĩa là
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : Xn (ω) − X(ω) ≤ ε, ∀n ≥ n0 .
Ký hiệu Xn → X .
Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn ) gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến ánh
xạ X : Ω → E nếu tồn tại tập N ∈ F , sao cho P(N ) = 0, Xn (ω) → X(ω)
h.c.c
(theo chuẩn), với mọi ω ∈ Ω \ N . Ký hiệu Xn −−→ X .
11
1.3.2
Định nghĩa các dạng hội tụ
Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, E là không gian Banach khả
ly, B(E) là σ−đại số Borel. Giả sử (Xn ) là dãy phần tử ngẫu nhiên cùng
xác định trên không gian (Ω, F, P) nhận giá trị trong (E, B(E)). Ta nói
(Xn ) hội tụ đến X :
Xn − X = 0) = 1.
1. Hầu chắc chắn nếu P( lim
n→∞
h.c.c
Ký hiệu Xn −−→ X .
2. Theo xác suất nếu với mọi ε > 0 thì lim P( Xn − X > ε) = 0.
n→∞
P
Ký hiệu Xn →
− X.
Theo trung bình cấp p nếu lim E
3.
n→∞
Xn − X
p
= 0.
Lp
Ký hiệu Xn −→ X .
ω
4. Yếu (theo phân phối) nếu PXn →
− PX trong đó
PX : B(E) → R
B → P(X −1 (B)).
D
Ký hiệu Xn −
→ X.
1.3.3
Định nghĩa dãy phần tử ngẫu nhiên cơ bản
Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn ) là dãy cơ bản
lim
Xm − Xn = 0 = 1.
1.
Hầu chắc chắn nếu P
2.
Theo xác suất nếu lim P( Xm − Xn > ε) = 0 với mọi ε > 0.
m,n→∞
m,n→∞
3. Theo trung bình cấp p > 0 nếu lim E
m,n→∞
1.4
1.4.1
Xm − Xn
p
= 0.
Kỳ vọng có điều kiện. Martingale
Định nghĩa kỳ vọng
Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên, phần tử EX ∈ E gọi là kỳ
vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có
f (EX) = E f (X) ∈ R.
12
1.4.2
Định lý
Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên cùng
xác định trên (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó, nếu tồn tại EX, EY, Eξ
thì
1.
Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY .
2.
Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX .
3.
Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ .
4.
Nếu P(X = α) = 1 (tức là X = α
5.
Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ E∗ thì tồn tại E(ξX) và
h.c.c) thì EX = α.
E(ξX) = EξEX.
6.
Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E (E là khơng gian
Banach khả ly) thì tồn tại E T (X) và E T (X) = T E(X) .
7.
Nếu E
8.
(Bất đẳng thức Jensen)
X < ∞ thì tồn tại EX và E
X ≥ EX .
Nếu ϕ : E → R là hàm lồi liên tục, X : Ω → R là phần tử ngẫu nhiên
và E X < ∞ thì
ϕ(EX) ≤ Eϕ(X).
1.4.3
Định nghĩa kỳ vọng có điều kiện
Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, E là không gian Banach khả ly,
G là σ−đại số con của σ−đại số F , B(E) là σ−đại số Borel, X : Ω → E
là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó phần tử ngẫu nhiên Y : Ω → E gọi là kỳ
vọng có điều kiện của X đối với G nếu
i) Y là phần tử ngẫu nhiên G−đo được,
ii) E(Y IA ) = E(X IA ), với mọi A ∈ G .
Ký hiệu Y = E(X | G).
13
1.4.4
Định lý
Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên,
α ∈ E, a ∈ R, f ∈ E∗ . Khi đó
1.
Nếu E
ξX < ∞, ξ là G−đo được và Eξ < ∞ thì
E(ξX | G) = ξE(X | G) h.c.c.
2.
Nếu X là G−đo được thì E(X | G) = X
h.c.c.
3. E(X + Y | G) = E(X | G) + E(Y | G) h.c.c.
4. E(aX | G) = aE(X | G) h.c.c.
5. E(αξ | G) = αE(ξ | G) h.c.c.
6.
Nếu G1 ⊂ G2 , thì ta có
E E(X | G1 ) | G2 = E(X | G1 ) = E E(X | G2 ) | G1
7. Y = E(X | G) ⇔ f (Y ) = E f (X) | G
8.
Nếu E
h.c.c.
h.c.c với mọi f ∈ E∗ .
X < ∞ thì tồn tại E(X | G) và
E(X | G) ≤ E( X | G) h.c.c.
1.4.5
Định nghĩa martingale
Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, E là không gian Banach khả
ly, B(E) là σ−đại số Borel.
Giả sử (Fn ) là dãy tăng các σ−đại số con của F , khi đó dãy (Xn , Fn )
gọi là martingale nếu
i) Xn ∈ L1 (Fn , E), trong đó
L1 (Fn , E) = {X : Ω → E | X là Fn −đo được, E
X < ∞}.
ii) Với mọi m ≥ n, E(Xm | Fn ) = Xn .
Dãy (Xn , Fn ) gọi là hiệu martingale nếu thỏa mãn i) và với mọi m > n,
E(Xm | Fn ) = 0.
14
1.4.6
Định lý
1.
Nếu (Xn , Fn ), (Yn , Fn ) là martingale thì (aXn ± bYn , Fn ), (a, b ∈ R)
là martingale.
2.
Nếu (Xn , Fn ) là martingale thì (EXn ) khơng đổi.
3.
Nếu (Xn , Fn ) là hiệu martingale thì EXm = 0 với mọi m > 1.
n
4.
Nếu (Xn , Fn ) là hiệu martingale thì (
k=1
Xk , Fn ) là martingale.
15
Chương 2
MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA LUẬT SỐ LỚN CỦA
K.L. CHUNG CHO KHÔNG GIAN BANACH
2.1
Các bổ đề
2.1.1 Bổ đề. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị
trên không gian Banach khả ly E sao cho E X p < ∞ và E Y p < ∞,
với p ≥ 1. Nếu EX = 0, thì
E
p
X +Y
≥E
p
Y
.
Chứng minh.
Đặt F1 = σ(Y ), F2 = σ(Y, X). Khi đó
E(X + Y | F1 ) = E(X | F1 ) + E(Y | F1 ) = EX + Y = Y.
Nên suy ra {Y, X + Y } lập thành martingale.
Giả sử ψ(x) = x p với p ≥ 1, thì ψ là hàm lồi. Theo bất đẳng thức
Jensen, ta có
p
E[ X + Y
| F1 ] ≥ E(X + Y | F1 )
= Y
p
p
.
Do đó
p
E(E[ X + Y
| F1 ]) ≥ E
Y
p
hay
E
X +Y
p
≥E
Y
p
.
2.1.2 Bổ đề. Giả sử {Xn , n ≥ 1} và {Yn , n ≥ 1} là hai dãy phần tử
ngẫu nhiên nhận giá trị trên khơng gian Banach khả ly E. Khi đó, nếu
∞
∞
P{Xn = Yn } < ∞, thì
n=1
(Xn − Yn ) hội tụ hầu chắc chắn.
n=1
Chứng minh.
∞
P{Xn = Yn } < ∞ nên áp dụng bổ đề Borel-Cantelli, ta có
Vì
n=1
P{lim sup(Xn = Yn )} = 0.
⇒ P{lim inf(Xn = Yn )} = 1.
16
Tức là tồn tại tập M mà P(M ) = 0 sao cho ∀ω ∈ Ω \ M, ∃n0 (ω) ∈ N :
n ≥ n0 (ω) ⇒ Xn (ω) = Yn (ω).
Khi đó với mỗi ω ∈ Ω \ M , {Xn (ω)} và {Yn (ω)} chỉ khác nhau tại hữu
hạn giá trị. Do đó ta có
∞
(Xn − Yn )
hội tụ hầu chắc chắn.
n=1
2.1.3 Bổ đề. (Bất đẳng thức cr )
(a + b)r ≤ max{1, 2r−1 }(ar + br ),
a > 0, b > 0, r > 0.
2.1.4 Bổ đề. Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không
gian Banach khả ly E với EX = 0 và X ∗ là phần tử đối xứng của X ,
X ∗ = X − Y , trong đó X và Y là hai phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng
phân phối. Khi đó
E
X
p
X∗
≤E
p
≤ 2p E
X
p
p ≥ 1.
,
Chứng minh.
Giả sử ψ(x) = x p với p ≥ 1, khi đó ψ là hàm lồi. Vì X ∗ là phần tử
đối xứng của X , nên sử dụng tính chất của kỳ vọng có điều kiện
E(X ∗ | X) = E(X − Y | X) = E(X | X) − E(Y | X) = X − EY = X,
và theo điều kiện của bất đẳng thức Jensen, ta có
X
p
= E(X ∗ | X)
p
≤ E( X ∗
p
≤ E E( X ∗
p
| X) = E
X∗
| X).
Do đó
E
X
p
p
.
(2.1)
Hơn nữa, theo bổ đề 2.1.3 ta có
X∗
p
= X −Y
p
≤ max{1, 2p−1 }( X
p
+
Y
p
),
nên
E
X∗
p
≤ max{1, 2p−1 }(E
X
p
+E
Y
p
) = 2p E
Từ (2.1) và (2.2) ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
X
p
. (2.2)
17
2.1.5 Định nghĩa. Dãy {γi , 1 ≤ i ≤ n} các biến ngẫu nhiên được gọi là
dãy Bernoulli đối xứng nếu {γi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên độc
lập, cùng phân phối với
1
P(γ1 = −1) = P(γ2 = 1) = .
2
2.1.6 Bổ đề. (Bất đẳng thức Kahone)
Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên
khơng gian Banach khả ly E, khi đó với 1 ≤ p, q < ∞, tồn tại hằng số
K > 0 sao cho
n
E
γi Xi
p
1
p
n
≤ K. E
γi Xi
i=1
q
1
q
,
i=1
trong đó {γi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy Bernoulli đối xứng.
2.1.7 Bổ đề. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc
lập nhận giá trị trên không gian Banach khả ly E sao cho EXn = 0 và
E Xn p < ∞, p ≥ 1 với mọi n. Khi đó, với mọi ε > 0
P ( max
1≤j≤n
Sj > ε) ≤
E
Sn
εp
p
,
n
trong đó Sn =
Xi .
i=1
Chứng minh.
Với n ≥ 1, đặt Fn = σ(Xk , k ≤ n). Khi đó {Sn , Fn } là martingale.
Thật vậy,
i) Sn ∈ L1 (Fn , E), ∀n ≥ 1.
ii) Với mọi m ≥ n,
E(Sm | Fn ) = E(Sn | Fn ) + E(Xn+1 + Xn+2 + · · · + Xm | Fn )
= Sn + EXn+1 + EXn+2 + · · · + EXm
= Sn .
Vì ϕ(x) = x
(2.3)
là hàm lồi nên theo bất đẳng thức Jensen, ta có
E(Sn | Fn−1 ) ≤ E( Sn | Fn−1 ) h.c.c.
(2.4)
18
Từ (2.3) và (2.4) suy ra
⇒
⇒
E
Sn−1
≤ E( Sn | Fn−1 ) h.c.c.
Sn−1
≤E
P( max
1≤j≤n
Sn
h.c.c với mọi n > 1.
Sj > ε) ≤ P( Sn > ε)
Sn p
= P( Sn > ε ) ≤
.
εp
(bất đẳng thức Markov)
p
p
Sn
εp
p
Vậy
E
Sj > ε) ≤
P ( max
1≤j≤n
E
.
2.1.8 Định nghĩa. Giả sử {γi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy Bernoulli đối xứng và
{Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không
gian Banach thực khả ly E. Khi đó, E được gọi là có tính chất Rademacher
loại p (1 ≤ p ≤ 2) nếu tồn tại hằng số 0 < C < ∞ sao cho
n
E
n
p
γ i Xi
≤C
i=1
E
Xi
p
.
i=1
Đặc biệt, Hoffmann-Jorgensen và Pisier đã chứng minh rằng: không
gian Banach thực khả ly E có tính chất Rademacher loại p (1 ≤ p ≤ 2)
nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số 0 < C < ∞ sao cho với mọi dãy các
phần tử ngẫu nhiên độc lập {Xj , 1 ≤ j ≤ n} nhận giá trị trên E, với
EXj = 0, E Xj p < ∞, ta có
n
E
n
Xj
p
≤C
j=1
E
Xj
p
.
j=1
Để đơn giản, ta gọi không gian Banach thực khả ly có tính chất Rademacher
loại p (1 ≤ p ≤ 2) là không gian Rademacher loại p (1 ≤ p ≤ 2).
2.1.9 Bổ đề. Giả sử E là không gian Rademacher loại p (1 ≤ p ≤ 2) và
{Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên E
sao cho E Xn p < ∞. Với mỗi hằng số α > 0, đặt
Yn (ω) = Xn I(
Khi đó nếu
Xn (ω) ≤α)
Xn (ω)
nếu
Xn (ω) ≤ α,
0
nếu
Xn (ω) > α.
=
19
∞
∞
P (Xn = Yn ) → 0 (n → ∞),
P ( Xn > α) =
i)
n=1
n=1
∞
EYn → 0 (n → ∞),
ii)
n=1
∞
Yn − EYn
E
iii)
p
→ 0 (n → ∞),
n=1
thì
∞
Xn
hội tụ h.c.c (n → ∞).
n=1
Chứng minh.
Giả sử có (i), (ii), (iii) và đặt Zn = Yn − EYn với mọi n, khi đó ta có
EZn = 0 và E Zn p < ∞, p ≥ 1. Theo bổ đề 2.1.7, với mọi m ∈ N
n
j
P
max
1
>
≤
m
Zk
n≤j≤n
k=n
E
Zk
p
n
k=n
p
=m E
(1/m)p
Zk
p
.
k=n
Do đó
j
P
max
n≤j≤n
Zk
k=n
n
1
≥ 1 − mp E
≤
m
Zk
p
k=n
n
p
≥ 1 − Cm
E
Zk
p
,
với 0 < C < ∞.
k=n
(tính chất Rademacher loại p)
Theo điều kiện (iii),
n
E
Yk − EYk
p
→ 0,
khi n, n → ∞
k=n
nên
j
lim lim P
n→∞ n →∞
(Yk − EYk ) ≤
max
n≤j≤n
k=n
j
⇒P
max
n≤j≤n
Zk >
k=1
1
= 1.
m
1
→ 0 (n, n → ∞).
m
20
∞
⇒
P ( Yn − EYn >
n=1
1
) < ∞.
m
Áp dụng bổ đề Borel - Cantelli, ta có phần dư của chuỗi
∞
(Yn − EYn )
hội tụ về 0 h.c.c khi n → ∞, do đó
n=1
∞
(Yn − EYn ) hội tụ h.c.c.
n=1
∞
Yn hội tụ h.c.c. Hơn nữa, theo (i) và bổ
Kết hợp với (ii), ta có
n=1
∞
(Yn − Xn ) hội tụ h.c.c. Vì vậy sự hội tụ hầu chắc chắn của
đề 2.1.2 thì
n=1
∞
∞
Yn kéo theo sự hội tụ hầu chắc chắn của
n=1
Xn .
n=1
2.1.10 Định nghĩa. Không gian Banach khả ly E được gọi là không gian
Banach p-trơn đều (1 < p ≤ 2) nếu
ρ(τ ) = sup{
||x + y|| + ||x − y||
−1, ∀x, y ∈ E, x = 1, y = τ } ≤ Cτ p ,
2
với C là một hằng số nào đó.
2.1.11 Bổ đề. Giả sử E là khơng gian Banach thực khả ly p−trơn đều
n
(1 < p ≤ 2) và {Sn =
∞
Xn , Fn , n ≥ 1} là martingale nhận giá trị trên
i=1
E( Xn
E. Khi đó, nếu
p
| Fn−1 ) < ∞ hầu chắc chắn, thì Sn hội tụ
n=1
hầu chắc chắn.
Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [11]
2.2
2.2.1
Luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập
trên không gian Rademacher loại p
Định lý
Giả sử E là không gian Rademacher loại p (1 ≤ p ≤ 2), {Xn , n ≥ 1}
là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên E có EXn = 0.
21
Giả sử {ϕn , n ≥ 1} là dãy các hàm Borel dương và có Cn > 0, Dn > 0,
αn ≥ 1, βn ≤ p, với mọi n sao cho
ϕn (u)
uαn
uβn
u ≥ v ⇒ Cn α ≤
≤ Dn β .
v n
ϕn (v)
v n
(2.5)
Khi đó với mọi dãy số thực dương {an , n ≥ 1} thỏa mãn
∞
An
n=1
Eϕn ( Xn )
< ∞,
ϕn (an )
thì
∞
n=1
Chứng minh.
Đặt Yn = Xn I( Xn
Trước hết, ta có
≤an )
trong đó An = max{
Xn
an
hội tụ h.c.c.
và Zn = Xn I(
∞
Xn
Yn
P(
= )=
an
an
n=1
Xn >an )
∞
với mọi n.
∞
P(Xn = Yn ) =
n=1
∞
Zn
an
n=1
∞
E
Zn
|an |
E
Zn
an
n=1
∞
≤
n=1
∞
≤
n=1
∞
≤
P( Xn > |an |)
αn
ϕ n ( Zn )
1
E
Cn
ϕn (an )
An
n=1
P( Xn > an )
n=1
≤
=
1
, Cn Dn } ,
Cn
Eϕn ( Xn )
< ∞.
ϕn (an )
(2.6)
Tiếp theo, vì Xn = Yn + Zn và EXn = 0 nên nếu tồn tại giới hạn thì
∞
∞
Zn
Yn
E( ) = −
E( ).
an
an
n=1
n=1
22
Với mỗi N ∈ N, ta có
N
E
−
n=1
N
Zn
an
≤
Zn
≤
an
E
n=1
N
≤
An
n=1
N
E
n=1
Zn
an
αn
Eϕn ( Xn )
< ∞.
ϕn (an )
N
Zn
) là tồn tại với mọi N ∈ N. Hơn nữa với điều kiện
an
n=1
∞
N
Zn
Eϕn ( Xn )
An
E( ), N ≥ 1} là
< ∞, ta chứng minh được {−
ϕn (an )
an
n=1
n=1
dãy Cauchy trong không gian Banach.
Thật vậy, với mọi M, N ∈ N, giả sử M > N
Suy ra −
E(
M
N
M
Zn
Zn
−
E( ) − −
E( )
an
an
n=1
n=1
= −
E(
n=N +1
Zn
)
an
∞
M
≤
E
Zn
≤
E
an
n=N +1
E
Zn
an
n=N +1
∞
≤
n=N +1
∞
≤
An
n=N +1
Zn
an
αn
Eϕn ( Xn )
→ 0.
ϕn (an )
(N → ∞)
∞
Do đó giới hạn của −
E(
n=1
Suy ra
Zn
) là tồn tại.
an
∞
E(
n=1
Yn
) hội tụ.
an
(2.7)
Mặt khác,
∞
E
n=1
Yn
Yn
−E
an
an
∞
p
≤2
p
E
Yn
an
E
Yn
an
n=1
∞
≤ 2p
n=1
p
βn
23
∞
≤2
p
Dn
Eϕn ( Yn )
ϕn (an )
An
Eϕn ( Xn )
< ∞.
ϕn (an )
n=1
∞
≤ 2p
n=1
(2.8)
Từ (2.6), (2.7), (2.8) và áp dụng bổ đề 2.1.9 ta có
∞
n=1
2.2.2
Xn
an
hội tụ hầu chắc chắn.
Ví dụ
Ví dụ 1
Giả sử E = R (R là không gian Rademacher loại 2) và {Xn , n ≥ 1} là
dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho
2n
2n
1
P(Xn = √ ) = P(Xn = − √ ) = ,
n
n
2
n ≥ 1.
3
3
Chọn an = 2n n 2 và ϕn (t) = t 2 , n ≥ 1. Khi đó hàm ϕn thỏa mãn điều
kiện định lý 2.2.1, trong đó αn = Cn = Dn = 1, βn = 2.
Ta có
∞
∞
Eϕn (|Xn |)
1
=
< ∞,
3
ϕ
(a
)
n
n
n
n=1
n=1
kéo theo
∞
n=1
Xn
an
hội tụ hầu chắc chắn.
Ví dụ 2
Giả sử E và Xn được xác định như trong ví dụ 1 và an = 2n với mọi n.
∞ X
n
Ta dễ dàng kiểm tra được rằng
không hội tụ hầu chắc chắn.
n=1 an
Bây giờ, giả sử có dãy hàm ϕn thỏa mãn (2.5), ta có
2n
2n
ϕn (|Xn |)
2n β n
≤
D
(
2n ≥ √ ⇒ Cn ( n √ )αn ≤
n n √ )
n
2 / n
ϕn (2n )
2 / n
√
√ βn
ϕn (|Xn |)
⇒ Cn ( n)αn ≤
≤
D
(
n)
n
ϕn (2n )
√
√ βn
Eϕn (|Xn |)
⇒ Cn ( n)αn ≤
≤
D
(
n)
n
ϕn (2n )
24
√
√ 2
Eϕn (|Xn |)
⇒ Cn ( n)1 ≤
≤
D
(
n)
n
ϕn (2n )
√
Eϕn (|Xn |)
⇒ n ≤ An
, với mọi n .
ϕn (2n )
Do đó
∞
Eϕn (|Xn |)
An
≥
ϕ
(a
)
n
n
n=1
∞
√
n = ∞,
n=1
với mọi cách chọn hàm ϕn , αn ≥ 1, βn ≤ 2, Cn , Dn > 0.
Ví dụ này chứng tỏ điều kiện hội tụ của định lý 2.2.1 không được thỏa
mãn nên không có sự hội tụ.
2.2.3
Định lý
Giả sử E là khơng gian Rademacher loại p (1 ≤ p ≤ 2), {Xn , n ≥ 1}
là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên E có EXn = 0 và
E||Xn ||r < ∞, 1 ≤ r < ∞. Giả sử {ϕn , n ≥ 1} là dãy các hàm Borel
dương và có Cn > 0, Dn > 0, αn ≥ 1, βn ≤ r, với mọi n sao cho
uαn
ϕn (u)
uβn
u ≥ v ⇒ Cn α ≤
≤ Dn β .
v n
ϕn (v)
v n
Khi đó với mọi dãy số dương {an , n ≥ 1} thỏa mãn
∞
An
n=1
Eϕn ( Xn )
< ∞,
ϕn (an )
thì
∞
n=1
Xn
an
trong đó An = max{
1
, Cn Dn } ,
Cn
hội tụ h.c.c.
Chứng minh.
Đặt Yn = Xn I(||Xn ||≤an ) , Zn = Xn I(||Xn ||>an ) với mọi n, và đặt
Yn
Zn
Zn
Yn
Yn =
− E[ ], Zn =
− E[ ]. Khi đó EYn = 0, EZn = 0 với
an
an
an
an
mọi n.
Với mỗi ε > 0,
j
P( max
n≤j≤m
i=n
j
Zi
Zi
− E[
] > ε) = P( max
n≤j≤m
ai
a
i
i=n
j
Zi > ε)
i=n
25
m
1
(theo bổ đề 2.1.7) ≤ E
ε
≤
=
≤
≤
≤
∞
An
Vì
n=1
1
ε
1
ε
2
ε
2
ε
2
ε
Zi
i=n
m
E
Zi
E
Zi
Zi
− E[ ]
ai
ai
E
Zi
ai
E
Zi
ai
i=n
m
i=n
m
i=n
m
i=n
m
Ai
i=n
αi
Eϕi ( Xi )
.
ϕi (ai )
Eϕn ( Xn )
< ∞, nên
ϕn (an )
j
lim lim P( max
n→∞ m→∞
n≤j≤m
i=n
j
Zi
Zi
− E[
] ≤ ε)
ai
a
i
i=n
j
j
= 1 − lim lim P( max
n→∞ m→∞
n≤j≤m
i=n
Zi
Zi
− E[
] > ε)
ai
a
i
i=n
= 1.
Do đó áp dụng bổ đề Borel - Cantelli, ta có phần dư của chuổi
∞ Z
∞ Z
∞ Z
∞ Z
n
n
n
n
− E[
] hội tụ về 0 h.c.c, nên
− E[
] hội
n=1 an
n=1 an
n=1 an
n=1 an
tụ hầu chắc chắn khi n → ∞.
Với mọi n ≥ 1, giả sử Yn∗ là phần tử đối xứng của Yn , Yn∗ = Yn − Yn
trong đó Yn và Yn là độc lập, có cùng phân phối.
Với mỗi ε > 0,
j
P( max
n≤j≤m
i=n
j
Yi
Yi
−E[
] > ε) = P( max
n≤j≤m
ai
a
i
i=n
(theo bổ đề 2.1.7) ≤
1
E
εr
m
Yi
i=n
r
j
Yi > ε)
i=n
