2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ THANH HẢI

VỀ f – DÃY CHẶT

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

VINH – 2010


3

MỤC LỤC
NỘI DUNG
MỤC LỤC …………………………………………………………..
MỞ ĐẦU……………………………………………………………..
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ……………………………
1.1. Hệ tham số ………………………………………………………
1.2. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun ……………………
1.3. Môđun đối đồng điều địa phƣơng ……………………………...
1.4. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của mơđun ……………………
1.5. Độ dài của mơđun ………….…………………………………...
1.6. Dãy chính quy ……………...…………………………………...
1.7. Dãy chính quy lọc ……………………………………………….
1.8. Số bội ……………………………………………………………
1.9. Vành địa phƣơng đầy đủ theo tôpô m – adic ……………………
1.10. Đối ngẫu Matlis ………………………………………………..

CHƢƠNG 2. VỀ f - DÃY CHẶT …………………………………..
2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của f – dãy chặt …………….

Trang
1
2
4
4
4
5
6
7
8
8
9
10
12
13
13

2.2. Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun
đối đồng điều địa phƣơng ……………………………………………
2.3. Tính đa thức của hàm độ dài của môđun các thƣơng suy rộng …
KẾT LUẬN …………………………………………………………
TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………

20
22
32



4

33

MỞ ĐẦU
Trong tồn bộ luận văn ln giả thiết (R, m) là một vành giao hoán, địa
phƣơng, Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d >
0.
Năm 2004, trong q trình đi tìm phản ví dụ cho câu hỏi mở của Sharp và
Hamieh [8] về tính đa thức của hàm độ dài các thƣơng suy rộng, Nguyễn Tự
Cƣờng, M. Morales và Lê Thanh Nhàn [4] đã đƣa ra khái niệm f – dãy chặt
(strict f – sequence) nhƣ sau: Một dãy các phần tử x1 , x2 ,..., xk  của iđêan cực đại
m đƣợc gọi là một f – dãy chặt của M nếu
d j

x j 1  p, p   Att ( H mi ( M / x1 , x2 ,..., x j M )) \ {m} với mọi j = 0, 1, 2,…, k - 1.
i 1

Khái niệm f – dãy chặt sau đó đã đƣợc dùng để nghiên cứu tính hữu hạn của
tập các iđêan nguyên tố gắn kết của mơđun đối đồng điều địa phƣơng; nghiên
cứu tính đa thức của hàm độ dài các thƣơng suy rộng đƣợc định nghĩa bởi Sharp
và Hamieh [8]; đặc trƣng môđun giả Cohen – Macaulay là lớp môđun đƣợc đƣa
ra bởi Nguyễn Tự Cƣờng và Lê Thanh Nhàn [6]; nghiên cứu giả thuyết đơn thức
của M. Hochster… Điều đó chứng tỏ khái niệm f– dãy chặt có ý nghĩa trong
việc nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng của Đại số giao hốn.
Mục đích của luận văn là dựa vào bài báo [4] của Nguyễn Tự Cƣờng, M.
Morales và Lê Thanh Nhàn để tìm hiểu về khái niệm f – dãy chặt và ứng dụng
của f – dãy chặt trong việc nghiên cứu tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố
gắn kết của mơđun đối đồng điều địa phƣơng; nghiên cứu tính đa thức của hàm

độ dài các thƣơng suy rộng đƣợc định nghĩa trong [8].


5
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn
đƣợc chia thành hai chƣơng.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chƣơng này chúng tôi trình bày các
kiến thức về Đại số giao hốn có liên quan đến các kết quả hoặc chứng minh ở
Chƣơng 2, nhằm làm cơ sở cho việc trình bày ở Chƣơng 2.
Chương 2: Về f – dãy chặt. Chƣơng này là nội dung chính của luận văn.
Trong chƣơng này chúng tơi trình bày lại các kết quả trong bài báo [4] của
Nguyễn Tự Cƣờng, M. Morales và Lê Thanh Nhàn với ba vấn đề chính sau:
+ Định nghĩa và các tính chất cơ bản của f – dãy chặt;
+ Khảo sát tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối
đồng điều địa phƣơng;
+ Khảo sát tính đa thức của hàm độ dài các thƣơng suy rộng.
Luận văn đƣợc hoàn thành vào tháng 10 năm 2010 tại trƣờng Đại học Vinh
dƣới sự hƣớng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác
giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, ngƣời đã hƣớng dẫn nhiệt tình, chu
đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp
này tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cơ giáo trong khoa Tốn và khoa
Sau đại học đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác
giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp Cao học 16 – Đại số - Lý thuyết số
đã giúp đỡ động viên tác giả trong suốt quá trình học tập.
Luận văn đƣợc hoàn thành bằng tất cả sự nỗ lực và cố gắng của bản thân,
song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận đƣợc
những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cơ giáo và bạn đọc để luận văn đƣợc
hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 10 năm 2010

Tác giả


6


7

CHƢƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Hệ tham số
Cho M là môđun hữu hạn sinh với dimM = d trên vành giao hoán, địa
phƣơng, Noether (R, m). Một hệ các phần tử x  x1 ,..., xd  của m sao cho
lR(M/ x1 ,..., xd  M)  +∞ đƣợc gọi là một hệ tham số của M. Nếu x  x1 ,..., xd  là
một hệ tham số của M thì hệ các phần tử x1 ,..., xi  gọi là một phần hệ tham số
với mọi i = 1,…, d. Iđêan q = x1 ,..., xd  R đƣợc gọi là iđêan tham số của M. Ta
có một số tính chất sau của hệ tham số.
+) dim( M/ x1 ,..., xi  M) = d – i với mọi i = 1,…, d.
+) xi 1  p với p  AssR(M/ x1 ,..., xi  M) thỏa mãn dim ( R / p)  d  i , với mọi i =
1,…, d – 1.
+) Nếu x  x1 ,..., xd  là một hệ tham số của M và n  n1 ,..., nd  là bộ gồm d số
nguyên dƣơng thì xn : x1n ,..., xdn  cũng là hệ tham số của M.
1

d

1.2. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.2.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun ta gọi iđêan nguyên tố p của R là

một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tƣơng đƣơng
sau đƣợc thỏa mãn:
(i) Tồn tại phần tử x  M sao cho Ann(x) = p trong đó Ann(x) := {a  R/ax =
0}.
(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p.


8
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M đƣợc kí hiệu là AssRM hoặc
AssM nếu khơng để ý đến vành R.
Giá của mơđun M kí hiệu là SuppRM (hoặc SuppM) là tập các iđêan
nguyên tố p của R sao cho mơđun địa phƣơng hóa của M tại p khác 0.
1.2.2. Mệnh đề. AssRM  SuppRM và mọi phần tử tối tiểu của SuppRM đều
thuộc AssRM.
1.2.3. Mệnh đề. Nếu M là R-mơđun Noether thì AssRM là tập hữu hạn.

1.3. Mơđun đối đồng điều địa phương
Cho I là một iđêan của R. Khi đó hàm tử I – xoắn I( - ) từ phạm trù các
R-môđun vào phạm trù các R-môđun đƣợc xác định bởi I(M) =



 0 :

M



I n là


n 1

hàm tử cộng tính, khớp trái, hiệp biến trong phạm trù các R-môđun với hàm
tử dẫn xuất phải thứ i là RiI( - ), (i = 1, 2,…). Môđun đối đồng điều thứ i của
M, kí hiệu H Ii M  đƣợc định nghĩa bởi H Ii M   Ri I M  .
Từ định nghĩa trên ta có thể xác định H Ii M  nhƣ sau: Trƣớc hết ta lấy lời
giải nội xạ:
1

i 1

d
d
d
I : 0 d I 0 
I 1 
... 
 I i 
I i 1 d
 ...
0

1

i

của M. Khi đó có một R-đồng cấu  : M 
 I 0 sao cho dãy
i 1



d
d
d
M

I 0 
I 1 
... 
 I i 
I i 1 d
 ...
0

1

i

là khớp. Từ đó ta nhận đƣợc phức
1

(d )
I (d )
I (d )
0 
 I ( I 0 ) 
 ... 
 I ( I i ) 
 I ( I i 1 ) 
 ...

0

i

Ta có
H Ii M   KerI (d i1 ) / Im I (d i ) .


9
Cần chú ý rằng H Ii M  không phụ thuộc vào việc lựa chọn lời giải nội xạ
của M. Dễ thấy H I0 M   I M  do đó H I0 M  là một mơđun con của M. Ta có
một số tính chất sau đây của môđun đối đồng điều địa phƣơng.
+) Nếu InM = 0 với một số tự nhiên n nào đó thì H I0 M  = M và H Ii M  =
0, (i > 0).
+) Cho r là một số tự nhiên. Khi đó H Ii M  là mơđun hữu hạn sinh với
mọi i < r nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho In H Ii M  = 0 với
mọi i < r.
+) Khi I = m là iđêan cực đại của R thì H mi M  là R-mơđun Artin, hơn
nữa H mi M  = 0 với mọi i > d. Đặc biệt H md M  hữu hạn sinh khi và chỉ khi d =
0.

1.4. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun
Một R-môđun X đƣợc gọi là môđun thứ cấp nếu với mọi r  R phép
nhân bởi r trên X là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong trƣờng hợp này

AnnR X là

một iđêan nguyên tố chẳng hạn là p và ta gọi X là p-thứ cấp. Một biểu diễn
thứ cấp của X là một phân tích X = X1 + X2 +…+ Xn, trong đó Xi là môđun
con pi-thứ cấp với mọi i = 1, 2,…, n. Biểu diễn trên đƣợc gọi là biểu diễn thứ

cấp tối tiểu của X nếu các pi đôi một khác nhau và khơng có Xi nào là thừa.
Khi đó tập {p1, p2,…, pn} xác định nhƣ trên đƣợc gọi là tập các iđêan ngun
tố gắn kết của mơđun X và kí hiệu bởi AttRX (hoặc AttX nếu không chú ý đến
R).
Với một R–mơđun Artin A bất kì có một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A
là A = A1 + A2 +…+An trong đó Ai là các pi – thứ cấp. Khi đó tập hợp {p1,…,
pn} là độc lập và khơng phụ thuộc vào các Ai, đƣợc kí hiệu là AttRA. Nếu


10
0  ( A)   thì Att(A) = m và nếu 0  A'  A  A' '  0 là một dãy khớp ngắn

của các môđun Artin thì Att  A' '  Att  A  Att  A'  Att  A' ' .

1.5. Độ dài của môđun
1.5.1. Định nghĩa. Một dãy hợp thành của một R-môđun M là một dãy giảm
gồm một số hữu hạn các môđun con
M = M0  M1 …  Mn = {0},
sao cho Mi-1/Mi là một môđun đơn với mọi i = 1, 2,…, n. Khi đó n đƣợc gọi là
độ dài của dãy hợp thành này. Môđun M có dãy hợp thành đƣợc gọi là mơđun
có dãy hợp thành.
1.5.2. Định nghĩa. Nếu R-mơđun M có dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp
thành của M có cùng một độ dài. Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M
đƣợc gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là  R M  . Nếu R-mơđun M khơng
có dãy hợp thành thì ta quy ƣớc độ dài  R M  = ∞ và đƣợc gọi là mơđun có độ
dài vơ hạn.
1.5.3. Đặc trưng của mơđun có độ dài hữu hạn
+) Một R-mơđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là môđun
Noether vừa là môđun Artin.
+) Cho dãy khớp ngắn các R-mơđun

f
g
0
 N 

M

P
 0

Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và P có độ dài hữu hạn, và ta
ln có
 R M    R N   P .

+) Nếu N là R-mơđun con của R-mơđun M thì


11
 R M    R N   M / N  .

+) Nếu R là một vành Noether và M là một R-mơđun có độ dài hữu hạn
thì AssR(M) = SuppR(M).

1.6. Dãy chính quy
Một phần tử a  R đƣợc gọi là phần tử chính quy của M hay M–chính
quy nếu ax 0 với mọi x  M, x  0. Dãy các phần tử (x1, x2,….,xn) của R đƣợc
gọi là dãy chính quy của R-mơđun M hay cịn gọi là M-dãy chính quy nếu
thỏa mãn các điều kiện:
(i) M/(x1, x2,….,xn)M  0.
(ii) xi là M/(x1, x2,….,xi - 1 )M - chính quy với mọi i = 1, 2,…., n.

Chú ý rằng a  R là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi x  p, p 
AssM. Do đó (x1, x2,….,xn) là dãy chính quy của M khi và chỉ khi M/(x1,
x2,….,xn)M  0 và xi  p, p  Ass(M/(x1, x2,….,xi - 1)M), với mọi i = 1, …, n.
Cho I là một iđêan của R. (x1, x2,….,xr) là một M-dãy chính quy trong I.
Khi đó (x1, x2,….,xr) đƣợc gọi là một dãy chính quy cực đại trong I nếu khơng
tồn tại y  I sao cho (x1, x2,….,xn, y) là dãy chính quy của M. Nếu (x1, x2,….,
xn) là một dãy chính quy của M thì nó cũng là một phần của hệ tham số của
M.

1.7. Dãy chính quy lọc (filter-regular sequence)
1.7.1. Định nghĩa. Cho (x1,…, xr) là một dãy các phần tử thuộc iđêan cực đại
m. Khi đó (x1,…, xr) đƣợc gọi là một dãy chính quy lọc (hay cịn gọi là f–dãy)
của M nếu với mọi i = 1,…, r


12

x1,..., xr 1 .M :M

xi  x1,..., xi 1 M :M  m 

trong đó

x1,..., xi 1 M :M  m   a  M / mn .a  x1,..., xi 1 M , n  .
Chú ý. Một dãy các phần tử x1, …, xr thuộc m là một f-dãy của M khi và
chỉ khi xj + 1  p, p  Ass(M/(x1, …, xj)M) \ {m} và j = 0, …, k – 1.
Sau đây là một số tính chất của dãy chính quy lọc.
1.7.2. Mệnh đề. (i) (x1,…, xr) là một dãy chính quy lọc của M nếu và chỉ nếu
nó là dãy chính quy lọc của môđun thương M / H m0 M  .
(ii) Giả sử (x1,…, xr) là một dãy chính quy lọc của M. Khi đó với mọi n  1

ln tồn tại phần tử y  mn sao cho (x1,…, xr, y) là một dãy chính quy lọc của
M.
1.7.3. Mệnh đề. Cho M là một R – môđun Noether, nếu (x1,…, xr) là một
phần của hệ tham số của M thì tồn tại (y1,…, yr) là một dãy chính quy lọc của
M sao cho
(x1,…, xr)R = (y1,…, yr)R.

1.8. Số bội
1.8.1. Định nghĩa. Một hệ các phần tử x  x1,..., xt  của iđêan cực đại m sao
cho (M /( x1,..., xt ))   đƣợc gọi là một hệ bội của môđun M, ở đây nếu t = 0 ta
hiểu điều kiện này có nghĩa là M    . Chú ý rằng mỗi hệ tham số là một hệ
bội nhƣng điều ngƣợc lại khơng đúng (ta ln có t  d). Khi đó kí hiệu bội


13
ex; M  của môđun M đối với hệ bội x đƣợc định nghĩa quy nạp theo t nhƣ

sau:
Giả sử t = 0 tức là M    . Khi đó đặt e(Ø;M) = M  .
Với t > 0, đặt 0 :M x1  m / mx1  0. Khi đó 0 :M x1 là một mơđun con của
M. Vì (M /( x1,..., xt ))   ta dễ dàng suy ra 0 :M x1  /x2 ,..., xt 0 :M x1    , tức là
(x2,…, xt) là hệ bội của môđun con 0 :M x1 . Vậy theo giả thiết quy nạp thì
ex2 ,..., xt ; M / x1M  và ex2 ,..., xt ;0 :M x1  đã đƣợc xác định. Khi đó ta định nghĩa:
ex1,..., xt ; M   ex2 ,..., xt ; M / x1M   ex2 ,..., xt ;0 :M x1  .

Sau đây là một số tính chất cơ bản của số bội ex; M  .
1.8.2. Tính chất.
+) 0  ex1,..., xt ; M   M /x1,..., xt M  . Đặc biệt nếu tồn tại i sao cho xin M  0 với
n  N thì ex1 ,..., xt ; M   0 .
+) ex1 ,..., xt ; M   0 khi và chỉ khi t > d.

+) ex1n ,..., xtn ; M   n1...nt ex1,..., xt ; M .
1

t

+) Tính chất cộng tính của số bội: Cho dãy khớp ngắn các R–môđun
0
 M ' 
 M 
 M ' ' 
0 .

Ta có x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của M’ và M’’. Hơn nữa
ex; M   ex; M '  ex; M ' ' .

1.9. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m – adic
Cho (R, m) là một vành địa phƣơng. Ta xét R nhƣ một vành tôpô với cơ
sở lân cận của phần tử 0 là mt, t = 0, 1, 2, … Chú ý rằng cơ sở lân cận của
một phần tử tùy ý r  R gồm các lớp ghép r + mt với t = 0, 1, 2, …. Khi đó


14
vành đầy đủ theo tôpô m – adic của R kí hiệu bởi Rˆ đƣợc định nghĩa bằng
cách thơng thƣờng theo ngôn ngữ của dãy Cauchy nhƣ sau: một dãy Cauchy
trong R là một dãy ( rn ) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự
nhiên n0 để rn  rm  mt với mọi n, m > n0 .
Dãy ( rn ) đƣợc gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0, tồn tại số tự
nhiên n0 để rn  0  rn  mt với mọi n > n0 .
Hai dãy Cauchy ( rn ) và ( sn ) đƣợc gọi là tương đương, kí hiệu là


rn  ~ sn  nếu dãy ( rn  sn ) là dãy khơng. Khi đó quan hệ ~ trên tập các dãy
Cauchy là quan hệ tƣơng đƣơng. Ta kí hiệu Rˆ là tập các lớp tƣơng đƣơng của
các dãy Cauchy.
Chú ý rằng nếu ( rn ) và ( sn ) là các dãy Cauchy thì các dãy ( rn  sn ), ( rn sn )
cũng là các dãy Cauchy và lớp tƣơng đƣơng của các dãy ( rn  sn ), ( rn sn ) là
không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tƣơng đƣơng của các
dãy Cauchy ( rn ) và ( sn ), tức là nếu ( rn ) ~ ( r'n ) và ( sn ) ~ ( s'n ) thì ( rn  sn ) ~
( r 'n  s'n ) và ( rn sn ) ~ ( r 'n s'n ). Vì thế Rˆ đƣợc trang bị hai phép tốn hai ngơi “+”
và “.”; cùng với hai phép toán này Rˆ lập thành một vành. Mỗi phần tử r  R
có thể đồng nhất với lớp tƣơng đƣơng của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử
trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành
R
 Rˆ
r 

r 

trong đó r  là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r.
Định nghĩa tƣơng tự cho mơđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là
{mtM}. Khi đó Mˆ là một Rˆ -mơđun với phép nhân với vô hƣớng nhƣ sau: Cho
a  a1 , a2 ,... Rˆ , x  x1 , x2 ,... Mˆ . Ta có ax  a1x1 , a2 x2 ...  Mˆ .


15

1.10. Đối ngẫu Matlis
1.10.1. Định nghĩa. Giả sử (R, m) là vành địa phƣơng. Gọi E:= E(R/m) là bao
nội xạ của R–mơđun đơn R/m, kí hiệu Rˆ là bao đầy đủ m–adic của R. D =
HomR(., E) là hàm tử khớp, tuyến tính và phản biến từ phạm trù các R-môđun
đến phạm trù các R–môđun. Với mỗi R–môđun G, ta gọi D(G) = HomR(G, E)

là đối ngẫu Matlis của G.
1.10.2. Nhận xét. (i) D(R) đẳng cấu tự nhiên với E và D(E) = HomR(E, E) là
vành các R–tự đồng cấu của E.
(ii) Ann(G) = Ann(D(G)).
1.10.3. Mệnh đề. Giả sử (R, m) là vành địa phƣơng và đầy đủ. Kí hiệu E:=
E(R/m), D:= HomR(., E) là hàm tử đối ngẫu. Khi đó
(i) Cho N là một R – mơđun Noether. Khi đó AttR(D(N)) = AssR(N).
(ii) Cho A là một R – mơđun Artin. Khi đó AssR(D(A)) = AttR(A).
1.10.3. Định lí (Định lí đối ngẫu Matlis). Giả sử (R, m) là vành địa phƣơng
và đầy đủ. Kí hiệu E:= E(R/m), D:= HomR(., E) là hàm tử đối ngẫu. Khi đó
(i) Với mỗi f  HomR(E, E), tồn tại duy nhất một phần tử rf  R sao cho f(x)
= rfx với mọi x  E.
(ii) Nếu N là một R – môđun hữu hạn sinh, đồng cấu tự nhiên  N : N 

DDN  là một đẳng cấu và D(N) là Artin.
 DD A là
(iii) Nếu A là một R – môđun Artin, đồng cấu tự nhiên  N : A 

một đẳng cấu và D(A) là Noether.


16

CHƢƠNG 2

VỀ f - DÃY CHẶT

2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của f – dãy chặt (strict f
– sequence)
2.1.1. Định nghĩa. Một dãy các phần tử x1 , x2 ,..., xk  của iđêan cực đại m đƣợc

d j

gọi là một f – dãy chặt của M nếu x j 1  p, p   Att ( H mi (M / x1 ,..., x j M )) \ {m}
i 1

với mọi j = 0, 1, 2,…,k - 1.
2.1.2. Nhận xét. Nhắc lại rằng, dãy các phần tử x1, …, xk của iđêan cực đại m
đƣợc gọi là một dãy chính quy lọc (hay là f-dãy) của M nếu xj + 1 p, với mọi
p  Ass(M/(x1, ... , xj)M) \ {m} và với mọi j = 0, …, k – 1. Mặt khác theo [5]
thì với mỗi R-mơđun hữu hạn sinh N ta có AssN 

 Att H N . Vì vậy một

dim N

i
m

i 0

f-dãy chặt của M là một f-dãy của M. Và cũng vì thế mà mỗi f-dãy chặt của M
là một hệ tham số của M.
Để làm cơ sở cho việc trình bày và chứng minh các tính chất của f-dãy
chặt chúng tơi trình bày một số bổ đề sau.
f
2.1.3. Bổ đề. Cho P 
 A 

B
Q là một dãy khớp của môđun Artin


sao cho P    và Q   . Khi đó chúng ta có
AttA\{m} = AttB\ {m}.
f
 A 

B
Q , ta nhận đƣợc hai dãy
Chứng minh. Từ dãy khớp P 

khớp ngắn sau


17
0
 A / Kerf 
 B 
Q và P 
 A 
 Im f 
 0 .

Theo giả thiết ta có P    và Q   , do đó
AttB  Att(A/kerf)  {m}  AttA  {m} và AttA  Att(Imf)  {m}.
Cho B = B1 + … + Bt + C là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của B, trong đó Bi
là pi-thứ cấp với i = 1, …, t và C là số 0 hoặc là m-thứ cấp.
Từ Q   , khi đó tồn tại một số nguyên dƣơng n sao cho mnQ = 0, vì thế
mnQ  Imf. Do đó
B1 + … + Bt  mnQ  Imf và Im f /B1  ...  Bt   B /B1  ...  Bt    .
Vì thế

Att(Imf)  Att(B1 + … + Bt)  Att(Imf/( B1 + … + Bt))  AttB  {m}.
Từ đó ta có AttA  AttB  {m}, nhƣ vậy Bổ đề đã đƣợc chứng minh. □
f
 A' 

A
 A' ' 
 0 là một dãy khớp của R–
2.1.4. Bổ đề. Cho 0 

môđun Artin với  A'   . Khi đó với một dãy bất kì các phần tử x1,…, xk  R,
ta có
Att 0 :A x1,..., xk R  \ m  Att 0 :A'' x1,..., xk R  \ m.

Chứng minh. Chúng ta chứng minh bằng quy nạp theo k.
Với k = 1, ta có sơ đồ sau giao hốn:
0
 A' 
 A 
 A" 
 0
 x1

 x1

 x1

0
 A' 
 A 

 A" 
 0

với các hàng là khớp. Từ đó ta có dãy khớp
f
0
 0 :A' x1 
 0 :A x1 

0 :A" x1 
 A' / x1 A'.

*


18
Theo giả thiết, ta có  A'   suy ra 0 :A' x1    và  A' / x1 A'   . Do đó theo
Bổ đề 2.1.3 ta có Att 0 :A x1  \ m  Att 0 :A" x1  \ m. Nhƣ vậy Bổ đề đƣợc chứng
minh cho trƣờng hợp k = 1.
Với k > 1, từ (*) ta có hai dãy khớp sau
f
0
 0 :A' x1 
 0 :A x1 

Im f 
 0

và 0 
 Im f 

 0 :A" x1 
 A' / x1 A' .
Từ 0 :A' x1    , ta áp dụng giả thiết quy nạp cho dãy khớp đầu tiên và có
đƣợc
Att 0 :A x1,..., xk R \ m  Att 0 :Im f x2 ,..., xk R \ m.

(1)

Hơn nữa, áp dụng hàm tử HomR /x2 ,..., xk R;  cho dãy khớp thứ hai và thấy
rằng, theo Bổ đề 2.1.3 ta có
Att 0 :Im f x2 ,..., xk R  \ m  Att 0 :A" x1,..., xk R  \ m.

(2)

Từ (1) và (2) ta có
Att 0 :A x1,..., xk R  \ m  Att 0 :A'' x1,..., xk R  \ m.

□

Sau đây, chúng tơi trình bày một số tính chất cơ bản của f-dãy chặt.
2.1.5. Mệnh đề. Cho k là một số ngun dương. Khi đó ln tồn tại một f –
dãy chặt của M gồm k phần tử.
Chứng minh. Chúng ta chứng minh bằng quy nạp theo k.
Với k = 1, đặt C1   Att H mi M . Lấy x1m sao cho x1 p, p  C1\ {m}.
d

i 1

Khi đó x1 là một f – dãy chặt của M.



19
Với k > 1. Giả sử rằng {x1, x2,…, xk – 1} là một f – dãy chặt của M. Khi
d j

đó theo định nghĩa ta có x j 1  p, p   Att ( H mi (M / x1, x2 ,..., x j M )) \{m} với mọi
i 1

j = 0, 1, 2,…,k – 2.
Đặt Ck   Att H mi M / x1,..., xk 1 M . Lấy xk  m sao cho xk  p, p  Ck \ {m}.
d

i 1

d j

Khi đó ta có x j 1  p, p   Att ( H mi ( M / x1 , x2 ,..., x j M )) \{m} với mọi j = 0, 1,
i 1

2,…, k – 1. Hay {x1,…, xk} là một f – dãy chặt của M.

□

2.1.6. Mệnh đề. Cho {x1,…, xk} là một f – dãy chặt của M. Khi đó





Att H mi M / x1 ,..., xk M  \ m  Att 0 :H ik M  x1,..., xk R \ m

m

với mọi i = 1,…, d – k.
Chứng minh. Theo Nhận xét 2.1.2, mỗi f – dãy chặt gồm k phần tử là một
phần hệ tham số của M với k  d = dimM. Vì vậy nếu k = d, cả hai tập hợp
trong đẳng thức ở Mệnh đề là tập rỗng. Do đó ta chỉ cần chứng minh cho
trƣờng hợp k < d.
Chúng ta chứng minh bằng quy nạp theo k.
Với k = 1. Chúng ta có AssM   Att H mi M  . Vì thế x1  p với mọi p 
d

i 0

AssM \ {m}. Vì thế (0 :M x1 )   . Do đó từ các dãy khớp
0
 0 :M x1 
 M 
 M / 0 :M x1 
 0 ,
0
 M / 0 :M x1 
 M 
 M / x1M 
 0

chúng ta nhận đƣợc dãy khớp
0
 H mi M  / x1H mi M  
 H mi (M / x1M ) 
 0 :H i1 ( M ) x1 

 0
m


20
với i = 1,…, d – 1. Hơn nữa với mỗi i  {1, ..., d} thì H mi M  / x1H mi M    .
Do đó từ x1  p với mọi p  Att H mi M  \{m}. Áp dụng Bổ đề 2.1.4 ta có:





Att H mi M / x1M  \ m  Att 0 :H i1 M  x1 \ m với i = 1,…, d – 1. Vậy Mệnh đề
m

đƣợc chứng minh cho trƣờng hợp k = 1.
Với k > 1. Đặt M0 = M và Mt = M/(x1,…, xt)M, với t = 1,…, k. Theo giả
thiết và [5] thì xt  p, p  Ass(Mt



- 1)\{m},

với t = 1,…, k. Vì thế



 0 :M t 1 xt   . Do đó từ các dãy khớp
0
 0 :M t 1 xt 

 M t 1 
 M t 1 / 0 :M t 1 xt 
 0,
xt
0
 M t 1 / 0 :M t 1 xt 
M t 1 
 M t 
 0

chúng ta nhận đƣợc các dãy khớp
H m0 M t  
 0 :H 1 ( M
m

t 1 )

xt 
 0 ,

0
 H mi M t 1  / xt H mi M t 1  
 H mi M t  
 0 :H i1 M
m

t 1




xt 
 0.

(1)

Vì thế với N  H mi M t 1  / xt H mi M t 1  ta có các dãy khớp
0 :N xt 1 ,..., xk R 
 0 :H i M

xt 1,..., xk R 

x ,..., xk R 
 Ext 1R R / xt 1 ,..., xk R, N ,
 t 1
m

0 :H i1 M
m

t 1

t



(2)

với t = 1, …, k và i  1. Ta nhận thấy rằng N    bởi giả thiết của xt. Vì vậy
bằng cách áp dụng Bổ đề 2.1.4 cho tất cả các dãy khớp trong (2) với t = k, …,
1, chúng ta có










Att H mi M /  x1 ,..., xk M  \ m  Att H mi M k  \ m


 Att 0 :

 Att 0 :H i1  M
m

k 1



H mi  2  M k  2 

 ....





xk \ m


xk 1 , xk R  \ m



 Att 0 :H ik  M   x1 ,..., xk R \ m
m


21
với i = 1,…, d – k. Vậy Mệnh đề đƣợc chứng minh.

□

2.1.7. Mệnh đề. Cho (x1,…, xk) là một f – dãy chặt của M. Khi đó với mọi j =
0,…, k – 1, xj+1  p với mọi p 

 Att 0 :

x ,..., x R  \ m.

d

i 1

H mi  M 

1

j


Chứng minh. Cho i = 1 và bằng cách đặt t = 1 trong dãy khớp (1) của chứng
minh



đề

Mệnh

2.1.6

chúng



đƣợc

ta







 0 :H 1 M  x1   .
m

Vì


thế



 0 :H 1 M  x1,..., x j R   từ j  1, và vì vậy Att 0 :H 1 M  x1,..., x j R  m .
m

m

Cho 1 < i  j và bằng cách áp dụng Bổ đề 2.1.4 cho các dãy khớp (2) với
t = 1,…, i – 1, chúng ta nhận đƣợc






 Att 0 :
 Att 0 :

x2 ,..., xi R  \ m
x ,..., xi R  \ m
M  2
x ,..., xi R  \ m
M  3

Att 0 :H i  M   x1 ,..., xi R \ m  Att 0 :H i1  M
m


m

H mi 1
H mi  2

 ...



 Att 0 :H 1  M
m

1



1

2

i 1





xi \ m.




Bằng cách thay thế t = i trong dãy khớp (1), chúng ta có Att 0 :H



Vì thế Att 0 :H

i
m

M 

x1,..., xi R  m. Từ i  j suy ra



1
m

 M i 1 



xi  {m}.



Att 0 :H i M  x1 ,..., x j R  {m}.
m

Mặt khác (x1,…, xj) là một f – dãy chặt với mọi j = 1,…, k. Vì vậy theo

Mệnh đề 2.1.6 chúng ta có điều phải chứng minh.

□

Chú ý rằng x1, …, xk là một f-dãy của M khi và chỉ khi x1,..., xk là một dãy
chính quy của Mp, p  SuppM \ {m} chứa x1, …, xk, ở đây xi là ảnh của xi
trong Rp,  i = 1, …, k. Do đó x1, …, xk là một f-dãy của M khi và chỉ khi
x1n1 ,..., xknk là f-dãy của M với mọi số nguyên dƣơng n1, …, nk. Mệnh đề sau đây

cho thấy điều tƣơng tự cũng đúng cho f-dãy chặt.


22
2.1.8. Mệnh đề. Cho n1,…, nk là các số nguyên dương và (x1,…, xk) là một f–
dãy chặt của M. Khi đó x1n ,..., xkn  cũng là một f–dãy chặt của M.
k

1

Chứng minh. Cho n1,…, nk là các số nguyên dƣơng và j  {1,…, k} với mỗi i

 {1, …, d} kí hiệu Di(M) là đối ngẫu Matlis HomR H mi M , E  của H mi M  ,
trong đó E là bao nội xạ của R–mơđun đơn R/m. Ta có Di(M) là Rˆ – mơđun
hữu hạn sinh.
Theo Sharp [10] ta có



 




Att 0 :H i M  x1 ,..., x j R  pˆ  R : pˆ  Att Rˆ 0 :H i  M  x1 ,..., x j Rˆ
m



m







 pˆ  R : pˆ  AssRˆ Di M  / x1 ,..., x j Di M  .

(3)

Vì vậy theo Mệnh đề 2.1.7 và (3) ta có (x1,…, xk) là một f – dãy của Di(M). Vì
thế x1n ,..., xkn  cũng là một f–dãy của Di(M). Vì vậy từ (3) chúng ta nhận đƣợc
k

1



xj  p với mọi p  Att 0 :H

i

m

M 

x

n1
1



,..., x j j 11 R \ m.
n

Tiếp theo chúng ta chứng minh bằng quy nạp theo j, (j = 1,…, k) rằng

  

 







Att H mi M / x1n1 ,..., x j j M \ m  Att 0 :H i j M  x1n1 ,..., x j j R \ m
n

m


n

(4)

với mọi i.
Thật vậy, với j = 1, từ (4) và Mệnh đề 2.1.6 thì x1n là một f – dãy chặt
1

của M.
Với j > 1, đặt M0 = M và M n,t  M / x1n ,..., xtn M với t = 1,…, j và giả thiết
t

1

rằng











Att H mi M n,t 1  \ m  Att 0 :H it 1 M  x1n1 ,..., xtnt 11 R \ m,
m


với mọi t = 1,…, j và mọi i. Khi đó xt  p,  p  Att H mi M n,t 1  \ m, với mọi
t = 1, .., j và mọi i.


23
Khi đó tƣơng tự nhƣ trong chứng minh Mệnh đề 2.1.6 chúng ta có dãy khớp
0
 H mi M n,t 1 / xtnt H mi M n,t 1  
 H mi M n,t  
 0 :H i1 M
m

n ,t 1

nt
 0
 xt 

và do đó với L  H mi M n,t 1 / xtn H mi M n,t 1  , ta có dãy khớp
t









0 :L x1n1 ,..., x j j R 

 0 :H i M  x1n1 ,..., x j j R 

m
n ,t
n

0 :H i1 M
m

n ,t 1





n

 

 

n1
j
 Ext 1R R / xtnt 11 ,..., x j j R, L
 x1 ,..., x j R 
n

n

với t = 1,…, j và i = 1,…, d. Áp dụng Bổ đề 2.1.4 cho dãy khớp sau cùng và

từ L   , đẳng thức (4) đƣợc chứng minh.



Do xj  p,  p  Att 0 :H

i
m

M 

x

n1
1



,..., x j j 11 R \ m với mọi j = 1, …, k và đẳng thức
n

(4) chúng ta có x1n ,..., xkn  là một f–dãy chặt của M.

□

k

1

2.2. Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

môđun đối đồng điều địa phương
2.2.1. Định lí. Cho (x1,…, xk) là một f – dãy chặt của M và {n1,…, nk} là tập
hợp các số nguyên dương. Khi đó với mọi i = 1,…, d cả hai tập hợp







Att 0 :H i M  x1n1 ,..., xknk R \ m và
m

  

 

Att H mi M / x1n1 ,..., xknk M \ m đều không phụ

thuộc vào sự lựa chọn n1, …, nk.
Chứng minh. Cho n1,…, nk là các số nguyên dƣơng và i  {1,…, d}. Kí hiệu
Di(M) là đối ngẫu Matlis của H mi M  . Cũng nhƣ trong chứng minh Mệnh đề
2.1.8, (x1,…, xk) là một f – dãy của Rˆ - môđun Di(M). Bây giờ cho
ˆ .
pˆ  AssRˆ ( Di M  / x1,..., xk Di M ) \ m

Khi đó
pˆ Rˆ pˆ  AssDi M  / x1 ,..., xk Di M pˆ .



24
Do đó x1,..., xk là một dãy chính quy cực đại của Di M pˆ và do đó
x1 ,..., xk cũng là một dãy chính quy cực đại của Di M pˆ . Điều này có nghĩa là
n1

nk









pˆ Rˆ pˆ  Ass Di M  / x1n1 ,..., xknk Di M  pˆ .

Do đó





ˆ .
pˆ  AssRˆ ( Di M  / x1n1 ,..., xknk Di M ) \ m

Suy ra AssRˆ ( Di M  /x1,..., xk Di M ) \ mˆ   AssRˆ ( Di M  / x1n ,..., xkn Di M ) \ mˆ .
1

k


Tƣơng tự, chúng ta cũng có





ˆ   AssRˆ ( Di M  / x1,..., xk Di M ) \ m
ˆ .
AssRˆ ( Di M  / x1n1 ,..., xknk Di M ) \ m

Vì vậy AssRˆ ( Di M  /x1,..., xk Di M ) \ mˆ  = AssRˆ ( Di M  / x1n ,..., xkn Di M ) \ mˆ .
1

k

Mà theo (3) trong chứng minh Mệnh đề 2.1.8 chúng ta có











Att R 0 :H i M  x1n1 ,..., xknk R \ m  Att 0 :H i M  x1 ,..., xk R \ m .
m


m

Mặt khác theo Mệnh đề 2.1.8 thì x1n ,..., xkn  là một f – dãy chặt của M. Vì vậy
1

k

áp dụng Mệnh đề 2.1.6 chúng ta có

  

 


 Att 0 :





Att H mi M / x1n1 ,..., xknk M \ m  Att 0 :H ik  M  x1n1 ,..., xknk R \ m

x1,..., xk R  \ m
 Att H mi M / x1 ,..., xk M  \ m.
m

H mi  k  M 

Vậy Att H mi M / x1n ,..., xkn M  \ m = Att H mi M / x1,..., xk M  \ m. Định lí đƣợc

1

k

chứng minh.

□

Từ định lí trên ta có hệ quả sau. Đây là một số đặc trƣng của f-dãy chặt.
2.2.2. Hệ quả. Cho (x1,…, xk) là một dãy các phần tử trong m. Khi đó các
phát biểu sau là tương đương:


25
(i) (x1,…, xk) là một f – dãy chặt của M.
(ii) x1n ,..., xkn  là một f – dãy chặt của M với mọi số nguyên dương n1,…, nk.
1

k

(iii) xj+1  p với mọi p 

 Att 0 :
d

H mi  M 

i 1

(iv) xj+1  p với mọi p 


x ,..., x R  \ m với mọi j = 1,…, k – 1.
1

 Att 0 :
d

H mi  M 

i 1

j

x

n1
1



,..., x j j R \ m với mọi số nguyên
n

dương n1,…, nk với mọi j = 1,…, k – 1.
(v) (x1,…, xk) là một f – dãy của Rˆ - môđun Di(M) với mọi i = 1,…, d. Trong
đó Di(M) là đối ngẫu Matlis của H mi M  với mọi i = 1,…, d.
Chứng minh. (i) => (ii). Suy từ Mệnh đề 2.1.8.
(ii) => (iv) Suy từ Mệnh đề 2.1.7.
(iv) => (iii). Hiển nhiên.
(iii) <=> (v). Đƣợc chứng minh bằng cách áp dụng công thức (3) trong chứng

minh Mệnh đề 2.1.8.
(iii) => (i). Chúng ta sử dụng phƣơng pháp chứng minh nhƣ chứng minh
Mệnh đề 2.1.8 trong trƣờng hợp n1 = …= nk = 1. Khi đó (4) trở thành





Att H mi M / x1 ,..., x j M  \ m  Att 0 :H i j M  x1 ,..., x j R \ m với mọi j = 1,…, k.
m

Vì vậy (x1,…, xk) là một f – dãy chặt của M.

□

2.3. Tính đa thức của hàm độ dài của môđun các thương suy
rộng
2.3.1. Hàm độ dài các thương suy rộng


26
Trong [9], Sharp và Zakeri đã xây dựng một R-môđun gọi là môđun các
thƣơng suy rộng. Với mỗi số nguyên dƣơng k, các tập con tam giác trong Rk
đóng vai trị nhƣ các tập nhân đóng trong lý thuyết vành và mơđun các
thƣơng. Vì thế lý thuyết mơđun các thƣơng suy rộng có thể xem là mở rộng
của lý thuyết địa phƣơng hóa thơng thƣờng. Lý thuyết mơđun các thƣơng suy
rộng có ứng dụng rộng rãi trong Đại số giao hốn. Chẳng hạn, mơđun đối
đồng điều địa phƣơng cấp cao nhất H md M  có thể đƣợc xem nhƣ là một
môđun các thƣơng suy rộng của M ứng với một tập con tam giác trong Rd + 1,
và ngƣời ta đã dùng kết quả này để nghiên cứu Giả thuyết Đơn thức của M.

Hochster.
Bây giờ ta nhắc lại một số chi tiết chính để xây dựng mơđun các thƣơng
suy rộng. Cho k là một số nguyên dƣơng, kí hiệu Dk(R) là tập tất cả các ma
trận tam giác dƣới cấp k  k với hệ tử trong R. Một tập con tam giác của Rk là
một tập con khác rỗng U của Rk sao cho hai điều kiện sau đƣợc thỏa mãn:
(i) Nếu (u1, …, uk)  U thì u1n ,..., ukn   U với mọi bộ số nguyên dƣơng n1, …,
1

k

nk.
(ii) Nếu (u1, …, uk) và (v1, …, vk)  U thì tồn tại (w1, …, wk)  U và H, H’ 
Dk (R) sao cho H [u1,..., uk ]T  [w1,..., wk ]T  H '[v1,..., vk ]T (ở đây kí hiệu [ ]T để chỉ
ma trận chuyển vị).
Khi cho trƣớc một tập con tam giác U, Sharp và Zakeri đã xây dựng một
R-môđun U  k M và họ gọi nó là mơđun các thƣơng suy rộng của M ứng với
tập con tam giác U nhƣ sau.
Trên tích Đêcac M  U ta xét quan hệ 2 ngôi ~: với b, c  M và
u  u1,..., uk , v  v1,..., vk  U , b, u1,..., uk  ~ c, v1 ,..., vk  khi và chỉ khi tồn tại