1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

LẠI THỊ HƢƠNG LAN

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƢƠNG ĐẲNG
ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHĨM IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Nghệ An 2011


2

MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU

1

Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị

3

1.1 Tương đẳng và nửa nhóm thương

3

1.2 Nửa nhóm xyclic

8

1.3 Băng và nửa dàn. Nửa nhóm giao hốn

10

Chƣơng 2. Nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng
và mở rộng iđêan
2.1 Nửa nhóm giao hốn với tính chất mở rộng iđêan

18
18

2.2 Nửa nhóm giao hốn iđêan với tính chất mở rộng tương
đẳng

22
2.3 Nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng iđêan

29

KẾT LUẬN

39

TÀI LIỆU THAM KHẢO


40


1

LỜI NĨI ĐẦU
Khái niệm nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng đã được đưa
ra bởi A. R. Stralka năm 1972.
Nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng (CEP)
nếu thoả mãn điều kiện: với mỗi nửa nhóm T của S và mỗi tương đẳng 
trên T, tồn tại một tương đẳng  trên S sao cho   (T  T )   . Từ đó đến
nay, rất nhiều lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng đã được
nghiên cứu: như nửa nhóm xyclic, nửa nhóm giao hốn ...
Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo The congruence
extention property for algebraic semigroups của tác giả I. J. Garcia
đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 43 năm 1991 (xem [7]) để tìm
hiểu lớp nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng, đó là lớp
nửa nhóm thoả mãn định nghĩa sau:
Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm iđêan nếu với mỗi tương đẳng
 trên S đều tồn tại một iđêan I của S sao cho   ( I  I )   S , trong đó  S là

tương đẳng đồng nhất của S: (a, b)   S  a  b .
Ngồi ra, chúng tơi cũng tìm hiểu lớp nửa nhóm có tính chất mở
rộng iđêan nghĩa là lớp nửa nhóm thoả mãn định nghĩa :
Nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng iđêan (IEP) nếu với
mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T tồn tại một iđêan J của S
sao cho I  J  T .
Luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này, chúng tơi trình bày các khái niệm cơ bản của
lý thuyết nửa nhóm: tương đẳng và nửa nhóm thương, nửa nhóm xyclic,
băng và nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau.


2

Chương 2. Nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng và tính
chất mở rộng iđêan.
Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày các nửa nhóm
giao hốn và nửa nhóm giao hốn iđêan với tính chất mở rộng tương đẳng.
Sau đó chúng tơi trình bày các nửa nhóm iđêan với tính chất mở rộng
iđêan.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh,
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán người thầy đã hướng dẫn,
chỉ dạy tận tình để tơi hồn thành luận văn này.
Trong q trình học tập và viết luận văn, tôi cũng nhận được sự
giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cơ giáo trong Bộ mơn Đại số - Khoa
Tốn - Trường Đại học Vinh và Khoa Đào Tạo Sau đại học Trường Đại
học Vinh và các bạn lớp cao học 17 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh
Hoá, Ban giám hiệu, tổ toán và đồng nghiệp trường THPT Trần Phú, gia
đình và những người thân đã cùng chia sẻ, giúp đỡ, động viên và tạo mọi
điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập và luận văn tốt
nghiệp cuối khoá.
Cuối cùng, do khả năng cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi
những thiếu sót, tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các q
thầy giáo, cơ giáo cùng tất cả các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.


Nghệ An, tháng 11 năm 2011
Tác giả


3

CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Tƣơng đẳng và nửa nhóm thƣơng
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và  là một quan hệ trên S. Khi
đó  được gọi là ổn định bên phải (trái) nếu a  b (a,b S) kéo theo ac  bc
(ca  cb), với mọi c S.
Quan hệ  được gọi là tương đẳng phải (trái) nếu  là quan hệ tương
đương và ổn định phải (trái). Quan hệ  được gọi là một tương đẳng trên S
nếu  vừa là tương đẳng phải, vừa là tương đẳng trái.
1.1.2. Nửa nhóm thƣơng. Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S.
Khi đó  là quan hệ tương đương trên S, do đó có thể xét tập thương S /  ,
tức là tập các lớp tương đương của S theo mod  . Giả sử A, B là hai phần tử
tuỳ ý của S /  . Nếu a 1 ,a 2  A và b 1 ,b 2  B. Khi đó từ a 1  a 2 suy ra a 1 b 1 
a 2 b 1 (vì  ổn định bên phải). Từ b 1  b 2 suy ra a 2 b 1  (vì  ổn định bên
trái). Theo tính chất bắc cầu của  suy ra a 1 b 1  a 2 b 2 . Do đó, tích AB của
các lớp A và B được chứa trong một lớp tương đương C nào đó. Định nghĩa
phép nhân (  ) trong S /  bằng cách đặt A  B = C. Từ tính chất kết hợp
trong S suy ra tính kết hợp trong S /  , và do đó S /  trở thành nửa nhóm.
Nửa nhóm S /  được gọi là nửa nhóm thương của S theo mod  .
Nếu S là nửa nhóm giao hốn thì S /  cũng là nửa nhóm giao hốn.
Nếu S là vị nhóm với đơn vị e thì S /  là vị nhóm với đơn vị là e  .
Ta ký hiệu a  (a  S) là lớp tương đương theo mod  chứa a. Điều đã nói
trong định nghĩa trên của phép tốn (  ) có nghĩa đơn giản là a   b  =
(ab)  với mọi a,b  S.



4

1.1.3. Đồng cấu. Giả sử  : S  S’ là ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa nhóm
S’. Khi đó  được gọi là đồng cấu nửa nhóm nếu  (ab)   (a). (b) , với mọi
a, b  S.
Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S. Khi đó ánh xạ tự nhiên
  từ S lên S /  xác định bởi   (a) = a  là một đồng cấu nửa nhóm, nó

được gọi là đồng cấu tự nhiên (hay chính tắc) từ nửa nhóm S lên nửa nhóm
S / .
Như vậy, mỗi nửa nhóm thương của nửa nhóm S là một ảnh đồng cấu
của nó. Định lý sau đây chứng tỏ rằng, đảo lại, mỗi ảnh đồng cấu của nửa
nhóm S đẳng cấu với một nửa nhóm thương nào đó của nó. Như vậy, nếu ta
khơng phân biệt các nửa nhóm đẳng cấu với nhau, thì bài tốn bên ngồi về
việc tìm tất cả các ảnh đồng cấu của nửa nhóm S đã cho được chuyển về
bài tốn bên trong tìm tất cả các tương đẳng trên S.
1.1.4. Định lý (Định lý cơ bản về đồng cấu). Giả sử  là một đồng cấu từ
nửa nhóm S lên nửa nhóm S’ và giả sử    1   , nghĩa là a  b (a,b S) khi
và chỉ khi  (a)   (b) . Thế thì  là một tương đẳng trên S và tồn tại đẳng
cấu  từ nửa nhóm S /  lên S’ sao cho       trong đó   là đồng cấu
tự nhiên từ S lên S /  .
Chứng minh. Nếu a  b và c S thì  (ac)   (a) (c)   (b) (c)   (bc) , từ
đó ac  bc. Tương tự, ca  cb. Vì  hiển nhiên là một quan hệ tương đương
trên S, nên nó là tương đẳng. Đối với mỗi phần tử A thuộc nửa nhóm S /  ,
ta đặt  (a)   (a1 ) , trong đó a1  A . Để chứng tỏ  là một ánh xạ (từ S / 
vào S’), ta chú ý rằng nếu a2  A thì a 1  a 2 và vì vậy  (a1 )   (a2 ) . Vì  là
ánh xạ từ S lên S’ nên  là ánh xạ từ S /  lên S’. Ta chứng tỏ  là đồng
cấu. Giả sử A, B  S /  và a  A và b  B. Thế thì ab AB, nên

 ( AB)   (ab)   (a) (b). Mặt khác


5

 (a)   (b)   (a) =  (b).

Từ đó a  b và vì vậy A = B. Như vậy là đẳng cấu từ S /  lên S’.
Nếu a  A  S/  thì   (a)  A . Thành thử
 (a)   (a)   (   (a))      (a) .

Vì điều này đúng với mọi a  S nên ta kết luận rằng       .□
1.1.5. Chú ý. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G, thế thì quan hệ
 trên G, xác định bởi a  b (a,b  G) khi và chỉ khi ab 1  H, là một tương

đẳng phải trên G, và mọi tương đẳng phải trên G đều thu được bằng cách
đó. Các lớp tương đương của  là các tập Ha với a  G. Quan hệ  là tương
đẳng khi và chỉ khi H là chuẩn tắc trong G. Trong trường hợp S là nửa
nhóm tuỳ ý, các tương đẳng nói chung khơng được xác định bởi một lớp
nào trong các lớp của nó (hoặc “hạt nhân”) như đối với một nhóm. Tuy
nhiên, có một số loại tương đẳng có thể xác định như vậy. Chẳng hạn, mỗi
tương đẳng  mà S /  là một nhóm (hoặc nhóm với phần tử khơng) được
xác định bởi lớp là phần tử đơn vị của nhóm (hoặc nhóm với phần tử
khơng).
1.1.6. Định lý (Định lý về đồng cấu cảm sinh). Giả sử 1 và  2 là các đồng
cấu từ nửa nhóm S tương ứng lên các nửa nhóm S1 và S 2 sao cho
11  1  2 1  2 . Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất  từ S1 lên S 2 sao

cho   1  2 .
Chứng minh. Giả sử a1  S1 và a là phần tử thuộc nửa nhóm S sao cho

1 (a)  a1 . Đặt  (a1 )  2 (a1 ) .Nếu 1 (b)  a1 (b  S) thì (a,b) 11  1  2 1  2 ,

từ đó 2 (a)  2 (b) do đó  là một ánh xạ (đơn trị). Hiển nhiên   1  2 . Ta
chứng tỏ  là đồng cấu. Ta có
 1 (a).1 (b)   1 (ab)  2 (ab)

= 2 (a).2 (b)   1 (a). 1 (b).


6

Tính duy nhất của  là hiển nhiên. Thật vậy, nếu  thoả mãn hệ thức
  1  2 thì bắt buộc phải xác định như đã làm ở trên.□

1.1.7. Hệ quả. Nếu 1 và  2 là các tương đẳng trên nửa nhóm S sao cho
1   2 thì S /  2 là ảnh đồng cấu của S / 1 .

Chứng minh. Giả sử 1  1 , 2  2 , S1  S / 1 , S2  S / 2 .Vì
1  11  1 và 2  2 1  2 nên từ 1   2 suy ra 11  1  2 1  2 . Theo

Định lý 1.1.6, tồn tại đồng cấu  từ nửa nhóm S1 lên nửa nhóm S 2 .□
1.1.8. Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối đại kiểu đã cho.
Dễ thấy rằng giao của một họ tuỳ ý các tương đẳng trên nửa nhóm
S cũng là tương đẳng trên S. Nguyên tắc sau đây do Tamura và Kimura nêu
lên năm 1954.
1.1.8.1. Mệnh đề. Giả sử

c

là một tính chất trừu tượng của nửa nhóm,


tức là một tính chất sao cho nếu một trong hai nửa nhóm đẳng cấu với
nhau có tính chất

c thì nửa nhóm kia cũng có tính chất đó. Ta nói tương

đẳng  trên nửa nhóm S có kiểu c nếu S /  có tính chất c . Giả thiết rằng
giao  của tất cả các tương đẳng  trên S có kiểu c cũng có kiểu c. Thế thì
S/  là ảnh đồng cấu tối đại của S có tính chất

c và mỗi ảnh đồng cấu của

nửa nhóm S có tính chất c là ảnh đồng cấu nửa nhóm S /  .
Chứng minh. Nếu T là ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất

c , thì theo Định lý cơ bản về đồng cấu nửa nhóm, có T  S /  , với tương
đẳng  nào đó trên S. Vì theo giả thiết,
S /  có tính chất

c là một tính chất trừu tượng, nên

c. Do đó  có kiểu c, từ đó

   theo định nghĩa của

 .Theo Hệ quả của Định lý 1.1.6, ta có S /  là ảnh đồng cấu của S /  và

do đó T là ảnh đồng cấu của S /  .□



7

1.1.8.2. Chú ý. Xem như các ví dụ áp dụng nguyên tắc trên, ta hãy chú ý
tới các sự kiện sau:
(1) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu nửa nhóm tối đại.
(2) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu giao hốn tối đại.
Có thể thay thế trong (2) từ “giao hoán “ bởi từ “luỹ đẳng hoặc
“với luật giản ước” hoặc bởi một tổ hợp tuỳ ý ba tính chất đó. Cho đến nay
việc khảo sát thành cơng nhất là đối với trường hợp “giao hốn và luỹ
đẳng”. Đó là kiểu thứ nhất được Tamura và Kimura xét năm 1954. Tuy
nhiên, cần lưu ý rằng khơng phải mọi nửa nhóm đều có ảnh đồng cấu
nhóm tối đại. (Kimura đã chỉ ra điều đó trong một bài báo của mình vào
năm 1958).
1.1.9. Tƣơng đẳng sinh bởi một quan hệ cho trƣớc.
Vì tương đẳng có một vai trị rất quan trọng trong lý thuyết nửa
nhóm, do đó người ta thường quan tâm đến việc xây dựng các tương đẳng
thoả mãn một số tính chất nào đó. Sau đây ta nêu lên cách xây dựng tương
đẳng sinh bởi một quan hệ cho trước.
Giả sử 0 là quan hệ tuỳ ý trên nửa nhóm S, khi đó tồn tại ít nhất
một tương đẳng trên S chứa 0 , đó là quan hệ phổ dụng   SxS . Do đó, tồn
tại giao  của tất cả các tương đẳng trên S chứa 0 , ta gọi  là tương đẳng
sinh bởi quan hệ 0 .
Ta sẽ mô tả  một cách chi tiết hơn. Giả sử 1  0  0 1  i .
Đặt a  2 b (a,b  S) khi và chỉ khi a = xcy, b = xdy và c1d với c, d nào đó
thuộc S và x, y nào đó thuộc S 1  S  1. Ta gọi việc chuyển từ a đến b hoặc
ngược lại là 0 - bắc cầu sơ cấp. Rõ ràng quan hệ  2 là phản xạ, đối xứng
và ổn định, hơn nữa 0  1  2   . Cuối cùng, bao đóng bắc cầu  2t của
quan hệ  2 là tương đẳng trên S được chứa trong  và do đó bằng  . Như



8

vậy, a  b khi và chỉ khi tồn tại các phần tử c1, c2, ..., cn  S sao cho a2c1 ,
c12c2 , ..., cn  2b . Ta tóm tắt những điều đã nói vào định lý sau đây

1.1.10. Định lý. Giả sử 0 là một quan hệ trên nửa nhóm S và  là một
tương đẳng trên S, sinh bởi 0 . Thế thì a  b (a,b  S) khi và chỉ khi b có thể
thu được từ a bằng một dãy hữu hạn 0 - bắc cầu sơ cấp.
1.2. Nửa nhóm xyclic
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và a là một phần tử tuỳ ý của S.
Khi đó nửa nhóm con  a  của S gồm tất cả các luỹ thừa nguyên dương
của a
2

3

 a  = { a, a , a , ...},

được gọi là nửa nhóm con xyclic của S sinh bởi a. Trong trường hợp S =  a 
thì S được gọi là nửa nhóm xyclic sinh bởi a và a được gọi là phần tử sinh.
Cấp của a được định nghĩa là cấp của nửa nhóm con xyclic  a  .
Với mỗi a  S chỉ có hai khả năng xảy ra
i) Hoặc mỗi luỹ thừa của a đều khác nhau, khi đó a có cấp vô hạn
(đếm được).
ii) Hoặc tồn tại các số nguyên r và s với r < s sao cho a r  a s .Khi
đó a có cấp hữu hạn .
Giả sử s là số nguyên dương bé nhất sao cho a S là luỹ thừa của
phần tử a bằng một luỹ thừa bé hơn nào đó của phần tử đó. Thế thì a r  a s ,
với r nào đó bé hơn s (r là số nguyên dương duy nhất có tính chất này).
Đặt m = s - r, khi đó a r  a m  r . Trong trường hợp này m được gọi

là chu kỳ, r là chỉ số của phần tử a hay của nửa nhóm xyclic hữu hạn  a  .
1.2.2. Mệnh đề. Giả sử a là một phần tử của nửa nhóm S và  a  là nửa
nhóm con xyclic sinh bởi a. Nếu  a  là nửa nhóm xyclic vơ hạn thì mọi
luỹ thừa của phần tử a đều khác nhau. Nếu  a  là nửa nhóm xyclic hữu


9

hạn với chỉ số r và chu kỳ m thì a m  r  a r và  a  = {a, a2, ..., am+r+1 }. Khi
đó cấp của nửa nhóm con  a  bằng m + r - 1.
Tập Ka = { ar, ar + 1,..., a r + m - 1 } là nhóm con xyclic cấp m của nửa
nhóm S.
Chứng minh. Với  a  = { a, a2, a3,...}
+)  a  là nửa nhóm xyclic vơ hạn, từ định nghĩa suy ra số phần
tử của nửa nhóm  a  là vơ hạn. Vì vậy mọi luỹ thừa của a đều khác nhau.
+)  a  là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chu kỳ m, chỉ số r. Theo
định nghĩa, tồn tại hai số nguyên dương r và s sao cho a r  a s .
Do m là chu kỳ nên m = s - r, khi đó a r  a m  r ; và vì các phần tử
a, a 2 ,..., a s 1 khác nhau nên suy ra
2

 a  = { a, a , ..., a

s-1

} = { a, a2, ..., ar, ar + 1,... ar + m - 1 }.

Vậy  a  có cấp bằng r + m - 1.
+) Tập Ka = { ar, ar + 1,..., a r + m - 1 } là nửa nhóm con xyclic cấp m
của nửa nhóm S. Thật vậy, hiển nhiên K a là nửa nhóm con của nửa nhóm

S. Ta đặt a n  Ka (r  n  r  m  1) . Xét ánh xạ  : a n  (m)  n , trong đó (m) +
n là lớp thặng dư các số nguyên theo mod m chứa n. Rõ ràng  là một đẳng
cấu từ K a lên nhóm cộng  /(m) tất cả các lớp thặng dư theo mod m. Từ đó
suy ra K a là nhóm con xyclic cấp m của nửa nhóm S.□
1.2.3. Mệnh đề. Giả sử S =  a  là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chu kỳ
m và chỉ số r; n là số tự nhiên thoả mãn r  n  m  r và n  o(mod m) . Khi
đó a n là đơn vị của nhóm con tối đại Ka = { ar, ar + 1,..., a r + m - 1 }.
Chứng minh. Xét ánh xạ  : Ka  Z m
ah  h

Khi đó  là một đẳng cấu nhóm và
a h  1   (a h )  0  h  0
 h  0(mod m) với 0  h  m  r .□


10

1.3. Băng và nửa dàn. Nửa nhóm giao hốn
Trước hết ta nhắc lại rằng một quan hệ thứ tự  trên một tập X
được gọi là một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng, và bắc cầu.
Ta sẽ dùng ký hiệu a < b để chỉ a  b và a  b .
1.3.1. Bổ đề. Giả sử E là tập hợp tất cả các tương đẳng của nửa nhóm S.
Khi đó quan hệ  xác định trên E bởi :
e  f (e, f  E ) nếu ef  fe  e là một thứ tự bộ trên E.

Chứng minh. Vì e  E nên e2  e , do đó e  e nên  phản xạ. Hơn nữa,
nếu e  f , f  e thì ef  fe  e và fe  ef  f nên e  f , do đó  phản đối xứng.
Ta lại có: nếu

e f


và f  g

thì

ef  fe  e

và

gf  fg  f

nên:

eg  (ef ) g  e( fg )  ef  e , ge  g ( fe)  ( gf )e  fe  e . Do đó, e  g nên  bắc cầu.□

1.3.2. Chú ý. Quan hệ  xác định trong Bổ đề 1.3.1 được gọi là thứ tự bộ
phận tự nhiên trên E.
1.3.3. Định nghĩa. Giả sử  là một thứ tự bộ phận trên tập X và Y là tập
con của X.
i, Phần tử b  X được gọi là cận trên của Y nếu y  b với mọi y  Y ;
ii, Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y,
nếu b  c với mọi cận trên c của Y (Nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng
hợp đó là duy nhất);
iii, Phần tử a  X được gọi là cận dưới của Y nếu a  y với mọi
y Y ;

iv, Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y
nếu d  a với mọi cận dưới d của Y. (Nếu Y có một giao trong X, thì
rõ ràng giao đó cũng là duy nhất);
v, Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới),

nếu mỗi tập con gồm hai phần tử {a, b} của X có hợp (hay giao) trong X;


11

trong trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong
X. Hợp (giao) của {a, b} sẽ được ký hiệu là a  b (hay a  b );
vi, Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn
trên và nửa dàn dưới;
vii, Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và
một giao.
1.3.4. Ví dụ. 1, Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ
sung thêm tập rỗng. Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao
hàm của lý thuyết tập hợp. Vì giao của một tuỳ ý các nhóm con của S hoặc
là rỗng, hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ. Giao của
một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa
nhóm thuộc Y, trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo
lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y. Tất cả các lý luận trên vẫn có
hiệu lực, nếu ta thay thế từ “nửa nhóm con hay tập rỗng của S” bởi từ
“tương đẳng trên S”.
2, Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ
sung thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn
con con đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S.
1.3.5. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của
S đều là luỹ đẳng.
Giả sử S là một băng. Khi đó, S = E và S được sắp thứ tự bộ phận
tự nhiên ( a  b(a, b  S ) nếu và chỉ nếu ab = ba = a).
1.3.6. Mệnh đề. Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự
bộ phận tự nhiên trên S. Giao a  b của hai phần tử a và b của S trùng với
tích ab của chúng. Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối

với phép giao.


12

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.3.1, quan hệ  là một thứ tự bộ phận
trên S ( = E). Ta chứng tỏ rằng tích ab ( = ba) của hai phần tử a, b S trùng
với cận dưới lớn nhất của {a, b}.
Từ (ab)a = a(ab) = aab =a2b = ab và a(ab) = (aa)b = a2b = ab
suy ra ab  a. Tương tự ab  b nên ab là cận trên của {a, b}. Giả sử c  a và
c  b. Thế thì (ab)c = a(bc) = ac = c, và tương tự, c(ab) = c, từ đó c  ab. Do
đó ab là cận dưới lớn nhất của {a, b}. Từ đó S là nửa dàn dưới.
Mệnh đề đảo là hiển nhiên.□
1.3.7. Chú ý. Giả sử S là một băng gíao hốn. Khi đó nếu đặt a  b khi
và chỉ khi ab ( = ba) = b thì (S,  ) là nửa dàn trên. Tuy nhiên, để cho
thống nhất, ta giữ định nghĩa nêu trong 1.3.5. Từ đây về sau, ta sẽ dùng nửa
dàn như đồng nghĩa với từ băng giao hoán. Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ được
ngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu khơng nói thêm gì.
1.3.8. Ví dụ. Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý. S = X  Y là tích Decartes
của X và Y. Ta định nghĩa phép tốn hai ngơi trên S bằng cách đặt
(x1,y1)(x2,y2) = (x1,y2) với x1, x2  X; y1, y2  Y. Tính kết hợp và luỹ đẳng của
phép tốn đó là hiển nhiên.
Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X  Y. Lý do của tên gọi đó như sau:
Ta hãy tưởng tượng X  Y là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong
đó điểm (x,y) nằm ở dòng x cột y của bảng. Thế thì a1= (x1,y1) và a2=(x2,y2)
là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là a1a2 = (x1,y2) và
a2a1= (x2,y1). Các băng chữ nhật trên X  Y và X/  Y/ đẳng cấu với nhau nếu
và chỉ nếu X  X / và Y  Y / .
Nếu X  1 , Y  1 thì băng chữ nhật trên X  Y đẳng cấu với nửa nhóm
các phần tử khơng bên phải.



13

1.3.9. Định nghĩa. Nếu nửa nhóm S được phân chia thành hợp của các nửa
nhóm con rời nhau S ,  I (I là tập hợp các chỉ số nào đó ) thì ta nói rằng
S phân tích được thành các nửa nhóm con S ,  I .
Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con
S thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S.

Giả sử S  S ,  I  là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với
mọi cặp  ,   I tồn tại   I để cho S S  S . Ta định nghĩa một phép toán
đại số trong I bằng cách đặt  .   nếu S S  S , khi đó I trở thành một
băng đối với phép tốn đó.Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm S .
Ánh xạ  : S  I xác định bởi  (a)   nếu a  S là một tồn cấu
và các nửa nhóm con S là các lớp của tương đẳng hạt nhân Ker  . Đảo lại,
nếu  là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I thì ảnh ngược
S   1 ( ) của mỗi phần tử   I là một nửa nhóm con của S và S là hợp

của nửa dàn I các nửa nhóm S ,  I .
Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao
hốn, nếu phép toán trên S thoả mãn ab  ba, a, b  S .
1.3.10. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn. Khi đó S được
gọi là nửa nhóm Acsimet nếu a, b  S , tồn tại các số nguyên dương m và n
sao cho am = bx và bn = ay với x, y nào đó thuộc S.
1.3.11. Định nghĩa. Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S. Khi đó
 được gọi là luỹ đẳng nếu S /  là một băng.

1.3.12. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn tuỳ ý. Ta xây
dựng quan hệ  trên S như sau: a b (a, b  S ) nếu và chỉ nếu tồn tại các số

nguyên dương m, n và các phần tử x, y  S sao cho am = b.x, bn = a.y.


14

1.3.13. Định lý. Quan hệ  trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương
đẳng trên S và S / là ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại S.
Chứng minh. Rõ ràng quan hệ  là phản xạ và đối xứng. Để chứng
minh  bắc cầu, giả sử a b và b c (a, b, c  S ). Khi đó bm = a.x và cn = b.y
với m, n là các số nguyên dương và x, y S . Vì S giao hốn nên cn.m = (by)m
= bm.ym = axym hay a \ cnm. Tương tự, c chia hết một luỹ thừa nào đó của a
và do đó a c. Để chứng minh  ổn định, giả sử a, b, c  S và a b . Khi đó
từ a \ bm ta có ac \ bmc và rõ ràng bmc \ (bc)m nên ac \ (bc)m . Tương tự, bc
chia hết một luỹ thừa nào đó của ac và ta kết luận ac bc . Vì S giao hoán
nên ca cb. Vậy  là tương đẳng trên S.
Rõ ràng a a2 với mọi a  S nên S / là luỹ đẳng và do S giao hoán
nên S / giao hoán. Vậy S / là nửa dàn.
Chứng minh sẽ kết thúc nếu chúng ta chứng tỏ được rằng  được
chứa trong một luỹ đẳng  bất kỳ trên S. Giả sử a b (a, b S ). Thế thì tồn
tại các số nguyên m, n và các phần tử x, y thuộc S sao cho ax = bm, by = an.
Vì  là luỹ đẳng nên a  a2, b  b2. Do đó (ax)  b và (by)  a. Suy ra
a  (by)  (b2y)  (ba)  (a2x)  (ax)  b. Như vậy a  b và ta kết luận    .□
1.3.14. Định lý. Một nửa nhóm giao hốn S biểu diễn được một cách duy
nhất thành nửa dàn Y các nửa nhóm Acsimet S ,  Y . Nửa dàn Y đẳng cấu
với ảnh đồng cấu của nửa dàn tối đại S / của S, và các S ,  Y là các lớp
tương đương của S theo modul  .
Chứng minh. Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán và  là quan hệ
trên S được xác định như trong Định nghĩa 1.3.12. Theo Định lý 1.3.13,
S / là một nửa dàn và S / là ảnh đồng cấu của S. Ta sẽ chứng tỏ S là nửa


dàn các nửa nhóm Acsimet nếu chứng tỏ được rằng mỗi lớp tương đương A
của S theo modul  là một nửa nhóm con Acsimet của S. Rõ ràng A là một


15

nửa nhóm con của S vì S / là luỹ đẳng. Giả sử a, b  A . Thế thì a b và ax
= bm, by = an với x, y nào đó thuộc S và m, n là các số ngun dương nào
đó. Thế thì a(bx) = bm+1 và b(ay)= an+1. Từ đó, bx \ bm+1 và b \ bx. Suy ra
bx b nên bx A . Tương tự, ay A . Như vậy a \ bm+1 và b \ am+1 đối với A,
nghĩa là A là Acsimet .
Về tính duy nhất, giả sử S là một nửa dàn Y các nửa nhóm con
Acsimet S ,  Y . Chứng minh kết thúc nếu chứng tỏ được rằng S là các
lớp tương đương S modul  , vì Y  S/  được suy ra một cách trực tiếp.
Giả sử a, b  S . Ta chứng tỏ rằng a b khi và chỉ khi a và b cùng
thuộc S . Nếu a và b cùng thuộc S thì mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa
của phần tử kia vì S là Acsimet, và do đó ta có a b và giả sử a  S ,
m

n

b  S . Vì a b nên ta có ax = b , by = a với x, y nào đó thuộc S và m, n là

các số nguyên dương nào đó. Giả sử x  S , khi đó ax  S và bm  S . Thế
thì S  S   và do đó    . Như vậy    trong nửa dàn Y. Do đối
xứng,    nên    .□
Ta chuyển sang tính tách được của các nửa nhóm.
1.3.15. Định nghĩa. i) Nửa nhóm giao hốn S được gọi là tách được, nếu
từ hệ thức ab = a2 = b2 (a,b  S ) kéo theo a = b.
ii) Tương đẳng  trên nửa nhóm S được gọi là tách được, nếu nửa nhóm

thương S /  tách được, nghĩa là nếu ab  a2,  b2  kéo theo a  b.
Rõ ràng, giao của một họ các tương đẳng tách được trên S là tách
được, suy ra S có một đồng cấu tách được tối đại.
1.3.16. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn. Ta định nghĩa
một quan hệ  trên S như sau: a  b (a, b  S ) khi và chỉ khi tồn tại số
nguyên dương n sao cho abn = bn+1 và ban = an+1.


16

1.3.17. Chú ý. Nếu tồn tại các số nguyên dương m và n sao cho abm = bm+1
và ban = an+1 thì a  b. Thật vậy, nếu chẳng hạn m < n thì ta có thể nhân hai
vế abm = bm+1 với bn-m để được abn = bn+1.
1.3.18. Định lý. Quan hệ  được định nghĩa trong 1.3.16 là một tương
đẳng trên S và S/  là ảnh đồng cấu tách được tối đại của S.
Chứng minh. Quan hệ  rõ ràng là phản xạ và đối xứng. Để
chứng minh  bắc cầu, giả sử a  b và b  c (a, b, c  ). Khi đó tồn tại các
số nguyên dương m và n sao cho
abn = bn+1, ban = an+1, bcm = cm+1, cbm = bm+1.
Giả sử k = ( n + 1)( m + 1) - 1 = n ( m + 1) + m, thế thì
ac k  ac n( m 1)c m  a(bc m ) c m  abnc m( n 1)  bn 1c m( n 1)  (bc m )
n

n 1

 c( m 1)( n 1)  c k 1

Và tương tự, cak = ak+1.
Để chứng minh  ổn định, giả sử a  b, nghĩa là abn = bn+1, ban = an+1 với
số nguyên dương n nào đó, và giả sử c  S . Thế thì:(ac)(bc)n = abncn+1 =

bn+1cn+1 = (bc)n+1 và tương tự, (bc)(acn)n = (ac)n+1.
Như vậy, (ac)  (bc) và vì S giao hốn nên (ca)  (cb). Suy ra  là
một tương đẳng.
Cuối cùng, ta chứng minh  tách được. Giả sử a và b là các phần
tử thuộc S sao cho ab  a2, ab  b2. Thế thì tồn tại các số nguyên dương m
m

và n sao cho (ab)(a2) = (a2)

m 1

n

và (ab)(b2) = (b2)

n 1

. Như vậy ba2m+1

= a2(m+1) và ab2m+1 = b2n+2. Theo Chú ý 1.3.17 có a  b.
Chứng minh sẽ kết thúc nếu ta chứng tỏ rằng  được chứa trong
mỗi tương đẳng tách được  trên S. Giả sử a  b.
Chẳng hạn, abn = bn+1, ban = an+1. Ta chứng tỏ rằng a  b.
Giả sử k là một số nguyên dương nào đó sao cho abk  bk+1, bak  ak+1 (1)
Chẳng hạn k = n. Giả sử k  2 . Bằng cách xem ab0 là a trong biểu
thức sau đây (nếu k = 2), có


17


(abk-1) (abk 1 ) = (abk-2)(abk)  (abk-2)bk+1 = (abk-1)bk,
2

(abk-1)bk = (abk)bk-1  bk+1bk-1 = (b k ) .
2

Đặt x = abk-1, y = bk ta có xy  x2 và xy  y2, do đó x  y vì  tách
được. Do đó abk-1  bk và tương tự bak-1  ak. Như vậy (1) đúng với k -1.
Bằng quy nạp trở xuống, từ k = n suy ra (1) đúng với k = 1. Do đó ab  b2
và ba  a2 nên a  b.□
1.3.19. Hệ quả. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn tách được. Nếu
a và b là các phần tử thuộc S sao cho abm = bm+1, ban = an+1 với các số
ngun dương nào đó, thì a= b.
Chứng minh. Dựa theo Chú ý 1.3.17 ta có a  b. Vì S tách được nên
quan hệ đồng nhất is trên S là tách được.
Theo Định lý 1.3.9, có   is nên a = b.□
1.3.20. Định lý. Một nửa nhóm giao hốn là tách được khi và chỉ khi các
thành phần Acsimet của nó là giản ước được.
Chứng minh. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn tách được, và
giả sử S là một thành phần Acsimet của S. Rõ ràng S cũng tách được. Ta
chứng minh S giản ước được. Giả sử a, b, c là các phần tử thuộc S sao
cho ac = bc. Vì S là Acsimet nên tồn tại các phần tử x, y  S và các số
nguyên dương m, n sao cho cx = am và cy = bn. Thế thì:
am+1 = acx = bcx = bam, bn+1 = bcy = acy = abn.
Theo Hệ quả 1.3.19, có a = b.
Đảo lại, giả sử S là một nửa nhóm giao hốn sao cho mỗi thành phần
Acsimet S của S là giản ước được. Giả sử a và b là các thành phần thuộc S
sao cho a2 = b2 = ab. Nếu chẳng hạn b  S , b  S (  ,   Y ) thì a2 S và
b2  S nên    .
Ta kết luận được a = b do tính giản ước trong S .□



18

CHƢƠNG 2
NỬA NHĨM IĐÊAN VỚI TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƢƠNG ĐẲNG
VÀ MỞ RỘNG IĐÊAN
2.1. Nửa nhóm giao hốn với tính chất mở rộng iđêan
Trong tiết này chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm và tính chất
cơ bản của các nửa nhóm với (CEP) và (IEP).
2.1.1. Định nghĩa. i) Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng
iđêan (IEP) nếu với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T tồn
tại một iđêan J của S sao cho I = J  T.
ii) Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm iđêan nếu mỗi tương đẳng trên
S đều là tương đẳng Rees, nghĩa là với mỗi tương đẳng  trên S tồn tại một
iđêan I của S sao cho   ( I  I )   S , trong đó  S là tương đẳng đường
chéo: (a, b)   S  a  b.
2.1.2. Chú ý. Trước hết xin nhắc lại rằng một nửa nhóm S được gọi là nửa
nhóm Acsimet nếu S là nửa nhóm giao hốn và mỗi phần tử của S là ước
của một luỹ thừa nào đó của phần tử khác.
Nếu S là một nửa nhóm giao hốn tuần hồn (nghĩa là mỗi phần tử
của S đều có cấp hữu hạn) thì S là nửa dàn các nửa nhóm Acsimet tuần
hồn mà mỗi nửa nhóm Acsimet ấy chứa duy nhất một luỹ đẳng. Nói
chung, mỗi nửa nhóm giao hốn (khơng nhất thiết tuần hồn) có thể biểu
diễn duy nhất dưới dạng một dàn các nửa nhóm Acsimet (và chúng được
gọi là các thành phần Acsimet của nhóm đã cho. Ký hiệu ES là tập hợp các


luỹ đẳng của S, C(e) là thành phần Acsimet chứa luỹ đẳng e và  là hợp
rời. Thế thì nửa nhóm giao hốn tuần hồn biểu diễn duy nhất dưới dạng



trong đó: C(e).C(f)  C(ef).

S =  C(e)
e  ES


19

Chú ý rằng nếu S có tính chất mở rộng iđêan thì mỗi thành phần C(e) có
tính chất mở rộng iđêan, nhưng điều ngược lại có thể khơng đúng.
2.1.3. Chú ý. Giả sử S là nửa nhóm Acsimet tuần hồn có tính chất mở
rộng iđêan. Thế thì S là mở rộng iđêan của nhóm Aben (xoắn) G bởi
một nửa nhóm Acsimet N với zero, nghĩa là N  S / G ( thương Rees của
nửa nhóm S theo iđêan G). Thực ra, G = M(S) trong đó M (S) là iđêan tối
tiểu của S. Chúng ta sẽ xét S như hợp rời


S = G  N \ 0
trong đó các phần tử thuộc N đồng nhất với phần tử thuộc S \ G.
Như vậy nửa nhóm giao hốn tuần hồn S được biểu diễn dưới dạng


S =  C(e)
e  ES
trong đó e  ES, C(e) là một mở rộng iđêan của nhóm Aben (xoắn) Ge =
M(C(e)) bởi một nửa nhóm Acsimet Ne với phần tử zero.
2.1.4. Hệ quả. Giả sử S là nửa nhóm giao hốn tuần hồn và ES là tập
hợp các luỹ đẳng của S. Trên ES xác định thứ tự bộ phận tự nhiên:

e  f (e, f  Es ) nếu và chỉ nếu ef  e .

Thế thì:

1/ Nếu e  f (e, f  Es ) thì C( f )(M (C(e))  M (C(e)) .
2/ x n  M (C (e))  Ge với mọi n  3 .
3/ ab= b nếu và chỉ nếu b = 0.

Kết quả sau đây thuộc về K.D.Aucoin năm 1999.
2.1.5. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn. Thế thì S có tính
chất mở rộng iđêan nếu và chỉ nếu


trong đó:

S =  C(e)
e  ES
1) Với mỗi e  ES, C(e) có tính chất mở rộng iđêan.


20

2) Nếu e, f là hai luỹ đẳng phân biệt, x C(e) và y C(f) thế thì
xy  M(C(ef)) hoặc xy = x hoặc xy = y.
2.1.6. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn. Khi đó quan hệ 
cho bởi a 
Nếu a
thứ tự 

H


b nếu và chỉ nếu a  bS 1 là một thứ tự bộ phận trên S.

b và b
H

H

a ( nghĩa là a và b không so sánh được với nhau theo

) thì ta ký hiệu a║Hb.

Nửa nhóm S được gọi là một H - quạt nếu S là hợp rời của các H chuỗi tối đại.
2.1.7. Chú ý. Giả sử X là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận bởi quan
hệ  và Y là một tập con của X. Thế thì Y được gọi là một chuỗi nếu Y được
sắp thứ tự toàn phần (nghĩa là hai phần tử tuỳ ý của Y luôn luôn so sánh được
với nhau: a, b  Y thì hoặc a  b hoặc b  a ). Chuỗi Y  X gọi là chuỗi tối
đại nếu với mọi chuỗi Z của X mà Z  Y thì hoặc Z = Y hoặc Z = X.
Với mỗi x  X, ký hiệu  x  y   : y  x.
Nếu X là một nửa dàn thì  x là iđêan chính của nửa dàn X.
Hai kết quả sau đây thuộc về K.D.Aucoin nêu ra năm 1993 và 1995.
2.1.8. Mệnh đề. Giả sử S là một nhóm giao hốn. Thế thì S là một nửa
nhóm iđêan nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn:


(1) S có zero và S = C(0)  E\ 0 .
(2) Nếu e, f  E \ 0, e  f thì ef  0 .
(3) Nếu a  C(0), e  E\ 0 thì ae = 0 hoặc ae = a.
(4) Nếu a,b  C(0) thế thì một trong các điều kiện sau đây đúng:
(i) a 


H

b hoặc b 

H

a.

(ii) a║Hb và cả hai điều kiện sau đây đều được thoả mãn :
(A) Tồn tại e  E\ 0 nào đó sao cho hoặc ea = a hoặc eb = b.


21

(B) Nếu e  E\ 0 sao cho ea = a thì eb = 0.
2.1.9. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn. Thế thì S là nửa
nhóm iđêan nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn:


(a) S = C(0)  E\ 0 .
(b) S là một H - quạt.
(c) Mỗi e  E\ 0 là một phần tử H - tối đại và ít nhất một H chuỗi tối đại khơng bị chặn trên bởi một luỹ đẳng.
Chú ý rằng có thể có một số vơ hạn các H - chuỗi tối đại hay các “cạnh”
trong quạt và một H - chuỗi tuỳ ý có thể vơ hạn.
2.1.10. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm iđêan giao hốn. Thế thì S có
tính chất mở rộng iđêan nếu và chỉ nếu đối với mỗi x  C(0),  H x hoặc là
một nửa nhóm tầm thường, hoặc là nửa nhóm zero cấp bằng hai, hoặc nửa
nhóm xyclic cấp ba với luỹ đẳng zero.
(Chú ý: Nửa nhóm S được gọi là tầm thường nếu S chỉ gồm một phần

tử. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm zero nếu xy = 0, x, y  S ).
Chứng minh. Giả thiết rằng S có IEP. Thế thì C(0) có IEP vì IEP có
tính di truyền. Giả sử x C(0). Chúng ta khẳng định rằng  x  x, x 2 ,0.
Muốn vậy chỉ cần chứng minh  x  x, x 2 ,0. Lấy y  x . Thế thì y  Hx nên
y = xs với s  S1 nào đó. Nếu s = 1 thì y = x x, x 2 ,0. Nếu s  E\ 0 thì theo
Mệnh đề 2.1.8, y x,0  x, x 2 ,0. Nếu s  C(0) thì y = xs nên y = xs = x2. Từ
đó ta kết luận được rằng y  x, x 2 ,0 trong tất cả các trường hợp, và bao hàm
thức được chứng minh. Do đó,  H x = x, x 2 ,0.

Nếu x = 0 thì  H x = 0

là nửa nhóm tầm thường. Nếu x  0 và x2 = 0 thì  H x= x,0 là nửa nhóm
zero với cấp bằng hai. Trong trường hợp cịn lại, x 2  0 . Khi đó  x, x 2 ,0
và x, x2, 0 đôi một khác nhau vì x 2  0 (từ đó x  0 ) và x 2  x vì luỹ đẳng
duy nhất là 0. Do đó  H x là nửa nhóm xyclic cấp ba với luỹ đẳng zero


22

và  H phải thuộc một trong ba dạng trên.
Đảo lại, giả thiết rằng với mỗi x C(0) ,  H x là nửa nhóm tầm thường,
hoặc nửa nhóm zero với cấp bằng hai hoặc nửa nhóm xyclic cấp ba với luỹ
đẳng zero. Chúng ta sẽ chứng tỏ điều kiện của Mệnh đề 2.1.5 được thoả
mãn để kết luận rằng S có IEP. Như đã chú ý trước đây, một nửa nhóm
iđêan giao hốn tuỳ ý là tuần hồn nên điều kiện của Định lý 2.1.5 được
thoả mãn. Bằng cách so sánh các Mệnh đề 2.1.8 và 2.1.9 ta thấy rằng điều
kiện về phép nhân giữa các thành phần được cho bởi 2.1.5 (2) được thoả
mãn. Chúng ta chỉ cần thấy rằng điều kiện C(0) có IEP (Điều kiện 2.1.5
(1)). Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ rằng nếu x, y  C(0), thế thì hoặc xy = 0
hoặc x2 = xy = y2. Nếu x và y không so sánh được theo quan hệ  H thì theo

Định lý 2.1.8 B, có xy   H x   H y = 0 .
Nếu x và y là H - so sánh được, chẳng hạn y   H x thì bằng cách kiểm
tra trực tiếp giả thiết có thể xảy ra đối với  H x, ta kết luận rằng nếu x  y
thì xy = 0. Thực tế, nếu x = y thì xy = x2 = y2. Như vậy, C(0) có IEP. Theo
Định lý 2.1.5, điều này hồn thành phép chứng minh S có IEP. □
2.2. Nửa nhóm giao hốn với tính chất mở rộng tƣơng đẳng
2.2.1. Định nghĩa: Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng
tương đẳng (CEP) nếu mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi tương đẳng 
trên T,  có một mở rộng  đến S, nghĩa là   (T  T )   .
2.2.2. Ký hiệu. Giả sử  là một tương đẳng trên S. Khi đó  - lớp chứa x
được ký hiệu là x .
2.2.3. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn với một phần tử zero
sao cho


S = C(0)  Es\ 0 .
Nếu C(0) có tính chất mở rộng tương đẳng (CEP) và đối với mỗi
e  Es \ 0, hoặc ex = x với mọi x  C(0) hoặc e x = 0 với mọi x  C(0), thế thì


23

S có CEP.
Chứng minh. Nếu C(0) tầm thường, thế thì S là một nửa dàn và có
CEP. Như vậy, chúng ta có thể giả thiết rằng C(0) khơng tầm thường. Giả
sử T là một nửa nhóm con của S. Vì C(0) tuần hoàn nên S tuần hoàn. Hơn
nữa T  CT (0)  ET \ 0, trong đó CT (0)  C(0)  T . Giả sử  là một tương
đẳng trên T. Chúng ta chứng tỏ rằng  có một mở rộng đến S trong mỗi
một trường hợp sau.
Trường


hợp

1:

Giả

thiết

0 T .

rằng

Trong

trường

hợp

này, CT (0)  C (0)  T  . Như vậy,  là một tương đẳng trên T = ET với ET
là một dàn con của ES. Do đó vậy,  mở rộng thành một tương đẳng  E

s

trên ES vì nửa dàn có CEP. Giả sử    E  (C[0] E  C (0)) x([0] E  C (0)).
S

S

S


Trực tiếp chứng tỏ được rằng  là một tương đẳng trên S mở rộng  .
Trường hợp 2: Giả thiết rằng 0  T . Khi đó,  |E mở rộng thành một
T

tương đẳng  E trên ES. Cã thể giả thiết rằng  E là một tương đẳng trên ES
S

S

sinh bởi quan hệ  |E . Đặt
T

E1  {e  ES : ex  x đối với tất cả x  C (0) }

và E2  {e  ES : ex  0 đối với tất cả x  C (0) }.


Theo giả thiết, E  E1  E 2 . Khi đó E2 là iđêan nguyên tố của ES . Hơn
nữa, bằng cách sử dụng điều kiện đó và đặc trưng của tương đẳng được
sinh bởi một quan hệ, ta có
*) nếu  |E  ( E1  E2 )  ( E2  E2 ) thì  E  ( E1  E1 )  ( E2  E2 ) .
T

S

và **) nếu  |E  ( E1  E2 )  ( E2  E2 ) thì  C
T

Khi đó vì C(0) có CEP nên  |C


T

(0)

(0)
T

 CT (0)  CT (0) .

mở rộng thành một tương đẳng  C (0)

trên C(0). Đặt
   C (0)   E  (0
S

C ( 0)

 0 ES )  (0 C ( 0 )  0 ES ) .