1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ XUÂN TRƯỜNG

MỘT SỐ NĨN ĐẶC BIỆT
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Vinh – 2011


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ XUÂN TRƯỜNG

MỘT SỐ NĨN ĐẶC BIỆT
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC – TƠPƠ
MÃ SỐ: 60.46.10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. PHẠM NGỌC BỘI

Vinh – 2011


3

MụC LụC
Trang
Mở đầu...................................................................................................

2

Ch-ơng 1. Nón trong không gian Banach..........................................

6

1.1. Nón .................................................................................................

6

1.2. Thø tù trong kh«ng gian Banach .....................................................

9

1.3. Nãn chuÈn tắc .....................................................................

10

1.4. Nón làm trội đ-ợc .......................................................................


13

1.5. Nón cân và nón hoàn toàn cân ........................................................

19

1.6. Mối quan hệ giữa các nón trong không gian Banach ......................

21

Ch-ơng 2. Nón trong không gian n ..................................................

30

2.1. Các khái niệm và tính chất ..............

30

2.2. Nón đa diện .................

37

Kết luận ....................

45

Tài liệu tham khảo ...............................

46



4

Mở đầu
I. Lớ do chn ti
Khỏi nim v nún và các tính chất của nó đóng vai trị rất quan trọng
trong tốn học nói chung và hình học nói riêng. Nón có vai trị cốt lõi trong
việc nghiên cứu lý thuyết tốn tử, phương trình vi phân, bài tốn về điểm bất
động, các bài toán về cực trị, lý thuyết động lực, lý thuyết điều khiển…
Nón trong khơng gian Banach liên quan chặt chẽ với một quan hệ thứ
tự, vì vậy các loại nón khác nhau như tương ứng với các cấu trúc thứ tự khác
nhau. Trong luận văn này, trước hết chúng tôi quan tâm nghiên cứu các loại
nón cổ điển trong khơng gian Banach nói chung, sau đó chúng tơi quan tâm
nghiên cứu các loại nón trong khơng gian ¡ n và các tính chất của chúng mà
nón nói chung trong khơng gian Banach khơng có. Luận văn nhằm cụ thể hóa,
chi tiết hóa các khái niệm và chỉ ra mối quan hệ giữa các loại nón, các dấu
hiệu nhận biết các loại nón… Với lí do trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu:
“Một số nón đặc biệt trong không gian Banach”.
II. Nội dung nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là:
1, Trình bày khái niệm về các loại nón, các tính chất của nón trong
khơng gian Banach. Trình bày chứng minh đầy đủ các dấu hiệu nhận biết nón,
các định lý về nón.
2, Trình bày mối quan hệ giữa các loại nón trong khơng gian Banach.
3, Trình bày một số loại nón trong khơng gian ¡

n

và tính chất của nó.


4, Trình bày chứng minh một số ví dụ minh họa cho khái niệm nón và
các tính chất của chúng.
III. Phương pháp nghiên cứu
1, Phương pháp suy luận trực tiếp.
2, Phương pháp suy luận gián tiếp.
3, Phương pháp loại suy.


5

IV. Dự kiến cấu trúc của luận văn
Trên cơ sở nhiệm vụ nghiên cứu đã nêu, ngoài phần mở đầu và tài liệu
tham khảo, luận văn được trình bày thành 2 chương.
Chương 1. Nón trong khơng gian Banach
Trong chương này chúng tơi trình bày các khái niệm về nón, nãn khối,
nón bản sao, nón chuẩn tắc, nón làm trội, nón cân, nón hoàn toàn cân và một
số dấu hiệu nhận biết chúng. Luận văn trình bày tính chất của một số loại nón
và chứng minh các mối liên hệ giữa các loại nón trong không gian Banach.
Trình bày một số ví dụ minh họa cho khái niệm nón trong không gian Banach.
1.1. Nón
Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm về một số loại nón, (nón,
nón tái tạo (hay cịn gọi là bản sao), nón khối, nón K(F).…) và trình bày
chứng minh một số ví dụ minh họa về nón, nón khối, nón bản sao, nón K(F).
1.2. Thứ tự trong khơng gian Banach
Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa về thứ tự, khơng gian
có thứ tự, chúng tơi trình bày một số nhận xét và tính chất về thứ tự.
1.3. Nón chuẩn tắc
Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa về nón chuẩn tắc, định
nghĩa về nửa đơn điệu, mối quan hệ giữa nón chuẩn tắc và thứ tự, giữa nón
chuẩn tắc và chuẩn nửa đơn điệu. Chúng tơi trình bày chứng minh đầy đủ một

số tính chất và trình bày chứng minh một số ví dụ minh họa cho các nón trên.
1.4. Nón làm trội được
Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa phiếm hàm tuyến tính
đơn điệu, phiếm hàm tuyến tính dương, phiếm hàm tuyến tính dương đều,
định nghĩa siêu phẳng, siêu phẳng tách, định nghĩa nón làm trội được, nón
compact địa phương. Mối quan hệ giữa nón làm trội được với phiếm hàm
tuyến tính dương đều, giữa tập compact và nón làm trội được.


6

1.5. Nón cân và nón hồn tồn cân
Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa về nón cân và nón
hồn tồn cân. Trình bày chứng minh đầy đủ một số định lý về nón trên.
1.6. Mối quan hệ giữa các nón trong khơng gian Banach
Trong mục này, chúng tơi trình bày mối quan hệ giữa các loại nón
trong khơng gian Banach và trình bày một số ví dụ minh họa cho các mối
quan hệ đó.
Chương 2. Nón trong khơng gian ℝn
Chương này, chúng tơi trình bày một số loại nón trong khơng gian
¡ n . Chúng tơi trình bày chứng minh đầy đủ một số tính chất và mệnh đề về

nón.
2.1. Các khái niệm và tính chất
Trong mục này, chúng tơi trình bày một số khái niệm về nón trong
khơng gian ¡ n . Trình bày khái niệm về tập đối cực. Chúng tơi trình bày
chứng minh đầy đủ một số tính chất và mệnh đề về nón trong khơng gian ¡ n .
Đồng thời chúng tơi trình bày một số ví dụ minh họa cho các tính chất đó.
2.2. Nón đa diện
Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa về vectơ cực trị, tia cực

trị, nón đa diện, nón đơn hình, chúng tơi trình bày chứng minh một số định lý
về vectơ cực trị, tia cực trị và trình bày một số ví dụ minh họa cho các định lý
đó.
Cuối cùng là kết luận và tài liệu tham khảo.


7

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Đào tạo Sau đại
học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình chu đáo của
PGS.TS. Phạm Ngọc Bội. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự
hướng dẫn tận tâm của thầy. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới
các thầy cơ trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình
học tập và nghiên cứu của tôi. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy
cô trong Hội đồng chấm luận văn, các thầy cơ trong Khoa Tốn, Khoa Đào
tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, các thầy cô trong Phòng Quản lý khoa
học và Đào tạo Trường Đại học Hải phịng, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình
đã giúp đỡ động viên tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm việc, song do điều kiện thời
gian và năng lực cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi được những
thiếu sót. Nhiều chỗ có thể không phản ánh được hết dụng ý sư phạm của tác
giả. Chúng tơi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn
để luận văn được hồn thiện hơn.
Chúng tơi xin chân thành cảm ơn.
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


8


Ch-ơng 1. nón trong không gian banach
Trong toàn bộ luận văn này chúng tôi luôn kí hiệu E là một không gian
Banach thực. Kí hiệu || . || là chuẩn trên E, khi đó E là không gian Mêtric với
mêtric d(x, y) = || y x ||.
1.1. Nón
1.1.1. Định nghĩa
a) Tập K E đ-ợc gọi là nún (nói đầy đủ là nún cú nh l ) nếu nó
thoả mÃn điều kiện sau đây: Nếu u, v K th× u + v  K, víi mäi , 0.
b) Nón K đ-ợc gọi là nún nhn K nếu nó thỏa mÃn thêm các điều kiện:
K ( K) = {} (điều kiện này gọi là điều kiện nhọn). Nón K đ-ợc gọi là
nún nhn úng nếu K là nón nhọn và K là tập đóng.
c) Nón K đ-ợc gọi là nún khi nếu nó chứa điểm trong, tøc lµ intK  .
1.1.2. NhËn xÐt
a) DƠ dµng suy ra mỗi nón là một tập lồi.
b) Định nghĩa nón còn đ-ợc phát biểu các cách khác nh- sau:
i) Tập K là nón khi và chỉ khi các điều kiƯn sau tháa m·n:
+) NÕu u  K th× u  K víi mäi   0,
+) NÕu u, v K thì u + v K.
ii) K là nãn khi vµ chØ khi K = KG, víi KG = {Tất cả các tổ hợp tuyến
tính hữu hạn với hệ số không âm các phần tử trong K} = {1x1 + 2x2 +....+
kxk, xi K, i  0, i 1,k }.
Trong toàn bộ ch-ơng 1 này chúng tôi chỉ xét nón nhọn đóng, vì vậy để
cho gọn chúng tôi chỉ viết nón thay cho nón nhọn đóng.
1.1.3. Ví dụ. Trong khụng gian Ă 3 cho các vectơ a1 = (1; 0; 0), a2 = (1;
1; 1), a3 = (1; 0; 1), Q = {a1, a2, a3 }, S = {a1, a2}. Khi đó QG là nón khối, SG là
nón nh-ng SG không phải là nón khối.


9


1.1.4. Ví dụ. Kí hiệu C a; b là không gian các hàm thực liên tục trên
đoạn a; b , khi đó K C gồm các hàm không âm trong C a; b lµ nãn khèi.
ThËt vËy:
a) Víi u, v  K C th× (u + v)(t) = u(t) + v(t)  0, víi ,   0. VËy

K C là nón.
b) K C đóng. Giả sử {xn} K C vµ x n  x  0 .
Khi ®ã sup x n (t)  x(t)  0 nªn xn héi tơ ®Ịu vỊ x tõ ®ã suy ra x liên
ta;b

tục, không âm. Vậy x K C , do ®ã K C ®ãng.
c) K C nhän. NÕu u  K C th× u(t)  0, vËy – u(t) < 0 nªn – u(t)  K C .

K C là khối vì xét x0: a; b Ă
t

x 0 (t)  1 t  a; b

th× x0 chÝnh là điểm trong của nón K C .
1.1.5. Định nghĩa. Nón K đ-ợc gọi là nún bn sao (hay cũn gi l nún
tỏi to) nếu mỗi x E đều có thể biểu diễn đ-ợc d-ới dạng x = u – v (víi u,
v  K).
1.1.6. VÝ dơ. TËp K L gồm các hàm không âm trong Lp là nón bản sao.
p

T-ơng tự chứng minh cho K C trong Ví dơ 1.1.4 lµ nãn, ta cịng dƠ dµng
kiĨm tra K L là nón trong không gian Lp. Và K L là nón bản sao vì mỗi hàm
p

p


x(t) Lp đều cã thĨ biĨu diƠn d-íi d¹ng: x(t) = x + (t) – x - (t), trong ®ã:
x(t) nÕu x(t)  0
x + (t) =

0 nÕu x(t)  0
vµ x - (t) =

0 nÕu x(t) < 0

– x(t) nÕu x(t) < 0


10

Râ rµng x + (t) vµ x - (t) lµ các hàm không âm và thuộc Lp.
1.1.7. Nhận xét. Trong Định nghĩa 1.1.5 các phần tử u, v xác định
không duy nhất.
1.1.8. Ví dụ. Bây giờ chúng tôi sẽ lấy ví dụ về một loại nón quan trọng
trong không gian Banach, đó là nón sinh bi tp F. Giả sử F là tập bị chặn,
đóng và lồi, không chứa phần tư  cđa kh«ng gian E. KÝ hiƯu K(F) = {x  E |
x = t z, t  0, z F}. Khi đó K(F) là nón, đóng, nhọn.
a) Gi¶ sư u, v  K(F) ta chøng minh u + v  K(F).
Gi¶ sư u = t1z1, v = t2z2, víi t1, t2  0 vµ z1, z2  F. Ta cã:

 t1

t 2
u  v  (t1  t 2 ) 
z1 

z2  .
t1  t 2 
 t1  t 2
Do F låi nªn biĨu thøc trong ngoặc vuông thuộc F. Vì vậy u + v
K(F).
b) Ta chứng minh K(F) đóng. Giả sử un K(F) vµ u n  v  0, v  .
Khi ®ã un = tnzn víi tn  0, zn F. Từ F bị chặn nên tồn tại các h»ng sè d-¬ng
m, M sao cho: m  z n M do đó tn bị chặn nên trong tn tån t¹i d·y con héi tơ

t n  t 0 (t 0  0) . Ta cã:
i

zn 
i



v
1
1

t 0zn  v 
t 0z n  t n z n  t n z n  v 
t0
t0
t0
i

i


i

i

i

i

1
1
t 0  t n zn 
u n  v (v× u n  t n z n ) .
t0
t0
i

V× vËy z n 
i

i

i

i

i

i

v

v
 0 nên z n .
t0
t0

Mặt khác F đóng suy ra

i

1
v  F do ®ã v  K(F) suy ra K(F) ®ãng.
t0


11

c) Ta chøng minh K(F)  (– K(F)) = {}. Giả sử điều kiện này không
đúng. Khi đó tồn tại z0  K sao cho:
– t0z0  K(F), t0 > 0 suy ra – t0z0 = t1z1 víi t1 > 0, z1  F.
V× vËy  

t0
t
z 0  1 z1  F , v« lý.
t 0  t1
t 0 t1

Vậy K(F) thoả mÃn các điều kiện của nón, đóng, nhọn.
1.2. Thứ tự trong không gian Banach
1.2.1. Định nghĩa. Quan hệ trên không gian E đ-ợc gọi là th t (nói

đầy đủ là th t b phn) nếu nó thoả mÃn:
a) Nếu x y thì tx ty víi t > 0 vµ tx  ty víi t < 0,
b) NÕu x  y vµ y  x thì x = y,
c) Nếu x1 y1 và x2  y2 th× x1 + x2  y1 + y2,
d) Nếu x y và y z thì x z.
Không gian E đ-ợc gọi là không gian có thứ tự nÕu trªn E cã mét quan
hƯ thø tự.
1.2.2. Định nghĩa. Cho không gian Banach B và nón K B, xét quan
hệ trên E xác định nh- sau: x  y  y – x  K đ-ợc gọi là th t sinh bi
nún K.
1.2.3. Nhận xét. Nếu K là nón nhọn thì quan hệ trong Định nghĩa
1.2.2 là quan hệ thứ tự.
Thật vậy:
a) Nếu x  y  y – x  K, víi t > 0 thì t(y x) K nên ty – tx 
K  tx  ty. T-¬ng tù cho tr-êng hỵp t < 0.
x  y  y  x K
b) Nếu
nên theo điều kiện nhọn của nãn K th×

y

x

(y

x)

K




y – x = 0 suy ra y = x.


12

 x  y1
 y  x1  K
c) NÕu  1
 1
 y1  y 2  (x1  x 2 )  (y1  x1 )  (y 2 
x 2  y2  y2  x 2  K
x 2 )  K hay x1 + x2  y1 + y2.

x  y  y  x  K
d) NÕu 
 z – x = (z – y) + (y – x)  K  x 

 y  z z  y  K

z.
1.2.4. Bỉ ®Ị. Giả sử u0  K, x  E. Khi đó:
a) Nếu x  tu0 thì x   u0 với mọi  > t.
b) Nếu tồn tại t1 sao cho x  t1 u0 thì tồn tại giá trị t nhỏ nhất sao cho
x  tu0 .

c) Nếu tồn tại t1 sao cho x   t1 u0 thì tồn tại giá trị t nhỏ nhất sao cho
x   tu0 .

1.3. Nón chuẩn tắc

1.3.1. Định nghĩa. Nón K đ-ợc gọi là nún chun tc nếu tồn tại > 0
sao cho víi e1, e2  K vµ e1  e2  1 th× e1  e2   .
1.3.2. VÝ dơ. TËp K lµ ¡

+
k





= (x1 , x 2 ,..., x k ) x i  0,i  1,k là nón chuẩn

tắc.
a) Giả sử x = (x1, x2, ..., xk), y = (y1, y2, ..., yk)  K.
Khi ®ã hiĨn nhiªn x + y  K (víi ,   0) vµ K  (– K) = {}.

)  K và x (n) x . Điều này có nghÜa
b) Gi¶ sư x (n)   (x1(n) , x (n2 ) ,..., x (n)
k
(n)
là mỗi dÃy x i(n) x i . Vì mỗi x i Ă

+

đóng nên x i  0 , hay x  K nªn K

là tập đóng.
c) Ta chứng minh K là nón chuẩn t¾c.



13

Gi¶ sư x = (x1, x2,..., xk), y = (y1, y2,..., yk) K và x y thì ta cã y – x

K hay lµ yi – xi  0  xi  yi (víi i = 1, 2,..., k) nên

k

x i2
i 1

k

y
i 1

2
i

, do

đó

x y . Vì vậy K là nón chuẩn tắc.
1.3.3. Ví dụ. K C , K L là các nón chuẩn tắc. Trong các Ví dụ 1.1.4 và Ví
p

dụ 1.1.6 ta đà chứng minh chúng là các nón. Ta sẽ chỉ ra chúng là các nón
chuẩn tắc.

Trong K C xét các hàm không âm x, y sao cho x y. Khi ®ã y – x 

K C suy ra y(t) – x(t)  0. Suy ra y(t)  x(t) hay x(t)  y(t) víi mäi t   a; b .
Do ®ã sup x(t)  sup y(t)  x  y . Vậy K C là nón chuẩn tắc.
ta;b

ta;b

Chứng minh t-ơng tự, theo tính chất của tích phân ta có K L cũng là nón
p

chuẩn tắc.
1.3.4. Chú ý. Từ điều kiện của nón chuẩn tắc ta sẽ suy ra điều kiện
nhọn trong định nghĩa về nón. Thật vậy. Giả sử điều kiện này không thoả mÃn,
tức là tồn tại y   mµ y  K  (– K). Do ®ã y  K vµ – y  K. Nh- vËy y
  suy ra y  0 vµ

y
y
 K,
 K . Hiển nhiên rằng
y
y

y
y

1,
y
y


theo Định nghĩa 1.3.1 điều kiện để nón K là nón chuẩn tắc thì tồn tại > 0

y y
thoả mÃn      
  0  0 . Điều này là vô lý. Vậy K ( K) =
y
y
   
{}.


14

1.3.5. Định nghĩa. Chuẩn trong không gian thứ tự E sinh bởi nón K
đ-ợc gọi là na n iu nếu tồn tại số d-ơng N sao cho với mọi x, y  K, tõ
x  y suy ra x  N y .
1.3.6. Định lý. iu kin cn v để nón K chuẩn tắc là thứ tự sinh
bởi K thỏa mãn bất đẳng thức x E  M x

y

y

E

trong đó x  Ey, y  K, y  

và M là hằng số không phụ thuộc x, y.
Chứng minh

a) Điều kiện cần. Giả sử nón K chuẩn tắc nh-ng không tìm đ-ợc hằng
số M thoả mÃn bất đẳng thức trên. Khi đó tồn tại dÃy xn E y , yn  K sao
n

cho:

xn

E

 n xn

yn

yn E , víi n = 1, 2, .....

(1.1)

Do xn  E y nªn xn và yn đo đ-ợc, suy ra:
n

xn

xn

Do đó

xn

yn


yn

yn  x n  x n



E

Theo (1.1) ta cã

gn 

yn

yn .

xn
yn

x n E n yn

.
E

 yn
x
yn
 n 
n yn E

x n E n yn

Do 1 

E

x n
yn
xn
yn


 K vµ h n 
x n E n yn
x n E n yn E

Từ định nghĩa của nón chuẩn tắc ta có

Nh-ng

. Vì vËy:

gn
h
2y n
 n 
gn E
h n E n yn E g n
1
 gn E ; h n

n

E

1
1 ;
n


E

gn

E

gn
h
 n
gn E h n E

E

2
 .
n

E

  , víi n = 1, 2,..
E


gn E  h n E
hn .
gn E h n E
 hn

K .


15

gn
h
 n
gn E
hn E

Nªn

Suy ra lim
n

x E M x

y


E

4

.
n 1

gn
h
 n
gn E h n E

 0 . V« lý. VËy tồn tại số M thỏa mÃn
E

y E.

b) Điều kiện đủ. Giả sử bất đẳng thức x E M x
K, x  y  1. Khi ®ã x E M x

xy

y

y E thoả mÃn và x, y

x y E nh-ng   x  x  y và x

1 nên x E M x y E . Tõ ®ã suy ra x  y E

xy

1
.

M

Định lý đ-ợc chứng minh.
1.3.7. Định lý. iu kin cần và đủ để nón K chuẩn tắc là chuẩn na
n iu.
Chng minh
a) Điều kiện cần. Giả sử K chuẩn tắc, khi đó mọi x, y K và x y thì
theo Định lý 1.3.6 ta có x E  M x

y

y E  M y E (do x y 1) nên chuẩn nửa

đơn điệu.
b) Điều kiện đủ. Giả sử chuẩn là nửa đơn điệu. Khi đó x  N x  y
víi mäi x, y  K suy ra x  y 

1
víi mäi x, y  K và x y 1 .
N

Định lý đ-ợc chứng minh.
1.4. Nón làm trội đ-ợc
1.4.1. Định nghĩa. Phiếm hàm tuyến tính f xác định trên E đ-ợc gọi là
n điệu trªn nãn K nÕu tõ x1  x2 suy ra f(x1)  f(x2) (víi x1, x2  K). PhiÕm


16

hàm tuyến tính f xác định trên E đ-ợc gọi là tuyn tớnh dng trên nón K nếu

f(x) 0 víi  x  K.
1.4.2. NhËn xÐt. NÕu phiÕm hµm tuyến tính d-ơng trên K thì nó đơn
điệu trên K.
1.4.3. Nhận xét. Giả sử f(x) là phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định
trên E. Kí hiệu G x  E f (x)  c , ta gäi G là một siờu phng. Siêu phẳng G
chia không gian E thành hai nửa không gian đóng có biên là G.
Đó lµ G +  x  E f (x)  c vµ G   x  E f (x) c .
1.4.4. Định nghĩa. Cho các tập A, B E. Ta nói phiếm hàm tuyến tính
liên tục f 0 tỏch A và B nếu tồn tại số c sao cho f(y)  c  f(x), x A, y B.
NÕu tån t¹i c sao cho f(y) < c < f(x), x  A, y  B th× ta nói f tỏch
ngt A và B.
Siêu phẳng đóng G x E f (x) c đ-ợc gọi là siờu phng tỏch, các
tập A, B đ-ợc gọi là các tp tỏch c.
1.4.5. Định lý. Gi s A v B là các tập lồi trong E, intA  . Khi đó A
và B tách được khi và chỉ khi (intA)B =.
Chng minh
a) Điều kiện cần. Giả sử (intA) B = . Khi đó tồn tại f E*, f 0
tách A và B (xem [6]). Vậy f(x) f(y), x  intA, y  B. Do f liªn tôc, A 
int A , ta cã f(x)  f(y), x A, y B, tức là f tách A và B.

b) Điều kiện đủ. Giả sử f E*, f 0 tách A và B, tức là f(x)  f(y), x
 A, y  B. NÕu nh- tồn tại x intA và y B thoả mÃn f(x) = f(y) thì do f
0, ta tìm đ-ợc ®iĨm x1 trong l©n cËn U cđa x (U  intA), sao cho f(x1) > f(y).
Bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết. Vì vậy f(x) < f(y), x  intA, y
 B. Suy ra (intA)  B = .


17

Định lý đ-ợc chứng minh.

1.4.6. Định lý. Trờn mi nún K trong không gian E luôn luôn tồn tại
phiếm hàm tuyn tớnh dng.
Chng minh. Giả sử K là nón trong E. Lấy x0 K thì do K đóng nên
E \ K mở kéo theo tồn tại hình cầu S = x  x 0   n»m trong E \ K. Nh- vậy
K và S là các tập lồi trong E, intS   vµ (intS)  K = nên nón K và hình
cầu S thoả mÃn điều kiện của Định lý 1.4.5 suy ra K và S tách đ-ợc. Vậy tồn
tại phiếm hàm tuyến tính f(x) mà f(x)  c víi x  K (c lµ h»ng sè).
Suy ra f(nx)  c víi n, do ®ã f (x)

c
với n nên f(x) 0.
n

1.4.7. Định nghĩa. Giả sử f(x) là phiếm hàm tuyến tính d-ơng. Nếu tồn
tại sè d-¬ng a sao cho f(x)  a x (x E) thì f(x) đ-ợc gọi là phiếm hàm
tuyn tớnh dng u.
1.4.8. Định nghĩa. Ta gọi nón K lm tri c đến nón K1 nếu tồn tại
nón K1 sao cho mỗi x0 , x0 K đều là điểm trong của nón K1 hơn nữa hình
cầu tâm x0 bán kÝnh b x 0 n»m trong K1 (víi b lµ hằng số nào đó không phụ
thuộc vào x0). Nón K1 đ-ợc gọi là lm tri của nón K.
1.4.9. Định lý. Điều kiện cần và đủ để nón K làm trội được là trên K
tồn tại phiếm hàm tuyến tính dương u.
Chng minh
a) Điều kiện cần. Giả sử nón K làm trội đ-ợc đến nón K1 thì mỗi phiếm
hàm tuyến tính d-ơng f(x) trên K1 (tồn tại theo Định lý 1.4.6) sẽ d-ơng đều
trên K, điều này có đ-ợc từ f (x)  c  f  suy ra f (x 0 )  b x 0 f (víi x0
 K).
b) Điều kiện đủ. Giả sử f(x) là phiếm hàm tuyến tính d-ơng đều trên K
và f(x) a x , x  K. KÝ hiÖu N = {x  E | f(x) = 1}. Khi ®ã tËp M = K  N



18

= {x  E | f(x) = 1} lµ låi và bị chặn. Trên M ta lấy một phần tử cố định x* nào
đó.
Đặt F = {x N | x  x*  2  } víi  lín hơn số d-ơng cho tr-ớc.
1.4.10. Bổ đề. Gi s x1  M, x  N thì từ x  x1   suy ra x  F

2
khi ®ã víi x  N
a

(với  lớn hơn số dương cho trước). ThËt vËy, chän  

th× x  x*  x  x1  x1  x*  x  x1  x1  x* , trong ®ã x  x1  . Vì
*
x1, x* M nên suy ra 1 = f(x)  a x1 ;1  f (x* )  a x * do ®ã x1  x 

VËy x1  x *  x1  x * 

2
.
a

2
  suy ra x  x*  2  nªn x F.
a

Bây giờ ta chứng minh Định lý 1.4.9.
Xây dùng nãn K1 = K(F) = {u  E | u = t x; t  0, x  F}. Khi đó K1 là

nón (theo Ví dụ 1.1.8) và nó là làm trội của nón K.
Thật vậy, giả sử x0  K, ta chän h  E sao cho:

a2
h 
x0 .
2 f  a f
2 a2
x0
Ta cã f ( x0 )h  f (h) x0  2 f x0 h 
2  a

(1.2)
2

(1.3)

vµ  f ( x0 )  f ( x0 )  f (h)   a x0 (a x0  f h ) 

  a x0

2


 a2  2 a2
2
 a  2   a 2   2   a x0 .




Tõ (1.3) vµ (1.4) ta cã f ( x0 )h  f (h) x0   f ( x0 )  f ( x0 )  f (h) .
Nªn f ( x0 )( x0  h)  x0 f (h  x0 )   f ( x0 )  f ( x0 )  f (h) .

(1.4)


19

f ( x0 )( x0  h)
x f ( x0  h)
 0
.
f ( x0 ) f ( x0  h) f ( x0 ) f ( x0  h)

Suy ra

Hay

x0  h
x
 0 .
f ( x0  h) f ( x0 )

Rõ ràng

x0 h
x0
N và
M nên theo Bỉ ®Ị 1.4.10 ta cã
f (x 0  h)

f (x 0 )

x0  h
 F, kÐo theo x 0 h K1 . Kết hợp với (1.2) thì x0 là điểm trong
f (x 0 h)
của K1 và hình cầu tâm x0, bán kính b x 0 nằm trong K1.
Định lý đ-ợc chứng minh.
1.4.11. Hệ quả. Nún K(F), với F là tập lồi, đóng và bị chặn khơng chứa

 là nón làm trội được.
Chứng minh. Do F lµ tập đóng nên tập E \ F mở suy ra tồn tại hình cầu
mở S không giao với F.
Nh- vậy intS  , (intS)  F =  nªn sÏ tồn tại siêu phẳng f(x) = c tách
F và S. Do đó f(x) c (x F). Không mất tính tổng quát có thể giả sử c > 0.
Từ định nghĩa nón K(F) suy ra mỗi phần tử khác không x K(F) có thể
tìm đ-ợc một số d-ơng t mà

tx
F . Mặt khác từ F bị chặn (theo chn) nªn
x

tx
 M hay t ≤ M (víi M là số d-ơng cố định). Khi đó từ bất đẳng thøc
x

 tx 
c
f    c suy ra f (x) 
x (víi x  K(F)).
x

M
 
Nh- vËy phiÕm hµm tuyến tính f d-ơng đều. Từ Định lý 1.4.9 thì K(F)
là nón làm trội đ-ợc.


20

1.4.12. Định nghĩa. Nón K đ-ợc gọi là compact a phng nếu mỗi
tập bị chặn F K là tập compact.
1.4.13. Định lý. Nún compact l nún lm tri c.
Chng minh. Ta cần sử dụng các bổ đề sau.
1.4.14. Bổ ®Ò. Cho tập Q gồm các nửa chuẩn trên E. Khi đó E là khơng
gian Hausdorff khi và chỉ khi mỗi vectơ khác không x thuộc E đều tồn tại nửa
chuẩn liên tục p  Q sao cho p(x) > 0.
Chøng minh. Xem [6].
1.4.15. Bỉ ®Ị. Giả sử E là không gian Hausdorff, nếu f(x) = 0 với mọi f

 E* thỡ x = .
Chng minh. Giả sử ng-ợc lại x . Do E là không gian Hausdorff nên
theo Bổ đề 1.4.14 tồn tại nửa chuẩn liên tục p víi p(x) > 0.
Gi¶ sư M = < x >, là không gian vectơ con sinh bởi x.
Trên M ta định nghĩa phiếm hàm f1: f1(x) = p(x), rõ ràng f1 là ánh xạ
tuyến tính, liên tục trên M và f1 (x) p(x) .
Vậy các điều kiện của định lý Han - Banach đ-ợc thoả mÃn. Nên sẽ tồn
tại phiếm hàm tuyến tính f trên E mà f

M

f1 vµ f (x)  p(x) víi mäi x 


E. HiĨn nhiên khi đó f (x) f1 (x) p(x) 0 . Trái với giả thiết f (x) 0 , vậy
x = .
Chứng minh Định lý 1.4.13.
Do nón K compact địa ph-ơng nên K sẽ nằm trong một không gian con
Hausdorff nào đó E1 E. Mặt khác K là nón nên trên K sẽ xác định phiếm
hàm tuyÕn tÝnh f (x)  0 víi mäi x thuéc K.
Do K E1 Hausdorff, nên theo Bổ đề 1.4.15 ta cã f (x) > 0 víi x 
K, x . Phiếm hàm này d-ơng đều bởi vì hiển nhiªn f (z)  a z víi a


21

f (z)  0 vµ z  1 . Khi ®ã víi mäi x  K (x  ), ta xÐt y 
= zmin
K, z 1

1
xK
x

th× y  1 . Ta cã f (x)  f  y x   f (y) x  b x .
(víi b  min f (y)  0 ).
yK, y 1
VËy nãn K làm trội đ-ợc.
1.4.16. Ví dụ. Mỗi nón K trong không gian Banach hữu hạn chiều E n là
nón làm trội đ-ợc.
Thật vậy, vì E n là không gian mêtric do đó hiển nhiên nó là không gian
Hausdorff. Vì vậy K E n nên theo chứng minh Định lý 1.4.13, phiếm hàm
tuyến tính d-ơng trên K sẽ d-ơng đều nên K làm trội đ-ợc.

1.5. Nón cân và nón hoàn toàn cân
1.5.1. Định nghĩa. Giả sử {xn} là dÃy các phần tư thc E,  lµ thø tù
sinh bëi K. D·y {xn} đ-ợc gọi là khụng gim nếu x1 x2 ... xn... DÃy {xn}
đ-ợc gọi là b chn nÕu tån t¹i y sao cho xn  y (víi n = 1, 2,...).
1.5.2. Định nghĩa. Thứ tự trong E đ-ợc gọi là cõn nếu mọi dÃy không
giảm, bị chặn trong E đều có giới hạn.
1.5.3. Định nghĩa. DÃy {xn} E đ-ợc gọi là b chn theo chun nếu
tồn t¹i h»ng sè M sao cho x n  M.
1.5.4. Định nghĩa. Nón sinh ra thứ tự cân đ-ợc gọi là nún cõn.
1.5.5. Định nghĩa. Nón K trong E đ-ợc gọi là nún hon ton cõn nếu
mọi dÃy không giảm, bị chặn theo chuẩn đều có giới hạn.
1.5.6. Định nghĩa. Phiếm hàm tuyến tính d-ơng f(x) đ-ợc gọi là tng
ngt nÕu tỉng {xn}  K (víi n = 1, 2, ...) mµ tõ x n  0  0 , suy ra

lim
f (x1  x 2  ...  x n )   .
n 


22

1.5.7. Định lý. Nu trờn nún K xỏc nh phim hàm tăng ngặt và bị
chặn trên mỗi hình cầu thì nón K là nón hồn tồn cân.
Chứng minh. Gi¶ sư {xn} là dÃy không giảm, bị chặn theo chuẩn, nghĩa
là x1  x2  .....  xn ... vµ x n  M (víi n = 1, 2,...), nh-ng nã không hội tụ
theo chuẩn. Kết hợp với giả thiết trên nón K xác định phiếm hàm tăng ngặt
nên ta có x1   ; x n 1  x n 0 0 (trong tr-ờng hợp {xn} không thoả mÃn
thì tồn tại dÃy con có tính chất này).
n 1
Khi ®ã lim f (x n )  lim f  x1   (x i 1  x i ) .

n
n
i 1



Điều này vô lý vì f(x) bị chặn trên mỗi hình cầu.
Định lý đ-ợc chøng minh.
1.5.8. VÝ dơ. K L lµ nãn hoµn toµn cân.
p

Chứng minh. Theo Định lý 1.5.7 ta sẽ chứng minh rằng trên nón

K L xác định phiếm hàm f(x) tăng ngặt và bị chặn trên mỗi hình cầu.
p

1
p



Thật vậy, với x(t)  Lp th× x p    x(t ) dt  .
x

p

XÐt hµm f ( x)   x(t ) dt thì f (x) là phiếm hàm trên K L , áp dụng bất
p

p




đẳng thức sơ cấp      p   p (víi ,   0). Khi ®ã víi x(t), y(t)  Lp
p

th× f ( x  y )   x(t )  y (t ) dt   ( x(t )  y (t ) )dt   x(t ) dt   y (t ) dt =
p



p

p

p





p



f ( x)  f ( y) . Do ®ã víi xn  K L mà x n 0 0 thì:
p

n
n

n
p
lim f   xi   lim  f ( xi )  lim   xi (t ) dt   .
n 
n   i 1
i 1 
 n i 1

Vậy f (x) là phiếm hàm tăng ngặt và f (x) bị chặn trên mỗi hình cầu.
Nên K L là nón hoàn toàn cân.
p


23

1.5.9. Định lý. Nu trờn nún K xỏc nh phim hàm tăng ngặt và đơn
điệu thì nón K là nón cõn.
Chng minh. Giả sử {xn} là dÃy không giảm, bị chặn: x1 x2 .... xn
.... và xn  z (víi n = 1, 2,....), nh-ng nã không hội tụ theo chuẩn. Do f (x) là
phiếm hàm đơn điệu nên f (x n ) f (z) . Từ chứng minh của Định lý 1.5.7 ta có
lim
f (x n ) . Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức f (x n ) f (z) .
n

Định lý đ-ợc chứng minh.
1.5.10. Ví dụ. K L là nón cân.
p




Chng minh. T-ơng tự nh- trong Lp xét phiếm hàm f (x) x n

p

thì

n 1

f (x) là phiếm hàm tăng ngặt trên K L , hiển nhiên f (x) đơn điệu. Nên theo
p

Định lý 1.5.9 thì K L là nón cân.
p

1.6. Mối quan hệ giữa các nón trong không gian Banach
Trong phần đầu chúng tôi đà xét các loại nón: nón khối, nón bản sao,
nón chuẩn tắc, nón làm trội, nón cân, nón hoàn toàn cân và một số dấu hiệu
nhận biết chúng. Phần này chúng tôi tiếp tục xét mối quan hệ giữa các nón đó.
1.6.1. Định lý. Mi nún khi l nún bn sao.
Chng minh. Giả sử K là khối, khi đó intK , giả sử v0 là điểm trong
của nón. Khi ®ã sÏ tån t¹i  ®đ bÐ sao cho u = v0 + x  K víi mäi x  E suy
ra x 

u v0
 , víi mäi x  E. Vậy K là nón bản sao.

1.6.2. Định lý. Mỗi nón cân là nón chuẩn tắc.
Chứng minh. Gi¶ sư K là nón cân nh-ng không phải là nón chuẩn tắc.

Khi đó theo định nghĩa của nón chuẩn tắc ta cã thĨ chØ ra tån t¹i d·y x n  K,

yn  K mµ x n  yn  1 vµ x n  y n 

1
.
n2

(1.5)


24

Từ (1.5) ta thấy chuỗi (x1 + y1) + (x2 + y2) + .... + (xn + yn) + .... sÏ héi


tơ. Ta ký hiƯu u   (x n y n ) . Xác định dÃy {zn} bởi c«ng thøc:
n 1

zn = x1 + x2 + ....+ xn + .... (víi n = 1, 2,....).
Khi ®ã d·y {zn} không giảm và bị chặn trên bởi vì:
zn (x1 + y1) + (x2 + y2) + .....+ (xn + yn) u.
Nh-ng nó không hội tụ theo chuẩn trên E v×:

z n 1  z n  x n 1 1 . Nh- vậy nón K không phải là nón cân, mâu
thuẫn với giả thiết. Vậy K là nón chuẩn tắc.
Định lý đ-ợc chứng minh.
1.6.3. Định lý. Mi nón hồn tồn cân là nón chuẩn tắc và cũng l
nún cõn.
Chng minh
a) Giả sử K là nón hoàn toàn cân, tr-ớc hết ta chứng minh K là nón
chuẩn tắc. Ta giả sử ng-ợc lại nón K không phải là nón chuẩn tắc. Khi đó tồn

tại các dÃy en K, gn  K (víi n = 1, 2, ...) sao cho: en  g n  1 vµ

en  g n 

1
. X©y dùng d·y {hk} nh- sau:
2n

e1  g1  e2  g 2  ...  en  g n
nÕu k = 2n
hk  
e1  g1  e2  g 2  ...  en  g n  en1 nÕu k = 2n + 1.
Râ ràng dÃy {hk} là dÃy không giảm, tức là h1 h2 ... hn ... và bị
chặn theo chn. ThËt vËy:
Víi k = 2n th× hk  e1  g1  e2  g2  ...  en  g n 



1 1
1
 2  ...  n  1.
2 2
2

Víi k = 2n + 1 th×: hk  e1  g1  e2  g2  ...  en  g n  en1  2.


25

Trong cả hai tr-ờng hợp thì dÃy {hk} không hội tơ theo chn bëi v×


h k 1  h k 1. Nh- vậy K không phải là nón hoàn toàn cân, mâu thuẫn với
giả thiết. Do đó mỗi nón hoàn toàn cân là nón chuẩn tắc.
b) Bây giờ ta chứng minh K là nón cân.
Giả sử có dÃy không gi¶m {xn}, x1  x2  ...  xn  ... và bị chặn theo
thứ tự xn y (với n = 1, 2, ...). Khi ®ã d·y {xn – x1} không giảm và bị chặn
bởi phần tử y x. Theo Định lý 1.3.7 nón K chuẩn tắc nên tõ xn – x1  y –
x1 suy ra x n  x1  N y  x1 . Do đó dÃy {xn x1} bị chặn theo chuẩn.
Nh-ng vì K hoàn toàn cân nên {xn x1} hội tụ theo chuẩn. Vậy {xn} hội tụ
theo chuẩn.
Định lý đ-ợc chứng minh.
Định lý sau trả lời câu hỏi: Trong tr-ờng hợp nào thì một nón cân là
nón hoàn toàn cân.
1.6.4. Định lý. Nếu nón cân là nón khối thì nó là nún hon ton cõn.
Chng minh. Hiển nhiên ta chỉ cần chứng minh mỗi dÃy bị chặn theo
chuẩn thì bị chặn theo thứ tự. Do K là nón khối nên intK , giả sử u0 là
điểm trong của K, khi đó tồn tại hình cầu tâm u0, bán kính n»m trong K.
Tõ ®ã suy ra u 0  
Suy ra x 

x
 K víi mäi x  E (x  ).
x

x
u 0 víi mäi x  E.


(1.6)


Nh- vËy, gi¶ sử {xn} là dÃy không giảm, bị chặn theo chuẩn, tøc lµ
x1  x2  ...  xn  ... và x n M, khi đó theo bất đẳng thøc (1.6) ta cã

xn 

x
M
u 0  u 0 nªn {xn} bị chặn theo thứ tự. Do K là nón cân nên dÃy này



hội tụ, từ đó suy ra K là nón hoàn toàn cân.