BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRÇN v¡N THắNG

NHóM LIE
Và TRƯờNG VecTƠ BấT BIếN TRáI
TRÊN NHóM LIE

Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô
mà số: 60.46.10

Luận văn thạc sĩ toán häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc:

PGS. TS. Ngun H÷u Quang

Vinh - 2011


1

LỜI NĨI ĐẦU
Trong Tơpơ nói riêng và Tốn học nói chung thì lí thuyết về nhóm Lie
đóng một vai trị cực kì quan trọng. Nhóm Lie là một trong những cấu trúc
hữu hiệu được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Tốn học hiện đại
(Hình học, Đại số, lí thuyết số, Tơpơ,…). Khơng những vậy, nhóm Lie cịn có
nhiều ứng dụng trong Vật lí (đặc biệt là lí thuyết hạt), Hóa học, …
Trong Tốn học, một nhóm Lie, được đặt tên theo nhà Toán học người Na
Uy là Sophus Lie, là một nhóm, cũng là một đa tạp trơn, với tính chất là các

tốn tử nhóm tương thích với cấu trúc khả vi. Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết
phát triển nhất của các lí thuyết đối xứng liên tục của các cấu trúc Toán học.
Điều này đã làm cho nhóm Lie là cơng cụ cho gần như tất cả các nghành
Toán học hiện đại và Vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là trong Vật lý hạt.
Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể được nghiên cứu sử dụng
giải tích vi phân, tương phản với trường hợp các nhóm tơpơ tổng qt hơn.
Một trong những ý tưởng chính trong lý thuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus
Lie, là thay thế cấu trúc tồn cục, nhóm, với phiên bản mang tính địa phương
của nó hay cịn gọi là phiên bản đã được làm tuyến tính hóa, mà Lie được gọi
là một nhóm cực nhỏ mà bây giờ được biết đến như là đại số Lie.
Nhóm Lie đã cung cấp một phương tiện tự nhiên để phân tích các đối xứng
liên tục của các phương trình vi phân, trong một cách thức như các nhóm
hốn vị được sử dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc
của các phương trình đại số.
Trong luận văn này, chúng tơi trình bày một số tính chất cơ bản nhất về
nhóm Lie và trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie. Do đó, luận văn được
mang tên: Nhóm Lie và trƣờng vectơ bất biến trái trên nhóm Lie. Luận
văn được trình bày trong hai chương:


2

Chƣơng 1: Đa tạp khả vi.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đa tạp
khả vi, vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc, 1-dạng vi phân trên đa tạp và ánh xạ
đối tiếp xúc trên đa tạp. Chương này được xem như là phần cơ sở cho việc
trình bày ở chương 2.
Chƣơng 2: Nhóm Lie và trƣờng vectơ bất biến trái trên nhóm Lie.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Ở đây chúng tơi trình bày một
cách có hệ thống về nhóm Lie, nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái trên

nhóm Lie. Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại Khoa Sau
đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Hữu
Quang. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với sự hướng dẫn tận
tình của Thầy.
Nhân dịp hồn thành luận văn này, tác giả xin chân thành cảm ơn các
thầy, cô giáo trong tổ bộ mơn Hình học - Tơpơ, các thầy cơ giáo trong Khoa
Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, đã tạo
điều kiện cho tác giả trong suốt q trình học tập và hồn thành luận văn này.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu
Trường THCS Đa Phúc, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


3

Ch-ơng 1

đa tạp khả vi

Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh bày các khái niệm cơ bản về đa tạp khả
vi, vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc, 1-dạng vi phân trên đa tạp M và ánh xạ đối
tiếp xúc trên a tp.
I. đa tạp khả vi
1.1. nh ngha (xem 5 ).
Giả sử M là một T2 không gian với cơ sở đếm được, U là tập mở trong M,
U là tập mở trong R . Ánh xạ  : U  U đồng phơi thì (U;  ) được gọi là một
n


bản đồ của M.
Chú ý:
1. Với p  U  p’ =  (p)  IR n  p’( x1 , , xn ). Ta nói ( x1 , , xn ) là tọa độ
của p đối với  và (U;  ) được gọi là hệ tọa độ địa phương.
2. Một điểm p có thể thuộc nhiều bản đồ, do đó p có nhiều bộ tọa độ khác
nhau.
1.2. Ví dụ.
Trong R2 ta xét M = S1 ={(x;y) | x2 + y2 = 1}.
Khi đó, với U1 = {(x;y)  S1| y > 0}, U1 là tập mở của S1.
U 1 = (-1;1), U

1

là tập mở trong R.

Ta chú ý tới ánh xạ:
φ1: U1  U 1
(x;y)
Khi đó, (U1;φ1) là một bản đồ của S1.

x


4

Chứng minh :
* φ1 là song ánh:
.Với bất kì A; B  U1, A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ), A  B ta có:
 x12  y12  1

Vì A  U1  
 y1  0
 x2 2  y2 2  1

B  U1  

 y2  0

 A( x1 ; 1  x12 )

 B( x2 ; 1  x2 2 )

Vì A  B  x1  x2  φ1(A)  φ1(B).
Vậy : φ1 là dơn ánh.
.Với bất kì x  U 1, luôn tồn tại A( x ; 1  x 2 )  U1 sao cho φ1(A) = x .
Vậy φ1 là tồn ánh.
* φ1 là liên tục:
Vì φ1(x;y) = x  φ1 là phép chiếu thứ nhất  φ1 liên tục.
* φ-11 là liên tục:
Ta có:
φ-11: U  U
x

 x;

1  x2



φ-11  x  = (  1;  2)  x  với  1  x  = x ,  2  x  = 1  x 2 với x (-1;1).

 1 là phép đồng nhất nên  1 liên tục.
 2  x  = 1  x 2 là hàm sơ cấp có tập xác định  1;1 nên  2 liên tục trên (-1;1).

Do đó: φ-11 liên tục.
Vậy: φ1 là đồng phôi  (U1;φ1) là một bản đồ của S1.
1.3. Định nghĩa (xem 5 ).
Giả sử (U1;φ1) và (U2;φ2) là hai bản đồ của M sao cho W = U1  U2   .
Khi đó (U1;φ1) và (U2;φ2) được gọi là phù hợp nếu ánh xạ φ2  φ1-1 là vi phôi.


5

Chú ý:
+ Ta đặt W1 = φ1(W), W2 = φ2(W). Khi đó (U1;φ1) và (U2;φ2) được gọi là
phù hợp nếu ánh xạ:
φ2  φ1-1 : W1  W2
là vi phôi.
+ Ta quy ước là nếu U1  U2   thì (U1;φ1) và (U2;φ2) là phù hợp.
1.4. Ví dụ.
Trong R2, ta xét M = S1 ={(x;y) | x2 + y2 = 1}.
Khi đó, với U1 = {(x;y)  S1 | y > 0}, U1 là tập mở của S1
U 1 = (-1;1) là tập mở trong R.

Ánh xạ:
φ1: U1  U 1
(x;y)

x

(U1 ; φ1) là bản đồ của S1(đã chứng minh ở trên).

Xét U2 = {(x;y)  S1| x > 0} là tập mở của S1
U 2 = (-1;1) là tập mở trong R.

Ánh xạ:
φ2: U2  U 2
(x;y)

y

Chứng minh tương tự ta được (U2 ; φ2) là bản đồ của S1.
Ta đi chứng minh (U1 ; φ1) và (U2 ; φ2) là phù hợp của S1
Thật vậy: Đặt
W = U1  U2 = {(x;y)  S1| x > 0, y> 0}
W1 = φ1(W) = (0;1)
W2 = φ2(W) = (0;1)
Ánh xạ:
f = φ2.φ1-1: W1  W2
t

1 t2


6

* f là song ánh:
.Với bất kì t1 ; t2  W1; t1  t2  1  t12  1  t2 2  f( t1 )  f( t2 ).
Vậy f là đơn ánh.
. Với bất kì y  W2 luôn tồn tại x = 1  y 2  W1 sao cho f(x) = y
Vậy f là tồn ánh.
* f là hàm khả vi:

Vì f là hàm sơ cấp một biến, f có đạo hàm và liên tục trên (0;1) nên f là hàm
khả vi.
* f-1 là hàm khả vi:
Với bất kì t  (0;1), ta có: f-1( t ) = (φ2.φ1-1)-1( t ) = (φ1.φ2-1)( t ) = φ1.(φ2-1( t ))
= φ1(x; t ) = x = 1  t 2
-1

-1

 f = f  f là hàm khả vi.

Vậy f là vi phơi. Do đó (U1 ; φ1) và (U2 ; φ2) là phù hợp của S1
1.5 Cấu trúc khả vi.
Giả sử M là một T2 không gian.
i, Một hệ bản đồ U ;  thỏa mãn
+
+

 U  

 

U ;  ; U  ;  là phù hợp, với mọi   

được gọi là một cấu trúc

khả vi của M.
ii, Tập M cùng với một cấu trúc khả vi được gọi là một đa tạp khả vi n-chiều.
1.6. Ví dụ.
Trở lại với ví dụ ở 1.4. Ta xét:






U3 = {(x; y )  S1| x  0} = {  1  y 2 ; y | y  (1;1) } là tập mở của S1
U 3 = (-1;1) là tập mở trong R.


7

Ánh xạ:
φ3:

U3  U 3

 1 y ; y y
= {( x ; y )  S | y  0} = {  x;  1  x  | x  (1;1) } là tập mở của S
2

U4

1

2

1

U 4 = (-1;1) là tập mở trong R.


Ánh xạ:
φ4:

U4  U 4

 x;  1  x 
2

x

Tương tự ta cũng chứng minh được (U3 ; φ3) và (U4 ; φ4) là hai bản đồ của M

U   .
và (Ui ; φi), (UJ ; φJ) là phù hợp với mọi i  J, i,J = 1; 4 . Dễ thấy 

Do đó: U ;  là một cấu trúc khả vi của M.
Vậy: M = S1 là một đa tp kh vi 1-chiu.
II. Vectơ tiếp xúc trên đa tạp.
Gi sử M là đa tạp khả vi m-chiều với cấu khả vi

U ;  .

Ta kí hiệu ₣p = { f : M  | f khả vi trong lân cận Up chứa p}.
1.7. Định nghĩa (xem 5 ).
Vectơ tiếp xúc với đường cong  (t) tại điểm p, đó là ánh xạ:
v:

₣p 
f


v( f ) =

d
f  (t )
dt

t  t0

Trong đó  (t) là đường cong đi qua p,  (t0) = p.
Nếu v tiếp xúc với đường cong  (t) tại p thì ta nói v là vectơ tiếp xúc với M
tại p.


8

1.8. Ví dụ.
a, Ví dụ 1. giả sử (p1;p2;…;pm) là toạ độ của p trong bản đồ (U;φ)
Ta xét ánh xạ:
 : (a,b)  M

p(p1;p2;…;pm).

t

Khi đó vectơ  tiếp xúc với đường cong  (t) tại p là vectơ 0.
Thật vậy:
( f ) =

d
f ( p1; p2;...; pm ) t t = 0, f  ₣p .

0
dt

Do đó:  = 0
b, Ví dụ 2. Xét ánh xạ:
i : U 

X(x1;x2;…;xm)

; với (U;φ) là một bản đồ của M.
xi với mọi X  Up

và ánh xạ :
 : (a,b)  U

t

(x1(t);x2(t);…;xm(t)).

Giả sử v là vectơ tiếp xúc với đường cong  (t) tại p. Khi đó:
v( i ) =

=

d
i
dt

 (t ) t t =


dxi (t )
dt

t t0

0

d
 i ( x1 (t ); x2 (t );...; xm (t ))
dt

= xi  t0 

1.9. Tính chất (xem 5 ) .
1. 9.1. Định lí.
Giả sử v là vec tơ tiếp xúc với M tại p. Khi đó:
i, v là ánh xạ tuyến tính.
ii, v( fg )  g ( p)v( f )  f ( p)v( g ) , với mọi f , g  ₣p

t t0


9

Chứng minh:
i, Với mọi f , g  ₣p , với mọi  ,   , ta có:
v( f   g ) 

d
( f   g )  (t )

dt

=

t t0

d
( f  (t )   g  (t ))
dt

=

d
(f
dt

 (t )

t t0



t t0

d
g  (t )
dt

t t0


=  v ( f )   v( g )
Vậy: v là ánh xạ tuyến tính.
ii, Với mọi f , g  ₣p, ta có:
v( fg ) 

=


d
(( fg )  (t )
dt
d
( f
dt

d
f
dt

t t0

 (t ))( g  (t )) t t

0

 (t ) t t g  (t ) t t
0

0




f

 (t )

t t0

d
g  (t )
dt

t t0

= v( f ) g ( p)  f ( p)v( g )
1.9.2. Định lí.
Giả sử TpM = {v | v tiếp xúc với M tại p}. Khi đó TpM cùng với hai phép toán:
1, ( v 1+ v 2)( f ) = v 1( f ) + v 2( f ), v1 , v2  TpM,  f  ₣p
2, (  v )( f ) =  v ( f )   , v TpM,  f  ₣p
làm thành một không gian véc tơ, gọi là không gian vectơ tiếp xúc với M tại p.
Chứng minh:
* Phép cộng có tính chất giao hốn.
Với  v1; v2  TpM ,  f  ₣p ta có:

 v1  v2  f   v1  f   v2  f   v2  f   v1  f   v2  v1  f 
 v1  v2  v2  v1


10


* Phép cộng có tính chất kết hợp.
Với  v1; v2 ; v3  TpM ,  f  ₣p ta có:
 v1  v2   v3   f    v1  v2  f   v3  f   v1  f   v2  f   v3  f 
 v1  f   v2  f   v3  f    v1  f    v2  v3  f   v1  v2  v3    f

  v1  v2   v3  v1   v2  v3 

* Tồn tại vectơ không:
 : ₣p 
f

0

Thỏa mãn: Với  v  TpM ,  f  ₣p ta có:

  v  f     f   v  f   0  v  f   v  f 
  v  v

* Mọi vectơ
v:

₣p 
f

v( f )

đều có vectơ đối
v :

₣p 

f

v( f )

thỏa mãn
v   v   ( f )  v( f )   v  ( f )  v( f )  v( f )  0   ( f )

 v  (v)   . Vậy v là vectơ đối của v

* Phép nhân có tính chất kết hợp.
Với  ,   ; v TpM,  f  ₣p , ta có:
  v   f



   v  f



    v  f 

=    v  f      v   f 
Do đó:   v     v  , với  ,   ; v TpM,




11

* Phép nhân có tính chất phân phối.

Với  ,   ; v TpM,  f  ₣p , ta có:

    v 
 f





    v  f 

 v  f



 v  f



=  v  f     v  f 
=
Do đó:

    v

 v   v  

f




  v   v , với  ,   ; v TpM.

* Tương tự   ; v1 ; v2  TpM, ta có:   v1  v2    v1   v2 .
* Phần tử đơn vị là ánh xạ hằng 1:
1: ₣p 
1

f

Thoả mãn: Với  f  ₣p ta có 1.v  f  = 1 . v  f  = v  f  .
Do đó: v TpM, ta có 1.v  v .
Từ các chứng minh trên ta suy ra TpM là một không gian vectơ.
1.9.3. Mệnh đề.
Với mọi p Up, với mọi i = 1; m , ta đặt

xi

p

: ₣p 
f

Khi đó ánh xạ


xi

p



xi

p

(f)

f
xi

 TpM.

Chứng minh.
Ta xét ánh xạ
i : (a;b)  M
t

( p1; p2 ;...; pi 1; pi  t; pi 1;...; pm )

Trong đó p( p1; p2 ;...; pm )  M và 0  (a;b). Khi đó i (0)  p .


12

Giả sử v tiếp xúc với M tại p, ta có:
d
f
dt

i (t )


t 0




d
f ( p1; p2 ;...; pi 1; pi  t; pi 1;...; pm )
dt
m

i 1




xi

Do đó:

Vậy:


xi

p

f dxi
i dt


 x
f
xi


p

t 0

t 0


xi

( f ), f  ₣p
p

tiếp xúc với đường cong i (t ) tại p
p

 TpM.

1.9.4. Định lí
dim TpM = dimM = m
Chứng minh:
 

  (*)
;
;....;

là một cơ sở của không

xm  p
 x1 x2

Ta chứng minh hệ 
gianTpM.

+, Hệ (*) là độc lập tuyến tính.


m

Giả sử

  x
i 1

= 0, với i  . Ta xét ánh xạ

i

i

p

i : M 

X(x1;x2;…;xm)


Khi đó:


i

xi
i 1
m

p

( )  0, j  1;m 
j

xi với mọi X  Up

m


i 1

i



j

xi

 0, j  1;m

p

 

 
;
;....;
 độc lập tuyến tính.
xm  p
 x1 x2

Hay i  0, i  1, m . Vậy hệ 


13

+, Hệ (*) là hệ sinh.
Giả sử v  Tp M , v tiếp xúc với đường cong :
 : (a;b)

 M

 x t  ; x t  ;...; x t  

t

tại p =  (t0 ) . Ta có: v( f ) 


1


d
f
dt

 (t )

f dxi

i 1 xi dt

m

m

  vi
i 1

m

i 1


xi


xi

t  t0


  vi

( f ),

m

t t0

d
f ( x1 (t ); x2 (t );...; xm (t ) )
dt
m

 v   vi

2

i 1

t  t0

f
xi

p

f  ₣p

p


 (*) là hệ sinh.
p

Từ các chứng minh trên ta suy ra dimTpM = m.
III. ÁNH XẠ TIẾP XÚC.
Giả sử M và N là hai đa tạp Riemann, ta xét ánh xạ khả vi:
f:

M



N

f ( p)  p /

p

1.10. Định nghĩa (xem 5 ) .
Ánh xạ tiếp xúc của f tại p là:
f
p

: TpM  Tp’N
v

f
(v )  v '
p


và được xác định như sau: Nếu v  TpM tiếp xúc với đường cong  (t ) tại p thì
f
(v)  v ' tiếp xúc với đường cong f  (t ) tại p’.
p


14

1.11. Ví dụ.
Giả sử lấy M =

2

và N =

3

. Ta xét ánh xạ:
2

f :



3

x  u

y  v
z  u  v



(u; v)

Cho p(1;2) và V (3;4). Ta tìm f (V ) .

p

Trước hết ta thấy f là ánh xạ khả vi.
u  1  3t
đi qua p(1;2) tại t = 0; nhận V (3;4) làm
v  2  4t

Lấy đường cong  (t )  

vectơ tiếp xúc. Ảnh của đường cong  (t ) qua ánh xạ f là:
f

 x  1  3t

 (t )   y  2  4t
 z  3  7t


Khi đó, V /  f (V ) tiếp xúc với đường cong f  (t ) nên :
p
V/ 

d
f  (t )

dt

t 0

= (3;4;7).

1.12. Định lí (xem 5 ) .
Giả sử ánh xạ f : M  N khả vi và f ( p)  p / , trong đó p U p và (xi) là
tọa độ trong U p , p / V p và (yi) là tọa độ trong V / . Với
p

f
(v )  v ' .
p

Khi đó: v /   J f p v  (ở đây

Jf p

Chứng minh:
Ta có:
f :U

p

 V

p

là ma trận Jacobi của f tại p).


v  Tp M và


15

(xi)

(yi) = f ( xi )

f ( xi ) = ( f ( x ; x ;...; x ) ; f ( x ; x ;...; x ) ;…; f ( x ; x ;...; x ))
1 1 2
m
n 1 2
m
2 1 2
m

Khi đó:

Jf

p

 f1
 x
1

 f 2
x1

 

...

 f n

 x1

...
...
...
...

f1 
xm 

f 2 
xm 

.... 

f n 
xm 
p

Giả sử v /  (v1/ ; v2 / ;...; vn / ) , gọi:
y j :V

p/




( y1 ; y2 ;...; yn )

yj

là phép chiếu thứ j , với j  1, n . Khi đó:
v/ ( y j ) 

=

d
yj
dt

 / (t )

d
y j (t )
dt



t t0

t t0

d
y j ( y1 (t ); y2 (t );...; yn (t ) )
t t0

dt

 y / j (t0 ) = v / j , với j  1, n .

Do đó:
v / j = v / ( y j )  v( y j

=

d
fj
dt

t  t0

d
f j ( x1 (t ); x2 (t );...; xm (t ) )
dt

=
m


i 1

=

 (t )

f )  v( f j )


f j dxi
xi dt

f j
x1


t  t0

v1 
p

m

f j

 x
i 1

i

f j
x2

t  t0

vi
p


v2  ... 
p

f j
xm

vm ,
p


16

với j  1, m .
 f1
 x
1

 v1/ 
 f 2
 /
v2 

x1
Do đó: 



.
...



/



 vn 
 f n

 x1

f1 
xm 

f 2 
xm 

... 

f n 
xm 
p

...
...
...
...

 v1 
v 
 2

... 
 
 vn 

Vậy: v /   J f p v  .
1.13.Ví dụ:

Jf

Trở lại ví dụ 1.11. Ta có:
 v1/
 /
Do đó:  v2
 /
 v3









p



1 0 



0
1


1 1



1 0 
3 

3  
 0 1  4    4  .
1 1    7 


 

Vậy: v / = (3;4;7).
1.14. Định lí (xem 5 ) .
Nếu f : M  N khả vi tại p  M thì f là ánh xạ tuyến tính. (đặc biệt nếu

p

là đẳng cấu tuyến tính, p U p
f là vi phơi thì f
p
Chứng minh:
Giả sử f : M  N khả vi tại p  M . Khi đó:

f
p

: TpM  Tp’N, p’ = f (P)
f
(v )  v '
p

v

Với  v1 , v2 TpM, 1 ,  2 

ta có:


17



f
(

v


v
)
1 1
2 2  Jf
 

 p


 v  v 
p  1 1 2 2

= Jf p

 v    v 
1

1

2

2

=  J f p v    J f p v 
1

1

2

2

= 1  f* p (v1 )    2  f* p (v2 ) 





Vậy: f là ánh xạ tuyến tính. Nếu f là vi phơi thì J f p  0 , do đó f


p

đẳng cấu tuyến tính, p U p .
1.15. Định lí (xem 5 ) .
Giả sử f : M  N và h : N  R là các ánh xạ khả vi. Khi đó:
 f (v)  (h)  v(h
 * p


f ), v  Tp M .

Chứng minh:
Giả sử v  Tp M thì v tiếp xúc với đường cong  (t ) . Ta có:
v(h

f)

=

d
(h
dt

d
h
dt 


 (t ) )

f

t t0

 f  (t )  

t t0

=  f* p (v)  (h)




1.16. Định lí (xem 5 ) .
Giả sử f : M  N và g : N  R là các ánh xạ khả vi và p  M . Khi đó:

g

f

* p  g* f ( p)

f
*p

p


là


18

Chứng minh:
*) Ta xét hàm số khả vi h : G  R, v Tp M , ta có :

 g
 g

*)

f

*

t t0



v  h  v h

f

* f ( p ) * t t0

  v   h   g
=


g

g

f *

p

g

* f ( p)

f



* f ( p)

f

* p

(v)

  h 

 f*  v    h g 

= v h
Do đó


f

g

f



* p

IV. 1-DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP M.
1.17. Định nghĩa (xem 5 ) .
Giả sử U là tập mở trên M.. Ánh xạ  : p

 p , trong đó  p : T M 
p

là ánh xạ tuyến tính thì  được gọi là 1-dạng vi phân trên U, với mọi p U .
Nếu U = M thì ta nói  là 1-dạng vi phân trên M.
1.18. Chú ý.
i, Do  p ( X p ) 

nên  ( X ) : p   p ( X p ) là hàm số xác định trên U. Như vậy,

có thể coi 1-dạng vi phân là một ánh xạ:
 :  (U )  F U 
X   X 

trong đó,  U  = {các trường vectơ khả vi trên U}.  được gọi là khả vi trên

U nếu  (X) khả vi với mọi X   U  .
ii, Kí hiệu 1 (U ) = {  ,  là 1-dạng vi phân khả vi trên U}.
Ta trang bị cho 1 (U ) các phép toán sau:
1. Phép cộng: 1  2 : p

1
1  p   2  p  , p U ; 1 ,2  (U ) .


19

2. Phép nhân:  : p

 ( p) ( p) , p U ;   F U  ;  1 (U ) .

3. Với   a la hằng số ta có phép tốn a : p

a p , p U .

1.19. Địng lí (xem 5 ) .
a, 1 (U ) cùng hai phép toán (1) và (2) lập thành một môđun trên F U  .
b, 1 (U ) cùng hai phép toán(1) và (3) lập thành một không gian vectơ thực
trên trường số thực R
Chứng minh:
a, Ta kiểm tra hai phép toán (1) và (2) của 1 (U ) thỏa mãn 8 tiên đề về
môđun:
- Phép cộng có tính chất giao hốn:
Với p U ta có: 1  2  p   1  p   2  p   2  p   1  p   2  1  p 
1
Do đó 1 ,2  (U ) ta có: 1  2  2  1


- Phép cộng có tính chất kết hợp:
Với p U ta có: 1  2   3   p   1  2  p   3  p   1  p   2  p   3  p 
=

1  p   2  3  p   1  2  3   p 

1
Do đó 1 ,2 ,2   (U ) ta có: 1  2   3  1  2  3 

- Phần tử không của 1 (U ) là ánh xạ không:
0 : U  TP M

p

0  p  : 0 p ; trong đó 0 p : T M 
p
Xp

0

Thật vậy: p U ; X p  Tp M , ta có:   0  p  X p    p  X p   0  X p 
p
=
Do đó, với  1 U  ta có   0  0    






X 
p  p


20

- Phần tử đối:
Với mỗi  1 U  thì 1- dạng vi phân đối của  là ánh xạ:
 * : U  TP

n

 * p ; trong đó:

p

n

*

 p :T
p

 

 X p .

Xp

Thật vậy: p U , X p  Tp


    p  X p 
*



n

, ta có:

 p  X p    * p  X p 






 p  X p 











 p  X p 







0  0



X p 

p

Do đó, với  1 U  ta có:    *   *    0
- Phép nhân (2) có tính chất kết hợp:
Với p U ta có:

  . 
p



  p . p



 p . p . p

 p .   p






  .  
p

Do đó, với  ,   F U  ;  1 U  ta có:   .  .  
- Phép nhân (2) có tính chất phân phối:
Với p U ta có:

   . 
p



   p . p





p



p



.

p



 p . p   p p   .    p

Do đó, với  ,   F U  ;  1 U  ta có:    .  .  .
Tương tự: với   F U  ; 1 ,2 1 U  ta có:  1  2   1  2
- Phần tử đơn vị của F U  là ánh xạ hằng 1:
1:

Khi đó, với p U : 1.  p



U
p

1 . p
p

Do đó, với  1 U  ta có: 1.







1

1. p



p.



Vậy: 1 (U ) cùng hai phép toán (1) và (2) lập thành một môđun trên F U  .


21

b, Ta kiểm tra hai phép toán (1) và (3) của 1 (U ) thỏa mãn 8 tiên đề về
không gian vectơ:
- Theo câu a, ta có: 1 (U ) cùng với phép cộng là một nhóm Abel.
- Phép nhân (3) có tính chất kết hợp:
Với p U ta có:    .  p



   . p



 

  . p




 .    p



  .   
p



 .    p

Do đó, với  ,   ;  1 U  ta có:         .
- Phép nhân (3) có tính chất phân phối:
Với p U ta có:

     . 
p



     . p



 . p  . p    .  p     p

Do đó, với  ,   ;  1 U  ta có:      .  .  .

Tương tự: với   ; 1 ,2 1 U  ta có:  1  2   1  2
- Với p U : 1.  p

 1.

Do đó với  1 U  ta có:

p



p.

1. 



Vậy: 1 (U ) cùng hai phép tốn (1) và (3) lập thành một không gian vectơ
thực trên trường số thực R.
1.20. Vi phân của hàm số.
Cho (U;  ) là bản đồ trên M, cho hệ tọa độ địa phương (x1,x2,…,xn) và
trường mục tiêu song song tương ứng {E1,E2,…,En} ; Ei =


, i = 1,2,…,n
xi

a, Định nghĩa (xem 5 ):
Giả sử f  F (U ) là hàm khả vi, f : U  . Vi phân của f được kí hiệu là
n


df và được xác định bởi df ( X )   X i
i 1

f
, X ( X i )   (U ) .
xi

b, Chú ý:
* df 1 U  , hay df là một dạng vi phân trên U.


22

* Với i = 1,2,…,m ta coi xi là hàm số xác đinh như sau:
xi :



U

p  p1 , p2 ,..., pm 

pi

Khi đó vi phân của hàm số dxi có tính chất sau: với X   (U ) thì:
dxi  X  

m


xi

 Xj x
j 1

 Xi

j

1.21. Định lí (xem 5 ) .

dx1; dx2 ;...; dxm * là cơ sở cuả môđun

1 U  , tức là dim 1 U  =m.

Chứng minh:
Xét hệ dx1; dx2 ;...; dxm * ; dxi 1 U  .
+ Hệ (*) là độc lập tuyến tính .
m

Thật vậy: giả sử

  dx
i 1

i

i

 0 , trong đó: i  F (U ) , i  1; m .


Với mỗi j = 1,2,…,m ta có:
 m

  i dxi   E j  
 i 1


i dxi  E j 
m

i 1



m



i

i 1

xi
x j

 j

  j  0, j  1; m . Do đó hệ (*) là độc lập tuyến tính


(1)

.

+ Hệ (*) là hệ sinh.
Thật vậy, với   1 U  ta có :


n





i 1



  X      X i Ei  =

n

 X i  Ei  =
i 1

n

X
i 1


i

 

Ai ( với Ai   Ei )

n

=

 A dx  X 
i 1

i

i



n





i 1



=   Ai dxi   X  , X   U 

n

(2)

Từ đó, ta suy ra:    Ai dxi . Vậy hệ (*) là hệ sinh của 1 U  .
i 1


23

Từ (1) và (2) ta kết luận được dx1; dx2 ;...; dxm  là cơ sở cuả môđun 1 U 
(tức là dim 1 U  =m).
1.22. Ví dụ.
Cho M =

2

,   xdy  ydx , X = xyE1  yzE2

Khi đó:
  X    xdy  ydx  X 

= xdy  X   ydz  X 
= xyz
V. ÁNH XẠ ĐỐI TIẾP XÚC.
Bây giờ ta xét ánh xạ khả vi f : M  N . Giả sử 1  M  và 1  N  là các 1dạng vi phân tương ứng trên các đa tạp M và N.
1.23. Định nghĩa (xem 5 ) .
Ánh xạ đối tiếp xúc của f là ánh xạ:
f * : 1  N   1  M 




f*

được xác định như sau: f *  (X) =  ( f* X ), với mọi X    M  .
1.24. Ví dụ.
Xét:
f :

 u, v 
 1 

3

2



3

x  u

y  u  v
 z  uv


 ,  xdy  ydz   0; x; y  .

Tính f *  .



24

Giải:
f * : 1 

3



 1 



Lấy X   

2

  X (X ; X
1

f*



f*

)

Jf


Ta có:
Khi đó:

2

2



1 0 


1 1 
v u 



 X     f* X 
 1
=  xdy  ydz   1
v


0

  X1  
1 

X 2  



u


=  xdy  ydz  X1; X1  X 2 ; vX1  uX 2 
= x  X1  X 2   y  vX1  uX 2 
= X1  x  yv   X 2 ( x  yu)
x  u

mà  y  u  v
 z  uv


Từ đó, ta có: f *   X  = u   u  v  v  X1  u   u  v  u  X 2
=  u  uv  v2  du  X    u  uv  u 2  dv  X 
=

u  uv  v  du  u  uv  u  dv   X  ; X    
2

2

2

Vậy: f *  =  u  uv  v 2  du   u  uv  u 2  dv .
1.25. Mệnh đề (xem 5 ) .
i, Giả sử f : M  N khả vi. Khi đó f * là một ánh xạ tuyến tính.
ii, Giả sử g : N  G khả vi. Khi đó  g


f

*

 f

*

g

*