1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

CHÚC THỊ KIM LOAN

DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN, 2011


2

MỞ ĐẦU
Số học là khoa học về số. Từ “Số học” (Arithmetic) xuất phát từ
tiếng Hy lạp “Aritmos” có nghĩa là số. Trong số học người ta nghiên cứu
những tính chất đơn giản của số và những quy tắc tính toán.
Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học và
cũng là những lĩnh vực tồn tại nhiều nhất những bài tốn, những giả thuyết
chưa có câu trả lời. Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết
đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết lớn của toán học đã nẩy sinh (xem
[4]).
Nhiều nhà tốn học vĩ đại trong lịch sử đã có những câu nói bất hủ

về vai trị của số học trong toán học và khoa học (xem [10, 11]):
Gauss: Toán học là Vua của các khoa học, Số học là Nữ hồng của
Tốn học (Mathematics is the Queen of all Sciences, and Arithmetic the
Queen of Mathematics).
Jacobi: Thượng đế là số học (God is an arithmetician).
Kronecker: Thượng đế đã sáng tạo ra số tự nhiên và phần cịn lại là
cơng việc của chúng ta (God created the natural number, and all the rest is
the work of man).
Nếu như trước đây, số học vẫn được xem là một trong những ngành
lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, thì ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của
số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin,
mật mã, kỹ thuật máy tính. Trong số học có những con số đặc biệt mà
người ta thường gọi là những con số vàng của tốn học. Ngồi những tính
chất đẹp đẽ diệu kỳ của nó, những con số này cịn có những ứng dụng bất
ngờ và sâu sắc trong toán học và các lĩnh vực khác.


3

Việc tìm hiểu những con số vàng của tốn học (chẳng hạn số e và số

 ) là hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Chúng ta thử hình dung rằng, nếu
trong toán học thiếu vắng các số e và  thì tình hình tốn học sẽ phát triển
như thế nào?
Với lý do trên, chúng tơi trình bày các nội dung luận văn này trên cơ
sở tham khảo các tài liệu số học có liên quan đã cơng bố hoặc xuất bản
trong thời gian gần đây.
Trước hết, chúng tôi tập trung giới thiệu về các tính chất của các số
vơ tỉ và lịch sử hình thành cũng như các tính chất đặc biệt của các số e và


 . Luận văn đã trình bày chi tiết các chứng minh: Số e là số vô tỉ; Số  là
số vô tỉ; chỉ ra các ứng dụng của các số e và  trong toán học và trong các
ngành kỹ thuật khác có sử dụng cơng cụ tốn học.
Ngồi ra, chương 2 cịn giới thiệu định nghĩa và một số tính chất của
dãy Farey và các ứng dụng của chúng trong số học. Chương này còn giới
thiệu một số kết quả của lý thuyết xấp xỉ vô tỉ bởi các phân số hữu tỉ, một
nội dung có nhiều ứng dụng trong tính tốn.
Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang
người thầy giáo đã quan tâm đặt vấn đề nghiên cứu và tận tình chỉ dẫn, để
tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS
Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan đã động
viên, cổ vũ và có những góp ý quý báu giúp tác giả.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Bộ mơn Đại số, Khoa Tốn và Khoa
Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả hoàn thành
nhiệm vụ học tập.
Do nhiều nguyên nhân, luận văn chắc chắn cịn nhiều thiếu sót. Tác giả
mong nhận được sự chỉ bảo của các quý thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp.


4
TÁC GIẢ


5

CHƢƠNG 1
SỐ VƠ TỈ
1.1. Khái niệm và các tính chất của số vô tỉ
Số vô tỉ là các số thực không biểu thị được dưới dạng


a
với a và b là
b

các số nguyên và b  0 (phân số).
Chúng ta xuất phát bằng một định lý rất đơn giản về số vô tỉ, mà gần
như ai cũng biết, bởi định lý này có một nghĩa ý nghĩa lịch sử to lớn, gắn
liền với tên tuổi của nhà toán học Hy-lạp nổi tiếng: Pithagoras, người đầu
tiên phát hiện ra 2 là số vô tỉ. Sự kiện này được đánh giá như là một trong
những phát minh vĩ đại nhất của nhân loại, tương đương với tầm cỡ như
phát minh ra hình học phi Euclid. Nhờ phát minh này mà phát hiện được
rằng độ dài đường chéo của hình vng có cạnh đơn vị, là không thể đo
được bằng phân số [10].
1.1.1. Định lý Pithagoras.

2 là số vô tỉ.

1.1.2. Định lý. Nếu số m không phải là luỹ thừa bậc n của một số ngun
1
nào đó, thì m n là số vơ tỉ.

Chứng minh. Giả sử mệnh đề trên là sai, khi đó có các số a và b sao cho
1
n

a
m  , (a, b)  1.
b


Do đó

a n  mbn .

(1)
(2)

Nếu b = 1 thì a n = m nào đó, mâu thuẫn với giả thiết của định lý, cho
nên b  2 . Giả sử b lớn hơn 1, khi đó tồn tại một nguyên tố p nào đó là ước
của b. Do đó, từ (2) p là ước của a n hay p là ước của a. Như vậy p là ước
của cả a và b, nhưng điều này là khơng thể được vì a và b ngun tố cùng
nhau. Bởi vậy, định lý trên được chứng minh. ■


6

1.1.3. Định lý. Giả sử f ( x)  x n  a1x n1 

 an là đa thức đơn hệ với hệ

số nguyên. Khi đó, mỗi nghiệm của phương trình f ( x)  0 hoặc là số
nguyên hoặc là số vô tỉ.
Chứng minh. Giả sử định lý trên khơng đúng. Khi đó, tồn tại một phân số
hữu tỉ tối giản

a
với b > 1 là nghiệm của phương trình f ( x)  0 .
b
n 1


n

a
a
Ta có:   + a1   + … + an = 0 hay a n + a1 a n1 b + … + an b n = 0.
b
b

hay a n = - ( a1 a n1 b + a2 a n2 b++ an b n1 )b.
Như vậy b là ước của a n . Vậy mọi ước nguyên tố p của b đều là ước của
a n . Do đó p là ước của a và b. Điều này trái với giả thiết

a
là phân số tối
b

giản. Bởi vậy định lý trên là đúng. ■
1
n

1.1.4. Hệ quả. Nếu m không phải là số ngun thì nó là số vơ tỉ.
1
n

Chứng minh. Số m là nghiệm của phương trình xm  m  0 .
1
n

Như vậy, theo định lý trên m sẽ hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ.
Nhưng chúng ta đã nói rằng nó khơng phải là số ngun.Vậy từ đó ta có

1

m n là số vơ tỉ. ■

1.2. Số e và số 
1.2.1. Giới thiệu về số e
Hằng số toán học e là cơ số của logarit tự nhiên. Nó cịn được gọi là
số Euler, đặt theo tên nhà tốn học Thụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số
Napier để ghi cơng nhà tốn học Scotland John Napier người đã phát minh
ra logarit. Số e là một trong những số quan trọng nhất trong tốn học. Nó


7

có một số định nghĩa tương đương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dưới
đây.
Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất bản vào 1618
trong bảng phụ lục của một cơng trình về logarit của John Napier. Thế
nhưng, cơng trình này khơng chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh
sách các logarit tự nhiên được tính tốn từ hằng số e. Có thể là bảng này
được soạn bởi William Oughtred. Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e
được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức:
n

 1
lim 1   .
n
 n

Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu diễn bởi chữ cái

b, là trong liên lạc thư từ giữa Gottfried Leibniz và Christiaan Huygens
giữa 1690 và 1691. Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số
vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn bản là cuốn
Mechanica của Euler (1736). Trong những năm sau đó một số nhà nghiên
cứu sử dụng chữ cái c, e trở nên phổ biến và cuối cùng trở thành tiêu chuẩn.
Lí do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa được biết,
nhưng có thể đó là chữ cái đầu tiên của từ exponential (tiếng Anh: nghĩa
thơng thường là tăng nhanh chóng, nghĩa trong tốn học là hàm mũ). Một
khả năng khác đó là Euler sử dụng nó bởi vì nó là ngun âm đầu tiên sau
a, chữ cái mà ông đã sử dụng cho một số khác, nhưng tại sao ông lại sử
dụng nguyên âm thì vẫn chưa rõ (xem [8]).
1.2.2. Một số định nghĩa khác tƣơng đƣơng của số e
1. Số e là số thực dương duy nhất mà đạo hàm của hàm số mũ cơ số e chính
là hàm số đó
d t
e  et .
dt

2. Số e là số thực dương duy nhất mà


8

d
1
log e t  .
dt
t

3. Số e là giới hạn:

n

 1
e  lim 1   .
x 
 n

4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn:


1 1 1 1 1 1
      ...
0! 1! 2! 3! 4!
n=0 n!

e=

trong đó n! là giai thừa của n.
5. Số e là số thực dương duy nhất mà
e

1

 t dt  1 .
1

(nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f(t) = 1/t từ 1 tới e là bằng
1)
1.2.3. Biểu diễn số e dƣới dạng liên phân số
e   2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,...,1,2n,1,...

1

e2
1

1
2

1
1

1
1

1
4  ...

Như vậy, mặc dù e là số vô tỉ nhưng trong biểu diễn liên phân số lại
phân phối theo qui luật tuyến tính: 2;1-2-1;1-4-1;1-6-1;1-8-1;...

1.2.4. Số chữ số thập phân đã biết của số e


9

Số chữ số thập phân đã biết của số e
Thời gian

Số chữ số thập
phân


Tính bởi

1748

18

Leonhard Euler

1853

137

William Shanks

1871

205

William Shanks

1884

346

J. Marcus Boorman

1946

808


?

1949

2.010

John von Neumann (trên ENIAC)

1961

100.265

Daniel Shanks & John Wrench

1981

116.000

Stephen Gary Wozniak (trên Apple II)

1994

10.000.000

Robert Nemiroff & Jerry Bonnell

5/1997

18.199.978


Patrick Demichel

8/1997

20.000.000

Birger Seifert

9/1997

50.000.817

Patrick Demichel

2/1999

200.000.579

Sebastian Wedeniwski

10/1999

869.894.101

Sebastian Wedeniwski

21/11/1999

1.250.000.000


Xavier Gourdon

10/7/2000

2.147.483.648

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

16/7/2000

3.221.225.472

Colin Martin & Xavier Gourdon

2/8/2000

6.442.450.944

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

16/8/2000

12.884.901.000

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

21/8/2003

25.100.000.000


Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

18/9/2003

50.100.000.000

Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

27/4/2007

100.000.000.000

Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

6/5/2009

200.000.000.000

Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

1.2.5. Giới thiệu về Pi
Số Pi là một hằng số trong tốn học có giá trị bằng chu vi đường trịn
chia cho đường kính của đường trịn đó. Nó hay được viết ký hiệu bằng chữ
Hy Lạp π. Tên pi do chữ peripheria (perijeria) có nghĩa là chu vi của


10

đường trịn. Trong thực tế, để tính tốn, người ta thường dùng giá trị gần

đúng là 3,14 hoặc 3,1416. Trong những lĩnh vực cần độ chính xác cao hơn,
như trong hàng không vũ trụ, pi được dùng không quá 10 chữ số thập phân.
1.2.6. Các cơng thức có dùng số Pi
Hình học: Số π có mặt trong hình học liên quan tới hình trịn và hình cầu:
Dạng hình

Cơng thức

Chu vi hình trịn bán kính r đường kính d

C   d  2 r

Diện tích hình trịn bán kính r

S   r2

Diện tích hình ellipse các bán trục a và b

S   ab

Thể tích hình cầu bán kính r đường kính d

4
1
V   r3   d 3
3
6

S  4 r 2


Diện tích bề mặt hình cầu bán kính r
Thể tích hình trụ trịn chiều cao h bán

V   r 2h

kính r
Diện tích mặt hình trụ trịn cao h bán kính
r

V  2  r 2    2 r  h  2 r   h 

Thể tích hình nón cao h bán kính r
Thể tích hình nón cụt cao H bán kính lớn
R bán kính nhỏ r

1
V   r 2h
3
1
V   H  R 2  Rr  r 2 
3

Ngồi ra, góc đo 180° bằng π rad.
Giải tích. Nhiều cơng thức giải tích chứa π bao gồm các biểu thức chuỗi vơ
hạn (và tích vơ hạn), tích phân, và cỏi gi l cỏc hm c bit.


Franỗois Viốte, vo nm 1593 đã chứng minh:



11

2






2 2 2
2
2

2 2 2
...
2

Công thức Leibniz:
1 1 1 1 1

     ...  .
1 3 5 7 9
4

Một cách kĩ thuật thì chuỗi trên được biểu thị dưới dạng:


 1

n




 2n  1  4 .
n 0



Tích Wallis:
2 2 4 4 6 6 8 8

. . . . . . . ...  .
1 3 3 5 5 7 7 9
2

 2n    2n . 2n   .


2
2
n 1  2n   1
n 1 2n  1 2n  1
2





Thuật toán Chudnovsky:


 1  6k !13591409  545140134k .
 12
3

k 0
 3k ! k ! 6403203k 
1



k

3



2

Thuật toán Bailey-Borwein-Plouffe (năm 1995):


1  4
2
1
1 




.

i
16
8
i

1
8
i

4
8
i

5
8
i

6


i 0

 


Cơng thức tích phân từ giải tích (xem thêm Hàm lỗi và phép Phân
phối chuẩn):


x

 e dx   .
2





Vấn đề Cơ bản 1, đầu tiên được giải bởi Euler (Hàm Riemann zeta):

  2 

1 1 1 1
2




...

.
12 22 32 42
6


12

1 1 1 1
4
  4   4  4  4  4  ...  .
1 2 3 4

90

and generally, ζ(2n) is a rational multiple of π2n for positive integer n


Hàm Gamma ở giá trị 1/2:
1
   .
2



Phép gần đúng Stirling:
n

n
n ! ~ 2 n   .
e


Phương trình nhận diện Euler (Richard Feynman đặt tên, là "cơng
thức quan trọng nhất của tốn học"):
ei  1  0.



Tính chất của hàm Euler:
n

  k  ~ 3n


2

2 .

k 1



Diện tích 1/4 của hình trịn đơn vị:
1



1  x 2 dx 

0




4

.

Một áp dụng của định lý thặng dư
.

đường cong tích phân xung quanh gốc tọa độ, có hướng ngược chiều kim
đồng hồ.

Liên phân số. π có mặt trong nhiều biểu thức liên phân số chẳng hạn như:


13

4

1

1



3

4
5

9
16
7
25
9
36
11 
13  ...

Lý thuyết số. Các kết quả sau đây trong lý thuyết số:
- Xác suất để hai số nguyên được chọn ngẫu nhiên nguyên tố cùng nhau là
6


2

.

- Xác suất để một số nguyên được chọn ngẫu nhiên nó khơng chia hết cho
6

một số chính phương là

2

.

- Giá trị trung bình của các cách viết một số nguyên dương như là tổng của
hai số chính phương (có tính đến thứ tự).
- Một công thức quan trọng là:
e

163

 262537412640768743,99999999999925007...

hay tương đương với nó:
e

163

 6403203  743,99999999999925007...


có thể được giải thích bởi lí thuyết phép nhân số phức.
Các hệ thống động học và lý thuyết ergo. Xét công thức truy hồi
xi 1  4 xi 1  xi  .

Khi đó cho hầu như mỗi giá trị ban đầu x0 trong hệ đoạn thẳng đơn vị [0,1],
1 n
2
xi  .

n n

i 1

lim

Với quan hệ truy hồi này thì ánh xạ logistic với tham số r = 4, đã biết từ
định lý về các hệ thống động học.


14

Vật lý. Số π xuất hiện trong các phương trình mô tả các nguyên lý nền tảng
của vũ trụ, một phần không nhỏ do mối quan hệ tự nhiên của nó với hình
trịn và tương ứng là các hệ tọa độ cầu.


Hằng số vũ trụ:





8 G
.
3c 2

Hằng số Planck-Dirac:




h
.
2

Nguyên lý bất định Heisenberg:
xp 



Phương trình trường Einstein trong Thuyết tương đối tổng quát:
Rik 



gik R
8 G
 gik  4 Tik .
2
c


Định luật Coulomb về lực điện từ:
F=



h
.
4

q1q2
.
4 0 r 2

Tích từ thẩm trong không gian tự do:

0  4 107 H m .
Xác suất và thống kê. Trong xác suất và thống kê, có nhiều cơng thức
phân bố chứa số π trong đó có:


Hàm mật độ xác suất (pdf, viết tắt từ chữ probability density
function) trên phân phối chuẩn với giá trị trung bình μ và độ lệch
chuẩn σ:
2
 x     2 2 
1
f  x 
e
.
 2




pdf trong (chuẩn) phân phối Cauchy:


15

f  x 

1
.
 1  x 2 

1.3. Tính vô tỉ của các số e và 
1.3.1. Định lý. e = 1 

1 1 1
 
1! 2! 3!

là số vô tỉ.

Chứng minh. Giả sử mệnh đề trên không đúng. Khi đó, suy ra e =

a
với a
b

và b là các số nguyên dương. Do đó

1
1
1
1
1
a
=1+ +
+
+ …+
+
+…
b ! (b  1)!
b
1! 2! 3!
b!
1
a
1
1
1
1
Vì vậy ( )b! = 1 + +
+
+ …+
+
+
+…
b
b ! (b  1)! (b  2)!
1! 2! 3!


Do đó a(b  1)! là tổng của một số nguyên với tổng
1
1
+
+…
(b  1)! (b  1)(b  2)

Ta có:

1
1
1
+
+
+…
(b  1)! (b  1)(b  2) (b  1)(b  2)(b  3)
<

1
1
1
1
1




(b  1) (b  2) (b  2) (b  3) (b  3)




1
 1.
(b  1)

Vậy a(b  1)! là tổng của một số nguyên với một số thực dương bé hơn 1.
Nhưng điều này không thể được, do bởi a(b - 1)! là một số nguyên. Mâu
thuẫn này kết thúc chứng minh Định lý. ■
Để chứng minh tính vơ tỉ của e k và  chúng ta cần quan tâm tới một
x n (1  x)n
số tính chất của hàm số f ( x) 
.
n!

1.3.2. Định lý. Nếu f ( x) 

x n (1  x)n
. Khi đó
n!


16

1
, 0 < x < 1.
n!

(i)


0 < f(x) <

(ii)

Giá trị của f(x) và các đạo hàm liên tục tại x = 0 và x = 1 là số
nguyên.

(iii)

f

2n  k 

x = 0 với mọi k > 0.

Chứng minh. (i) Ta có 0 < x < 1. Như vậy 0 < 1 - x < 1.
x n 1  x 
1
Do đó 0 < x(1 - x) < 1 với 0 <
<
n!
n!
n

0 < f(x) <

1
.
n!


(ii) Chúng ta viết f(x) dưới dạng khai triển
f(x) =

n(n  2) n2
1 n
n
x + … +  1 x 2 n .
x - nx n1 +
2
n!

Bởi vậy f(0) = 0 ; f’(0) = 0; … ; f 
f

n 1

(0) =

f 2n (0) =
f

2n  k 

n 1

(0) = 0;

f n (0) = 1;

n(n  1) (n  2)!

(n  1)!
n 2
(-n) ; f   (0) =
;
2
n!
n!

(2n)!
 1n với tất cả x.
n!

(x) = 0

với mọi k > 0.

(1)

Từ trên suy ra được rằng giá trị của f(x) và các đạo hàm liên tục tại x = 0 là
số nguyên. Lúc này

1  x  1  1  x 
f(1- x) =
n

n!

n

= f(x).


Do đó với các đạo hàm của f(x) và f(1- x) là bằng nhau với giá trị như nhau
của x.
Chọn x = 0 có f r (0) = f r (1) với mọi r  0. Điều này dẫn đến f r (1) là số
nguyên với tất cả r.
(iii) Từ (ii) ở trên, chúng ta đã thu được kết quả cần tìm. ■


17

n

1.3.3. Định lý. Nếu  là số dương thì

n!

 0 khi n   .

Chứng minh. Nếu m là số nguyên dương lớn hơn  thì




n 

=

… 

… .

1
2
n!
m 1
n
m




m
=


… .
m 1
m2
n
m

 m    nm
<

 .
m!  m 1 
  
Lúc này: 0 <
< 1. Do đó 

m 1

 m 1



Vì vậy, chúng ta suy ra

nm

 0 khi n   .

n
 0 khi n  0. ■
n!

1.3.4. Định lý. Nếu k là một số nguyên dương. Khi đó e k là số vơ tỉ.
Chứng minh. Giả sử Định lý là sai. Khi đó, e k =

a
với a,b là số nguyên
b

dương.
Lúc này xét tích phân xác định: I = b k

2 n 1

1

e


kx

f(x) dx, trong đó

0

x n 1  x 
f(x) =
.
n!
n

Lấy tích phân từng phân, chúng ta thu được:
I=b k

2 n 1

e kx
e kx
e kx
e kx
( f(x) f’(x) + x f’’(x) - …+ 2 n1 f 2n (x) )
2
k
k
k
k

1
0


.

Từ đó f 2nk (x) = 0 với k > 0. Số hạng lớn nhất của vế phải của đẳng thức
ở trên là số có dạng:

bk

2 n 1

e kx
r
( 2 n1 f   (x)
k

)

1
0

với 0  r  2n.


18

= b k 2 n1 (

a 1
1
r

r
f   (1) - r 1 f   (0)).
r 1
b k
k

k 2 n1
r
r
= r 1 (a f   (1) - b f   (0)) = số nguyên .
k

Với r + 1 < 2n + 1 và f   (1); f   (0) là số nguyên. Do đó I là số nguyên
r

r

với mọi n.
e kx
1
kx
Mặt khác 0 < f(x) < ; 0 < x < 1. Bởi vậy 0 < e f(x) <
.
n!
n!

0 < bk

2 n 1


bk 2 n1 kx
0 e f(x)dx < n! 0 e dx.
1

1

kx

bk 2 n1 e k  1
0.
n!
k

k 

2 n

0 < I < b ek

n!

.

k 
Nhưng theo Định lý 1.3.3 ta có

2 n

n!

 0 khi n   .

Do đó I < 1 với giá trị đủ lớn của n và điều này trái với I là số nguyên như
đã khẳng định ở trên . Vì vậy, ta suy ra e k là số vô tỉ. ■
1.3.5. Định lý.  2 là số vô tỉ.
Chứng minh. Ngược lại, chúng ta giả sử rằng  2 là số hữu tỉ, suy ra  2 =
a
với a, b là số nguyên dương. Lúc này xét tích phân xác định:
b

I = b 
n

2 n 1

x n 1  x 
0 sin x f(x)dx, với f(x) = n! .
n

1

Lấy tích phân từng phần chúng ta thu được
I= b n  2 n1 (-

cos  x



f(x)+

sin  x

2

f’(x))+

cos  x

3

f’’(x) - … 

f

(2 n )

cos  x

 2 n1

1

(x) ) 0 .


19

Mọi số hạng trong biểu diễn này chứa sin  x là bằng khơng bởi vì
((sin  x ) 0 = 0. Mỗi số hạng chứa cos  x là một số có dạng:

1

b n  2 n1

cos  x



2 n 1

f   (x) ) 0 ;
1

2r

0  r  n.

= b n  2 n1 ( cos  f   (1) - f 
2r

2r 

(0)).

= b n  2 n1 ( f   (1) - f   (0)) = số nguyên.
2r

2r

Do đó I là số nguyên với mọi n. Mặt khác, nếu 0 < x < 1, khi đó

0 < f(x) <

1
b n 2 n1
và 0 < b n  2 n1 sin  x f(x) <
bởi vì 0 < sin  x < 1.
n!
n!

Ta có: 0 < b 
n

0
2 n 1

b n 2 n1
0 sin x f(x)dx < n! 0 dx .
1

 an
n!

1

bởi vì  2 =

a
.
b

an
Nhưng
 0 khi n   . Do đó I < 1 với mọi giá trị đủ lớn của n và
n!

điều này là mâu thuẫn với I là số nguyên với mọi n như đã khẳng định ở
trên .
Vì vậy, ta suy ra  2 là số vơ tỉ. ■
1.3.6. Định lý.  là số vô tỉ.
Chứng minh. Nếu  là số hữu tỉ, khi đó hiển nhiên  2 cũng là số hữu tỉ.
Điều đó mâu thuẫn với Định lý 1.3.5 ở trên. Do đó,  là số vô tỉ. ■
1.3.7. Định lý. Giả sử a > 1 và b > 1 là các số nguyên dương, nguyên tố
cùng nhau, thế thì log b a và log a b là các số vô tỉ.
Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng log b a 
Từ đó suy ra: a = b

s

t

s
với số nguyên dương s và t.
t

hoặc a t = b s . Nhưng điều này không thể được, bởi vì


20

các số a và b khơng có ước ngun tố chung. Bởi vậy logb a là số vô tỉ.
Một cách tương tự chúng ta chứng minh rằng log a b là số vô tỉ. ■


21

CHƢƠNG 2
DÃY FAREY

2.1. Dãy Farey
Nếu

a
c
ac
và
hai phân số hữu tỉ đã cho. Khi đó
được gọi là
b
bd
d

trung bình của

a
c
và .
b
d
a

c
và
là hai phân số hữu tỉ. Khi đó, trung bình của
b
d

2.1.1. Mệnh đề. Cho

chúng nằm giữa chúng.
Chứng minh. Nếu
Khi đó

a
c
< như vậy bc - ad > 0.
b
d

bc  ad
ac a
a
ac
- =
> 0. Do đó
<
b  d b b(b  d )
b
bd

Mặt khác

bc  ad
ac
c ac
c
=
> 0. Bởi vậy
< .
b(b  d )
bd
d bd
d

(1).
(2)

Từ (1) và (2) suy ra mệnh đề trên.
Trong trường hợp

a
c
>
được lý luận tương tự. Mệnh đề trên được
b
d

chứng minh. ■
2.1.2. Hệ quả. 1) Nếu

a

a
ak
< 1 thì <
< 1 với k nguyên dương.
b
b
bk

2) Nếu

a
a
ak
> 1 thì >
> 1 với k nguyên dương.
b
b
bk

Điều này được suy ra trực tiếp từ định lý trên nên ta thay thế 1 bởi

2.1.3. Mệnh đề. Cho

k
.■
k

c
a
và

là hai phân số sao cho ad - bc =  1. Khi đó,
b
d

mọi phân số nằm giữa chúng sẽ có mẫu số lớn hơn hoặc bằng b + d.


22

Chứng minh. Cho ad - bc = - 1 như vậy là

s a
1
1 c s
a
c
vµ . Ta cã: - 
; - 
.
b
d
t b
dt
bt d t

n»m gi÷a

Hơn nữa, chúng ta thu được:
Nh-ng

s
a
c
< . Rút ra phân số bất kỳ
b
d
t

c a
bd
.

d b
tbd

c a
(ad  bc)
1
1
bd
=
=
. Nh- vËy
.

d b
bd
bd
bd
tbd

KÐo theo t  b  d .
Trong trường hợp ad - bc = 1 ta lập luận một cách tương tự. Mệnh đề trên
được chứng minh. ■
2.1.4. Định nghĩa. Dãy các phân số gọi là có tính chất P nếu hai số liên
tiếp

a
c
và của dãy thoả mãn hệ thức ad - bc = - 1.
b
d
3 2 3 4
; ; ;
có tính chất P, bởi vì
8 5 7 9

Ví dụ: 1) Dãy

3  5 - 8  2 = - 1; 2  7 - 8  2 = - 1; 3  9 - 7  4 = - 1.
2) Dãy

5 32 27 49 22
; ; ; ;
có tính chất P, bởi vì
3 19 16 29 13

5  19 - 3  32 = - 1;

32  16 - 19  27 = - 1.

27  29 - 16  49 = - 1;

49  13 - 29  22 = - 1.

2.1.5. Định lý. Giả sử

a
c
và
là hai phân số sao cho ad - bc = -1. Khi
b
d

đó:
(i)

a c
ac
là phân số duy nhất nằm giữa các phân số ,
và có mẫu
b d
bd

số khơng vượt q b + d.
(ii) Dãy
(iii)

a ac c
,

, có tính chất P.
b bd d

a ac c
,
, là các phân số tối giản tăng theo thứ tự.
b bd d


23

Chứng minh. (i) Từ Mệnh đề 2.1.1, trung bình

a
ac
c
nằm giữa
và .
b
bd
d

Hơn nữa
a(b + d) - b(a + c) = ad - bc = -1.

(1)

(a + c)d - (b + d)c = ad - bc = - 1.

(2)

Bởi vậy theo Mệnh đề 2.1.3 mọi phân số nằm giữa
giữa

a
ac
và
và nằm
b
bd

ac
c
và đều có mẫu số > b + d. Do đó (i) được chứng minh suy ra.
bd
d

(ii) Từ phương trình (1) và (2) cho ta: Chuỗi
(iii) Bởi vì ad - bc = - 1 nên suy ra rằng
2.1.1 ta có

a ac
c
;
;
có tính chất P.
b bd
d

a

c
< . Bởi vậy theo Mệnh đề
b
d

a
a ac c
ac
c
<
< , điều này có nghĩa là ;
;
tăng theo
b
b bd d
bd
d

thứ tự.
Ta có ad - bc = 1. Do đó, nếu ước số k > 1 chia hết cả hai số a và b, thì
phải chia hết ad - bc = 1 nhưng điều đó khơng thể được. Vậy, ta suy ra
phân số tối giản. Một cách tương tự chúng ta cũng có

a
là
b

c
là một phân số tối
d

giản.
Hơn nữa a(b + d) - b(a + c) = - 1. Bởi vậy (a + c) và (b + d) khơng có ước
số chung lớn hơn 1. Vậy

ac
là phân số tối giản. ■
bd

Bây giờ chúng ta định nghĩa dãy Farey.
2.1.6. Định nghĩa. Giả sử n là một số nguyên dương cho trước. Khi đó, dãy
Farey cấp n được định nghĩa như sau:
(i)

0
1
là số hạng đầu tiên và là số hạng cuối cùng của dãy.
1
1


24

(ii) Các số hạng trung gian là tất cả phân số tối giản nằm giữa

0
1
và được
1
1

sắp xếp theo thứ tự tăng dần, với mẫu số không vượt quá n. Dãy Farey bậc
n được ký hiệu bởi f n . Mục đích sự tham khảo của chúng ta phát biểu ở
dưới là dãy Farey
f1

0
1
; .
1
1

f4

0 1 1 1 2 3 1
; ; ; ; ; ; .
1 4 3 2 3 4 1

f2

0 1 1
; ; .
1 2 1

f3

0 1 1 2 1
; ; ; ; .
1 3 2 3 1

f5

0 1 1 1 2 1 3 2 3 4 1
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .
1 5 4 3 5 2 5 3 4 5 1

f6

0 1 1 1 1 2 1 3 2 3 4 5 1
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .
1 6 5 4 3 5 2 5 3 4 5 6 1

f7

0 1 1 1 1 2 1 2 3 1 4 3 2 5 3 4 5 6 1
; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; .
1 7 6 5 4 7 3 5 7 2 7 5 3 7 4 5 6 7 1

Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng của dãy Farey
2.1.7. Định lý. Nếu

a
c
và
là hai số hạng liên tiếp của dãy Farey f n thì
b
d

b+d > n.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.1 ta có:
Nếu b + d  n thì phân số
xuất hiện trong f n giữa
đã cho là

a
ac
c
<
<
.
b
bd
d

ac
hoặc dạng rút gọn của nó nhất thiết phải
bd

a
c
và . Nhưng điều đó mâu thuẫn với điều kiện
b
d

a
c
và là hai số hạng liên tiếp của dãy f n . Suy ra b + d > n. ■
b

d

2.1.8. Định lý. Nếu
Chứng minh. f1 là

a
c
và là hai số hạng liên tiếp của f n thì ad - bc = - 1.
b
d
0 1
; và 0 1  11  1 . Do đó định lý đúng với n = 1.
1 1


25

Chúng ta giả sử rằng định lý đúng với n = k. Giả sử

a
c
và là hai số hạng
b
d

liên tiếp của f k khi đó ad - bc = - 1. Do đó, theo Định lý 2.1.5 tồn tại một
a
ac
c
nằm giữa

và
mà mẫu số của nó
b
bd
d

phân số tối giản mà cụ thể là

không vượt quá b + d . Theo Định lý 2.1.7, b + d > k, kéo theo b + d > k + 1
hoặc b + d = k + 1.
Nếu b + d > k+ 1 thì hiển nhiên phân số
Do đó

ac
khơng thuộc dạng của f k 1 .
bd

a
c
và
là hai số hạng liên tiếp của dãy f k 1 . Vậy định lý đúng khi n
b
d

= k + 1.
Nếu b + d = k + 1 thì phân số
giữa

ac
là số hạng liên tiếp của f k 1 và rơi vào

bd

a
a
c
ac
c
và
sao cho
;
;
là ba số hạng liên tiếp của f k 1 .
b
b
bd
d
d

Ngoài ra: a(b + d) - b(a + c) = ad - bc = -1.
(a + c)d - (b + d)c = ad – bc = - 1.
Điều này suy ra rằng định lý đúng với n = k + 1. Vậy cả hai trường hợp (i)
và (ii) ở trên của định lý đã chứng minh đúng với n = k + 1. Do đó, theo
phương pháp quy nạp định lý đúng với tất cả các giá trị n. ■
Ví dụ: Tìm số hạng liên tiếp của
Lời giải. Cho

28
trong f3451 .
39

h
là số hạng cần tìm. Theo Định lý 2.1.8 chúng ta có :
k

28k - 39h = -1.
Đây là phương trình Diophantine trong đó 28 và 39 là hai nguyên tố cùng
nhau (

28
là một số hạng của dãy Farey). Do đó, phương trình này là giải
39

được và có các nghiệm tổng quát là: