Bộ giáo dục và đạo tạo
Tr-ờng Đại học Vinh

đỗ Thị nhung

Về môđun gần nửa đơn

luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ an - 2011


2

Lời nói đầu
Lý thuyết môđun đóng vai trò chủ yếu trong việc nghiên cứu lý thuyết vành.
Môđun nửa đơn là một trong những khái niệm quan trọng của lý thuyết môđun.
Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về môđun gần nửa đơn. Đó
là lớp môđun mở rộng thực sự của môđun nửa đơn. Bản luận văn của chúng
tôi dựa trên tài liệu [1] để trình bày một số đặc tr-ng của môđun gần nửa đơn,
chỉ ra sự liên hệ giữa môđun gần nửa đơn với vành tự đồng cấu của nó và đặc
tr-ng của vành các tự đồng cấu của môđun gần nửa đơn thông qua phần tử lũy
đẳng của chúng.
Luận văn gồm hai ch-ơng.
Ch-ơng 1. Kiến thức cơ sở. Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày một số
kiến thức về: môđun, môđun nửa đơn, vành nửa đơn, vành chính quy.
Ch-ơng 2. Môđun gần nửa đơn. Đây là nội dung chính của luận văn.
Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày: sự liên hệ giữa môđun gần nửa đơn với
vành tự đồng cấu của nó, một số ví dụ về môđun gần nửa đơn, đặc tr-ng của
vành các tự đồng cấu của môđun gần nửa đơn thông qua phần tử lũy đẳng của
chúng.

Luận văn đ-ợc thực hiện tại tr-ờng Đại học Vinh d-ới sự h-ớng dẫn của
PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy
đà tận tình chỉ dẫn chúng tôi trong học tập và tập d-ợt nghiên cứu khoa học.
Thầy đà đặt vấn đề và trực tiếp h-ớng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, khoa sau Đại
học, tổ Đại số và PGS.TS. Lê Quốc Hán; PGS. TS. Nguyễn Thành Quang; TS.
Nguyễn Thị Hồng Loan cùng Quí Thầy, Cô trong khoa toán của Đại học Vinh
đà nhiệt tình chỉ dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập
và hoàn thành luận văn nµy.


3

Mặc dù đà rất cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, tác giả rất mong nhận đ-ợc những đóng góp quí báu từ các thầy, cô giáo
và các bạn cùng lớp.
Nghệ An, tháng 12 năm 2011
Tác gi¶


4

Ch-ơng 1

Kiến thức cơ sở
1.1. Môđun nửa đơn.
Có hai lớp môđun quan trọng đ-ợc phát triển từ lý thuyết không gian véc
tơ đó là:
1. Môđun tự do và các hạng tử trực tiếp của môđun tự do tức là các môđun
xạ ảnh.

2. Môđun M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn mà chúng ta sẽ xét ở
đây (môđun A đ-ợc gọi là đơn nếu A 0 và chỉ có hai môđun con là 0 và A).
Để đi đến khái niệm và các tính chất cơ bản của môđun nửa đơn ta xét các
bổ đề sau đây:
1.1.1. Bổ đề. Giả sử M là một môđun sao cho mỗi môđun con là hạng tử trực
tiếp. Khi đó mỗi môđun con khác không đều chứa môđun con đơn.
Chứng minh. Giả sử U là một môđun con hữu hạn sinh tùy ý của môđun
M. Khi đó U sẽ chứa một môđun con tối đại C.
Theo giả thiết M C M 1 .
Dùng luật môđula ta có: U M U  C  M 1 U  .
Tõ ®ã suy ra U C M1 C là môđun đơn vì C tối đại trong U.
Do đó M1 C là môđun con đơn của U.
1.1.2. Bổ đề. Giả sử M = M i , trong đó Mi là các môđun con đơn. Giả sử U
iI

là môđun con của M. Khi đó:
a) Tồn tại tập con J  I sao cho


M  U   Mi  .
 i I


b) Tån t¹i tËp con K  I sao cho
M   Mi .
i K


5








 i L

Chøng minh. a) XÐt tËp    L | L  I ,U   M i  U    M i  .


Bëi v×

M

i

i L

 0 nªn    . Trªn  trang bị quan hệ thứ tự bao hàm. Dễ

i

kiểm tra thỏa mÃn Bổ đề Zorn, gọi J là phần tử tối đại của .




Gọi N U M i .
i J

Đối với phần tử i0  I, i0 tïy ý ta xÐt N  M i .Ta cã N  M i  N  M i không
0

0

0

xảy ra với i0 J (vì tính chất tối đại của J).
Vậy N M i 0, i J . Nh-ng do M i đơn nªn N  M i  M i , do ®ã
0

0

0

0

M i0  N .

Tõ ®ã ta nhËn ®-ỵc N=M.



Mi  .
b) Gi¶ sư M  U   i

J
Ta lại sử dụng (a) đối với môđun con M i (xem nh- U). Khi đó tồn tại tập
J






con K  I sao cho: M   M i    M i  .
i J
i K
Tõ ®ã thu ®-ỵc U  M  M  i
Mi . º
K
i
i I
1.1.3. Định lý. Đối với môđun M các điều kiện sau đây là t-ơng đ-ơng:
(1) Mỗi môđun con của M là tổng các môđun con đơn.
(2) M là tổng các môđun con đơn.
(3) M là tổng trực tiếp các môđun con đơn.
(4) Mỗi môđun con của M là hạng tử trùc tiÕp cđa M.
Chøng minh.
(1)  (2): HiĨn nhiªn.
(2)  (3): Chính là Bổ đề 1.1.2(a) với U=0.
(3) (4): Do Bỉ ®Ị 1.1.2(a).


6

(4) (1): Giả sử U là môđun con của M.
Ta đặt U0= M i , trong đó Mi U, Mi đơn (Theo Bổ đề 1.1.1 luôn tồn tại
m

I


môđun Mi).
m

Rõ ràng U0 U; theo (4) ta có: M= U0 N (Với N là môđun con nào ®ã
cña M).
Tõ ®ã ta cã: U  M U  (U 0  N ) U  U 0  ( N U ) .
Tr-êng hỵp 1 : N  U=0  U= U0=  M i . VËy ta cã (1).
I

Tr-êng hỵp 2 : N  U  0. Khi đó theo Bổ đề1.1.1 tồn tại môđun đơn B mµ
m

B  N  U.
m

Suy ra B  U0  B  (N  U)  U0, v« lý.
VËy chØ xảy ra N U=0.
1.1.4. Định nghĩa. Môđun M đ-ợc gọi là môđun nửa đơn nếu thỏa mÃn một
trong các điều kiện t-ơng đ-ơng ở Định lý 1.1.3 trên.
Ta quy -ớc môđun 0 là môđun nửa đơn.
1.1.5. Ví dụ.
1) Mỗi không gian véc tơ V trên thể K là môđun nửa đơn.
Thật vậy: V xK và xK là đơn với x 0 .
x I
x0

2)Zn là nh- Z-môđun. Khi đó:

Zn là một Z-môđun nửa đơn n là tích của các số nguyên tố khác nhau

hoặc n=1.
3) Z và Q là Z-môđun nh-ng không phải là môđun nửa đơn.
1.1.6. Hệ quả.


7

(1) Mỗi môđun con của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.
(2) Môđun đẳng cấu với môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.
(3) ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.
(4) Tổng của những môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.
Chứng minh. 1) Do Định lý 1.1.3.
2) Giả sử M M i trong đó Mi là môđun con đơn với i I và f:M  N.
i I
Khi ®ã N=f(M)=  f (M i ) và f đẳng cấu nên f(Mi) là môđun con đơn với
i I

i I .

Do đó N là môđun nửa đơn.
3) Giả sử M là môđun nửa đơn và f: M N là toàn cấu nên
M

ker f N .

-NÕu ker f =0  M  N  N là môđun nửa đơn.
-Nếu ker f =A N=0 cũng là môđun nửa đơn.
4) Bởi vì mỗi môđun nửa đơn là tổng các môđun đơn nên tổng của những
môđun nửa đơn theo Định lý1.1.3 lại là môđun nửa đơn.
1.1.7. Định lý. Đối với môđun nửa đơn M các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:

(1) M là tổng của hữu hạn các môđun đơn.
(2) M là tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun đơn .
(3) M có độ dài hữu hạn.
(4) M là Artin.
(5) M là Noether.
(6) M là hữu hạn sinh.
(7) M là đối sinh hữu hạn.
Chứng minh. Ta chú ý rằng đối với M=0 thì tất cả các điều kiện trên trở
thành tầm th-ờng, vì vậy ta giả thiết M 0.
(1) (2): Do Bổ đề 1.1.2.


8

n

M i , trong đó Mi là môđun đơn.
(2) (3): Gi¶ sư M  
i 1
n

Mi  M
0  M1  M1  M2  …  
i 1

Khi đó

là dÃy hợp thành bởi vì môđun th-ơng:
M 1 ...  M i


M 1  ...  M i 1 M i là môđun đơn .

Vậy M có độ dài hữu hạn là n.
(3) (4); (3) (5): Là hiển nhiên.
(3) (6); (4) (7): Là các mệnh đề rõ ràng.
(6) (1): Giả sử M hữu hạn sinh và M=x1R+x2R+...+xnR.
Do M là môđun nửa đơn nên M M i , trong đó Mi là môđun đơn.
I
Mỗi phần tử xk đều là tổng của hữu hạn các phần tử Mi. Vậy tồn tại tập
hữu hạn I0 I để x1, x2, ...,xn M i .
i I
0

Tõ ®ã M   M i có (1).
i I
0

(7) (2): Giả sử M là tổng trực tiếp của vô hạn các môđun đơn. Khi đó
trong M tồn tại môđun con dạng:
M1 M2 ...

(Tổng trực tiếp đếm đ-ợc).




Ai 0 và (M1 ... Mn) An+1=0 có nghĩa
Đặt Ai M j , i  N  . Ta cã 
i 1
j 1




Ai )=0 víi n tïy ý thuéc N . Từ đó giao hữu hạn bất kỳ
là (M1 ...  Mn)  ( 
i 1

c¸c Ai sÏ kh¸c 0.
Trái với giả thiết (7).

1.2. Vành nửa đơn.
1.2.1. Định nghĩa. Vành R gọi là vành nửa đơn trái (phải) nếu môđun trái
(phải) R trên vành R là môđun nửa đơn.


9

1.2.2. Định lý. Đối với vành R thì R là vành nửa đơn trái khi và chỉ khi R là
vành nửa đơn phải.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh R là vành nửa đơn trái thì R là vành
nửa đơn phải. (Điều ng-ợc lại hoàn toàn t-ơng tự).
Theo định lý về sự phân tích của vành có đơn vị, vành nửa đơn trái RR có
sự phân tích:
n

n

i 1

i 1


R R Li Re i

trong đó Li=Rei là các môđun con đơn của RR, ei 0, ei ej=0, víi i  j vµ eiei=ei,
n

1=  ei .
i 1

Khi đó cũng do định lý phân tích vành ta lại có:
n

R ei R .
i 1

Ta chỉ cần chứng tỏ eiR là đơn.
Giả sử e là một trong các ei và giả sử 0 a=ea eR. Khi đó aR eR. Ta
cần chứng minh aR=eR và nh- thế eR đơn.
Thật vậy, do ea 0 và Re đơn nên
: Re Ra

re rea=ra
là đẳng cÊu.
NÕu RR= Ra  U th×
 : Ra  U  R

ra+u   1 (ra)=re  R
lµ mét toµn cÊu cđa RR nªn  øng víi mét b  R (trong ®ã b=  (1)).
Nh- vËy e=  (a)=ab  e  aR  eR  aR.
VËy eR=aR ®ã là điều cần chứng minh.

1.2.3. Hệ quả.


10

(1) Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun trái, mỗi Rmôđun phải là môđun nửa đơn.
(2) Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi RR và RRcó độ dài hữu hạn.
(3) Vành R là vành nửa đơn và f : R S là một toàn cấu vành thì S là
vành nửa đơn.
(4) Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun trái, mỗi Rmôđun phải là nội xạ và mỗi R-môđun trái, mỗi R- môđun phải là xạ ảnh.
1.2.4. Mệnh đề. Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi R đẳng cấu với tích
hữu hạn các vành các ma trận trên một vành chia đ-ợc.
n

ei R , trong đó ei lũy
Chứng minh. Nếu thì R là vành nửa đơn thì R
i 1

đẳng và eiR là đơn.
Mặt khác eiR Di(k ,k ) , trong đó Di( k ,k ) là vành các ma trận vuông cÊp k trªn thĨ
Di= eiRei.
n

VËy

( k ,k )
R   Di .
i 1

Ng-ợc lại, mỗi vành các ma trận vuông trên một vành chia đ-ợc (thể) là

một vành đơn, do đó R là vành nửa đơn.

1.3. Vành chính quy.
Trong mục này chúng ta nêu lên định nghĩa và một số tình chất cơ bản
của vành chính quy.
1.3.1. Định nghĩa.
a) Cho vành R, phần tử x R đ-ợc gọi là chính quy nếu tồn tại a R để
cho xax = x.
b) Một vành R đ-ợc gọi là vành chính quy nếu mọi phần tử của R là chính
quy.
1.3.2. Ví dụ. Chứng minh R là 1 thể thì R lµ vµnh chÝnh quy.


11

- Víi x = 0  R th× víi a bÊt kú thc R ta lu«n cã
xax=0a0=0=x.
- Víi x ≠ 0, x R luôn tồn tại a

xax x

1
 R ®Ĩ
x

1
x  1.x  x .
x

VËy mäi x R thì luôn tồn tại a R để xax =x. Do đó thể R là vành chính

quy.
1.3.3. Mệnh đề. R là vành chính quy thì vành EndR(F) các tự đồng cấu của
một môđun tự do hữu hạn sinh F trên vành R cũng là vành chính quy.
Chứng minh. Thật vậy với R là vành chính quy, đối với mỗi f EndR(F)
thì Imf là môđun con hữu hạn sinh của F và do đó nó là hạng tử trực tiếp của F
(xem [5]). T-ơng tự kerf là hạng tư trùc tiÕp cđa F, ta cã d·y:
0  Im f F F Im f 0

là chẻ ra.

Do đó tồn tại đẳng cấu : F Imf
f(x)=f(x) với x F.

Vì kerf là hạng tư trùc tiÕp cđa F nªn d·y

ker f  F Im f

là chẻ ra.

Do đó tồn tại : Im f  F víi f..f(x)=f(x). Theo trªn f   f nªn
f()f(x)=ff(x)=f(x),  x F hay f..f(x)=f víi  : F F.
Vậy f là phần tử chính quy của End(F).
Hay EndR(F) là vành chính quy.
1.3.4. Định lý. Đối với vành R, các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:
(1) R là chính quy.
(2) Mỗi iđêan phải xiclic của R là hạng tử trực tiếp của RR.
(3) Mỗi iđêan trái xiclic của R là hạng tử trực tiếp cña RR.


12


(4) Mỗi iđêan phải hữu hạn sinh của R là hạng tử trực tiếp của RR.
(5) Mỗi iđêan trái hữu hạn sinh của R là hạng tử trực tiếp của RR.
Chứng minh. Ta chứng minh theo sơ đồ:
(1) (2)
(1)  (3)
(2)  (4)
(3)  (5)
(1)  (2): Gi¶ sư x  R. Khi ®ã  a  R ®Ĩ xax = x (v× R chÝnh quy).
Ta sÏ chøng minh xaR = xR là hạng tử trực tiếp của RR (trong ®ã I =xR).
e: RR

XÐt ®ång cÊu

r  xar
e2(r)=e(xar)=xa(xar)=xaxar=xar=e(r),  r R

thì

e=e2 End(RR) e(R)=xaR là hạng tư trùc tiÕp cđa R.
xaR  xR.

Ta cã:
Mµ

x =xax  xaR  xR  xaR.

(*)
(**)


Tõ (*) vµ (**) ta cã: xaR =xR là hạng tử trực tiếp của RR.
(2) (1): Giả sử I=xR là hạng tử trực tiếp của RR , ta sÏ chøng minh R
chÝnh quy.
Ta thÊy nÕu I=xR là hạng tử trực tiếp của RR khi đó tồn tại phần tử lũy
đẳng e =e2 R sao cho xR = eR và tồn tại a, b R mµ
 x  eb

 x  eb  e.eb  ( xa )eb  xax .
e  xa

VËy R chính quy.
(1) (3): T-ơng tự, mỗi x R,  a  R sao cho x =xax. Ta chøng minh
Rx là hạng tử trực tiếp của RR, r  R.
XÐt

e: R  R


13

r  rax.
Ta cã:

e2(r)=e(rax)=raxax=rax=e(r);  rR

 e=e2  e(R)=Rax lµ h¹ng tư trùc tiÕp cđa RR. Ta sÏ chøng minh R
chính quy.
Do x R Rx là hạng tử trực tiếp của R nên e= e2 R để Rx =Re.

ax  e

 x  be  be 2  be 2  (be)e  xax .
  a, b R sao cho 
 x  be
VËy R chÝnh quy.
(3) (5): Ta chỉ cần chứng minh cho tr-ờng hợp I là iđêan trái sinh bởi
x1 v x2:

I = Rx1 + Rx2.

Do mỗi iđêan trái xiclic của R là hạng tử trực tiếp của RR nên Rx1 là hạng
tử trực tiÕp cđa R.
e = e2  R mµ Rx1 =Re khi đó x2(1-e) R

Rx2(1-e) là hạng tử trực tiếp cđa R vµ  f = f2 R mµ Rf =Rx2(1-e).
Ta có:

Rx2(1-e) = Rx2-Rx2e Rx2 + Re.
Rx2+Re=Rf +Re.

Mặt khác:

Rf = Rx2(1-e)   a  R ®Ĩ

ThËt vËy, do:

f = ax2(1-e)

(do 1  R)

= ax2-ax2e  Rx2+Re.

 Rf  Rx2+Re Rf+Re Rx2+Re.

(*)

Cũng vì Rf = Rx2(1-e) nên  b R, x2(1-e)=bf nªn
x2=x2e +bf  Re+Rf
 Rx2+Re  Re+Rf.
Tõ (*) vµ (**) ta cã:

Rx2+Re=Re+Rf.

Do f=ax2(1-e)  fe=ax2(1-e)e=ax2e- ax2e2= ax2e- ax2e=0
 (f+e-ef)2=f +e-ef

(**)


14

R(f +e-ef) là hạng tử trực tiếp của RR.
Mà Re+Rf=R (e+f-ef) (do fe = 0).
Vậy I=Rx1+Rx2=Re+Rx2=Re+Rf=R(e+f-ef) là hạng tử trực tiếp của RR.
Tức mọi iđêan trái hữu hạn sinh của R là hạng tử trực tiếp của RR.
(5) (3): Hiển nhiên.
(4) (2): Hiển nhiên.
(2) (4): T-ơng tự (3) (5).
Ta chỉ cần chứng minh tr-ờng hợp I là iđêan phải sinh bởi hai phần tử x1
và x2:

I=x1R+x2R.


Do mỗi iđêan phải xiclic của R là hạng tử trực tiếp của RR nên x1R là hạng
tử trực tiếp của R.

e=e2 R mà x1R=eR. Khi đó x2(1-e) R x2(1-e)R là hạng tử trực
tiếp của R và tồn tại f = f2R mà fR =x2(1-e)R.
Ta có:

x2(1-e)R =x2R-x2eR x2R+eR.

Mặt khác:

x2R+eR =eR+fR.

Thật vậy, do fR=x2(1-e)R
a  R ®Ĩ f=x2(1-e)a

(do 1  R)

=x2a-x2ea  x2R +eR
 fR  x2R +eR
 fR +eR  x2R +eR.

(*)

Còng vì fR = x2(1-e) R nên b R mµ x2(1-e) = fb.
 x2 = x2e + fb  eR + fR
 x2R +eR  eR +fR.

(**)


Tõ (*) vµ (**) ta cã : x2R +eR =eR + fR.
Do f = x2(1-e)a

 ef = x2(1-e)ea = x2ea-x2e2a = x2ea-x2ea = 0.
 (f+e-fe)2=(f+e-fe).


15

Vậy (f+ e- fe)R là hạng tử trực tiếp của RR mà eR +f R = (f+e-fe)R (do
ef =0) nên:
I = x1R +x2R = Re +x2R
= eR +fR
= (e +f-fe)R là hạng tử trực tiếp của RR.
Tức là mọi iđêan phải hữu hạn sinh của R là hạng tử trực tiếp của RR .
1.3.5. Định lý. a) ảnh toàn cÊu cđa mét vµnh chÝnh quy lµ chÝnh quy.
b) NÕu R là vành chính quy và e lũy đẳng khác 0 trong R thì eRe là vành
chính quy.
Chứng minh. a) Giả sử f: R R là toàn cấu vành, R lµ vµnh chÝnh
quy. Ta chøng minh R’ cịng lµ vµnh chÝnh quy.
Víi mäi y  R do f toµn cấu nên x R để f(x)=y. Do R là vành chính
quy nên a R để xax=x.
f(xax)=f(x)
 f(x)f(a)f(x)=f(x)
 yf(a)y=y.
nghÜa lµ  f(a)  R’ sao cho yf(a)y = y víi y  R’. Do ®ã R’ là vành chính
quy.
b) Giả sử R là vành chính quy vµ e2=e, e  0.
Ta chøng minh eRe cịng chÝnh quy.

Víi mäi x = eae  eRe  R   b  R sao cho xbx = x (do R chÝnh quy).
 (eae)b(eae) = eae
 eaebeae = eae
 eae2be2ae = eae
 (eae)(eae)(eae) = eae
  y = ebe  eRe ®Ĩ xyx = x víi x  eRe.


16

Vậy eRe là vành chính quy.
1.3.6. Định lý. Vành th-ơng của vành chính quy là vành chính quy.
Chứng minh. Giả sử R là vành chính quy, L R. Ta chøng minh R L
chÝnh quy.
LÊy bÊt kú a + L  R L  a  R. Do R chÝnh quy nªn  x  R sao cho
axa = a  (a +L)(x+L)(a+L) = axa + L = a+ L   x + L  R L .
VËy R L là chính quy.
1.3.7. Định lý. Vành giáo hoán là chính quy nếu và chỉ nếu I2 = I đối với mỗi
iđêan I của R.
Chứng minh. +) R là một vành chính quy giao hoán, I là iđêan của R.
Ta chứng minh I2= I.
- I là iđêan của R nên I2 I.
- Ng-ợc lại lấy x I Rx là iđêan hữu hạn sinh tồn tại phần tử lũy
đẳng e R mà

e rx
Rx = Re  
víi r,r,  R.
,
x


r
e

 x = r’e = re2 = re.rx = xrx.
Do I là iđêan nên rx  I  xrx  I2, mµ x = xrx  x  I2 hay I  I2.
VËy I =I2.
+) Ng-ợc lại mọi iđêan của R mà I = I2. Ta sÏ chøng minh R lµ chÝnh quy.
LÊy x  R I = Rx là iđêan của R mà I = I2  Rx =Rx.Rx
 x = ax.bx víi a, b nào đó thuộc R.
Mà R giao hoán nên ax.bx = xabx.
VËy x  R ,  y=ab  R mà xyx=x R chính quy.
1.3.8. Định lý. Đối với vành chính quy R, các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng:


17

(1) R là nửa đơn.
(2) R là Noether phải.
(3) R là Noether trái.
(4) R là Artin phải.
(5) R là Artin trái.
Chứng minh. (1) (2), (3), (4), (5).
Giả sử R là nửa đơn, khi đó R = I i với Ii là iđêan đơn trong R
i
n

Ta có:

mi ; mi  I i

1R 1= 
i 1
n

Ii .
R= 
i 1

VËy R là iđêan, Noether có (2), (3), (4), (5).
(2) (1): Giả sử RR là Noether, I là iđêan của R I là hữu hạn sinh.
Do R là vành chính quy mỗi iđêan phải hữu hạn sinh là hạng tử trực
tiếp của R, do đó I là hạng tử trực tiếp của R R là nửa đơn.
(3) (1): T-ơng tự.
(4) (1): Giả sử R là Artin phải, khi đó R có iđêan phải đơn I1, I1 đơn
nên lấy 0 a I thì I1=aR.
Do R là vành chính quy nên I1 là hạng tử trực tiếp của R. Giả sử RR=I1X1
với X1 là iđêan phải nào đó của R. Ta lại có X1 là Artin.
Quá trình này tiếp tục và ta có iđêan phải đơn I2 sao cho X1 = I2 X2.
Quá trình này phải dừng lại sau hữu hạn b-ớc do R lµ Artin.
Suy ra

R = I1  I2  …… In.

Với Ii đơn R là nửa đơn.
(5) (1): T-ơng tự.
Vậy định lý đà chứng minh xong.


18


Ch-ơng 2

MÔ ĐUN Gần nửa đơn
2.1. Sự liên hệ giữa môđun gần nửa đơn với vành tự đồng cấu
của nó.
Trong mục này ta nghiên cứu các tính chất của vành các tự đồng cấu của
môđun gần nửa đơn.
2.1.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun.
EndR(M)= đồng cấu R-môđun M M .
Khi đó EndR(M) lập thành một vành với phép toán:
Phép cộng: ( f  g)(x)  f (x)  g(x)
 Phép nhân ( fg)(x)  f (g(x))
với  f, g  End( M) ,  x  M.
E= EndR(M) đ-ợc gọi là vành các tự đồng cấu của môđun M .
2.1.2. Định nghĩa. Cho R là một vành. Ta gọi môđun M trên R là gần nửa đơn
nếu Imf và Kerf đều là hạng tử trực tiếp của M víi mäi f  EndR(M).
ë phÇn 2.2 chóng ta sÏ chỉ ra một số ví dụ về môđun gần nửa đơn.
2.1.3. Mệnh đề. Với giả thiết M là R-môđun gần nửa đơn, với vành các tự
đồng cấu E và f, g E. Khi đó tồn tại s E sao cho:
f=sg  kerg  kerf.
Nãi c¸ch kh¸c

Ef  Eg kerg kerf.

Trong tr-ờng hợp đó, nếu g lũy đẳng có thể lấy s=f.
Chứng minh. +) Nếu f=sg thì râ rµng kerg  kerf.


19


+Ng-ợc lại với giả thiết kerg kerf. Khi đó ta lập ánh xạ s: Img M
xác định nh- sau:
Với mỗi y Img, tồn tại x M sao cho g(x)=y.
Do kerg là hạng tử trực tiếp của M (do M nửa đơn) nên có thể viết:
x = xkerg + xB
trong ®ã: xkerg  kerg, xB  B là bù trực tiếp của kerg trong M.
Ta đặt s(y)=f(xB).
Chú ý r»ng cã thĨ cã nhiỊu x  M sao cho g(x)=y, tuy nhiên xB là duy
nhất. Vì giả sử  x’ M mµ g(x’)=y, x’=x’kerg+x’B mµ xB  x’B  xBx’B  0
Do x’ =x’kerg+x’B  g(x’)=g(x’kerg)+g(x’B)=0+g(x’B)=y
 g(x’)-g(x’B)= 0
 x’-x’B  kerg.
x-xB  kerg.

T-¬ng tù

 g(x’-x’B)- g(x-xB) = 0.
g(x’)- g(x) +g(xB)-g(x’B)=0

Hay

 y-y +g(xB -x’B)=0
 g(xB -x’B)=0
 0  xB -x’B  kerg.
Mµ xB  B; x’B B  xB - x’B  B  Bkerg   . Tr¸i víi B lµ bï trùc
tiÕp cđa kerg trong M. VËy cã thĨ cã nhiỊu x  M sao cho g(x) = y, tuy nhiên
xB là duy nhất.
Rõ ràng s Hom (Img, M).
LÊy s  E sao cho s


Im g

 s , ta cã:

x  M: sg(x)=s(y)=s’(y)=f(xB)=f(x).


20

Vì kerg kergf. Nghĩa là f=sg.
Trong tr-ờng hợp đó nếu g lũy đẳng thì fg=sg2=sg=f.
2.1.4. Hệ quả. M là R-môđun gần nửa đơn, với vành các tự đồng cÊu E, ta cã:
(1) NÕu f, g  E th× Ef = Eg kerf = kerg.
(2) Các lũy đẳng sinh cùng một iđêan trái chính tạo thành nửa nhóm con
của nửa nhóm nhân của vành E, bất kỳ hai phần tử nào của nửa nhóm con đó
cũng ng-ợc nhau.
(3) Mỗi iđêan trái chính của E đều sinh bởi một lũy đẳng do đó E là vành
chính quy.
Chứng minh. 1) Hiển nhiên.
2) Nếu f, g là các lũy đẳng sinh cùng một iđêan trái chính nghĩa là
Ef=Eg, khi đó bởi MƯnh ®Ị 2.1.3 ta cã: f = fg, g = gf.
Nghĩa là tích hai lũy đẳng là một lũy đẳng sinh cùng một iđêan trái
chính.
Vậy các lũy đẳng sinh cùng một iđêan trái chính tạo thành nửa nhóm con
của nửa nhóm nhân của vành E.
Lấy hai lũy đẳng tuỳ ý thuộc nửa nhóm con các lũy đẳng sinh cùng một
iđêan trái chính là f và g.
Ta có:

f = fg và g = gf.


Suy ra: gfg =gf = g vµ fgf = fg = f nghÜa lµ f vµ g lµ hai phần tử ng-ợc
nhau.
3) Giả thiết Ef là iđêan trái chÝnh cđa E, ta chøng minh Ef = Ee víi e lũy
đẳng.
Gọi B là bù của kerf trong M. Gọi e là phép chiếu của M lên B, ta có:
e2=e E và kere = kerf.
Theo (1) Hệ quả 2.1.4 ta đ-ợc:

Ef = Ee với e2 = e.

+) Chứng minh E lµ vµnh chÝnh quy.


21

Víi  f  E ta chøng minh  g E để fgf = f.
Vì Ef = Ee với e2 = e nên theo Mệnh đề 2.1.3 ta có f = fe.
Mặt khác, vì Ef = Ee nên g  E ®Ĩ gf = e  fgf = fe =f víi  f  E.
VËy E lµ vµnh chính quy.
2.1.5. Mệnh đề. Giả thiết M là một R-môđun gần nửa đơn với vành tự đồng
cấu E và f, g E. Khi đó s E thoả m·n:
f = gs  Imf  Img.
Nãi c¸ch kh¸c

fE  gE Imf Img.

Trong tr-ờng hợp đó nếu g là lũy đẳng có thể lấy s = f.
Chứng minh: +) Nếu f = gs thì rõ ràng Img Img.
+) Ng-ợc lại Imf Img ta chứng minh fE gE.

Ta xác định ánh xạ u: Imf M nh- sau: với mỗi y Imf, x M
sao cho f(x) = y.
Do Imf  Img nªn  t  M sao cho g(t) = y.
Do M là R-môđun gần nửa đơn nên kerg là hạng tử trực tiếp của M, và
nh- vậy t = tkerg + tB., trong đó: tkerg  kerg, tB  B lµ bï cđa kerg trong M.
T-ơng tự nh- chứng minh ở Mệnh đề 2.1.3, râ rµng cã nhiỊu t  M sao
cho g(t) = y nh-ng chúng có chung tB.
Đặt u(y)=tB. Thấy ngay u  Hom(Imf,M). Gi¶ thiÕt uE sao cho

u

Im f

 u , và đặt s = uf .

Ta có: x M, gs(x)=guf(x)=gu(y)=gu(y)= g(tB)=g(t)=y=f(x) nghĩa là
f=gs hay fE E.
Khi đó nếu g là lũy đẳng thì gf=g2s=gs=f.
Nghĩa là nếu g lũy đẳng thì gf =f. Hay ta có thể lấy s=f. º


22

2.1.6. Hệ quả. M là R-môđun gần nửa đơn, E là vành các tự đồng cấu của
môđun M.
1) Nếu f, g  E th× fE =gE  Imf = Img.
2) Các lũy đẳng sinh cùng một iđêan phải chính tạo nên nửa nhóm con
của nửa nhóm nhân vành E. Hai phần tử bất kỳ của nửa nhóm con đó bao giờ
cũng ng-ợc nhau.
Chứng minh. T-ơng tự Hệ quả 2.1.4.

2.1.7. Bổ đề. Giả sử E là vành các tự đồng cấu của môđun M, nếu f là lũy
đẳng của E thì M = Imf  kerf.
Chøng minh. +)Víi x  M thì ta có x = x-f(x)+f(x) mà f(x) Imf.
Còn x-f(x) kerf vì f(x-f(x))=f(x)-f2(x)=f(x)-f(x)=0 (do f lũy đẳng).
Vậy

x
f ( x)  ( x  f ( x)) .

Im f

 Kerf

Hay mỗi phần tử của M đều biểu diễn đ-ợc thành tổng của một phần tử
thuộc Imf và một phần tư thc kerf.
+) B©y giê ta chøng minh Imf  kerf = 0.
 x  Im f

BÊt kú x  Imf  kerf  

 x  ker f

.

V× x kerf nên f(x)=0.
Vì x Imf nên x  M mµ f(x’)=x. Suy ra f(f(x’))=f(x)  f2(x’)= f(x)
 f(x’)=f(x)  x=f(x).
 x= 0. VËy Imf  kerf = 0.
Suy ra M = Imf  kerf víi f  E; f lũy đẳng.
2.1.8. Định lý. Một R-môđun M là môđun gần nửa đơn khi và chỉ khi

E=EndR(M) là vành chÝnh quy.


23

Chứng minh. +) M là R-môđun gần nửa đơn E chính quy. (Theo (3)
của Hệ quả 2.1.4).
+) Ng-ợc lại, E là chính quy R-môđun M gần nửa đơn.
Để chứng minh M là môđun gần nửa đơn ta chứng minh Imf và kerf đều
là hạng tử trực tiếp của M với mọi f E.
Thật vậy, vì E là vành chính quy, nên với mọi f E tồn t¹i g  E sao cho
fgf=f.
(gf)2 =(gf)(gf) = g(fgf) = gf

Khi đó:

(fg)2 =(fg)(fg) = (fgf)f = fg
do đó gf và fg là những lũy đẳng của E. Theo Bổ đề 2.1.7 ta cã:
M= Imfg  kerfg = Img  kerfg.
Do fgf = f nên Egf = Ef và fgE = fE. Theo (1) của Hệ quả 2.1.4 và (1) của
Hệ quả 2.1.6 suy ra
kergf = kerf và Imfg = Imf.
Mà kergf và Imfg là hạng tử trực tiếp của M. Do đó kerf và Imf cũng là
hạng tử trực tiếp của M hay M là R-môđun gần nửa đơn.
2.1.9. Bổ đề. Giả sử R là một vành, khi đó nếu R là vành chính quy (Von
Neumann) thì R là vành không suy biến.
Chứng minh. Bất kỳ x Z(R) thì x R và Ix = 0 với I e R.
Vì R chính quy nên tồn tại x’  R sao cho xx’x=x. LÊy y  Rxx’I thì
y=axx và y I (a R). Suy ra yx=axxx=ax, mà yx=0, do y I nên suy ra
ax=0 suy ra y=axx=0. Từ đó ta có RxxI = 0 mà I e R.

Suy ra

Rxx=0 do đó xx = 0 (vì 1  R)  x = xx’x = 0.

VËy Z (R) = 0 hay R không suy biến.
2.1.10. Định lý. Vành các tự đồng cấu của một môđun gần nửa đơn là vành
không suy biến.


24

Chứng minh. Với M là R-môđun gần nửa đơn nên vành các tự đồng cấu
E=EndR(M) là vành chính quy.
Theo Bổ đề 2.1.9, E chính quy thì E không suy biến.

2.2. Một số ví dụ về môđun gần nửa đơn.
Chúng ta nhắc lại khái niệm môđun nửa đơn và môđun gần nửa đơn.
2.2.1. Định nghĩa. Cho R là vành với đơn vị là 1.
Ta gọi R-môđun M là môđun nửa đơn nếu mọi môđun con của M đều là
hạng tử trực tiếp của M.
2.2.2. Định nghĩa. Cho R là vành với đơn vị là 1; E = EndR(M) là vành các tự
đồng cấu của R-môđun M.
Ta gọi R-môđun M là gần nửa đơn nếu Imf và kerf đều là hạng tử trực
tiếp của M với mọi f E.
Từ định nghĩa ta thấy ngay R-môđun M là nửa đơn thì cũng là môđun gần
nửa đơn. Nh-ng ng-ợc lại, có những môđun M là gần nửa đơn nh-ng không là
môđun nửa đơn.
2.2.3. Bổ đề. Nếu e là phần tử lũy đẳng khác 0 của một vành. Khi đó ánh xạ:

: eRe EndR(eR)

xác định bởi (ere) = fr, trong đó fr EndR(eR)
fr: eR eR
ea erea
là một đẳng cấu vành.
Chứng minh. Mỗi ere eRe ta xác định

fr: eR  eR
ea  erea.

DƠ kiĨm tra fr lµ mét đồng cấu R-môđun tức là fr EndR(eR). Khi đó

: eRe  EndR(eR)
ere  fr .


25

Ta kiểm tra đ-ợc là đồng cấu vành và
ker = ere fr = 0  = ere erea = 0  a  R = ere ere = 0 = 0.
Suy ra đơn cấu.
Mặt khác lấy EndR(eR). Khi đó:
(e) = er eR

thế thì (ea) =  (eea) =  (e)ea = erea.

Nh- vËy có fr EndR(eR) mà fR = do đó toàn cấu.
Vậy đẳng cấu. Hay eRe EndR(eR).
2.2.4. Ví dụ.
(1) Cho R là vành chính quy. Thì R là một môđun gần nửa đơn trên chính
nó.

Chứng minh. Dễ dàng thấy, nếu e2 = e R thì eR là R-môđun phải.
áp dụng Bổ đề 2.2.3 ta có:
eRe EndR(eR).
Lấy e=1 thì ta đ-ợc R EndR(RR) mà R là vành chính quy nên EndR(RR)
cũng là vành chính quy. Từ đó theo Định lý 2.1.8 thì R là môđun gần nửa đơn
trên chính nó.
(2) Một không gian vectơ trên một thể là môđun gần nửa đơn.
Chứng minh. Giả sử M là không gian vectơ trên thể R. Gọi E=EndRM. Ta
sÏ chøng minh E lµ vµnh chÝnh quy.
Tr-íc hÕt ta có Bổ đề:
Giả sử V và W là hai không gian vectơ trên thể K và f: V W là ánh xạ
tuyến tính.
- Nếu f đơn cấu thì  h: W V sao cho hf =1V.
- NÕu f toàn cấu thì k: W V sao cho fk = 1V.
- Bây giờ ta lấy f E và ®Ỉt M  M ker f .

M

f

M

M