-1-

MỤC LỤC
Trang
Mục lục……………………………………………………………...

1

Mở đầu………………………………………………………………

3

Chƣơng I. Biểu diễn số trong hệ cơ số đếm thập phân…………

5

1.1. Biểu diến số trong hệ cơ số đếm thập phân……………………

5

1.1.1. Khái niệm hệ đếm……………………………………

5

1.1.2. Hệ đếm thập phân……………………………………

5

1.1.3. Hàm S(n) .......................................................................

6

1.1.4. Mệnh đề ....................................................................

6

1.1.5. Hàm T(s) ..................................................................

8

1.2. Một số bài toán giải bằng phương pháp biểu diễn số trong hệ
cơ số đếm thập phân .................................................................

8

Chƣơng II. Biểu diến số trong các hệ đếm ngoài hệ thập phân … 19
2.1. Biểu diễn số trong các hệ đếm không phải là hệ thập phân…

2.2

19

2.1.1.

Hệ đếm La mã ………………………………………

19

2.1.2.

Hệ đếm cơ số 60……………………………………


19

2.1.3.

Hệ đếm cơ số 5………………………………………

19

2.1.4.

Hệ đếm cơ số 20……………………………………

20

2.1.5.

Hệ đếm cơ số 12……………………………………

20

2.1.6.

Hệ đếm cơ số 2………………………………………

20

2.1.7.

Hệ đếm cơ số 8………………………………………


21

2.1.8.

Hệ đếm cơ số 16……………………………………

21

2.1.9.

Hệ đếm cơ số 24……………………………………

21

2.1.10. Hệ đếm cơ số 30……………………………………

21

2.1.11. Hệ đếm cơ số 3………………………………………

21

2.1.12. Hệ đếm cơ số 7…………….....................................

22

Hệ đếm với cơ số bất kì………………………………………

22



-2-

2.2.1. Định nghĩa .……………………………………….......

22

2.2.2. Định lý 1.…………………………………….............

23

2.2.3. Định lý 2 ..................................................................

23

2.2.4. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số 10 sang
hệ đếm cơ số k ..........................................................

24

2.2.5. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số k sang
hệ đếm cơ số 10 ..........................................................
2.2.6. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số
hệ đếm cơ số

25

sang


.……………………………………

25

2.3. Một số bài toán giải bằng phương pháp biểu diễn số trong hệ
đếm không phải là thập phân…………………………………
2.4. Ứng dụng của hệ đếm trong máy tính…………………………

26
30

2.4.1. Sử dụng máy tính để đổi biểu diễn của một số từ hệ
đếm cơ số

sang hệ đếm cơ số

…………………..

30

2.4.2. Sử dụng phần mềm Maple để chuyển đổi biểu diễn
của một số ................................................................
2.5. Sử dụng lí thuyết hệ đếm để giải một số bài toán thi quốc tế…

32
35

Kết luận …………………………………………………………….. 41
Tài liệu tham khảo…………………………………………………


42


-3-

MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, hệ đếm là lí thuyết toán học đầu tiên xuất
hiện do nhu cầu thực tiễn của cuộc sống, được hình thành và phát triển
cùng với sự phát triển của văn minh nhân loại. Trong cuộc sống chúng ta
luôn phải sử dụng hệ cơ số 10 để tính. Hệ đếm cơ số 2, cùng với các hệ
đếm cơ số 10, cơ số 8,…là cơ sở làm việc của máy tính. Lí thuyết hệ
đếm cịn liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của tốn học: lí thuyết chia
hết, tốn rời rạc, phương trình nghiệm ngun và phương trình hàm, qui
nạp tốn học, các bài tốn trị chơi…
Mặc dù hệ đếm đóng vai trị rất quan trọng trong cuộc sống hằng
ngày của con người, song những kiến thức về hệ đếm cịn ít được quan
tâm giảng dạy trong các bậc học phổ thơng. Vì vậy, phần lớn trong mỗi
chúng ta có thể sử dụng thành thạo những cơng cụ có ứng dụng của hệ
đếm (máy tính, máy ảnh kỹ thuật số, máy nghe nhạc, điện thoại dy
động…) nhưng lại khơng có những kiến thức sơ đẳng về hệ đếm. Chẳng
hạn, khá nhiều học sinh trung học phổ thơng đều biết sử dụng máy tính
để thực hành các phép tính (khơng chỉ các phép tốn số học, mà cả các
phép tốn phức tạp) nhưng họ gần như hồn tồn khơng có hiểu biết nào
về cơ chế thực hiện các tính tốn trên máy tính. Những kiến thức về hệ
đếm sẽ cho ta nhìn nhận được những ứng dụng sâu sắc của tốn học
trong cuộc sống hiện đại. Chính vì vậy, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu
là: “Biểu diễn các số nguyên dƣơng trong các hệ cơ số đếm khác
nhau và ứng dụng”. Đây là một mảng đề tài mà ở nhà trường phổ thơng
cịn ít được đề cập đến, nên việc tìm hiểu sâu, việc tìm kiếm tài liệu cịn
gặp khó khăn, trong khi đó u cầu bồi dưỡng học sinh giỏi lại hết sức

cần thiết. Vì vậy, trong luận văn này tác giả sẽ dùng công cụ biểu diễn số
để giải quyết một số lớp các bài tốn.
Luận văn được trình bày trong hai chương, ngồi phần mở đầu, kết
luận và danh mục tài liệu tham khảo.


-4-

Chƣơng 1. Biểu diễn số trong hệ cơ số đếm thập phân
Trong chương này chúng tơi trình bày một cách hệ thống các kiến
thức cơ bản của hệ thập phân; một số tính chất của các hàm số số học
S(n), T(n) liên quan đến biểu diễn số tự nhiên n và các bài tốn có sử
dụng biểu diễn số trong hệ thập phân.
Chƣơng 2. Biểu diễn số trong các hệ đếm ngồi hệ thập phân
Trong chương này chúng tơi trình bày về lí thuyết biểu diễn số
trong các hệ đếm không phải là hệ thập phân; chuyển đổi biểu diễn của
một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ đếm cơ số khác; một số cách giải bài
toán sự dụng cách biểu diễn số trong các hệ đếm không phải là thập
phân; giới thiệu một số đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có ứng
dụng hệ đếm; dùng máy tính để chuyển đổi biểu diễn của một số qua các
hệ đếm cơ số khác nhau.


-5-

CHƢƠNG 1
BIỂU DIỄN SỐ TRONG HỆ CƠ SỐ ĐẾM THẬP PHÂN

1.1. Biễu diễn số trong hệ thập phân
1.1.1. Khái niệm hệ đếm

Hệ đếm là tập hợp các kí hiệu và qui tắc sử dụng các kí hiệu đó để
biểu diễn và xác định giá trị các số. Mỗi hệ đếm có một số kí số (digits)
hữu hạn. Tổng số các kí số của mỗi hệ đếm được gọi là cơ số (base hay
radix). Hệ đếm thập phân là một trong những hệ đếm phổ biến nhất.
1.1.2. Hệ đếm thập phân
Hệ thập phân (hay hệ đếm cơ số 10) là một hệ đếm có 10 ký tự
dùng chỉ số lượng. Hệ đếm này được dùng rộng rãi trên thế giới. Nguồn
gốc của nó có thể bắt nguồn từ cơ cấu sinh học của con người, vì mỗi
người có 10 ngón tay.
Hệ thập phân là một trong những phát minh của người Ảrập cổ, bao
gồm 10 kí số theo kí hiệu sau:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Qui tắc tính giá trị của hệ đếm này là mỗi đơn vị ở một hàng bất kì
có giá trị bằng 10 đơn vị của hàng kế cận bên phải. Số nguyên dương
trong hệ thập phân có thể viết như là một tổng các chuỗi các kí số thập
phân của 10 lũy thừa. Trong đó số mũ lũy thừa được tăng thêm 1 đơn vị
kể từ số mũ lũy thừa phía bên phải của nó. Số mũ lũy thừa của hàng đơn
vị trong hệ thập phân là 0.
Ví dụ: Số 5246 có thể được thể hiện như sau:
5246 =5. 103 +2.102 +4.101 +6.100
Như vậy, trong số 5246 có:
Kí số 6 trong số nguyên đại diện cho giá trị 6 đơn vị.
Kí số 4 trong số nguyên đại diện cho giá trị 4 chục.
Kí số 2 trong số nguyên đại diện cho giá trị 2 trăm.


-6-

Kí số 5 trong số nguyên đại diện cho giá trị 5 ngàn.
Nghĩa là: số lũy thừa của 10 tăng dần từ phải sang trái tương ứng với

vị trí kí hiệu số.
Mỗi kí số ở vị trí khác nhau trong số sẽ có giá trị khác nhau ta gọi là
giá trị vị trí.
1.1.3. Hàm S(n). Cho n là số nguyên dương. Ta gọi
chữ số của

là tổng các

(viết trong hệ thập phân).

Sau đây là vài tính chất đơn giản của hàm
1.1.4. Mệnh đề. Cho m, n là các số nguyên dương, ta có:

1) S (n)  n(mod9).
2) 0  S (n)  n .
3) S (n)  n  1  n  9.
4) S (m  n)  S (m)  S (n).
5) S (mn)  S (m)S (n).
Chứng minh:
1) Giả sử trong hệ thập phân n có biểu diễn: (ak ak 1

n  ak 10k  ak 110k 1 

 a110  a0 , S (n)  ak  ak 1 

Do đó: n  S (n)  ak (10k  1)  ak 1 (10k 1  1) 
Bởi vì 10i  1  9(10i1 

a1a0 ) khi đó:


 a1  a0

 a1 (10  1).

 10  1) chia hết cho 9 cho nên n  S (n) chia

hết cho 9 hay S (n)  n(mod9) .
2) Do n > 0 nên ak > 0 , từ đó S (n)  ak  ak 1 

 a1  a0  0.

Ngoài ra:

S (n)  ak  ak 1 

 a1  a0  ak 10k  ak 110k 1 

 a110  a0  n .

3) Ta có theo 2) S (n)  n , và
S (n)  n  ak  ak 1  ...  a1  0  n  a0 0,1,...,9.

4) Giả sử trong hệ thập phân, n và m có biểu diễn:


-7-

(ak ak 1

a1a0 ) ;


(bs bs 1

b1b0 ) .

Không mất tính tổng quát, giả sử n  m hay k  s , khi đó ta có
thể viết:

n  m  ak 10k  ak 110k 1 

 (as  bs )10s 

 (a1  b1 )10  (a0  b0 )

Nếu a0  b0 là một chữ số thập phân thì c0  a0  b0 là số hạng
đầu tiên của n + m. Trong trường hợp ngược lại, sẽ tồn tại chữ số
thập phân c0 sao cho a0  b0  10  c0 , do đó trong trường hợp này ta
có: n  m  ak 10k  ak 110k 1 

 (as  bs )10s 

 (a1  b1  1)10  c0 .

Lý luận tương tự đối với các ký số cịn lại, ta có:

S (n)  S (m)  (ak  ak 1 

 a1  a0 )  (bs  bs 1 

 ak 


 as 1  (as  bs ) 

 (a1  b1 )  (a0  b0 )

 ak 

 as 1  (as  bs ) 

 (a1  b1  1)  c0

 b1  b0 )

 ...  S (n  m).
5) Giả sử trong hệ thập phân, n và m có biểu
diễn: (ak ak 1

a1a0 ) ; (bs bs 1

b1b0 ) . Khi đó:

nm  n(bk 10k  bk 110k 1 
 nbk 10k  nbk 110k 1 

 b110  b0 )
 nb110  nb0 .

Do đó:

S (nm)  S (nbk 10k  nbk 110k 1 

 S (nbk 10k )  S (nbk 110k 1 ) 
 S (nbk )  S (nbk 1 ) 
bk

bk 1

1

1

 S ( n)   S ( n) 

 S (nb110)  S (nb0 )

 S (nb1 )  S (nb0 )
b1

b0

1

1

  S ( n)   S ( n)

 bk S (n)  bk 1 S (n) 
 S (n)(bk  bk 1 

 nb110  nb0 )


 b1 S (n)  b0 S (n)

 b1  b0 )

 S (n) S (m).
Như vậy, mệnh đề 1.1.4 được hoàn toàn chứng minh. ■

.


-8-

1.1.5. Hàm T(n). Cho

số nguyên dương. Từ

ta tạo thành các số mới

bằng cách xố đi vài lần (ít nhất 1 lần) chữ số tận cùng bên phải. Khi đó
ta gọi số mới này là gốc của số . Đặt

là tổng tất cả các gốc của .

1.2. Một số bài toán giải bằng phƣơng pháp
biểu diễn số trong hệ cơ số đếm thập phân
Bài toán 1: Cho các số tự nhiên n và k thoả mãn các điều kiện: n  ab
với a  b  10, và số thập phân (hữu hạn hay vô hạn)

k
 0, a1 , a 2 , a3 ,... có

n

mọi chữ số ai i  1,2,3,... đều khác 0. Khi đó, hai chữ số thập phân kề
nhau bất kì ai , ai 1 khơng thể bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử

k
 0, a1 , a 2 , a3 ,... trong đó ai  0  i  1, 2, 3,... Ta có:
n

n  ab  10a  b  1010  b  b  100  9b

(1)

Giả sử trái lại điều khẳng định của bài toán không đúng, tức là tồn
tại hai chữ số thập phân kề nhau bằng nhau.
Chỉ có hai khả năng xảy ra:
1) Nếu a1  a2  c  0. Khi đó:
100k
 cc, a3 a 4 ...
n

(2)

Từ đó ta có (do c  0 ):
11c 

11c  1n
100k
11cn

 11c  1 
k
n
100
100

(3)

Từ (1) suy ra:
11cn  11c100  9b  100c11  b  bc

(4)

Do đó: 11c  1n  100c11  b  bc  100  9b  100c11  b  100  b9  c
suy ra:

11c  1n  100c11  b  100, vì 0  b, c  9
Thay (4) và (5) vào (2) ta có:

(5)


-9-

c11  b  

Do 0 

bc
 k  c11  b   1

100

(6)

bc
 1 nên từ (6) suy ra điều vơ lí vì k là số ngun dương nên
100


không thể nằm trong đoạn c11  b  
; c11  b   1 có độ dài nhỏ
100


bc

hơn 1. Vậy suy ra mâu thuẫn, tức là a1  a2 .
2) Nếu tồn tại chữ số i  1 mà ai  ai 1 . Khi đó ta có:
k.10 i 1
 a1 a 2 ...ai 1 , ai ai 1 ...
n

Đặt h  k.10i 1  na1a2 ...ai 1 , thì

(7)

h
 0, ai ai 1 ... với số tự nhiên h  0, h  1.
n


Áp dụng kết quả phần 1) suy ra ai  ai 1 .
Như vậy trong mọi trường hợp giả thiết phản chứng đều sai. ■
Bài toán 2: Xác định tất cả các số nguyên dương n sao cho khi n được
viết trong hệ thập phân, thì n lớn hơn tổng các bình phương những chữ
số của nó một đơn vị.
Giải: Giả sử trong hệ thập phân n có biểu diễn dưới dạng sau:
n  ak ak 1 ...a1a0 , ở đây a i nguyên và 0  ai  9, j  1, k . Như vậy:

n  a0  10a1  10 2 a2  ....10 k 1 ak 1  10 k ak .

(1)

Theo giả thiết ta có:
1  a02  a12  ...  ak21  ak2  a0  10a1  10 2 a2  ...  10 k ak

(2)

suy ra: 1  a0 a0  1  a1 a1  10  a2 a2  100  ...  ak ak  10 k   0
hay:





a1 a1  10  a2 a2  100  ...ak ak  10 k  1  a0 a0  1

(3)

Do 0  a0  9 nên  1  a0 a0  1  1  9.8  73 . Như vậy từ (3) suy ra:


(4)
Do 0  ai  9 i  1, k , nên ta có:


-10-

a1 a1  10  9a1

(5)

Từ (5) suy ra a2  a3  a4  ...  ak  0 . Thật vậy, nếu a j  0 ta có:

a j  10 j  9  10 j  9  102  91.

(6)

Vì thế nếu a2  a3  a4  ...  ak  0 không xảy ra thì vế trái của (4)  91 .
Điều này mâu thuẫn với (5). Như vậy từ (3) đi đến:
a1 a1  10  1  a0 a0  1  a0 a0  1  1  a1 10  a1 

(7)

Cho a 0 nhận các giá trị từ 0 đến 9 thì vế trái của (7) nhận các giá trị
tương ứng là 1, 0, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73
Tương tự cho a1 các giá trị từ 0 đến 9 thì vế trái của (7) nhận các giá
trị tương ứng là 0, 9, 16, 21, 24, 25, 24, 21, 16, 9, 0
Từ đó: a0 a0  1  1  a1 10  a1   21, do đó a0  5 cịn a1  3 hoặc

a1  7. Vậy n  35 hoặc n  75 .
2

2
Thử lại ta có: 35  32  52  1; 75  7  5  1

Vậy có hai số nguyên dương n thoả mãn yêu cầu đầu bài, đó là

n  35 hoặc n  75 . ■
Bài tốn 3: Tìm số tự nhiên n sao cho n  S n  2003, ở đây S n  chỉ
tổng các chữ số của số tự nhiên n .
Giải: Từ n  S n  2003 ta có n  2003  S n, suy ra:

n  2002

(1)

Chú ý rằng trong các số khơng vượt q 2002 thì số 1999 có tổng
các chữ số lớn nhất. Từ đó suy ra:

Vì

, nên thay vào (1) ta có:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
(3)
Rõ ràng

Vậy:



-11-

khơng thoả mãn hệ thức:

Từ

đó suy ra:
(4)
Do vậy, có thể biểu diễn n dưới dạng:

, với

và

Lúc này:

.

Do b là số nguyên nên:

Do

Khi

nguyên không âm và không vượt quá 9 nên ta có hệ sau:

, ta c ó
.■

Vậy số tự nhiên phải tìm là số

Bài tốn 4: Đặt a= S
kí hiệu là tổng các chữ số của

, ở đây qua
trong hệ đếm thập phân. Chứng minh

rằng

Chứng minh: Đặt
Vậy

, thì

là một số có khơng q 5997 chữ số. Do

là số lớn nhất

có 5997 chữ số, từ đó suy ra:
Như vậy, ta có:
(1)


-12-

Trong các số không vượt quá 53973 số 49999 là số có tổng các
chữ số lớn nhất. Vì thế từ (1) suy ra

Do

vậy:


(2)

Trong các số khơng vượt q 40 thì số 39 là số có tổng các chữ số
lớn nhất, nên kết hợp với (2) ta đi đến

Đến

đây ta thu được đánh giá:

(3)

Mặt khác ta có:
Dựa vào tính chất hiển nhiên:
;

và

do

suy ra:
(4)
Bây giờ từ (3) và (4) suy ra

■

Bài toán 5: Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp bất kì, có ít
nhất một số biểu diễn được dưới dạng

, với


là một số tự nhiên

nào đó.
Chứng minh: Với

ta đặt:

Ta có các nhận xét sau đây:
1) Nếu

tận cùng bằng 9 thì

Thật vậy, giả sử

trong đó

thì chứng minh hồn tồn tương tự). Khi đó:

Từ đây ta có:

(cịn nếu


-13-

Do

nên
2) Nếu


tận cùng khơng phải bằng 9, thì

Thật vậy, nếu

Khi đó:

với

Từ đó suy ra:
Trở lại bài tốn đang xét. Giả sử

là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2,

và xét hai số tự nhiên liên tiếp
, (tức là

. Chọn

là số lớn nhất sao cho

). Số này bao giờ cũng tồn tại vì ít nhất ta

có:

, và do
Vì

là hữu hạn.


Theo hai nhận xét trên thì hoặc là
. Trong cả hai trường hợp ta đều có:

hoặc là

Theo định nghĩa cách chọn số
Từ

thì:

suy ra hoặc

Chú ý: Ở đây ta xét khi

, cịn nếu

thì

Ứng với cặp

thì

thì điều

hoặc

khẳng định của bài tốn hiển nhiên đúng. Thật vậy, nếu
Ứng với cặp

.■


hoặc

:

Đó chính là lí do chỉ cần xét khi
Bài toán 6: Cho
của

số nguyên dương. Gọi

trong hệ thập phân. Từ

là tổng tất cả các chữ số

ta tạo thành số mới bằng cách xố đi vài

lần (ít nhất 1 lần) chữ số tận cùng bên phải. Khi đó ta gọi số mới này là
gốc của số . Đặt

là tổng tất cả các gốc của . Chứng minh rằng:
.

Chứng minh: Gọi

là chữ số hàng đơn vị của số nguyên dương , với


-14-


Gọi

là số thu được sau khi xoá chữ số

của , tức là:

Ta có:

(1)
Ta sẽ chứng minh cơng thức:
(2)
Bằng quy nạp theo số
- Với

các chữ số của .

, tức là

Từ đó suy

và

ra:

khi

- Giả sử (2) đã đúng khi

có


. Vậy (2) đúng khi

.

chữ số, tức là đúng khi

có

dạng:
- Xét khi

có

chữ số, tức là khi

có dạng:

Từ (1) ta có:
Vì

(3)

là số có

chứ số, nên theo giả thiết quy nạp, thì:
(4)

Thay (4) vào (3) ta có:

(5)

Thay (4) vào (5) ta có:
(6)
Do

ta suy ra:
;
;


-15-

Mặt khác:
.
Do vậy:

(7)

Thay (7) vào (6) và có
Vậy (2) cũng đúng khi

có

hay
chữ số.

Theo ngun lí quy nạp suy ra với mọi số

ngun dương thì:

. ■

Bài tốn 7: Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương
mãn điều kiện sau đây: Với

chữ số tận cùng bên trái

(trong biểu diễn dưới dạng hệ thập phân) của số
Chứng minh: Với số nguyên dương

trong đó

nào thoả

thì bằng

, ta định nghĩa:

là số các chữ số trong biểu diễn thập phân của số

Ta có thể thấy rằng với mọi số nguyên dương

.

, thì:
(1)

Thật vậy, giả sử trong hệ thập phân:
, ở đây
Khi đó ta có:

Rõ ràng


Vậy (1) được chứng minh.
Giả sử

là hai số nguyên dương, ta lại có:
(2)


-16-

Thật vậy, giả sử:

ở đây

là các số thập phân mà phần nguyên có 1 chữ số.

Giả sử:
trong khi đó:

Từ đó ta có với mọi

ngun dương thì:

Vậy (2) đúng.
Giả thiết phản chứng kết luận của bài tốn khơng đúng, tức là tồn
tại số nguyên dương

sao cho với

thì chữ số tận cùng bên


Vì điều đó đúng với mọi

nên ta xét khi nói riêng

trái của

là .
thì điều ấy tất nhiên cũng đúng.

Với
khơng âm,

mà

thì

trong đó

là số nguyên

là số thực sao cho:
và

trong đó

và

là số nguyên không âm.
Thậy vậy, chẳng hạn do chữ số tận cùng bên trái của

nên

có dạng:

Nhận xét được chứng minh.
Ta có:

là ,


-17-

Chú ý rằng ở đây

Từ đó ta có:

cịn

Để ý rằng từ định nghĩa suy ra

chỉ có thể xảy ra

(chưa chắc hẳn đã xảy ra) nếu
theo định nghĩa

Thật vậy nếu

thì

có dạng:

với

Suy ra:

Do đó:

.

Điều đó có nghĩa là nếu

thì chắc chắn

từ:

Vì lí do đó,

suy ra:
.

Theo giả thiết

Do đó:
Theo (2) ta có:

có tận cùng ở bên trái là 1 nên suy ra:

.


-18-


nên từ đó suy ra:

Do

.
Theo giả thiết thì

có số tận cùng bên trái là 4, tức là:

Như vậy, ta gặp mâu thuẫn. Điều đó có nghĩa là giả thiết phản
chứng là sai, tức là khơng tồn tại số ngun dương
thì

có tận cùng bên trái là . ■

sao cho với mọi


-19-

CHƢƠNG 2
BIỂU DIỄN SỐ TRONG CÁC HỆ ĐẾM NGOÀI HỆ THẬP PHÂN

2.1. Biểu diễn số trong các hệ
đếm không phải là hệ thập phân
Ngoài hệ cơ số đếm thập phân, chúng ta cịn có các hệ cơ số đếm
như: hệ đếm La mã, hệ đếm nhị phân, hệ đếm bát phân, hệ đệm thập lục
phân, …
2.1.1. Hệ đếm La mã

Hệ đếm La mã được xem như là hệ đếm có hệ thống đầu tiên của
con người. Hệ đếm La mã sử dụng các kí hiệu ứng với các giá trị như
sau:
Kí số La mã có một số quy tắc:
- Số lần
lên

liên tiếp kế nhau của mỗi kí hiệu thể hiện giá trị kí hiệu tăng

lần. Số lần

chỉ là

hoặc 2 hoặc 3. Riêng kí hiệu

được phép

xuất hiện 4 lần liên tiếp.
Thí dụ:
- Hai kí hiệu đứng cạnh nhau, nếu kí hiệu nhỏ hơn đứng trước thì giá trị
của chúng sẽ là hiệu số của giá trị kí hiệu lớn trừ giá trị kí hiệu nhỏ hơn.
2.1.2. Hệ đếm cơ số 60
Hệ đếm cơ số 60 của người Babilon xuất hiện sớm và cho đến ngày
nay chúng ta vẫn dùng để đo góc và thời gian. Một độ có 60 phút, một
phút có 60 giây,…Để biểu diễn số trong hệ đếm cơ số 60 thì ta phải dùng
60 kí tự. Trong hệ đếm này thì mỗi chữ số đứng bên trái bằng 60 lần chữ
số đứng ngay bên phải nó nếu hai chữ số đó giống nhau.
2.1.3. Hệ đếm cơ số 5
Thời cổ đại các bộ tộc nguyên thủy thường dùng hệ đếm cơ số 5,
nó tương ứng với việc đếm 5 ngón tay. Ở hệ đếm này thì cứ được 5 thì

thêm một nấc. Như vậy trong hệ đếm cơ số 5 thì ta dùng 5 kí tự 0, 1, 2,


-20-

3, 4. Cũng giống như hệ đếm khác mỗi chữ số đứng bên trái bằng 5 lần
chữ số đứng bên trái nó nếu 2 chữ số đó giống nhau. Hiện nay người
Trung Quốc và người Nhật Bản vẫn còn dùng các bàn tính gẩy dựa trên
hệ đếm cơ số 5.
2.1.4. Hệ đếm cơ số 20
Có những dân tộc dùng cả 10 ngón tay và 10 ngón chân để đếm và
được 20 thì họ thêm một nấc. Chính vì vậy mà có hệ đếm cơ số 20. Cho
đến ngày nay ở Đan mạch và Pháp người ta vẫn sử dụng hệ đếm cơ số
20. Ở hệ đếm cơ số 20 ta phải sử dụng 20 chữ số, ngoài các chữ số từ 0
đến 9, người ta còn đưa vào các chữ cái thay cho các giá trị số từ 10 đến
19. Giống như hệ đếm trên thì mỗi chữ số đứng bên trái bằng 20 lần chữ
số đứng bên trái nó nếu 2 chữ số đó giống nhau.
2.1.5. Hệ đếm cơ số 12
Được sử dụng ở nhiều nước trên thế giới và cho đến nay vẫn được
sử dụng nhiều ở Anh. Một thước Anh không phải là 10 tấc Anh mà là 12
tấc Anh. Ngồi ra họ cịn dùng đơn vị “ tá” gồm 12 chiếc, 12 “tá” còn
gọi là một “rá”. Có lẽ người Trung Quốc đã sử dụng Hệ đếm cơ số 12 và
Hệ đếm cơ số 60 ( chu kì của 12 con giáp,…)
2.1.6. Hệ đếm cơ số 2
Hệ đếm cơ số 2 hay hệ đếm nhị phân (binary system, được viết tắt
là Bin trên các máy tính khoa học và máy tính Caculator được cài đặt
trên Window). Khi máy tính điện tử xuất hiện, người ta sử dụng hệ đếm
nhị phân. Đó là hệ đếm chỉ sử dụng hai kí tự là 0 và 1. Mỗi chữ số đứng
bên trái bằng 2 lần chữ số đứng bên phải nó nếu 2 chữ số đó giống nhau.
Việc sử dụng hệ đếm nhị phân với 2 kí tự 0 và 1 rất gần với logic vì

mệnh đề chỉ có thể nhận được một trong 2 giá trị đúng hoặc sai tương
ứng với giá trị 1 hoặc 0. Nó cũng tương ứng với mạch điện chỉ có thể ở
một trong hai trạng thái đóng hoặc mở. Phép đếm nhị phân cùng với
phép toán logic là cơ sở cho hoạt động của máy tính.


-21-

Do chỉ có 2 kí tự nên việc biểu diễn của một số trong hệ đếm cơ số
2 rất dài, vì vậy trong máy tính cịn sử dụng hệ đếm cơ số 8 và cơ số 16,
rất thuận tiện trong việc biểu biễn các số vì 2 là ước của 8 và 16.
2.1.7. Hệ đếm cơ số 8
Hệ đếm cơ số 8 hay hệ bát phân (octal system, được viết tắt là Otc
trên các máy tính khoa học và máy tính Caculator). Đây là hệ đếm sử
dụng 8 kí tự 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Mỗi kí tự đứng bên trái bằng 8 lần kí tự
đứng bên phải nó nếu 2 kí tự đó giống nhau.
2.1.8. Hệ đếm cơ số 16
Hệ đếm cơ số 16 (hexadecimal system, được viết tắt là Hex trên các
máy tính khoa học và máy tính Caculator). Được sử dụng các kí tự từ 0
đến 9 và thêm vào kí tự: A, B, C, D, E, F tương ứng với 10, 11, 12, 13,
14, 15. Như vậy trong hệ đếm này ta sử dụng 16 kí tự: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Mỗi kí tự đứng bên trái bằng 16 lần kí tự đứng
bên phải nó nếu 2 kí tự đó giống nhau.
Thực ra thì hệ đêm cơ số 16 cũng được sử dụng ở Trung Quốc từ
xưa, vì thời trước một cân của Trung Quốc có tới 16 lạng ( bên tám lạng
bên nửa cân, bằng nhau).
2.1.9. Hệ đếm cơ số 24 đếm số giờ trong 1 ngày
2.1.10. Hệ đếm cơ số 30 đếm số ngày trong 1 tháng
2.1.11. Hệ đếm cơ số 3 ( hệ tam phân) gồm 3 chữ số 0,1,2 hay 0, 1, -1.
Hệ đếm cơ số 3 dùng để đếm số tháng trong q. Có dân tộc đã dùng hệ

đếm cơ số 3 trong thời gian dài. Những số lớn hơn 3 họ dùng từ vài hoặc
nhiều. Do tính chất đối xứng nên hệ đếm cơ số 3 có nhiều tính chất thú
vị và tiện dụng trong nghiên cứu, vì vậy ở một số phịng thí nghiệm đặc
biệt người ta sử dụng máy tính mà thiết kế dựa trên cơ số 3. Tuy nhiên
loại máy tính này ít được sử dụng rộng rãi.


-22-

2.1.12. Hệ đếm cơ số 7 đếm số ngày trong tuần
Như vậy, có thể khái quát rằng: chúng ta có thể đếm hoặc viết các
số theo một cơ số hay quy tắc nào đó.

2.2. Hệ đếm với cơ số bất kì
2.2.1. Định nghĩa. Cho

là số nguyên dương,

là số tự nhiên, nếu

có

dạng:
.
thì
trong đó

là cơ số của hệ đếm,

là số được viết trong hệ đếm cơ số


là:

là các chữ số của

Ví dụ:
1.
2.
3.

.
4.

.
Từ các ví dụ trên ta thấy hai số viết bởi những chữ số như nhau
trong hệ đếm cơ số khác nhau thì giá trị thập phân của nó hồn tồn khác
nhau, ta cũng dễ dàng chứng minh được số viết như trong hệ đếm với cơ
số lớn hơn thì giá trị thập phân của nó lớn hơn. Trong một số thì những


-23-

chữ số giống nhau đứng ở vị trí khác nhau thì có giá trị hồn tồn khác
nhau.
Vấn đề đặt ra là, nếu ta có số

viết trong hệ đếm cơ số

thì ta có


thể chuyển nó sang các hệ đếm với cơ số khác được hay không?
Việc chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ đếm
cơ số khác dựa trên các định lí sau.
2.2.2. Định lí 1. Cho
các số tự nhiên
chia hết cho

với
thì

Chứng minh: Nếu
Nếu

là những số tự nhiên khi đó tồn tại duy nhất

và

Nếu

, sao cho
.
thì

theo tiên đề Archimedean tồn tại số

sao cho:

.
Đặt


. Khi đó

Gỉa sử tồn tại cặp

và

.

cũng thỏa

với
Ta sẽ chứng minh rằng
Thật vậy, nếu
hết cho

thì

mà

Vậy cặp

suy ra

nên

suy ra

là duy nhất thỏa mãn

2.2.3. Định lý 2. Cho 2 số tự nhiên

của

dưới dạng đa thức của

trong đó các

.

.
khi đó tồn tại duy nhất biểu diễn

có dạng:

thỏa mãn các điều kiện

Chứng minh: Từ định lý 1 ta có: đem chia
thỏa mãn

nhất

chia

.
cho

trong đó

Nếu

thì


suy ra

Nếu

thì

khi đó ta lại chia

sao cho:

ta được cặp duy nhất
.

là đa thức bậc 0.
cho

ta được cặp duy


-24-

thỏa mãn
Thì

hay
Nếu

thì


Nếu

thì

cặp

và

.
là đa thức bậc nhất đối với .

khi đó ta lại chia

ta được duy nhất

cho

thỏa mãn

sao cho
.

Do đó:
Q trình trên cứ tiếp tục như vậy ta thu được dãy

thỏa mãn:

bước ta có:

Sau


thỏa mãn điều kiện

.

Ta có thể tính được bậc của đa thức theo

và :
thỏa mãn điều kiện

Vì
nên
tức là
đó

Suy

hay

kí hiệu là phần nguyên của

trong

(số nguyên lớn nhất không vượt quá

).
2.2.4. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số 10 sang hệ đếm
cơ số k
Theo định lí 2.2.3. ta thấy việc đổi biểu diễn của một số
cơ số 10 sang hệ đếm cơ số

được kết quả lại chia cho
kết quả là số không chia cho

thực chất là việc chia số

từ hệ đếm

cho

lấy dư

lấy dư, …Quá trình cứ tiếp tục cho đến khi
được nữa thì dừng lại. Sau đó biểu diễn

thơng qua tổng các lũy thừa. Từ đó có cách viết số

trong hệ đếm cơ số


-25-

Ví dụ: Chuyển biểu diễn của số 2345 sang hệ đếm cơ số 2

Vậy
2.2.5. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số

sang hệ đếm cơ

số 10
Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số


sang hệ đếm cơ số

10 thực chất là ta viết số đó dưới dạng tường minh qua tổng các lũy thừa
của

và tính số tổng ấy.

Ví dụ:
+6

2.2.6. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số

sang hệ đếm

cơ số
Để chuyển biểu diễn của một số hệ đếm cơ số

sang hệ đếm cơ số

ta sẽ sử dụng hệ đếm cơ số 10 làm trung gian.
Bƣớc 1: Chuyển số từ hệ đếm cơ số

sang hệ đếm cơ số 10.

Bƣớc 2: Chuyển số từ hệ đếm cơ số 10 sang hệ đếm cơ số
Ví dụ: Chuyển số

.


sang hệ đếm cơ số 3

Bƣớc 1:
Bƣớc 2:
.
.

2.3. Một số bài toán giải bằng phƣơng pháp