Tự học tốn 8

Bài 5

TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC
TÌM DƯ CỦA PHÉP CHIA MÀ KHƠNG THỰC HIỆN PHÉP CHIA

1. Đa thức chia có dạng

x-a

(

a

)
là hằng .

f ( x)
x−a
 Ví dụ 1. Chứng minh rằng số dư khi chia đa thức
cho nhị thức
bằng giá trị của đa
f ( x)
x=a
thức
tại
Định lí Bê-du( Bézout, 1730-1783, nhà tốn học Pháp)
Lời giải

Do đa thức chia

Ta có:

x−a

có bậc nhất nên số dư khi chia

f ( x ) cho x − a

Dự án 1: Bài tập Toán 8

là hằng số

r

f ( x ) = ( x − a ) ×Q ( x ) + r

Đẳng thức trên đúng với mọi

x

nên với

x=a

, ta có

f ( a ) = 0 ×Q ( x ) + r  hay f ( a ) = r
ˆ

Từ đinh lí

Đa thức

B e− du

f ( x)

ta suy ra

chia hết cho

x−a

khi và chi khi

 Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu đa thức
x −1

f ( a) = 0

f ( x)

Lời giải

Gọi

f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 +…+ an −1 x + an

Theo giả thuyết,

a0 + a1 +…+ an = 0


Nhóm word hóa tài liệu

(túc là khi a là nghiệm của da thức).

có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia hết cho


Tự học toán 8
Theo định lý Bê-du, số dư khi chia

f ( x)

cho

x −1

là

r = f ( 1) = a0 + a1 +…+ an −1 + an

Từ (1) và (2), suy ra
Vậy

f ( x)

r =0

chia hết cho


.

x −1

 Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu đa thức

f ( x)

có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng
x +1
tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì đa thức ây chia hết cho
Lời giải
Gọi

f ( x ) = a0 x 2 n + a1 x 2 n −1 + a2 x 2 n − 2 +…+ a2 n − 2 x 2 + a2 n −1 x + a2n

giả thuyết,

a0 + a2 + .. + a2 n = a1 + a3 +…+ a2 n −1

, trong đó,

a0

có thể bằng 0 . Theo

nên

( a0 + a2 +…+ a2 n ) − ( a1 + a3 +…+ a2n −1 ) = 0


Dự
Theo định lí Bê-du, số dư khi chia
r

f ( x)

x +1
án 1:choBài
tập
Toán 8
bằng

 = f ( −1) = a0 − a1 + a2 − a3 +…+ a2 n − 2 − a2 n− a + a2 n

 = ( a0 + a2 +…+ a2 n ) − ( a1 + a3 +…+ a2 n −1 )

Từ (1) và (2), suy ra
Vậy

f ( x)

r =0

chia hết cho

.

x +1

.


1. Đa thức có bậc tử từ bậc hai trở lên

 Ví dụ 4. Tìm dư khi chia

x 7 + x 5 + x 3 + 1 cho x 2 − 1
Lời giải

Để tìm dư trong trường hợp này, ta thường dùng các cách sau:
Cách 1. (Tách ra ở đa thức bị chia nhưng đa thức chia hết cho đa thức chia).
Ta biết rằng
Do đó

xn −1

chia hết cho

x 4 − 1, x 6 − 1,…

x −1

chia hết cho

Nhóm word hóa tài liệu

với mọi số tự nhiên

x2 − 1

.


n

nên

x2n − 1

chia hết cho

x2 −1

.


Tự học tốn 8
Ta có :
x 7 + x5 + x3 + 1 = x 7 − x + x5 − x + x 3 − x + 3x + 1

= x ( x 6 − 1) + x ( x 4 − 1) + x ( x 2 − 1) + ( 3 x + 1)

x7 + x5 + x3 + 1

Dư khi chia

cho

x2 −1

là


3x + 1

.

Cách 2. (Xét giá trị riêng).
Q ( x)

Gọi thương là

, dư là

ax + b

. Ta có

x 7 + x5 + x3 + 1 = ( x + 1) ( x − 1) ×Q ( x ) + ax + b, ∀x
x

Đẳng thức đúng với mọi
Với

x = −1

ta được

−2 = −a + b

Từ (1) và (2), suy ra
Dư phải tìm là


nên với

3x + 1

a = 3, b = 1

x =1

, ta được

4 = a+b

. (1)

. (2)

.

.
2
x 2 −1:
1 Bài xtập
+ 1Toán 8
Dự án

Để tách ra các đa thức chia hết cho

hoăc

, cần nhớ lai các hằng đẳng thức 8 và 9 :


a n − b n  Ma − b ( a ≠ b ) ;
a n + b n M a + b ( a ≠ −b ) n
, lẻ

SƠ ĐỒ HC-NE

1. Các ví dụ
 Ví dụ 5: Chia các đa thức

a) ( x3 − 5 x 2 + 8 x − 4 ) : ( x − 2 )

b) ( x 3 − 9 x 2 + 6 x + 10 ) : ( x + 1)

c ) ( x 3 − 7 x + 6 ) : ( x + 3)

Lời giải

1. Thương là

x 2 − 3x + 2

Nhóm word hóa tài liệu

.


Tự học toán 8
2. Thương là
3 . Thương là


x 2 − 10 x + 16
x 2 − 3x + 2

, dư là

−6

.

2. Sơ đồ Hc-ne
Ta có thể tìm được kết quả khi chia đa thức
khác.

(x

3

f ( x)

cho nhị thức

− 5x2 + 8x − 4) : ( x − 2 )

Trở lại câu a) ở ví dụ trên
−5,8, −4
a
; hằng số trong ví dụ này bằng 2 .

x − a (a


là hằng số) bằng một cách

. Các hệ số của đa thức bị chia thứ tự là 1 ,

1. Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên
1

-5

8

-4

a−2

2. Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối cùng
cho ta số dư.
•

Số ở cột thứ nhất của dịng dưới bằng số tương ứng ở dòng trên.
1Dự án 1: Bài tập
-5 Tốn 8
a−2

•

8

-4


1

Kể từ dịng thứ hai, mỗi số ở dịng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng
dòng liền trước, rồi cộng với số cùng cột ở dịng trên.
1
-5
8
-4
a−2

1

1
a−2

1

1
a−2

Sơ đồ

Nhóm word hóa tài liệu

1

2.1 + ( −5) = −3

-5

2.1 + ( −5) = −3

-5
2.1 + ( −5) = −3

8

-4

2. ( −3) + 8 = 2

8
2. ( −3 ) + 8 = 2

-4
2.2 + ( −4 ) = 0


Tự học tốn 8

Ta có thương bằng

x2 − 3x + 2

, số dư bằng 0 .

Sơ đồ của thuật toán trên được gọi là sở đồ Hoóc-ne.
Bạn đọc hãy dùng sơ đồ trên để kiểm tra lại kết quả của các câu b) và c).
Như vậy nếu đa thức bị chia là


b0 x + b1 x + b2
2

, dư

r

ao x 3 + a1 x 2 + a2 x + a3

, đa thức chia là

x−a

, ta được thương

. Theo sơ đồ Hoóc-ne, ta có
a0

a

a1

b0 = a0

b1 = ab0 + a1

a2
b2 = ab1 + a2

a3

r = ab2 + a3

3. Sơ đồ Hoóc-ne

a x n + a x n −1 + a x n − 2 +…+ a x + an

0
1
2
n −1
Tổng quát với đa thức bị chia làDự án 1: Bài tập Toán 8

là

b0 x n −1 + b1 x n −2 +…+ bn −2 x + bn −1

, dư

r

, đa thức chia là

. Ta cần chứng minh rằng

b0
b1
b2
…

 = a0

 = ab0 + a1
 = ab1 + a2

bn −1
r

 = abn − 2 + an −1
 = abn −1 + an .

Thật vậy, thực hiện phép tính

( x − 1) ( b0 x n−1 + b1 x n−2 +…+ bn−2 x + bn−1 ) + r
rồi rút gọn, ta được:

b0 x n + ( b1 − ab0 ) x n −1 +…+ ( bn −1 − abn −2 ) x − abn −1 + r

Đồng nhất đa thức này với đa thức bị chia, ta được

Nhóm word hóa tài liệu

x−a

thương


Tự học toán 8
= a0
= a1
= a2


b0
b1 − ab0
b2 − ab1
…
bn −1 − abn −2
r − abn −1

= an −1
= an .

Từ đó, suy ra điều phải chứng minh.
f ( x)

4. Áp dụng sơ đồ Hc-ne để tính giá trị của đa thức
Sơ đồ Ho óc-ne cho ta thương và dư khi chia đa thức
f ( x)

định lí Bê-du, số dư khi chia
được giá trị của đa thức

f ( x)

tại

cho
x=a

 Ví dụ 6. Tính giá trị của đa thức

x−a


bằng

f ( x)

f ( a)

tại

4x = a

cho nhị thức

x−a

. Chú ý rằng theo

. Do đó, dùng sơ đồ Hc-ne ta cũng tính

.

f ( x ) = x3 + 3 x 2 − 4

tại

x = 37

.

Lời giải


Dự án 1: Bài tập Toán 8
f ( 37 )

Theo định lý Bê-du,

a = 37

Vậy

f ( 37 ) = 54756

là số dư khi chia

f ( x)

1

3

1

37.1 + 3 = 40

x − 37

cho

. Ta lập sơ đồ Hoóc-ne


−4

0
37.40 + 0 = 1480

37.1480 − 4 = 54756

.

CHỨNG MINH MỘT ĐA THỨC CHIA HẾT CHO MỘT ĐA THỨC KHÁC
Ta chỉ xét các đa thức một biến, thường có các cách sau:
1. Cách

1.

Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là đa thức chia.
 Ví dụ 7. Chứng minh rằng

Nhóm word hóa tài liệu

x8 n + x 4 n + 1

chia hết cho

x2n + xn + 1

, với mọi số tự nhiên

n


.


Tự học tốn 8

Lời giải

Ta có

(

) ( )
2

x 8 n + x 4 n + 1 = x8 n + 2 x 4 n + 1 − x 4 n = x 4 n + 1 − x 2 n

2

= ( x 4 n + 1) ( x 4n − x 2n + 1)
Tiếp tục phân tích

(

) ( )
2

x 4 n + x 2 n + 1 = x 4 n + 2 x 2 n + 1 − x 2 n = x 2 n + 1 − x n

2


 = ( x 2 n + x n + 1) ( x 2 n − x n + 1)

2. Cách 2

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia.

 Ví dụ 8. Chứng minh rằng

x + x +1
8n

Vậy

x3m +1 + x3n + 2 + 1

4n

x + x +1
2n

chia hết cho

chia hết cho

x2 + x + 1

n


, với mọi số tự nhiên

m, n
với mọi số tự nhiên

n

.

Lời giải

Ta có

x3m +1 + x3n + 2 + 1 = x 3m+1 − x + x3n+ 2 − x 2 + x 2 + x + 1
 = x ( x3m − 1) + x 2 ( x3n − 1) + ( x 2 + x + 1)

Ta thấy

x 3m − 1

và

x 3n − 1

Nhóm word hóa tài liệu

chia hết cho

x3 − 1


, do đó chia hết cho

x2 + x + 1

.

.


Tự học tốn 8

 Ví dụ 9. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
x6 m+4 + x6 n+2 + 1
x

Vậy

3 m +1

+x

3n +2

+1

x + x +1

chia hết cho

m, n


x2 − x + 1

2

chia hết cho

thì

với mọi số tự nhiên

.

m, n

.

x 6 m + 4 + x 6 n + 2 + 1 = x 6 m + 4 − x 4 + x6 n + 2 − x 2 + x 4 + x 2 + 1
= x 4 ( x 6 m − 1) + x 2 ( x 6 n − 1) + ( x 4 Lời
+ x 2giải
+ 1)

Do

x 6 m − 1Mx 6 − 1, x 6 n − 1Mx 6 − 1

và

x 6 − 1 = ( x3 + 1) ( x3 − 1) Mx 2 − x + 1


(

)

2

x 4 + x 2 + 1 = x 2 + 1 − x 2 Mx 2 − x + 1
Nên suy ra điều cần chứng minh.
Dự

án 1: Bài tập Toán 8

3. Cách 3
Sử dụng các biến đổi tương đương, chẳng hạn để chứng minh

Xem bài tập 268 .
hoặc

f ( x ) Mg ( x )

, có thể chứng minh

f ( x) +

.

4. Cách 4 .
Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia (ta công nhận rằng điều
này dẫn dến đa thức bị chia chia hết cho đa thức chia).


(

)

f ( x ) = x2 + x −1
 Ví dụ 10. Cho

x2 − x

.

Đa thức chia có hai nghiệm
đa thức bị chia.
Nhóm word hóa tài liệu

10

x=0

(

)

+ x2 − x + 1

và

x =1

10


−2
. Chứng minh rằng

. Ta sẽ chứng tỏ rằng

x=0

f ( x)

và

chia hết cho

x =1

Lời giải

cũng là nghiệm của


Tự học tốn 8
Ta có

f ( 0) = 1 + 1 − 2 = 0

f ( x)

f ( 1) = 1 + 1 − 2 = 0


x

nên
chia hết cho . Ta lại có
x −1
x −1
x
hết cho
. Các nhân tử và
khơng chứa nhân tử chung.
f ( x)

Do đó

chia hết cho

x ( x − 1)

nên

f ( x)

chia

.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Không đặt tính chia đa thức, hãy xét xem đa thức
cho

a)

x +1

;

b)

x −3

x 3 − 9 x 2 + 6 x + 16

có hay khơng chia hết

.

Lời giải

a) Có;

b) Khơng.

Bài 2. Tìm dư khi chia các đa thức sau
a)

x 41 : ( x 2 + 1)

: ( xToán
+ 1) 8
Dự án 1: Bài xtập

43

2

b)

Lời giải

a,

x 41 = x 41 − x + x = x ( x 40 − 1) + x.

cho

x2 + 1

b, Dư

−x

a)

Ta thấy

10

.

.


Bài 3. Tìm dư khi chia
x −1

( )

x 40 − 1 = x 4

;

x + x 3 + x 9 + x 27

cho
b)

x2 + 1

;

Lời giải

a) Dư 4;
Nhóm word hóa tài liệu

b) Dư

4x

−1
nên chia hết cho


x4 − 1

, do đó chia hết


Tự học toán 8

x 99 + x 55 + x11 + x + 7

Bài 4. Tìm dư khi chia
a)

a,
b,

x +1

;

cho

b)

r = f ( −1) = −1 − 1 − 1 + 7 = 3

x2 + 1
Lời giải

. Dư 3.


x99 + x55 + x11 + x + 7 = x ( x98 + 1) + x ( x 54 + 1) + x ( x10 + 1) − 2 x + 7

(x )
2

49

( )

+ 1, x 2

Chú ý rằng
−2 x + 7
cần tìm là
.

27

( )

+ 1, x 2

Bài 5. Tìm dư khi chia đa thức

25

+1
chia hết cho

x2 + 1


.

)
(theo hằng đẳng thức 9 . Như vậy dư

f ( x ) = x 50 + x 49 +…+ x 2 + x + 1

cho

x2 −1

.

Lời giải

Gọi thương khi chia

f ( x)

cho

Dự
án 1: Bài tập Toán 8
x2 − 1 Q ( x )
ax + b
là

, dư là


. Ta có

f ( x ) = ( x 2 − 1) ×Q ( x ) + ax + b
Đẳng thức trên đúng với mọi
Đáp: Dư khi chia

f ( x)

Bài 6. Tìm đa thức
5, f ( x )

chia cho

cho

f ( x)

x

. Lần lượt cho

x2 −1

là

, biết rằng

( x − 2 ) ( x − 3)

Trước hết ta tìm dư khi chia


và

.

.
f ( x)

chia cho

x−3

Lời giải 3x

thì được thương là

f ( x)

x = −1

25 x + 26

cho

( x − 2 ) ( x − 3)

f ( x ) = ( x − 3) ×A ( x ) + 7

Nhóm word hóa tài liệu


x =1

thì dư

7, f ( x )

chia cho

và cịn dư.

. Xét
(1)

x−2

thì dư


Tự học toán 8
f ( x ) = ( x − 2 ) ×B ( x ) + 5

(2)

Cách 1. Xét
f ( x ) = 3x ( x − 2 ) ( x − 3) + ax + b

Từ

( 1) , ( 2 ) , ( 3)


( x − 2 ) ( x − 3)

Do đó

bằng cách cho

là

2x +1

x = 2, x = 3

ta tìm được

(3)

a = 2, b = 1

. Dư của phép chia

f ( x)

cho

.

f ( x ) = 3x ( x − 2 ) ( x − 3) + 2 x + 1 = 3x 3 − 15 x 2 + 20 x + 1

.


Cách 2. Từ (1) suy ra

( x − 2 ) f ( x ) = ( x − 2 ) ( x − 3) ×A ( x ) + 7 ( x − 2 ) .

(4)

Từ (2) suy ra

( x − 3) f ( x ) = ( x − 2 ) ( x − 3) ×B ( x ) + 5 ( x − 3)
f ( x ) = ( x − 2 ) ( x − 3)  A ( x ) − B ( x )  + 2 x + 1

Lấy (4) trừ (5) được
Dư khi chia

f ( x)

cho

Bài 7. Tìm đa thức
cịn

f ( x)

chia cho

Dự án 1: Bài tập Toán 8
( x − 2 ) ( x − 3) 2 x + 1

f ( x)


là

, biết rằng

x 2 + x − 12

(5)
.

. Giải tiếp như cách 1 .

f ( x)

chia cho

thì được thương là

x−3

x2 + 3

thì dư

2, f ( x )

chia cho

x+4

thì dư 9,


và cịn dư.

Lời giải

Đáp số:

x 4 + x 3 − 9 x 2 + 2 x − 31

Bài 8. Khi chia đơn thức

x+
cho

1
2

x

, ta được thương là

Nhóm word hóa tài liệu

.

x+

8

cho

C ( x)

1
2

thì được thương là
Lời giải

và dư là số

r2

. Tính

r2

.

B ( x)

và dư là số

r1

. Khi chia

B ( x)


Tự học tốn 8


Đặt

1
− =a
2

Cho

x=a

, ta có

thì

x8 = ( x − a ) ×B ( x ) + r1

r1 = a8

.

, do đó
x8 − a 8 = ( x − a ) ×B ( x )

nên
x8 − a 8
= x4 + a4
x−a

(


B ( x) =

)(x

2

+ a2

) ( x + a)

Ta có

(x
Cho

x=a

, ta được

a=−
Thay

1
2

4

+ a 4 ) ( x 2 + a 2 ) ( x + a ) = ( x − a ) ×C ( x ) + r2


2a 4 ×2a 2 .2a = r2
r2 = −

, ta được

1
16

nên

r2 = 8a 7

.

Bài 9. Chứng minh rằng
1,
2,
3,
4,

x50 + x10 + 1

Dự
x 20 +
x10 án
+ 1 1: Bài tập Toán 8
chia hết cho
;

x 2 − x 9 − x1945

x10 − 10 x + 9
8 x 9 − 9 x8 + 1

chia hết cho

chia hết cho
chia hết cho

x2 − x + 1

( x − 1) 2
( x − 1) 2

;

;
.
Lời giải

1, Thêm bớt
2, Biến đổi
3,

x 20

vào đa thức bị chia.

x 2 − x 9 − x1945 = ( x 2 − x + 1) − ( x9 + 1) − ( x1945 − x )

.


x10 − 10 x + 9 = ( x10 − 1) − 10 ( x − 1) = ( x − 1) ( x 9 + x8 + x 7 +…+ x + 1 − 10 )

Biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai bằng
Nhóm word hóa tài liệu

(x

9

− 1) + ( x8 − 1) +…+ ( x − 1)

, chia hết cho

x −1

.


Tự học tốn 8
4, Ta có

8 x9 − 9 x8 + 1 = 8 ( x9 − 1) − 9 ( x8 − 1)

(

) (

)


 = ( x − 1) 8 x8 + x 7 +…+ x + 1 − 9 x 7 + x 6 +…+ x + 1  .
Biểu thức trong dấu ngoặc vuông bằng
8 x8 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1,
chia hết cho

x −1

vì tổng các hệ số bằng 0 .

Bài 10. Chứng minh rằng

f ( x)

chia hết cho

g ( x)

với

f ( x ) = x99 + x88 + x 77 +…+ x11 + 1;
g ( x ) = x 9 + x8 + x 7 +…+ x + 1
Lời giải

f ( xDự
g ( x) 8
) − gán
( x )1: Bài tập Tốn
Trước hết chứng minh rằng
chia hết cho
. Ta có

f ( x ) − g ( x ) = x 99 − x 9 + x 88 − x8 +…+ x11 − x

= x9 ( x90 − 1) + x8 ( x80 − 1) +…+ x ( x10 − 1)
Các biểu thức trong dấu ngoặc đều chia hết cho
Bài 11. Chứng minh rằng đa thức

x10 − 1

( x + y )6 + ( x − y )6

mà

x10 − 1

chia hết cho

chia hết cho đa thức

g ( x)

x2 + y2

.

.

Lời giải

3


( x + y )6 + ( x − y )6 = ( x + y ) 2  + ( x − y ) 2 

2 ( x2 + y2 )

, do đó chia hết cho

x2 + y 2

3

chia hết cho

.

Bài 12. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
Nhóm word hóa tài liệu

n

( x + y)2 + ( x − y)2

, tức là chia hết cho


Tự học toán 8
1,
2,
3,

( x + 1) 2 n − x 2 n − 2 x − 1


x 4 n + 2 + 2 x 2 n +1 + 1

chia hết cho

chia hết cho

( x + 1) 4 n + 2 + ( x − 1) 4 n + 2

x ( x + 1) ( 2 x + 1)

( x + 1) 2

chia hết cho

;

;

x2 + 1

. Lời giải

1, Chứng minh rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia.

2, Đa thức chia bằng

3,

(x


2 n +1

)

+1

2

, chia hết cho

( x + 1) 4 n + 2 + ( x − 1) 4 n + 2 = ( x + 1) 2 

cho

2 ( x 2 + 1)

2 n +1

( x + 1)2

+  ( x − 1) 2 

.

2 n +1

chia hết cho

( x + 1) 2 + ( x − 1) 2


, tức là chia hết

.

(

)(

)

x n − 1 x n +1 − 1
( x + 1) ( x − 1)2
n
Bài 13. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiênLời giải
thì
chia hết cho
.

Dự án 1: Bài tập Tốn 8

Vì

n

và

n +1

là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chẵn và một số lẻ. Đa thức bị chia có dạng


(x

2k

− 1) ( x 2 k +1 − 1)  = ( x 2 − 1) ×A ( x ) ×( x − 1) ×B ( x )
= ( x + 1) ( x − 1) 2 ×A ( x ) ×B ( x )

Bài 14. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

Trước hết, ta chứng minh

Nhóm word hóa tài liệu

x 6 m +4 + x6 n +2 + 1

m, n

thì

x 6 m +4 + x6 n +2 + 1

Lời giải

chia hết cho

x2 + x + 1

chia hết cho


x4 + x2 + 1

. Giải tương tự như ví dụ 58 .

.


Tự học toán 8
Đa thức

x6m+4 + x 6n +2 + 1

chia hết cho

nhân tử chung bậc nhất. Do đó
hết cho

x2 + x + 1

x 6 m+4 + x 6 n+2 + 1

và chia hết cho

x2 − x + 1

chia hết cho tích

(x

2


, hai đa thức này khơng có

+ x + 1) ( x 2 − x + 1)

, tức là chia

x4 + x2 + 1

Bài 15. Tìm số tự nhiên

n

x2n + x n + 1

sao cho

chia hết cho

x2 + x + 1

.

Lời giải

Xét

n = 3k , n = 3k + 1

và


n = 3k + 2

. Trong trường hợp đầu, số dư phép chia bằng 3 . Trong hai
n
trường hợp sau, số dư phép chia bằng 0 . Vậy số cần tìm khơng chia hết cho 3 .
Bài 16. Xác định số

k

để đa thức

A = x3 + y3 + z 3 + kxyz

chia hết cho đa thức

x+ y+z

.

Lời giải

Gọi thương khi chia đa thức

Đẳng thức trên đúng với mọi

A

cho


x+ y+z

Q

, ta có
Dự án 1: Bài tập
Tốn 8
3
3
3
x + y + z + kxyz = ( x + y + z ) ×Q

x, y , z

nên với

là

x = 1, y = 1, z = −2

ta có

1 + 1 + ( −2)3 + k ( −2 ) = ( 1 + 1 − 2 ) ×Q ⇒ −6 − 2k = 0 ⇒ k = −3

Với

k = −3

, ta có


x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz

x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx )

Bài 17. Cho đa thức
rằng đa thức

f ( x)

Vậy

f ( x)

chia hết cho

k = −3

x+ y+z

(thương bằng

.

có các hệ số nguyên. Biết rằng

khơng có nghiệm ngun.

f ( 0 ) , f ( 1)

là các số lẻ. Chứng minh


Lời giải

f ( x)
f ( x ) = ( x − a ) ×Q ( x )
Q ( x)
a
x
Giả sử là nghiệm nguyên của
. Với mọi , ta có
, trong đó
là
đa thức có hệ số nguyên, do đó

Nhóm word hóa tài liệu


Tự học tốn 8
f ( 0 ) = −a ×Q ( 0 ) ; f ( 1) = ( 1 − a ) ×Q ( 1)

Do

f ( 0)

là số lẻ nên

a

là số lẻ, do


Chương
3

f ( 1)

là số lẻ nên

1− a

là số lẻ, mâu thuẫn với nhau.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN

Bài 1

Khái niệm về phương trình. Phương trình bậc nhất.

Tóm tắt lý thuyết

Dự án 1: Bài tập Toán 8

1, Ta gọi hệ thức dạng

A( x) = B ( x)

là phương trình với ẩn

x

A( x) = B ( x)


. Giải phương trình
A( x)
B ( x)
x
tìm mọi giá trị của để các giá trị tương ứng của hai biểu thức
và
bằng nhau.

S
Tập hợp các giá trị đó gọi là tập nghiệm của phương trình đã cho, và thường được ký hiệu là .
2. Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.
3. Khi giải một phương trình, ta có thể
• Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
• Nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác 0 .
Khi đó phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
b
ax + b = 0
x
a
4. Phương trình bậc nhất là phương trình có dạng
trong đó là ẩn số, và là các
a≠0
số đã cho,
Khi giải phương trình có hệ số chữ trong mục này, ta cũng xét các phương trình có dạng
a=0
ax + b = 0
trong đó
.


Một số ví dụ

Nhóm word hóa tài liệu

là


Tự học toán 8

a ( ax + 1) = x ( a + 2) + 2
Lời giải

Biến đổi phương trình đã cho thành

a 2 x − ax − 2 x = 2 − x
⇔ x ( a2 − s − 2) = 2 − a
⇔  ( a + 1) ( a − 2 ) x = 2 − a

Ký hiệu

Nếu
Nếu
Nếu

S

là tập nghiệm của phương trình đã cho, ta có

a ≠ −1, a ≠ 2
a = −1

a=2

(1)

thì

 1 
S = −

 a + 1

thì (1) có dạng

thì (1) có dạng

.

0x = 3

S =∅

.
Dự, vơ
ánnghiệm,
1: Bài tập Tốn
8

0x = 0

x − a

3

, phương trình nghiệm đúng với mọi

.

a + 3
=
− 2
a
Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là

a≠0

.

Biến đổi phương trình
(1) ⇔ a ( x − a ) = 3 ( x + 3) − 6a

⇔ ax − a 2 = 3x + 9 − 6a
Nhóm word hóa tài liệu

x, S = R


Tự học toán 8

⇔ ax − 3 x = a 2 − 6a + 9

⇔ ( a − 3) x = (a − 3) 2

Nếu
Nếu

a≠3
a=3

x = a−3

, phương trình có nghiệm
thì (2) có dạng

0x = 0

(2)

.

, suy ra với mọi

x

đều là nghiệm.

Kết luận
Nếu
Nếu
Nếu


a ≠ 0; a ≠ 3
a=3
a=0

thì (1) có một nghiệm

thì (1) nghiệm đúng với mọi

x = a −3
x

.

.

thì (1) vô nghiệm.

x − ab
x − ac
x − bc
=
=
= a+b+c
a+b
a+c
b+c
Dự án 1: Bài tập Toán 8
Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình


a + b ≠ 0; a + c ≠ 0; b + c ≠ 0
Khi đó,

 x − ab
  x − ac
  x − bc

(1) ⇔ 
− c ÷+ 
− b ÷+ 
− a ÷= 0
 a +b
  a+c
  b+c

 ⇔

x − ab − ac − bc x − ac − ab − bc x − bc − ab − ac
+
+
=0
a+b
a+c
b+c

1
1 
 1
 ⇔ ( x − ab − ac − bc ) 

+
+
÷= 0
 a+b a+c b+c 
⇔
(1) có vơ số nghiệm
Nhóm word hóa tài liệu

1
1
1
+
+
=0
a+b a+c b+c

.

(2)


Tự học toán 8
Chẳng hạn ta chọn

a = 1; b = 1

, để

( 2)


xảy ra ta chọn

c

sao cho

1
1
1
2
−1
+
+
=0⇔
=
⇒ c = −5
2 1+ c 1+ c
1+ c 2
Như vậy (1) có vô số nghiệm, chẳng hạn khi

a = 1; b = 1; c = −5

.

x −a
x −b
2ab
+
=
a +b

a −b
b2 − a2

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là

a ≠ ±b

.

Biến đổi phương trình

( x − a ) ( x − b ) + ( x − b ) ( a + b ) = −2ab
Dự án 1: Bài tập Toán 8
⇔ ax − bx − a 2 + ab + ax + bx − ab − b 2 = −2ab
⇔ 2ax = a 2 + b 2 − 2ab
⇔ 2ax = (a − b) 2

Nếu
Nếu

a≠0
a=0

x=
thì

(1)
( a − b) 2

2a

thì (1) có dạng

.

0x = b 2

. Do

Kết luận

Nếu

a ≠ 0, a ≠ ±b

Cịn lại,

S =∅

thì

 ( a − b) 2 
S =

 2a 

.

Nhóm word hóa tài liệu


.

a≠b

nên

b≠0

, phương trình vơ nghiệm.


Tự học toán 8

Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình
1.
2.
3.

1.

( x + 2)3 − ( x − 2)3 = 12 x ( x − 1) − 8

;

( x + 5) ( x + 2 ) − 3 ( 4 x − 3) = (5 − x) 2

;


(3 x − 1) 2 − 5(2 x + 1) 2 + (6 x − 3)(2 x + 1) = ( x − 1) 2

.
Lời giải

( x + 2)3 − ( x − 2) 3 = 12 x ( x − 1) − 8 ⇔ 12 x 2 + 16 = 12 x 2 − 12 x − 8 ⇔ x = −2

2 ( x + 5 ) ( x + 2 ) − 3 ( 4 x − 3) = (5 − x) 2 ⇔ x 2 − 5 x + 19 = x 2 − 10 x + 25 ⇔ x =
2.
3.

(3 x − 1) 2 − 5(2 x + 1) 2 + (6 x − 3)(2 x + 1) = ( x − 1) 2

1 1: Bài tập Toán 8
Dự −án

⇔ x 2 − 26 x − 7 = x 2 − 2 x + 1 ⇔ x =

3

.

Bài 2. Giải các phương trình

1.

x − 5 x − 4 x − 3 x − 100 x − 101 x − 102
+
+

=
+
+
100 101 102
5
25
3

2.

29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x
+
+
+
+
= −5
21
23
25
27
29

Lời giải

1. Ta có

x−5
x−4
x−3
x − 100

x − 101
x − 102
−1 +
−1 +
−1 =
−1+
−1+
−1
100
101
102
5
4
3
⇔

x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105
+
+
=
+
+
100
101
102
5
4
3

1

1 1 1 1
 1
⇔  ( x − 105 ) 
+
+
− − − ÷= 0
 100 101 102 5 4 3 
Nhóm word hóa tài liệu

6
5


Tự học tốn 8
⇔ x = 105 . 

2. Ta có

29 − x
27 − x
25 − x
23 − x
21 − x
+1+
+1+
+1+
+1 +
+ 1 = −5 + 5
21
23

25
27
29
29 − x
27 − x
25 − x
23 − x
21 − x
+1+
+1+
+1+
+1 +
+ 1 = −5 + 5
21
23
25
27
29
1
1
1 
 1 1
⇔ ( 50 − x )  + + + + ÷ = 0
 21 23 25 27 29 
Vậy

x = 50

.


Bài 3. Giải các phương trình với tham số
 a) a ( ax + b ) = b 2 ( x − 1)  ; 

b)

a, b

a 2 x − ab = b 2 ( x − 1)

;

Lời giải

a ( ax + b ) = b 2 ( x − 1)

Dự án 1: Bài tập Toán 8

⇔ ( a 2 − b 2 ) x = −b ( a + b )

Nếu
Nếu
Nếu
2

a ≠ ±b
a=b

x=
thì


b
b−a

.

thì phương trình nghiệm đúng với mọi

a = −b

thì phương trình nghiệm đúng với mọi

a 2 x − ab = b 2 ( x − 1)

(nếu
x

b=0

) hoặc vơ nghiệm (nếu

.

;

Biến đổi phương trình thành

(a

2


− b2 ) x = b ( a − b )

Bài 4. Giải các phương trình với tham số

1.

x

x − a x −1
2a
+
=
a +1 a −1 1 − a2

Nhóm word hóa tài liệu

a, b

rồi giải tương tự như câu a.

b≠0

).


Tự học toán 8

2.

3.


x + a −1 x − a x − a
+
+
=0
a+2
a − 2 4 − a2

( 2a + 1) x 3a 2
x 3a
4ax
3x + −
=
+
−
a a + 1 (a + 1)2 a (a + 1)2 (a + 1)3
Lời giải

1.

x − a x −1
2a
+
=
a +1 a −1 1 − a2

Điều kiện là

Nếu
Nếu


2.

a≠0
a=0

a ≠ ±1

và
thì

. Biến đổi phương trình thành

a ≠ ±1

thì

 (a − 1)2 
S =

 2a 

a ≠ ±2

Nếu
3x +

3.

1

2

thì

.

Dự án 1: Bài tập Tốn 8

.

Biến đổi phương trình thành

a=

0x = 0

( 2a − 1) x = 2 ( 2a − 1)

a≠
. Nếu

1
2

thì

, vơ số nghiệm.

( 2a + 1) x − 3a 2
x 3a

4ax
−
=
+
a a + 1 (a + 1)2 a (a + 1)2 (a + 1)3

Điều kiện là

.

S =∅

x + a −1 x − a x − a
+
+
=0
a+2
a − 2 4 − a2

Điều kiện là

2ax = (a − 1) 2

a ≠ 0; a ≠ −1

.

.

Biến đổi phương trình thành


(

) x = 3a ( a

3a a 2 − a + 1
a(a + 1)

Nhóm word hóa tài liệu

2

2

)

− a +1

(a + 1)

3

x=2

.


Tự học toán 8

a ≠ 0, a ≠ −1, a − a + 1 ≠ 0


x=

2

Do

(chứng minh dễ dàng) nên

 BÀI 5. Giải phương trình với các tham số

1)
2)

4)

.

a, b, c

x−a x−b x−c
+
+
=3
b+c c +a a+b
x −a x −b x −c
3x
+
+
=

b+c c +a a+b a +b+c
 

3)

a
a +1

a+b− x a+c− x b+c− x
4x
+
+
= 1−
c
b
a
a+b+c

.

2a + b + c − 3x a + 2b + c − 3x a + b + 2c − 3x
9x
+
+
=6−
a
b
c
a+b+c
Lời giải


1) Ta có

Dự án 1: Bài tập Toán 8

x −a x −b x −c
+
+
=3
b+c c+a a+b

⇔

x−a
x−b
x−c
−1+
−1+
−1 = 0
b+c
c+a
a+b

1
1 
 1
⇔ ( x − a − b − c) 
+
+
÷= 0

b+c a+c a+b

Nếu

Nếu

2)

1
1
1
+
+
≠0
b+c a +c a +b
1
1
1
+
+
=0
b+c a +c a +b

, phương trình có một nghiệm

x = a+b+c

, phương trình có tập nghiệm là

R


..

.

x −a x −b x −c
3x
+
+
=
;
b+c c+a a+b a+b+c

Tương tự câu 1) ta có

( x − a − b − c ) 

1
1
1
3

+
+
−
÷= 0
b+c a+c a +b a +b+c 

Nhóm word hóa tài liệu



Tự học toán 8

Nếu

Nếu

3)

1
1
1
3
+
+
−
≠0
b+c a+c a+b a+b+c
1
1
1
3
+
+
−
=0
b+c a+c a+b a+b+c

, phương trình có một nghiệm


x = a +b +c

, phương trình có tập nghiệm là

R

.

a+b− x a +c− x b+c− x
4x
+
+
= 1−
c
b
a
a +b+c

Làm tương tự câu 1), ta có

( a + b + c − x ) 

1 1 1
4

+ + −
÷= 0
 c b a a +b+c 

 4)  


2a + b + c − 3 x a + 2b + c − 3x a + b + 2c − 3 x
9x
+
+
= 6−
 . 
a
b
c
a+b+c

Điều kiện

a; b; c; a + b + c ≠ 0.

Khi đó

2a + b + c − 3x a + 2b + c − 3 x a + b + 2c − 3x
9x
+
+
= 6−
a
b
c
a +b+c
⇔

2a + b + c − 3 x

a + 2b + c − 3x
a + b + 2c − 3x
9x
−1 +
−1 +
−1 = 6 −
−3
a
b
c
a+b+c

Dự án 1: Bài tập Toán 8

3
1 1 1

⇔ ( a + b + c − 3x )  + + −
÷= 0
 c b a a +b +c 

Nếu

Nếu

1 1 1
3
+ + −
≠0
c b a a+b+c


1 1 1
3
+ + −
=0
c b a a+b+c

Nhóm word hóa tài liệu

x=

, phương trình có một nghiệm

, phương trình có tập nghiệm là

R.

a +b+c
3

.


Tự học tốn 8

Bài 2

trình
Dự Phương
án 1: Bài tập

Tốntích
8

Tóm tắt lý thuyết

Phương trình tích (một ẩn) là phương trình dạng có dạng

A ( x ) B ( x ) … = 0 ( 1)
trong đó

A ( x ) , B ( x ) ,…

, là các đa thức.

Để giải (1), ta chỉ cần giải từng phương trình
chúng.

Nhóm word hóa tài liệu

A ( x ) = 0; B ( x ) = 0,…

rồi lấy tất cả các nghiệm của