MOT SO PHUONG PHAP GIAI PHUONG TRINH VA BAT PHUONG TRINH CHUA CAN THUC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I. Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức. 1. Phương trình. a).  f  x  0 f  x   g  x    f  x   g  x . b).  g  x  0 f  x  g  x    2  f  x   g  x  . Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Hướng dẫn: Nhận xét: Phương trình có dạng Ta có.  1. x 2  3x  2  x  1  1 f  x  g  x .  . Vậy. nên ta giải như sau.  x  1 0  2 2  x  3x  2  x  1  x 1  x 1  x  1 . S  1. Ví dụ 2: Giải phương trình: Hướng dẫn: Ta có.  2. . x 2  5 x  4   2 x 2  3x  12. x 2  5 x  4   2 x 2  3 x  12.  x 2  5 x  4 0  2 2  x  5 x  4  2 x  3 x  12  x  1  x  4  0  2 3 x  2 x  8 0. .   x 1    x 4 8   x 2  x  6   x   8   6.  8 S    6 Vậy.  2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. Bất phương trình. a).  g  x   0 f  x  g  x   2 0  f  x    g  x  . b).   g  x   0    f  x  0 f  x  g  x     g  x  0  2   f  x    g  x  . Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a). x  1  2  x 2  1.  14  S  2  1; 5  2 x  5   x  4 x  3 b) , Hướng dẫn a) Ta có :. x  1  2  x 2  1.  x  1   x  1 0   x 2  2 x  3 0  2 2  x 2  1 0  x  1 2  x  1 0 .    x  1    1  x 3   x  1    x 1 Vậy tập nghiệm.  x  1  1  x 3 . S  1;3    1.  b)Ta có. 2. 2x  5   x  4x  3. Giải (1) 5  5 x   1   2  1 x  2 1  x 3. Giải (2).  2 x  5  0  2   x  4 x  3 0  2 x  5 0    2 x  5 2   x 2  4 x  3 .  1  2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 5  x    2   2 5 x 2  24 x  28  0 . 5  x  5 14  2  x   2 4  2  x  14  5.  14  S  1;   5 Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là. II. CÁC PHƯƠNG PHÁP 1. Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu) Ví dụ 1. Giải phương trình 3 x  1  2 x  1  6  x Hướng dẫn: 3x  1 0  1 2 x  1 0    x 6 2 6  x 0 . Điều kiện Với điều kiện trên ta có 3x 1  . 2x  1  6  x. 3x 1  6  x  2 x  1.  3 x  1 6  x  2 x  1  2 6  x 2 x  1  2 x  4 2 6  x 2 x  1  x  2  6  x 2x  1.  x 2 .  x 2  4 x  4  2 x 2  13x  6  3 x 2  17 x  10 0  x 5   x 2  l  3 . Vậy. S  5. Ví dụ 2. Giải bất phương trình Hướng dẫn. 2 x 3.  x  3 0 9  3 x   2 Điều kiện 9  2 x 0. Với điều kiện trên ta có. 1 3 9  2x  2 2.  2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  2.    . 1 3 9  2x  2 2 1 9 3 4  x  3   9  2 x    9  2x 4 4 2 16 x  48 18  2 x  6 9  2 x 2 x 3 . 18 x  64 0 9 x  33 3 9  2 x   2  9 x  33 9  9  2 x . 32  x  32 9   x     28  x 4 9 81x 2  576 x  1008 0  x  9     x 4  9 S  4;   2 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ bản hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu. Chú ý: Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại. t  f  x Dạng 1. Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau. Đặt , đưa x phương trình, bất phương trình theo biến về phương trình bất phương trình theo biến t (Chú ý đặt điều kiện cho biến t (nếu có)).. Ví dụ 1 Giải phương trình Nhận xét:. 3 x 2  2 x  9  3 x 2  2 x  2 7. 2 Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng 3 x  2 x , và đây là biểu thức chung, chú ý rằng chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số 2 cũng không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn t 3x  2 x , để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức. 2 là đặt t  3x  2 x  2. Ta giải bài toán này như sau: 2 Đặt t  3 x  2 x  2 điều kiện t 0 . Khi đó thành. 3x 2  2 x  9  t 2  7 . Phương trình trở.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> t 2  7  t 7 . t 2  7 7  t. . t 2  7  7  t .  . t 2  7 t 2  14t  49 t 3. 2.  dk. t 7 . Với t 3 ta có 3 x 2  2 x  2 3 . 3 x 2  2 x  2 9. . 3 x 2  2 x  7 0.  1  22 x  3   1  22 x  3   1  22 1  22  S  ;  3 3   Vậy Ví dụ 2 Giải bất phương trình Hướng dẫn: Ta có:.  x  1  x  4   5.  x  1  x  4   5. x 2  5 x  28. x 2  5 x  28. x 2  5 x  4  5 x 2  5 x  28. . 2 Đặt t  x  5 x  28 điều kiện t 0 . Khi đó bất phương trình trở thành:. t 2  24  5t. t 2  5t  24  0  3t 8 Kết hợp với điều kiện ta có 0  t  8 (1) Với t  8 ta có:  . x 2  5 x  28  8 2  x  5 x  28 0  2   x  5 x  28  64. Với t  0 . x    9x4  2 x  5 x  36  0 . x 2  5 x  28  0  x   (3). Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là Ví dụ 3 Giải bất phương trình: Hướng dẫn:. S   9; 4 . 2 x  x  1  1  x 2  x  1. 2 2 x  x  1 2  t 2  1 Đặt t  x  x  1 , điều kiện t 0 , suy ra.  2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bất phương trình trở thành: 2  t 2  1  1  t . 2t 2  t  1  0. 1  t   l  2  t 1 x0 x2  x 1  1  x2  x 1  1  x2  x  0    x 1. Với t  1 ta có. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là. S   ;0    1;  . Dạng 2. Các phương trình, bất phương trình có biểu thức A  B là hằng số. Khi đó đặt t  A  B , suy ra trình bất phương trình về ẩn t .. A  B m AB trong đó. t2   A  B AB  2 . Đưa phương. x  2  5  x  ( x  2)(5  x) 4. Ví dụ 4 Giải phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện  2  x 5. Đặt t  x  2  5  x (điều kiện t 0 ). 2. t 7  2 x  2 5  x 7  2 Suy ra Khi đó phương trình trở thành:.  x  2  5  x . t2  7 4 2 t 2  2t  15 0 t. .  t  5  l    t 3  n  Với t 3 ta có: x  2  5  x 3  . 72.  x  2  5  x .  x  2  5  x . 1.  . x 2  3x  9 0. 9.  33 5 x  2   3 3 5 x  2 .  n  n. t2  7  x  2  5  x   2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  3  3 5 3  3 5  S  ;  2 2    Vậy tập nghiệm của phương trình là Ví dụ 5 Giải bất phương trình: Hướng dẫn 1 9  x  2 Điều kiện 2. 2x 1  9  2x  3. Đặt t  2 x  1  9  2 x (điều kiện t 0 ). Suy ra Bất phương trình trở thành t 2  10 t  3.  13 2  3t 2  2t  56  0 .  2 x  1  9  2 x .  2 x  1  9  2 x .  13. . t 2  10 2. 14  t   l  3   t  4  n . Với t  4 ta có 2x 1  9  2x  4. .  2 x  1  9  2 x   2 x  1  9  2 x   9.  . 16 x  4 x 2  0 0x4. . 10  2.  16. Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 4. Dạng 3. Các phương trình có dạng m A  n B  p AB . Khi đó đặt B 0, B 0 ) 4 4 Hoặc đặt u  A , v  B . Tính u theo v .. Ví dụ 6. Giải phương trình. x 1 . x2  x  2 x 2  4. Hướng dẫn. Điều kiện.    x  1 0  x  1     x 2  x 2  x  2 0  x 2  x  2 0  x  1     x 2. 4. S  0;4 . t 4. A B (xét.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 4 4 Đặt a  x  1, b  x  2 điều kiện a, b 0. ab a b   2 2. 2. 2. 2a . Khi đó phương trình trở thành.  a  2b 2b  ab 0   1 a  b  2 2. 4 x  1  4 x  2. 2  x  1 4  x  2   x 3 Với a 2 2 b ta có 1 1 4 4 a  b x  1  x  2  x  1  x  2 0  vn  2 ta có 2 Với. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là. S  3. 2 x 2  3x  1 3 2x  1  4 x  1  36 Ví dụ 7 Giải bất phương trình Hướng dẫn 4. 2 x  1 0   x 1  x  1 0 2 x 2  3x  1  . Điều kiện Ta thấy x 1 là nghiệm của bất phương trình. Xét x 1 , chia hai vế của bất phương trình cho 3. 4. 4. 2 x 2  3 x  1 ta có. 2x  1 x 1 1  4. 4  x 1 2x  1 6. Đặt. Với. t 4. 2x  1  x 1. x 1 1  2 x  1 t (Điều kiện t  0 ). Khi đó bất phương trình trở thành  16  t  l  6 6 4 1 2 3t    3 6t  t  4 6 0   t  6 3  t   n 2 . t. 3 2 ta có. 4. 4. 2x  1 3 2x  1 9  x 5     0  1  x 5 x 1 2 x 1 4 4  x  1. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là. S  1;5. Dạng 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình x3  1 3  2 x 1 2 Ví dụ 8 Giải phương trình: Hướng dẫn t3  1 t  3 2x 1  x  2 Đặt.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  x3  1 2t 3 t  1 2 x Khi đó ta có hệ  Lấy (1) trừ (2) ta có:.  1  2. x 3  t 3 2t  2 x   x  t   x 2  xt  t 2   2  x  t  0   x  t   x 2  xt  t 2  2  0  x  t 0 2. t 3  x  xt  t  2  x    t 2  2  0 2 4  (Vì ) Với t  x ta có 2. 2. x3  1 2 x  x3  2 x  1 0   x  1  x 2  x  1 0   x  1  1 5  x  2   x 1  5  2  1  5 1  5  S  1; ;  2 2    Vậy phương trình có 3 nghiệm Ví dụ 9Giải phương trình: Hướng dẫn. 3. x  34 . 3. x  3 1.  *. u  3 x  34  u 3  v3 37  3 Đặt: v  x  3  *  u  v 1 u 3  v 3 37  1  u  v 1  2 Ta có hệ:   2   u v  1  3 , sau đó thay vào  1 ta có:.  v  1. 3.  v 3 37.  v 3   v  4  v 3 . 3. x  3 3  x 30.  v  4 . 3. x  3  4  x  61. Ví dụ 10 Giải phương trình: Hướng dẫn. 7 4 x 2  5 x  1  14 x 2  3x  3 17 x  13.  *.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  *  7. 4  x 2  3x  3  17 x  13  14 x 2  3x  3 17 x  13. u  13  x  u 17 x  13 17     2 2 2 v  x  3x  3  v 0  v 2  u  13   3  u  13   3  u  25u  373      17 17 289     Đặt:.  *. 2 trở thành 7 4v  u  14v u. 7 4v 2  u 14v  u  1   2 u 2  25u  373 v   2 289 Ta có hệ: .  1  49  4v 2  u   14v  u . 2.  49u 28uv  u 2  u  u  28v  49  0  u 0   u 49  28v 13  u 0  x  17  u 49  28v Thay vào.  2 :.  49  . 2. 28v   25  49  28v   373 v 289 2 2  289v 784v  2044v  1549 2.  495v 2  2044v  1549 0   x 1  2   x 2  x  3x  3 1  v 1        x  746 1549 1549 2 v   495   x  3x  3  495 495   2231 x  495  Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm:  746 13  S  ; ;2 495 17   Vậy. x 2, x . 746 495. Chú ý:  Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại.  Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì rất khó sử dụng..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 2 Ví dụ 11 Giải phương trình x  2  10  x  x  12 x  40 Hướng dẫn. Đặt: t  x  2  10  x , t  0. .  t2 . x  2  10  x. 2 BCS.   1 1   x  2 10  x  16 2. 2.  t 4  0 t 4 Dấu " " xảy ra . x  2  10  x  x 6 2. Mặt khác: . x 2  12 x  40  x  6   4 4. , dấu " " xảy ra  x 6. x  2  10  x  x 2  12 x  40. S  6 Vậy 4. Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số. Ví dụ 12. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Hướng dẫn Điều kiện:. 3 x  6 x .  3  x  6  x. x    3;6. Đặt. t  3  x  6  x , x    3;6. t . 1 1 6 x  3 x   2 3  x 2 6  x 2  6  x  3  x. 3 t  0  x   t 3 2 2 Ta có:  x  3  t 3 2  x 6  t 3 và t . . 3 x  6  x. . 2. 9  2.  3  x  6  x. Bảng biến thiên:. x t’. 3. 6 +. 0. -. 3 2. t 3. 3. m.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>  t   3;3 2 . Xét t2  9 f  t  t  , t   3;3 2  2. . f  t  1  t ,. . f  3 3, f 3 2 3 2 . Bảng biến thiên: t. 9 2 3 2. 3 –. f  t  3. f t. 3 2 9  m   3;3 2   2  thì phương trình có nghiệm.  Vậy BÀI TẬP ÁP DỤNG I. Giải các phương trình sau: 1) x  3  4 x  1  x  8  6 x  1 5 x  14 x 5 3 x  x  5 2) x2 . 3). x 4). 2x  3  4x  7. 4  x  2 0 x2. 7). 2  x 1 . 3. x 2  26  3 x  x  3 8. 3. 1 1 x  x 1 2 2. 9).  10). x. x 1. . 2 S   3. S  1.  1 1 S  ;   2 2 1  5  S    2 . 1 1  1  x x x. 1 x  1. S  2. S  1; 2. 3. 8). S  3;14.   1  17 1  21  S  ;  2 2  . 2 5) x  x  5 5. 6). S  1;10. . 1  x  1 2 x. II. Giải bất phương trình.  24  S   ;0   25 . 9 2.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 1). 3x  2 x. 2). 2x2  7 x  4 1  x4 2. 3). x 2  x 3 . 4). x 2  3x  2  x 2  4 x  3 2 x 2  5 x  4. 2 x 2. S   ;1. 1 8 S   ;  4    ;   2 7 S   2;  . 2x  4  0.  2 2 5  S   1; ;1   2   5  . 1 3x  1 2 2 1  x 1  x 5) x 6). x x2  1. .  5 S  1;   2 . 3 5 2. 5 x .  3  x   1 4.  x  5   3  x . x2 1  x  1  x 2  4 9) 10). 5x  1 . x 3 11) III. Tìm m để: 1) 2) 3).  x 3 . 5; . .   8 3  S   5;  2   S   1;1 S  2;10 . x  1  2x  4. 2  x 2  16 . .  3  3  S   1;  ,1   2   2  . 2 2 7) 1  x  1  3  x. 8). S  1   4;  . 7 x x 3. S  4;  . x  9  x   x 2  9 x  m có nghiệm.. 12 . x2 2m  x 3 có hai nghiệm.. x  2  x   m  3 x2  2x  5. có nghiệm chứa.  0;1 .. 4 2 4) 3 x  1  m x  1 2 x  1 có nghiệm.. 5). x 2  mx  2 2 x  1 có 2 nghiệm phân biệt.. IV. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học gần đây. x 1) (D – 2002) Giải bất phương trình 1  S   ;     2   3;   2 . 2.  3x  2 x 2  3x  2 0.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 2  x 2  16  2) (A – 2004) Giải bất phương trình 11). x 3.  x 3 . 7 x x 3. S  4;   3) (B – 2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m. . . x 2  1  1  x 2  2 2 1  x 4  1  x 2  1  x 2. 4) (A – 2005) Giải bất phương trình 5 x  1 . x  1  2x  4. 5) (D – 2005) Giải phương trình: 2 x  2  2 x  1 . x  1 4. Đs:. 2  1 m 1. Đs: 2 x  10 Đs:. S  3. 6) (B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt Đs:. m. x 2  mx  2 2 x  1. 9 2 2 x  1  x 2  3x  1 0. 7) (D – 2006) Giải phương trình. Đs:. . S  1; 2 . 2. . 4 2 8) (A – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 3 x  1  m x  1 2 x  1 Đs:.  1 m . 1 3. 9) (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m , phương trình sau có x2  2 x  8  m  x  2. hai nghiệm thực phân biệt: Đs: m  0 10) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 4. 2 x  2 x  2 4 6  x  2 6  x m. 4 Đs: 2 6  2 6 m 3 2  6. V. Các bài trong các đề thi dự bị đại học 2 1) Giải phương trình 3 x  2  x  1 4 x  9  2 3x  5 x  2 (Dự bị B – 2006). Đs:. S  2 2 2) Giải phương trình x  2 7  x 2 x  1   x  8 x  7  1. Đs:. S  4;5. 3) Tìm m để bất phương trình (Dự bị A – 2007). Đs:. 4) Tìm m để phương trình. 4. m. . m. x2 1 . . x 2  2 x  2  1  x  2  x  0. có nghiệm. x   0;1  3 . 2 3 x m có nghiệm (Dự bị B – 2007). 0  m 1. x  3  2 x  4  x  6 x  4  5 m có đúng hai nghiệm. (Dự Đs: 2  m 4. 5) Tìm m để phương trình bị D – 2007). 6) Tìm m để phương trình sau 2007). 4. x 4  13 x  m  x  1 0 có đúng một nghiệm thực. (Dự bị A –.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Đs:. m . 3 , m  12 2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>