Phuong phap toa do trong mat phang luyen thi THQG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC –CAO ĐẲNG. CHUYÊN ĐỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG. Giaùo Vieân: Nguyeãn Vaên Thieän

<span class='text_page_counter'>(2)</span> MỤC LỤC Phần 1: Tổng hợp các kiến thức cơ bản .............................................................01 I. Hệ tọa độ ...........................................................................................................01 II. Hệ thức lượng trong tam giác- đường tròn ........................................................02 III. Phương trình đường thẳng ..............................................................................03 IV. Phương trình đường tròn ................................................................................05 V. Phương trình đường Elip ................................................................................05 VI. Phương trình đường Hypebol .........................................................................05 VII. Phương trình đường Parabol .........................................................................06 Phần 2: Những bài toán cơ bản ..........................................................................07 Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng ............................................................07 Bài toán 2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng...................................................07 Bài toán 3: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .................................08 Bài toán 4: Góc giữa hai đường thẳng ...................................................................09 Bài toán 5: Các bài toán dựng tam giác .................................................................09 Bài toán 6: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ...........................................10 Bài toán 7: Lập phương trình đường tròn ..............................................................10 Bài toán 8: Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C).........................11 Bài toán 9: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2) ................................11 Bài toán 10: Tiếp tuyến của đường tròn (C) ..........................................................12 Bài toán 14: Xác định các yếu tố của (H) ..............................................................13 Bài toán 15: Lập phương trình chính tắc của (H)...................................................13 Bài toán 16: Tìm điểm trên (H) thoả mãn điều kiện cho trước...............................13.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài toán 17: Xác định các yếu tố của (P) ...............................................................13 Bài toán 18: Lập phương trình chính tắc của (P) ...................................................14 Bài toán 19: Tìm điểm trên (P) thoả mãn điều kiện cho trước................................14 Bài toán 20: Tập hợp điểm ....................................................................................14 Bài tập áp dụng.....................................................................................................15 Phần 3: Các bài toán trọng điểm trong mặt phẳng Oxy ...................................19 Bài toán 1: Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I một khoảng cho trước (IM=R không đổi) ..................................19 Bài toán 1.1: Cho biết M thuộc đường thẳng  và điểm I. Độ dài đoạn IM đề không cho. Cần dựa vào các dữ kiện của bài toán để tính độ dài đoạn IM. ..........................................................................19 Bài toán 1.2: Cho biết M cách I một khoảng không đổi. Cần dựa vào dữ kiện bài toán để viết phương trình đường chứa M. ................................24 Bài toán 1.3: Kết hợp bài toán 1.1 và bài toán 1.2. Dựa vào dữ kiện bài toán cần: Tính được độ dài MI (với I đã biết) và viết phương trình đường qua M .................................................................................26 Bài toán 1.4: Tìm điểm M gián tiếp thông qua một điểm khác thuộc bài toán 1 .....................................................................................................28 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................31 Bài toán 2: Tìm M thuộc đường thẳng d và cách đường thẳng d’ một khoảng không đổi ..................................................................................39 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................41.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài toán 3: Tìm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB là tam giác đăc biệt (vuông, cân, hai cạnh có quan hệ về độ dài, ….) ...............42 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................46 Bài toán 4: Tìm M thuộc đường thẳng d và thoả điều kiện cho trước (mở rộng của bài toán 1, 2, 3) .......................................................................48 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................51 Bài toán 5: Tìm M dựa vào hệ thức vectơ .............................................................52 Bài toán 5.1 Tìm toạ độ M liên hệ với hai (ba) điểm cho trước qua một hệ.   thức vectơ MA =kMB .......................................................................... 52 Bài toán 5.2 Tìm toạ độ hai điềm M, N lần lượt thuộc hai đường thẳng. d1, d 2 và liên hệ với điểm thứ ba cho trước qua hệ thức vectơ ..............54 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................57 Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng .........................................................60 Bài toán 6.1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1 điểm, cách một điểm cho trước một khoảng không đổi ..................................................60 Bài toán 6.2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1 điểm, tạo với đường thẳng cho trước một góc không đổi ............................................62 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................66 Bài toán 6.3 Viết phương trình đường thẳng d biết phương của đường thẳng và d cách điểm cho trước một khoảng không đổi .........................70 Bài toán 6.4 Viết phương trình đường thẳng d biết phương của đường thẳng và thoả mãn điều kiện cho trước ..................................................71 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................73.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài toán 7: Tìm điểm dựa vào trung tuyến, đường cao, trung trực trong tam giác. ...............................................................................................74 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................76 Bài toán 8: Tìm điểm dựa vào phân giác trong (ngoài) của tam giác.....................78 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................81 Bài toán 9: Tìm điểm thuộc (E) thoả điều kiện cho trước; Viết phương trình chính tắc của (E) ...........................................................................84 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................86 Bài toán 10: Cho hai đường tròn  C1  và  C2  cắt nhau tại hai điểm A, B. Viết phương trình đường thẳng AB .................................................88 Bài tập vận dụng: ..................................................................................................90 Phần 4: Phát triển từ các bài toán hình học phẳng thuần túy ..........................91 Phần 5 : Bài tập tổng hợp....................................................................................98.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN I. HỆ TOẠ ĐỘ. 1. Hệ trục toạ độ - toạ độ vectơ – toạ độ điểm  Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần   lượt là i , j . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.      Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u  ( x; y )  u  x.i  y. j .     Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M ( x; y )  OM  x.i  y. j .    Tính chất: Cho a  ( x; y ), b  ( x ; y ), k  R , A( x A ; y A ), B ( xB ; y B ), C ( xC ; yC ) :.  x  x      + a  b  ( x  x; y  y ) + ka  ( kx; ky ) + a b   y  y     k  R: x  kx vào y  ky . + b cùng phương với a  0 .  + AB  ( xB  x A ; yB  y A ) .. x y  (nếu x  0, y  0). x y. x A  xB y  yB ; yI  A . 2 2 x  xB  xC y  y B  yC . + Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG  A ; yG  A 3 3 x  kxB y  ky B + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1: xM  A ; yM  A . 1 1  k  k   ( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  k MB ). 2. Góc giữa hai vectơ        Cho a , b  0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA  a , OB  b .   Khi đó  a , b    AOB với 00   AOB  1800. + Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI . Chú ý:   a b     0 A  +  a , b  = 90  a  b a     0 O +  a , b  = 0  a , b cùng hướng    b B   0 +  a , b  = 180  a , b ngược hướng     +  a , b   b , a  3. Tích vô hướng của hai vectơ       Định nghĩa: a.b  a . b .cos  a , b  .   2 a.a  a 2  a . Đặc biệt:     Tính chất: Với a , b , c bất kì và kR, ta có:        + a.b  b .a ; a  b  c   a.b  a.c ;         ka  .b  k  a.b   a.  kb  ; a 2  0; a2  0  a  0 .    2      2         +  a  b   a 2  2a.b  b 2 ;  a  b   a 2  2a.b  b 2 ; a 2  b 2   a  b  a  b  . Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>          + a.b > 0   a , b  nhọn + a.b < 0   a , b  tù a.b = 0   a , b  vuông. 4. Biểu thức toạ độ củatích vô hướng   a.b  a1b1  a2b2 .  Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó:      a1b1  a2b2 ; a  b  a1b1  a2b2  0  a  a12  a22 ; cos(a , b )  a12  a22 . b12  b22  Cho A( x A ; y A ), B ( xB ; y B ) . Khi đó:. AB  ( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2 .. II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC – ĐƯỜNG TRÒN A. TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao. A  BC 2  AB 2  AC 2 (định lí Pi–ta–go)  AB 2  BC.BH , AC 2  BC .CH 1 1 1 B H C    AH 2  BH .CH , 2 2 AH AB AC 2  AH .BC  AB. AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C B. TRONG ĐƯỜNG TRÒN T Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. B  Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD. A     R PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO 2  R 2 M O  Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. C PM/(O) = MT 2  MO 2  R 2 D C. TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S 2 1. Định lí côsin a  b2  c2  2bc.cos A ; b2  c2  a2  2ca.cos B ; c 2  a 2  b 2  2ab.cos C a b c    2R 2. Định lí sin sin A sin B sin C 2(b 2  c 2 )  a 2 2(a 2  c 2 )  b 2 2(a 2  b 2 )  c 2 2 2 2 3. Độ dài trung tuyến ma  ; mb  ; mc  4 4 4 1 1 1 1 1 1 4. Diện tích tam giác: S = aha  bhb  chc = bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 2 2 2 abc = = pr = p ( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê–rông) 4R Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.. Trang 2. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(8)</span> III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng   Vectơ u  0 đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với .   Nhận xét:– Nếu u là một VTCP của  thì ku (k  0) cũng là một VTCP của . – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP. 2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng   Vectơ n  0 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với .   Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của  thì kn (k  0) cũng là một VTPT của . – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.     – Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của  thì u  n . 3. Phương trình tham số của đường thẳng  Cho đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .  x  x0  tu1 Phương trình tham số của :  (1) ( t là tham số). y y tu    0 2  x  x0  tu1 . Nhận xét: – M(x; y)     t  R:  y y tu   0 2   ,   900 . + k = tan, với  = xAv – Gọi k là hệ số góc của  thì: u + k = 2 , với u1  0 . u1. 4. Phương trình chính tắc của đường thẳng  Cho đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) . x  x0 y  y0 Phương trình chính tắc của :  (2) (u1  0, u2  0). u1 u2 Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc. 5. Phương trình tham số của đường thẳng PT ax  by  c  0 với a 2  b 2  0 đgl phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax  by  c  0 thì  có:    VTPT là n  (a; b) và VTCP u  ( b; a) hoặc u  (b;  a) .  – Nếu  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n  (a; b) thì phương trình của  là:. a( x  x0 )  b( y  y0 )  0 Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng  c=0 ax  by  0  đi qua gốc toạ độ O a=0 by  c  0  // Ox hoặc   Ox  // Oy hoặc   Oy b=0 ax  c  0 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>   đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình của :. x y   1. a b. (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .   đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của : y  y0  k ( x  x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 . a x  b1 y  c1  0 Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:  1 (1) a x b y c 0    2 2  2 a b  1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm  1  1 (nếu a2 , b2 , c2  0 ) a2 b2 a b c  1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  1  1  1 (nếu a2 , b2 , c2  0 ) a2 b2 c2 a b c  1  2  hệ (1) có vô số nghiệm  1  1  1 (nếu a2 , b2 , c2  0 ) a2 b2 c2 7. Góc giữa hai đường thẳng  Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1 y  c1  0 (có VTPT n1  (a1; b1 ) )  và 2: a2 x  b2 y  c2  0 (có VTPT n2  ( a2 ; b2 ) ).   ( n1 , n2 ) khi ( n1, n2 )  900  (1,  2 )       0 khi ( n1 , n2 )  900 180  ( n1 , n2 )   n1.n2 a1b1  a2b2     cos(1 ,  2 )  cos(n1 , n2 )     n1 . n2 a 2  b 2 . a 2  b2 1. 1. 2. 2.  1  2  a1a2  b1b2  0 .  Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: + 1 // 2  k1 = k2 + 1  2  k1. k2 = –1. 8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng  Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) . ax  by0  c d ( M 0 , )  0 a2  b2  Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N )  . – M, N nằm cùng phía đối với   (axM  byM  c )( axN  by N  c )  0 . – M, N nằm khác phía đối với   (axM  byM  c )( axN  by N  c )  0 .  Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là: a1 x  b1 y  c1 a x  b2 y  c2  2 a12  b12 a22  b22 Chú ý:. Trang 4. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(10)</span> IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 1. Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:. ( x  a )2  ( y  b)2  R 2 .. Nhận xét: Phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , với a 2  b 2  c  0 , là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a 2  b 2  c . 2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .  tiếp xúc với (C)  d ( I ,  )  R V. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 1. Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0). M  ( E )  MF1  MF2  2a (a > c) F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự. 2. Phương trình chính tắc của elip x2 y 2  2  1 (a  b  0, b 2  a 2  c 2 ) 2 a b  Toạ độ các tiêu điểm: F1 (c;0), F2 (c;0) .  Với M(x; y)  (E), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M. c c MF1  a  x, MF2  a  x a a 3. Hình dạng của elip  (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.  Toạ độ các đỉnh: A1 ( a;0), A2 ( a;0), B1 (0; b), B2 (0; b)  Độ dài các trục: trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b c  Tâm sai của (E): e  (0 < e < 1) a  Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x   a, y  b (ngoại tiếp elip). 4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao) a  Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x   0 e MF1 MF2  Với M  (E) ta có:   e (e < 1) d ( M , 1 ) d ( M ,  2 ) VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL 1. Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0). M  ( H )  MF1  MF2  2a F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự. 2. Phương trình chính tắc của hypebol. (a < c). Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> x2 2. . y2 2.  1 (a, b  0, b 2  c 2  a 2 ). a b  Toạ độ các tiêu điểm: F1 (c;0), F2 (c;0) .  Với M(x; y)  (H), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.. MF1  a . c c x , MF2  a  x a a. 3. Hình dạng của hypebol  (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.  Toạ độ các đỉnh: A1 ( a;0), A2 (a;0)  Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b c e  (e > 1)  Tâm sai của (H): a  Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x   a, y  b . b  Phương trình các đường tiệm cận: y   x . a 4. Đường chuẩn của hypebol a  Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x   0 e MF1 MF2   e (e < 1)  Với M  (H) ta có: d ( M , 1 ) d ( M ,  2 ) VII. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL 1. Định nghĩa Cho điểm F và đường thẳng  không đi qua F. M  ( P )  MF  d ( M ,  ) F: tiêu điểm, : đường chuẩn, p  d ( F ,  ) : tham số tiêu.. y 2  2 px. 2. Phương trình chính tắc của parabol  Toạ độ tiêu điểm:. (p > 0). p  F  ;0  . 2 .  Phương trình đường chuẩn: : x . p  0. 2.  Với M(x; y)  (P), bán kính qua tiêu điểm của M là MF  x . p . 2. 3. Hình dạng của parabol  (P) nằm về phía bên phải của trục tung.  (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng.  Toạ độ đỉnh: O (0;0)  Tâm sai: e = 1.. Trang 6. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(12)</span> PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN BÀI TOÁN 1: Lập phương trình đường thẳng  Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng  ta cần  xác định một điểm M 0 ( x0 ; y0 )   và một VTCP u  (u1; u2 ) của .  x  x0  tu1 x  x0 y  y0  (u1  0, u2 PTTS của :  ; PTCT của : u1 u2  y  y0  tu2  0).  Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác định một điểm  M 0 ( x0 ; y0 )   và một VTPT n  (a; b) của . PTTQ của : a( x  x0 )  b( y  y0 )  0  Một số bài toán thường gặp: +  đi qua hai điểm A( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) (với x A  xB , y A  y B ): x  xA y  yA PT của :  xB  x A y B  y A x y +  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): PT của :   1 . a b +  đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: PT của : y  y0  k ( x  x0 ) Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một đường thẳng.  Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d. – Xác định I = d   (I là hình chiếu của M trên d). – Xác định M sao cho I là trung điểm của MM. Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM. Khi đó:   MM   u d (sử dụng toạ độ) M đối xứng của M qua d    I  d  Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , ta có thể thực hiện như sau: – Nếu d // : + Lấy A  d. Xác định A đối xứng với A qua . + Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d. – Nếu d   = I: + Lấy A  d (A  I). Xác định A đối xứng với A qua . + Viết phương trình đường thẳng d qua A và I.  Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ta có thể thực hiện như sau: – Lấy A  d. Xác định A đối xứng với A qua I. – Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d. BÀI TOÁN 2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 . Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình: a1x  b1 y  c1  0 (1)  a x b y c 0     2 2 2 a b  1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm  1  1 (nếu a2 , b2 , c2  0 ) a2 b2 a b c  1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  1  1  1 (nếu a2 , b2 , c2  0 ) a2 b2 c2. a1 b1 c1   (nếu a2 , b2 , c2  0 ) a2 b2 c2 Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau: – Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng. – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó..  1  2.  hệ (1) có vô số nghiệm . BÀI TOÁN 3: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .. d ( M 0 , ) . ax0  by0  c. a2  b2 2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N )  . – M, N nằm cùng phía đối với   (axM  byM  c )( axN  by N  c )  0 . – M, N nằm khác phía đối với   (axM  byM  c )( axN  by N  c )  0 . 3. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là: a1 x  b1 y  c1 a x  b2 y  c2  2 a12  b12 a22  b22 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân giác của góc trong tam giác). Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E    AB  AB  BC) ta có: DB   .DC , EB  .EC . AC AC – Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Cách 2: – Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. – Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2). + Nếu B, C nằm khác phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác trong. + Nếu B, C nằm cùng phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác ngoài. Trang 8. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(14)</span> BÀI TOÁN 4: Góc giữa hai đường thẳng  Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1 y  c1  0 (có VTPT n1  (a1; b1 ) )  và 2: a2 x  b2 y  c2  0 (có VTPT n2  ( a2 ; b2 ) ).   ( n1 , n2 ) khi ( n1, n2 )  900  (1,  2 )       0 khi ( n1 , n2 )  900 180  ( n1 , n2 )   n1.n2 a1b1  a2b2     cos(1 ,  2 )  cos(n1 , n2 )     n1 . n2 a12  b12 . a22  b22  Chú ý:  00   ,   900 .. . 1. 2. .  1  2  a1a2  b1b2  0 .  Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: + 1  2  k1. k2 = –1. + 1 // 2  k1 = k2  Cho ABC. Để tính góc A trong ABC, ta có thể sử dụng công thức:    AB. AC cos A  cos  AB, AC     AB . AC BÀI TOÁN 5: Các bài toán dựng tam giác Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác. Sau đây là một số dạng: Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB, CC. Cách dựng: – Xác định B = BC  BB, C = BC  CC. – Dựng AB qua B và vuông góc với CC. – Dựng AC qua C và vuông góc với BB. – Xác định A = AB  AC. Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB, CC. Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC. – Dựng AC qua A và vuông góc với BB. – Xác định B = AB  BB, C = AC  CC. Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN. Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM  CN. – Xác định A đối xứng với A qua G (suy ra BA // CN, CA // BM). – Dựng dB qua A và song song với CN. – Dựng dC qua A và song song với BM. – Xác định B = BM  dB, C = CN  dC. Dạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung điểm M của cạnh BC. Cách dựng: – Xác định A = AB  AC. – Dựng d1 qua M và song song với AB. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> – Dựng d2 qua M và song song với AC. – Xác định trung điểm I của AC: I = AC  d1. – Xác định trung điểm J của = AB  d2 .  AB: J  – Xác định B, C sao cho JB  AJ , IC  AI ..   Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho MB   MC . BÀI TOÁN 6: Xác định tâm và bán kính của đường tròn  Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: ( x  a )2  ( y  b)2  R 2 thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.  Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0. a. 2.  b2  c  0. thì. . – Biến đổi đưa về dạng ( x  a )2  ( y  b)2  R 2. hoặc – Tâm I(–a; –b), bán kính R =. a 2  b2  c .. BÀI TOÁN 7: Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là: ( x  a )2  ( y  b)2  R 2 Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. – Bán kính R = IA. Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . – Bán kính R = d ( I ,  ) . Dạng 3: (C) có đường kính AB. – Tâm I là trung điểm của AB. AB . – Bán kính R = 2 Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. I  d – Tâm I của (C) thoả mãn:  . d ( I ,  )  IA – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2. d ( I , 1)  d ( I ,  2 ) (1) – Tâm I của (C) thoả mãn:  (2) d ( I , 1)  IA – Bán kính R = IA. Trang 10. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(16)</span> – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2. 1 – Nếu 1 // 2, ta tính R = d ( 1,  2 ) , và (2) được thay thế bới IA = R. 2 Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d. d ( I , 1)  d ( I ,  2 ) – Tâm I của (C) thoả mãn:  . I  d – Bán kính R = d ( I , 1 ) . Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác). Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C).  IA  IB Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:  .  IA  IC – Bán kính R = IA = IB = IC. Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC. – Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = d ( I , AB ) .. Chú ý: 1 và 2. BÀI TOÁN 8: Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax  By  C  0 và đường tròn (C):. x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , ta có thể thực hiện như sau:.  Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R. – Xác định tâm I và bán kính R của (C). – Tính khoảng cách từ I đến d. + d ( I , d )  R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + d ( I , d )  R  d tiếp xúc với (C). + d ( I , d )  R  d và (C) không có điểm chung.  Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:  Ax  By  C  0 (*)  2 2  x  y  2ax  2by  c  0 + Hệ (*) có 2 nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + Hệ (*) có 1 nghiệm  d tiếp xúc với (C). + Hệ (*) vô nghiệm  d và (C) không có điểm chung. BÀI TOÁN 9: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2) Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1): x 2  y 2  2a1x  2b1 y  c1  0 , (C2): x 2  y 2  2a2 x  2b2 y  c2  0 . ta có thể thực hiện như sau:  Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> +. R1  R2  I1I 2  R1  R2  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm.. + +. I1I 2  R1  R2 I1I 2  R1  R2.  (C1) tiếp xúc ngoài với (C2).  (C1) tiếp xúc trong với (C2)..  (C1) và (C2) ở ngoài nhau.  (C1) và (C2) ở trong nhau.  Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình:  x 2  y 2  2a1x  2b1 y  c1  0 (*)  2 2  x  y  2a2 x  2b2 y  c2  0 + Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + Hệ (*) có một nghiệm  (C1) tiếp xúc với (C2). + Hệ (*) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung. + +. I1I 2  R1  R2 I1I 2  R1  R2. BÀI TOÁN 10: Tiếp tuyến của đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .  tiếp xúc với (C)  d ( I ,  )  R  Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M 0 ( x0 ; y0 )  (C).  –  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT IM 0 .  Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước. – Viết phương trình của  có phương cho trước (phương trình chứa tham số t). – Dựa vào điều kiện: d ( I ,  )  R , ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của .  Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A( x A ; y A ) ở ngoài đường tròn (C). – Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số). – Dựa vào điều kiện: d ( I ,  )  R ,ta tìm được các tham số.Từ đó suy ra pt của . BÀI TOÁN 11: Xác định các yếu tố của (E) x2 y 2 Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc: 2  2  1 . Xác định a, b, c. a b Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. – Tiêu cự 2c. – Toạ độ các tiêu điểm F1 (c;0), F2 (c;0) . – Toạ độ các đỉnh A1 ( a;0), A2 ( a;0), B1 (0; b), B2 (0; b) . c – Tâm sai e  . a a – Phương trình các đường chuẩn x   0 e BÀI TOÁN 12: Lập phương trình chính tắc của (E) Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E): c + b2  a 2  c 2 + Các tiêu điểm F1 (c;0), F2 (c;0) + e a Trang 12. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(18)</span> + Các đỉnh: A1 ( a;0), A2 ( a;0), B1 (0; b), B2 (0; b) BÀI TOÁN 13: Tìm điểm trên (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E): c c MF1  a  x, MF2  a  x a a BÀI TOÁN 14: Xác định các yếu tố của (H) x2 y 2 Đưa phương trình của (H) về dạng chính tắc: 2  2  1 . Xác định a, b, c. a b Các yếu tố: – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b. – Tiêu cự 2c. – Toạ độ các tiêu điểm F1 (c;0), F2 (c;0) . – Toạ độ các đỉnh A1 ( a;0), A2 (a;0) . c – Tâm sai e  . a b – Phương trình các đường tiệm cận: y   x a a – Phương trình các đường chuẩn x   0 e BÀI TOÁN 15: Lập phương trình chính tắc của (H) Để lập phương trình chính tắc của (H) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (H). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (H): c + e + b2  c2  a 2 + Các tiêu điểm F1 (c;0), F2 (c;0) a + Các đỉnh: A1 ( a;0), A2 (a;0) BÀI TOÁN 16: Tìm điểm trên (H) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý:  Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (H): c c MF1  a  x , MF2  a  x a a  Nếu M thuộc nhánh phải thì x  a c c  MF1  x  a , MF2  x  a (MF1 > MF2) a a  Nếu M thuộc nhánh trái thì x  – a c  c   MF1    x  a  , MF2    x  a  (MF1 < MF2) a  a  BÀI TOÁN 17: Xác định các yếu tố của (P) Đưa phương trình của (P) về dạng chính tắc: y 2  2 px . Xác định tham số tiêu p.. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> p  – Toạ độ tiêu điểm F  ;0  . 2 . Các yếu tố:. – Phương trình đường chuẩn : x . p  0. 2. BÀI TOÁN 18: Lập phương trình chính tắc của (P) Để lập phương trình chính tắc của (P) ta cần xác định tham số tiêu p của (P). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (P): p p  – Phương trình đường chuẩn : x   0 . – Toạ độ tiêu điểm F  ;0  2  2 BÀI TOÁN 19: Tìm điểm trên (P) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (P): p MF  x  2 BÀI TOÁN 20: Tập hợp điểm 1. Tập hợp các tâm đường tròn Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), ta có thể thực hiện như sau: a) Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I.  x  f (m) . b) Tìm toạ độ tâm I. Giả sử: I   y g ( m )  c) Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x; y) = 0. d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y. e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x; y) = 0 cùng với phần giới hạn ở d). 2. Tập hợp điểm là đường tròn Thực hiện tương tự như trên. 3. Tập hợp điểm là Elip Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng: Dạng 1: MF1  MF2  2a  Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a.. x2. y2.  1 (a > b)  Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. a 2 b2 4. Tập hợp điểm là Hypebol Dạng 2:. . MF1  MF2  2a  Tập hợp là hypebol (H) có hai tiêu điểm F1, F2, trục 2a. x2 y 2 Dạng 2: 2  2  1  Tập hợp là hypebol (H) có độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b. a b 5. Tập hợp điểm là Parabol. Dạng 1: thực. Dạng 1: MF  d ( M ,  )  Tập hợp là (P) có tiêu điểm F. p  Dạng 2: y 2  2 px  Tập hợp là (P) có tiêu điểm F  ;0  . 2  Trang 14. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Bài tập áp dụng:. . Bài 1. Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u :.   a) M(–2; 3) , u  (5; 1) b) M(–1; 2), u  ( 2;3) c) M(3; –1),  u  ( 2; 5)  Bài 2. Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n :   a) M(–2; 3) , n  (5; 1) b) M(–1; 2), n  ( 2;3) c) M(3; –1),  n  ( 2; 5) Bài 3. Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hsg k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1 Bài 4. Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) Bài 5. Viết PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4 x  10 y  1  0 b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy  x  1  2t x 1 y  4  d) M(2; –3), d:  e) M(0; 3), d: 2 3  y  3  4t Bài 6. Viết PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4 x  10 y  1  0 b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy  x  1  2t x 1 y  4 e) M(0; 3), d: d) M(2; –3), d:   3 2  y  3  4t Bài 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Bài 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao của tam giác, với: AB : 2 x  3 y  1  0, BC : x  3 y  7  0, CA : 5 x  2 y  1  0 Bài 9. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với: 3 5 5 7 a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M  ;   , N  ;   , P (2; 4) 2 2 2 2 Bài 10. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), d : 2 x  y  3  0 b) M(3; – 1), d : 2 x  5 y  30  0 Bài 11. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , với: a) d : 2 x  y  1  0,  : 3 x  4 y  2  0 b) d : x  2 y  4  0,  : 2 x  y  2  0 Bài 12. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: a) d : 2 x  y  1  0, I (2;1) b) d : x  2 y  4  0, I (3;0) Bài 13. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M (4; 5), d : 3 x  4 y  8  0 b) M (3;5), d : x  y  1  0  x  2t x  2 y 1 c) M (4; 5), d :   d) M (3;5), d : 2 3  y  2  3t Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Bài 14.. a) Cho đường thẳng : 2 x  y  3  0 . Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với . b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2 x  3 y  5  0, 3x  2 y  7  0 và đỉnh A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó. c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: d1 : 3 x  4 y  6  0 và d 2 : 6 x  8 y  13  0 . Bài 15. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) Bài 16. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng  một khoảng k, với:  x  3t b)  :  ,k 3 a)  : 2 x  y  3  0, k  5   y t 2 4  c)  : y  3  0, k  5 d)  : x  2  0, k  4 Bài 17. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  và cách điểm A một khoảng bằng k, với: a)  : 3x  4 y  12  0, A(2;3), k  2 b)  : x  4 y  2  0, A(2;3), k  3 c)  : y  3  0, A(3; 5), k  5 d)  : x  2  0, A(3;1), k  4 Bài 18. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3 b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5 c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5 d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4. Bài 19. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) x  2 y  1  0, x  3 y  11  0 b) 2 x  y  5  0, 3 x  y  6  0 c) 3 x  7 y  26  0, 2 x  5 y  13  0 d) 3 x  4 y  5  0, 4 x  3 y  11  0 Bài 20. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : 2 x  3 y  21  0, BC : 2 x  3 y  9  0, CA : 3x  2 y  6  0 d) AB : 4 x  3 y  12  0, BC : 3 x  4 y  24  0, CA : 3x  4 y  6  0 Bài 21. Cho hai đường thẳng d và . Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với: a) d : 2mx  (m  3) y  4m  1  0,  : (m  1) x  (m  2) y  m  2  0,   450 . b) d : (m  3) x  (m  1) y  m  3  0,  : ( m  2) x  ( m  1) y  m  1  0,   900 . Bài 22. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng  một góc , với: a) A(6;2),  : 3 x  2 y  6  0,   450 b). A(2;0),  : x  3 y  3  0,   450 c) A(2;5),  : x  3 y  6  0,   600. d). A(1;3),  : x  y  0,   300 Bài 23. Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là 3 x  y  5  0 . a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông. b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông. Bài 24. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó: Trang 16. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(22)</span> a) x 2  y 2  2 x  2 y  2  0. b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0. c) x 2  y 2  2 x  8 y  1  0. d) x 2  y 2  6 x  5  0. e) 16 x 2  16 y 2  16 x  8 y  11. f) 7 x 2  7 y 2  4 x  6 y  1  0. g) 2 x 2  2 y 2  4 x  12 y  11  0 h) 4 x 2  4 y 2  4 x  5 y  10  0 Bài 25. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: a) x 2  y 2  4mx  2my  2m  3  0 b) x 2  y 2  2(m  1) x  2my  3m 2  2  0 Bài 26. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Bài 27. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: a) I (3; 4),  : 4 x  3 y  15  0 b) I (2;3),  : 5 x  12 y  7  0 c) I (3;2),   Ox d) I (3; 5),   Oy Bài 28. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) Bài 29. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với: a) A(2;3), B (1;1),  : x  3 y  11  0 b) A(0;4), B(2;6),  : x  2 y  5  0 Bài 30. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với: a) A(1;2), B (3;4),  : 3 x  y  3  0 b) A(6;3), B (3;2),  : x  2 y  2  0 c) A(1; 2), B(2;1),  : 2 x  y  2  0 d) A(2;0), B (4;2),   Oy Bài 31. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B, với: a) A(2;6),  : 3 x  4 y  15  0, B (1; 3) b) A(2;1),  : 3x  2 y  6  0, B(4;3) c) A(6; 2),   Ox, B (6;0) d) A(4; 3),  : x  2 y  3  0, B(3;0) Bài 32. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với: a) A(2;3), 1 : 3 x  4 y  1  0,  2 : 4 x  3 y  7  0 b) A(1;3), 1 : x  2 y  2  0,  2 : 2 x  y  9  0 c) A  O (0;0), 1 : x  y  4  0,  2 : x  y  4  0 d) A(3; 6), 1  Ox,  2  Oy Bài 33. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d, với: a) 1 : 3 x  2 y  3  0,  2 : 2 x  3 y  15  0, d : x  y  0 b) 1 : x  y  4  0,  2 : 7 x  y  4  0, d : 4 x  3 y  2  0 Bài 34. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C  O(0; 0) Bài 35. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : 2 x  3 y  21  0, BC : 3 x  2 y  6  0, CA : 2 x  3 y  9  0 Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Bài 36. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d.. i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ. ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. a) (C ) : x 2  y 2  6 x  2 y  5  0, d : 2 x  y  3  0 b) (C ) : x 2  y 2  4 x  6 y  0, d : 2 x  3 y  1  0 Bài 37. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d. i) Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C). ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. iv) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. a) (C ) : x 2  y 2  4 x  6 y  12  0, A(7;7), d : 3x  4 y  6  0 b) (C ) : x 2  y 2  4 x  8 y  10  0, A(2; 2), d : x  2 y  6  0. Trang 18. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(24)</span> PHẦN 3: CÁC BÀI TOÁN TRỌNG ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG Oxy BÀI TOÁN 1. Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I một khoảng cho trước (IM=R không đổi) VÍ DỤ GỐC: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I  5; 2  và đường thẳng Δ : 2 x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho MI  5 ..  1 17 . Cách 1: M  d  M  t  ; IM  5  t  M . ĐS: M 1;5  hoặc M  ;  . 5 5  Cách 2: MI  5 → M thuộc đường tròn tâm I bán kính R=5  M là giao điểm của đường thẳng và đường tròn → M. BÀI TOÁN 1.1: Cho biết M thuộc đường thẳng  và điểm I. Độ dài đoạn IM đề không cho. Cần dựa vào các dữ kiện của bài toán để tính độ dài đoạn IM. Ví dụ 1 (D – 2006): Trong mặt phẳng tọa độ.  C  : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 và đường thẳng. Oxy ,. cho đường tròn. d : x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên. d sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn  C  , tiếp xúc. ngoài với đường tròn  C  . HD: Điểm M thuộc đường thẳng d  M  t  . Từ (C)  tâm I và bán kính R. ta có IM=3R  M. ĐS: M 1; 4  hoặc M  2;1 . Ví dụ 2 (A – 2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng Δ : x  y  2  0 và đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  0 . Gọi I là tâm của  C  , M là điểm thuộc Δ . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến  C  ( A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 . Hướng dẫn: Từ (C)  tâm I và bán kính R. Từ tứ giác MAIB có diện tích bằng 10  diện tích tam giác MBI. Có. BI  MB, mà M  t   M. ĐS: M  2; 4  hoặc M  3;1 . Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> 1 2.  . Ví dụ 3 (B – 2002): Cho hình chữ nhật BC có tâm I  ; 0  , phương trình đường thẳng AB là x  2 y  2  0 và AB  2 AD . Tìm tọa độ các điểm A, B, C , D biết rằng A có hoành độ âm. Hướng dẫn: B thuộc đường thẳng AB  B  t  và I là trung điểm BD  D  t  .. Ta có AD=2d(I,AB)  t. Cách 2: AD=2d(I,AB)=2IH. Tính được IA=IB, từ đó  A, B là giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn tâm I, bán kính R=IA. ĐS: A  2; 0  , B  2; 2  , C  3; 0  , D  1; 2  . Ví dụ 4 (B – 2009 – NC): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A  1; 4  và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ : x  y  4  0 . Xác định tọa độ các đỉnh B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Hướng dẫn: Từ diện tích tam giác ABC  BC  AB  AC . Ta có B, C là giao điểm của 3. 5.  11 3 . đường thẳng với đường tròn tâm A bán kính AB. ĐS: B  ;   , C  ;  hoặc 2 2  2 2  3 5   11 3  C  ;   , B ;  . 2 2  2 2. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm trên đường thẳng có phương trình x  y  3  0 , điểm M  1; 2  thuộc đường thẳng AB , điểm N  2; 2  thuộc đường thẳng AD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương. Phân Tích: Trong các dữ kiện của bài toán, ta thấy điểm “có lợi” để khai thác nhất là B (BBD và xB >0) Nếu tìm được NB hoặc MB thì sẽ tìm được B.  Ta đi tính MH=d(M,BD) để tìm B (vì  MHB vuông cân tại H). Từ đó A(2;2); B(1;2); C(1;1), D(2;1) Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D , có AB  AD  CD , điểm B 1; 2  , đường thẳng BD có phương trình y  2 . Biết đường thẳng. Δ : 7 x  y  25  0 cắt các đoạn thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M , N sao cho BM vuông. Trang 20. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(26)</span> góc với BC và tia BN là tia phân giác trong của  MBC . Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ dương. Phân Tích: Với dữ kiện bài toán, ta thấy DBD nên nếu tính được DB thì ta sẽ tìm được B. Vì  đã biết pt nên ta nghĩ đến tính d(B,) và tìm mối liên kết giữa đại lượng này với BD. Với giả thiết còn lại và bằng phương pháp hình học thuần túy ta có thể chứng minh BH=d(B,CD)=d(B,). Từ đó ta tính được độ dài BD. Ví dụ 7. (A, A1 – 2012 – CB): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN  2 ND . Giả sử.  11 1  M  ;  và AN có phương trình 2 x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm A .  2 2. Phân Tích: A  AN. Điểm M biết tọa độ nên nếu tính được AM thì sẽ tìm được A.Ta gắn AM vào AMH vuông tại H. với. AH=d(M,AN). Ta chỉ cần tìm thêm một yếu tố về cạnh hoặc góc của. AMH là tính được AM. Vì các cạnh và góc A của AMH có liên quan đến cạnh và góc hình vuông nên ta tính cot A  tan  DAN  BAM hoặc cosA(bằng đlí. . . côsin) Ví dụ 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,. cho hai đường thẳng Δ1 : 3x  y  5  0 ,. Δ2 : x  2 y  3  0 và đường tròn  C  : x 2  y 2  6 x  10 y  9  0 . Gọi M là một điểm thuộc. đường tròn  C  và  N  là điểm thuộc đường thẳng Δ1 sao cho M và N đối xứng với nhau qua Δ2 . Tìm tọa độ điểm N . Phân Tích: Điểm N1 đã biết pt, ta cần tìm thêm một yếu tố liên quan đến N. Để ý đến các điểm đã biết trong giả thiết, đường tròn (C) có tâm I(3;-5), nếu biết NI thì sẽ tìm được N. Song ở đây tìm NI phức tạp, vì vậy ta sẽ tìm một điểm khác mà việc tính khoảng cách từ đó đến N đơn giản hơn. Trong bài toán có chứa yếu tố đối xứng (M,N đối xứng qua 2 ), điều đó gợi cho ta nghĩ đến điểm I’ đối xứng với I qua 2. và điểm này hoàn toàn xác định, từ đó ta có NI’=MI=R=5.. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> . . Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A 1;  3 có góc  ABC  300 , đường thẳng Δ : x  y  2  0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam. giác ABC . Tìm tọa độ các điểm B và x  y  2  0 , biết B có hoành độ là một số hữu tỉ. Phân Tích: Ở đây, B thuộc  và A đã biết tọa độ. Do đó, nếu tính được độ dài AB ta sẽ tìm được B. Khi đã tìm được B ta sẽ viết được phương trình BC và AC  C Ví dụ 10. Cho hình thoi ABCD , ngoại tiếp đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  2 y  18  0 . Biết AC  2 BD , điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng Δ : 2 x  y  5  0 . Viết. phương trình cạnh A, B . Phân Tích: Ở đây, B thuộc  và I là tâm đường tròn (C)đã biết tọa độ,do đó nếu tính được độ dài BI ta sẽ tìm được B. Khi đã tìm được B, ta chuyển về bài toán viết phương trình đường thẳng AB đi qua điểm B và cách I một khoảng bằng R Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có E , F lần lượt thuộc các đoạn AB, AD sao cho EB  2 EA, FA  3FD, F  2;1 và tam giác CEF vuông tại F . Biết rằng đường thẳng x  3 y  9  0 đi qua hai điểm C , E . Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương. Phân Tích: C  CE đã biết phương trình và F đã biết tọa độ.điều đó gợi ý cho ta đi tính độ dài CF. Với dữ kiện EB=2EA, FA=3FD và CEF vuông tại F ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa hai cạnh của hình chữ nhật. Song ta thiếu một dữ kiện về định lượng. Ta đi tính d(F,CE) là yếu tố ẩn của đề. Thông số này giúp ta tính được độ dài CF. Ví dụ 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy lớn CD và  BCD  450 . Đường thẳng AD và BD lần lượt có phương trình 3 x  y  0 và x  2 y  0 . Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 15 và điểm B có tung độ dương.. Phân Tích:B  BD và yB>0 giúp ta nghĩ đến tìm B trước. D coi như đã biết, ta sẽ tính độ dài BD. Ở đây cho SABCD=15(*), Trang 22. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(28)</span> mà SABCD phụ thuộc và AB, AD và CD nên (*) chứa tới 3 ẩn. Ta cần giảm số ẩn trong (*), muốn thế phải tìm mối liên hệ giữa AB, AD và CD. Vậy ta phải khai thác dữ kiện về số liệu cụ thể của bài toán. Dữ kiện cho  BCD  450 và AD, BD đã biết phương trình nên ta nghĩ đến tính góc giữa AD và BD từ đó  các tam giác ABD và BCD lần lượt vuông cân  biểu diễn AD,BD theo AB  BD. Khi tìm được B  pt BC do BC  BD. Ví dụ 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD  3BC . Đường thẳng BD có phương trình x  2 y  6  0 và tam giác ABD có trực tâm là H  3; 2  . Tìm tọa độ các đỉnh C và D . Phân Tích: Với yêu cầu của bài toán, ban đầu ta sẽ tự hỏi “ C và D ta sẽ tìm điểm nào trước?. DBD, CAC có thể viết được phương trình!. Khi đó I=BD∩AC xác định. Ta cần tìm thêm dữ kiên “có lợi” cho C và D”. Do ABCD là hình thang cân nên IB=IC   BCI  450  BCH là tam giác cân tại B  I là trung điểm của HC. Nghĩa là ta sẽ tìm được. C trước. Lúc này các dữ kiện chưa được khai thác là BC//AD và AD=3BC, từ đây ta nghĩ đến định lí talet và suy ra được DI=3BI=3IH. Khi đó ta sẽ tìm được D Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , điểm B 1;1 . Trên tia. BC. lấy điểm M. sao cho. BM .BC  75 . Phương trình đường thẳng. AC : 4 x  3 y  32  0 . Tìm tọa độ điểm x  y  5  0 biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam. giác ABCD bằng. 5 5 . 2. Phân Tích:Ta có A là hình chiếu của B lên AC nên coi như đã biết. Dữ kiện BM.BC=75gợi cho ta nghĩ đến tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp. Trong bài toán lại có yếu tố bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAC, để khai thác dữ kiện này ta dựng thêm điểm D sao cho ACMD nội tiếp, việc này giúp ta khai thác được tất cả các thông số trên. Sau khi dựng D ta sẽ phân tích các số liệu của bài toán để tính độ dài AC từ đó tìm được C. 2. 2. Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn T  :  x  1   y  2   5 và đường thẳng Δ : x  y  2  0 . Từ điểm A thuộc Δ kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với. T  tại. B và C . Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC bằng 8.. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 23.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Phân Tích: Biết I(1;2) cố định và A ta sẽ đi tính độ dài AI. Dữ kiện SABC=8 cho phép ta làm điều này. Vấn đề là làm sao biểu diễn SABC qua IA BÀI TOÁN 1.2: Cho biết M cách I một khoảng không đổi. Cần dựa vào dữ kiện bài toán để viết phương trình đường chứa M. Ví dụ 1 (B – 2005): Cho hai điểm A  2; 0  và B  6; 4  . Viết phương trình đường tròn  C  tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của  C  đến điểm B bằng 5. Phân Tích: Muốn viết phương trình (C) cần tìm tọa độ tâm I và bán kính R=IA. I cách B một khoảng không đổi bằng 5. Đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A  I thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với Ox. 2. Ví dụ 2 (B – 2009 – CB): Cho đường tròn  C  :  x  2   y 2 . 4 và hai đường thẳng 5. J  2;1 và ABC . Xác định tọa độ tâm K và bán kính của đường tròn  C1  ; biết đường tròn.  C1  tiếp xúc với các đường thẳng. AC và tâm K thuộc. đường tròn  C  . Phân Tích: (C1) tiếp xúc với  1,  2  K thuộc đường phân giác góc tạo bởi  1 và  2. K  C  KI=R Ví dụ 3 (B – 2012 – CB): Cho đường tròn  C1  : x 2  y 2  4,  C2  : x 2  y 2  12 x  18  0 và đường thẳng d : x  y  4  0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc  C2  , tiếp xúc với ABC và cắt  C1  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d .. Phân Tích: Ta cần:Xác định I và tính bán kính R Xác định I:AB  d  II1//d  phương trình II1. I  (C2)  II2=R2. R=d(I,d) Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn  T  có tâm I  0;5  . Đường thẳng AI cắt đường tròn. T  tại điểm. Trang 24. M  5; 0  với M khác A. Đường cao kẻ từ đỉnh C cắt đường tròn  T  tại. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(30)</span>  17 6  N   ;   với N khác C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết B có hoành độ 5  5. dương. Phân Tích: Vẫn câu hỏi “Thứ tự tìm các điểm?”. Do I là trung điểm AM  tìm A đầu tiên. Tiếp đến sẽ là B (vì xB>0). IB=IM nên ta cần thêm một dữ kiện cho B.  tạo mối liên hệ điểm B với các số liệu đã biết của bài toán. M, N đã biết và việc vẽ hình chính xác cho ta dự đoán IB  MN . Nếu có điều này ta sẽ viết được phương trình IB và tìm được B. Ta sẽ chứng minh IB  MN. C đối xứng với B qua AM. Ví dụ 5: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  8 . Viết phương trình chính tắc của elip  E  có độ dài trục lớn bằng 8 và  E  cắt  C  tại bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh của hình vuông. Phân Tích: Cần tìm a, b. (E) có độ dài trục lớn bằng 8  a=4. (E) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của hình vuông  4 đỉnh nằm trên hai đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Ta giả sử A nằm trên đường thẳng y=x. Ta sẽ tìm được A vì AO=R (A (C)). Mà A(E) b  phương trình (E). 2. 2. Ví dụ 6. (D – 2013 – NC): Cho đường tròn  C  :  x  1   y  1  4 và đường thẳng Δ : y  3  0 . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của  C  , các đỉnh N và P thuộc Δ ,. đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc  C  . Tìm tọa độ điểm P . Phân Tích: M thuộc đường thẳng qua I và vuông góc với  và MI=R=2  M. N(t)  K(t). KI=R=2  t  N. MP  NI và đi qua M. P=MP ∩  . Ví dụ 7.. Cho đường tròn.  C  :  x  4 2   y  5 2  8 . Cho.  C  : x 2   y  12  2. và. AB là một đường kính thay đổi của đường tròn  C '  và M. là một điểm di động trên đường tròn  C  . Tìm tọa độ các điểm M , A, B sao cho diện tích của tam giác MAB lớn nhất.. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Phân Tích: M  (C)  MI=R. nên ta cần chỉ ra được M đang thuộc đường thẳng nào thì sẽ tìm được M. Với điều kiện để SMAB lớn nhất ta sẽ tìm được điều này BÀI TOÁN 1.3: Kết hợp bài toán 1.1 và bài toán 1.2. Dựa vào dữ kiện bài toán cần: Tính được độ dài MI (với I đã biết) và viết phương trình đường qua M Ví dụ 1: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 và điểm A  4; 2  . Gọi d là tiếp tuyến tại A của  C  . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua tâm I của  C  và Δ cắt d tại M sao cho tam giác AIM có diện tích bằng 25 và M có hoành độ dương. Phân Tích: Cần tìm tọa độ M. d đi qua A và vuông góc với IA. M  d. SAIM=25 MA Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, đường thẳng đi qua A và B có phương trình x  y  0 . Tìm tọa độ trung điểm M của AC biết I  2;1 là trung điểm của BC . Phân Tích: SABC = 2SABI =AB.d(I,AB)  AB IM//AB và đi qua I  phương trình IM. AB=2IM từ đó  M BAC  900 . Biết M 1; 1 là trung điểm Ví dụ 3 (B-2003): Cho tam giác ABC có AB  AC ,. 2. . cạnh BC và G  ; 0  là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh 3  A, B, C ..   Phân tích: Do G là trọng tâm nên AM  3GM  A. Khi đó B, C thuộc. đường thẳng qua M và vuông góc với AM và MB=MC=MA.  9 3. Ví dụ 4 (D-2013-CB): Cho tam giác ABC có điểm M   ;  là trung điểm của cạnh  2 2 AB , điểm H  2; 4  và điểm I  1;1 lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường. tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm C . Phân tích: Nếu ta biết được tọa độ điểm A thì ta sẽ tìm được tọa độ điểm C (CAH, CI=AI). Vậy ta phải tìm tọa độ A. A  AB và AM=MH  A  C. Trang 26. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Ví dụ 5: Cho các điểm A 10;5 , B 15; 5 và D  20; 0  là các đỉnh của hình thang cân ABCD trong đó AB song song với CD . Tìm tọa độ đỉnh C .. Phân tích: Ở ví dụ này ta có thể tìm C theo hai cách: Cách 1: C thuộc đường thẳng qua D và song song với AM. ABCD là hình thang cân nên CB=AB. Kiểm tra điều kiện BC khồn song song với AD và kết luận. Cách 2: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. phương trình IJ và tọa độ J. J là trung điểm CD  C Ví dụ 6.: Cho hình thoi ABCD có tâm I  3;3 và AC  2 BD . . 4.  13 . Điểm M  2;  thuộc đường thẳng AB , điểm N  3;  thuộc  3  3 đường thẳng CD . Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có tung độ nguyên. Phân tích: Nếu tìm được B ta sẽ viết được phương trình BD. Ta khai thác tính chất đối xứng của hình thoi để tìm điểm N’ thuộc AB đối xứng với N qua I. Khi đó AB qua M,N’ phương trình AB. Ta khai thác dữ kiện AC=2BD để tính IB. Từ đóB Ví dụ 7 (D-2010-CB): Cho tam giác ABC có đỉnh A  3; 7  , trực tâm là H  3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp là I  2; 0  . Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hoành độ dương. Phân tích: Ta cần tìm tọa độ C. CI=IA Nếu viết được phương trình BC ta sẽ tìm được C Lúc này việc viết phương trình BC chỉ cần biết thêm một dữ kiện. Ở đây ta có thể tìm được hình chiếu D của I trên CB hoặc chân đường cao kẻ từ A lên BC Ví dụ 8: Cho hai điểm A 1; 2  , B  4;3 . Tìm tọa độ điểm M sao cho 10  . MAB  1350 và khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 2. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 27.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Phân tích: Vì MA đi qua A và hợp với đường thẳng AB một góc bằng 450 nên ta sẽ viết được phương trình MA. Do d(M,AB) đã biết nên ta tính được MA. Từ đó tìm được M Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB và AD 2. 2. tiếp xúc với đường tròn  T  có phương trình  x  2    y  3  4 . Đường chéo AC cắt  16 23 . đường tròn  T  tại hai điểm M , N . Biết M   ;  , trục tung chứa điểm N và không  5 5  song song với AD ; diện tích tam giác ADI bằng 10 và điểm A có hoành độ âm và nhỏ hơn hoành độ của D . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD . Phân tích: Với dữ kiện A có hoành độ âm gợi ý cho ta tìm tọa độ A trước. Nghĩa là ta sẽ tìm và khai thác các dữ kiện “có lợi” cho A. Ta nhận thấy Oy ∩(T)=N.  phương trình AC. Vì AB,AD tiếp xúc với (T)  AI Từ đó ta có A. Dữ kiện SADI=10 và AD không vuông góc với trục tung gợi ý cho ta đi tìmđiểm tiếp theo là D. AD qua A và cách I một khoảng bằng R  phương trình AD. SADI=AD.d(I,AD)=10 Từ đó  D Ví dụ 10 (Khối A, A1-2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm AB và N là điểm thuộc AC sao cho AN=3NC. Viết phương trình đường thẳng CD , biết M(1;2) và N(2;-1). Phân tích: Yêu cầu bài toán viết phương trình CD giúp ta hướng tới việc gắn kết các dữ kiện các yếu tố liên quan tới đường thẳng CD. Việc bài toán cho M, N và AN=3NC hướng ta nghĩ đến việc ta tìm điểm E (E=MN ∩ CD) Lúc này nếu tìm được thêm một điểm trên CD thì bài toán sẽ được giải quyết. Nhờ bài toán 1 ta nghĩ đến tìm điểm D bằng cách chứng minh tam giác MND vuông cân tại N từ đó suy ra D BÀI TOÁN 1.4: Tìm điểm M gián tiếp thông qua một điểm khác thuộc bài toán 1 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 và hai đường thẳng d1 : 2 x  y  5  0, d 2 : 2 x  y  0 . Lập phương trình đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn  C  tại A cắt Oxy d1 , d 2 lần lượt tại B và C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Trang 28. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Phân tích: Như cách tư duy thông thường đẻ viết phương trình đường thẳng , ta sẽ nghĩ đến việc tìm một điểm mà  di qua cùng với vecto pháp tuyến hoặc chỉ phương của nó. Lúc này có 3 sự lựa chọn là điểm A, B hoặc C. Song cả 3 điểm trên đều chưa biêt tọa độ. Vậy câu hỏi là “Tìm tọa độ điểm nào?”. Ta nhận thấy hai điểm B, C có lợi thế là đều thuộc đường thẳng đã biết phương trình, nhưng lại không có thêm dữ kiện nào liên quan nữa. Nghĩa là việc tìm B, C gặp “khó khăn”. Chỉ còn một sự lựa chọn là điểm A. Có vẻ hợp lí vì nếu tìm được A ta sẽ  tìm được vector pháp tuyến của  là IA và suy ra phương trình . Thế tìm điểm A bằng cách nào? Với dữ kiện của bài toán ta chỉ có IA=R=5. Vậy việc tìm điểm A trực tiếp gặp trở ngại. Khi đứng trước tình huống này, một kinh nghiệm là hãy chú ý tới các thông số, dữ kiện của đề bài, rất có thể trong đó chứa ẩn những yếu tố đặc biệt sẽ giúp ta tháo gỡ được “nút thắt”. Nhận thấy có hai yếu tố khá đặc biệt là tâm I thuộc d2 và d2//d1. Nghĩa là JB là đường trung bình trong tam giác AIC với J=d1 ∩ IA  J là trung điểm của IA nên nếu tìm được J thì sẽ có A. Ta có J  d1 và IJ=R/2. Đến đây ta đã có lời giải. Ví dụ 2 (A – 2010 – CB): Cho hai đường thẳng d1 : 3 x  y  0 và d 2 : 3x  y  0 . Gọi  T  là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A , cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình đường tròn (T) biết tam giác ABC có diện tích bằng. 3 và 2. điểm A có hoành độ dương. Phân tích:Như ta đã biết, để viết phương trình đường tròn ta cần biết tâm I và bán kính R. Với bài toán này nếu xác định được I thì sẽ tính được R. Vậy tìm I bằng cách nào? I  AC nhưng chưa biết phương trình. Như vậy việc tìm trực tiếp không khả thi. Lúc này ta nghĩ đến tìm gián tiếp thông qua các điểm có mối liên hệ với nó. Với dữ kiện tam giác ABC vuông tại B  I là trung điểm AC nên nếu tìm được A ta sẽ tìm được C (C=AC ∩d2) và từ đó suy ra I.. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại Trang 29.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> 1  2 . Ví dụ 3 (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1 . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB tương ứng tại các điểm D, E , F . Cho D  3;1 và đường thẳng EF có phương trình y  3  0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương. Phân tích: Ta nhận thấy A nằm trên AB, AC, AD. Như vậy lúc này việc tìm điểm A có thể đi theo 2 hướng: Hướng 1: Nếu viết được phương trình của 1 trong 3 đường trên và tính được độ dài AB hoặc AD. Hướng 2: Nếu biết phương trình 2 trong 3 đường trên. Để chọn hướng đi thích hợp ta cần phân tích các dữ kiện của bài toán. Với các số liệu của bài toán ta thấy hướng 1 không mấy khả thi, vì việc tính độ dài AB, AD gặp khó khăn. Lúc này ta nghĩ đến giải pháp thứ 2. Điểm B và D đều đã biết tọa độ nên ta nghĩ đến việc viết phương trình AB và AD. Phân tích chi tiết số liệu bài toán ta thấy BD//EF từ đó ta chứng minh ABC cân tại A  AD  AB nên viết được phương trình AD. Để viết AB ta sẽ cần đến điểm F. Ta có F  EF và FB=BD. Đến đây ta đã có lời giải Bình luận: Qua bài toán 1 chúng ta phần nào tầm quan trọng và tính hiệu quả của nó trong việc giải quyết các bài toán tìm điểm và các bài toán khác .. Nó giúp ta biết đặt câu hỏi vào các đối tượng và các dữ kiện của đề bài mà ta cần định hướng để giải quyết bài toán. Nếu biết cách khai thác, “làm chủ” bài toán này, là ta đã có trong tay một công cụ đơn giản nhưng khá hiệu quả trong việc giải các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên chúng ta còn nhiều công cụ khác nữa, Ta sẽ tiếp tục tìm hiểu thông qua 9 bài toán tiếp theo.. Trang 30. Nếu cần file đầy đủ, xin liên hệ tại

<span class='text_page_counter'>(36)</span>