De dap an HSG toan 9 nam 2015 TH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (200.18 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2015 - 2016. Thanh oai. Môn thi : Toán. Thời gian làm bài: 150 phút. (Không kể thời gian giao đề). Bài I: (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức: 2 3 5 x 7 2 x 3 A : x 2 2 x 1 2x 3 x 2 5x 10 x a) Rút gọn P b) Tìm x để A có giá trị nguyên. 2n 3 24n 1 chia hết cho 25 2) Tìm số tự nhiên n để 3. Bài II: (4,0 điểm) 2 1) Giải phương trình: x 12 x 1 x 36. 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 2y 2 2xy 3y 4 0 Bài III: (4,0 điểm). 1) Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của x y z 2 1 y2 1 z2 P = 1 x 2) Cho a, b, c dương thỏa mãn: a b c 2 abc 1 . Tính giá trị biểu thức: a 1 b 1 c b 1 c 1 a c 1 a 1 b . abc 2015. B= Bài IV:(6 điểm) Cho đường tròn (O,R). từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (D, E là tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt tia AD, AE lần lượt ở B và C. 1) Chứng minh: DC = EB. 2) Chứng minh: DA.DB = R2. 3) Gọi K là điểm trên cung nhỏ DE. Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O,R) cắt AD, AE lần lượt tại M, N. Chứng minh BC2 = 4BM.CN. 4) Cho OA = 2R.Tìm vị trí của K để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó..
<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2 y Bài V: (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn x 5x 7 3. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài I 1) a 1)a. Điểm. ĐKXĐ: x > 0, x 4 A. 0,25. . . . Rút gọn. x 2 5 x 7. . . x 2 2 x 1. 2 x 3. =…=. . 2 2 x 1 3. . . x 2 2 x 1. .. 5 x. . x 2. . 2 x 3. :. 2 x 3 5 x. . x 2. =…. 5 x = …= 2 x 1. 2,0. Chứng minh A > 0 do 5 x 0 và 2 x 1 0 5 5 5 5 x 2 2 2 x 1 2 2 x 1 Lại có A = = Suy ra: 0 < A < 2,5 5 x 1 1)b (2điểm) A = 1 => 2 x 1 = 1 … x = 9 (thỏa mãn ĐK x > 0, x 4 ) 5 x A = 2 => 2 x 1 = 2 … x = 4 (không thỏa mãn ĐK x > 0, x 4 ) Kết luận…. . Bài I 2). . 0,5. 0,5 0,5 0,25. 2n 4n 2n 2n 4n n n 32n 3 24n 1 = 27.3 2.2 25.3 2 3 2 = BS25 2 9 16 . 02,5. n n Nếu n lẻ thì 9 16 Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25. 0,25. n n Nếu chẵn thì 9n tận cùng bằng 1, còn 16n tận cùng bằng 6 suy ra 9 16 (1điểm) 2 9n 16n tận cùng băng 7 => tận cùng bằng 4 =>A không chia hết cho 0,25 25. 0,25 Vậy n lẻ thì A chia hết cho 25 ĐK: x 1 0,25. Bài II 1) (2điểm). x 2 12 x 1 x 36 x 2 12 x 1 x 36 0 . . 0,5. . x 2 2x 1 x 1 12 x 1 36 0. x 1. 2. . . . 2. x 1 6 0. . x 7 . Giải pt: x 7 x 1 vô nghiệm Giải pt: 5 x x 1 ĐK 1 x 5. . x 1 .. . x 1 x 5 0. 0,5 0,5.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài II 2). 2 … x 11x 24 0 x = 8 (loại) ; x = 3 (chọn) Biến đổi phương trình x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 ⇔ (x2+2xy+ y2) + y2 + 3y - 4 = 0 ⇔ (y + 4)(y -1) = -(x+y)2 ¿ 0. 0,25 0.5 0.5. 0.5 - 4 ¿ y ¿ 1 vì y thuộc Z nên y ¿ {−4 ;−3;−2;−1;0;1 } KL Có 6 cặp (x;y) thỏa mãn phương trình là 0,5 (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) Từ điều kiện xy + yz + xz = 1 => 1+ x2 = xy + yz + xz + x2 = (x + y)( + z) x x x 1 x x 0,5 . x y x z 2 x y x z 1 x2 0,5 y 1 y y z 1 z z 2 2 Bài III 2 x y y z 2 z x z y 1 y 1 z Tương tự ; 0,5 1) Cộng vế các bất đẳng thức (2điểm) 1 y x y z x z 3 2 x y y x z y y z x z x z 2 P = 3 0,5 Tìm được dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 3 ⇒. (2điểm). a b c 2 abc 1 b 2 abc 1 c a Từ diều kiện: c 2 abc 1 b a; a 2 abc 1 b c; Xét Bài III 2). . a 1 b 1 c a 1 b c bc a a 2 abc bc. a 2 2a abc abc . (2điểm). a . abc. . 2. a abc. Tương tự….. Khi. đó B = a b c 3 abc . Kết luận….. 0,5. . 0,5 0,5 0,5. abc 2015 ... 2016.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> B D. Bài IV 1). O A. (1,5điểm). E. C. Vẽ hình đúng đến câu a + Chứng minh được tứ giác DBCE là hình thang cân + Chỉ ra BE = CD Bài IV Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng 2) minh được DA.DB = R2.. 0,25 1,0 0,25 1,5. (1,5điểm). B M. D. K. O. A N. E. C. Bài IV 3). B C 180 A 2 (2,5điểm) Chứng minh (1) DOE 180 A MON 2 2 Chứng minh. 0,5 0,5 (2). C MON B Từ (1) và (2) ta có: MON đồng dạng với MBO (gg) Chứng minh BM BO BC BC BC 2 BM.NC . 2 2 4 Suy ra OC NC Hay Kết luận.... Bài IV Áp dụng bất đẳng thức Cô si ... 4) BM CN BM.CN ...2OB (1,5điểm) 2R 3 4R 3 OB 2OB 3 3 Tính được ;. 0,5. 0, 5 0,5 0,5 0,5.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài V (1điểm). 4R 3 3 Kết luận: min(BM + CN) = Khi K là giáo điểm của AO với đường tròn. x 2 5x 6 0 u y = 0 thì pt trở thành Nế x = 2; x = 3 2 x 5x 4 0 Nếu y = 1 thì pt trở thành x = 1; x = 4 y y 2 3 9 Nếu thì 2 Xét x = 3k ( k N ) thì VT = ...= 9k 15k 7 không chia hết cho 3. 0,25. kN 9k 2 9k 3 x = 3k +1 ( Xét ) thì VT =...= không chia hết cho 9. 0,25. 0,25. 2. kN 9k 3k 1 Xét x = 3k +2 ( ) thì VT = ---= không chia hết cho 3 không có số tự nhiên lớn hơn 2 thỏa mãn bài toán Kết luận (x;y) = (2;0); (3;0); (4;1); (1;1). 0,25.
<span class='text_page_counter'>(6)</span>
