De HSG huyen Kinh Mon Hai Duong

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Câu 1: (2đ).. ĐỀ HUYỆN KINH MÔN NĂM 2015 - 2016. 1) Cho x  3 17  12 2  3 17  12 2 . Tính giá trị của biểu thức: A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724.. 2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 0. ab  a   ca   3.   5.  Tính giá trị của biểu thức: M  2.      c   bc  b  2. Câu 2: (2đ).. 1) Giải phương trình:. 2. 2. x 2  12  17  9x  x 2  5. 2) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – 1 chia hết cho 24.. Câu 3: (2đ).. 1) Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – 7 = 0.. 2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – 3 dư 17; khi chia cho x – 1 dư 3.. Tìm dư của phép chia P(x) cho x2 – 4x + 3. Câu 4: (3đ).. Cho  ABC. M là điểm thuộc cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song. với AC, AB. Chúng cắt AB, AC thứ tự tại N và P.. 1) Gọi O là trung điểm của NP. Chứng minh A, O, M thẳng hàng. 2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và Tính QB/QC.. MB 1  . MC 2. 3) Tìm vị trí của M để diện tích  MNP có giá trị lớn nhất.. Câu 5: (1đ).. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:. a8 b8 c8 M 4   (a  b4 ).(a 2  b 2 ) (b4  c4 ).(b2  c2 ) (c4  a 4 ).(c2  a 2 ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Gợi ý. Câu 1: (2đ).. 1) Cho x  3 17  12 2  3 17  12 2 . Tính giá trị của biểu thức: A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724.. Từ x  3 17  12 2  3 17  12 2  lập phương 2 vế, chuyển vế ta được: x3 – 3x – 34 = 0..  A = x (x – 3x – 34) – 3x(x – 3x – 34) + 38(x – 3x – 34) + 2016 = 2016. 3. 3. 3. 3. 2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 0. ab  a   ca   3.   5.  Tính giá trị của biểu thức: M  2.      c   bc  b  2. 2. 2. a3 + b3 – c3 + 3abc = 0  (a + b)3 – 3ab(a + b) – c3 + 3abc = 0.  (a + b – c).(a + 2ab + b + ac + bc + c ) – 3ab(a + b – c) = 0 2. 2. 2.  (a + b – c)(a – ab + ac + bc + b + c ) = 0 2. 2. 2.  (a + b – c)(2a – 2ab + 2ac + 2bc + 2b + 2c ) = 0 2. 2. 2.  (a + b – c)[(a – b) + (a + c) + (b + c) ] = 0 2. 2. 2.  a + b – c = 0 hoặc a = b = - c.. * Với a + b – c = 0  M = 2.12 + 3.(-1)2 + 5.12 = 10.. * Với a = b = -c  M = 2.(-2)2 + 3.(1/2)2 + 5.(-2)2 = 115/4. Câu 2: (2đ).. 1) Giải phương trình:. x 2  12  17  9x  x 2  5. x 2  12  17  9x  x 2  5 . . (x  2)(x  2) x  12  4 2. . (x  2)(x  2) x 5 3 2. x 2  12 - 4 =.  9(x  2) .   x2 x2  (x  2)    9  0 2 x2  5  3   x  12  4. Ta thấy. x 2  5 - 3 + 9x – 18. (x  2)(x  2). x 2  12  17  9x  x 2  5 td. x  12  4 2. . (x  2)(x  2) x2  5  3.  9(x  2)  0. x 2  12  x 2  5  9x  17.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vì. x 2  12  x 2  5 > 0 nên 9x – 17 > 0  x > 17/9.. Khi đó dễ thấy. x2. x 2  12  4. x2. . x2  5  3.  9 < 0 nên x – 2 = 0  x = 2.. 2) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – 1 chia hết cho 24. p2 – 1 = (p – 1)(p + 1).. Do p nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3.  p – 1 hoặc p + 1 chia. hết cho 3  (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1).. Do p nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ  p – 1 chẵn, p + 1 chẵn mà p – 1; p + 1 là 2. số chẵn liên tiếp  (p – 1)(p + 1) chia hết cho 8 (2). (1); (2) và (3, 8) = 1  p2 – 1 chia hết cho 24.. Câu 3: (2đ).. 1) Tìm các số nguyên x, y sao cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – 7 = 0. Đưa về (x – y – 2)(2x – 3y) = 7. Vì x, y nguyên nên:. x-y-2. 1. 7. -1. 17. 10. 2x – 3y. 7. 1. y. -1. 26. x. 2. -7. -7. -1. 9. -9. - 14. 2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – 3 dư 17; khi chia cho x – 1. dư 3. Tìm dư của phép chia P(x) cho x2 – 4x + 3. Theo bài  P(3) = 17; P(1) = 3.. Vì đa thức chia là x2 – 4x + 3 có bậc 2 nên đa thức dư có dạng ax + b  P(x) = (x – 1)(x – 3).Q(x) + ax + b.. P(3) = 17 và P(1) = 3  a + b = 3 và 3a + b = 17  a = 7, b = - 4 Vậy dư là 7x – 4..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 4: (3đ).. Cho  ABC. M là điểm thuộc cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song. song với AC, AB. Chúng cắt AB, AC thứ tự tại N và P.. 1) Gọi O là trung điểm của NP. Chứng minh A, O, M thẳng hàng. 2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và Tính QB/QC.. MB 1  . MC 2. 3) Tìm vị trí của M để diện tích  MNP có giá trị lớn nhất.. A. 1) dễ.. 2) BM/BC = BN/BA = MN/AC = 1/3.  AP/AC = 1/3  AP/PC = ½  MN/PC = 1/2. QM/QC = MN/PC = 1/2.. N.  QM = MC mà BM = MC/2  MB = QB  QB/QC = 1/4.. 3)  BNM ~  BAC;  MPC ~  BAC  SBMN/SABM = BM /BC 2. Q. 2. SMPC/SBAC = CM2/BC2. O. B. P. M.  (SBNM + SMPC)/SABC = (BM + CM )/BC . 2. 2. 2. Dễ chỉ ra SANMP = 2.SMNP.  SMNP lớn nhất  SANMP lớn nhất  SBNM + SMPC nhỏ nhất.. Mà (SBNM + SMPC)/SABC = (BM2 + CM2)/BC2.  2. (SBNM + SMPC)/SABC = 2(BM + CM )/BC  (BM + CM) /BC = 1 2.  SBNM + SMPC  (SABC)/2 không đổi.. 2. 2. 2. 2.  Min(SBNM + SMPC) = (SABC)/2 không đổi  BM = MC  M là trung điểm BC.. Vậy …. C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Câu 5: (1đ).. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:. a8 b8 c8 M 4   (a  b4 ).(a 2  b 2 ) (b4  c4 ).(b2  c2 ) (c4  a 4 ).(c2  a 2 ). Có:. a8 b8   a 2  b2 ; 4 4 2 2 4 4 2 2 (a  b ).(a  b ) (a  b ).(a  b ). b8 c8 c8 a8 2 2  = b – c ;  = c2 – a2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 (b  c ).(b  c ) (b  c ).(b  c ) (c  a ).(c  a ) (c  a ).(c  a ). a8 b8 b8 c8  4    + (a  b 4 ).(a 2  b 2 ) (a 4  b 4 ).(a 2  b 2 ) (b 4  c 4 ).(b2  c 2 ) (b 4  c 4 ).(b 2  c 2 ). +. c8 a8  =0 (c 4  a 4 ).(c2  a 2 ) (c 4  a 4 ).(c 2  a 2 ). . a8 b8 c8   (a 4  b 4 ).(a 2  b 2 ) (b 4  c4 ).(b2  c 2 ) (c4  a 4 ).(c2  a 2 ). . b8 c8 a8   (a 4  b 4 ).(a 2  b2 ) (b 4  c4 ).(b 2  c2 ) (c 4  a 4 ).(c 2  a 2 ). a 8  b8 b 8  c8 c8  a 8  2M = 4   (a  b 4 ).(a 2  b2 ) (b 4  c4 ).(b 2  c 2 ) (c4  a 4 ).(c2  a 2 ). Lại có 2.(a8 + b8 )  (a4 + b4)2; 2(a4 + b4)  (a2 + b2)2 ; a2 + b2  2ab a 4  b4 b4  c4 c4  a 4  4M  2   a  b2 b2  c2 c2  a 2.  8M  a + b + b + c + c + a  2ab + 2bc + 2ca = 2(ab + bc + ca) = 2 2. 2. 2.  8M  2  M  1/4.. 2. 2.  MinM = 1/4  a = b = c =. 2. 1. 3.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>