DE KS CHAT LUONG HSG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phòng GD- ĐT Nam Trực Trường THCS Nam Toàn ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Môn Toán- Lớp 8 ( Thời gian 120 phút) Bµi1 ( 3 ®iÓm) a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0 b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: M = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) P. x2 y2 x2 y2    x  y   1  y   x  y   1  x   x 1   1  y . Bài 2 ( 3 điểm) Cho biÓu thøc : 1.Rót gän P. 2.T×m c¸c cÆp sè (x;y)  Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3. Bµi 3 (3 ®iÓm). Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 1 1 1  2  2  2  a, x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 8 2. b, (x+1)4 + (x+3)4 = 16 3 Bµi 4 (4 ®iÓm). a, Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = 2 . 3 Chøng minh r»ng : a 2 + b2 + c2  4 .. b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =. 27 −12 x 2 x +9. Bài 5( 3 điểm). Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đờng chéo, cắt nhau ë O . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm 2 vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOD lµ 196 cm2. Bài 6( 4 điểm) Cho tam gi¸c ABC nhọn( AB > AC ) 1) Kẻ đờng cao AP, BM, CN của tam giác, chỳng cắt nhau tại I. Chứng minh r»ng: a) gãc AMN b»ng gãc ABC IA. IB. IC. b) Tính AP + BM + CN 2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK. Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC. §¸p ¸n Bµi 1: 3 ®iÓm a, 1,5 điểm Ta cã: a3 + a2c – abc + b2c + b3.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> = (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶ thiÕt) 3 2 2 3 VËy a +a c –abc + b c + b = 0 b, 1,5 ®iÓm Ta cã: M= bc(a+d) (b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)] = b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bµi 2. 3 điểm a, 1,5 điểm Víi x  1; x  y; y 1 x  y   x  1  1  y  MTC : . P. x2  1  x   y2 1  y   x2 y2  x  y .  x  y   1  x  1  y . P  x  y  xy .Víi x  1; x  y; y 1. .  x  y   1  x   1  y   x  y  xy   x  y  1  x  1  y . thì giá trị biểu thức đợc xác định.. b, 1,5 điểm Víi x  1; x  y; y 1 ta có P =3  x  y  xy 3  x  y  xy  1 2   x  1  y  1  2. C¸c íc nguyªn cña 2 lµ : 1; 2. Suy ra:  x  1  1  x 0    y  1  2  y  3  x  1 1  x 2    y  1 2  y 1 (lo¹i).  x  1 2  x 3    y  1 1  y 0  x  1  2  x  1    y  1  1  y  2 (lo¹i). VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3. Bµi 3.(3 ®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a, 1,5 điểm Điều kiện xác định:  x 2  x 3   x 4  x 5   x 6. Ta cã : x 2  5 x  6  x  2   x  3 x 2  7 x  12  x  3   x  4  x 2  9 x  20  x  4   x  5  x 2  11 x  30  x  5   x  6 . Phơng trình đã cho tơng đơng với : 1. . 1. . 1.  x  2   x  3  x  3  x  4   x  4   x  5 . . 1. 1   x  5  x  6  8. 1 1 1 1 1 1 1 1 1         x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 6 x 5 8 4 1 1 1 1     x  6 x  2 8    x 6 x 2 8 .  x 2  8 x  20 0   x  10   x  2  0.  x 10   x  2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh.. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2. b, 1,5 điểm Đặt y = x + 2 ta đợc phơng trình: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16  2y4 + 12y2 + 2 = 16  y4 + 6y2 -7 = 0 Đặt z = y2 ta đợc phơng trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là z1 = 1 vµ z2 = -7. 2 y = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3. y2 = -7 kh«ng cã nghiÖm. Bài 4( 4 điểm) a,2 điểm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2. 1 1  2 1 2 2  a  2  0  a  a  4 0  a  4 a  Ta cã:  1 1 b 2  b c 2  c 4 4 T¬ng tù ta còng cã: ;. Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc: 3 3 3 a  b  c abc  a 2  b2  c 2  4 2 nªn: 4 . V× 1 DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = 2 . a2  b2  c2 . b, 2 điểm T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc A. 27  12 x x2  9 2. 2 2 x2  6 27  12 x x  12 x  36  x  9 A 2   2  1  1 x 9 x2  9 x 9. . A đạt giá trị nhỏ nhất là -1.  .   x  6. . 2. 0. hay x =6. 2 4 x 2  36  4 x 2  12 x  9 2 x  3  27  12 x  4  4 2 x2  9 x2  9 A = x 9 . A đạt GTLN là 4. . khi.  2 x  3. 2. 0  x .  . . 3 2. B Bài 5(3 điểm): Theo đề bài ta phải tính diện tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm2 O SAOD = 196 cm2 Ta nhận thấy SABD = SACD (vì có chung đáy AD A và đờng cao tơng ứng bằng nhau) Suy ra SABO = SCOD Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta rót ra r»ng: tû sè diÖn tÝch hai tam giác có chung đờng cao bằng tỷ số hai đáy tơng ứng. Do đó:. S ABO AO S AOD = = S BOC OC S COD. => SABO.SCOD = SBOC.SAOD. Mµ SABO = SCOD nªn: S2ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142 => SABO = 13.14 = 182 (cm2) Bài 6(4điểm) 1, 2 điểm a) 1điểm. C. D.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chứng minh Δ ABM đồng dạng Δ CAN suy ra: AB = AM AC. ⇒. AN. ∠ AMN =. ⇒. Δ AMN đồng dạng. Δ ABC. ∠ ABC ( hai gãc t¬ng øng). b) 1điểm IA. IB. IC. Tính được AP + BM + CN = 2 2) 2 điểm Kẻ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H ∠ BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH) mµ ∠ CAH = ∠ BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) Suy ra: ∠ CHA = ∠ CAH nªn Δ CAH c©n t¹i C do đó : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK BK = CA VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH Do F là trung điểm của AK nên EF là đờng trung bình của tam giác KHA. Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>