de thi hsg

<span class='text_page_counter'>(1)</span>VÓNH LONG 1993 – 1994. Bài 1 : a – Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6. b – Aùp dụng : Chứng minh n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n Bài 2 : a – Cho a > 2 và b > 2. Chứng minh ab > a + b b – Cho x > 0, y > 0 . Chứng minh √ x+ y < √ x + √ y Baøi 3 : Cho tam giaùc ABC coù goùc A nhoïn. Veõ caùc tam giaùc vuoâng caân ABE (BAÂE=90 0, AB = AE ) vaø ACF ( CÂF = 900, AC = AF ) sao cho các tam giác này không có điểm trong chung với tam giác ABC. Chứng minh rằng đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung điểm M của đoạn thaúng EF Bài 4 : Chứng minh rằng : a – Một đường thẳng và một đường tròn không thể có quá 2 điểm chung. b – Hai đường tròn không thể có quá 2 điểm chung.. VÓNH LONG 1994 – 1995. Bài 1: a) Cho ba số tự nhiên liên tiếp. Tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50. Hỏi đã cho ba số tự nhiên nào ? b) Chứng minh rằng n3 +20 n chia hết cho 48, với n là số tự nhiên chẳn. Bài 2: a) Chứng minh rằng √ a − √ b< √a − b , với a, b là các số thực và a > b > 0 b) Chứng minh rằng nếu x, y, z là ba số hữu tỉ dương thỏa điều kiện √ x+ √ y=z thì √ x và √ y là những số hữu tỉ. Bài 3: 1. Cho tam giác vuông AOB với OA = OB = a và AÔB = 90 0. Gọi M là điểm bất kì trân AB, P và Q là các hình chiếu vuông góc của M lần lượt trên OA và OB. a) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì tổng MP + MQ không đổi. b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB. So saùnh caùc tam giaùc IOQ vaø IAP. c) Chứng minh rằng 5 điểm I, Q, O, P, M nằm trên đường tròn tâm S. Xác định tâm S 2. Cho tam giác đều ABC. Qua trọng tâm O của tam giác hãy dựng đường thẳng sao cho tổng các khoảng cách từ ba đỉnh của tam giác tới đường thẳng đó là lớn nhất?. VÓNH LONG 1995 – 1996. Bài 1: Cho số tự nhiên bất kỳ n a) Chứng minh rằng A(n) = (n + 7)(n + 10) là số chẳn. b) Chứng minh rằng B(n) = n2 + 1 không chia hết cho 3. c) Chứng minh rằng C(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) chia hết cho 5. Bài 2: Cho x là số thực. 1− x ¿2 1+ x √ x a) Chứng minh đẳng thức: 1 − x √ x với x > 0 và x  0 ( + √ x)( − √ x)=¿ 1− √ x 1+ √ x b) Giaûi phöông trình: √ 2 x −2+2 √ 2 x − 3+ √ 2 x +1+4 √ 2 x − 3=5 Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD và E là một điểm trên đường chéo AC. Trên tia đối củatia EB lấy điểm F ssao cho EF = BE. Vẽ FM và FN lần lượt vuông góc với AD và CD. a) Chứng minh DF // AC và MN // BD. b) Chứng minh ba điểm E, M, N thẳng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH và vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH. Từ B và C vẽ các tiếp tuyến BD và CE với đường tròn. a) Chứng minh BD // CE. DE2 b) Chứng minh BD.CE = . 4 c) Đường cao HD cắt AB tại M và đường thẳng HE cắt AC tại N. Chứng minh hai đoạn thẳng MN và AH bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> VÓNH LONG 1996 – 1997. Bài 1: a) Chứng minh rằng hiệu bình phương của hai số lẻ liên tiếp chia hết cho 8. b) Cho 25 số, trong đó 4 số bất kỳ nào cũng có tổng là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 25 số aáy laø moät soá döông. y 2 − 6 y +9 M = Bài 2: a) Cho biểu thức đại số : 2 xy+ y − 6 x −3 – Với giá trị nào của các biến thì biểu thức M vô nghĩa ? – Với giá trị nào của các biến thì biểu thức M bằng 0 ? b) Cho hai số A= √ 1997 − √ 1996 và B=√ 1996 − √ 1995 . So sánh các số A và B, số nào lớn hôn ? Bài 3: Cho góc vuông xCy và một điểm P trên đường phân giác trong của góc vuông ấy. Đường thẳng d qua P cắt Cx ở A và cắt Cy ở B. Gọi K và L lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống Cx vaø Cy. AK PL = a) Chứng minh : KP LB 1 1 1 + = b) Đặt KP = h, CA = a và CB = b. Chứng minh : , từ đó có thể kết luận gì ? a b h Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Từ B và C kẻ các tiếp tuyến BE và CF với đường tròn ( E, F là tiếp điểm ). 2 EF a) Chứng minh : BE.CF = 4 b) Hãy dựng một đường tròn (O) tiếp xúc với BC tại B và tiếp xúc với đường tròn (A; AH ). VÓNH LONG 1997 – 1998. Bài 1: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì :. A=n4 +9 (9 −2 n2 ) luoân chia heát cho 6 1+ √ 3 Bài 2 : a – Cho : A=4 x 3 − 8 x 2+2 x+ 3 . Chứng tỏ A = 1 khi x= 2 b – Tìm giá trị lớn nhất của M = 1 + 6x – x2. Khi đó x bằng bao nhiêu ? Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AH , BH vaø CD. a) Chứng minh N là trực tâm của tam giác MBC b) Chứng minh BM và MK vuông góc với nhau. Bài 4 : Cho M là một điểm nằm ngoài đường tròn tâm O. Đường thẳng kẻ từ M qua tâm O cắt đường tròn tại A và B ( A nằm giữa M và O). Chứng minh rằng MA là khoảng cách nhỏ nhất và MB là lớn nhất trong các khoảng cách từ điểm M đến tất cả các điểm của đường tròn.. VÓNH LONG 1998 – 1999. Bài 1 : a – Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6. b – Aùp dụng : Chứng minh n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n Bài 2 : a – Cho a > 2 và b > 2. Chứng minh ab > a + b b – Cho x > 0, y > 0 . Chứng minh √ x+ y < √ x + √ y Baøi 3 : Cho tam giaùc ABC coù goùc A nhoïn. Veõ caùc tam giaùc vuoâng caân ABE (BAÂE = 90 0, AB = AE ) và ACF ( CÂF = 900, AC = AF ) sao cho các tam giác này không có điểm trong chung với tam giác ABC. Chứng minh rằng đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung điểm M của đoạn thẳng EF Bài 4 : Chứng minh rằng : a – Một đường thẳng và một đường tròn không thể có quá 2 điểm chung. b – Hai đường tròn không thể có quá 2 điểm chung.. VÓNH LONG 2001 – 2002.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu 1 : Chứng minh rằng : 3 2 1) 270+ 370 chia heát cho 13 2) (n +3 n +2 n) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n. Caâu 2 : Giaûi caùc phöông trình sau : x − 4 x+4 1+a + =2 =1 −a ( a laø tham soá ) 1) 2) x − 1 x+ 1 1−x Caâu 3 : 2 x +15 x −1 x ≥ + 1) Giaûi baát phöông trình : 9 5 3 2 4 x −1+(2 x +1)(x −1) 2) Cho biểu thức A= . Rút gọn biểu thức A và tìm x để A > 0 2 9x −4 Câu 4 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Từ một điểm D trên BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC lần lượt ở E và F. Gọi I, K là trung điểm của BE và CF. a) Chứng minh DIAK là hình bình hành. b) Với điều kiện nào của tam giác ABC và điểm D thì DIAK là hình chữ nhật, hình thoi ? Câu 5 :Cho hình vuông ABCD, lấy M là một điểm tùy ý nằm trên đoạn thẳng BC. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại P. Đường vuông góc với AP tại A cắt đường thẳng CB ở K. a) Chứng minh AP = AK 1 1 1 = + 2 b) Chứng minh 2 2 AB AM AP. VÓNH LONG 2002 – 2003. Caâu 1 : a) Tìm số tự nhiên n sao cho (n + 5) chia hết cho (n – 2) b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có (7 4n – 1) chia hết cho 5 4 2 2 2 Câu 2 : a) Chứng minh x + x +1=(x − x +1)(x + x+ 1) 2 x 4 + x 2 +1 x − x+ 1 =3 , tính giá trị của biểu thức A= b) Cho x x2 x+4 x +1 2 x +5 + 2 = 2 Caâu 3 : 1) Giaûi phöông trình : 2 2 x − 5 x +2 2 x −7 x +3 2 x −7 x +3 (2+ x )( x+ 8) 2) Tìm giá trị x > 0 để phân thức B= đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất ấy bằng x bao nhieâu ? Câu 4 : Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng bất kỳ qua O caét caïnh AD taïi P, caét caïnh BC taïi Q. a) Chứng minh AP = CQ b) Qua P keû Px  AC, qua Q keû Qy  BD. Goïi M laø giao ñieåm cuûa Px vaø Qy, E laø giao ñieåm của Px và OA, F là giao điểm của Qy và OB. Tứ giác OFME là hình gì ? c) Chứng minh rằng điểm M nằm trên cạnh AB. Câu 5 :Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi D là trung điểm của AB. Qua D kẻ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng : a) Hai tam giác ABC và EBD đồng dạng. b) BE.BC = 2BD2. VĨNH LONG 2003 – 2004. Caâu 1 : Giaûi phöông trình : x+ √ x −2=2 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2003 + 2003 = 2003 2003 2003 + + = Caâu 2 : Cho . Chứng minh rằng : 2003 x y z x+ y+z x y z x + y +z 2 2 4x x +2 2 −3 x x − 4 2 + 3 ⋅ Câu 3 : Cho biểu thức đại số : M = x + 2 x −4 2x−4 x −4 x x−2. (. a) Rút gọn biểu thức M. )(. ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b) Với giá trị nào của x thì M = 0 ? c) Tính giaù trò cuûa M bieát (x – 2)(x + 1) = 0 Caâu 4 : Giaûi heä phöông trình aån soá x, y, z sau ñaây : 4 +2 x=7 z−1 5 x −3 y=3 2 + y =4,5 z−1. {. Câu 5 : Cho hình bình hành ABCD và một điểm P bất kỳ nằm trên đoạn thẳng AB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Gọi các điểm đối xứng của P qua M và N lần lượt là E và F’ a) Chứng minh các điểm E, F nằm trên đường thẳng CD. b) Chứng minh độ dài đoạn thẳng EF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P trên AB. Câu 6 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 20cm. Gọi C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên bán kính OA ta lấy điểm H sao cho OH = 6cm, đường vuông góc với OA tại H cắt nửa đường tròn ở D. Vẽ dây AE song song với DC. Gọi K là hình chiếu của E trên AB. a) Chứng minh hai tam giác OEK và DOH bằng nhau. b) Tính dieän tích tam giaùc AEK.. BÌNH MINH 2004 – 2005 Bài 1: a) Phân tích thành nhân tử : b) Ruùt goïn :. x −5 √ x +6. √ x −2 −2 √ x −3. với 3< x <4. Bài 2: a) Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 188 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thöông baèng 5 vaø soá dö baèng 2. b) Giaûi phöông trình: * Bài 3: Cho biểu thức. A=. |x|=− x −5. *. 1 2. x + √ x +1. +. 1 2. x− √x +1. =0. 2 √ x −9 x+3 2 √ x+1 −√ + x − 5 √ x +6 √ x −2 √ x − 3. a) Rút gon biểu thức A b) Tìm x để A > 1. Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (AB < AC) đường trung trực của cạnh huyền BC cắt AC ở D. Gọi E là điểm đối xứng của D qua A và F là giao điểm của BE và trung tuyến AM của tam giác ABC. Chứng minh : BF = AC. Bài 5: Cho hình vuông ABCD, dựng tam giác đều BCF ở ngoài hình vuông và tam giác đều ABE ở trong hình vuông.Chứng minh : Ba điểm D, E, F thẳng hàng. BÌNH THẠNH 2004 – 2005 Bài 1: a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: i/ x3 + 3x – 4 ii/ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 1 1 1 1    b/ Cho ba số x, y, z ≠ 0 thỏa: x + y + z = 2008 và x y z 2008 . Chứng minh trong 3 số x, y, z phải có ít nhất 1 số bằng 2008. Bài 2: Chứng minh 1 1 4    x, y  0  a/ x y x  y. b/. a c b d c a d b    b a b c c d d a.  a, b, c, d  0 .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 3: a/ Thu gọn. 83  20 6  62  20 6 . 3 3  3 2. b/ Giải phương trình: x  2 x  1  x  1  1 Bài 4: a/ Chứng minh: n3 – 7n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n. b/ Tìm các số nguyên a, b thỏa: a2 + ab + b2 = a2b2. Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao. Từ H kẻ HD  AB, HE  AC. AB 3 BD  3 EC a/ Chứng minh: AH3 = BD.CE.BC b/ AC Bài 6: Cho ∆ABC đều. Gọi M và N là các điểm trên các cạnh AB và BC sao cho BM = BN. Gọi G là trọng tâm của ∆BMN, I là trung điểm AN, P là trung điểm MN. a/ Chứng minh: ∆GPI đồng dạng ∆GNC. b/ Chứng minh: IC  GI. QUẬN 1 (VÒNG 1) 2004 – 2005. Bài 1:1/ Chứng minh giá trị của biểu thức A = x3 – 3x2 – x + 21 chia hết cho 6 với x là số nguyên lẻ. 1 1 x y và y + x là số nguyên. Chứng minh rằng các số sau đây là số 2/ Cho x, y là số thực sao cho x2 y 2  nguyên: A =. 1 1 x 2005 . y 2005  2005 2005 2 x y ;B= x .y 2. E Bài 2: 1/ Thực hiện phép tính:. 2 3 2 42 3. . 2 2 3. 3. 4 2 3 2  1. 1 3. 21 2/ Tính giá trị của biểu thức: P = x3 + 3x + 2 với x = Bài 3: Cho x, y là các số dương thỏa mãn x3 + y4 ≤ x2 + y3. Chứng minh rằng: 1/ x3 + y3 ≤ x2 + y2 2/ x2 + y3 ≤ x + y2 2 2 2 Bài 4: Giải phương trình: 3 x  6 x  7  5 x  10 x  14 4  2 x  x Bài 5: Cho tam giác cân ABC tại A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi D là trung điểm của cạnh AB và E là trọng tâm ∆ACD. Chứng minh OE  CD.. Bài 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định trong đường tròn. Hai dây cung AC và BD thay đổi nhưng vuông góc với nhau tại P. Xác định vị trí của AC và BD sao cho diện tích của tứ giác ABCD lớn nhất.. QUẬN 1 (VÒNG 2) 2004 – 2005 Bài 1: Tìm các hệ số a, b đê đa thức x4 + ax2 + b chia hết cho đa thức x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương. Bài 2: a/ Chứng minh rằng nếu a + b + c + d = 0 thì a3 + b3 + c3 + d3 = 3(ac – bd)(b + d)  a  b c  a  b  c  1 1 1    1 b/ Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa:  a b c Bài 3: Cho a, b là các số nguyên và p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng nếu p 4 là ước của a2 + b2 và a(a + b)2 thì p4 cũng là ước của a(a + b)..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ∆ABC. Gọi m, n, k là độ dài các đường phân giác trong của 3 góc 1 1 1 1 1 1      của ∆ABC. Chứng minh: m n k a b c . Bài 5: Cho ∆ABC. Lấy điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho: BM CN AP   k CM NA PB.  k  0; k 1. . Tính theo k diện tích tam giác tạo nên bởi các đoạn thẳng AM, BN,. CP biết diện tích ∆ABC bằng 1. TRÀ ÔN 2004 – 2005. Caâu 1: (1,5 ñieåm) 1) Chứng minh rằng : n3 – 13n chia hết cho 6, với n Z;n>1 2) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A sau nay là số nguyên tố. A = 12n 2 – 5n – 25 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=| x −2001|+|x −1| Caâu 2: (1,5 ñieåm) 2 x 2 a+ x 8a + = 1) Giaûi phöông trình : ( a laø tham soá) 2 a+ x 2 a − x x 2 − 4 a 2 2)Tìm taát caû caùc nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình: 4x + 5y = 65 Caâu 3: (2 ñieåm) x −1 2 x +3 x ≥ + −1 1) Giaûi baát phöông trình : x −5 − 3 2 3 z =2 x+ y z 2) Giaûi heä phöông trình : =3 y−x 2 x − y=3. {. x2 6 1 10 − x 2 + + : x −2+ 3 x +2 x − 4 x 6 −3 x x +2 a) Tìm điều kiện của biến để A được xác định. 3) Cho biểu thức :. A=. )(. (. ). b) Tính giaù trò cuûa A khi x = 2005.  Caâu 4: Cho tam giaùc ABC coù AB = 30cm; AC = 45cm; BC = 50cm. Phaân giaùc cuûa BAC caét caïnh BC taïi D. a) Tính độ dài BD và DC b) Qua D vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở F. Qua D vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC ở E. Tứ giác AEDF là hình gì? Chứng minh. Tính các cạnh của tứ giác đó ? Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy điểm P tùy ý trên đường chéo BD. Gọi M là điểm đôùi xứng cuûa C qua P. a) Chứng minh : AM // BD. b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB. Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật.. c) Chứng minh EF // AC. THÀNH PHỐ VĨNH LONG 2004 – 2005 + Caâu 1 : a) Chứng minh : b) Tìm số tự nhiên n để. n3 +3 n2 +2 n −2004 ⋮ 6 n+3 ⋮ n− 4. (n  Z).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> + Caâu 2 : Tìm caùc giaù trò cuûa x sao cho : 2 a) √ 5 x + x (1− x)−13 x+ 9= √ 16 −6 √ 7+ ( 4+ √7 ) b) |2 x −3|−|1− x|=9 + Caâu 3 : 2004 a) Cho P= Với giá trị nào của x thì biểu thức P có nghĩa. √ x − √2 x −1 b) Chứng minh đẳng thức : √ x+2 √ x −3 − 2 ( √ x − 3 −1 ) : ( √ x −2 ) =√ x +2 a) Cho x + y = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2 + Câu 4 : Từ một điểm A ngoài đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Gọi M là điểm thuộc cung nhỏ BC, vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB tại P và cắt AC tại Q. a) Chứng minh : chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi khi M chuyển động trên cung nhỏ BC. b) Cho biết BAC = 60 0 ; bán kính R = 6cm. Tính độ dài của AB và diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC.  < 900 A + Câu 5 : Gọi AC là đường chéo của hình bình hành ABCD . Từ C vẽ đường vuông góc với đường thẳng AB tại E và vuông góc với đường thẳng AD tại F. Chứng minh : AB.AE + AD.AF =. . . AC2 LONG HỒ 2004 – 2005 BAØI 1 : Cho. 2. M =√ x − 4 x +4 + √ x 2 +18 x+ 81. a) Giaûi phöông trình khi M = 21 b) Với giá trị nào của x thì m đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. BAØI 2 : a) Giải hệ phương trình với x, y, z là ẩn.. {. 4 + z=− 2 2 x− y 2 y − 3 z=5 8 − y=4 2 x− y. b) Chứng minh bất đẳng thức : (2a – b + c) 2  6(a2 + b2 + c2) Với a, b, c là các số thực tuøy yù BAØI 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ ở miền ngoài tam giác các hình vuông ABDE,. ACFH. a) Chứng minh rằng : EC = BH b) Vẽ đường cao AK của tam giác ABC, tia KA cắt EH tại I. Chứng minh rằng : EI = IH BAØI 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thức ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. a) Chứng minh rằng : MN // AC b) Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng : S ACM + SBDM MANG THÍT 2004 – 2005 Câu 1: Chứng minh rằng a/ (3 + 33 + 35 + ….. + 399) chia hết cho 30 b/ (n – 1)(n + 1)n2(n2 + 1) chia hết cho 60 (với n là số nguyên) Câu 2: Giải các phương trình sau: a/ 5x + 7y = 112 (với x, y nguyên dương).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b/. x 2  1  x 2  2 2. 2 1 x 4   0 x  4 x  x  2 x  x  2 2. c/ Câu 3: a/ Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 – ab ≥ a + b – 1 x 2 3  1 b/ Giải bất phương trình: x  5 x  1 Câu 4: Cho AD và BC là các cạnh đáy hình thang ABCD, còn O là giao điểm các đường chéo của nó. Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích của tam giác AOD và BOC. Tính diện tích của hình thang ABCD. Câu 5: Cho đường tròn tâm O, đường kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB; DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. a/ Chứng minh ADBE là hình gì? Tại sao? b/ Chứng minh BI//AD. c/ Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng. d/ Chứng minh MI là tiếp tuyến với đường tròn tâm O’. e/ Chứng minh BD  EC. 0  f/ Cho DEI 30 , MI = a. Tính diện tích của tam giác DEI theo a.. QUẬN PHÚ NHUẬN 2004 – 2005 Bài 1: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương: x4 – x2 + 2x + 2 Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau: ¿ x √ y + y √ x=30 a/ x 2+7 x +14=2 √ x + 4 b/ x √ x+ y √ y=35 ¿{ ¿ 1 1 1 1 2 2 2 5 + + < Bài 3: Cho ba số dương a, b, c thỏa a +b + c = , chứng minh: . 3 a b c abc Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với đường tròn (O) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB và EF. Qua C kẻ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn (O) tại M và N (M nằm giữa C và N). Chứng minh: a/ Bốn điểm O, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn. b/ A ^I M =B I^ N . Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A thuộc đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AHB, AHC. 1 Đường thẳng IK cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh: S AMN ≤ SABC (SAMN: diện tích tam giác AMN; 2 SABC: diện tích tam giác ABC). QUẬN TÂN BÌNH 2004 – 2005 Bài 1: a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3. b/ Rút gọn biểu thức sau: A= √ 9+ √17 − √ 9− √17 − √ 2; B= √ 4+ √ 10+2 √ 5+ √ 4 − √ 10+2 √ 5 ( a+b )2 2 2 Bài 2: a/ Với mọi số a và b, chứng minh rằng: ≤ a +b 2 b/ Chứng minh rằng nếu số tự nhiên a không chia hết cho 5 thì a8 + 3a4 – 4 chia hết cho 100. Bài 3: 1/ Giải phương trình: 2 2 a /x − 4 x −2 √ 2 x −5+5=0 b/ √ 3 x −5+ √ 7 − 3 x =5 x −20 x+ 22 2/ Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó: M =x − √ x −2005 Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn này. Kẻ MH  AB tại H. Gọi C và D lần lượt là hình chiếu của H lên cạnh MA và MB. Qua B dựng tiếp tuyến Bx với nưa đường tròn (O;R). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với MB cắt tiếp tuyến Bx ở K. a/ Chứng minh MK là tiếp tuyến của đường tròn (O)..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> b/ Chứng minh đường thẳng AK đi qua trung điểm I của MH. c/ Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AH và HB. Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Cho hai đường tròn đồng tâm O có bàn kính R và r (R > r). A và M là hai điểm thuộc đường tròn nhỏ (A chuyển động, M cố định). Qua điểm M, ta vẽ dây BC của đường tròn lớn sao cho BC vuông góc với AM. Chứng minh rằng: a/ Tổng MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm A. b/ Trọng tâm G của tam giác ABC là cố định.. THÀNH PHỐ VĨNH LONG 2005 – 2006 Baøi 1 :. a) Chứng minh : 4 n2+ 28 n⋮ 8 (n Z) 2 A ⋮ n+ 4 b) Cho A=n + 2n+ 6 . Tìm số tự nhiên n để 2005 Baøi 2 : a) Cho M = . Với giá trị nào của x thì biểu thức M có nghĩa. 3− √ x −3 2 b) Tìm caùc giaù trò cuûa x sao cho : √ 2 x + x (5− x)−7 x +1=√ 19 −6 √ 10 2 c) Cho x > y và xy =1. Chứng minh rằng: ( x 2+ y 2) ≥ 8 ( x − y )2 1 1 + x+ 4 y +4 O). Gọi H và K lần lượt. d) Cho hai số dương x ; y và x + y = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. P=. Bài 2 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây cung CD cắt AB tại G (G là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh rằng : CH = DK. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ NH vuông góc với CM tại H; HE vuông góc với AB tại E a) Chứng minh : tam giác BAH cân. b) Chứng minh : HM là phân giác của góc BHE. LONG HỒ 2005 – 2006 BAØI 1 : Giaûi caùc phöông trình sau : a) (x – 3)(2 + 8x) = 0 1 −6 x 9 x +4 x( 3 x −2)+ 1 + = b) x −2 x+ 2 x2 − 4 c) √ 10+ √24 + √ 40+ √ 60=2006(2 x − 1)+ √ 2+ √ 3+ √ 5 BAØI 2 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x – 2)2 + (3 + 2x)2 a2 +b2 +c 2 a+ b+c 2 ≥ b) Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực thì : 3 3 BAØI 3 : Cho tam giác ABC cân ở A. Từ điểm D trên BC ( D khác điểm B và C) vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB, AC ở E và F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Gọi I là giao điểm cuûa BE vaø HD vaø O laø giao ñieåm cuûa CF vaø DK. a) Chứng minh rằng tứ giác AIDO là hình bình hành. b) Chứng minh rằng A là trung điểm của HK . BAØI 4 : Cho tam giác ABC cân ở A ( Â < 90 0 ) có đường cao AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tính độ dài AD biết AH = 4cm, HB = √ 6 cm. (. TRÀ ÔN 2005 – 2006. Câu I: 1) Chứng minh rằng : 7. n +2. +8. 2 n+1. ⋮ 19 , ∀ n laø soá nguyeân döông. 2) Tìm hai soá nguyeân toá p vaø q sao cho p2 = 8q + 1 Caâu II: 1) Giaûi phöông trình: |x − 1|+|x +2|+|x −3|=14 2) Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: 2x + 5y = xy + 13 2 x +1 ≤1 Caâu III: 1) Giaûi baát phöông trình: x +2. ).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 2 x − y =8 3 x − z=10 x + xy+ 3 z =10. {. 2) Giaûi heä phöông trình sau :. Câu IV: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh: a) Tam giaùc DIL laø tam giaùc caân. 1 1 + b) Toång không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB 2 DI DK2 Câu V: Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1 a) Chứng minh ED = BC 2 b) Chứng minh rằng: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Tính độ dài DE. Biết rằng DH = 2cm, HA = 6cm.. MANG THÍT 2005 – 2006 Bài 1: a/ Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố khác 3 thì số A = 3n + 2 + 1993b2 là hợp số với mọi n  N. b/ Chứng minh rằng một số tự nhiên khi chia cho 3 còn dư 1, một số tự nhiên khác khi chia cho 3 còn dư 2 thì tích của chúng khi chia cho 3 còn dư 2. 1 1 1 n 1  2  .....  2  2 n n Bài 2: Cho n là số nguyên thỏa mãn n 2. Chứng minh rằng: 2 3 2 6 3 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y = - 2(x – x y – 32) Bài 4: Chứng minh rằng: Trong một tứ giác lồi nếu đoạn thẳng nối các trung điểm của hai cạnh đối diện bằng nửa tổng độ dài của hai cạnh còn lại thì tứ giác đó là hình thang. Bài 5: Cho tam giác ABC, AD là phân giác và AM là trung tuyến, đường tròn qua 3 điểm A, M, D cắt AB tại E cắt AC tại F. Gọi I là trung điểm EF. a/ Chứng minh: BE = CF b/ Chứng minh: IM//AD. QUẬN I 2005 – 2006 Bài 1: Rút gọn biểu thức: 1 x  1 A x 2 x 1 a/ x2  3. b/ B  8  2 10  2 5 . 8  2 10  2 5. 2 2 x  2 Bài 2: a/ Chứng minh: với mọi x 2006 2005   2005  2006 2005 2006 b/ Chứng minh: Bài 3: Giải phương trình x a x b x c  1 1 1   2     4 2 ac ab a b c a/ bc b/ x  x  3 3 Bài 4:a/ Chứng minh tích của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. b/ Tìm các số nguyên dương phân biệt thõa mãn x3 + 7y = y3 + 7x Bài 5: Không sử dụng máy tính và bảng lượng giác. Tính cos150. 0  Bài 6: Cho ∆ABC có A 60 ; đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ∆EDM đều..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Một đường thẳng qua A cắt cạnh BC tại M và đường thẳng DC tại I. 1 1 1   2 2 2 AM AI Chứng minh: AB. QUẬN 10 2005 – 2006 √ a+2 √ a −1+√ a −2 √ a −1 . Chứng minh A < 1 với mọi a ≥ 2. Bài 1: (2đ) Cho biểu thức: A= √ a+ √ 2 a+1+ √ a − √ 2 a− 1 Bài 2: (2đ) Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: 12x2 – 6mx + m2 – 4 +. 12 = 0 (m > 0). Tìm m m2. để A = x 31+ x 32 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bài 3: (2đ) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và gọi p là nửa chu vi của tam giác ấy. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 + + ≥2 + + . p − a p −b p − c a b c Bài 4: (2đ) Cho dãy số 101; 102; 103; …., 1020. Chứng minh rằng có một số trong dãy số ấy chia cho 19 thì dư 1. Bài 5: (2đ) Cho góc xOy và một đường tròn tiếp xúc với các cạnh Ox, Oy lần lượt tại A và B. Từ A vẽ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn tại điểm khác A. Đoạn thẳng OC cắt đường tròn tại điểm E. Các đường thẳng AE và OB cắt nhau tại điểm K. Chứng minh rằng OK = KB.. (. ). QUẬN 9 2005 – 2006 3+ √ 5 3 − √5 + Bài 1: Rút gọn: A= ; B=√ 0 , 05 √ 961+ 2 √ 10+ √ 15+ √ 6 2 √2+ √ 3+ √ 5 2 √ 2− √ 3− √ 5 Bài 2: Với a, b, c là các số hữu tỷ thõa mãn điều kiện: a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng: √ ( ab −cd ) ( bc − da )( ca − bd ) là số hữu tỷ. Bài 3: a/ Chứng minh bất đẳng thức: √ a2 +b2 + √ c 2 +d 2 ≥ √ ( a+ c )2 + ( b+ d )2 5 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: y= x 2 − x + + √ x 2 −2 x+2 2 Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD. Gọi M, N theo thứ BM CN 0 = tự là các điểm thuộc các đoạn BH và CD sao cho . Chứng minh: A ^ M N =90 . MH ND 1 1 1 = 2+ Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Chứng minh: . 2 BK BC 4 AH2 Bài 6: a/ Chứng minh với mọi số tự nhiên lẻ n thì n5 – n chia hết cho 240. b/ Chứng minh: 32010 + 52010 chia hết cho 13. c/ Cho a, b là các số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: (a – 1)(b – 1) chia hết cho 192. d/ Cho bốn số tự nhiên bất kì a; b; c; d. Chứng minh rằng: (b – a)(c – a)(d – a)(c – b)(d – b)(d – c) chia hết cho 12.. √. BÌNH MINH 2006 – 2007. Baøi 1: a) Tính :. √ 5− 2 √6+ √5+2 √ 6. b) Giaûi phöông trình ( aån soá x):. (1 − 6 −3 x ). 12 + x − 2x − 3+4 x =3. 2 2 Bài 2: Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số nguyên chẳn liên tiếp thì chia hết cho 4. 3 3 + √1+ x : +1 Bài 3: (2 điểm) Cho biểu thức A = √1 − x √1 − x 2. (. )(. ). a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tính giá trị của biểu thức A khi x =. √3 2 − √3. Bài 4 : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH = 2cm, CH = 8cm. a) Tính độ dài đường cao AH..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> b) Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng : EH = 2HD c) Đường thẳng vuông góc với DE tại D cắt BC tại M. Chứng minh rằng : BM = MH. Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có ( AC > AB) , AD là đường phân giác ngoài của tam giác ABC DB AB = ( D BC). Chứng minh rằng : DC AC Baøi 6: (1,5 ñieåm) Hãy chia đoạn thẳng AB thành ba phần bằng nhau.. LONG HỒ 2006 – 2007 Baøi 1: ( 3ñieåm) Giaûi caùc phöông trình vaø baát phöông trình sau: 5 3 x+ 4 a) x −3 − x +2 = 2 x − x −6 3 x −2 1 5+ x 3 x − ≥ + 6 3 12 2 c) |x − 1|−|5 − x|=2 b). Baøi 2: (3ñieåm) a) Chứng minh rằng:. A=2009. 2006. +2003. 2007. −1. chia heát cho 7. b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa B, bieát B = x – 3x – 5 2. a− 2 a √ a+ a − √ a −1 −√ ( a+√2a+2 a −1 ) √ a+1 √a. c) Ruùt goïn : C= Baøi 3: (3ñieåm). ( với a > 0, a 1 ). Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC) có đường cao AH.. a) Cho AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH. b) Trên HC lấy điểm D sao cho HB = HD. Đường thẳng qua C vuông góc với AD cắt AH tại I. Chứng minh rằng AC = CI. BAØI 4 : (1.0điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt ở E, F. Chứng minh rằng : BE. √ CF+ DF . √ CE=AC . √ EF. TRÀ ÔN 2006 – 2007. BAØI 1 : (1.5ñieåm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 74n – 1 chia hết cho 5. 2006 x +1 2) Tìm số nguyên dương x để A= laø soá nguyeân döông , bieát x ≤ 2008 2007 3) Cho A = x2 – 21x + 110 (x  Z). Với giá trị nào của x để A là số nguyên tố. Khi đó A có giá trị là bao nhiêu? Baøi 2: ( 2ñieåm) 1) Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ( m laø tham soá) m2x – m2 = 9x + 3m 2) Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: x2 – y2 = 17 Baøi 3 : (1,5 ñieåm) x +2 x +5 x +8 x+11 + > + 1) Giaûi baát phöông trình: 89 86 83 80 b 4 a2 −5 b2 2 2 2) Cho 3a +2b =11ab với a> >0 . Tính giá trị của biểu thức A= 2 5 a +3 ab BAØI 4 : ( 2.0đ) Cho tam giác ABC với ba đường cao AA' ; BB' ; CC'. Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ABC và AB'C' đồng dạng. b) AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC c) Cho AÂ = 300 ; AB = 4cm ; AC = 6cm. Tính SABC ?.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> BAØI 5 : (2,5đ) Cho hai hình vuông ABCD, DEFG sao cho D nằm giữa A và E, đồng thời cả hai hình vuông cùng nằm về một phía của AE. Trên tia AD lấy điểm H; trên tia đối của tia CD lấy điểm K sao cho AH = CK = GF. a) Chứng minh: BHFK là hình vuông. b) Gọi I là giao điểm của BF và CD. Chứng minh: ∆ABH = ∆IHF c) Chứng minh: Diện tích hình vuông BHFK bằng tổng các diện tích hai hình vuông ABCD và DEFG.. MANG THÍT 2006 – 2007 Baøi 1: ( 2ñieåm) a) Thu goïn 1 + 2 + 22 + 23 + ………………… + 22006 b) Cho Q=abcd với (8a + 4b + 2c +d) chia hết cho 16 và c chẳn. Chứng minh Q chia hết cho 16. Bài 2: ( 2điểm) Rút gọn các biểu thức: a). √ √5 − √3 − √29 −12 √ 5. b). x 8 +3 x 4 + 4 x 4 + x 2+ 2. Baøi 3: (2 ñieåm) 1/ Giaûi caùc phöông trình sau: x+ 3 x+1 2 x+ 4 + 2 = 2 a) 2 x −2 x+1 x −5 x+ 4 x − 5 x + 4 b). 3. √ √ x +2 x +1=3 2. 2/ Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Baøi 4: (4 ñieåm) 1/ Cho hình thang ABCD (AB // CD, CD > AB), AC và BD cắt nhau tại O. Các đường thẳng kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng tại E và F. a) Chứng minh rằng : EF // AB b) Chứng minh rằng : AB2 = EF.CD c) Gọi S1, S2, S3, S4 theo thứ tự là diện tích các tam giác OAB, OCD, OAD và OBC. Chứng minh raèng : S1.S2 = S3.S4 2/ Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn (M không trùng O). Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB > CD, chứng minh raèng : MH > MK.. THÀNH PHỐ VĨNH LONG NĂM 2006 – 2007 A. Soá hoïc: (2ñ) 1) Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì số 2n – 1 không thể là số chính phương. 2) Chứng minh rằng A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n. B. Đại số: (4đ) 1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức: 2) Giaûi phöông trình:. B=. 2006. √ x 2 − 2 x −1. √ 2 x −4 +2 √2 x − 5+ √ 2 x −1+4 √2 x − 5=6.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 3) Cho a + b = 1. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a3 + b3 a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ 4) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : b+c c +a a+b 2 C. Hình hoïc: (4ñ) Bài 1: Cho đoạn thẳng MN = 6cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6cm. Vẽ đường tròn tâm N baùn kính 4,8cm chuùng caét nhau taïi A vaø B. 1 1 1 = + a) Chứng minh : 2 2 2 AB AM AN b) Tính soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc MAB. Baøi 2: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a. Caùc ñieåm M thuoäc AD vaø N thuoäc AB sao cho MN = DM + BN. Chứng minh rằng : MN là tiếp tuyến của đường tròn (C ; a). MANG THÍT 2007 – 2008 Baøi 1: ( 2 ñieåm) a) Cho a N , n ∈ N . Nếu 10n < a < 10n thì số a có mấy chữ số? Vì sao ? 1 b) Vieát phaân soá dưới dạng tổng của 3 phân số có tử bằng 1 và mẫu khác nhau. 3 c) Chứng minh rằng : m3n – mn3 chia hết cho 6 với m, n  Z. d) Cho A là tổng các số tự nhiên chẳn không vượt quá 100, B là tổng các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 100. Tính A – B a+ b c+ a Bài 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu a2 = b.c ( với a b, a c) thì a− b = c −a x y z a b c x2 y2 z2 + + =1 + + =0 + + =1 . a, b,c, x, y, z ≠ 0 b) Chứng minh: Nếu vaø thì a b c x y z a2 b2 c 2 Baøi 3: (2 ñieåm) a) Một xe ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50km/h, đi được 24 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc trên quãng đường còn lại là 40 km/h, vì vậy đến chậm mất 18 phút. Tính độ dài quãng đường AB. b) Tính : (a + b)3 – (a3 – b3). AÙp duïng: Giaûi phöông trình (2x + 1)3 – (x – 1)3 – ( x + 2)3 = 0 Baøi 4: (4 ñieåm) 1/ Các đáy của hình thang ABCD là AB và CD (AB > CD). Gọi E là trung điểm của CD, các đường thẳng AE và BE cắt hai đường chéo BD và AC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh: MN // AB b) Tính MN bieát CD = a, AB = b. 2/ Cho tam giác ABC can tại C (CA = CB). Kẻ trung tuyến CM và phân giác AD, biết độ dài đường phân giác gấp đôi độ dài đường trung tuyến. Tính các góc của tam giác.. VŨNG LIÊM 2007 – 2008 Câu 1: (2 điểm) Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của ký túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chảy đầu, một cô đang viết thư và một cô đang đọc sách. Biết : a. Mỹ không sửa áo và không đọc sách b. Mận không viết thư và không sửa áo c. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo d. Mai không đọc sách và không sửa áo e. Mơ không đọc sách và không viết thư. Haõy noùi chính xaùc moãi coâ ñang laøm gì? Caâu 2: (2 ñieåm) a) Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B A = 3 xn − 1 y 6 −5 x n+1 y 4 ; B = 2 x 3 y n .Tìm thương A : B trong trường hợp đó..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> b) Biết a + b + c = 0 và abc  0. Hãy chứng minh rằng : 1 1 1 + 2 2 2 + 2 2 2 =0 2 2 2 b +c − a c +a −b a +b − c √ x − 1− 2 √ x − 2 Câu 3: (2 điểm) Cho biểu thức A = √ x −2 −1 a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Tính A2 c) Ruùt goïn A Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Vẽ trung trực Mx của đoạn thẳng BC. Trên tia Mx thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, lấy điểm D sao cho MD = MA. Vẽ DE, DF theo thứ tự vuông góc với AB, AC. Chứng minh AFDE là hình vuông. Câu 5: (2 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là một điểm di động trên nửa đường tròn đó (M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn tâm M. a) Chứng minh ba điểm C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm M. b) Chứng minh rằng AC + BD không đổi khi M chuyển động trên cung AB.. THÀNH PHỐ VĨNH LONG 2007 – 2008 Baøi 1: ( 2 ñieåm). a) Chứng minh A = n3 – n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ. b) Tìm số tự nhiên n để 2n – 1 ⋮ n – 3. Baøi 2: ( 4 ñieåm) a) Tìm điều kiện của x để : √ − x 2+5 x −4 có nghĩa ? b) Giaûi phöông trình : √ x2 −2 x+1=√ 6+4 √2 − √6 − 4 √ 2 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q= . Giá trị đó đạt được khi x bằng bao x − 2 √ x+ 3 nhieâu ? d) Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + 1 a+b+c+d Bài 3 : ( 1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Đường thẳng qua A cắt đường thẳng BC và CD lần lượt 1 1 1 + 2= 2 tại E và F. Chứng minh : 2 AE AF AB Bài 4: (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn đó tại C. Gọi M và N lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ tứ C đến AB. Chứng minh : CD2 = AM. BN. MANG THÍT 2008 – 2009. Bài 1: (2đ) 1/ Với n  N, tổng hiệu sau có chia hết cho 3 và cho 9 không? Tại sao? a/ 10n – 1 b/ 10n + 2 2/ Bạn Minh nghĩ ra một số có ba chữ số: - Nếu bớt số bạn Minh nghĩ đi 7 thì được số chia hết cho 7 - Nếu bớt số bạn Minh nghĩ đi 8 thì được số chia hết cho 8 - Nếu bớt số bạn Minh nghĩ đi 9 thì được số chia hết cho 9 Hỏi bạn Minh nghĩ ra số nào? Bài 2: (2đ) 1/ So sánh 2008  2009 và 2 2009 (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi) 1 1 1 1   ....   x x  1  x  1  x  2   x  2007   x  2008 x  2008 2/ Tính:  Bài 3: (1,5đ) 1/ Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh a = b = c hoặc a + b + c = 0 16  2 x  x 2  9  2 x  x 2 A  2 2 7 2/ Cho 16  2 x  x  9  2 x  x 1 . Tính.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bài 4: Lúc 7 giờ sáng, một chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B, cách nhau 36km, rồi ngay lập tức trở về bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc nước chảy là 6km/h. Bài 5: 1/ Gọi O là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2. 2/ Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng: a/ MN vuông góc với AB. b/ MN = NH. QUẬN TÂN BÌNH 2008 – 2009 Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:. √. A= ( 4 √ 3 − 4 ) 3+ √ 5− √ 13+ 2 √ 12 ; Bài 2: Giải các phương trình sau: a/ √ 3 x +7 − √ x +1=2. √. B= 1+. 1 1 1 1 1 1 + 2 + 1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 2 6 7 7 8 8 9. √. √. x 2+2=2 √ x 3 +1 2 2 2 1 Bài 3: a/ Với a + b + c = 1. Chứng minh: a +b + c ≥ . 3 b/ Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: M =x − √ x −2009 c/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4y2 = 2 + √ 199− x2 −2 x d/ Tính chính xác giá trị lớn nhất của biểu thức: P = - x2 – 46913578x + 2009 Bài 4: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Kẻ đường cao AH của ∆ABC. Cho biết độ dài AH 3 = BC = 20cm, . HC 4 a/ Tính độ dài AB và AC. b/ Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O), AB, AC lần lượt tại M, D, E. Đường thẳng DE cắt đường thằng BC tại K. Chứng minh: Ba điểm A, M, K thẳng hàng. c/ Chứng minh bốn điểm B, D, E, C cùng nằm trên cùng một đường tròn. Bài 5: Cho góc vuông xOy cố định. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B, hai điểm A và B chuyển động sao cho OA + OB = a (a không đổi). Vẽ đường tròn (A;OB), (B; OA) chúng cắt nhau tại D và E. Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua điểm cố định. b/. MANG THÍT 2009 - 2010 Bài 1: 1/ Cho tập hợp A = { 70 ; 10 } ; B = { 5 ; 14 } với x A, y B. Viết tập hợp các giá trị của các biểu thức (Xét trên tập số tự nhiên) a/ x + y b/ x – y 2 2 2 2 + + + .. .. .+ 2/ Tính nhanh: 3.5 5.7 7.9 2007 .2009 a b c Baøi 2: 1/ Tìm caùc soá a, b, c bieát 2 = 3 = 4 vaø a + 2b – 3c = –20 a+ b c+ a = 2/ Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc (a b, a c) thì a− b c −a Bài 3: 1/ Hai xe ô tô khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài 163 km. Trong 43 km đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó chiếc xe thứ nhất tăng vận tốc lên 1,2 lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe. 2/ Giaûi phöông trình |2 x −3|=2 x − 3 Bài 4: 1/ Cho tam giác ABC cạnh bằng a, các đường cao BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC. a/ Chứng minh 4 điểm B, C, M, N thuộc cùng một đường tròn tâm O. b/ Gọi giao điểm của BM và CN là G. Chứng minh rằng điểm G nằm trong đường tròn tâm O, cịn điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2/ Cho đường tròn tâm O bán kính R. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở A. Gọi D và E tương ứng là trung điểm của các đoạn AB và AC; DE cắt OA ở K. Chứng minh OK > R.. QUẬN I (VÒNG 1) 2009 – 2010 A Bài 1: a/ Tính giá trị của biểu thức: 2x  x  x . 3 2  2 3. . 3 2. 2. 3. 1 2 4. b/ Giải phương trình: Bài 2: a/ Chứng minh rằng: a4 + b4 + 2 ≥ 4ab với mọi a, b 3 x1 x  2 5x  4 x  2 B   x  2 3 x  1 3x  5 x  2 . Rút gọn B rồi tìm giá trị x  Q để B nhận giá trị b/ Cho biểu thức: nguyên.  x 2  y 2 2 xy  1  3 x  y 3 2 xy  3 Bài 3: a/ Giải hệ phương trình:  b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n2 – 18n – 10 là một số chính phương. Bài 4: Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M không trùng với A và B, MA < MB). Tia  phân giác của AMB cắt AB tại C. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H. a/ Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường tròn (O). b/ Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACHE là hình vuông. c/ Gọi F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O). Chứng minh 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng. CM 2  S1.S 2 d/ Gọi S1, S2 là diện tích của các tứ giác ACHE và BCDF. Chứng minh. QUẬN I (VÒNG 2) 2009 – 2010 Bài 1: a/ Tính: 1 . 26 . 640  27  810  30  1000. 2 2 b/ Giải phương trình: x  50  x  x 50  x 15 Bài 2: Cho phương trình: (m – 1)x4 – 2(m – 1)x2 – m = 0 a/ Giải phương trình (1) khi m = 5 b/ Định m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt. Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 a/ a  b  c ab  bc  ca với mọi a, b, c. (1) (m là tham số). a 3 b3 c 3   a  b  c b/ bc ca ab với abc < 0 Bài 4: Cho hai phương trình ẩn x: (m2 + 1)x2 + nx – p2 – 2 = 0 (1) và (p2 + 2)x2 – xn – m2 – 1 = 0 (2) Chứng minh rằng: a/ với mọi giá trị của m, n, p thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 > 0, x2 < 0 và phương trình (2) có hai nghiệm x3 > 0, x4 < 0. b/ x1 – x2 + x3 – x4 + x1.x2.x3.x4 ≥ 5 Bài 5: Cho ∆ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD, BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H (D  AC, F  AB). Gọi I là trung điểm của BC. Dựng hình bình hành BHCK. a/ Chứng minh điểm K thuộc đường tròn (O) và AH = 2OI. b/ Giả sử BC cố định, A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Tìm vị trí của điểm A để diện tích ∆BHC đạt giá trị lớn nhất..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> c/ Gọi A1, B1, C1 lần lượt là giao điểm của các tia AH, BH và CH với đường tròn (O). Tính: AA1 BB1 CC1   AD BE CF d/ Gọi M là giao điểm của AH và EF, N là giao điểm của AK và BC. Chứng minh MN song song với HK.. VŨNG LIÊM 2009 – 2010. (n  N) Câu 1: Chứng minh rằng n + 5n  6 2 Câu 2: Tìm giá trị của x để: A x  2x  5 đạt giá trị nhỏ nhất 3. B. x. . 2x . x. x  1 x x Câu 3: Cho biểu thức: a) Tìm đêì kiện của x để biểu thức B xác định b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị của B khi x = 3 + 8 d) Hỏi với giá trị nào của x thì B > 0 Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng: a) CE = CF b) AC là tia phân giác của góc BAE c) CH2 = AE.BF Câu 5: Cho tam giác ABC (Â = 90 0), M là điểm di chuyển trên cạnh BC. Vẽ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC ( D  AB; E  AC ). Hãy xác định điểm M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất.. VŨNG LIÊM 2010 – 2011 Câu 1: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A = 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố. 2  3  6  8  16 2 3 4. Câu 2: (2 điểm) Tính: Câu 3: (2 điểm) Rút gọn: 1 1 1    1 2 2 3 3 4. 1 1   4 5 5 6. 1 1   6 7 7 8. 1 8 9. Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F. a) Tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao? b) Tính bán kính đường tròn tâm O, biết AB = 3cm; AC = 4cm Câu 5: (2 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. Vẽ tiếp tuyến Ax, By. (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bời AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Tìm vị trí của M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.. MANG THÍT 2010 – 2011 Bài 1: (2đ) a/ Chứng minh rằng hiệu giữa số có dạng 1ab1 và số được viết bởi chính các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là bội của 90. b/ Tỉ số của hai số bằng 2 : 7. Nếu thêm 35 vào số thứ nhất thì tỉ số của chúng sẽ bằng 11 : 14. Tìm hai số đó. 108  2 108 A 8 B 8 10  1 và 10  3 (không sử dụng máy tính để tính giá trị gần đúng để so sánh) c/ So sánh d/ Cho a chia hết cho m, b chia hết cho m, (a + b + c) chia hết cho m. Chứng minh rằng c chia hết cho m với a, b, c, m thuộc Z (m ≠ 0). Bài 2: (2đ) a/ Tìm hai số hữu tỉ x và y sao cho x + y = xy = x : y b/ Cho đa thức f(x) = x17 – 2010x16 + 2010x15 – 2010x14 + ….. – 2010x2 + 2010x – 1. Tính giá trị của đa thức tại x = 2009..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 3 3 Bài 3: (2đ) a/ Vận dụng hằng đẳng thức chứng minh rằng: 2  5  2  5  2 1 1 1 3    b/ Chứng minh rằng nếu a > 0, b > 0, c > 0 thì b  c c  a a  b a  b  c Bài 4: (2đ) Giải các phương trình sau a/ 6x – 4.3x – 27.2x + 108 = 0 b/ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 Bài 5: (2đ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn dựng tia tiếp tuyến Ax. Chọn M là một điểm trên Ax (M khác A). Kẻ tiếp tuyến MC tới đường tròn. Đường thẳng BC cắt Ax ở N. a/ Chứng minh MA = MN. b/ Gọi giao điểm của BM với đường thẳng CH vuông góc với AB là I. Chứng minh I là trung điểm của CH.. MANG THÍT 2011 - 2012 Bài 1: (2 điểm) 1/ Cho S = 30 + 32 + 34 + 36 + …… + 32002 a) Tính tổng S. b) Chứng minh: S chia hết cho 7. 2/ Chứng tỏ rằng lấy một số có hai chữ số, cộng với số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta luôn được số chia hết cho 11. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 7y = 112 (với x, y nguyên dương). Bài 3: (4 điểm) 1 1  a  b     4  a b 1/ Cho a > 0 và b > 0 chứng tỏ rằng: 2/ Giải bất phương trình (x + 2)2 < 2x(x + 2) + 4. 3/ Tìm số tự nhiên x thỏa mãn bất phương trình 3(5 – 4x) + (27 + 2x) > 0. Bài 4: (4 điểm) Giải phương trình. 1/ 5x  4 4  5x. 2 / x 2  1  x 2  1 0 M. x2  x2  4   x 2 x.  4 3  có giá trị nhỏ nhất. Bài 5: (2 điểm) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức tìm giá trị nhỏ nhất ấy. Bài 6: (6 điểm) 1/ Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến với đường tròn vuông góc với nhau tại điểm M, A và B là hai tiếp điểm. Tứ C trên cung nhỏ AB người ta vẽ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt MA, MB lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh chu vi tam giác MPQ không đổi. 1 1  MA  MB   PQ   MA  MB  2 b) Chứng minh 3 2/ Cho tam giác ABC có các đường cao AH, BK, CL và I là trực tâm. Chứng minh rằng: IH IK IL   1 AH BK CL. THÀNH PHỐ VL 2011 - 2012 Bài 1: (2 điểm) a/ Chứng minh rằng: A = n2 + 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi số tự nhiên lẻ n b/ Cho a, b  N. Biết a chia 3 dư 1, b chia 3 dư 2. Tìm số dư khi chia (a.b) cho 3. Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình sau với ẩn số thực: 1  x  3x  1 x  1 a. b. x  1  x  1 2.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>  1 1 x  x 1  1 P    : x1 x  2 x  x  2  x  1  Bài 3: (2 điểm) Cho biểu thức: 1 a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm số tự nhiên x để P là số tự nhiên.. x 2  y2 2 2 x  y Bài 4: (1 điểm) a/ Cho x.y = 1và x > y. Chứng minh: 2 M 2  x  2000  với x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của M. b/ Cho Bài 5: (1 điểm) Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh bằng a và M là điểm tùy ý trong tam giác. Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác luôn không đổi. Bài 6: (2 điểm) Cho điểm A nằm ngoài (O;R) và OA = R 2 . Vẽ hai tiếp tuyến AB; AC với (O), B và C là tiếp điểm. Lấy D  AB, vẽ tiếp tuyến DM cắt AC tại E (M là tiếp điểm). a/ Chứng minh tứ giác OBAC là hình vuông b/ Tính chu vi tam giác ADE theo R. c/ Xác định vị trí điểm M để SADE lớn nhất. THÀNH PHỐ VL 2013-2014 Bài 1: (4đ) a/ Tìm các chữ số a, b để A 31ab chia hết cho 30. b/ Chứng minh rằng nếu 2n – 1 là số nguyên tố thì 2n + là hợp số (nN, n > 2) Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau với ẩn số thực: 1 1 a/  b / x  2 5. x  2 x  2013 2014 A Bài 3: (4đ) Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức C = B – A A 1 b/ Tìm x sao cho B. 2x  3 x  2 x3  x  2 x  2 ;B  x 2 x 2.  a  b. 2. a b a b  b a 2 4 Bài 4: (2đ) a/ Cho a ≥ 0; b ≥ 0. Chứng minh rằng: b/ Cho hàm số y = - x + 2013, không vẽ đồ thị hàm số hãy tính góc  tạo bởi đồ thị với trục Ox. Bài 5: (2đ) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Chứng minh rằng: BC.BK = 2AH.CK Bài 6: (4đ) Cho đường tròn (I;r) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm D, E, F (DBC; EAB, FAC). Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AD, DF tại M, N. Kẻ tia Ax//BC cắt DF tại G. a/ Chứng minh: AF = AG b/ Chứng minh: M là trung điểm của NE. c/ Giả sử tam giác ABC vuông tại A, cho AC = 12cm, BC = 15cm. Tính độ dài r. . MANG THÍT 2013 – 2014 Bài 1: (2đ) Chứng minh rằng a/ Tổng sau có chia hết cho 3 không? Vì sao? A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 b/ Cho Q abcd với (8a + 4b + 2c + d) chia hết cho 16 và c chẵn. Chứng minh Q chia hết cho 16. Bài 2: (2 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x2 – y2 = 2011 Bài 3: (2đ) Với a,b > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: a/ a3 + b3 ≥ ab(a + b) b/ a4 + b4 ≥ ab(a2 + b2) Bài 4: (4đ) Giải các phương trình sau 2. a/. x 2  3x  7  x  3  3 x  22.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> b/. x  3 2. 2x  7 5. 3x 4x   7 5 2 7 3. 2 5  x  1 2x  1 A    : 2 2   1  x x 1 1 x  x  1 Bài 5: (2đ) Cho biểu thức: a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A > 0 Bài 6:(2đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M(x) = – 5x2 – 4x + 1 (với x thuộc R) Bài 7: (4đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A. Từ điểm T bất kỳ trên đường thẳng d nhưng không trùng với A, kẻ tiếp tuyến MT với đường tròn O. Gọi P và Q là hình chiếu vuông góc của điểm M theo thứ tự lên đường kính AB và lên đường thẳng d. a/ Chứng minh: AM = PQ và AM, PQ, OT cắt nhau tại một điểm I. b/ Chứng minh: Tia MA là tia phân giác của các góc QMO và TMP. c/ Chứng minh: Các tam giác AIQ và ATM, AIP và AOM là những cặp tam giác đồng dạng. d/ Tính các đoạn thẳng AQ, AI, AP biết AT = p và OA = R. Áp dụng trong trường hợp R = 5 và p = 10cm. Bài 8: (2đ) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH thì AB + AC < BC + AH. NGHI XUÂN 2013 – 2014 Bài 1:. a/ Tính giá trị biểu thức: A  6  2 3  14  6 5. 2 x  y  2 xy  4 x  4 0 b/ Tìm x; y thỏa mãn: Bài 2:a/ Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x4 + y2 – 4x2y – 85 = 0 5 5 5  P  x  2012    2 y  2013   3z  2014   S  x  2 y  3z  2013 b/ Cho x; y; z là các số nguyên và  . Chứng minh ragn82 P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho 30.  1 x  y  z  2  1 1 1 1 4  2 2 2 y z xyz x 1 1 1    0 Bài 3: Cho ba số x, y, z khác 0 thỏa mãn:  x y z . Tính giá trị của biểu thức: P = (y2009 + z2009)(z2011 + x2011)(x2013 + y2013) Bài 4: a/ Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung trực là O, trung IO 2  OM 2 IH 2  HA2. điểm của BC là M. Tính giá trị biểu thức:  b/ Cho xOy . Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại M và N. Biết giá trị của biểu thức 1 1  OM ON không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. 1 1 1   1 x  1 y  2 z  3 Bài 5: a/ Cho các số x; y; z không âm, không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn: . Tìm. P x  y  z . 1 x yz. giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b/ Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671. Chứng minh rằng:.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> x y z 1  2  2  x  yz  2013 y  zx  2013 z  xy  2013 x  y  z 2. MANG THÍT 2014 - 2015 Bài 1: (2 điểm) a/ Chứng minh rằng: (n – 1)(n + 1)n2(n2 + 1) chia hết cho 60 (n là số nguyên) 2 2 2 2 A    ....  3.5 5.7 7.9 2013.2015 b/ Tính nhanh: Bài 2: (2 điểm) Với x thuộc R a/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 – x4 – 4x3 – 4x2 2 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B  2 x  4 x  5  1 Bài 3: (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b  6abc. Dấu “=” xảy ra khi nào? Bài 4: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau a/ (x – 2)(x + 2)(x2 – 10) = 72 x y 7 6  y z   8 7  x  y  z 292  b/  ab bc ca A 2  2 2  2 2 2 2 2 2 a  b  c b  c  a a  c  b với a + b + c = 0 và a, b, c Bài 5: (2đ) Rút gọn biểu thức khác 0 Bài 6: (2 điểm) Một thùng có thể chứa 14kg táo hoặc 21kg mận. Người ta chứa vào thùng này 18kg vừa táo vừa mận thì vừa đầy. Tìm khối lượng táo và mận chứa trong thùng. Bài 7: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính OA, trên tia đối của tia AO ta chọn điểm I (I không trùng với A), sau đó vẽ đường tròn tâm I bán kính IA. Tiếp tuyến chung ngoài BC có tiếp điểm với (O) ở B với (I) tại C. Biết AB và AC theo thứ tự bằng 6cm và 8cm. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông tị A b/ Tính độ dài các bán kính của mỗi đường tròn. Bài 8: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính số đo góc BPE. THÀNH PHỐ VL 2014 – 2015 Bài 1: (3 điểm) a/ Chứng minh tích 2 số tự nhiên chẳn liên tiếp chia hết cho 8. b/ Cho biết trong 3 số tự nhiên liên tiếp, bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3. Chứng minh: (n4 + 3 6n + 11n2 + 6n) chia hết cho 24.  2 a a 3a  3   2 a  2  M     1  : a 3 a  3 a  9   a  3   Bài 2: (4 điểm) Cho biểu thức a/ Rút gọn M b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Bài 3: (4 điểm) Tìm nghiệm chung của 2 bất phương trình sau: 3 2 1 2    2 x  3   2 x  3   x  4  x  1 x 3 x và.  1  a 4   1  b4  45 Bài 4: (1 điểm) Cho a + b = 10 . Chứng minh rằng: Bài 5: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH  AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính số đo của góc BMK..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Bài 6: (5 điểm) Cho tam giác đều ABC và O là trọng tâm của tam giác. M là điểm bất kỳ trên BC. Vẽ MP  AB; MQ  AC, các đường này cắt OB và OC tại I và K. a/ Chứng minh tứ giác MIOK là hình bình hành. b/ Chứng minh: IK//PQ c/ Gọi R là trung điểm PQ. Chứng minh 3 điểm M, R, O thẳng hàng.. QUẬN 10 2005 – 2006 A. a2 a 1  a 2 a 1. 2a  1 . Chứng minh A < 1 với mọi a ≥ 2 12 2 Bài 2: (2đ) Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: 12x2 – 6mx + m2 – 4 + m = 0 (m > 0). Tìm m để A  x13  x23 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bài 1: (2đ) Cho biểu thức. a  2a  1  a . Bài 3: (2đ) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và gọi p là nửa chu vi của tam giác ấy. Chứng minh: 1 1 1  1 1 1   2     p a p b p c a b c Bài 4: (2đ) Cho dãy số 101, 102, 103, 104, 105,…..,1020. Chứng minh rằng có một số trong dãy số ấy chia cho 19 thì dư 1  Bài 5: (2đ) Cho xOy là một đường tròn tiếp xúc với các cạnh Ox, Oy lần lượt tại A và B. Từ A vẽ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn tại điểm C khác A. Đoạn thẳng OC cắt đường tròn tại điểm E. Các đường thẳng AE và OB cắt nhau tại điểm K. Chứng minh rằng OK = KB MANG THÍT 2015 – 2016 Bài 1: (2đ) a/ Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9. b/ Cho 7 là một ước của a và b. Chứng minh rằng: ax + by chia hết cho 7 (x, y thuộc N). 3 x 2 −2 x +3 Bài 2: (2đ) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A= (với x thuộc R). x 2 +1 Bài 3: (2đ) Với a, b thuộc R. Chứng minh: a4 + b4 ≥ ab3 + a3b. Bài 4: (4đ) Giải các phương trình sau: a/ √ 3 x 2 −9 x+ 1=|x −2| b/ x3(x3 + 7) = 8 Bài 5: (2đ) Lúc 7 giờ sáng, một chiếc ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau 36km, rồi quay về bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 6km/h. 5 4 Bài 6: (2đ) Cho hai biểu thức: A= ; B= . Hãy tìm các giá trị của m để hai biểu thức 2 m+ 1 2m −1 trên có giá trị thỏa mãn hệ thức: a/ 2A + 3B = 0 b/ AB = A + B Bài 7: (4đ) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm đoạn OB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh góc AMN bằng 900. Từ đó suy ra bốn điểm A, M, N, D thuộc một đường tròn và AN > MD. Bài 8: (2đ) Cho tam giác ABC cân tại C (CA = CB). Kẻ đường trung tuyến CM và phân giác AD, biết độ dài đường phân giác gấp đôi độ dài đường trung tuyến. Tính các góc của tam giác. THÀNH PHỐ VĨNH LONG 2015 – 2016 Bài 1: (3đ) Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, mỗi số có hai chữ số. Biết rằng, nếu viết số lớn nhất trước số nhỏ ta được một số có bốn chữ số là số chính phương. 3 a+ √ 9 a −3 √ a+1 √ a −2 − + Bài 2: (5đ) Cho biểu thức: M = a+ √ a −2 √ a+2 1 − √ a a/ Rút gọn M b/ Tính M khi a=( 4 + √ 15 ) ( √ 10 − √ 6 ) . √ 4 − √ 15 c/ Tìm a  Z để M  Z Bài 3: (3đ) Giải phương trình: (a + b + x)3 – 4(a3 + b3 + x3) – 12abx = 0 (x là ẩn số) Bài 4: (2đ) Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: Nếu a + b + c = √ ab+ √ bc+ √ ac thì a = b = c..

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Bài 5: (2đ) Chứng minh rằng: trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Bài 6: (5đ) Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB, N là điểm đối xứng của D qua AC. MN cắt AB và AC lần lượt tại F và E. a/ Chứng minh DA là phân giác của góc EDF. b/ Chứng minh AD, BE, CF đồng quy..

<span class='text_page_counter'>(25)</span>