DE DA HSG Quan 6 Vong 2 20142015

<span class='text_page_counter'>(1)</span>COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015. ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9 Quaän 6 (2014-2015) (NGAØY THI: 26/12/2014) Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 và. 1 1 1   0 a b c. bc ca ab   3 a2 b2 c2 Baøi 2: (4 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình sau: a)  x  4  x  6  x  2  x  12   25x2. Chứng minh:. b). x2.  3x  2  1  x 3x  2 Baøi 3: ( 3 ñieåm) Giaûi heä phöông trình: x 2  xy  y 2  3  x  y    2 2 2  x  xy  y  7  x  y  Baøi 4: (3 ñieåm) Cho x > 0, y > 0 vaø x2  y 2  1  1  1 Chứng minh : S  1  x   1    1  y   1    3 2  4  y  x Baøi 5: (3 ñieåm) Cho a, b laø hai soá nguyeân. Chứng minh rằng nếu 5  a  b  ab chia hết cho 441 thì ab cũng chia hết cho 441. 2. Bài 6: (4 điểm) Gọi AD là đường phân giác trong góc A của ABC (D thuộc đoạn BC). Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N sao cho ABN  CBM . BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN tại điểm thứ hai F. a) Chứng minh: BCEF là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng: BCF  ACM . Từ đó suy ra ACN  BCM.   HEÁT  . Trang 1. Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015. ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9 Quaän 6 (2014-2015) (NGAØY THI: 26/12/2014) Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 và Chứng minh:. 1 1 1   0 a b c. bc ca ab   3 a2 b2 c2 3. 3. 1 1   1  1  1 1  1 1 1 1 1 1 Ta coù:    0          3  3  3       3 a b c a b c  a b  c  ab  a b   1  1  1 1 1 1 1 1 3 abc abc abc bc ca ab  3  3  3     3  3  3  3   3  3  3 3 2  2  2 3 a b a b c abc a b c a b c  ab  c  c Baøi 2: (4 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình sau: a)  x  4  x  6  x  2  x  12   25x2.  x  4  x  6  x  2  x  12   25x. . . 2. .  x2  10x  24 x2  14x  24  25x2 Đặt t  x2  2x  24 . Khi đó., phương trình trở thành:  t  12x  t  12x   25x2  t2  144x2  25x2  t2 169x2  0   t 13x  t  13x   0. 15  129 15  129 hay x  2 2 2 2 TH 2: t  13x  0  x  2x  24  13x  0  x  11x  24  0  x  3 hay x  8. TH 1: t  13x  0  x2  2x  24  13x  0  x 2  15x  24  0  x  15  129 15  129    Vaäy S   ; ; 3; 8 2 2     b). x2 3x  2.  3x  2  1  x. 2 3 2 x   3x  2 . Ñieàu kieän: x  pt . 3x  2. . .  1  x   x  1 x  2     x  1 3x  2   x  1 x  2  3x  2  0. x  1 x  1  0 x  1  0   x  1  0 x  1  0 x  2      2  x  0   x  2    x 1 x  1 2  2   x  2  3x  2  0  3x  2  2  x   3x  2   2  x   x  7x  6  0      x  6 Vaäy S  1. Trang 2. Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015. Baøi 3: ( 3 ñieåm) Giaûi heä phöông trình: x 2  xy  y 2  3  x  y    2 2 2 x  xy  y  7 x  y     2 2 x 2  xy  y 2  3  x  y  x2  xy  y 2  3  x  y     x  xy  y  3  x  y     2  2  2 2 2 x  xy  y 2  7 x 2  2xy  y 2 2x  5xy  2y 2  0 x  xy  y  7 x  y          x  2y 2 2  x  xy  y  3 x  y   x2  xy  y 2  3  x  y   I x 2  xy  y 2  3  x  y       x  2y   x  2y  2x  y   0   y  2x   y  2x  x 2  xy  y 2  3  x  y   II  . . . x  2y  x  2y x  2y   Giaûi heä (I),  2   2   2 2 2 2 2y  2y y  y 2  3  2y   y   x  xy  y  3  x  y  4y  2y  y  3y      .  x  0 x  2y   x  2y x  2y y  0  2   y  0    x  2 y  y  1  0 3y  3y y  1     y  1 y  2x  y  2x y  2x     2 Giaûi heä (II),  2  2 2 2 2 2   x  2x  4x  3x x  x  2x    2x   3  x  2x  x  xy  y  3  x  y    x  0 y  2x  y  2x  y  2x y  0  2   x  0    3x  3x   x  1  x  1 x  x  1  0    y  2 x  0 x  2 x  1 ; ; Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø  y  0 y  1 y  2 Baøi 4: (3 ñieåm) Cho x > 0, y > 0 vaø x2  y 2  1.  1  1 Chứng minh : S  1  x   1    1  y   1    3 2  4  y  x Ta coù :  1 x y  1 x 1 y 1  1  1 S  1  x  1    1  y  1    1   x   1   y   2       x     y   y y x x x  y  x  y y x  1 1 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, cho 2 số dương, ta có:   x y xy 1 2 Ta coù: x 2  y2  2xy  1  2xy  2 2 2 xy xy 1 1 Do đó:   2 2 x y. Trang 3. Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015. Đến đây, ta dùng điểm rơi Cô-si, như sau: Do vai trò của x, y là như nhau nên ta dự đoán dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y maø x 2  y2  1 neân x  y . 1 2. 1 1   x  x    1 1   2 2 Từ đó, ta có:   ;cho k 2  k 2 2  1  2 k  1  k 2 x    x. Trình baøy tieáp: x y  1   1  11 1 S 2  x      y 2x   2y  2  x y  y x   22. x y 1 1 1  2 x  2 y  2 2 y x 2x 2y 2. 1 1  2.  2  43 2 2 2  1  1 Vaäy S  1  x   1    1  y   1    3 2  4  y  x =2  2  2.. Baøi 5: (3 ñieåm) Cho a, b laø hai soá nguyeân. Chứng minh rằng nếu 5  a  b  ab chia hết cho 441 thì ab cũng chia hết cho 441. 2. 441  32.72 ; 3 vaø 7 laø caùc soá nguyeân toá. 5  a  b  ab  5  a  b  21ab 441  5  a  b   21ab 3 2. 2. 2.  5  a  b 3  vì 21ab 3    a  b  3  a  b 3 2. 2.  5  a  b 9 maø 5  a  b  21ab 9 neân 21ab 9  ab 3 2. 2. Ta coù: a  b 3 vaø ab 3  a 3 vaø b 3  ab 9 Maët khaùc, ta coøn coù 5  a  b  ab 7  5  a  b  21ab 7   a  b 7  vì 21ab 7  2. 2. 2.  5  a  b 49. Maø 5  a  b  21ab 49 neân 21ab 49  ab 7 2. 2. Ta coù: a  b 7 vaø ab 7  a 7 vaø b 7  ab 49 Ta có: ab 9, ab 49, ƯCLN  9,49   441 . Do đó ab chia hết cho 441. Bài 6: (4 điểm) Gọi AD là đương phân giác trong góc A của ABC (D thuộc đoạn BC). Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N sao cho ABN  CBM . BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN tại điểm thứ hai F.. Trang 4. Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015. F A E N. M C. D. B a) Chứng minh: BCEF là tứ giác nội tiếp..  . BFC  BAD 2 goùc noäi tieáp cuøng chaén BN cuûa ABN     Ta coù: BEC  CAD 2 goùc noäi tieáp cuøng chaén CN cuûa  ABN   BAD  CAD  AD là đường phân giác của ABC .  .  BFC  BEC  tứ giác BCEF nội tiếp  tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới 2 góc bằng nhau b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng..  . CFE  CBE 2 goùc noäi tieáp cuøng chaén CE cuûa BCEF    Ta coù:  ABN  CBE vì ABN  CBM . . . .  CFE  ABN maø ABN  CFA 2 goùc noäi tieáp cuøng chaén AN cuûa  ABN . . neân CFE  CFA  tia FE  tia FA  A, E, F thaúng haøng. c) Chứng minh rằng: BCF  ACM . Từ đó suy ra ACN  BCM. . . BCF  BEF 2 goùc noäi tieáp cuøng chaén BF cuûa BCEF    Tacoù:  ACM  BEF 2 goùc noäi tieáp cuøng chaén AM cuûa  ACM . . .  BCF  ACM  BCM  MCN  ACN  MCN  BCM  ACN.   HEÁT   Trang 5. Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>