On thi vao THPT toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>®i lµ 5 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t«. 19, ột ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. 20, địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau 2h, một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau c¸ch A bao nhiªu km 21, ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B. Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dßng níc lµ 3km/h. 22, ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần xe đạp Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: năng suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành một công việc; s: lợng công việc đã. s lµm th× N = t Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: năng suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành một công việc; s: lợng công việc đã. s lµm th× N = t. 1. Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? 2. Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch. 3. Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá, nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định 4. Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n. NÕu lµm chung trong 4 giê tæ 1 vµ 6 giê. 2 của tổ 2 thì hoàn thành đợc 3 mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức. kho¸n th× mçi tæ ph¶i lµm trong bao l©u ? 5. Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc cßn l¹i trong 10 giê. Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc. 6. Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong . NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê vµ ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giê th× xong . . 7. Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê vµ ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mÊy giêi th× xong ?. 8. Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm 9. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ? 10. N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ 4 triÖu ngêi. D©n sè tØnh A n¨m nay t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1%. Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m nay lµ 4 045 000 ngêi. TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay ? D¹ng 3: C¸c bµi to¸n vÒ lµm chung – lµm riªng, vßi níc ch¶y chung – ch¶y riªng ... Dùa vµo kÕt qu¶ sau. 1 - Nếu x giờ (hoặc ngày) làm xong công việc thì mỗi giờ (hoặc ngày) làm đợc x công việc đó 1 1 - Nếu trong 1 giờ: Đối tợng A làm đợc x công việc, đối tợng B làm đợc y công việc thì lợng công 1 1 việc mà cả hai làm đợc trong 1 giờ là x + y công việc. 6.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 a - Nếu mỗi giờ làm đợc x công việc thì a giờ làm đợc x công việc. 1. Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút. Nếu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ 4 giê. Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? 2. Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt 1 giê 48 phót. NÕu ch¶y riªng, vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai trong 1 giê 30 phót. Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ? 3. Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải. 1 bơm đợc 10 m3. Sau khi bơm đợc 3 thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ. bơm đợc 15 m3. Do vậy so với quy định, bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa. 4. Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau 2 giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê. Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ? 5. Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 4 giê 48 phót th× ®Çy. Nðu ch¶y cïng mét thêi gian nh nhau. 2 thì lợng nớc của vòi II bằng 3 lợng nớc của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể 6. NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mÖt bÓ c¹n th× sau 2 giê 55phót bÓ ®Çy bÓ. NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê. Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ ? Dạng 4: Các bài toán sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng hóa ...) Nh dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lợng: N: số lợng hàng hoá phân phối cho mỗi xe; t:. s lµ sè xe chë hµng; s: tæng sè lîng hµng ho¸ trong kho th× N = t 1. Hai đội bóng bàn của hai trờng A, B thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội trờng A phải lần lợt gặp các đối thủ của trờng B một lần và số trận đấu gấp 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội. Tìm số đấu thủ của mỗi trờng. 2. Trong mét cuéc gÆp mÆt häc sinh giái cã 35 b¹n häc sinh giái v¨n vµ to¸n tham dù. C¸c häc sinh giái v¨n tÝnh sè ngêi quen cña m×nh lµ c¸c b¹n häc sinh giái to¸n vµ nhËn thÊy r»ng : b¹n thø nhÊt quen 6 b¹n; B¹n thø 2 quen 7 b¹n; B¹n thø 3 quen 8 b¹n ; ... vµ cø thÕ b¹n cuèi cïng quen tÊt c¶ c¸c b¹n häc sinh giái to¸n. TÝnh sè häc sinh giái v¨n, giái to¸n. BiÕt r»ng kh«ng cã häc sinh nµo võa giái v¨n võa giái to¸n. 3. Trong một buổi liên hoan, một lớp khách mời 15 khách đến dự. Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải ngồi thêm một nữa thì mới đủ chỗ ngồi. Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số ngời ngồi nh nhau và ngồi không quá năm ngời. Hỏi lớp häc lóc ®Çu cã bao nhiªu d·y ghÕ 4. Mét ®oµn gåm 50 häc sinh qua s«ng cïng mét lóc b»ng 2 lo¹i thuyÒn : Lo¹i thø nhÊt, mçi thuyền chở đợc 5 em và loại thứ 2 chở đợc 7 em mỗi thuyền. Hỏi số thuyền mỗi loại ? 5. Hai đội cờ thi đấu với nhau. Mỗi đấu thủ của đội này phải đấu một ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phơng số đấu thủ của đội thứ nhất cộng với số đấu thủ của đội thứ hai. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ ? 6. Mét khèi líp tæ chøc ®i tham quan b»ng « t«. Mçi xe chë 22 häc sinh th× cßn thõa 1 häc sinh. Nếu bớt đi 1 ôtô thì có thể xếp đều các học sinh trên các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiªu «t«, bao nhiªu häc sinh. Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 häc sinh. 7. Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe ? 8. Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng. Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau. Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổ một. Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu c©y ? 9. Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã bán cho nhµ níc. BiÕt r»ng 3 lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ níc nhiÒu h¬n hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn 10. Mçi ngêi d¸n tÊt c¶ tem cña m×nh vµo mét quyÓn vë. NÕu d¸n 20 tem trªn mét tê th× quyÓn vở không đủ để dán hết số tem. Còn nếu mỗi tờ dán 23 tem thì ít nhất một tờ trong quyển vở còn bị bỏ trống. Nếu giả sử cũng trên quyển vở đó mà trên một tờ dán 21 tem thì tổng số tem dán trên quyển vở đó với số tem thực có của ngời đó là 500 tem. Hỏi quyển vở đó có bao nhiêu tờ và số tem ngời đó có ? D¹ng 5: C¸c bµi to¸n t×m sè Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a c¸c hµng trong mét sè Chó ý: ab 10a  b ; abc 100a  10b  c. 6.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1. Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 4 . 5 Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 24 . Tìm phân số đó.. 2. Tìm một số N gồm 2 chữ số, biết rằng tổng các bình phơng hai chữ số bằng số đó cộng thêm tích hai chữ số. Nếu thêm 36 vào số đó thì đợc một số có hai chữ số mà các chữ số viết thø tù ngîc l¹i. 3. Tìm một số có 2 chữ số biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 4 và d là 3. Còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó thì đợc thơng là 3 và d lµ 5. 4. Tìm một số gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái của một số gồm hai chữ số còn lại, ta đợc một có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 765 đơn vị. D¹ng 6: C¸c bµi to¸n cã néi dung h×nh häc Chú ý đến các hệ thức lợng trong tam giác, các công thức tính chu vi, diện tích ... cña c¸c h×nh ... 1. Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 280 m. Ngêi ta lµm lèi ®i xung quanh vên (thuộc đất trong vờn) rộng 2 m. Tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn lại trong vờn để trồng trät lµ 4256 m2. 2. Cho mét h×nh ch÷ nhËt. NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn 5 m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2. NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng 9 m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m 2. TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu. 3. Cho mét tam gi¸c vu«ng. NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn 2 cm vµ 3 cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2. NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i 2 cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2. TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng. D¹ng 7: Tổng hợp 1. Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc ô t« gi¶m 10 km/ h th× thêi gian t¨ng 45 phót. NÕu vËn tèc « t« t¨ng 10 km/ h th× thêi gian gi¶m 30 phút. Tính vận tốc và thời gian dự định đi của ô tô. 2. Hai xÝ nghiÖp theo kÕ ho¹ch ph¶i lµm tæng céng 360 dông cô. Thùc tÕ, xÝ nghiÖp I vît møc kÕ hoạch 10%, xí nghiệp II vợt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm đợc 404 dụng cụ. TÝnh sè dông cô mçi xÝ nghiÖp ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch. 3. Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù ngời đó mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nhng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của ngời đó. Biết mỗi giờ ngời đó làm không quá 20 sản phẩm. 4. Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h. Do đó nó đến B trớc xe khách 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đờng AB dài 100km 5. Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong thời gian nhất định. Nhng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ ngời công nhân đó đã làm thêm đợc 2 sản phẩm. Vì vậy, chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà còn vợt mức 3 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ ngời đó phải làm bao nhiêu sản phẩm. 6. §Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc, hai tæ ph¶i lµm chung trong 6 giê. Sau 2 giê lµm chung th× tæ II đợc điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó. 7. Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi b»ng 48 m. NÕu t¨ng chiÒu réng lªn bèn lÇn vµ chiÒu dµi lªn ba lÇn th× chu vi cña khu vên sÏ lµ 162 m. H·y t×m diÖn tÝch cña khu vên ban ®Çu. 8. Một ngời đi xe máy từ A đến B. Vì có việc gấp phải đến B trớc thời gian dự định là 45 phút nên ngời đó tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km. Tính vận tốc mà ngời đó dự định đi, biết quãng đờng AB dài 90 km. 9. Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ (nghĩa là nếu công việc đó chỉ có một ngời làm thì phải mất 420 ngày). Hãy tính số công nhân của đội biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để đội hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.. 6.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (trÝch §Ò thi Tèt nghiÖp THCS 1999 - 2000, tØnh VÜnh Phóc) 10. Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trờng thì công việc hoàn thành sau 1 giê 20 phót. NÕu mçi líp chia nhau lµm nöa c«ng viÖc th× thêi gian hoµn tÊt lµ 3 giê. Hái nÕu mçi líp lµm mét m×nh th× ph¶i mÊt bao nhiªu thêi gian. 11. Ngời ta muốn làm một chiếc thùng tôn hình trụ không có lắp có bán kính đáy là 25 cm, chiều cao của thùng là 60 cm. Hãy tính diện tích tôn cần dùng (không kể mép nối). Thùng tôn đó khi chøa ®Çy níc th× thÓ tÝch níc chøa trong thïng lµ bao nhiªu.. 3 12. Một tam giác có chiều cao bằng 4 cạnh đáy. Nếu tăng chiều cao thêm 3 dm, giảm cạnh đáy đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 1999-2000, ngµy 09- 07- 1999, tØnh VÜnh Phóc) 13. Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm qui định. Vì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc ®Çu. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 1999-2000, ngµy 10- 07- 1999, tØnh VÜnh Phóc) 14. Ba « t« chë 100 tÊn hµng tæng céng hÕt 40 chuyÕn. Sè chuyÕn thø nhÊt chë gÊp rìi sè chuyÕn xe thø hai. Mçi chuyÕn, xe thø nhÊt chë 2 tÊn, xe thø hai chë 2,5 tÊn, xe thø ba chë 3 tÊn. TÝnh xem mçi « t« chë bao nhiªu chuyÕn. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2000-2001, ngµy 02- 08- 2000, tØnh VÜnh Phóc) 15. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 132 lít. Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi lấy nớc đó đổ vào hai bình kia thì: Hoặc bình thứ ba đầy nớc, còn bình thứ hai chỉ đợc một nửa bình. Hoặc bình thứ hai đầy nớc, còn bình thứ ba chỉ đợc một phần ba bình. (Coi nh trong quá trình đổ nớc từ bình này sang bình kia lợng nớc hao phí bằng không). Hãy xác định thể tích của mỗi bình. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2000-2001, ngµy 03- 08- 2000, tØnh VÜnh Phóc) 16. Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A tíi B. Cïng mét lóc mét ngêi kh¸c còng ®i xe m¸y tõ B tíi A víi vËn. 4 tốc bằng 5 vận tốc của ngời thứ nhất. Sau 2 giờ hai ngời gặp nhau. Hỏi mỗi ngời đi cả quãng đờng AB hết bao lâu? (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2001-2002, ngµy 22- 07- 2001, tØnh VÜnh Phóc) 17. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m 2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. BiÕt r»ng nÕu t¨ng chiÒu réng cña thöa ruéng lªn 2 m vµ gi¶m chiÒu dµi cña thöa ruéng ®i 5 m th× diÖn tÝch cña thöa ruéng sÏ t¨ng thªm 5 m2. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2002-2003, ngµy 03- 08- 2002, tØnh VÜnh Phóc) 18. Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2003-2004, ngµy 14- 07- 2003, tØnh VÜnh Phóc) 19. Một ca nô ngợc dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau đó lại xuôi từ bến B trở về bến A. Thời gian ca nô ngợc dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian ca nô xuôi dòng từ B trë vÒ A lµ 2 giê 40 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B. BiÕt vËn tèc dßng n íc lµ 5 km/h, vËn tèc riªng cña ca n« lóc xu«i dßng vµ lóc ngîc dßng b»ng nhau. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2003-2004, ngµy 15- 07- 2003, tØnh VÜnh Phóc) 20. Ngời ta dự kiến trồng 300 cây trong một thời gian đã định. Do điều kiện thuận lợi nên mỗi ngày trồng đợc nhiều hơn 5 cây so với dự kiến, vì vậy đã trồng xong 300 cây ấy trớc 3. 6.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ngµy. Hái dù kiÕn ban ®Çu mçi ngµy trång bao nhiªu c©y? (Gi¶ sö sè c©y dù kiÕn trång mçi ngµy lµ b»ng nhau). (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2004-2005, ngµy 29- 06- 2004, tØnh VÜnh Phóc) 21. Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt, chiÒu dµi lín h¬n chiÒu réng 5 m, diÖn tÝch b»ng 300 m 2. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña khu vên. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2004-2005, ngµy 30- 06- 2004, tØnh VÜnh Phóc) 22. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 cm thì diện tích của hình chữ nhËt sÏ t¨ng thªm 13 cm2. NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 2 cm, chiÒu réng ®i 1 cm th× diÖn tÝch của hình chữ nhật sẽ giảm 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2005-2006, ngµy 06- 07- 2005, tØnh VÜnh Phóc) 23. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m, chiều rộng thêm 5 m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195 m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất. 24. Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 90 km, ®i ng îc chiÒu vµ gÆp nhau sau 1,2 giê (xe thø nhÊt khëi hµnh tõ A, xe thø hai khëi hµnh tõ B). T×m vËn tèc cña mỗi xe. Biết rằng thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đờng AB ít hơn thời gian để xe thứ hai đi hết quãng đờng AB là 1 giờ. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2005-2006, ngµy 07- 07- 2005, tØnh VÜnh Phóc) 25. Một xe lửa đi từ ga Hà Nội vào ga Trị Bình (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi tõ ga TrÞ B×nh ra ga Hµ Néi víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc cña xe thø nhÊt lµ 5 km/h. Hai xe gÆp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đờng. Tìm vận tốc của mỗi xe lửa, biết quãng đờng sắt Hà Néi- TrÞ B×nh dµi 900km (trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bà Rịa- Vũng Tàu, năm 2004 - 2005) 26. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II đã vợt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm đợc giao của mỗi tổ theo kế hoạch? (trích đề thi tốt nghiệp THCS thành phố Hà Nội, năm 2002- 2003) 27. Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đờng từ A đến B dài120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất. 2 chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trớc ôtô thứ hai là 5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô?(trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bắc Giang, năm 2002- 2003) 28. Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. (trÝch §TTS THPT tØnh B¾c Giang, n¨m 2003- 2004) 29. Có 3 đội xây dựng cùng làm chung một công việc. Làm chung đợc 4 ngày thì đội III đợc điều động làm việc khác, 2 đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II; năng suất của đội III là trung bình cộng của năng suất đội I và năng suất đội II; và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trªn. (trÝch §TTS THPT n¨ng khiÕu §HQG TP. Hå ChÝ Minh, n¨m 2003- 2004). 7 30. Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng 4 chiÒu réng vµ cã diÖn tÝch b»ng 1792 m2. TÝnh chu vi cña khu vên Êy.(trÝch tèt nghiÖp THCS TP. Hå ChÝ Minh, n¨m 2003- 2004). 6.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 31. Cïng mét thêi ®iÓm, mét chiÕc «t« X A xuÊt ph¸t tõ thµnh phè A vÒ híng thµnh phè B vµ mét chiếc khác XB xuất phát từ thành phố B về hớng thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A là 20 km. Cả hai chiéc xe sau khi đến B vµ A t¬ng øng, lËp tøc quay trë l¹i vµ chóng gÆp nhau lÇn thø hai t¹i mét ®iÓm C. BiÕt thêi gian xe XB đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ. Hãy tính vận tốc của tõng chiÕc «t«.(trÝch §TTS THPT n¨ng khiÕu §HQG TP. Hå ChÝ Minh, n¨m 2004- 2005) 32. §Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc, hai tæ ph¶i lµm chung trong 6 giê. Sau 2 giê lµm chung th× tæ II đợc điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó? (trích đề thi tốt nghiệp THCS TP. Hà Nội, năm 2003- 2004) 33. Mét xuång m¸y xu«i dßng s«ng 30 km vµ ngîc dßng 28 km hÕt mét thêi gian b»ng thêi gian mµ xuång ®i 59,5 km trªn mÆt hå yªn lÆng. TÝnh vËn tèc cña xuång khi ®i trªn hå biÕt r»ng vËn tèc cña níc ch¶y trong s«ng lµ 3 km/h 34. NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau 2 giê 55 phót bÓ ®Çy níc. NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ?. 2 5. 36. Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng thªm 3 dm th× diÖn tÝch cña nã gi¶m ®i 14 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. 38. Méi thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m. TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng biÕt r»ng nÕu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi. 39. Nhµ trêng tæ chøc cho 180 häc sinh khèi 9 ®i tham quan di tÝch lÞch sö. Ngêi ta dù tÝnh: NÕu dïng lo¹i xe lín chuyªn chë mét lît hÕt sè häc sinh th× ph¶i ®iÒu Ýt h¬n nÕu dïng lo¹i xe nhá lµ hai chiÕc. BiÕt r»ng mçi xe lín cã nhiÒu h¬n mçi xe nhá lµ 15 chç ngåi. TÝnh sè xe lín, nÕu lo¹i xe đó đợc huy động. 40. Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/ giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/ giờ thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định. 41. Mét tµu thuû ch¹y trªn khóc s«ng dµi 120 km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt 6 giê 45 phót. TÝnh vËn tèc cña tµu thuû khi níc yªn lÆng, biÕt r»ng vËn tèc cña dßng níc lµ 4 km/ h. 43. Một xe ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10 km thì đến nơi chËm nhÊt 5 giê. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đờng AB. 45. Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt, nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 2m, chiÒu réng thªm 3 m th× diÖn tÝch t¨ng thªm 100 m2. NÕu gi¶m c¶ chiÒu dµi lÉn chiÒu réng ®i 2 m th× diÖn tÝch gi¶m ®i 68 m 2. Tính diện tích của thửa ruộng đó.. 1 72. Mét h×nh vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 450 m. NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 5 chiÒu dµi cò, t¨ng 1 chiều rộng lên 4 chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi. Tính chiều dài và chiều. réng cña vên. 73. Một vờn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m, diện tích 3500 m 2. Tính độ dài hàng rào xung quanh vờn biết rằng ngời ta chừa ra 1 m để làm cổng ra vào. 74. Một tuyến đờng sắt có một số ga, mỗi ga có một loại vé đến từng ga còn lại. Biết rằng có tất cả 210 loại vé. Hỏi tuyến đờng ấy có bao nhiêu ga? 75. Hai trờng A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84%. Tính riêng thì trờng A đỗ 80%, trờng B đỗ 90%. TÝnh xem mçi trêng cã bao nhiªu häc sinh líp 9 dù thi? 79. Mét ca n« xu«i khóc s«ng dµi 40 km råi ngîc khóc s«ng Êy hÕt 4 giê rìi. BiÕt thêi gian ca n« xu«i 5 km b»ng thêi gian ngîc 4km . TÝnh vËn tèc dßng níc. 80. Mét ca n« ®i xu«i dßng 45 km råi ngîc dßng 18 km. BiÕt r»ng thêi gian xu«i l©u h¬n thêi gian ngîc 1giê vµ vËn tèc xu«i lín h¬n vËn tèc ngîc lµ 6 km/h. TÝnh vËn tèc cña ca n« lóc ngîc dßng.. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 81. Một ngời đi xe đạp từ A đến B đờng dài 78 km. Sau đó một giờ, ngời thứ hai đi từ B đến A. Hai ngời gặp nhau tại C cách B là 36 km. Tính thời gian mỗi ngời đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gÆp nhau biÕt r»ng vËn tèc ngêi thø hai lín h¬n vËn tèc ngêi thø nhÊt lµ 4 km/h. 85. Hai máy cày làm việc trên một cánh đồng. Nếu cả hai máy cùng cày thì 10 ngày xong công việc. Nhng thực tế hai máy chỉ cùng làm việc 7 ngày đầu, sau đó máy thứ nhất đi cày nơi kh¸c, m¸y thø hai lµm tiÕp 9 ngµy n÷a th× xong. Hái mçi m¸y lµm viÖc mét m×nh th× trong bao lâu cày xong cả cánh đồng? 86. Tìm số có ba chữ số sao cho chia nó cho 11, ta đợc thơng bằng tổng các chữ số của số bị chia.. CHỦ ĐỀ 5 HÌNH HỌC. I. C¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng 1. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ta có b2 = a. b’ c2 = a. c’ 2 2 2 b +c =a h2 = b’. c’. A. 1 1 1  2 2 2 h b c. a. h = b. c b) TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän - Các tỉ số lợng giác của góc nhọn  đợc định nghĩa nh sau:. B. b. h c'. b' H. c¹nh kÒ cos = c¹nh huyÒn. C. a. cạnh đối. cạnh đối sin = c¹nh huyÒn. c. . c¹nh kÒ. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> cạnh đối tg = c¹nh kÒ. c¹nh kÒ cotg = cạnh đối. - Víi hai gãc  vµ  phô nhau ta cã sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg. sin300 cos60 0  - Một số góc đặc biệt. 3 2 3 t g300 cot g600  3. cos30 0 sin60 0 . 1 2. sin450 cos45 0 . 2 2. tg450 cot g45 0 1 co t g30 0 t g60 0  3. c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc nh©n víi c«tang gãc kÒ d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c. a.h S= 2. a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB   2 2 2 S=. (h là đờng cao ứng với cạnh a) S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác). a.b.c S = 4R (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác) S=. p p  a  p  b  p  c . (p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c). 2. §êng trßn: a) Sự xác định đờng tròn. Tính chất đối xứng của đờng tròn - Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một kho¶ng b»ng R - Tuú theo OM = R; OM < R; OM > R mµ ta cã ®iÓm M n»m trªn, n»m bªn trong, n»m bªn ngoài đờng tròn - Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ đợc một và chỉ một đờng tròn - Đờng tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đờng tròn. Đờng tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đờng kính nào của nó b) Đờng kính và dây cung của đờng tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Trong một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính - §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy - Trong một đờng tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Trong hai dây kh«ng b»ng nhau, d©y lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n c) Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đờng thẳng và đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau. ứng với mỗi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng và bán kính R của đờng tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R. Ta có các định lí - Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp ®iÓm - Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn d) TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm e) §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, ngo¹i tiÕp tam gi¸c, bµng tiÕp tam gi¸c - Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đờng tròn. Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đờng ph©n gi¸c c¸c gãc trong tam gi¸c - Đờng tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp đờng tròn. Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đờng trung trùc tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia là đờng tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đờng tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai. 7.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> đờng phân giác của hai góc ngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một góc trong và một trong hai đờng phân giác của góc ngoài không kề với nó f) Vị trí tơng đối của hai đờng tròn Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của hai đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai đờng tròn kh«ng giao nhau, tiÕp xóc nhau, c¾t nhau Do tính chất đối xứng của đờng tròn, nếu hai đờng tròn cắt nhau thì giao điểm đối xứng với nhau qua đờng nối tâm, nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì giao điểm nằm trên đờng nối tâm g) Góc với đờng tròn: + Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đợc gọi là góc ở tâm. Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo cung nhỏ. Số đo của nửa đờng tròn bằng 1800. + Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh chứa dây cung của đờng tròn đó. Cung bên trong của góc gọi là cung bị chắn. Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiÕp b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung: Cho đờng tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến của (O) tại A, AB là một dây cung. Góc tạo bởi tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi là góc tạo bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn chắn hai cung: một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của cung đó. Số đo có đỉnh ở bên trong đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu hai cung bÞ ch¾n  Chú ý: Trong một đờng tròn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn. - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d. l. Rn 180. - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : I) DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2. S - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: 3. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n. R 2n lR  360 2. Dạng 1 Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam giác thờng: - Có hai góc bằng nhau đôi một (g-g) - Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-g-c) - Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ - Cã c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ D¹ng 2 Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp  Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc . - Dựa vào phơng tích của đờng tròn II. C¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian 3. H×nh trô: H×nh trô lµ h×nh sinh ra bíi h×nh ch÷ nhËt quay xung quanh mét c¹nh cña nã - Diện tích xung quanh: Sxq = 2. R. h (R là bán kính đáy; h là chiều cao) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2. R. h + 2. R2 - Thể tích hình trụ: V = S. h = . R2. h (S là diện tích đáy) 4. H×nh nãn: H×nh nãn lµ h×nh sinh ra bëi tam gi¸c vu«ng quay xung quanh mét c¹nh gãc vuông của nó. Hình nón cụt là phần hình nón giữa đáy và một thiết diện vuông góc với trục H×nh nãn: - Diện tích xung quanh: Sxq = . R. l (R là bán kính đáy; l là đờng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = . R. l + . R2. 1 .R 2 .h - ThÓ tÝch: V = 3 (h lµ chiÒu cao) Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2). l (R1; R2 là bán kính hai đáy; l là đờng sinh). 7.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = (R1 + R2). l + (R12 + R22). 1 .h.(R12  R 22  R1 R 2 ) 3 - ThÓ tÝch: V = (h lµ chiÒu cao) - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4. R2 (R lµ b¸n kÝnh). 5. H×nh cÇu:. 4 3 .R - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = 3 Dạng 1: Hình học phẳng Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh:BEDC nội tiếp.. . . 2.. Chứng minh: DEA  ACB .. 3.. Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.. 4.. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN .. . Chứng tỏ: AM2=AE. AB.. y. A x. N. D. E M O B. Bài 2:. C. Cho(O) đường kính AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC. Gọi M. là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. 1. Tứ giác ADBE là hình gì?. D. 2. C/m DMBI nội tiếp. 3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD.. I. 4. C/m MC. DB=MI. DC. A. M. 5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’). Bài 3:. B. O. C. O'. E. H×nh 2.  Cho ABC có A =1v. Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM cắt BC tại E;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. 1. C/m BADC nội tiếp. A.  2. BC cắt (O) ở E. Cmr:MD là phân giác của AED .. D. S. M. 3. C/m CA là phân giác của góc BCS. O. K E. B. C. Hình 3. Bài 4:. A.  Cho ABC có A = 1v. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC. Dựng đường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O)tạiD và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 1. C/m ADCB nội tiếp.. D. M. S. 2. C/m ME là phân giác của góc AED. O B. H×nh 4. E. C. 7.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>   3. C/m: ASM = ACD . 4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. 5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy.. Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B vàC xuống đường kính AA’. 1. C/m AEDB nội tiếp. 2. C/m DB. A’A=AD. A’C 3. C/m:DE  AC. 4. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF.. A. P. N. E O. B. I C. M. D. F. Bài 6:. A'. Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung H×nh 5. nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC. P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE.. M. 1 . C/m MFEC nội tiếp.. A. 2 . C/m BM. EF=BA. EM 3. C/M AMP  FMQ..  4 . C/m PQM = 90o.. P. F O. Q. B. C. E. Bài 7:. H×nh 6. Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 1.. C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn này.. 2.. C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.. 3.. C/m GEFB nội tiếp.. 4.. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD. Có nhận xét. gì về I và F. A. B. O. C. D F. E G. H×nh 7. 7.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắtA AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 1.. F. C/m: BDCO nội tiếp.. O. 2. 2.. C/m: DC = DE. DF.. 3.. C/m: DOIC nội tiếp.. 4.. Chứng tỏ I là trung điểm FE.. I C. B E. H×nh 8 D. Bài 9: Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(MA và MB),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn. 1. C/m:NQ. NA=NH. NM 2. C/m MN là phân giác của góc BMQ. 3. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN có giác trị lớn nhất M. N. Q P. A. I. H. B. A. I. B. H. P. Q O. O. M. N. Bài 10:. H×nh 9 b. H×nh 9 a. Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) . Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên trên đường tròn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E. 1 . Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. 2 . O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng tỏ : BC2= 4 Rr. B E. 4 . Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r. C N F O. A. H×nh 10. I. 7.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài 11: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. y. 1. C/m OMHI nội tiếp.. A. 2. Tính góc OMI. 3. Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K. C/m OK=KH 4. Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. E M. O. x. B H. K. I. H×nh 1 1. Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt CD tại E. 1. C/m: MA là phân giác của góc CMD. 2. C/m: EFBM nội tiếp. 3. Chứng tỏ: AC2 = AE. AM 4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I. C/m NI//CD 5. Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM. C M N. E A. F. O. B. I. D. Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC H×nh 12 và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE. 1.. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn.. 2.. C/m HA là phân giác của góc BHC.. 3.. Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m AB2=AI. AH.E. 4.. BH cắt (O) ở P. C/m AE//CP.. B. H I D. O. K. A. P. C. H×nh 13. Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N. 1.. CMR: MCDN nội tiếp.. 2.. Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN. 3.. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.. CMR: AOIH là hình bình hành.. 7.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 4.. y Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? M C. O. A. B. K I. H. D. N. H×nh 14. Bài 15: ho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là 1x điểm trên cung nhỏ BC. Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hình chiêu của D lên tiếp tuyến Ax của (O). 1. C/m AHED nội tiếp 2. Gọi giao điểm của AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) tại M A C/m: HA. DP=PA. DE. H. 3. C/m: QM = AB. Q. 4. C/m: DE. DG = DF. DH. P. 5. C/m: E;F;G thẳng hàng. O B. G. F. E. C M D. Bài 16:. H×nh 15.  Cho tam giác ABC có A =1v; AB < AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IKBC. (K nằm trên AC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK. 1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O..   2. C/m: BMC 2 ACB 3. Chứng tỏ: BC2= 2. AC. KC 4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh AC = BN 5. C/m: NMIC nội tiếp.. N. M A. K. B. C. I. Hình 16. 7.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài 17:. Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường tròn. Tia phân giác của góc. M ACB cắt (O) tai M. Gọi H;K là hình chiêu của M lên AC và CB. C. 1. C/m: MOBK nội tiếp. 2. Tứ giác CKMH là hình vuông.. H. 3. C/m: H;O;K thẳng hàng.. B. O. A. 4. Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường. I. tròn thì I chạy trên đường nào?. F. E. M. K. H×nh 17. Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều roäng BC = a. Kẻ tia phân giác của góc ACD, từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên. 1. Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a. 2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC Và AB. AC = BH. BI 3. Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O) 4 . Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp.. y. A. 2a. B. M I. a. O. H. J N. K C. D. x. Bài 19:. H×nh 18. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC  AB. Gọi M là 1 điểm trên cung BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ACM. 1.. Chứng minh AOHC nội tiếp.. 2.. Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM.. 3.. Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D.. N C. M. D. I. Cmr: CDBM là hình thang cân. 4.. H. BM cắt OH tại N. Chứng minh BNI và AMC đồng. dạng,từ đó suy ra: BN. MC=IN. MA.. A. B. O. H×nh 19. F. Bài 20: Cho  đều ABC nội tiếp trong (O;R). Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN. 1.. Chứng tỏ OMN cân.. 2.. C/m :OMAN nội tiếp. A. I. 7.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> D K N O. 3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E. C/m BC2+DC2=3R2.. B. C. J. 4. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO kéo dài cắt BC tại J.. H×nh 20. C/m BI đi qua trung điểm của AJ.. . Bài 21: Cho ABC ( A =1v) nội tiếp trong đường tròn tâm (O). Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường A. tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D.. D. 1. C/m ABNM nội tiếp và CN. AB=AC. MN.. M. 2. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I).. I B. 3. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. C/m BMOE là hình bình hành.. O. C. N. 4. C/m NM là phân giác của góc AND. E. H×nh 21. Bài 22:. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua I kẻ. các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M. 1. C/m INCQ là hình vuông.. A. P. B. 2. Chứng tỏ NQ//DB. 3. BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F.. F. C/m MFIN nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm. 4. Chứng tỏ MPQN nội tiếp. Tính diện tích theo a. 5. C/m MFIE nội tiếp.. M. Q. I. E D. C. N. H×nh 22 Bài 23: Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại E. BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I.. Q. A. B. A. 1. C/m MDNE nội tiếp. 2. Chứng tỏ BEN vuông cân.. E M. 3. C/m MF đi qua trực tâm H của BMN.. H O. 4. C/m BI=BC và IE F vuông.. I F. 5 . C/m: BM là đường trung trực của QH (H là giao điểm của BE và AB) và MQBN là thang cân. K D. C. N. B. Bài 24:. M. J. H×nh 23 H. C. Cho ABC có 3 góc nhọn (AB < AC).. Vẽ đường cao AH. Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuông góc với. I. N D. 7. H×nh 24.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> AB;AC. Gọi J là giao điểm của AH và MK. 1. C/m AMHK nội tiếp. 2. C/m JA. JH=JK. JM 3. Từ C kẻ tia Cx với AC và Cx cắt AH kéo dài ở D..   Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với DB và DC. Cmr : HKM  HCN 4. Bài 25:. C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.. . Cho ABC ( A =1v),đường cao AH. Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt. đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I. A. 1.. Chứng minh D;H;E thẳng hàng.. 2.. C/m BDCE nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn này.. 3.. C/m: AMDE.. 4.. C/m AHOM là hình bình hành.. E I M. H. B. C. D O. H×nh 25. Bài 26:Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH. Gọi K là điểm đối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC. E;F là giao điểm của KI với AB và AC. 1.. Chứng minh AICH nội tiếp.. 2.. C/m AI = AK. 3.. C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn.. 4.. C/m CE;BF là các đường cao của ABC.. 5.. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác. I. A F E M K. của HFE chính là trực tâm của ABC. B H. C. H×nh 26. Bài 27:. D. Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Trên tia BM lấy điểm K sao cho MK = MC và trên tia BA lấy điểm D sao cho AD=AC. A.   1. C/m: BAC 2. BKC. I. 2. C/m BCKD nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn này.. K M. O. 3. Gọi giao điểm của DC với (O) là I. C/m: B;O;I thẳng hàng. 4. C/m DI = BI. C. B. H×nh 27. Bài 28:. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O). Gọi I là điểm chính giữa cung AB. 8.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> (Cung AB không chứa điểm C;D). ID và IC cắt AB ở M;N. 1. C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m NA. NB=NI. NC 3. DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E. C/m:EF//AB. 4. C/m :IA2=IM. ID.. F E. I. B A. N. M. C O. D. Bài 29:. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Dựng. tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F. H×nh 28. Kẻ trung tuyến AI của AEF, AI kéo dài cắt CD tại K. Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G. 1. C/m AECF nội tiếp.. B. A. 2. C/m: AF2=KF. CF 3. C/m:EGFK là hình thoi.. G. 4. Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK. E. và chu vi CKE có giá trị không đổi.. I. 5. Gọi giao điểm của EF với AD là J. C/m:GJ  JK.. J. F. C. K. D. H×nh 29. Bài 30:. Cho ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm A. của HD và BC. 1, C/m:ABDC nội tiếp trong đường tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O.. M.   2, So sánh BAH và OAC . Q. 3, CH cắt OD tại E. C/m AB. AE=AH. AC. H. G. O. 4, Gọi giao điểm của AI và OH là G. C/m G là trọng tâm của ABC. B. N. I. C. N. Bài 31:. D. H×nh 30.  Cho (O) và sđ AB = 90o. C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB. Các đường cao AI;BK;CJ của ABC cắt nhau ở H. BK cắt (O) ở N; AH cắt (O) tại M. BM và AN gaëp nhau ở D. 1.. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn.. 2.. C/m: BI. KC=HI. KB. 3.. C/m:MN là đường kính của (O). 4.. C/m ACBD là hình bình hành.. O. C K. A B M I D. H×nh 31. J. 8H.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 5.. C/m:OC // DH.. Bài 32: Cho hình vuông ABCD. Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN < ND;Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E. 1,C/m BFN vuông cân.. B. A. 2,C/m:MEBA nội tiếp 3,Gọi giao điểm của ME và NF là Q. MN cắt (O) ở P.. F. C/m B;Q;P thẳng hàng.. M. 4,Chứng tỏ ME//PC và BP=BC.. O Q. 5, C/m FPE là tam giác vuông. E P D. C. N. H×nh 32. Bài 33:. Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB;. AB và CD cắt nhau ở E. BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K.. Q. 1. Cm: CB là phân giác của góc ACE.. E. 2. C/m: AQEC nội tiếp.. B. 3. C/m: KA. KC=KB. KD 4. C/m: QE//AD.. C K A D O. H×nh 33 Bài 34:. x. Cho (O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC. Kẻ C cát tuyến BEF với đường tròn. CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N. Dựng hình bình hành AECD. 1. C/m:D nằm trên đường thẳng BF. 2. C/m ADCF nội tiếp.. D. 3. C/m: CF. CN=CE. CM 4. C/m:MN//AC.. B. 5. Gọi giao điểm của AF với MN là I. Cmr:DF đi. N. E. qua trung điểm của NI. J A. O I. F. 8 H×nh 34. M.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Bài 35:. Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB.. 1. C/m:ACBD là hình vuông.. C. 2. AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. C/m IB. IC=IA. IM. M. I P. 3. Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của góc CJM. 4. Tính tích tích AID theo R.. A. O. B. J. D. Bài 36:. H×nh 35. . Cho ABC ( A =1v). Kẻ AHBC. Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và. AHC. Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tại M;N. 1.. C/m:  OHO’ là tam giác vuông.. 2.. C/m:HB. HO’=HA. HO. 3.. C/m: HOO’. 4.. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp.. 5.. C/m AMN vuông cân.. A. HBA. N O' M. O C. B. H H×nh 36. Bài 37:. Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO. Qua I dựng đường thẳng. vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K. Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D. Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. 1.. C/m:AIMD nội tiếp.. 2.. C?m CM. CA=CI. CD.. 3.. C/m ND=NC.. 4.. Cb cắt AD tại E. C/m E nằm trên đường tròn (O). D. N. và C là tâm đường tròn nội tiếp EIM. 5.. M. K. Giả sử C là trung điểm IK. Tính CD theo R. E. Bài 38:. A. . . C. I. B. O. 37 các Cho ABC. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho PBA PAC . Gọi H và K lần lượt H×nh là chân. đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC. 1. C/m AHPK nội tiếp. 2. C/m HB. KP=HP. KC.. 8.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 3. Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC. Cmr:HD=EF; DF=EK 4. C/m:đường trung trực của HK đi qua F. A. K. H. P. D. Bài 39:.  Cho hình bình hành ABCD ( A > 90o).. E. B. F. C. Từ C kẻ CE;CF;CG lần lượt vuông góc với AD;DB;AB.. H×nh 38. 1. C/m DEFC nội tiếp. 2. C/m:CF2 = EF. GF. 3. Gọi O là giao điểm AC và DB. Kẻ OICD. Cmr: OI đi qua trung điểm của AG 4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp.. A. G. B. F. E O. D. J. C. I. H×nh 39 Bài 40: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Các đường thẳng AO cắt (O); (O') lần lượt ở C và E;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở D và F.. E. 1. C/m:C;B;F thẳng hàng.. D. 2, C/m CDEF nội tiếp.. A. 3,Chứng tỏ DA. FE=DC. EA 4,C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE.. O I. C. O'. B. F. H×nh 40. Bài 41:ho (O;R). Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F. Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là trung điểm EF. 1.. Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn.. 2.. Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K. C/m: OI. OA=OH. OK=R 2.. 8.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 3.. Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào?. 4.. C/m KE và KF là hai tiếp tyueán của (O). B. O I x. y E. F. H. A. C K. H×nh 41. Bài 42: Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D. Qua A kẻ AE và AF lần lượt vuông góc với BN và CM. Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K. 1. C/m AFDE nội tiếp.. A. 2. C/m: AB. NC = AN. BC 3. C/m: FE//BC. N. M E. F. 4. Chứng tỏ ADIC nội tiếp.. D B K. C. I H×nh 42. Bài 43:. Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng ñôn vị đo đoä dài). Dựng đường tròn tâm O. đường kính AB và (O’) đường kính AC. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D. 1. Chứng tỏ D nằm trên BC. 2. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ. A. DC. AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. C/m DE. AC=AE. MC. O. O'. N. 1. C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng. 2. Gọi I là trung điểm MN. C/m góc. I B. OIO’=90o. 3. Tính tích tích tam giác AMC.. C. E. D. M. H×nh 43. Bài 44: Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều, kể từ điểm A một cung AB=60 o, rồi cung BC = 90o và cung CD = 120o. P. 1. C/m ABCD là hình thang cân. 2. Chứng tỏ ACDB.. A. B. N J. K. 3. Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD.. Q. 4. Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB.. I. Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q.. O. C/m MN là phân giác của góc PMQ. D. M. E. C. H×nh 44. 8.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Bài 45: Cho  đều ABC có cạnh bằng a. Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B của tam giác BC. Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB. Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB (D và E nằm hai phía của đường thẳng AB). Từ E kẻ EFBC. Gọi O là trung điểm EB. 1. C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a. 2. Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M. EC cắt (O) ở N. C/m EBMC là thang cân. Tính tích tích. 3. c/m EC là phân giác của góc DAC.. A E. 4. C/m FD là đường trung trực của MB. 5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng. N. 6. Tính tích tích phần mặt trăng được tạio bởi. O. cung nhỏ EB của hai đường tròn. D C. B. F M. Bài 46:. H×nh 45. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Gọi a là F. một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E. 1.. C/m BD là phân giác của góc ABC và. OD//AB. 2.. C/m ADEF nội tiếp.. 3.. Gọi I là giao điểm BD và AC. Chứng tỏ. A. E I. CI=CE và IA. IC = ID. IB. 4.. D.   C/m góc AFD  AED B. C. O H×nh 46. Bài 47: Cho nửa đường tròn (O); Đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB < AC; AC cắt BD ở E. Kẻ EFAD tại F. 1C/m: ABEF nội tiếp. 2Chứng tỏ: DE. DB=DF. DA. 3C/m:E là tâm đường tròn nội tiếp CBF. 4Gọi I là giao điểm BD với CF. C/m BI2 = BF. BC - IF. IC. C B E I. M. A F O. D. H×nh 47. 8.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Bài 48:. Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình. vuông APQR vào phía trong đường tròn. Tia PR cắt (O) tại C.. I P. 1. C/m ACB vuông cân. 2. Vẽ phân giác AI của góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC tại J.. Q J. C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng tỏ: CI. QJ=CJ. QP.. B. A. O. 4. CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng R. C. H×nh 48. Bài 49: Cho nửa (O) đường kính AB=2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho cung AM<MB. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở D và C.. y. x. 1. Chứng tỏ ADMO nội tiếp. 2. Chứng tỏ AD. BC = R2.. F. 3. Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F; MB cắt Ax ở E. Chứng minh: AMFN là hình thang cân. 4. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để DE = EF. C E M D. A. N. O H×nh 49. Bài 50: Cho hình vuông ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE ,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tựAở H và K.. B. 1. Chứng minh:BHCD nội tiếp. 2. Tính góc CHK.. H. E. 3. C/m KC. KD=KH. KB. 4. Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào? D. C H×nh 50. K. Bài 51: Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. 1. C/m ABOC nội tiếp. 2. Chứng tỏ AB2=AE. AD.. . . 3. C/m góc AOC ACB và BDC cân. 4. CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB.. B. 8 I. B.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Hình 51. Bài 52: Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng ñôn vị đoä dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính của (O). 2. Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì? 3. Kẻ AKCC’. C/m AKHC là hình thang cân. 4. Quay ABC một voøng quanh trục AH. Tính tích tích xung quanh của hình được tạio ra. A C' K. O. H B. C A'. Bài 53: Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt (O) tại P. 1. C/m: a/ PMIO là thang vuông. b/ P; Q; O thẳng hàng.. C. 2. Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. Tính. P. M. Góc CSP.. S H. 3. Gọi H là giao điểm của AP với MQ. A. Cmr:. I. B. O. a/ MH. MQ= MP2.. J. b/ MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp QHP.. Q. D. Bài 54: Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O. Từ một điểm M trên d và ở ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với trênờmg trịn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C. Gọi H là chân đường vuơng góc hạ từ O xuống d. Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D. 1. C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. C/m AC//MO và MD=OD. 3. Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME. MF 4. Xác định vị trí của điểm M trên d để MAB là tam giác đều. Tính tích tích phần tạio bởi hai tia tiếp tuyến với đường tròn trong tröđường hợp này.. 8.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> B d. E. F. O. D C. Bài 55:. A. H. Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi M. là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C..   1. C/m: AMN  BMC . 2. C/m: ANM = BMC. 3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F. C/m FEAx. 4. Chứng tỏ M củng là trung điểm DC. x D. y. M. C. E F. B. A. Bài 56:. N. O. Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CDAB; CEMA; CFMB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF. 1. C/m AECD nội tiếp. 2. C/m: CD2 = CE. CF 3. Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE. 4. C/m: IK//AB. A F K C. x. M. D O I E. B. Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho P > R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn.. 8.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 1. C/m BM/ / OP. 2. Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hình bình hành. 3. AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m I; J; K thẳng hàng. N. P. J. Q. I K. M. A. B. O. Bài 58: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I. 1. C/m ABI vuông cân 2. Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC. AI=AD. AJ. 3. C/m JDCI nội tiếp. 4. Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DHAB. Cmr: AK đi qua trung điểm của DH. I. C D N A. Bài 59:. O. H. J K. B. Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN. cắt đường tròn ở M. 1. Chứng minh: NMBO nội tiếp. 2. CD và đường thẳng MB cắt nhau ở E. Chứng minh CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB 3. C/m hệ thức: AM. DN=AC. DM 4. Nếu ON=NM. Chứng minh MOB là tam giác đều.. 9.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> E C. M. N. A. B. O. D. Bài 60:. Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi D; E theo thứ tự là. hình chiêu của A và B lên đường thẳng d. 1. C/m: CD=CE. 2. Cmr: AD+BE=AB. 3. Vẽ đường cao CH của ABC. Chứng minh AH=AD và BH=BE. 4. Chứng tỏ:CH2=AD. BE. d. D C E. A. B. H. O. 5. Chứng minh:DH//CB. Bài 61: Cho ABC có: A=1v. D là một điểm nằm trên cạnh AB. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F và G. K. 1. C/m CAFB nội tiếp. 2. C/m AB. ED = AC. EB 3. Chứng tỏ AC//FG.. A. 4. Chứng minh rằng AC;DE;BF F. đồng quy.. D O G B. E. H×nh 61. C. Bài 62:. 9.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O). M là điểm di động trên d. Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn. . Hạ OHd tại H và dây cung PQ cắt OH tại I;cắt OM tại K. 1.. C/m: MHIK nội tiếp. 2. C/m OJ. OH=OK. OM=R2. 3. CMR khi M di động trên d thì vị trí của I luôn cố định. P. O. d. K I M H Q. Bài 63:. . Cho  vuông ABC ( A = 1v) và AB < AC. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia HB lấy HD = HB rồi từ C vẽ đường thẳng CEAD tại E. 1.. C/m AHEC nội tiếp.. 2.. Chứng tỏ CB là phân giác của góc ACE và AHE cân.. 3.. C/m HE2 = HD. HC.. 4.. Gọi I là trung điểm AC. HI cắt AE tại J. Chứng minh: DC. HJ=2IJ. BH. 5. EC kéo dài cắt AH ở K. Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hình thoi. A. I J C. B. H. D. E K. Bài 64:. Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC tại D,kẻ CE Bx tại E. Hai. đường thẳng AB và CE cắt nhau ở F. 1.. C/m FDBC,tính góc BFD. 2.. C/m ADEF nội tiếp.. 3.. Chứng tỏ EA là phân giác của góc DEF. Nếu Bx quay xung quanh điểm B thì E di động trên đường nào?. 9.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> A. D. E. B. C. O. Bài 65: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với BM. x 1 . cm: ACMP nội tiếp.. y Q. 2 . Chứng tỏ AB//DE 3. C/m: M; P; Q thẳng hàng.. M P D. E. A. B. O. C. H×nh 65. Bài 66:. x nửa đường tròn. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia I. Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt. H×nh 66. AM tại K. 1. C/m: IA2=IM. IB . F. 2. C/m: BAF cân. 3. C/m AKFH là hình thoi. 4. Xác định vị trí của M để AKFI nội tiếp được.. H. M E K. A. B. O. Bài 67: Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khaùc A; O; B). Đường thẳng CM cắt (O) tại N. Đường vuông góc với AB tạiC M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh:. K. 1. COMNP nội tiếp. 2. CMPO là hình bình hành.. A. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của M.. O. B. M. 4. Khi M di động trên AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định.. N x. y D. P. H×nh 67. 9.

<span class='text_page_counter'>(31)</span>  Cho ABC có A = 1v và AB > AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Bài 68:. vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC tại E và F. Giao điểm của FE và AH là O. Chứng minh: 1.. AFHE là hình chữ nhật.. 2.. BEFC nội tiếp. 3.. AE.AB = AF. AC. 4.. FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.. 5.. Chứng tỏ: BH. HC = 4.OE. OF.. A. E O. Bài 69:. F. C. B. I. K. H. 68 là tiếp tuyến của Cho ABC có A=1v AHBC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácH×nh ABC;d. đường tròn tại điểm A. Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E. 1.. Tính góc DOE.. 2.. Chứng tỏ DE = BD + CE.. 3.. Chứng minh: DB. CE = R2. (R là bán kính của đường tròn tâm O). 4.. C/m: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.. E I A D. 1. 2. 1. B. Bài 70:. 2 3. 4 C. O. H. H×nh 69. . Cho ABC ( A =1v); đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là. đường kính của đường tròn (A;AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA tại E. 1. Chứng minh BEC cân. 2. Gọi I là hình chiêu của A trên BE. C/m: AI = AH. 3. C/m:BE là tiếp tuyến của đường tròn 4. C/m: BE = BH + DE. 5. Gọi đường tròn đường kính AH có Tâm là K. Và AH = 2R. Tính tích tích của hình được tạo bởi đường tròn tâm A và tâm K.. D. E. I A K C. B. H H×nh 70. Bài 71:. Trên cạnh CD của hình vuông ABCD,lấy một điểm M bất kỳ. Đường tròn đường. kính AM cắt AB tại điểm thứ hai Q và cắt đường tròn đường kính CD tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt cạnh BC tại P. 1. C/m:Q;N;C thẳng hàng. 2. CP. CB = CN. CQ.. 9.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> 3. C/m AC và MP cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính AM Bài 72:. Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. D và E theo thứ tự là điểm chính giữa các cung. AB;AC. Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K. 1. C/m:AHK cân. 2. Gọi I là giao điểm của BE với CD. C/m:AIDE 3. C/m CEKI nội tiếp. 4. C/m:IK//AB. 5. ABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC. Bài 73:. Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuông góc CD. với AA’,đường này cắt BA’ tại E..   1. C/m: DA ' C DA ' E 2. C/m: A'DC=A'DE 3. Chứng tỏ: AC = AE. Khi AA' quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào?.   4. C/m: BAC 2. CEB Bài 74:. Cho ABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB. O là trung điểm AB;M là điểm. chính giữa cung AC. H là giao điểm OM với AC 1. C/m: OM//BC. 2. Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM tại D. Cmr: MBCD là hình bình hành. 3. Tia AM cắt CD tại K. Đường thẳng KH cắt AB ở P. Cmr: KPAB. 4. C/m: AP. AB = AC. AH. 5. Gọi I là giao điểm của KB với (O). Q là giao điểm của KP với AI. C/m A;Q;I thẳng hàng. Bài 75:. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF. Từ O vẽ tia Ot EF, noù cắt nửa đường tròn (O). tại I. Trên tia Ot lấy điểm A sao cho IA = IO. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường tròn; chúng cắt đường thẳng EF tại B và C (P;Q là các tiếp điểm). 1. Cmr: ABC là tam giác đều và tứ giác BPQC nội tiếp. 2. Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ. vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP tại H,cắt AC tại K. Tính sđ của góc HOK 3. Gọi M; N lần lượt là giao điểm của PQ với OH; OK. Cm OMKQ nội tiếp. 4. Chứng minh raèng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy tại điểm D, và D cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp HOK. Bài 76:. Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O),các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E. Các cạnh. beân AD;BC kéo dài cắt nhau ở F. 1.. C/m: ABCD là thang cân.. 2.. Chứng tỏ FD. FA = FB. FC.. 3.. C/m: Góc AED = AOD.. 4.. C/m AOCF nội tiếp.. Bài 77:. Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn. Kẻ OAxy rồi từ A dựng đường thẳng. ABC cắt (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy tại D và E. Đường thẳng BD cắt OA;CE lần lượt ở F và M;OE cắt AC ở N. 1.. C/m OBAD nội tiếp.. 2.. Cmr: AB. EN = AF. EC. 9.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> 3.. So sánh góc AOD và COM.. 4.. Chứng tỏ A là trung điểm DE.. Bài 78: Cho (O;R) và A là một điểm ở ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. OB kéo dài cắt AC ở D và cắt đường tròn ở E. 1 . Chứng tỏ EC // với OA. 2 . Chứng minh raèng: 2AB. R = AO. CB. 3. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng một tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC lần lượt ở I,J . Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC. 4 . Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để 4 điểm J,I,B,C cùng nằm trên một đường tròn. Bài 79: Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB lần lượt ở C và D. 1 . Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên một đường tròn. 2 . Chứng minh: COD = AOB. 3. Chứng minh: Tam giác COD cân. 4 . Vẽ đường kính BK của đường tròn,hạ AH BK. Gọi I là giao điểm của AH với PK. Chứng minh AI = IH. Bài 80:. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD. cắt nhau ở H. 1 . Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. 2 . Chứng minh : AD. AB = AE. AC. 3. Chứng tỏ AK là phân giác của góc DKE. 4 . Gọi I; J là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//JI. Bài 81:. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại B và C của. đường tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC tại I(Enằm trên cung nhỏ BC) 1 . Chứng minh BDCO nội tiếp. 2 . Chứng minh: DC2 = DE. DF 3. Chứng minh DOCI nội tiếp được trong đường tròn. 4 . Chứng tỏ I là trung điểm EF. Bài 82:. Cho đường tròn tâm O,đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC,lấy. điểm M. AM cắt CD tại E. 1 . Chứng minh AM là phân giác của góc CMD. 2 . Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Chứng tỏ AC2 = AE. AM 4 . Gọi giao điểm của CB với AM là N;MD với AB là I. Chứng minh NI//CD. Bài 83:. Cho ABC có A = 1v;Kẻ AHBC. Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở E và cắt. đường thẳng AC tại G. Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D. 1. C/m: AEHF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: HG. HA = HD. HC 3. Chứng minh EFDG và FHC = AFE.. 9.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 4. Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngaén nhất. Bài 84:. Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC, phân giác góc. BMC cắt BC ở N,cắt (O) ở I. 1. Chứng minh A;O;I thẳng hàng. 2. Kẻ AK với đường thẳng MC. AI cắt BC ở J. Chứng minh AKCJ nội tiếp. 3. C/m: KM. JA = KA. JB. Bài 85:. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên nửa. mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Một đường tròn (O’) qua A và C cắt AB và tia Ax theo thứ tự tại D và E. Đường thẳng EC cắt By tại F. 1. Chứng minh BDCF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: CD2 = CE. CF và FD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. AC cắt DE ở I;CB cắt DF ở J. Chứng minh IJ//AB 4. Xác định vị trí của D để EF là tiếp tuyến của (O) Bài 86: Cho (O;R và (O’;r) trong đó R>r, cắt nhau tại Avà B. Gọi I là một điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB. Kẻ hai tiếp tuyến IC và ID với (O) và (O’). Đường thẳng OC và O’D cắt nhau ở K. 1. Chứng minh ICKD nội tiếp. 2Chứng tỏ: IC2 = IA. IB. 3Chứng minh IK nằm trên đường trung trực của CD. 4IK cắt (O) ở E và F; Qua I dựng cát tuyến IMN. a/ Chứng minh: IE. IF = IM. IN. b/ E; F; M; N nằm trên một đường tròn. Bài 87:. ChoABC có 3 góc nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. (O) cắt AB;AC lần lượt ở. D và E. BE và CD cắt nhau ở H. 1Chứng minh: ADHE nội tiếp. 2 C/m: AE. AC = AB. AD. 3 AH kéo dài cắt BC ở F. Cmr: H là tâm đường tròn nội tiếp DFE. 4 Gọi I là trung điểm AH. Cmr IE là tiếp tuyến của (O) Bài 88:. Cho(O;R) và (O’;r) cắt nhau ở Avà B. Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C(O)) và cát. tuyến EBF bất kỳ(E(O)). 1. Chứng minh AOC và AO’D thẳng hàng.. 2. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng CE và DF. Cmr: AEKF nội tiếp.. 3. Cm: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD.. 4. Chứng tỏ FA. EC = FD. EA.. Bài 89:. Cho ABC có A = 1v. Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC tại B. và dựng (O’;r) tiếp xúc với BC tại C. Gọi M;N là trung điểm AB;AC,OM và ON kéo dài cắt nhau ở K. 1. Chứng minh: OAO’ thẳng hàng. 2. CM: AMKN nội tiếp.. 3. Cm AK là tiếp tuyến của caû hai đường tròn và K nằm trên BC.. 4. Chứng tỏ 4MI2 = Rr.. 9.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp trong (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và DB vuông góc với nhau. Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau ở E; BC và AD cắt nhau ở F. 1. Cm: BDEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: DA. DF = DC. DE 3. Gọi I là giao điểm DB với AC và M là giao điểm của đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF. Cmr: DIMF nội tiếp. 4. Gọi H là giao điểm AC với FE. Cm: AI. AM = AC. AH. Bài 91:. Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) tại B và C. (khaùc A). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(D(O)); DB và CE kéo dài cắt nhau ở M. 1. Cmr: ADEM nội tiếp. 2. Cm: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 3. ADEM là hình gì? 4. Chứng tỏ: MD. MB = ME. MC. Bài 92:. Cho hình vuông ABCD. Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK với đường thẳng AM.. 1. Cm: ABKC nội tiếp. 2. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N. Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD. KN = BE. KA 3. Cm: MN//DB. 4. Cm: BMEN là hình vuông. Bài 93:. Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB ở O.. Gọi M là 1 điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q. 1.. Cm: QPCB nội tiếp.. 2.. Cm: AN//DB.. 3.. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng.. 4.. Cm: PEN là tam giác cân.. Bài 94:. Từ đỉnh A của hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạio với nhau 1 góc bằng 45 o.. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. 1.. Cm: E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn.. 2.. Cm: AB. PE = EB. PF.. 3.. Cm: SAEF = 2SAPQ.. 4.. Gọi M là trung điểm AE. Cmr: MC = MD.. Bài 95:. Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở O. Kẻ AH và BK vuông góc. với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I. Gọi E và F lần lượt là trung điểm DH và BC. Từ E dụng đường thẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. 1.. C/m: OHIK nội tiếp.. 2.. Chứng tỏ KHOI.. 3.. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. Chứng tỏ: HJ. KC = HE. KB. 4.. Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường tròn.. Bài 96: Cho ABC, phân giác góc trong và góc ngoài của các góc B và C gaëp nhau theo thứ tự ở I và J. Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC.. 9.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> 1.. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng.. 2.. Chứng minh: BICJ nội tiếp.. 3.. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr: AEAJ.. 4.. C/m: AI. AJ = AB. AC.. Bài 97: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q. Kẻ BKAx;BIAy và DMAx,DNAy . 1.. Chứng tỏ BKIA nội tiếp. 2.. Chứng minh AD2 = AP. MD.. 3.. Chứng minh MN = KI.. 4.. Chứng tỏ KIAN.. Bài 98:. Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o. Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC tại I. và K. Hạ KH và KM lần lượt vuông góc với CD và AM. 1.. Chứng minh KHDM nội tiếp.. 2.. Chứng minh: AB = CK + AM.. Bài 99:. Cho(O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát tuyến. BEF. Đường thẳng CE và CF gaëp lại đường tròn ở điểm thứ hai tại M và N. Dựng hình bình hành AECD. 1 Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF. 2,Chứng minh AFCD nội tiếp. 3,Chứng minh: CN. CF = 4BE. BF 4,Chứng minh MN//AC. Bài 100:. Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C. Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chính giữa cung. AB;BC;AC . AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I. MN cắt AB ở E. 1,Chứng minh BNI cân. 2,PKEN nội tiếp. 3,Chứng minh AN. BD = AB. BN 4,Chứng minh I là trực tâm của MPN và IE//BC.. 9.

<span class='text_page_counter'>(37)</span>