HOC KIEN THUC 12 ON THI CAP TOC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.1 MB, 149 trang )

(1)TÀI LIỆU. MỤC LỤC: 1-Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan 2-Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất 3- Lƣợng Giác 4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ và Logarit 5-Tích Phân và Ứng Dụng 6-Số phức 7-Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz 8-Hình Học Không Gian Thuần Túy 9-Tổ Hợp và Xác Suất. 1.

(2) Tài liệu đã đƣợc tinh giảm chỉ còn những phần cơ bản và cần thiết, vừa đủ để các em có thể học nhanh và nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT cũng nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 sắp tới. Chỉ cần nắm bắt đƣợc các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5-7 là điều không hề khó khăn. Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện trong kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên sẽ không có các phần nâng cao. Các em học sinh ôn thi vào các trƣờng lớn hay các trƣờng có tổ chức thi xét tuyển lần 2 thì các kiến thức trong tài liệu là không đầy đủ. Do tài liệu đƣợc biên soạn bởi tác giả nên không tránh đƣợc sự thiếu xót. Nếu có thì mong các em thông cảm. Chúc các em học tốt và vƣợt qua kì thi năm nay một cách dễ dàng. Thân!.

(3) KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A. Lý thuyết: I.. Các bƣớc khảo sát hàm số:  Tập xác định.  Giới hạn, Tiệm cận (Nếu có)  Đạo hàm  Bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (Nếu có)  Đồ thị: Điểm đặc biệt, Vẽ đồ thị.. II.. Tổng kết các dạng đồ thị: 3 2 1. Hàm bậc 3: y  ax  bx  cx  d , a  0.  Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn.  Dạng đồ thị được căn cứ vào:. Số nghiệm của y '  0 và dấu của hệ số a..  Có 3 trường hợp:  TH1: y '  0 có 2 nghiệm phân biệt  có 2 cực trị.. a0. a0.  TH2: y '  0 có nghiệm kép  không có cực trị.. a0. a0 3.

(4)  TH3: y '  0 vô nghiệm  không có cực trị.. a0. a0. 4 2 2. Hàm trùng phƣơng: y  ax  bx  c, a  0.  Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy.  Đồ thị có 2 dạng căn cứ vào : Số nghiệm của y '  0 và dấu của hệ số a.  TH1: y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  có 3 cực trị.. a0. a0.  TH2: y '  0 có 1 nghiệm  có 1 cực trị.. a0 3. Hàm phân thức: y . a0 ax  b 2 2 ,a  c  0 cx  d 4.

(5)  Đồ thị có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.  Đồ thị là hai đường hypebol đối xứng qua giao điểm của hai đường tiệm cận.  Đồ thị có hai dạng: Dựa vào dấu của y‟.. TCN. TCN. TCĐ - y '  0, x  D  hàm số đồng biến.. TCĐ - y '  0, x  D  hàm số nghịch biến.. B. Các dạng toán liên quan: I.. Đồng biên nghịch biến:  Lý thuyết: Liên quan đên phương trình bậc 2 2 Cho phương trình: y  ax  bx  c  a  0 . b c  Hệ thức Vi-et: S  x1  x2   ; P  x1 x1  a a  Để phương trình có hai nghiệm trái dấu  P  0.   0  Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu   P  0   0   Để phương trình có hai nghiệm dương   P  0 S  0    0   Để phương trình có hai nghiệm âm   P  0 S  0   So sánh nghiệm x1 , x2 của phương trình với các số ,  cho trước:. 5.

(6) Để phương trình có nghiệm x1 , x2 thõa mãn: .   0 x1    x2   a. f ()  0.   0 x1    x2   a. f ()  0. .    0  x1  x2    a. f ()  0 S   2.    0    x1  x2  a. f ()  0 S   2.   0 a. f ()  0    x    x  a. f ()  0 1 2   S    2.   0 a. f ()  0  x1    x2    a. f ()  0  S    2.   0 a. f ()  0    x1  x2    a. f ()  0     S    2.   0  x1      x2  a. f ()  0 a. f ()  0 . Chú ý: Nếu đề có dấu “=” thì ta sẽ thêm dấu ”=” tương ứng đối với các điều kiện.  Bài toán: Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXD hay trong một khoảng nào đó sau đây:  a, b  ,  a, b ,  a,   ,  a,   ,  , b  ,  , b  Phƣơng pháp chung: (nên dùng cách tìm min, max)  Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số suy luận.  Quy về bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với các số cho trước ở đây là các số a, b trong các khoảng đó.. 1 3 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  mx   3m  2  x . Xác định m để hàm số đồng biến trên 3 R. Giải: Do a . 1  0 nên để hàm số đồng biến trên R thì đồ thị hàm số không có cực trị 3 6.

(7)  y '  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm 2 Ta có y '  x  2mx  3m  2 ' 2 Để hàm số đồng biến trên R   y '  m  3m  2  0  1  m  2. Vậy 1  m  2 Ví dụ 2: Cho hàm số y . 1  m  1 x3  mx 2   3m  2  x . Xác định m để hàm số nghịch 3. biến trên R. Giải: Để hàm số nghịch biến trên R thì a  0 và y '  0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm. 2 Ta có: y '   m  1 x  2mx  3m  2. Để hàm số nghịch biến trên R. m  1 a  0 m  1 m  1  0   '  2   1 2  y '  0 m   m  1 3m  2   0 2m  5m  2  0 m   m  2  2 m. 1 2. Vậy m . 1 2. 3 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y  2 x  3x  6(m  1) x . Xác định m để hàm số nghịch biến trên. khoảng  2, 0  Giải: 2 Ta có: y '  6 x  6 x  6(m  1). Từ tính chất của đồ thị, do a  0 để hàm số có khoảng nghịch biến thì đồ thị hàm số phải có cực đại và cực tiểu. Gọi các điểm cực trị là x1 , x2 Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng  x1 , x2  Vậy để hàm số nghịch biến trên  2, 0  thì x1  2  0  x2.   0 4m  3  0    a. f (2)  0  6(m  3)  0  m  3 a. f (0)  0 6(m 1)  0   7.

(8) 3 2 Ví dụ 4: Cho hàm số y  2 x  x  6mx. Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng  2,   Giải: 2 Ta có: y '  6 x  2 x  6m. Từ tính chất của đồ thị, do a  0 để hàm số có khoảng đồng biến ta có hai trường hợp: + TH1: Hàm số không có cực trị    0  1  36m  0  m . 1 suy ra hàm số đồng 36. biến trên R nên hàm số đồng biến trên khoảng  2,   + TH2: Hàm số có cực trị    0 . Gọi các điểm cực trị là x1 , x2 thì hàm số đồng biến trên các khoảng  , x1  ,  x2 ,   Để hàm số đồng biến trên  2,   thì x1  x2  2. 1   m     0 36   14 1  a. f (2)  0  6  28  6m   0    m  3 36 S  1  2   2 2  6 Vậy khi m  . 14 thì hàm số đồng biến trên khoảng  2,   3. Ví dụ 5: Cho hàm số y . xm . x  4m. a) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. b) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên 1,   Giải: Ta có TXD: D   ; 4m    4m;   và y ' . 3m.  x  4m . 2. a) Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó thì y '  0 với mọi x  D Có nghĩa là y ' . 3m.  x  4m . 2. 0m0. Vậy m  0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. 8.

(9) b) Ta có khi m  0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là:.  m  và  4 m,   Để hàm số nghịch biến trên 1,   thì 1,     4m,  . 1 Có nghĩa là 4m  1  m   . 4. 1 Kết hợp với điều kiện để nghịch biến    m  0 4 Bài tập vận dụng: 3 2 1/Cho hàm số y  x  3x  mx  4 .. a) Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng     3 2 2/Cho hàm số y  2 x  3  2m  1 x  6m  m  1 x  1 .. a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên tập xác định. c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng  2,   . 3/Cho hàm số y . mx  4 . xm. a) Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. c) Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng   4/Cho hàm số y . x 1 . Xác định m để: xm. a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số đồng biến trên khoảng  0,   4 2 5/Cho hàm số y  x  2mx  3m  1 . Xác định m để. a) Hàm số đồng biến trên  0,   b) Hàm số đồng biến trên  2,   9.

(10) c) Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến trên 1, 2  4 2 2 6/Cho hàm số y   x  2mx  m . Xác định m để:. a) Hàm số nghịch biến trên khoảng 1,   b) Hàm số nghịch biến trên khoảng  1, 0  3 2 7/Cho hàm số y  x  3mx  3x  3m  4 . Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên. đoạn có độ dài đúng bằng 1.. 1 3 2 8/Cho hàm số y  mx  (m  1) x  3(m  2) x  1 . Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch 3 biến trên  2,   . 2 2 9/Cho hàm số y  x  3(2m 1) x  (12m  5) x  2 . Xác định m để hàm số đồng biến đồng thời. trên cả 2 khoảng    và  2,   3 2 10/Cho hàm số y  x  3x  (m  1) x  4m . Xác định m để hàm số nghịch biến trên  1,1. 1 3 2 11/Cho hàm số y  mx  2(m  1) x  (m  1) x  m . Xác định m để: 3 a/Hàm số đồng biến trên  , 0 b/Hàm số nghịch biến trên  2,   c/Hàm số đồng biến trên các khoảng  , 1   2;  . 10.

(11) II.. Cực trị:  Bài toán 1: Xác định m để hàm số đạt cực trị.  Phƣơng pháp: Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số để suy luận. 3 2  Tìm m để đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d.  a  0.  Có cực trị   y '  0  Không có cực trị   y '  0 4 2  Tìm m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c.  a  0.  Có 3 cực trị: y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  Có 1 cực trị: y '  0 có 1 nghiệm  Chỉ có cực đại: y '  0 có 1 nghiệm và a  0  Chỉ có cực tiểu: : y '  0 có 1 nghiệm và a  0  Xác định m để hàm số:. a  0  -Đạt cực đại tại x  xo   y '( xo )  0  y "( x )  0 o . a  0  -Đạt cực tiểu tại x  xo   y '( xo )  0  y "( x )  0 o . 3 2 Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y  mx  3x  x có cực đại, cực tiểu.. Giải: 2 Ta có: y '  3mx  6 x  1 (m  0) 2 Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì   ' y '  0  3  3m  0  m  3. Vậy để hàm số có cực đại, cực tiểu thì m  3, m  0 . 4 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  2mx  1, tìm m để:. a) Có 3 cực trị b) Có 1 cực trị c) Chỉ có cực tiểu, không có cực đại. Giải: 3 2 Ta có: y '  4 x  4mx  4 x  x  m . x  0 Suy ra: y '  0   2 x  m. 11.

(12) a) Để hàm số có 3 cực trị thì y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  x2  m có 2 nghiệm phân biệt  m  0 b) Để hàm số có 1 cực trị thì y '  0 có 1 nghiệm  x2  m vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0  m   c) Để hàm số chỉ có cực tiểu, không có cực đại thì a  0 và hàm số có 1 cực trị. a  0  m0 m  0  4 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y  mx  x  1, tìm m để hàm số đạt cực đại tại x  1. Giải: 3 2 Ta có: y '  4mx  2 x và y "  12mx  2. Để hàm số đặt cực đại tại x  1 thì :. m  0 m  0 a  0 1    3  y '(1)  0  4m.1  2.1  0  m  1/ 2  m   2 12m.12  2  0 m  1/ 6  y "(1)  0    Vậy m  . 1 2.  Bài toán 2: Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn một hệ thức hay một yêu cầu về hình học phẳng của đề bài ( nhƣ tam giác, khoảng cách…)  Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Tìm điều kiện m để hàm số có cực đại, cực tiểu.(như bài toán 1)  Bƣớc 2: Dựa vào yêu cầu đề bài suy ra phương trình theo m. Giải tìm m.  Bƣớc 3: So sánh m tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi kết luận. 3 2  Đối với hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d. Ta thấy: xCD , xCT chính là nghiệm của y '  0 nên ta sẽ sử dụng hệ thức Viet để giải dạng toán này. 4 2  Đối với trùng phƣơng : y  ax  bx  c. Ta thấy: xCD , xCT chính là nghiệm của y '  0 , ngoài nghiệm x  0 thì hai nghiệm còn lại ta có thể tính được. Nên dạng này ta sẽ làm thủ công: rút thế trực tiếp. 12.

(13) x3 2 Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y   mx  x có cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 và các 3 2 2 điểm cực đại cực tiểu thõa mãn: x1  x2  6. Giải: 2 Ta có: y '  x  2mx  1. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y '  0 có 2 nghiệm phân biệt:.  'y '  0  m2  1  0  m  1  m  1 (*).  x1  x2  2m Áp dụng Viet cho y '  0 :   x1 x2  1 2 2 2 2 2 Theo đề: x1  x2  6  ( x1  x2 )  2 x1 x2  6  (2m)  2(1)  6  m  2  m   2. So sánh với (*) ta nhận cả 2 giá trị của m Vậy m   2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 2 Ví dụ 2: Xác định m để hàm số y  x  2mx  m có cực đại cực tiểu và 3 điểm cực đại. cực tiểu lập thành một tam giác vuông. Giải: 3 2 Ta có: y '  4 x  4mx  4 x  x  m . x  0 y '  0  4 x( x 2  m)  0   2 x  m Để hàm số có cực đại cực tiểu thì y '  0 có 3 nghiệm phân biệt.  x2  m có hai nghiệm phân biệt khác 0  m  0. x  0 x  0 y '  0    Với m  0 thì  2 x  m x   m 2 2 Gọi A, B, C là ba điểm cực trị với A  (0, m) ; B  ( m , m  m ) ; C  ( m , m  m ) .. Do đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung nên tam giác ABC cân tại A. Nên ABC là một tam giác vuông thì vuông tại A. Ta có: AB . . . . m , m2 ; AC   m , m2. . Do tam giác ABC vuông tại A:. 13.

(14)  AB  AC  AB. AC  0  m ( m )  (m2 )(m2 )  0.  m  0(l )  m  m4  0  m(m3  1)  0    m  1(n) Vậy m  1 thỏa yêu cầu bài toán. Bài tập vận dụng: 3 2 1/ Cho hàm số y  x  2 x  1  m  x  m . Xác định m để hàm số:. a) Không có cực trị. b) Có cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x1  x2  4x1x2 c) Có cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn hệ thức. 1 1   3x1 x2 x1 x 2. d) Có cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn hệ thức  3x1 x2  1  5  3x1  3x2 2. 1 3 2 2 2 1/ Cho hàm số: y  x  (m  m  2) x  (3m  1) x  m  5 3 a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 . 4 2 2/Cho hàm số: y  (1  m) x  mx  2m  1 ( m  1). a) Xác định m để hàm số có 3 cực trị. b) Xác định m để hàm số có 1 cực trị. c) Xác định m để đồ thị hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại.. 1 3 2 3/Cho hàm số: y  x  mx  (m  6) x  (2m  1) . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu 3 và hoành độ của hai điểm cực trị trái dấu. 4 2 2 4/ Cho hàm số: y  x  2m x  1 . Xác định m để: 2 2 2 a) Hàm số có 3 cực trị x1 , x2 , x3 thỏa mãn hệ thức x1  x2  x3  1. b) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và ba điểm đó lập thành một tam giác đều.. 1 3 2 5/ Cho hàm số: y  x  mx  x  m  1 3 a) Chứng minh hàm số luôn có cực trị. b) Xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị nhỏ nhất. 14.

(15) III.. Tiếp tuyến:  Lý thuyết:  Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo   (C) có dạng:. y  f '( xo )( x  xo )  yo. với: yo  f ( xo ).  Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị: Cho hàm số:. y  f ( x) có đồ thị (C) y  g ( x) có đồ thị (C‟). Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau là hệ sau có nghiệm:.  f ( x)  g ( x) (*)  f '( x )  g '( x )   Số nghiệm của hệ (*) là số tiếp điểm của hai đồ thị.  Hệ vô nghiệm thì hai đồ thị không tiếp xúc nhau.  Bài toán 1: Liên quan đến tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo   (C) :  Phƣơng pháp chung:  Bƣớc 1: Gọi tiếp tuyến tại M có dạng : y  f '( xo )( x  xo )  yo  Bƣớc 2: Dựa vào giả thuyết bài toán ta đi tìm xo  Bƣớc 3: Kết luận theo yêu cầu của đề bài.  Các kiến thức liên quan:  Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b thì f '  xo   a  Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b thì a. f '  xo   1 3 2 Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  4 x  6 x  1. a) Tại điểm có hoành độ bằng 1 . b) Tại điểm có tung độ bằng 1. c) Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y  3x. 1 d) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  1 9 Giải: 15.

(16) a) Với xo  1  yo  f (1)  9 2 Ta có: y '  f '( x)  12 x 12 x . Suy ra: f '(1)  24. Vậy tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình:. y  f '(1)( x  (1))  (9) y  24( x  1)  9 y  24 x  15  xo  0  3 b) Với yo  1  4 x  6 x  1  1   xo   2 3 o. 2 o. Khi xo  0, yo  1  f '  xo   0 . Phương trình tiếp tuyến là:. y  0  x  0  1  y  1. 3 Khi xo  , yo  1  f '  xo   9 . Phương trình tiếp tuyến là: 2. 3 25  y  9  x    1  y  9x  2 2  c) Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y  f '( xo )( x  xo )  yo Do tiếp tuyến song song đường thẳng y  3x nên. f '  xo   3  12 xo2  12 xo  3  xo  Với xo . 1 2. 1 3 1   yo  0 . Phương trình tiếp tuyến là: y  3  x    0  y  3x  2 2 2 . 1 d) Tương tự, Do tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  1 nên: 9. 1 1 3  . f '  xo   1  12 xo2  12 xo  9  xo    xo  9 2 2. 1 7 1  Với xo    yo  1 . Phương trình tiếp tuyến là: y  9  x     y  9 x  2 2 2  Với xo . 3 25 3   yo  1 . Phương trình tiếp tuyến là: y  9  x    1  y  9 x  2 2 2 . 16.

(17) 2x 1 (C ) . Tìm điểm M  (C ) để tiếp tuyến của (C ) tại M x 1 cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B thỏa mãn OA=OB.. Ví dụ 2: Cho hàm số : y . Giải: Gọi tiếp tuyến tại M ( xo ; yo ) là đường thẳng d có dạng: y  f '( xo )( x  xo )  yo (1) Ta có: y ' . 1 1  f '( x)  f '( xo )  2 ( xo  1)2 ( x  1). Ta có phương trình tiếp tuyến : y   Gọi. 1.  xo  1. 2. ( x  xo ) . 2 xo  1 xo  1. A  (d )  Ox  A   2 xo2  2 xo  1;0   OA  2 xo2  2 xo  1  2x2  2x  1  2 xo2  2 xo  1 o o B  (d )  Oy  B   0;   OB  2 2   x  1    xo  1 o  . Theo đề thì: OA  OB  2 x  2 xo  1  2 o. . 2 xo2  2 xo  1.  xo  1. 2. 2 Do A, B  O  2 xo  2 xo  1  0.  xo  0  x  2 2  xo  1  o 1. Vậy các điểm M cần tìm là: (0;1) và (2;3)  Bài toán 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A( xA; y A) . Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Gọi tiếp tuyến qua A( xA ; y A ) là đường thẳng (d) có dạng: y  k ( x  xA )  y A .  Bƣớc 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc:.  f ( x)  k ( x  x A )  y A   (d) tiếp xúc (C)  f '( x)  k  Bƣớc 3: Giải tìm k suy ra tiếp tuyến cần tìm Nhận thấy được sự khác biệt giữa tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo  và tiếp tuyến qua điểm M Tiếp tuyến tại M thì có duy nhất 1 đường thẳng còn tiếp tuyến qua M thì có thể có nhiều đường. 17.

(18) 3 Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x  3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến. đi qua điểm A 1, 2  . Giải: Gọi tiếp tuyến qua A 1, 2  có phương trình  d  : y  k ( x  1)  2. k  x  1  2  x3  3x  2 k  3x  3. Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:. 1   3x 2  3  x  1  2  x3  3x 2 x3  3x 2  1  0  x  1  x      2 2 2 k  3 x  3 2  k  3 x  3    k  3x  3 Với x  1  k  0 Phương trình tiếp tuyến là: y  0( x 1)  2  y  2. 1 9 9 9 1 Với x    k   Phương trình tiếp tuyến là: y   ( x  1)  2  y   x  2 4 4 4 4 x2 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x 1 tuyến đi qua giao điểm của đồ thị và trục hoành.. Ví dụ 2: Cho hàm số y . Giải: Giao điểm của (C) và trục hoành có tọa độ  2, 0  Gọi tiếp tuyến qua  2, 0  có phương trình  d  : y  k ( x  2). Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:. x2  k  x  2   x  1   3 k  2   x  1.  3 x  2 x  2   2  3x 2  3  x  1  2  x3  3x x  1   x  1  x  2     1 2 3 k  3x  3 k  k  3 2  x  1    Phương trình tiếp tuyến cần tìm:. y. 1 1 2  x  2  y  x  3 3 3. 18.

(19) Bài tập vận dụng: 3 1/Cho hàm số: y   x  3x  1. a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1. b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng -1. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song đường thẳng: y  9 x .. d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng. 1 y   x 3 3 2/Cho hàm số: y . 2x 1 x 1. a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y  3x  6 . 3 2 3/Cho hàm số: y  x  3x  2. a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0,3) . b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) tại những điểm cách đều hai trục tọa độ. 3 2 4/Cho hàm số: y  x  3x  m  2 (C) m: tham số. M là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Xác định m để tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi qua điểm A(3,2) . 5/Cho hàm số y . 2x (C) x 1. a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của © và trục Oy. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho tam giác OAB cân tại O. 3 2 6/Cho hàm số: y  x  mx  4 . Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.. 7/Cho hàm số: y . x2 (C) x2. a/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). b/Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho MA=MB.. 19.

(20) IV.. Giao điểm của hai đồ thị:  Lý thuyết: Cho hàm số y  f ( x) và y  g ( x) Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)  g ( x).  Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:. f ( x)  g (m)  Phƣơng pháp chung:  Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  Số nghiệm của phương trình f ( x)  g (m) là số giao điểm của hai đồ thị:.  y  f ( x)  Với y  g (m) là đường thẳng song song Ox.  y  g ( m)  Đặc biệt:  Đồ thị hàm số y  f ( x) : Từ đồ thị hàm số y  f ( x) ta bỏ phần đồ thị nằm dưới Ox, lấy đối xứng phần đó qua Ox.  Đồ thị thàm số y  f  x  : Từ đồ thị hàm số y  f ( x) ta bỏ phần đồ thị nằm bên trái Oy, lấy đối xứng phần còn lại qua Oy. 3 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  3x  2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3  3x2  m  0 Giải: a) Khảo sát ta được đồ thị: 3. 2. 1. -2. 2. 4. -1. -2. 20.

(21) b) Ta có x3  3x2  m  0  x3  3x2  2  2  m Số nghiệm của phương trình x3  3x2  m  0 là số giao điểm của hai đồ thị:.  y  x3  3x 2  2  Với y  2  m là đường thẳng song song Ox. y  2 m Dựa vào đồ thị ta có: + Nếu 2  m  2  m  0 thì y  2  m cắt (C) tại 1 điểm + Nếu 2  m  2  m  4 thì y  2  m cắt (C) tại 1 điểm + Nếu 2  m  2  m  0 thì y  2  m cắt (C) tại 2 điểm + Nếu 2  m  2  m  4 thì y  2  m cắt (C) tại 2 điểm + Nếu 2  2  m  2  0  m  4 thì y  2  m cắt (C) tại 3 điểm. Kết luận: + Nếu m  0 hoặc m  4 phương trình (1) có 1 nghiệm. + Nếu m  0 hoặc m  4 phương trình (1) có 2 nghiệm. + Nếu 0  m  4 phương trình (1) có 3 nghiệm. 3 Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  3x (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). 3 b) Xác định m để phương trình sau có đúng 6 nghiệm phân biệt: x  3x  m. c) Xác định m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: x  3 x  m  0 3. Giải: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 4. 3. 2. 1. -2. 2. -1. -2. -3. 21.

(22) 3 b) Ta có x  3x  m 3 Số nghiệm của phương trình x  3x  m là số giao điểm của hai đồ thị:.  y  x3  3x   y  m. Với y  m là đường thẳng song song Ox. 3 3 Ta có đồ thị hàm số y  x  3x Từ đồ thị hàm số y  x  3x ta bỏ phần đồ thị nằm. dưới Ox, lấy đối xứng phần đó qua Ox. Ta được: 3. 2. 1. -2. 2. -1. -2. 3 Dựa vào đồ thị để phương trình x  3x  m có đúng 6 nghiệm phân biệt thì đường thẳng. y  m cắt đồ thị y  x3  3x tại 6 điểm phân biệt  0  m  2 3 Vậy  0  m  2 thì phương trình x  3x  m có 6 nghiệm phân biệt.. c) Ta có x  3 x  m  0  x  3 x  m 3. 3. Số nghiệm của phương trình x  3 x  m  0 là số giao điểm của hai đồ thị: 3.  y  x 3  3 x   y  m. Với y  m là đường thẳng song song Ox. 3 Ta có đồ thị hàm số y  x  3 x Từ đồ thị hàm số y  x  3x ta bỏ phần đồ thị nằm 3. bên trái Oy, lấy đối xứng phần còn lại qua Oy. Ta được:. 22.

(23) 3. 2. 1. -2. 2. -1. -2. Dựa vào đồ thị để phương trình x  3 x  m  0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thì đường 3. thẳng y  m cắt đồ thị y  x  3 x  m tại 3 điểm phân biệt  m    m  0 3. Vậy m   thì phương trình x  3 x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt. 3.  Bài toán 2: Bài toán giao điểm của đồ thị và đƣờng thẳng. 3 2  Giao điểm của đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d và đƣờng thẳng y  kx  m. Phƣơng pháp chung:  Bƣớc 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm. 2  Bƣớc 2: Sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích: ( x   )  ax  Bx  C   0 (1).  Bƣớc 3: Khi đó hoành độ các giao điểm là nghiệm của. x   0  (1)  2  ax  Bx  C  0, g ( x)  Bƣớc 4: Dựa vào đề bài mà ta suy ra các điều kiện tương ứng Chú ý: Sử dụng Viet cho phương trình ax2  Bx  C  0 đối với bài toán này. 3 2 Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y  mx  x  2 x  8m cắt trục hoành tại 3 điểm phân. biệt. Giải: Ta có PTHDGD:. mx3  x2  2 x  8m  0 (*). 23.

(24)  ( x  2)  mx2  (2m  1) x  4m  0  x  2  2  mx  (2m  1) x  4m  0   g ( x) Để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.  g ( x)  mx2  (2m  1) x  4m  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 1  1   m  12m  4m  1  0  6   0 2     g (2)  0 2  12m  0 m  1  6 2. 1 1 1 Vậy   m   m  6 2 6  Giao điểm của đồ thị hàm số y . ax  b và đƣờng thẳng y  kx  m cx  d. Phƣơng pháp chung:  Lập phương trình hoành độ giao điểm.  Dựa vào yêu cầu đề bài và tính chất của đồ thị hàm số để suy ra bài toán bậc 2.  Sử dụng Viet. Ví dụ: Cho hàm số y . x 1 (C) x 1. Tìm m để đường thẳng y  mx  1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thị. Giải: Ta có PTHDGD:. x 1  mx  1 x 1  mx2  mx  2  0 (1)  x  1. Ta thấy hai nhánh của đồ thị (C) được phân chia bởi tiệm cận đứng x  1 nên đường thẳng y  mx  1 cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh có hoành độ x1 , x2 thì x1  1  x2 .. m2  8m  0   0 m  8  m  0    a. f (1)  0  m(2)  0   m0 m  0  a  0   m  0 Vậy m  0 thõa mãn yêu cầu bài toán. 24.

(25) Bài tập vận dụng: 3 2 1/Cho hàm số y  x  (m  3) x  mx  4  Cm . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m  0 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3  3x2  4  m c) Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt d) Xác định m để phương trình sau có 1 nghiệm. 1 3 2 4 x x  m 3 3. 1 3 2 x x m 3. e) Xác định m để  Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. f) Xác định m để  Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. 2/Cho hàm số y . x 1 (C). x 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Xác định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt. x 1 m x 1. c) Xác định m để phương trình sau vô nghiệm x  1  m  x  1 4 2 3/Cho hàm số y  x  2 x  3 .. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4  2 x2  m  0 4 2 c) Xác định m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt x  2 x  3  m. 3 2 2/Cho hàm số y  x  mx  m . Xác định m để đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm. phân biệt: a) Có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1. b) Có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. 3 2 3/Cho hàm số y  x  3x  2 . Gọi (d) là đường thẳng qua A  3, 20  có hệ số góc là m. Tìm m. để (d) cắt đồ thị tai 3 điểm phân biệt. 4 2 4/Cho hàm số y  x  (3m 2) x  3m. a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt. 25.

(26) b) Xác định m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt. 4 2 5/Cho hàm số y  x  mx  m  1 . Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc trục Ox.. x2 (C). Xác định m để đường thẳng y  mx  m  1 cắt (C) tại 2 điểm 2x 1 phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị.. 6/Cho hàm số y . 7/Cho hàm số y . 2x 1 (C) và đường thẳng (d) y  2 x  m x 1. a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. b) Xác định m để (d) cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng. 3.. 4 2 9/Cho hàm số y  x  2(2m  1) x  4m . Xác định m để đồ thị cắt Ox tại 4 điểm x1 , x2 , x3 , x4 2 2 2 2 thỏa mãn x1  x2  x3  x4  17. 10/Cho hàm số y . x 1 (C). Xác định m để y   x  m cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài x2. AB nhỏ nhất.. 2x 1 . Xác định k để đường thẳng y  kx  k  1 cắt (C) tại 2 điểm A, B x 1 sao cho khoảng cách từ A đến Ox bằng khoảng cách từ B đến Oy. 11/Cho hàm số y . V.. Các bài toán liên quan đên hình học phẳng đơn giản:  Dạng toán: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y  f ( x) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Phƣơng pháp chung:  Gọi điểm cần tìm có tọa độ  a, f (a)   Dựa vào giả thuyết suy ra phương trình theo a. Giải tìm a.  Các công thức liên quan:  Khoảng cách giữa điểm M   xo , yo  và đường thẳng  : ax  by  c  0 được tính bằng công thức:. d  M ,  . axo  by  c a 2  b2.  Điểm M cách đều hai trục thì xM  yM  xM   yM. 26.

(27) Ví dụ 1: Cho hàm số y . x2 (C). Tìm trên (C) điểm M cách đều hai trục tọa độ. x 1 Giải:.  m2 Gọi điểm M thuộc (C) có tọa độ M   m,   m 1  Do M cách đều hai trục tọa độ nên: m . m2 m 1. m2  m  m  1  m2  2   2  m  1  3 m  2 m    m  2m  2  0  m 1. . . . Vậy M  1  3; 5 3 3 , M  1  3; 5 3 3 Ví dụ 2:A-2014: Cho hàm số y . . x2 (C) . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng x 1. cách từ M đến đường thẳng y   x bằng. 2.. Giải:.  m2 Gọi điểm M thuộc (C) có tọa độ M   m,   m 1  Theo đề khoảng cách từ M đên đường thẳng x  y  0 bằng.  d M ,  . m. m2 m 1. 12  12. 2.  2. m2  2  2 m 1  m2  2  m 1  2 m  0  2  m  2 m  2   2  m  1 Vậy M   0; 2 , M  2;4 . 27.

(28) Các bài toán trong các kì thi: TNTHPT-2014: Cho hàm số y . 2 x  3 (C) x 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường thẳng y  x  3 3 TNTHPT-2013: Cho hàm số y  x  3x  1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viêt phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9. TNTHPT-2012: Cho hàm số y . 1 4 x  2x2 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ xo biết f " xo   1 TNTHPT-2011: Cho hàm số y . 2x 1 2x 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y  x  2 3 B-2014: Cho hàm số y  x  3mx  1 . Cho điểm A  2,3  . Xác định m để đồ thị hàm số có hai. điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A. 3 D-2014: Cho hàm số y  x  3x  2 (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại. M có hệ số góc bằng 9. 3 2 A-2013: Cho hàm số y   x  3x  3mx  1. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng  0,   3 2 D-2013: Cho hàm số y  2 x  3mx  (m  1) x  1 . Tìm m để đường thẳng y   x  1 cắt đồ thị. hàm số tại 3 điểm phân biệt. D-2012: Cho hàm số y . 2 3 2 x  mx 2  2(3m2  1) x  . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 3 3. và x2 sao cho x1 x2  2( x1  x2 )  1 D-2011: Cho hàm số y . 2x 1 . Tìm k để đường thẳng y  kx  2k  1 cắt đồ thị hàm số tại hai x 1. điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.. 28.

(29) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Lý thuyết: Cho hàm số y  f  x  xác định trên D f  x  m Nếu f  x   m x  D thì min xD f  x  M Nếu f  x   M x  D thì max xD. Bài Toán: Tìm Giá Trị Lớn Nhất- Giá Trị Nhỏ Nhất của hàm số y  f  x  trên.  a, b , a, b  ,  a, b ,  a, b  với a, b là các số thực hoặc.  :.  Bƣớc 1: Tìm tập xác định D suy ra hàm số liên tục trên  a, b ,  a, b  ,  a, b ,  a, b   Bƣớc 2: Tìm đạo hàm y '  f '  x  cho y '  0 tìm các nghiệm xi. f  x  ,lim f  x   Bƣớc 3: Tính các giá trị f  xi  , f  a  , f  b  hoặc lim x a x b  Bƣớc 4: Lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên để suy ra Giá Trị Lớn Nhất-Giá Trị Nhỏ Nhất ( Nếu có) của hàm số. Tìm Giá Trị Lớn Nhất- Giá Trị Nhỏ Nhất của hàm số y  f  x  :  Bƣớc 1: Tìm tập xác định D  Bƣớc 2: Tìm đạo hàm y '  f '  x  cho y '  0 tìm các nghiệm xi  Bƣớc 3: Tìm cực trị và giới hạn ( Nếu có)  Bƣớc 4: Lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên để suy ra Giá Trị Lớn Nhất-Giá Trị Nhỏ Nhất ( Nếu có) của hàm số. Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x  1  x với x  0,1 Giải: Tập xác định: D   ,1 Suy ra hàm số liên tục x  0,1 Ta có: y '  1 . 1 1 1 3 1  1  1  x   1 x   x  , y'  0  2 4 4 2 1 x 2 1 x. 3 5 Ta tính được: f    ; f  0   1; f 1  1 4 4 29.

(30) So sánh ta suy ra GTLN của hàm y  f  x  là. 3 5 khi x  4 4. GTNN của hàm y  f  x  là 1 khi x  0  x  1 Chú ý : Với việc xét GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn  a, b thì ta không cần lập BBT. Ví dụ 2 : Tìm GTLN-GTNN nếu có của hàm số y  x3  6 x 2  9 x  4 với x  1,   Giải : Tập xác định D=R suy ra hàm số liên tục trên 1,  . x  1 2 y '  0  y '  3 x  12 x  9 Ta có : , x  3 . y   Ta tính được : f 1  0 , f  3  4 , xlim  Bảng biến thiên : x. 1. y‟. 0. y. . 3. . . 0. . 0. 4. Dựa vào bảng biến thiên suy ra GTNN của hàm số là 4 khi x  3 và hàm không có GTLN. Ví dụ 3 : Tìm GTLN-GTNN của hàm số y . x x 1 2. Giải : Tập xác định D  0,   Ta có : y ' . 1  x2. 2 x  x 2  1 x 2  1. Ta tính được : f 1 . , y  0  x  1  x  1. 1 y0 , f  0   0 và xlim  2. Bảng biến thiên :. 30.

(31) x. 0. . y‟. . 1. . 0. 0. 0. y. Dựa vào bảng biến thiên suy ra :. 1 2. GTNN của hàm số là. 1 khi x  1 2. GTLN của hàm số là 0 khi x  0 Bài tập : 1) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x3  3x 2 trên đoạn  1; 2 2) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x . 1 trên khoảng 1,   x 1. 2 3) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x . 2 trên khoảng  , 0  x. 2 4) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x  x trên đoạn  1, 4. 5) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  1  x  1  x 1 2 2 6) Tìm GTLN-GTNN của hàm số f  x   x  x  4 x  x 4 2 7) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x  3  x ln x trên đoạn 1, 2 2 8) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x  ln 1  2 x  trên đoạn  2, 0. 9) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x . 9 trên đoạn  2, 4 x. 2 x 10 ) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x  x  e trên đoạn  1;1. 31.

(32) LƢỢNG GIÁC A. Các công thức:  Giá trị của các cung đặc biệt: Góc (  ). 0.  6.  4.  3.  2. . sin . 0. 1 2. 2 2. 3 2. 1. 0. cos . 1. 3 2. 2 2. 1 2. 0. 1. tan . 0. 1 3. 1. 3. Ko xđ. 0. cot . Ko xđ. 3. 1. 1 3. 0. Ko xđ.  Giá trị lƣợng giác của các góc có liên quan đặc biệt: Hai góc đối nhau. Hai góc bù nhau. sin( )   sin . sin(   )  sin . cos( )   cos . cos(   )   cos . tan( )   tan . tan(   )   tan . cot( )   cot . cot(   )   cot . Hai góc phụ nhau.   sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2 . Hai góc hơn kém nhau . sin(   )   sin  cos(   )   cos  tan(   )  tan  cot(   )  cot .   cot      tan  2 . 32.

(33)  Công thức lƣợng giác cơ bản: cot  . cos2   sin 2   1. 1  tan 2  . 1 cos 2 . 1 tan . 1  cot 2  . 1 sin 2 . cos(  k 2 )  cos . sin(  k 2 )  sin . tan(  k )  tan . cot(  k )  cot .  Công thức cộng: cos  a  b   cos a cos b sin a sin b sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b tan  a  b  . tan a  tan b 1 tan a tan b.  Công thức nhân đôi: cos 2  cos2   sin 2   2cos2  1  1  2sin 2  sin 2  2sin  cos . tan 2 . 2 tan  1  tan 2 . cos 2  . 1  cos 2 2.  Công thức hạ bậc: sin 2  . 1  cos 2 2.  Công thức nhân ba: sin 3  3sin   4sin3 . cos3  4cos3   3cos .  Công thức biến tích thành tổng: cos x cos y . 1 cos( x  y)  cos( x  y) 2. sin x sin y  . sin x cos y . 1 cos( x  y)  cos( x  y) 2. 1 sin( x  y)  sin( x  y) 2.  Công thức biến tổng thành tích:. 33.

(34) cos x  cos y  2cos. x y x y cos 2 2. cos x  cos y  2sin. sin x  sin y  2sin. x y x y cos 2 2. sin x  sin y  2cos. x y x y sin 2 2. x y x y sin 2 2. B. Phƣơng trình lƣợng giác: I.. Công thức nghiệm:  Công thức nghiệm:  cos x  cos y  x   y  k 2.  x  y  k 2  sin x  sin y    x    y  k 2  tan x  tan y  x  y  k  cot x  cot y  x  y  k  Các phƣơng trình đặc biệt:. .  k 2 cos x  1  x  k 2 cos x  0  x . cos x  1  x    k 2 sin x  0  x  k sin x  1  x .  2.  k 2. sin x  1  x  .  2.  k 2.  Phƣơng trình cơ bản: . sin x  a. cos x  a.  Nếu:. a  1 phương trình vô nghiệm..  Nếu:. a  1 phương trình có nghiệm..  Thay a  cos  , a  sin  rồi sử dụng công thức cơ bản. . tan x  a. cot x  a.  Đặt điều kiện cho x.  Thay a  tan  , a  cot  rồi sử dụng công thức cơ bản.. 34.

(35) II.. Các dạng toán: 1. Phƣơng trình bậc nhất theo sinx, cosx: a sin x  b cos x  c.  Điều kiện để phƣơng trình có nghiệm: a 2  b2  c2. a 2  b2.  Chia hai vế phƣơng trình cho. Pt . a a 2  b2. b. sin x . a 2  b2. cos x . c a 2  b2. a   cos   2  a  b2 Đặt :  b   sin  2 2   a b. Pt  cos  sin x  sin  cos x   sin( x   ) . c a 2  b2. c a 2  b2.  Các dạng quen thuộc:.     3 sin x  cos x  2sin  x    2cos  x  6 3       3 cos x  sin x  2cos  x  2sin    x 6  3 .     sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x  4 4   Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 3 sin x cos x  cos 2 x  1 Giải: Ta có:. 2 3 sin x cos x  cos 2 x  1  3 sin 2 x  cos 2 x  1.      2 x    k 2 x   k     1   6 3 4   sin  2 x    1  sin  2 x       6 6 2    2 x        k 2  x  5  k  6 3 12  Vậy phương trình có nghiệm x .  4.  k  x . 5 k  12 35.

(36) 2. Đặt ẩn phụ: a. Phƣơng trình bậc 2-3 theo một hàm số lƣợng giác: sin x  Đặt t   cos x. Điều kiện 1  t  1 3cos 2 x  5sin x  8  0. Ví dụ 1: Giải phương trình:. Giải: Ta có :. 3cos 2 x  5sin x  8  0  3 1  2sin 2 x   5sin x  8  0  6sin 2 x  5sin x  11  0 Đặt t  sin x  1  t  1. t  1 Pt  t  5t  11  0    t 1 t   11 (l ) 6  2. Suy ra: sin x  1  x .  2.  k 2 1  ( 2  1) tan x  3  2 cos2 x. Ví dụ 2: Giải phương trình:. Giải: Ta có:. 1  ( 2  1) tan x  3  2  tan 2 x  1  2 cos x. . . 2  1 tan x  3  2. Đặt t  tan x  t  R. Pt  t  1  2. . . 2 1 t  3  2  t . Với t  1  tan x  1  x . 2.  4. . t  1  2 1 t  2  2  0  t  2  2. .  k. Với t  2    tan x  2    tan   x    k Vậy phương trình có nghiệm x .  4.  k , x    k (với tan   2  2 ). 36.

(37) b. Phƣơng trình đối xứng theo sinx, cosx  Phƣơng trình chỉ chứa: sin x  cos x và sin x cos x. t 2 1  Đặt: t  sin x  cos x  sin x cos x  ; Điều kiện:  2  t  2 2 1 t2 ; Điều kiện:  2  t  2  Đặt: t  sin x  cos x  sin x cos x  2 Ví dụ 1: Giải phương trình:. 6(sin x  cos x)  sin x cos x  6  0. Giải: Đặt t  sin x  cos x  t 2  1  2sin x cos x Điều kiện:  2  t  2. t  1 1 t2 Pt  6t   6  0  t 2  12t  13  8   2 t  13(l ).   1   Suy ra t  1  sin x  cos x  1  2 sin  x    1  sin  x    4 4 2       x    k 2   x   k 2 4 4   2   x        k 2  x    k 2  4 4 Ví dụ 2: Giải phương trình:. 3sin x  2sin 2 x  3cos x  3. Giải: Ta có: 3sin x  2sin 2 x  3cos x  3   sin x  cos x   4sin x cos x  3  0 Đặt t  sin x  cos x  t 2  1  2sin x cos x Điều kiện:  2  t  2. t  1 Pt  t  2  t  1  3  0  t  3t  1  0   t   1  2 2. 2.   x    k 2  1   2 Với t  1  sin x  cos x  1  sin  x      4 2   x    k  Với t  .  x    k 2 1 1  1   sin x  cos x    sin  x      sin   2 2 4 2 2   x      k 2.  Vậy phương trình có nghiệm x    k 2, x    k 2 , x   k 2 , x     k 2  2 37.

(38) 3. Phƣơng trình tích: A  0 A.B  0   B  0  Các nhân tử chung cơ bản:  Nhân tử:. sin x  cos x. 1  sin 2 x   sin x  cos x  1  tan x . cos 2 x   cos x  sin x  cos x  sin x . 2. sin x  cos x cos x. 1  cot x .  1  sin  x     sin x  cos x  4 2   Nhân tử:.  1  cos  x     sin x  cos x  4 2 . sin x  cos x hay cos x  sin x. 1  sin 2 x   sin x  cos x  1  tan x . cos 2 x   cos x  sin x  cos x  sin x . 2. cos x  sin x cos x. 1  cot x . 1  cos x 1  cos x . sin 2 x  1  cos x 1  cos x   Nhân tử:. sin x  cos x sin x.  1  cos  x     cos x  sin x  4 2 .  1  sin  x     sin x  cos x  4 2   Nhân tử:. sin x  cos x sin x. tan 2 x . 1  cos x 1  cos x  cos 2 x. 1  sin x 1  sin x . cos2 x  1  sin x 1  sin x  Ví dụ 1: Giải phương trình:. cot 2 x . 1  sin x 1  sin x  sin 2 x.  2sin x  cos x 1  cos x   sin 2 x Giải:. 2 2 Ta có:  2sin x  cos x 1  cos x   sin x   2sin x  cos x 1  cos x   1  cos x.   2sin x  cos x 1  cos x   1  cos x 1  cos x  cos x  1  1  cos x  2sin x  2 cos x  1  0   sin x  cos x  1  2 38.

(39) 1  Giải tiếp ta được nghiệm x  k 2, x      k 2 ( với cos    ) 4 2 2 1  4sin x  4cos x  sin 2 x  2cos 2 x  0. Ví dụ 2: Giải phương trình:. Giải: Ta có:. Pt  1  sin 2 x  4  sin x  cos x   2cos 2 x  0.   sin x  cos x   4  sin x  cos x   2  cos x  sin x  cos x  sin x   0 2.   sin x  cos x  3cos x  sin x  4   0 sin x  cos x  0  3cos x  sin x  4  0  Đến đây các em tự giải tiếp thu được nghiệm x    k 2, x      k 2  4 Ví dụ 3: Giải phương trình:. cos3 x  cos2 x  5sin x  5  0 Giải:. Ta có:. Pt  cos2 x  cos x  1  5  sin x 1  0.  1  sin 2 x   cos x  1  5  sin x  1  0  1  sin x 1  sin x  cos x  1  5  sin x  1  0  1  sin x  sin x  cos x  sin x cos x  5   0 sin x  1  sin x  cos x  sin x cos x  5  0 Đến đây tự giải tiếp ta được nghiệm x  Ví dụ 4: Giải phương trình:.   k 2 2.  2cos x 1 2sin x  cos x   sin 2 x  sin x Giải:. Ta có :. Pt   2cos x  1 2sin x  cos x   2sin x cos x  sin x.   2 cos x  1 2sin x  cos x   sin x  2 cos x  1   2 cos x  1 sin x  cos x   0  2 cos x  1  0  sin x  cos x  0 Giải tiếp ta được nghiệm x  .    k 2, x    k2  3 4 39.

(40) C. Các hƣớng đánh giá biến đổi một phƣơng trình lƣợng giác: Đối với việc giải một phƣơng trình lƣợng giác thƣờng sẽ có rất nhiều cách và các bài toán về lƣợng giác trong đề thi càng ngày càng đơn giản. Chỉ cần nắm vững các biến đổi cơ bản là đƣợc nhƣng nếu ta đánh giá đƣợc sự đặc biệt của bài toán thì sẽ giải nó gọn gàng hơn. Sau đây là một vài định hƣớng về giải Phƣơng Trình Lƣợng Giác:  Bài toán chứa mũ bậc chẵn theo sinx, cosx: Hạ bậc hoặc biến đổi.. sin 4 x  cos4 x   cos2 x  sin 2 x   2sin 2 x cos2 x  1  2sin 2 x cos 2 x 2. sin 6 x  cos6 x   sin 2 x  cos2 x  sin 4 x  sin 2 x cos2 x  cos4 x   1  3sin 2 x cos2 x  Bài toán chứa nhiều số hạng của x nhƣ: x, 2x, 3x, 4x, 5x, …  Nếu cho dưới dạng tổng thì ta biến tổng thành tích để đặt nhân tử chung.  Nếu cho dưới dạng tích thì ta biến tích thành tổng để rút gọn  Nhóm hạng tử sao cho các số hạng của x tỉ lệ.  Nếu chỉ chứa các số hạng x, 2x, 3x thì ta dùng công thức nhân đôi, nhân ba.  Bài toán chứa số hạng của x và k ; chứa x, riêng. k thì ta đưa về 4.  Bài toán có chứa  Biến đổi thành. k k ; thì ta sử dụng công thức để đưa về chỉ 2 4.    x   rồi tách để xuất hiện sin x  cos x 4 . 3; 2 :. 3 sin   cos  hay. 3 cos   sin  đưa về phương trình cơ bản..  Nhóm thừa số chung tương ứng với giá trị chứa. 3; 2 để đưa về phương trình tích..  Bài toán chứa số hạng tự do : Hướng biến đổi là làm triệt tiêu số hạng tự do, nếu không triệt tiêu được thì ta nghĩ đến đặt ẩn phụ hoặc nhóm nhân tử chung. Thường thì số hạng tự do là 1: ta dùng các công thức sau để triệt tiêu 1. 1  sin 2 x   sin x  cos x . 2. 2cos2 x  1  cos 2 x. 1  2sin 2 x  cos 2 x. 1  cos 2 x  2cos2 x. 1  cos 2 x  2sin 2 x. 40.

(41) Bài tập: 2. x x  1)  sin  cos   3 cos x  2 2 2 . 2) cos3x  cos 2 x  cos x 1  0 3) sin x  4cos x  2  2sin 2 x 4). 2  sin  2cos x   2  sin 2 x. 5) 2 2 sin x  tan x  1 6). 2     sin 3x  cos  x    sin  2 x   2 4 4  .    3  4 4 7) cos x  sin x  cos  x   sin  3x     0 4  4 2  8) 2sin x 1  cos 2 x   sin 2 x  1  2cos x 9). 3 cos5x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0. 10). 3   tan x  sin x  cot x  sin  x   2  . 11). sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x. 12). cot x  tan x  4sin 2 x . 13). 5sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x. 14). 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0. 15). x  cot x  sin x 1  tan x tan   4 2 . 16). 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sin x. 17). sin3 x  3 cos3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x. 18). sin x  cos x sin 2 x  3 cos3x  2(cos 4 x  sin 3 x). 19).  sin 2 x  cos 2 x  cos x  2cos 2 x  sin x  0. 20). sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x. 21). 2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x  1. . 2 sin 2 x. . 41.

(42) 22). sin 5x  2cos2 x  1. 23). 2  sin x  2cos x   2  sin 2 x. 24). 3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1. 25).   1  tan x  2 2 sin  x   4 . 26). sin x  4cos x  2  sin 2 x. 27). 2cos2 2 x  2cos2 x  1  4cos 2 x sin 2 2 x. 28). 2cos 2 x  8cos x  7 . 1 cos x. Mới nhất từ đề mẫu của bộ: 1) Cho góc  thỏa mãn.  3 tan      và sin   . Tính A  2 5 1  tan 2 . 2) Cho góc  thỏa mãn    . 3 3 cot  và sin    . Tính A  2 5 1  tan . 3) Cho góc  thỏa mãn 0   .  4 cot   tan  và cos   . Tính A  2 5 cot   tan . tan 2   sin   1 4) Cho góc  thỏa mãn     và sin   . Tính A  cot 2   cos  2 3 5) Cho sin   cos  . 4 . Hãy tính giá trị của các biểu thức: 5. a) A  sin  cos  b) B  sin   cos  c) C  sin3   cos3  6) Cho tan   cot   2 . Hãy tính giá trị của các biểu thức: a) A  tan 2   cot 2  b) B  tan 4   cot 4  c) C  sin   cos . 42.

(43) PHƢƠNG TRÌNH BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Mũ và Lũy Thừa: Tính chất:. a x .a y  a x  y. n. ax  a x y y a. n. a  x. y. a na  n b b.  .  a xy. a x .b x   ab  ax  a    bx  b . a n b  n ab. n. x. a. m n. x. k.  n ak. a  m.n a. m n. a  n am .   n. m. a. 1 n. a na. Hệ quả :. Tính chất bất đẳng thức : + Với a  1. :. ax  a y  x  y. + Với 0  a  1. :. ax  a y  x  y. + Với 0  a  b. :. a x  bx  x  0 a x  bx  x  0. Logarit Định nghĩa: Cho 0  a  1, b  0 khi đó tồn tại duy nhất số thực  sao cho a  b . Số  đó được gọi là logarit cơ số a của b. Kí hiệu :. log a b. Có nghĩa :. log a b    a  b. Điều kiện để log a b có nghĩa : 0  a, a  1và b  0 Logarit tự nhiên và logarit thập phân : + Logarit tự nhiên : ln x  loge x n.  1 Với e  lim  1    2, 718281828... x   n. + Logarit thập phân : lg x  log x  log10 x. 43.

(44) Các tính chất về logarit : Tính chất đẳng thức : Cho a  0, a  1  log a 1  0 và log a a  1  log a x. y  log a x  log a y Mở rộng :. log a x1 x2 ...xn  log a x1  log a x2  ...  log a xn. Hệ quả :. log a a N  N. Đk : xi  0. log a x M  M .log a x  log a . Hệ quả :. x  log a x  log a y y. log a b  log c b log a c. 1 log a x N. log aM b N . Đk : x, y  0. hay log a c.logc b  log a b. 1  logb a log a b  log a N x . Hệ quả ;. Đk : x  0. N log a b M. Đk : b, c  0, c  1. Đk : b  0, b  1 Đk : x  0 Đk : x  0. log b  a a b log x log a  a b x b. Tính chất cho bởi bất đẳng thức : :. log a x  log a y  x  y. + Với 0  a  1 :. log a x  log a y  x  y. + Với a  1. 44.

(45) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT x A. Hàm số mũ: y  a (a  0, a  1). 1. Đạo hàm: Hàm mũ. Hàm hợp. (e x ) '  e x. (eu ) '  u'.eu. (a x ) '  a x .ln a. (au ) '  u '.au ln a ex 1 lim 1 x 0 x. 2. Giới hạn: 3. Tính chất và đồ thị:  Tập xác định. :. D=R.  Tập giá trị. :. T  (0; ).  Sự biến thiên. :. y '  a x .ln a. + Nếu a  1  y '  0 : hàm số đồng biến x. + Nếu 0  a  1  y '  0 : hàm số ngịch biến. . . y’. x. . . y’. + . y. y. . . 0. 0 1   Đồ thị: Luôn đi qua 3 điểm  0,1 , 1, a ,  1,  a . . Nhận y=0 làm tiệm cận ngang. 0  a 1. a 1. y. y. 1. 1 O. x. O. x. 45.

(46) Hàm số Logarit: y  log a x (a  0, a  1, x  0) 1. Đạo hàm: Hàm hợp. Hàm logarit (ln x) ' . 1 x. (log a x) ' . (ln u ) '  1 x.ln a. u' u. (log a u ) ' . u' u.ln a. ln(1  x) 1 x 0 x. lim. 2. Giới hạn: 3. Tính chất và đồ thị:  Tập xác định. :. D  (0; ).  Tập giá trị. :. T=R.  Sự biến thiên. :. y' . 1 x.ln a. + Nếu a  1  y '  0 :hàm số đồng biến x. . 0. y. x. +. . 0 . y . y. + Nếu 0  a  1  y '  0 : hàm số ngịch biến. y. . . . 1 1)  Đồ thị: luôn đi qua ba điểm (1;0),( a;1),( ;  a.  Nhận x=0 làm tiệm cận đứng. a 1. 0  a 1. y. 1. 1 O. y. x. O. x. 46.

(47) Phƣơng trình, Bất phƣơng trình mũ và logarit: Đƣa về cùng cơ số: Mũ. Logarit. a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x).  f ( x)  0 log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x). a f ( x)  a g ( x). log a f ( x)  log a g ( x). Nếu a  1 :.  f ( x)  g ( x ). Nếu 0  a  1 :.  f ( x)  g ( x)   g ( x)  0.  f ( x)  g ( x).  f ( x)  g ( x)   f ( x)  0. Ví dụ 1: Giải các phương trình mũ sau:. 1 3 x2 x 3 a) 2  .4 2. b) 3.2x1  5.2x  2x2  21. c) 2x1  3x  3x1  2x2. Giải: a) Ta có:. 1 8 2 3 x 2 2 x 3  .43 x 2  2 x 3  21.2    2 x 3  26 x 5  x  3  6 x  5  x  2 5 b) Ta có:. 3.2x1  5.2x  2x2  21  3.2.2x  5.2x  22.2 x  21  7.2 x  21  2 x  3  x  log 2 3 c) Ta có: x. 2. x 1. 3  3 x. x 1. 2. x2. 2x 3x 9 x 4 x 2x 8 2 2 x 2 x   3   2 .2  .2  .3  x      2 3 2 3 3 27 3 3. 3.  x3. Ví dụ 2: Giải các phương trình: 2 a) log 1  x  x   1. 2 b) log 2 x  1  log 2  x  x . 6. c) 4log 4  x  2   log 1  x  1  2 2. 2. Giải: 2 2 2 a) Ta có : log 1  x  x   1  log 61  x  x   1  log 6  x  x   1 6. 47.

(48) 2  x  0  x  1 x  0  x  1 x  x  0  2    x  3  x  2   2 1 x  x  6  x  3  x  2 x  x  6  0 . x  0 x  0   x 1   b) Ta có điều kiện: 2 x  0  x  1 x  x  0   Pt  log 2 x  log 2 2  log 2  x 2  x   log 2. x x  log 2  x 2  x    x 2  x 2 2.  x  0(l ) 3   x  3x  0   x 3  x  ( n) 2  2 2.   x  2 x  2  0  c) Ta có điều kiện:  2  x  1   x  1  0 Pt  4 log 22  x  2   log 21  x  1  2  2 log 2  x  2   2 log 2 x  1  2 2.  log 2  x  2   1  log 2 x  1  log 2  x  2   log 2  2 x  1   x  2  2 x  1   x  2   4  x  1 2. 2.  x  0(n)  3x  4 x  0    x   4 ( n) 3  2. Chú ý: Với bài toán biểu thức của log có mũ chẵn thì khi đưa lũy thừa ra thì phải lấy trị tuyệt đối của biểu thức để tránh trường hợp thiếu nghiệm khi giải. Ví dụ 3: Giải các bất phương trình: 1 a)   2. x 1.  2 x 1. b) ln  x  1  2ln x  2  0. c) log 1 x  2  log 1  2 x  1 2. 2. Giải: 1 a) Ta có:   2. x 1.  2 x 1  21 x  2 x 1  1  x  x  1  x  0. x 1  0  x  1 b) Ta có điều kiện  x  2  0. Pt  ln  x  1  2ln x  2  0  ln  x  1  ln  x  2   0  ln  x  1 x  2   0   x  1 x  2   1  x 2  3x  1  0  x  3  5  x  3  5 Kết hợp điều kiện x  3  5 48.

(49) x  0  x0 c) Ta có điều kiện  2 x  1  0 Pt   log 2 x  2  log 2  2 x  1  log 2  2 x  1  2  log 2 x  log 2  2 x  1  log 2  4 x   2x 1  4x  x . 1 2. Kết hợp điều kiện x . 1 2. Bài tập: 1) Giải các phương trình mũ sau: 2 x1  a) 27. x 2. 9 27. 2 x 3  c) 0.125. b). 232 x 4. 1 x2 .5  5.1252 x 1 25. d) 2x2.5x2  23 x.53 x x. 3 2. x. 1 2.  32 x 1. e) 7  9.5  5  9.7. f) 9  2. g) log5  2 x  4   1  0. 2  x  h) log5  x  1  2log5    x 1 . i) 3log x  log x  5. j) log3 x  log9 3x  log 27 x . 3x. 2x. 2x. 3x. x. 2 k) log 2  x  3  log 1 5  log 1  x  1  log 4  x  1 2. 2. 2. 5 3. 2. 4. 2) Giải các bất phương trình sau:. 1 b)   2. 1 2 x 1  .4 x  2 a) 2 2 c). . e) 4. . 2 1 x 1 2. g) log. x2  x. . . . 2 1. 6 2 x. . x2  2 x. d) 3  2. 1  2  4.   x. x. . 2 1. 3 x 2 5.  2 x 3  2 x  4  5x 1  5x  2. f) log3  x  8  2  log9 x.  x  1  log2  5  x   1 2. 1 5   h) 2log  x    log  x  1  log  x    log 2 2 2  .   i) log 2 log 1  x  1   1  2 . x 1 j) log5  3.5  10   x. 49.

(50) Đặt ẩn phụ: Bài toán phƣơng trình có thể đƣa về một hàm số nhất định: . f  a h ( x )  Đặt t  ah( x )  DK : t  0 .. . f  log a h( x)  Đặt t  loga h( x)  DK : t  R.  Đối với hàm mũ thì ta cứ đưa tất cả về cùng mũ hoặc cùng cơ số.  Đối với hàm logarit thì đưa tất cả về cùng cơ số.. Ví dụ 1: Giải các phương trình: a) 4x  3.2x  2  0. b) 52 x. 2. 1.  20.5x  52 2. c) 21. x.  21. x. 5. Giải: a) Đặt t  2x  4x  t 2  t  0 2x  1 t  1 x  0 Pt  t  3t  2  0    x  t  2 x  1 2  2 2. b) Ta có: 52 x. 2. 1.  20.5x  25  5.52 x  20.5x  25  0  52 x  4.5x  5  0 2. 2. 2. 2. 2. Đặt t  5x  t 2  52 x  t  0 2. 2. 2 2 t  1(l ) 1 Pt  t 2  4t  5  0    5x   5x  5  x 2  1  x  1 5 t  5. 1 c) Ta có: 2. Đặt t  2. x. x.  21. x.  5  2. x. . 2 2. x. 5. t 0. 2 t  2 2 2 2 Pt  t   5  t  2  5t  t  5t  2  0   1   2 t  t   2. x. 2. x. . 1 2.  x 1   x 1  x  1(vn) Ví dụ 2: Giải các phương trình: 2 3 a) log 2 x  log 2 x  4  0. b) log3 x  log x 9  3. c) 3log x 4  2log 4 x 4  6log16 x 2. Giải: a) Ta có điều kiện x  0 :. log 22 x  log 2 x3  4  0  log 22 x  3log 2 x  4  0 50.

(51) Đặt t  log2 x  t  R. 1  1 x t  1 log 2 x  1  x  2  Pt  t  3t  4  0      2 4  t  4 log x  4 x  2   2   x  16 2. x  0 2 3 b) Điều kiện  : log3 x  log x 9  3  log3 x  2log x 3  3  log 3 x  log3 x x  1 Đặt t  log3 x  t  R  x  31 log3 x  1 t  1 x  3 2 2 Pt  t   3  t  3t  2  0      x  9 2 t t  2  log3 x  2 x  3. x  0 x  0 x  1 x  1      c) Điều kiện 4 x  1   x  1/ 4  16 x  1   x  1/16 Pt   log x 2  4 log 4 x 2  6 log16 x 2  . 3 2 3   log 2 x log 2 4 x log 2 16 x. 3 2 3 3 2 3      log 2 x log 2 4  log 2 x log 2 16  log 2 x log 2 x 2  log 2 x 4  log 2 x. Đặt t  log2 x  t  R. 3 2 3    3  t  2  t  4   2t  t  4   3t  t  2  t 2t 4t 1  x   log 2 x  1 t  1 2  t 2  4t  3  0     t  3 log 2 x  3 x  1  8 Pt . So sánh với điều kiện nhận cả hai nghiệm. x x Phƣơng trình đẳng cấp theo a , b :. Nhận diện: Có thể phân tích các tất cả các cơ số của mũ trong phương trình về hai cơ số giống nhau..  . x  Chia hai vế của phương trình cho a. n. thường thì n=2,3 và a là cơ số bé hơn.. x. b  Đặt t     DK : t  0 a 51.

(52) 2.4x  6x  3.9x. Ví dụ 1: Giải phương trình:. Giải: x x x x x x x x x Nhận diện được rằng 4   2  , 6  2 .3 ,9   3  đưa về được theo 2 ,3 2. 2. x x x x Để dễ nhận xét ta biến đổi thành như sau: 2. 2   2 .3  3. 3  2. 2. x x x x Đó là phương trình đẳng cấp bậc 2 theo 2 ,3 , ta chia 2 vế cho  2   4 2. 2x. x. 3  3 Pt  3.       2  0 2  2 x. 3 Đặt t     t  0 ta giải bài toán rất đơn giản. 2 Chú ý:.  . x  Ở đây ta chia cho 2. 2.  . x chứ không nên chia cho 3. 2. , Vì sao?.  Vì khi chia cho mũ có cơ số bé hơn thì ẩn phụ ta nhân được sẽ có cơ số lớn hơn 1, để tránh các trường hợp sai sót về sau. x  Ngoài ra ta có thể giải bằng cách chia 2 vế cho 4 x hoặc 6 x hoặc 9 . Chia cho cái. nào cũng ra cả. Ví dụ 2: Giải phương trình:. 3.8x  4.12x 18x  2.27 x  0. Giải:.  .  . 3. x x x x x x x x x x Nhận diện: 8  2 ,12  4 .3 ,18  2 .9 , 27  3. 3. x x đưa về theo 2 ,3. Trước tiên ta phân tích phương trình thành:. 3.23x  4.22 x.3x  2x.32 x  2.33x  0 x x Dễ thấy đó là phương trình đẳng cấp bậc 3 theo 2 ,3. x. 3x. Chia hai vế cho 2. 3 rồi đặt t    ta thu được phương trình: 2. 3  4.t  t 2  2.t 3  0 Bài toán được giải quyết.. 52.

(53) Bài toán liên hiệp: Ví dụ 1: Giải phương trình:. (2  3) x  (2  3) x  4. Giải: x Suy ra (2  3) . x Đặt: t  (2  3)  t  0. 1. 2  3  .  2 3 t  2  3 1  2 Pt  t   4  t  4t  1  0    t t  2  3  2  3.  . x. x. x. . 1 t.  2 3. x  1   x  1  2 3. Chú ý: Dạng toán mà cơ số có dạng (a   b ) và (a   b ) với (a   b )(a   b )  1 Ta luôn đặt ẩn phụ t  (a   b ) f ( x ) (3  2 2). Ví dụ 2: Giải:. 2 x. 1 x.  2(1  2). 2 x. 1 x. 1  0. Giải :. . . Với bài toán này ta thấy 3  2 2  1  2. . Đặt : t  1  2. . 2 x. 1 x. .  3 2 2. . 2 x. 1 x. 2.  t2. Pt  t 2  2t  1  0 Với những bài toán chứa căn thức dạng này ta biến đổi theo 1 trong 2 hƣớng của 2 ví dụ Bài tập : 1) Giải các phương trình: a) 4x  2.2x  8  0. b) 5.25x  6.5x  1  0. c) 52 x1  5x1  250. d). e) 3x  6.3 x  1  0. f) 5x2  51 x  30  0. g). 9 2. i) 2. x 2. x2  x. . 10  4 4. 2. 2 x  x2. 5 4  1  0 9 x 3x. x 2. x h) 9. 5. x x x k) 9.4  5.6  4.9. 2. 1.  36.3x. 2 x  1 x. j) 3. 3. 2 x x. 2. 3. 3 0. 4 0. x x x l) 3.16  4.9  7.12. 53.

(54) m) 3.25x2  5.9x2  8.15x2. .  . .   3  2 2 . o) 2  3. x. q) 3  2 2.  2 3. . x.  14. x. x. 6. n) 8x  18x  2.27 x p). . 2 3. . r) 2  3. .   x. 2 3.  4. . . . x2  2 x 1. x.  2 3. x 2  2 x 1. .  2 2 3. . 2) Giải các phương trình: 2 a) log 2  x  1  log 2  x  1  2 3. c) log 2 x  4 . 3log 2 x  2 log 2  x / 4 . e) log x 2  log 4 x . 7 0 6. 2 2 b) log3 x  5log3 9 x  1. d) log 2 x  log x 2  f) log. 5 2. 2  4log 4 x 2  9  0. x. log8 4 x log 2 x  log 4 2 x log16 8 x. g) log 2 x 64  log x2 16  3. h). 3 2 i) 5log x x  log 9 x  8log9 x2 x  2. x x j) log 2  4.3  6  log2  9  6  1. 9. x. x k) log3  9  8  2  x. x l) log7  6  7   x  1. x x m) log3  3  1 log3  3.3  3  6. n) 3 log3 x  log3 3x  1. 3) Giải các bất phương trình sau: 2. 1.  2.3x. 2. 1.  15  0. a) 52 x  5x  4. x b) 9. c) 7 x  3.7 x1  4. d) 32 x  32 x  30. e) 3.9  6  2.4 2x. . g) 2  3. 2x.   x. 1 x.  2 3. 1 x. 1 x. f) 5.36  2.81  3.16  0. 2x. . x. 4. . h) 1  2. . x 1. .  3 2. . x.  2. 3 i) 4log 2 x  3log 2 x  2  0. 2 j) log3  x  1  8log  x  1  . 5 k) log x 5  log5 x  2.   19  2 x l) log 4 19  2  log 2   8 . m) log x 2.log 2 x 2  log 4 x 2. 2 n) 2log 2 x  3log 2. x o) log3  9  2   x  1. x 1 p) log5  5  20     x. 2. 3. x.    1 . x  11 4. 54.

(55) Phƣơng pháp hàm số : Nhận diện : Phƣơng trình, bất phuơng trình chứa nhiều hàm số khác nhau nhƣ vừa mũ vừa đa thức, vừa logarit vừa đa thức, vừa mũ vừa logarit và ta không giải bằng các phƣơng pháp trên đƣợc. Chứng minh nghiệm duy nhất : Phương pháp chung :  Nhẩm nghiệm.  Đặt điều kiện (D), chuyển tất cả về 1 vế Pt  f ( x)  0  Xét hàm y  f ( x) và chứng minh hàm đơn điệu x  D  Nếu f ( x)  0 có nghiệm trong D thì đó là nghiệm duy nhất. Đối với bất phương trình:  Nếu f(x) đồng biến:. f ( x)  f ( )  x  .  Nếu f(x) nghịch biến:. f ( x)  f ( )  x  . 5x  7  2 x. Ví dụ 1: Giải phương trình:. Giải: Pt  5x  2 x  7  0 f ( x)  5 x  2 x  7. Xét hàm. f ' ( x)  5x.ln 5  2  0 x Suy ra hàm f(x) đồng biến Ta thấy f (1)  0  x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.. 2x  3x  5x. Ví dụ 2: Giải bất phương trình:. Giải: x x x ' x x x Nếu ta đặt f ( x)  5  3  2  f ( x)  5 ln 5  3 ln 3  2 ln 2 ta không chứng minh. ' được f ( x)  0or  0. Do 2 vế của phương trình đều là hàm đồng biến nên ta chia 2 vế cho 5 x x. x.  2 3 Bpt        1  5 5 x. Xét hàm. x.  2  3 f ( x)        1  5 5 55.

(56) x. x. 2  3 3 2  f ( x)    ln    ln 5 5 5 5 '. 2 3 ' Do ln  0, ln  0  f ( x)  0 x 5 5. Suy ra hàm f(x) nghịch biến. Ta thấy f (1)  0  f ( x)  f (1) x  x  1 Suy ra tập nghiệm của bất phương trình S   ;1 Chú ý: Với dạng tổng của nhiều mũ với các cơ số khác nhau trước khi xét hàm ta phải chia cho số mũ lớn nhất hoặc bé nhất. Ví dụ 3: Giải phương trình:. log5  x  4   5  x Giải:. Nhẩm được nghiệm x=5 Ta có: log5  x  4   5  x  log5  x  4   x  5  0 điều kiện x  4 Xét hàm :. f  x   log5  x  4  x  5 với x  4.  f ' x . 1  1  0 với mọi x  4  x  4  ln 5. Hàm số đồng biến Ta thấy f  5  0 nên x=5 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 4: Giải bất phương trình:. 2x 1  log3 x  2  x Giải:. Nhẩm được nghiệm x=1 Ta có: 2 Xét hàm. x 1. 2x  log3 x  2  x   log3 x  x  2  0 điều kiện x  0 2 2x f  x    log3 x  x  2 2 2 x.ln 2 1  f ' x    1  0 với mọi x  0 2 x ln 3. Hàm số đồng biến Ta thấy f 1  0  f x   f 1   x  1 . Kết hợp điều kiện suy ra S   0,1 56.

(57) Bài tập: 1) Giải các phương trình sau: a) 2x  2  x. b) 31 x  x. c) 3x2   x  2. d) 22 x1.3x1  6  x. e) 2x  3x 1  4.5x. f) 7 x  2.3x  1. g) 1  2x  3x  6x1. h) 9x  5x  4x  2 20x. 2) Giải các phương trình sau: a) log 2 x  2 x  0 c) log 1. x  2x  9. b) log3 x  4  x d) log. 5. 1  x   2 x  10. 2. e) log 2 x  log3  x  2   1. f) log3 x  log5  x  2   4  x. 57.

(58) TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A. NGUYÊN HÀM Từ định nghĩa ta có các công thức nguyên hàm của các hàm thƣờng gặp sau:.  0.dx  C  dx   1.dx  x  C x 1  x .dx    1  C , (  1) 1  x .dx  ln x  C . e. x. 1  ax  b  ax  b dx   C , (  1)    a  1 1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C 1 ax b ax  b e dx  e C  a 1  ax b ax  b   dx  a ln   C cos  ax  b  C  sin  ax  b  dx   a sin  ax  b  cos ax  b dx  C    a 1 1  cos 2  ax  b  dx  a tan  ax  b   C . .dx  e x  C. ax  a .dx  ln a  C cos kx sin kx . dx   C  k sin kx  cos kx.dx  k  C 1  cos2 x .dx  tan x  C 1  sin 2 x .dx   cot x  C x.  1. 1 1 dx   cot  ax  b   C  sin 2  ax  b  a. Tính chất cơ bản của nguyên hàm:  Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên D thì:.   f ( x)  g ( x).dx   f ( x).dx   g ( x).dx  Với mọi số thực k  0 thì:.  k. f ( x).dx  k  f ( x).dx. 58.

(59) I.. Các phƣơng pháp tính nguyên hàm: 1. Phƣơng pháp biến đổi: Biến đổi các hàm số cần tìm nguyên hàm trở thành tổng hoặc hiệu các hàm số cơ bản có công thức tính. 2. Phƣơng pháp đổi biến số: Định lí: Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên D và hàm số y  f (u ) liên tục sao cho f (u( x)) xác định trên D. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức là:.  f (u)du  F (u)  C thì :  f u( x) u '( x)dx  F u( x)  C. Có nghĩa là :.  f ( x)dx   f u .u '( x)dx  F u( x)  C (*).  Các bƣớc tìm nguyên hàm bằng phƣơng pháp đổi biến số:  Bƣớc 1: Biến đổi hàm cần tìm nguyên hàm sao cho có dạng giống như (*)  Bƣớc 2: Đặt t  u( x)  dt  u '( x).dx  Bƣớc 3: Thay t và dt vào rồi tìm nguyên hàm theo t.  Bƣớc 4: Lấy kết quả tìm được theo t thay t thành u ( x) . 3. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần: Định lí: Nếu hai hàm u, v có đạo hàm liên tục trên D thì:.  u( x).v '( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u '( x)dx Viết gọn:.  udv  uv   vdu. Sử dụng phương pháp từng phần khi hàm cần tìm nguyên hàm được cho dưới dạng tích của các hàm số khác nhau: đa thức,phân thức, lượng giác, mũ, logarit.  Các bƣớc tìm nguyên hàm từng phần:  Bƣớc 1: Chọn u và dv, hướng chọn sao cho v.du đơn giản hơn.  Bƣớc 2: Suy ra du và chọn v phù hợp.  Bƣớc 3: Thay vào tính nguyên hàm.  Cách chọn u, dv cơ bản :  Nếu hàm cần tìm nguyên hàm có chứa hàm lnx thì đặt u là lnx.  Nếu hàm cần tìm không chứa lnx thì đặt u là hàm đa thức. 59.

(60) B. TÍCH PHÂN. I.. Định nghĩa:  Cho hàm số f(x) có nguyên hàm và xác định trên [a;b], khi đó tích phân từ a đến b của hàm f(x) được kí hiệu: b. . f ( x)dx  F ( x). a. b a.  F (b)  F (a). + F(x) là một nguyên hàm của f(x). + a: cận dưới của tích phân. + b: cận trên của tích phân.  Các tính chất: Cho các hàm số f, g liên tục trên D và a, b, c là ba số bất kì thuộc D. Khi đó ta có: a. 1)  f ( x)dx  0 a. b. a. 2)  f ( x)dx    f ( x)dx a. b. b. b. a. a. 3)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx b. b. b. a. a. a. 4)   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx b. c. c. a. b. a. 5)  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b. 6) f ( x)  0;   a, b    f ( x)dx  0 a b. b. a. a. 7) f ( x)  g ( x);   a, b    f ( x)dx   g ( x)dx b. 8)m  f ( x)  M ;    a, b   m(b  a )   f ( x)dx  M (b  a) a.  Đặc biệt: Tích phân của cùng một hàm số nhưng khác biến số trên cùng một đoạn [a,b] thì bằng nhau: b. b. b. a. a. a.  f ( x)dx  f (t )dt  f (u )du 60.

(61) Các phƣơng pháp tính tích phân:. II.. 1. Phƣơng pháp biến đổi: Sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa các hàm số cần tìm tích phân về tổng hiệu của các hàm có công thức nguyên hàm. Các phép biến đổi cơ bản:  Chia đa thức.  Tách biểu thức dưới dấu trị tuyệt đối. Cho biểu thức bằng 0 giải tìm nghiệm đem so sánh với hai cận rồi tách thành nhiều tích phân.  Tách mẫu dạng tích.  Biến đổi lượng giác. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: . 2x 1 dx a)  2x 1 0 1. 2. b). x. 2.   cos 2.  x  2 dx. c). 0. 2. x  1dx. 0. Giải: 1 1 1 2x 1 2x 1 2 2   dx   dx    2  a)  dx   2 x  2ln 2 x  1  0  2  2ln 3 2x 1 2x 1 2x 1  0 0 0 1. 2. b). x. 1. 2. 2. 1. 2.  x  2 dx   x  x  2 dx   x  x  2 dx     x  x  2 dx    x 2  x  2 dx 2. 0. 2. 0. 2. 1. 0. 1.  x3 x 2  1  x3 x 2 2 5      2x      2x    3  3 2 0  3 2 1 . . . . 2 3 3  3  1  cos 2 x  1 1  1dx    cos 2 x  dx   sin 2 x  x  2  c)   cos x  1dx    2 2 2 2  4  4 0 0 0 0 2. 2. 2. Ví dụ 2: Tính các tích phân: 1. 1 dx a)  2 x  1 0. x2  x dx b)  x  1 x  2  1  0. 1. c).  0. 2x dx x 1 1. Giải: 1 1 1 x  1   x  1  1 1 1  1 1  dx  dx  dx   a)  2     x  1 x  1  dx x  1 x  1 x  1 2 x  1 x  1 2       0 0 0 0 1. 61.

(62) 0 0   x2  x x2  x  2  2 2 dx   dx   1   dx b)  x  1 x  2 x  1 x  2 x  1 x  2          1 1 1   0. 0  2 x  2   x  1   2  1 1  2 2  0   1  .   dx   1  .    dx   x  ln x  1  ln x  2  1 3  x  1 x  2   3  x  1 x  2  3 3   1  1  0. 4   ln 2  1 3 2 2x dx   x 1 1 0. 1. 1. . c). 0. 2  2 3.  x  1. 3. . . x 1 1.  dx  2. x  1 1. x 1 1. . . 2 x  1  1 dx  2  3. 1. 0.  x  1. 3. 1  x 0.  1 8 2  10  x  3 0. Bài tập: Tính các tích phân:. x3  x  2 dx a)  x2 1. b).  2. c)  sin xdx 2. 2. d). 3. x. 2. 2.  3x  2 dx. f). 1. 2x  2 dx g)  2 x  2 x  1 0 2 x2  x dx i)  x  1 x  2    1 2x dx 2x 1 1.  0. 2. m). 1 dx x 1  x 1.  1. 0. o). . 1. 3. x dx x 1 1. 2. 1 dx 9. 2x  3 1 x2  3x  2dx 0. h). 5. 2. k). x 1. 1. 4.  x  1dx 0. 0. e). x2 0 x  1dx 1. 3. j). . x dx x 1. 12. 1 dx x4 2. 2. l).  5. 1. n).  0 1. p).  0. x dx 2 x  1  3x  1 3x dx 3 2x 1  3 x 1. 62.

(63) 2. Phƣơng pháp đổi biến số: Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên D và hàm số y  f (u ) liên tục sao cho f (u( x)) xác định trên D, a và b là hai số thuộc D khi đó ta có: u (b ). b.  f u( x).u '( x)dx   a. f (u )du. u (a).  Các bƣớc tìm tích phân bằng phƣơng pháp đổi biến số:  Bước 1: Biến đổi hàm cần tìm tích phân.  Bước 2: Đặt t  u (x)  dt  u '(x ).dx  Bước 3: Đổi cận.  Bước 4: Thay t vào tính tích phân theo biến t.  Các nhận diện cơ bản : b.  f  x  .x n. n 1. Đặt t  xn  dt  n.xn1dx. dx. a b.  f  sin x  cos xdx. Đặt t  sin x  dt  cos xdx. a b.  f  cos x  sin xdx. Đặt t  cos x  dt   sin xdx. a. b.  a. f  ln x  dx x. 1 Đặt t  ln x  dt  dx x. b.  f  e  dx x. Đặt t  e x  dt  e x dx. a. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: . 1. x a)  2 dx x 1 0. 2. e. ln x dx c)  x 1. b)  sin x.dx 3. 0. 1. d). 1 0 e x  1 dx. Giải: 1. x a)  2 dx x 1 0. 2 Đặt: t  x  1  dt  2 xdx . 1 dt  xdx 2. 63.

(64) x  0  t  1 Đổi cận  x  1 t  2 1. 2 2 1 x 11 1 dx  dt  ln t  ln 2 Suy ra  2  1 x  1 t 2 2 2 0 1. . . 2. b).  sin. . xdx   sin x sin xdx   1  cos 2 x  sin xdx 2. 3. 2. 2. 0. 0. 0. Đặt t  cos x  dt  sin xdx. x  0  t  1   Đổi cận  x t 0  2 .  t3  0 2 1  cos x sin xdx  1  t dt  t          Suy ra  1 3 1 3  0 0. 2. 2. e. c). ln x dx x 1. . Đặt: t  ln x  dt . 2. 1 dx x. x  1 t  0 Đổi cận  x  e  t  1 e. 1 ln x t2 1 1 dx   tdt   Suy ra  0 x 2 2 1 0 1. 1. 1 ex dx   x x dx d)  x e 1 0 0 e  e  1 x x Đặt t  e  dt  e dx. x  0  t  1 Đổi cận  x  1 t  e 1 1 1 e ex 1 t 1 t 1 1  dx  dt  dt   dt  ln t  ln t  1   Suy ra  x x 0 t  t  1 0 t t  1 0  t t  1  1 0 e  e  1 1.  e 1   1  ln    2 . 64.

(65) Bài tập: Tính các tích phân sau:. 2x  3 dx b)  2 x  3 x  4 0 1. 2. a). x. x  3dx 2. 2. 1. 1. x2 dx c)  3 2 ( x  1) 0. ln 2. x dx d)  4 2 x  4 x  3 0. e). e. x. ln 2. e  1dx x. f). 0. ln x  1 dx g)  x 0 2.  0. ex dx e2 x  4.  /3. 1. sin 2 x dx h)  1  cos x 0. i).  sin. 2. x cos xdx. 0. 3. Phƣơng pháp tích phân từng phần: Nếu hai hàm u, v có đạo hàm liên tục trên D, a và b là hai số thuộc D thì: b. b. b.  u( x).v '( x)dx  u( x)v( x) a   v( x).u '( x)dx a. a. b. b. b.  udv  uv a   vdu. Viết gọn:. a. a. Các nhận diện cơ bản: Dùng từng phần khi hàm cần tìm tích phân cho dưới dạng tích của các hàm khác nhau. u  ln x Đặt  dv  u  x  dx. b. Dạng.  ln x.u  x  dx a. b. Dạng. b.  e f  x  dx.  sinax. f  x  dx. ax. a. a. b.  cos ax. f  x  dx a.  u  f  x  Đặt  với f(x) là hàm đa thức ax dv  e ,sin ax , cos ax . dx   Ví dụ: Tính các tích phân sau: a).  ln xdx 1.  2. 1. e. b).  xe dx x. c). 0.   x  1 sin xdx 0. Giải: e. a).  ln xdx 1. 1  u  ln x du  dx  x Đặt  dv  dx v  x . 65.

(66) e. e e 1 e e ln xdx  x .ln x  x dx  x .ln x  x 1 Suy ra   1 1 1 x 1 1 u  x du  dx  Đặt   x x dv  e dx v  e. 1. b).  xe dx x. 0 1. Suy ra  xe dx  xe x. 0.  2. c).   x  1 sin xdx 0. x. 1 0. 1.   e x dx  xe x 0. 1 0.  ex. 1 0. 1. u  x  1 du  dx  Đặt  dv  sin xdx v   cos x.  2. .  2   Suy ra   x  1 sin xdx   x cos x 2     cos x dx   x cos x 2  sin x 2  1 0 0 0 0 0. Bài tập: Tính các tích phân sau:  /3. a).  x sin xdx. e. b)  ( x  1) ln xdx 0. 0. 2. 1. c).  ( x  1)e. 2x. dx. d). 0. e. e). .  2 x  1 ln xdx. 1. ln 2. g).  1. x. ex dx x2. x ln x  1 dx i)  2 x 1 2. 1  ln  x  1 1 x2 dx. .  x  sin 2 x  e  dx 2. f). x. 0 1. h).  x ln  x  1dx 2. 0. x2 1 j)  2 ln xdx x 1 2.  3. 3. k). ln x dx 3 x 1. . l). 1  x sin x 0 cos2 x dx. 66.

(67) C. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH I.. Diện tích hình phẳng: Các bài toán:. Đồ thị:.  Diện tích hình phẳng giới bạn bởi một đường cong, trục Ox và hai đường thẳng:. y.  y  f ( x) Ox( y  0)   x  a  x  b b. S   f ( x) dx. y=f(x). O. a. b. x. a.  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng:. y.  y  f ( x)  y  g ( x)   x  a  x  b b. S   f ( x)  g ( x) dx. y=f(x). y=g(x) O. a. b. x. a.  Diện tích hình phẳng tạo một bởi đường cong, trục Ox và một đường thẳng:.  y  f ( x)  Ox( y  0) x  a . y. y=f(x).  Tìm hoành độ giao điểm x  xo của đường cong và trục Ox. a. S. . f ( x) dx Nếu xo  a. O. xo. a. x. xo. S. xo. . f ( x) dx Nếu xo  a. a. 67.

(68)  Diện tích hình phẳng tạo bởi hai đường cong:.  y  f ( x)   y  g ( x). Y. y=f(x).  Tìm tất cả các hoành độ giao điểm x1 , x2 ,.., xi của hai đường cong (là. y=g(x). nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x) )  Với x1  x2  ...  xi , khi đó diện tích. O. x1. x2. x3. hình phẳng được tính bởi công thức: xi. S   f ( x)  g ( x) dx x1. Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  3x  4 , y  0 , x  2 và. x  6. Giải: Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2  3x  4 , y  0 , x  2 và x  6 được tính: 6. 4. 6. S   x  3x  4 dx   x  3x  4 dx   x 2  3x  4 dx 2. 2. 2. 2. 4. 4. 6. 2. 4. S     x 2  3x  4  dx    x 2  3x  4  dx  x3 3x 2  4  x3 3x 2 6 S     4x      4 x   20(dvdt ) 2 2  3 2  3 4 x Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x.e x  1 và trục Ox. Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: xe x  0  x  0 x Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x.e x  1 và trục Ox được tính: 1. 1. S   xe dx   xe x dx x. 0. 0. Các em tự tính tích phân và tìm kết quả. Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln  x  1 và y  x . 68.

(69) Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x  0 x  0 x ln  x  1  x  x  ln  x  1  1  0    ln  x  1  1  x  e  1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln  x  1 và y  x được tính: e 1. S. . x ln  x  1  x dx . 0. e 1. e 1. e 1. 0. 0. 0.   x  x ln  x  1  dx   xdx   x ln  x  1 dx. Các em tự tính tích phân và tìm kết quả. Chú ý:  Do diện tích được tính bởi tích phân dưới trị tuyệt đối nên phải xét xem hàm số âm hay dương trên các khoảng để mở trị tuyệt đối.  Một mẹo nhỏ là các em chỉ cần thay giá trị bất kì trong khoảng xét để biết được hàm số âm hay dương trên khoảng đó. Bài tập: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 a) y  x  5x  6 x , y  0 , x  1 và x  4 . 2 3 b) y  sin x cos x , y  0 , x  0 và x .  2. .. x c) y  ( x  1) e , y  0 , x  0 và x  2 .. d) y . ln x , y  0 , x  1 và x  e . 2 x. x e) y  xe , y   x ,và đường thẳng x  1 . 2 2 f) y  x  2 x và y  4 x  x .. g) y . 1 1   ,y và x  , x  . 2 2 cos x sin x 6 3. x x h) y  e , y  e và x  1 .. x i) y  2 và y  3  x .. 69.

(70) II.. Thể tích khối tròn xoay Bài toán. Đồ thị.  Thể tích vật tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y  f ( x) và hai đường thẳng x  a, x  b .  Xoay quanh Ox: b. V     f ( x) dx 2. O. a. b. x. a.  Thể tích vật tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y  f ( x) và hai đường thẳng y  a, y  b .. y.  Ta biến đổi y  f ( x)  x  g(y) .. b.  Xoay quanh Oy: b. V     g ( y ) dy 2. a. a. O  Thể tích vật tròn xoay tạo bởi hai đường cong: y  f ( x) và y  g ( x). x. y.  Xác định diện tích tạo bởi hai đường cong.  Tìm tất cả các hoành độ giao điểm x1 , x2 ,.., xi của hai đường cong.. x1. O. x2. x.  Với x1  x2  ...  xi , khi đó thể tích hình tròn xoay được tính bởi công thức: xi. V   f 2 ( x)  g 2 ( x) dx x1. 70.

(71) 2 Ví dụ 1: Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường y  x  2 x x  1 x  2 và trục hoành.. Tính thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox. Giải: Ta có thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox được tính:  x5 2 x 4 4 x3  2 241 V    x  2 x  dx    x 4  2 x3  4 x 2  dx      (dvdt )   1 5 4 3 30   1 1 2. 2. 2. 2. Ví dụ 2: Cho hình phẳng S giới hạn bởi hai đường y  3 x và y  x  2 . a) Tính thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox. b) Tính thể tích khối tròn xoay khi cho S quay quanh Oy. Giải:  x 1 x  1 3 x  x  2    a) Phương trình hoành độ giao điểm: x  4  x  2. Thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox được tính: 4. . V   3 x. . 2. 4. 4.   x  2  dx    x  5 x  4 dx     x 2  5 x  4  dx 2. 2. 1. 1. 1.  x3 5 x 2  4 9 V      4x   (dvtt ) 2  3 1 2. b) Ta có: y  3 x  x . 1 2 y và y  x  2  x  y  2 9. Phương trình hoành độ giao điểm. y  3 1 2 y  y2  9 y  6. Thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Oy đươc tính:  1  1 4 2 V    y 2    y  2  dy    y  y 2  4 y  4 dx 9  81  3  3 6. 6.  1  V     y 4  y 2  4 y  4  dx 81  1 4.  y5 y3 6 V      2 y2  4 y   405 3 3 12 V (dvtt ) 5. 71.

(72) Bài tập: 1) Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng khi quay quanh Ox: 3 a) y  x  1 , trục hoành, x  1 và x  2 .. b) y  ln x , y  0 và x  e . c) y  tan x , x  0 và x .  3. .. x d) y  xe , y  0 và x  1 . 2 2 e) y  4  x , y  x  2 .. f) y  x 2  x , y  0 , x  0 và x  1 . 4 2 g) y  x x  1 , y  0 và x  15 .. x2 1 h) y  2 ,y . 2 x 1 2) Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng khi quay quanh Oy:. x2 a) y  , y  2 , y  4 và trục Oy. 2 b) y  x , y  0 và y  2  x . x c) y  x.2 và y  2 x. 72.

(73) SỐ PHỨC I.. Lý thuyết:  Định nghĩa: Số phức là biểu thức có dạng a  bi . Trong đó a, b là các số thực và i thõa mãn i 2  1 Kí hiệu số phức: z  a  bi  i là đơn vị ảo  a là phần thực  b là phần ảo 2  Tập hợp các số phức kí hiệu là : C  a  bi, i  1; a, b  R.  Số thuần thực hay số thực là những số phức có dạng : z  a a  R   Số thuần ảo hay số ảo là số phức có dạng : z  bi  b  R   Đặc biệt số phức z  0 vừa là số thực vừa là số ảo  Hai số phức bằng nhau:. a  a ' Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b ' i . Khi đó z  z '  a  bi  a ' b ' i   b  b '  Số phức liên hợp: Cho số phức z  a  bi số phức liên hợp của số phức z được kí hiệu là z và z  a  bi 2 2  Tính chất: z.z  z  a  b 2.  Modun của số phức: 2 2 Cho số phức z  a  bi modun của số phức z được kí hiệu là z và z  a  b.  Biểu diễn hình học của số phức:  Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi số phức z  a  bi được biểu diễn bởi một điểm M có tọa độ  a, b   Vậy mỗi điểm bất kì trên mặt phẳng sẽ đại diện cho một số phức tương ứng.  Khi đó ta nói mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức là một mặt phẳng phức.  Trục Ox biểu diễn các số thực nên ta gọi Ox là trục thực.  Trục Oy biểu diễn các số ảo nên ta gọi Oy là trục ảo.. 73.

(74)  Các phép toán trên tập C:  Cho hai số phức z  a  bi  a, b  R  và z '  a ' b ' i  a ', b '  R   Tổng hai số phức: z  z '   a  a '   b  b ' i  Hiệu hai số phức: z  z '   a  a '   b  b ' i  Nhân hai số phức: z.z '  aa ' bb '  ab ' a ' b  i  Chia hai số phức:. z z.z aa ' bb '  ab ' a ' b  i   z' z 2 a 2  b2.  Căn bậc hai của số phức:  Định nghĩa: Cho số phức w, mỗi số phức z thỏa mãn z 2  w được gọi là một căn bậc hai của w.  Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai.  Phương pháp tổng quát: Muốn tìm căn bậc hai của số phức w  a  bi  Bƣớc 1: Gọi z  x  yi là căn bậc hai của w. 2  Bƣớc 2: Suy ra z  w   x  yi   a  bi 2.  x2  y 2  2 xyi  a  bi.  x2  y 2  a  (*) 2 xy  b . Giải hệ (*) suy ra x, y Mỗi cặp nghiệm (x, y) của hệ cho ta một số phức là căn bậc 2 của w.  Giải phương trình bậc hai trong tập số phức : Trong tập số phức mọi phương trình bậc hai az 2  bz  c  0 (*) a, b,c  C luôn có nghiệm. Cách giải phương trình (*) tương đối giống giải phương trình bậc hai trong tập R.  Xét   b2  4ac (hoặc  '  b '2  ac )  Nếu   0 thì (*) có nghiệm kép : z1  z2  . b 2a.  Nếu   0 thì (*) có hai nghiệm phân biệt:. z1 . b   2a. z2 . b   2a. Với  là một căn bậc hai của  74.

(75) II.. Các dạng toán: 1. Xác định phần thực, phần ảo, biểu diễn trên mặt phẳng phức, tìm số đối, số phức liên hợp, modun số phức, thực hiện các phép tính cộng trừ nhân chia số phức: 2. Tìm số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài:  Phƣơng pháp chung:  Bƣớc 1: Gọi số phức cần tìm z  x  yi  Bƣớc 2: Dựa vào đề bài để tìm x, y. Thường thì ta sẽ dùng công thức hai số phức bằng nhau để đưa về giải hệ hai ẩn x, y. Ví dụ 1: Tìm số phức z biết: 1  i  z  z  1 Giải: Gọi số phức cần tìm là z  x  yi  z  x  yi Thay vào: 1  i  z  z  1  1  i  x  yi   x  yi  1   x  y    x  y  i   x  1  yi. x  y  x 1 x  2  Ta dùng công thức hai số phức bằng nhau   x  y   y  y  1 Vậy số phức cần tìm z  2  i Ví dụ 2: Tìm số phức z biết z  2 và z 2 thuần ảo. Giải: 2 2 2 2 2 Gọi số phức cần tìm là z  x  yi  z  x  y và z   x  yi   x  y  2 xyi 2.  x 2  y 2  2  x 2  y 2  2  x  y  1 2 2  2  x  y  1  Theo đề bài:  2  x   y  1 2 2   x  y  0  x  y  0. Vậy số phức cần tìm z  1  i; z  1  i; z  1  i; z  1  i 3. Tìm tập hợp các số phức z trong mặt phẳng phức:  Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Gọi z  x  yi  Bƣớc 2: Dựa vào đề bài ta suy ra được hệ thức liên hệ theo x, y. Hệ thức này chính là tập hợp các điểm cần tìm. Ví dụ : Tìm tập hợp các số phức z trong mặt phẳng phức biết: a/ z  2.  . b/  z  1 z  i là số thực 75.

(76) Giải : a/ Gọi z  x  yi 2 2 2 2 Theo đề bài: z  2  x  y  2  x  y  4. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức cần tìm là đường tròn: x 2  y 2  4 b/ Gọi z  x  yi  z  x  yi.  . Theo đề bài:  z  1 z  i là số thực.   x  yi  1 x  yi  i  là số thực  x2  y 2  x  y   x  y  1 i là số thực.  x  y 1  0 Vậy tập hợp xác điểm biểu diễn số phức cần tìm là đường thẳng: x  y  1  0 4. Tìm căn bậc hai của số phức - Giải phƣơng trình trong tập số phức: a. Tìm căn bậc hai của số phức z: Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Gọi w  x  yi là căn bậc hai của z  a  bi . 2  Bƣớc 2: Suy ra w  z   x  yi   a  bi 2.  x2  y 2  2 xyi  a  bi.  x2  y 2  a  (*) 2 xy  b . Giải hệ (*) suy ra x, y Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của số phức: 3  4i Giải: Gọi w  x  yi là căn bậc hai của số phức 3  4i 2 2 2 Ta suy ra: w  3  4i   x  yi   3  4i  x  y  2 xyi  3  4i 2. 4   x 2  y 2  3  x 2  2  3  x 4  3x 2  4  0 x  y  3   x     x      2 1  y  1 2 xy  4 y  y  2 y  x 2 x    x 2. 2. Vậy các căn bậc hai của số phức 3  4i là 2  i và 2  i 76.

(77) b. Giải phƣơng trình trong tập số phức:  Phƣơng trình bậc nhất: a.z  b  0 Chuyển z về 1 vế chia qua tìm z Ví dụ: Giải phương trình 2 z  i  1  1  2i  z  3i Giải: Ta có: 2 z  i  1  1  2i  z  3i  2 z  1  2i  z  3i  1  i  1  2i  z  1  4i z. 1  4i  1  4i 1  2i  7  6i 7 6     i 1  2i 1  22 5 5 5. 7 6 Vậy z   i 5 5  Phƣơng trình bậc hai: a.z 2  b.z  c  0  Xét   b2  4ac (hoặc  '  b '2  ac )  Nếu   0 thì (*) có nghiệm kép z1  z2  . b 2a.  Nếu   0 thì (*) có hai nghiệm phân biệt:. z1 . b   2a. z2 . b   2a. Với  là một căn bậc hai của  Ví dụ 1: Giải phương trình z 2  z  1  0 trong tập số phức Giải: Ta có:   12  4  3 Chọn một căn bậc 2 của  là 3i Vậy phương trình có hai nghiệm: z . 1  3i 1  3i ; z 2 2. Ví dụ 2: Giải phương trình z 2  i.z  2i  4  0 Giải: 2 Ta có:   i  4  2i  4   15  8i. Gọi w  x  yi là căn bậc hai của   w2  15  8i  x2  y 2  2 xyi  15  8i 77.

(78)  x 2  y 2  15  x  4  y  1    w  4  i  w  4  i x   4  y  1 2 xy   8  . Chọn một căn bậc hai của  là 4  i. i  4  i i  4  i  2  i; z   2 2 2. Suy ra phương trình có hai nghiệm z .  Phƣơng trình bậc ba: a.z 3  b.z 2  c.z  d  0 Nhẩm nghiệm dùng hoocne để phân tích đưa về giải phương trình bậc 2  z  zo   z  z0   a.z 2  B.z  C   0   2 a.z  B.z  C  0 3 Ví dụ: Giải phương trình trong tập số phức: z  1  i  .z   2  i  .z  2i  0. Giải: Nhẩm được nghiệm z  i ta phân tích thành: z  i pt   z  i   z 2  z  2   0   2  z  z  2  0(*). Giải (*) ta có:   7 . Chọn một căn bậc hai của  là 7i Suy ra (*) có hai nghiệm : z . 1  7i 1  7i ;z  2 2. Vậy phương trình có ba nghiệm z  i; z . 1  7i 1  7 i ;z  2 2. c. Các bài toán liên quan đến tính chất của i: Sử dụng:. i 2  1. i3  i. i4  1. Ví dụ 1: Rút gọn A  i2014  i 2015  i 2016 Giải: 2014 2015 2016 2 Ta có: A  i  i  i   i . 1007.  i. i 2 . 1007.  i 2 . 1008.  1  i  1  i. Ví dụ 2: Chứng minh 1  i    2i  n  N * 2n. n. Giải: Ta có: 1  i . 2n. n. 2 n  1  i    1  2i  i 2    2i    n. 78.

(79) Bài tập:. III.. 1) Xác định phần thực, phần ảo, modun, số phức liên hợp, số phức đối của các số phức sau: a) z  2  3i. b) z  2  i. d) z  1  3i  .i  3  2i. e) z . . c) z  3  2i. 2  3i. . 2. f) z . 2  i z  2  3i  .i 2. 1  2i g) z  1  2i. h). i) z . 1  2i 1  2i 2  2i 2  2i  2  2i 2  2i. 2) Biểu diễn các số phức ở câu 1) trên mặt phẳng phức.. . 1 1 3 i . Tính , z, z , z 2 , z 3) Cho số phức z   z 2 2. 3. 4) Tìm phần thực và phần ảo và modun của số phức z biết:  1  3i   b) z    1 i . a) z 1  1  2i. c). 1  i  2  3i  z   2i 2 z z. d) z . 3. 1  5i 3  2  i 1 i. 5) Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: a) z  4. b) z  5. c) z  9i. d) z  2i. e) z  3  4i. f) z  8  6i. 6) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z biết: a) z  i là số thuần ảo. b) 2 z  3 là số thuần thực. d) z  i  1. e) z 2 là số thuần thực.   f)  z  2   z  i  là số thuần thực. g) z  1. h) z  z  3  4i. i). k) z  3  4i  2. l) z  i  1  i  z. n) z  3  z  3  10. o) z  2  z  2. j). z i 1 z  3i. m) z . 1 2 z. c)  2  z  z  i là số thuần ảo. z i là số thuần thực z i. 7) Giải phương trình trong tập C: a) i.z  2  i  0. b)  2  3i  z  1. c) 2 z   z  4  i  2  0 79.

(80) d)  2  i  z  2  0. e). 2i 3i  1 z 1 i 2i. f)  z  1 i  1   z  1 i  1  2  2i. 8) Giải phương trình trong tập C: a) z 2  z  2  0. b) 3z 2  4 z  2  0. c)  z 2  3z  5. 2 d) z   i  2 z  1  i  0. 2 e) z  1  3i  z  2  i  1  0. 2 f) 2 z   2  3i  z  1  i  0. 9) Giải phương trình trong tập C: a) z 3  1  0. b) z 3  8  0. 3 2 c) z   2i  1 z   2i  1 z  1  0. d) iz3  2iz 2  2 z  4  0. 10) a). Tìm số phức z biết:.  z. 2 i. . 3. . . b) z.z  3 z  z  1  4i. 1  2i. 5i 3 1 z. c) z   2  3i  z  1  9i. d) z . e) z 2  z  0. 2 f) z  z  0. 11). Tìm số phức z biết:. a) z 2  z. b) z  2  i  10 và z.z  25. c) z  2 và z 2 thuần ảo. d) z  z  2  2i vàc. e) z  5 và. z  7i thuần thực z 1. . 2 f) z  z. 2. z  2i thuần ảo z2.  4 và 2 z  i  z  z  2i.  . i) z  2  i  2 và số phức  z  i  z  i có phần ảo bằng 1 12). Tính :. a) A  i 2015. b) B  i 2014  i 2015  i 2016. 20 34 23 105 c) C  i  i  i  i. n n 1 n2 n 3 d) D  i  i  i  i. 13). Chứng minh rằng:. 4n 4 n 1 4n2  1 , i 4n3  i a) i  1 , i  i , i. b) 1  i    2i . 2 n 1 c) 1  i   1  i    1 .2. d) 1  i    1 1  i . 4n. 4n. n. 2n. 2n. n. n. 2n. 80.

(81) 1  3i   z. . Tính z  iz. 14). Cho số phức z thỏa mãn. 15). Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z '  1  i 3 z  2 . Biết z  1  2. 16). Tìm số phức z biết 1  2i  z là số thực và 2 z  4 z  1  2 2. 17). Tìm số phức z thỏa mãn z  1  5 và 17 z  z  5zz  0. 18). Cho số phức z thỏa mãn z  2  4i   2  i  iz . Tìm phần ảo của số phức w  z 3  i. 19). Cho số phức z thỏa mãn z   2  i  z  3  5i . Tìm phần thực và phần ảo của z. 1 i. . . . 5 z i.   2i. . . 2 . Tính modun của số phức w  1  z  z. 20). Cho số phức z thỏa mãn. 21). Cho số phức z thỏa mãn 2 z  3 1  i  z  1  9i . Tính modun của z. 22). Cho số phức z thỏa mãn 3z  z 1  i   5z  8i  1 . Tính modun của z. z 1. . . 81.

(82) PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ I.. Tọa độ điểm- Tọa độ véc-tơ:  Các công thức Véctơ: Cho hai véctơ a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ). a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3  k .a   k .a1; k .a2 ; k .a3   a  a12  a22  a32.  Hai véctơ bằng nhau:. a1  b1  a  b  a2  b2 a  b  3 3.  Hai véctơ cùng phương: a, b cùng phương   Tích vô hướng của hai véctơ:  Hai véctơ vuông góc:. a1 a2 a3   b1 b2 b3. a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3. a  b  a.b  0  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3  0.  .  Góc giữa hai véctơ: cos a, b . a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32.  Tọa độ điểm: M  OM  ( xM ; yM ; zM )  Cho A  ( xA ; yA ; z A ), B  ( xB ; yB ; zB ), C  ( xC ; yC ; zC )  Tọa độ véctơ AB:  Tọa độ trung điểm I của AB:. AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  z A   x  x y  yB z A  z B  I  A B ; A ;  2 2   2.  Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:.  x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC  G  A B C ; A ;  3 3 3    A, B, C thẳng hàng  AB và AC cùng phương.. 82.

(83) II.. Tích có hƣớng của hai véctơ: 1. Định nghĩa: Cho hai véctơ a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) Tích có hướng của hai véctơ a và b là một véctơ, kí hiệu:  a, b  và được cho bởi.  a2 a3 a3 a1 a1 a2    a , b  công thức:    b b ; b b ; b b    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1   2 3 3 1 1 2  2. Tính chất của tích có hƣớng:   a; b    b; a    a, b   a và  a, b   b  a, b cùng phương   a; b   0  Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng: a, b, c đồng phẳng   a; b  .c  0  Hệ quả: + Để ba điểm A, B, C thẳng hàng   AB; AC   0 + Để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  . AD  0. B. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I.. Phƣơng trình mặt phẳng: 1. Véctơ pháp tuyến là véctơ có giá vuông góc mới mặt phẳng. Kí hiệu:. n. 2. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng: Mặt phẳng đi qua điểm M (xo ; yo ; z o ) và nhận n  (a; b; c) làm véc tơ pháp tuyến thì có phương trình tổng quát:. a( x  xo )  b( y  yo )  c( z  zo )  0 Thông thường phương trình mặt phẳng được cho dưới dạng:. Ax  By  Cz  D  0. Khi đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là: n  ( A; B; C ) Chú ý: Một mặt phẳng sẽ có vô số véctơ pháp tuyến và các véctơ đó cùng phương. 83.

(84) 3. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng ( P) : Ax  By Cz D  0 và (Q) : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 .  (P) cắt (Q) . A B C   A' B ' C '.  (P) song song (Q)   (P) trùng (Q) . A B C D    A' B ' C ' D '. A B C D    A' B ' C ' D '. 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm A(x A; y A; z A ) đến mp(P) : Ax  By  Cz  D  0 được cho bởi công thức: d  A;( P)  . A.xA  B. y A  C.z A  D A2  B 2  C 2. 5. Góc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng: ( P) : Ax  By  Cz  D  0 và (Q) : A ' x  B ' y  C ' z  D  0 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì:. cos   cos(nP , nQ ) . II.. A. A ' B.B ' C.C ' A2  B 2  C 2 . A '2  B '2  C '2. Bài tập: 1) Viết phương trình mặt phẳng: a) Qua gốc tọa độ và nhận n  (1; 2;3) làm véctơ pháp tuyến. b) Qua điểm A(1; 1;2) và nhận n  (1;0; 2) làm véctơ pháp tuyến. 2) Cho A(1;1;1), B(1;2;1), C(2;1; 1) . Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua A và vuông góc với BC. b) Đi qua ba điểm A, B, C.. (0;0; 1) 3) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0; 2;0), C 4) Cho A(1;2;1), B(1;1;0) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M (1;1; 2) và song song với mp: x  2 y  z  0 . 84.

(85) c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(Q), khoảng cách từ điểm M đến mp(P). d) Tính góc giữa hai mp(P) và mp(Q). 5) Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: a) ( P) : x  y  2 z  1  0 và (Q): x  y  z  2  0 b) ( P) : 2 x  y  3z  2  0 và (Q): 4 x 2 y 6 z 1  0 c) ( P) :. x y z    1 và (Q) : x  2 y  2 z  2  0 2 1 1. 6) Xác định m, n để hai mặt phẳng song song với nhau:. ( P) : (m  3) x  3 y  (m  1) z  6  0 (Q) : (n  1) x  2 y  (2n  1) z  2  0 7) Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và đi qua điểm (3; 2;2) 8) Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và đi qua điểm (3; 2;2) 10 ) Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oz và đi qua điểm (3; 2;2). 1) 11 ) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(2; 1;4), B(3;2; . và vuông góc với. mặt phẳng ( ) : x  y  2 z  0 .. C. ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I.. Phƣơng trình đƣờng thẳng: 1. Véctơ chỉ phƣơng là véctơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng, Kí hiệu: u . 2. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng: Đường thẳng (d) đi qua điểm M (xo ; yo ; z o ) và nhận u  (a; b; c) làm véctơ chỉ phương có phương trình tham số:.  x  xo  at  (d ) :  y  yo  bt  z  z  ct o . (t  R). 3. Phƣơng trình chính tắc: Đường thẳng (d) đi qua điểm M (xo ; yo ; z o ) và nhận u  (a; b; c) làm véctơ chỉ phương có phương trình chính tắc:. (d ) :. x  xo y  yo z  zo   (abc  0) a b c 85.

(86) 4. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: Cho mp( P) : Ax  By  Cz  D  0 có n  ( A; B : C )  x  xo  at  Và đường thẳng (d ) :  y  yo  bt có u  (a; b; c) và M ( xo ; yo ; zo )  z  z  ct o .  (d) cắt (P)  n.u  0  A.a  B.b  C.c  0   A.a  B.b  C.c  0 n  u    (d) song song (P)     Axo  Byo  Czo  D  0  M  ( P). n  u  A.a  B.b  C.c  D  0    (d) nằm trong (P)    M  ( P)  Axo  Byo  Czo  D  0   Phƣơng pháp xét vị trí tƣơng đối:  Bƣớc 1: Xác định n, u và một điểm M bất kì thuộc đường thẳng.  Bƣớc 2: Tính n.u :  Nếu n.u  0 thì đường thẳng cắt mặt phẳng.  Nếu n.u  0 thì ta xem tọa độ M có thõa mãn phương trình mặt phẳng ko?  Nếu có suy ra (d) nằm trong mặt phẳng (P).  Nếu không suy ra (d) song song mặt phẳng (P).  Tọa độ giao điểm của đƣờng thẳng (d) và mp(P) là nghiệm của hệ:.  x  xo  at  y  y  bt  o   z  zo  ct  Ax  By  Cz  D  0  Phƣơng pháp:  Thay tọa độ x, y, z vào phương trình mặt phẳng giải tìm t  Có t thay vào tìm x, y, z.. 86.

(87) 5. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng: Cho hai đường thẳng:. (d) có véc tơ chỉ phương u và điểm M thuộc (d) (d‟) có véc tơ chỉ phương u ' và điểm M‟ thuộc (d‟)..  (d) cắt (d‟)  u, u ' .MM '  0.  u, u '  0     (d) song song (d‟)   MM '  k .u.  u, u '  0    (d) trùng (d‟)    MM '  k .u  (d) chéo (d‟)  u, u ' .MM '  0  Phƣơng pháp xét vị trí tƣơng đối:  Bƣớc 1: Xác định u, u ' và hai điểm M, M‟ bất kì thuộc hai đường thẳng.  Bƣớc 2: Tính u, u ' và. MM '.  Nếu u, u '  0 ta tính tích vô hướng u, u ' .MM '  Nếu u, u ' .MM '  0 suy ra hai đường thẳng cắt nhau.  Nếu u, u ' .MM '  0 suy ra hai đường thẳng chéo nhau.  Nếu u, u '  0 ta xét MM ' và u có cùng phương không:  Nếu MM ' và u cùng phương suy ra hai đường thẳng trùng nhau.  Nếu MM ' và u không cùng phương suy ra hai đường thẳng song song.. 87.

(88) 6. Khoảng cách và góc: a. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng: Cho đường thẳng () có véc tơ chỉ phương u và một điểm M bất kì thuộc () . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng () xác định bởi công thức:.  MA, u    d  A;    u b. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau: Cho đường thẳng () có vectơ chỉ phương u và một điểm M thuộc () và đường thẳng ( ') có véctơ chỉ phương u và một điểm M‟ thuộc ( ') . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau () và ( ') được xác định bởi công. thức:. u, u ' .MM '   d (;  ')  u , u '   . c. Góc giữa hai đƣờng thẳng: Cho đường thẳng () có vectơ chỉ phương u và đường thẳng ( ') có véctơ chỉ phương u . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng () , ( ') thì 0    90o Khi đó:.  . cos   cos u, u '. d. Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng () có vectơ chỉ phương u và mp ( ) có véctơ pháp tuyến n o Gọi  là góc giữa () và mp ( ) thì 0    90. Khi đó:.  . sin   cos n, u. 88.

(89) II.. Bài tập: 1) Viết phương trình tham số của các đường thẳng trong các trường hợp sau: a) Đi qua A(1;1;3) và có véc tơ chỉ phương u  (0; 2; 2) . b) Đi qua hai điểm O và A. c) Đi qua hai điểm M (1;2;3), N(3;1;2) . 2) Chỉ ra một véc tơ chỉ phương và một điểm thuộc các đường thẳng sau:. x  2  t  b) () :  y  5t z  4  t . a) Ox, Oy, Oz.. c) (d ) :. x 1 y  2 z  2   3 4 1. 3) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (0;1;2) và song song với Ox. 4) Cho điểm A(1;3; 2) và đường thẳng (d ) :. x 1 y  2 z  3   3 1 5. a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng (d‟) đi qua A và song song (d). b/ Tìm điểm M thuộc (d) biết M có hoành độ bằng 0. c/ Tìm điểm N thuộc (d‟) biết N có tung độ băng 5. 5) Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và mp(P) : a) (d ) :. x  2 y 1 z  4   1 5 1. x  1 t  b) (d ) :  y  2  2t  z  1  3t . và. và. mp( P) : x  y  z  0. mp( P) : 2 x  4 y  2 z  5  0. 6) Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau : a) (d1 ) :. x 1 y  2 z  5   2 3 4.  x  2t  b) (1 ) :  y  2  3t z  5  t . và.  x  1  3t  ( d ) :  y  2t c/ z  1 . ( ) :. và. và. (d 2 ) :. x  7 y  2 z 1   3 2 2.  x  3  4t  (1 ) :  y  2  6t  z  2t . x 1 y  1 z   2 1 1. 89.

(90) D. CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.  Trƣớc khi đi đến dạng này cần nắm vững các kiến thức sau:  Đại diện cho mặt phẳng là véctơ pháp tuyến: có nghĩa khi đề cho phương trình mặt phẳng thì ta suy ra véctơ pháp tuyến của nó.  Đại diện cho đường thẳng là véctơ chỉ phương: có nghĩa khi đề cho phương trình đường thẳng thì ta suy ra véctơ chỉ phương của nó.  Các bài toán sẽ giải quyết dựa trên các véctơ cơ bản này.  Nhớ các công thức về khoảng cách và góc.  Ta định nghĩa lại:  Véctơ pháp tuyến là véctơ có giá vuông góc. (với mp hoặc đường thẳng).  Véctơ chỉ phương là véctơ có giá song song hoặc trùng. (với mp hoặc đường thẳng). I.. Viết phƣơng trình mặt phẳng:  Mục tiêu đi tìm véctơ pháp tuyến và một điểm. 1. Dạng toán 1:  Từ giả thuyết ta có thể tìm được một véctơ pháp tuyến và một điểm của mặt phẳng.  Ta dùng định nghĩa viết phương trình mặt phẳng có dạng:. a( x  xo )  b( y  yo )  c( z  zo )  0  Bài toán thường liên quan đến:  Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng.  Mặt phẳng song song với mặt phẳng. 2. Dạng toán 2:  Từ đề bài ta không tìm được véctơ pháp tuyến nhưng ta có thể tìm được hai véctơ chỉ phương u1 , u2 của mặt phẳng.  Khi đó véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của hai véctơ chỉ phương.. n  u1 , u2   Bài toán thường liên quan đến:  Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cho trước.  Mặt phẳng song song với hai đường thẳng cho trước.  Mặt phẳng chứa đường thẳng hoặc đi qua hai điểm. 90.

(91) II.. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng:  Mục tiêu đi tìm một véctơ chỉ phương và một điểm. 1. Dạng toán 1:  Từ đề bài ta tìm được một véctơ chỉ phương và một điểm của đường thẳng:  Ta dùng định nghĩa viết phương trình tham số.  x  xo  at  (d ) :  y  yo  bt  z  z  ct o . (t  R).  Hoặc phương trình chính tắc:. (d ) :. x  xo y  yo z  zo   (abc  0) a b c.  Bài toán thường liên quan đến:  Đường thẳng song song đường thẳng.  Đường thẳng vuông góc mặt phẳng. 2. Dạng toán 2:  Từ đề bài ta không tìm được véctơ chỉ phương nhưng tìm được hai véctơ pháp tuyến. n1 , n2 của đường thẳng.  Khi đó véc tơ chỉ phương của đường thẳng là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến.. ud   n1 , n2   Bài toán thường liên quan đến:  Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cho trước.  Đường thẳng song song (hoặc nằm trong) hai mặt phẳng cho trước.  Đường thẳng vuông góc với đường thẳng và song song (hoặc nằm trong) mặt phẳng. 3. Dạng toán 4:  Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua rồi viết phương trình đi qua hai điểm đó.  Ta sẽ gọi điểm thuộc đường thẳng theo tham số t (t‟).  Dựa vào đề bài tìm t (t‟).. 91.

(92) III.. Bài tập: 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(0;1;2) và vuông góc đường thẳng: (d ) :. x y 1 z   1 2 1. 2) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1;1;1) và chứa đường thẳng (d ) : 3) Cho (d1 ) :. x y 1 z   . 1 2 1. x 1 y  2 z  5 x  7 y  2 z 1     và (d 2 ) : 2 3 4 3 2 2. a) Chứng minh (d1 ) và (d 2 ) cắt nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1 ) và (d 2 ) . 4) Cho (1 ) :. x y 2 z 3 x3 y 2 z     và ( 2 ) : 2 2 1 4 4 2. a) Chứng minh (1 ) và ( 2 ) song song. b) Viết phương trình mặt phẳng chứa (1 ) và ( 2 ) . 5) Cho mp( ) : x  y z 6  0 và () :. x 1 y 1 z  2   1 2 1. a) Xác định giao điểm của () và ( ) . b) Tính cosin góc giữa () và ( ) . c) Viết phương trình mp(P) chứa () và vuông góc mp ( ) . x  2 y z 1   và M(1;2;1) , N(1;2; 1) . Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 1 3 đường thẳng () và cách đều hai điểm M, N.. 6) Cho () :. 7) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;1;2) và vuông góc mặt phẳng:.   : 2 x  y  1  0 . 8) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;1;2) và vuông góc với hai đường thẳng: (1 ) :. x y 1 z   1 1 2. ( 2 ) :. x 1 y z  1   2 3 1. 9) Cho mp( ) : x  2 y z 1  0 , A(1;1; 2) và (d) :. x 1 y  2 z   1 1 2. Viết phương trình đường thẳng qua A song song mp( ) và vuông góc với đường thẳng (d).. 92.

(93) 10 ) Cho mp( ) : x  y z 1  0 , (d1 ) :. x 1 y  1 z x y 1 z  1   , (d 2 ) :   2 1 1 1 2 1. Viết phương trình đường thẳng vuông góc mp( ) và cắt hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) . x 1 y  1 z 1   . Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc 1 1 1 của A lên đường thẳng (d).. 11 ) Cho A(1; 2;3) và (d) :. 12 ) Cho A(1;1;2) và mp   : x  2 y  z  7  0 . Tìm tọa độ hình chiếu của A lên mp( ) . x 2 y 3 z  4   và mp   : 2 x  y  z  2  0 . Viết phương trình đường 2 3 5 thẳng (d‟) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp( ) .. 13 ) Cho (d) :. 14 ) Cho A(1; 2;2) và (d) :. x 1 y  1 z  2   . Tìm tọa độ điểm A‟ đối xứng với điểm A 1 1 1. qua đường thẳng (d). 15) Cho A(1;1;2) và mp   : x  2 y  x  2  0 . Tìm tọa độ điểm A‟ đối xứng với A qua mp( )  x  1  2t  x y 1 z  2  16) Cho (d1 ) :  và (d 2 ) :  y  1  t 2 3 1 z  3 . a) Chứng minh (d1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b) Tìm điểm A  (d 1) và B  (d 2 ) sao cho AB là đoạn vuông chung của (d1 ) và (d 2 ) . c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1 ) và (d 2 ) . x 2 y 3 z 4   và mp( ) : 2 x  y z1  0 . Viết phương trình đường 2 3 5 thẳng (d‟) đối xứng với đường thẳng (d) qua mp( ) .. 17) Cho (d) :. 18) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) vuông góc và cắt đường thẳng: (d) :. x y z 3   2 4 1. 19) Cho (d1 ) :. x  1 y 1 z  2 x2 y2 z     , (d 2 ) : và mp   : x  3 y  z  0 2 3 1 1 5 2. Lập phương trình đường thẳng nằm trong mp( ) và cắt hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) .. 93.

(94) 20) Cho (d1 ) :. x 1 y  2 z  5 x  7 y  2 z 1     và (d 2 ) : . Chứng minh (d1 ) và (d 2 ) 2 3 4 3 2 2. cùng nằm trong một mặt phẳng, lập phương trình mặt phẳng đó. 21) Cho hai đường thẳng song song () :. x 7 y 5 z 9 x y  4 z  18    và ( ') :  3 1 4 3 1 4. a) Viết phương trình mặt phẳng chứa () và ( ') . b) Tính khoảng cách giữa () và ( ') . 22) Cho hai đường thẳng (d1 ) :. x 2 y 3 z 4 x 1 y  4 z  4     và (d 2 ) : 2 3 5 3 2 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1 ) và (d 2 ) . 23) Cho (d1 ) :. x 1 y  1 z x y 1 z  1   , (d 2 ) :   2 1 1 1 2 1. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) . 24) Cho hai đường thẳng chéo nhau: x  1  (d1 ) :  y  4  2t z  3  t .  x  3t '  (d 2 ) :  y  3  2 t' z  2 . a) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) . b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) . c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt (d1 ) và (d 2 ) tại hai điểm M, N sao cho MN ngắn nhất. 25) Cho A(1; 1;0) và (d) :. x 1 y  2 z   . 3 1 1. a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (d) và tạo với (d) một góc 30o . 26) Cho mp( ) : 2 x  3y z 1  0 và (d1 ) :. x 1 y  2 z  2 x 1 y  1 z  2     , (d 2 ) : 1 4 3 2 1 3. a/Chứng minh (d1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b/Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1 ) và song song (d 2 ) . c/Xác định điểm M  (d 1) và N  (d 2 ) sao cho MN song song mp( ) và MN  14 . 94.

(95) E. MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN: I.. Phƣơng trình mặt cầu:  Mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2.  Dạng khai triển: x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (*) 2 2 2 Điều kiện để (*) là phương trình mặt cầu : A  B  C  D  0. Khi đó (*) là phương trình mặt cầu có tâm I( a;  b;  c) và bán kính. R  A2  B2  C 2  D. II.. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S ( I ; R) và mp( ) Gọi d  d ( I ; )  IH với H là hình chiếu của I lên mp( ) .  Nếu d  R thì mp( ) không cắt (S)  Nếu d  R thì mp( ) tiếp xúc (S) và H là tiếp điểm.  Nếu d  R thì mp( ) cắt (S) bởi một đường tròn có bán kính r  R 2  d 2. III.. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu S ( I ; R) và mp( ) Gọi d  d ( I ; )  IH với H là hình chiếu của I lên đường thẳng () .  Nếu d  R thì () không cắt (S)  Nếu d  R thì () tiếp xúc (S) và H là tiếp điểm.  Nếu d  R thì () cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và. AB  R 2  d 2 , H là 2. trung điểm AB.  Phƣơng pháp viết phƣơng trình mặt cầu: Mục tiêu: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R  Đề bài cho tiếp xúc đường thẳng () hay mp( ) thì: R  d ( I , ) hay R  d ( I ,  ) . Chú ý: Chỉ quan tâm đến các dạng về tiếp xúc vì đề thi nếu có sẽ thuộc dạng toán cơ bản này. 95.

(96) IV.. Bài tập: 1) Cho mp   : x  2 y  z  5  0 và I(2;0;1) . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mp( ) . x 1 y z   và I(1;2;1) . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với 2 1 1 đường thẳng () .. 2) Cho () :. 3) Cho A(1;2;0) , B(2; 2;3) và C(1;1;1) . Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O,A,B,C. 4) Cho A(1;0;2) , B(2; 1;1) và (d) :. x y 1 z   . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B 2 1 1. và có tâm thuộc đường thẳng (d). 5) Cho A(1;2;3) và mp( ) : 2 x  y  z  2  0 . Viết phương trình mặt cầu đi qua A và tiếp xúc mp( ) tại điểm M(0;0;2) . 6) Cho (d) :. x  3y 1  0 x 1 y  2 z   và () :  . Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp 2 1 3 3x  y  2 z  7  0. xúc với (d) tại A(1;1; 2) và có tâm I  () . 7) Cho (d) :. x y 1 z 1   và hai mặt phẳng (1 ) : x  y  2 z  5  0 , ( 2 ) : 2 x  y  z  2  0 2 1 2. Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc hai mặt phẳng (1 ) , ( 2 ) . 8) Cho ba đường thẳng có phương trình: x  1 t  (d)  y  t  z  2  t . x  0  (d1 )  y  1 z  1 t ' .  x  2  2t "  (d 2 )  y  1 z  0 . Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với (d1 ) , (d 2 ) . 9) Cho mp( ) : 2 x  y  2 z  2  0 và đường thẳng () :. x 1 y  2 z   3 1 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên () , tiếp xúc mp( ) và có bán kính bằng 1. 10 ) Cho mặt cầu: (S) : x 2  y 2  z 2  10 x  2 y  26 z  113  0 và đường thẳng :  x  5  2t  d  :  y  1  3t  z  13  2t . Viết phương trình mp( ) tiếp xúc (S) và vuông góc (d).. 96.

(97) 11 ) Cho mặt cầu (S) : x2  y 2  z 2  4x  6 y  4z  8  0 và hai đường thẳng : x  5 y  1 z  13 (d1 ) :   2 3 2.  x  7  3t  (d 2 )  y  1  2t z  8 . Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) đồng thời song song với hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) .. 97.

(98) HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lý thuyết Quan hệ song song và vuông góc trong không gian: Cho đường thẳng a song song mp(P) Mọi mặt phẳng qua a và cắt mp(P) theo giao tuyến d thì d song song a. (P). a / /( P)  d / /a  a  ( Q )  ( P )  d  a. d. (Q). Hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng song song với (P). đường thẳng a. Nếu mp(P) và mp(Q) cắt nhau theo giao tuyến d thì d song song a. a. (Q) d. ( P ) / / a   d / /a (Q) / / a ( P)  (Q)  d . Cho hai đương thẳng song song a và b. Mọi mặt phẳng qua a và mặt phẳng qua b nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d thì d song song a và b.. b. a (Q). d. a / / b a  (P)   d / / a / /b  b  (Q)  (Q)  ( P)  d. (P). 98.

(99) Đường thẳng d vuông góc vơi mp(P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp(P). d. (P). a. b. Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc mp(P).. a  ( P)   d  ( P) b  ( P)  d  a, d  b  Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a và mp(P), a‟ là hình chiếu vuông góc của a lên mp(P). Một đường thẳng d bất kì thuộc mp(P) nếu d vuông góc a‟ thì d vuông góc a và ngược lại.. a. (P) d. a'. d  a'  d  a. Hai mặt phẳng gọi là vuông góc nhau khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.. (Q). a  (Q) ( P)  (Q)   a  ( P). a (P) d. a  (Q)  ad a  ( P) (Q)  ( P)  d . 99.

(100) Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ hơn. 90o d '/ / d  (d , a)  (d ', a)  O  d '  a  O . d ) a. O d'. Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng là góc. a. o nhỏ hơn 90. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.. (P) ) a'.  a, ( P)    a, a ' o Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhỏ hơn 90. (Q). Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.. a.  ( P), (Q)    a, b . (P) ) b. Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). a. ( R)  (Q)  a ( R) :   a / /b ( R )  ( P )  b . (R) (Q). b (P). ( P) / /(Q)  ( R)  (Q)  ( R )  ( P )  ( R)  (Q)   P) / /(Q)  ( R )  ( P ) . 100.

(101) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là:. A. d  A, a   AH. a. H. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:. A. d  A,(P)   AH. H (P). Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì. A a. trên đường thẳng đến mặt phẳng. d  a,( P)   d  A,( P)   AH H (P). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia A (Q). d  (Q),( P)   d  A,( P)   AH. H (P). 101.

(102) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d. TH1: Nếu a, d vuông góc - Xác định mp(P) chứa a và vuông góc d - Tìm giao điểm của d và mp(P), hạ AH vuông góc a.. A. a H. (P). - Khi đó AH là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và d, còn gọi là đoạn vuông chung của a và d. TH2: Nếu a, d không vuông góc Cách 1:. H. - Xác định mp(P) chứa a và song song d. d. - Tìm hình chiếu d‟ của d lên mp(P), d‟ cắt a tại A - Từ A hạ AH vuông góc d khi đó AH chính là đoạn vuông chung của a và d. d' A a. (P). Cách 2: - Xác định được hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc nhau chứa a và d - Giao tuyến b của 2 mp(P) và mp(Q) cắt a tại A, hạ AH vuông góc d. (Q) H. d. - Khi đó AH là đoạn vuông chung. b A (P). a. 102.

(103) Thể tích Thể tích hình chóp có đáy là đa giác lồi bất kì:. S. 1 Vchop  .h.S 3 Với:. h. - h là khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt phẳng đáy - S là diện tích đa giác đáy. O. Thể tích lăng trụ, hình hộp:. V  h.S Với: h. - H là khoảng cách giữa hai đáy - S là diện tích đáy Đặc biệt : - Lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương thì h chính là độ dài cạnh bên - Đối vơi hình lập phương cạnh a thì. V  a3. h. 103.

(104) Phương pháp tỉ số thể tích. S. Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm A‟, B‟, C‟ khi đó:. VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  . . VS . ABC SA SB SC. C' A' B'. A. C. B. Gọi S là diện tích của đa giác H và S‟ là diện tích hình chiếu H‟ của H trên mặt phẳng (P) thì:. S. S '  S.cos  Trong đó  là góc giữa mặt phẳng chứa H là mặt phẳng (P). S' (P). Các tính chất và định lý về hình học phẳng thƣờng đƣợc sử dụng: Tam giác: Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác thì G chia các trung tuyến theo tỉ lệ 1:2 2 1 AM , GM  AM 3 3 2 1 BG  2GN , BG  AN , GN  AN 3 3 2 1 CG  2GP, CG  AP, GP  AP 3 3. A. AG  2GM , AG . N. P G B. M. C. 104.

(105) Tính chất đƣờng trung bình: Định lí: M là trung điểm cạnh AB, N là trung. A. điểm cạnh AC thì MN song song và bằng một nữa cạnh BC MN / / BC , MN . 1 BC 2. N. M. Định lí: M là trung điểm AB, N trên cạnh AC nếu MN song song AB thì N là trung điểm cạnh AC. B. C. Tam giác đều cạnh a. A. - O là tâm của tam giác ABC : là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp - Chiều cao của tam giác đều: h . a. a 3 2. O. a2 3 - Diện tích : S  4. C. B. Tam giác vuông - Định lý Pytago: a 2  b2  c2 - Diện tích: S  h.a  b.c - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là. A. trung điểm BC. - Định lý về cạnh và đường cao trong tam giác vuông:. c. AB 2  BH .BC , AC 2  CH .BC 1 1 1 AH 2  BH .CH ,   AH 2 AB 2 AC 2. b h. ) B. H. a O. C. - Góc lượng giác: AC , cos B  BC AC tan B  , cot B  AB. sin B . AB BC AB AC 105.

(106) Tam giác cân: AB  AC, B  C. A. - Đường trung tuyến từ đỉnh cân đồng thời là đường cao và là đường phân giác. - Tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp nằm trên AM.. G. ). (. B. C. M. Tứ giác: Hình thang: -. a. a. a / /b. - Diện tích S . ab .h 2. Hình thang cân:. h. h. b. b. - Có hai cạnh bên bằng nhau. a. - Có hai cặp góc tương ứng bằng nhau. h. - Có hai đường chéo bằng nhau b. Hình thang vuông: - Cạnh bên vuông góc hai đáy Hình bình hành - Có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. b. h O a. - Diện tích S  h.a Hình thoi - Có các cạnh bằng nhau - Có 2 đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. h c. O d. - Diện tích S  h.a  c.d 106.

(107) Hình vuông cạnh a - Diện tích S  a 2 - Hai đường chéo vuông góc, bằng nhau. a. O. - O là tâm hình vuông Hình chữ nhật. b. - Diện tích S  ab - Hai đường chéo bằng nhau - O là tâm hình chữ nhật. a O. Định lý Talet. A. - Trong tam giác:  AM AN MN  AB  AC  BC  AM AN MN / / BC     MB NC   MB  NC  AB AC. N. M. d. B. C. - Trong mặt phẳng:. a.  AB A ' B '  AC  A ' C '  AB A ' B ' a / /b / / c     BC B ' C '   BC  B ' C '  AC A ' C '. - Trong không gian:. A. A' b. B. B'. c C. C'. Tương tự như trong mặt phẳng. Cho 2 đường thẳng bất kì các mặt phẳng song song chắn hai đường thẳng theo các đoạn thẳng tỉ lệ. 107.

(108) Các bài toán về thể tích và góc: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. S. Phƣơng pháp chung: - Xác định hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy - Khi đó góc giữa cạnh bên bất kì là góc giữa cạnh đó và hình chiếu của nó Ví dụ: SB với mặt phẳng đáy chính là. (. A. B. góc SBH H C D. Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy. S. Phƣơng pháp chung : - Xác định hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy - Xác định giao tuyến của mặt bên và mặt phẳng đáy - Kẻ SM vuông góc giao tuyến suy ra HM cũng vuông góc giao tuyến. A. B. - Khi đó góc giữa mặt bên và mặt đáy. H. chính là góc SMH. ( M C. D. - Nếu SA vuông góc đáy thì A là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy - Nếu hình chóp đều hoặc có cách cặp cạnh bên bằng nhau thì tâm O của đáy chính là hình chiếu của S - Sử dụng góc lượng giác trong tam giác vuông để tính đường cao. 108.

(109) Các bài toán về thể tích: Dạng toán cơ bản để lấy 0,5 điểm trong đề thi Các em cần xác định đƣợc góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy : Bƣớc 1 :. Xác định hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy. Bƣớc 2 :. Góc giữa cạnh bên và đáy : ta nối hình chiếu và giao điểm cạnh bên và đáy Góc giữa mặt bên và đáy : từ hình chiếu hạ vuông góc với giao tuyến của mặt bên và mặt phẳng đáy.. Sử dụng các công thức về cạnh và góc để tính độ dài cạnh và diện tích. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA vuông góc đáy các cạnh AB=a, BC=2a. Tính thể tích khối chóp trong các trường hợp sau : o a) SB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60 o b) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45. Giải :. a) Ta có : SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu. S. của S lên mặt phẳng đáy Nên góc giữa SB và mp(ABC) là góc giữa SB và AB :  SBA  60o Ta có : SA  AB.tan SBA  a.tan 60o  a 3 Và AC 2  BC 2  AB2  3a2  AC  a 3 A. C. (. Diện tích tam giác ABC : S ABC. B. 1 1 a2 3  AB. AC  a.a 3  2 2 2. Vậy thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC. 1 1 a 2 3 a3  .SA.S ABC  .a 3.  (dvtt) 3 3 2 2. 109.

(110) b) Hạ AH vuông góc BC ta suy ra SH vuông góc. S. BC ( Định lý 3 đường vuông góc) Khi đó góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa o hai đường thẳng SH và AH:  SHA  45. Áp dụng định lý về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC : A. C. AH .BC  AB. AC  AH . ( H. o Suy ra SA  AH .tan 45 . B. AB. AC a.a 3 a 3   BC 2a 2. a 3 2. Vậy thể tích khối chóp S.ABC:. VS . ABC. 1 1 a 3 a 2 3 a3  .SA.S ABC  . .  (dvtt) 3 3 2 2 4. Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có O là giao điểm AC và BD, SO=2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD trong các trường hợp sau: o a) Các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 45. o b) Các mặt bên tạo với mặt đáy một góc 45. Giải: a) Ta có S.ABCD là hình chóp đều nên:. S. SA=SB=SC=SD suy ra SO vuông góc đáy Suy ra O là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy o Các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 45. A. ). (. Ta có: SAO  SBO  SCO  SDO  45o B. Suy ra: AO  SO.tan 45o  2a  AC  2 AO  4a Do ABCD là hình vuông: AB . O. ) D. ( C. .  S ABCD  AB 2  2 2a Vậy thể tích VS . ABCD. . 2. AC 4a   2 2a 2 2.  8a 2. 1 16a3  .SO.S ABCD  (dvtt) 3 3 110.

(111) b) Từ O kẻ OM vuông góc AD suy ra M là. S. trung điểm AD. Suy ra SM vuông góc AD (Đ.lý 3 đường v.góc) Suy ra góc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy là góc o giữa SM và MO  SMO  45. Suy ra : MO  SO.tan 45o  2a  AB  2MO  4a. B. A. M.  S ABCD  AB2  16a 2. ) O. Vậy thể tích VS . ABCD C. D. 1 32a3  .SO.S ABCD  (dvtt) 3 3. Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (A‟BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o . Tính theo a thể tích lăng trụ. Giải: B'. A'. Ta có ABC.A‟B‟C‟ là lăng trụ đều nên AA‟ vuông góc mặt phẳng (ABC) suy ra A là hình chiếu của A‟ lên mặt phẳng (ABC) Từ A hạ AM vuông góc BC suy ra M là trung điểm BC ( Do ABC là tam giác đều). C'. Suy ra góc giữa mp(A‟BC) và mp(ABC) là góc. A. B. ( M C. giữa A‟M và AM  AMA '  60o a2 3 a 3 Ta có AM  và S ABC  4 2 o Suy ra AA '  AM .tan 60 . a 3 3a . 3 2 2. Vậy thể tích lăng trụ:. VABC . A' B 'C '  AA '.S ABC. 3a a 2 3 3 3a3  .  2 4 8. Ví dụ 4 : Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, ABC  30o và AB=2a. Hình chiếu của điểm A‟ lên mặt phẳng (ABC) là điểm H trung điểm của cạnh AB. Biết o A‟B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60 . Tính theo a thể tích lăng trụ.. Giải : 111.

(112) B'. A'. Ta có H là hình chiếu của A‟ lên mặt phẳng (ABC) nên suy ra A‟H vuông góc mp(ABC) Suy ra góc giữa A‟C và mp(ABC) là góc giữa A‟C và HC  A ' CH  60o. C' H. A. B. ( C. Tam giác ABC vuông tại C nên ta có :. 1 AC  AB.sin 30o  2a.  a 2 3 BC  AB.cos 30o  2a. a 3 2. HC . AB a 2. o Suy ra : A ' H  HC.tan 60  a 3. Và S ABC. 1 1 a2 3  . AC.BC  .a.a 3  2 2 2. Vậy thể tích lăng trụ : VABC . A' B 'C '  A ' H .S ABC. a 2 3 3a3 a 3  (dvtt) 2 2. Bài tập : 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB=BC=a, SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SB bằng 2a b. SC tạo với đáy một góc 45o c. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 45o 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB=AC=a, SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SB tạo với đáy một góc 45o , khi đó SBC là tam giác gì ? b. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các thường hợp sau: a. SB tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o 112.

(113) 4. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài các cạnh đáy bằng a. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. Cạnh bên có độ dài bằng a 3 b. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60o c. Các mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60o 5. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a, đỉnh S cách đều 3 điểm A, B, C. Gọi O là tâm của tam giác ABC, chứng minh rằng SO vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SA tạo với đáy một góc 30o b. Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, ABC  60o , SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SB tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, BAC  60o , hình chiếu của đỉnh S trên mp(ABC) là trung điểm của AC. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. Cạnh SA có độ dài bằng 2a b. Cạnh SB tạo với đáy một góc 60o c. Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o d. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 45o 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại đỉnh A, SA=SB=SC. Có AB  a, AC  2a , tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau : a. Tam giác SAB là tam giác đều b. Cạnh SA tạo với đáy một góc 60o c. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 30o 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mp(SAB) vuông góc đáy và SAB là tam giác cân tại S. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau : a. SC tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SAC) tạo với đáy một góc 45o 113.

(114) 10.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, M là trung điểm BC. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trung điểm AM, mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. 11.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A AB=AC=a, tam giác SBC đều và tạo vơi mặt phẳng đáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. 12.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm H nằm trên AB sao cho AH  2BH và SH vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau : a. Tam giác SAC cân tại C b. SAC tạo với đáy một góc 60o 13.Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o , SBC là tam giác vuông cân tại S và SB=SC=a. Tính thể tích hình chóp. 14.Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc  , SAB là tam giác đều cạnh a và ABC là tam giác cân tại C. Tính thể tích hình chóp theo a và  . 15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SC tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o c. Mp(SCD) tạo với đáy một góc 60o 16.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có cạnh AB  a, AC  a 3 . SA vuông góc đáy tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SC tạo với đáy một góc 30o b. Mp(SCD) tạo với đáy một góc 45o 17.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, đỉnh S cách đều các đỉnh A, B, C, D. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. Mặt bên tạo với đáy một góc 45o b. Góc giữa mp(SAB) và mp(SCD) là 30o 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC  120o có SA=SC, SB=SD. Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. 19.Cho hình chóp S.ACBD có đáy là hình chữ nhật AB=2AC=2a, SA=SB=SC=SD. Mp(SAB) vuông góc mp(SAC). Tính thể tích hình chóp.. 114.

(115) 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có BAC  30o , SAB là tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau : a. SD tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SAD) tạo với đáy một góc 60o 21.Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC  30o cạnh bên AA‟=a. Mp(ABC‟) tạo với đáy một góc 60o . Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ. 22.Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác cân tại A, AA‟=AB=AC=a. Mp(A‟BC) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ. 23.Cho hình lập phương ABCD.A‟B‟C‟D‟ cạnh a. Tính thể tích : a. Hình chóp A‟.ABCD b. Khối đa diện A‟B‟C‟.ABCD 24.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác đều, A‟ cách đều 3 đỉnh tam giác ABC. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp : a. Cạnh bên tạo với đáy một góc 60o b. Mp(ABB‟A‟) tạo với đáy một góc 60o 25.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2BC. Hình chiếu của A‟ lên mp(ABC) là trung điểm cạnh AC và AA‟=2a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau : a. Mp(A‟BC) tạo với đáy một góc 45o b. Mp(ABB‟A‟) tạo với đáy một góc 45o 26.Cho hình hộp ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy ABCD là hình chữ nhật, các cạnh bên hợp với đáy một góc 60o . Hình chiếu của đỉnh A‟ lên mp(ABCD) nằm trên cạnh AC, AA‟=2a. Tính thể tích hình hộp trong các trường hợp sau : a. Cạnh AC=2a và mp(ABB‟A‟) tạo với đáy một góc 60o b. Cạnh AC=a và AB=2AC 27.Cho lăng trụ đều ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác đều cạnh a, mp(A‟BC) tạo với mp(ABC) một góc 60o . Tính thể tích hình chóp A‟.B‟C‟CB. 28.Cho hình hộp ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy là hình thoi cạnh a, A‟A=A‟B  a, A‟D  a 2 , mp(A‟BD) vuông góc đáy. Tính thể tích hình hộp.. 115.

(116) Ứng dụng thể tích vào tìm khoảng cách: Ta chỉ quan tâm đến khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.. 3Vchop 1 V  . d , S  d  day Dùng công thứ:c chop  dinh , day  3  dinh,day  Sday Trong bài toán ta đã tính đƣợc thể tích khối chóp nên để tính khoảng cách từ điểm đên mặt phẳng ta chỉ cần tính đƣợc diện tích của mặt phẳng đáy tƣơng ứng. Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc đáy o và SA=a. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).. Giải: Ta có SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu của S. S. lên mặt phẳng (ABC) Kẻ AM vuông góc BC suy ra M là trung điểm BC Và góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa SM và AM  SMA  45o Suy ra AM  A. B. ( M C. SA a tan 45o. Tam giác ABC vuông cân tại A nên :. BC  2 AM  2a  AB  Suy ra S ABC . BC 2a  a 2 2 2. 1 AM .BC  a 2 2. Vậy thể tích: VS . ABC. 1 1 2 a3  .SA.S ABC  a.a  (dvtt) 3 3 3. Khoảng cách:. 1. 3V. S . ABC Ta có: VS . ABC  .d A, SBC  .SSBC  d A, SBC   3 SSBC. Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC) 3V d A, SBC   S . ABC S SBC. a3 3. a 2  2 3  2 a 2. 1 1 2 Mà: SSBC  .SM .BC  .a 2.2a  a 2 2 2 2 2 2 2 Do: SM  SA  AM  2a  SM  a 2. 116.

(117) Bài tập: Bài toán liên quan khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 1. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ S đến mp(ABC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD . 3a hình chiếu vuông 2. góc của S lên mp(ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD). 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC  30o , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). 4. Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A‟ lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa A‟C và mặt đáy bằng 60o . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ và khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC‟A‟). 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). 6. Cho lăng trụ ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A‟ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD‟A‟) và (ABCD) bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ đã chó và khoảng cách từ điểm B‟ đến mặt phẳng (A‟BD) theo a. 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA‟  a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B‟C. 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD  120o , M là trung điểm cạnh BC và SMA  45o . Tính theo a thể tích khối chóp. S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). 9. Cho hình hộp đứng ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy là hình vuông, tam giác A‟AD vuông cân, A‟C  a . Tính thể tích khối tứ diện ABB‟C‟ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD‟) theo a. 10.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết SB  2a 3 và SBC  30o . Tính thể tích khối chớp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 117.

(118) 11.Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA‟=2a, A‟C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A‟C‟, I là giao điểm của AM và A‟C. Tính theo a thể tích khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC). 12.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, ACB  60o . Đường thẳng B‟C tạo với mặt phẳng (ACC‟A‟) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ theo a và khoảng cách giữa điểm C‟ và mặt phẳng (AB‟C). Các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích : 13.Cho tình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi một vuông góc. M, N lần lượt là trung điểm SB và SC. Tính: a. Thể tích hình chóp S.AMN biết AB=AC=SA=a b. Mp(AMN) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 14.Cho hình chóp S.ABC có điểm M là trung điểm SA. Mặt phẳng qua M và song song mp(ABC) cắt SB tại N, SC tại P. Tính: a. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.ABC b. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.AMN 15.Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC tại C‟, cắt SB tại B‟ chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa 2 phần đó. 16.Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua SG và song song với AB chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 17.Cho tứ diện đều ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm trên cạnh SA sao cho SN=3NA. Mp(NGB) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 18.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, có SA=SB=SC và đôi một vuông góc. a. Mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc AC chia hình chóp thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó. b. Điểm N trên cạnh BD và BD=3BN, mặt phẳng qua N và vuông góc CD chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 19.Cho hình chóp S.ABC có điểm M trên SA sao cho AM=2SM, N trên SB sao cho BN=2SN. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chí khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.. 118.

(119) 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành, M là trung điểm SB. Mặt phẳng qua AM là song song với BC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 21.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là điểm trên cạnh SB. Mặt phẳng qua AM và song song BD chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó trong các TH sau: a. SM=2MB b. M là trung điểm SB 22.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có AD//BC, mặt phẳng qua AD song song BC cắt SB tại M, cắt SC tại N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau . Tính tỉ số. SM SB. 23.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (P) qua AB cắt SC, SD tại M và N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau. Tính tỉ số. SM SC. 24.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. B‟, D‟ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB‟D‟) cắt SC tại C‟. Tính tỉ số thể tích của S.AB‟C‟D‟ và S.ABCD 25.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SA=a . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B‟, SC tại C‟, SD tại D‟. Tính tỉ số thể tích giữa hai hình chóp S.AB‟C‟D‟ và S.ABCD. 26.Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC . Chứng minh mp(MNP) chia hình chóp thành hai phần bằng nhau. 27.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều a, SA vuông góc đáy và SA=2a. M là trung điểm SB. Mặt phẳng qua AM song song BC cắt SC tại N. Tính thể tích hình chóp S.AMN và khoảng cách từ A đến mp(SBC) 28.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SB tạo với đáy một góc 45o . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B‟, SC tại C‟, SD tại D‟. Tính thể tích hình chóp S.AB‟C‟D‟và: a. Khoảng cách từ S đến mp(AB‟C‟D‟) b. Khoảng cách từ B‟ đến mp(SAC) 29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA vuông góc đáy SA=AB=a, AC=2a. Điểm M là trung điểm SA và N trên SB thõa mãn SN=2NB, mặt phẳng (P) qua MN và song song AD cắt SC tại P, SD tại Q. a. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được chia bởi mp(P). Từ đó suy ra thể tích S.NMPQ 119.

(120) b. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNPQ) 30.Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Điểm C‟ là trung điểm SC, mặt phẳng qua AM và song song BD cắt SB tại B‟, SD tại D‟. Tính thể tích khối đa diện B‟C‟D‟.ABCD và khoảng cách từ giao điểm O của AC và BD đến mp(AB‟C‟D‟) Các bài toán về khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau: 31.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. 32.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. 33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 34.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a , AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A‟ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A‟.ABC và tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA‟ và B‟C‟. 35.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.. 120.

(121) F. SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH. KHÔNG GIAN. I.. Phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Ráp trục tọa độ vào bài toán hình không gian.  Bƣớc 2: Suy ra tọa độ của các đỉnh, các điểm trên hệ trục vừa ghép.  Bƣớc 3: Tùy vào yêu cầu của bài toán ta viết thêm phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng.  Bƣớc 4: Sử dụng các tính chất về Oxyz để làm.  Chú ý:  Bài toán ghép trục Oxyz yêu cầu tính toán dựa trên tính chất của véctơ, đường và mặt trong không gian nên phải có kiến thức cơ bản về Oxyz ở phần trên.  Phương pháp ghép trục Oxyz sẽ làm cho bài toán hình không gian trở nên dễ giải quyết hơn ở một khía cạnh nào đó.  Ta thường ghép trục để tính khoảng cách và góc trong bài toán hình không gian.. II.. Các bài toán ghép trục thƣờng gặp và cách suy ra tọa độ của các đỉnh. Các bài toán thƣờng gặp. Cách ghép trục.  S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,. y. hình vuông  SA vuông góc đáy.. S. Khi đó:. A  (0;0;0) B   AB ;0;0  C   AB ;0; AD  D   0;0; AD . B. A. x. S   0; SA ;0  D. C z. 121.

(122)  S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hình vuông.. y.  Các cạnh bên bằng nhau (SO vuông góc đáy).. S. Khi đó:. A  (0;0;0) B   AB ;0;0  C   AB ;0; AD . B. A. x. D   0;0; AD  O.  AB AD  S  ; SO ;  2   2. C. D z.  S.ABCD có đáy là hình thoi, hình vuông.. y.  Có SO vuông góc đáy. S. Khi đó:. O  (0;0;0) A  ( AO ;0;0). B   0;0;  OB  C   OC ;0;0 . B. A. D   0;0; OD . O. S   0; SO ;0 . D z. C x. 122.

(123)  S.ABCD có đáy là hình bình hành, hình thoi.. y.  SA vuông góc đáy:. S. Khi đó :. A  (0;0;0) B   AB ;0;0  C   AB  AH ;0; DH D   AH ;0; DH. . H B. A. . x. S   0; SA ;0  C. D z. y.  Đáy là hình bình hành.  Có SO vuông góc đáy.. S. Khi đó:. A  (0;0;0) B   AB ;0;0 . C   AB  AH ;0; DH D   AH ;0; DH. . H B. A. . x. O.  AB  AH DH  S  ; SO ;  2 2  . D. C. z. 123.

(124)  S.ABC có đáy là tam giác vuông, tam giác đều.. y.  SA vuông góc đáy. S. Khi đó:. A  (0;0;0) B   AB ;0;0  C   AH ;0; CH. . H B. A. S   0; SA ;0 . x. C z.  S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.  Các cạnh bên bằng nhau. Khi đó:. y. A  (0;0;0) B   a;0;0 . S. a a 3 C   AH ;0; CH    ; o;  2 2   H. a a 3 S   AH ; SO ; OH    ; SO ;  2 6  . B. A. x. O. C z. 124.

(125) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh, SA vuông góc đáy và. SA  a 15 . Điểm M là trung điểm CD, góc giữa SM và mặt phẳng đáy bằng 30o , N là trung điểm SB. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAM). Giải: Do SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu của. y. S lên mp(ABCD) Suy ra góc giữa SM và mp(ABCD) là góc giữa. S. SM và AM  SMA  30o o Suy ra: AM  SA.tan 30  a 15. N. 1 a 5 3. Gọi cạnh hình vuông là x x. B. A. Ta có : AD  x, DM . x x 5  AM  2 2. x 5  a 5  x  2a 2  S ABCD  x 2  4a 2 . ( C. D. M. Vậy thể tích :. z. VS . ABCD. . . Ta có: AS  0, a 15, 0 , AM   a, 0, 2a . .   AS , AM   2 15a 2 , 0,  15a 2. .  n SAM    2, 0, 1.  SAM  : 2  x  0   0  y  0    z  0   0  SAM  : 2 x  z  0 Khoảng cách từ N đến mp(SAM). 2a  0 2 1 2. Ghép hệ trục tọa độ như hình, với : A trùng với gốc tọa độ O AB trùng với trục Ox AS trùng với trục Oy AD trùng với trục Oz. Suy ra phương trình mặt phẳng (SAM):. d N  SAM  . 1 4 15a3  SA.S ABCD  (dvtt) 3 3. 2. . 2a 5. Suy ra:. A   0, 0, 0  , B   2a, 0, 0  , C   0, 0, 2a . . D   2a, 0, 2a  , S  0, a 15, 0. . Tọa độ M, N là trung điểm CD và SB nên:  a 15  M   a, 0, 2a  , N   a, , 0  2   125.

(126) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC tam giác vuông tại B góc ACB  30o , AC=2a. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AC, SH  a 2 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). -Đề minh họa của Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo 2015Giải: Ta có:. y. AB  AC.sin 30o  a S. BC  AC cos 30o  a 3  S ABC. 1 a2 3  AB.BC  2 2. Vậy thể tích VS . ABC K. H. A. (. x. C. 1 a3 6  SH .S ABC  3 6. Ghép hệ trục như hình: A trùng với gốc tọa độ O AC trùng với trục Ox Ay trùng với trục Oy. B. Az trùng với trục Oz. z. a a 3 Ta có: AB   , 0,  , AS  a, a 2, 0 2  2. . .  a2 3 a2 3 a2      AB, AS     , ,  2 2 2  . .  n SAB    6, 3, 2. . 6  x  0  3  y  0  2  z  0  0. 6x  3 y  2z  0 Khoảng cách dừ C đến mp(SAB):. dC , SAB  .  6.2a  3.0  2.0.  6    3   2  2. 2. . A   0, 0, 0  , C   2a, 0, 0  , S a, a 2, 0. 2. . . Hạ BK vuông góc AC, ta có: BK . AC  AB.BC  BK . AK 2  AB 2  BK 2 . Suy ra phương trình mp(SAB).  SAB  :   SAB  : . Suy ra:. AB.BC a 3  AC 2. a2 a  AK  4 2. a a 3  Suy ra tọa độ B   , 0, 2 2  . 2 6a 11. 126.

(127) Những bài toán hình không gian sẽ ở mức Trung Bình nên ta có thể làm bằng nhiều cách khác nhau. Chọn cách nào các em thấy phù hợp và dễ hiểu nhất. Tự ghép trục cho các bài toán khoảng cách ở phần trên để rèn luyện.. 127.

(128) TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A. Bài toán đếm tổng quát I.. Các định nghĩa: 1. Quy tắc cộng: Khi giải quyết một sự việc được chia thành nhiều trường hợp thì ta sử dụng quy tắc cộng: Trường hợp 1: có a cách Trường hợp 2: có b cách ……………………….. Trường hợp n: có z cách Vậy ta có a+b+...+z. cách thực hiện. 2. Quy tắc nhân: Khi giải quyết một sự việc nhưng phải trải qua nhiều giai đoạn mới hoàn thành thì ta sử dụng quy tắc nhân: Giai đoạn 1: có a cách Giai đoạn 2: có b cách ……………………... Giai đoạn n: có z cách Vậy ta có a.b…z cách thực hiện 3. Hoán vị : Cho tập hợp A có n phần tử. một hoán vị của n phần tử của A là một bộ sắp thứ tự n phần tử này, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số các hoán vị của n phần tử : Pn  n!  1.2.3...n 4. Chỉnh hợp : Cho tập hợp A có n phần tử và một số nguyên dương k, 1  k  n Chỉnh hợp n chập k phần tử của tập A là một bộ sắp thứ tự k phần tử từ n phần tử của A Số chỉnh hợp n chập k :. Ank . n! (n  k )!. 5. Tổ hợp : Cho tập hợp A có n phần tử và một số nguyên dương k, 1  k  n Tổ hợp n chập k phần tử của tập A là số tập con của A có k phần tử. Số tổ hợp n chập k :. Cnk . n! k!(n  k )!. 128.

(129) 6. Phân biệt :  Dùng qui tắc cộng khi làm một việc mà có nhiều trường hợp xảy ra quanh việc đó.  Dùng qui tắc nhân khi làm một việc mà phải trải qua đầy đủ các bước mới hoàn thành công việc đó.  Dùng hoán vị khi ta sắp xếp n vật vào n vị trí cố định.  Dùng chỉnh hợp khi chọn ra k vật trong n vật cho trước mà có xét thứ tự, có nghĩa là k vật lấy ra nếu một lần thay đổi vị trí sẽ cho ta một kết quả thì ta dùng chỉnh hợp.  Dùng tổ hợp khi chọn ra k vật trong n vật cho trước mà không xét thứ tự, có nghĩa là k vật lấy ra dù có thay đổi vị trí như thế nào cũng chỉ là 1 kết quả mà thôi.. II.. Các bài toán thƣờng gặp : 1. Bài toán 1 : Xếp vị trí  Xếp thành dãy : Xếp n đối tượng vào một dãy liên tiếp thì ta có n ! cách xếp.  Xếp vòng tròn : Xếp n đối tượng vào một bàn tròn thì ta sẽ cố định một đối tượng trước rồi sau đó xếp (n 1) đối tượng còn lại.  Xếp thành dãy sao cho có 1 nhóm k đối tƣợng ngồi gần nhau :  Ta xem k đối tượng là một đối tượng lớn, khi đó ta xếp  n  k  1 đối tượng vào các vị trí.  Và phải xếp vị trí của k đối tượng trong đối tượng lớn.  Xếp xen kẽ : Xếp m đối tƣợng A và n đối tƣợng B vào một hàng sao cho các đối tƣợng xen kẽ với nhau.(các đối tƣợng nhỏ trong A và B là khác nhau)  Nếu m  n thì ta có 2.n!.n! cách  Nếu m  n thì ta coi như đã xếp n đối tượng B rồi và xếp m đối tượng A vào các vị trí giữa 2 đối tượng của B.. Ví dụ 1 : Trường học tổ chức thi thử, trường có 2 tầng mỗi tầng 10 phòng và có 10 giáo viên nam, 10 giáo viên nữ. Hỏi trường có bao nhiêu cách chia giáo viên coi thi (mỗi giáo viên coi một phòng thi) a) Chia tùy ý. b) Chia sao cho tầng một là giáo viên nữ, tầng 2 là giáo viên nam. c) Mỗi tầng đều có 5 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ. Giải :. 129.

(130) a) Có 20 giáo viên được chia vào 20 phòng thi một cách tùy ý thì số cách chia chính là số hoán vị của 20. Ta có : 20! cách chia. b) Chia 20 giáo viên vào 20 phòng sao cho 10 giáo viên nữ ở tầng 1 và 10 giáo viên nam ở tầng 2 : Giai đoạn 1 : Chia sao cho tầng 1 gồm 10 giáo viên nữ thì ta có : 10! cách chia Giai đoạn 2: Chia sao cho tầng 2 gồm 10 giáo viên nam thì ta có : 10! cách chia Để chia hết 20 người thì ta phải trải qua 2 giai đoạn nên theo quy tắc nhân ta có: 10!.10! cách chia c) Chia 20 giáo viên sao cho mỗi tầng bao gồm 5 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ : Giai đoạn 1 : 5 Chọn 5 giáo viên nam cho tầng 1 : chọn 5 trong 10 người có C10 cách 5 Chọn 5 giáo viên nữ cho tầng 1 : chọn 5 trong 10 người có C10 cách. Sau khi chọn xong 10 người cho tầng 1 ta chia 10 người vào 10 phòng có 10 ! cách chia 5 2 Suy ra có C10 .C10 .10! cách chia giáo viên cho tầng 1.. Giai đoạn 2: còn lại 10 giáo viên gồm 5 nam 5 nữ nên ta chỉ việc chia 10 người vào 10 phòng của tầng 2, ta có: 10! Cách chia. 5 2 Vậy theo quy tắc nhân ta có C10 .C10 .10!.10! cách chia 20 giáo viên sao cho mỗi tầng. gồm 5 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ. Ví dụ 2: Bạn Cương và gấu cùng với một nhóm 8 người bạn nữa cùng đi ăn ở một nhà hàng. Mười người được xếp vào ngồi một bàn tròn 10 chổ ngồi. Hỏi coc bao nhiêu cách chia chổ ngồi sao cho: a) Ngồi tùy ý. b) Cương và gấu ngồi gần nhau. c) Cương và gấu không ngồi gần nhau. Giải: a) Xếp 10 người vào ngồi một bàn tròn đầu tiên ta cố định vị trí của một người trước, sau đó ta xếp 9 người còn lại vào 9 vị trí. Ta có: 9! cách xếp b) Để Cương và gấu ngồi gần nhau ta xem Cương và gấu là một đối tượng lớn cần xếp. Riêng Cương và gấu ta có 2! cách xếp Ta xem như đang xếp 9 người vào một bàn tròn, cố định một người ta có: 8! cách xếp. Theo quy tắc nhân ta có: 2! 8! cách xếp để Cương và gấu ngồi gần nhau. 130.

(131) c) Để Cương và gấu không ngồi cạnh nhau ta sử dụng phần bù. Lấy số cách xếp tùy ý trừ đi số cách xếp sao cho Cương và gấu ngồi cạnh nhau, ta có : 9! 2!8! cách xếp. Ví dụ 3 : Anh Dương có 10 quyển sách gồm 5 quyển sách Toán khác nhau và 5 quyển sách Văn khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách để anh Dương xếp thành một chồng 10 quyển sách sao cho : a) Sách Toán và sách Văn nằm xen kẽ nhau. b) 5 quyển sách Toán luôn nằm gần nhau. c) Không có 2 quyển sách Toán nào nằm gần nhau. Giải : a) Để sách Toán và sách Văn nằm xen kẽ nhau thì ta có 2 trường hợp : TH1 : T-V-T-V-T-V-T-V-T-V Với trường hợp này ta thấy sách toán nằm ở 5 vị trí cố định là 1-3-5-7-9 nên có : 5! cách Sách Văn nằm ở 5 vị trí cố định là 2-4-6-8-10 nên có 5! Cách Theo quy tắc nhân cho trường hợp này ta có 5!5! cách xếp. TH2 : V-T-V-T-V-T-V-T-V-T Với trường hợp này ta xếp tương tự với TH1 nên có 5!5! cách xếp Do chia ra 2 TH khác nhau nên theo quy tắc cộng ta có 5!5! 5!5!  2.5!5! cách xếp. b) Để 5 quyển sách toán luôn nằm gần nhau ta xem 5 quyển sách Toán là 1 đối tượng lớn, số cách xếp cho 5 quyển Toán là : 5! cách. Sau đó ta xếp 1 đối tượng sách Toán với 5 quyển cách Văn thì ta coi như xếp 6 quyển sách nên có : 6! Cách. Theo quy tắc nhân ta có 5!6! cách xếp. c) Để không có 2 cuốn sách toán nào nằm gần nhau thì giữa hai cuốn sách Toán phải là sách Văn. Đầu tiên ta xếp 5 cuốn sách Văn tùy ý, ta có : 5! cách xếp Khi đó sách Toán sẽ nằm ở các khoảng trống - giữa các sách Văn hoặc hai vị trí ngoài cùng : -V-V-V-V-VTa thấy có 6 vị trí - mà sách Toán có thể xếp vào. Ta có 5 quyển Toán và 6 vị trí có thể 5 xếp nên ta có A6 cách xếp. 5 Vậy theo quy tắc nhân ta có 5! A6 cách xếp.. 131.

(132) Bài tập vận dụng : 1) Xếp một nhóm có 10 nam và 10 nữ vào một dãy bàn có 20 chổ ngồi . Hỏi có bao nhiêu cách xếp để : a) Ngồi tùy ý.. Đ/s : 20 !. b) Nam nữ ngồi xen kẽ.. Đ/s : 2.10!10!. c) 10 nam luôn ngồi gần nhau.. Đ/s : 10!11!. 2) Một gia đình 8 người bao gồm: ông, bà, cha, mẹ, anh trai, chị gái và em út đi ăn tại một nhà hàng. Họ được xếp ngồi vào một bàn tròn, Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí: a) Các thành viên gia đình ngồi tùy ý.. Đ/s : 7 !. b) Em út luôn ngồi gần mẹ.. Đ/s : 2 !6 !. c) Em út luôn ngồi gần bà và mẹ.. Đ/s : 2 !5 !. 3) Một lớp học có 12 nam và 6 nữ chụp hình lưu niệm cuối năm cùng cô giáo. Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí để chụp hình sao cho mỗi một nữ đứng giữa hai nam. 7 Đ/s : 12!A11. 4) Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 nam và 10 nữ vào một bàn tròn sao cho nam nữ ngồi xen kẽ. Đ/s : 9!10! 5) Một bữa tiệc gồm 10 nam 10 nữ được xếp vào ngồi hai bàn tròn mỗi bàn 10 chổ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí để nam nữ ngồi xen kẽ. 5 5 Đ/s : C10C10  4!5!. 2. 6) Một nhóm học sinh chuyên toán bao gồm 4 học sinh lớp 12 và 4 học sinh lớp 11. Hỏi có bào nhiêu cách xếp 8 học sinh này vào hai dãy ghế đối diện (mỗi dãy 4 ghế) sao cho hai học sinh ngồi cạnh nhau không cùng lớp và hai học sinh đối diện nhau khác lớp. Đ/s : 2.4!4! 7) Xếp 12 học sinh bao gồm 6 nam và 6 nữ vào một dãy bàn dài 12 chổ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp : a) Nam nữ ngồi xen kẽ.. Đ/s : 12!. b) Luôn có đúng năm bạn nữ ngồi cạnh nhau.. 5 2 Đ/s : 6!A6 A7. c) Luôn có ít nhất năm bạn nữ ngồi cạnh nhau.. 5 2 1 Đ/s : 6! A6 A7  A7. .  132.

(133) 8) Có 5 cuốn sách Toán giống nhau, 4 cuốn sách Lý như nhau, 3 cuốn sách Hóa như nhau. Có bao nhiêu cách xếp 12 cuốn sách lên một dãy trên kệ sách: a) Xếp tùy ý. b) Sách Toán và sách Lý xen kẽ nhau. c) Với trường hợp các quyển sách là khác nhau hỏi có bao nhiêu cách xếp để sách Toán và Lý xen kẽ? Đ/s : a) 27720. b) 4. c) 4.3!4!5!. 9) Một buổi tiệc sinh nhật được tổ chức tại một nhà hàng gồm 25 người tham dự trong đó có 15 nam và 10 nữ có cả chủ bữa tiệc. Họ được sắp xếp vào một bàn hình chữ nhật dài có 26 chổ ngồi ( bao gồm cả hai đầu, mỗi đầu một chổ ngồi). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để chỉ riêng chủ buổi tiệc được ngồi ở hai đầu bàn và: a) Bên cạnh anh ta luôn là nữ. b) Bên cạnh anh ta là nữ và một nữ bao giờ cũng ngồi giữa hai nam. 2 Đ/s : a) 2. A10 .22!. . 6 6 3 5 7 4 b) 16.C10C14 6!6!8!A7  50.C10C14 7! A6. . 2. 10) Một lớp học gồm 41 thành viên tham gia học quân sự ở sân trường, gồm 24 nam và 17 nữ. Khi đại đội trưởng ra hiệu thì 41 thành viên sẽ xếp ngẫu nhiên thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp : a) Bạn nữ luôn đứng đầu và cuối hàng. b) Không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau. c) 17 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau. 2 Đ/s : a) A17 .39!. 17 b) 24!A25. 1 c) 17!24!A25. 133.

(134) 2. Bài toán 2 : Tìm số.  Số chẵn : Số có số hạng cuối cùng là số chẵn : 0, 2, 4, 6, 8.  Số chia hết cho 3: Số có tổng các số hạng chia hết cho 3.  Số chia hết cho 5: Số có số hạng cuối cùng là 0, 5.  Số chia hết cho 4: Số có hai số hạng cuối cùng là 00 hoặc chia hết cho 4.  Số chia hết cho 6: Số chẵn và chia hết cho 3.  Số chia hết cho 8: Số có ba số hạng cuối cùng là 000 hoặc chia hết cho 8.  Số chia hết cho 9: Số có tổng chia hết cho 9.  Phƣơng pháp:  Gọi số cần tìm có dạng a1a2 ....ai : Liệt kê các kết quả rồi dùng qui tắc cộng.  Nếu số cần tìm có các số hạng khác nhau và khác 0 thì ta dùng chỉnh hợp.  Nếu số cần tìm chưa khác 0 thì ta phải chia TH để xét a1 .  Bài toán tìm số cũng tƣơng đối giống bài toán xếp vị trí nếu ta coi một số hạng là một đối tƣợng. Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên: a) Có 3 chữ số? b) Có 3 chữ số khác nhau đôi một? c) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 d) Có 3 chữ số và chia hết cho 5 Giải: a) Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với ai 0,1, 2,...,9 Chọn số cho a1 : Có 9 cách chọn ( do số hạng đầu phải khác 0) Chọn số cho a2 : Có 10 cách chọn Chọn số cho a3 : Có 10 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 9.10.10  900 số tự nhiên thỏa mãn. b) Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với ai 0,1, 2,...,9 Chọn số cho a1 : Có 9 cách chọn (do số hạng đầu phải khác 0) Chọn số cho a2 : Có 9 cách chọn (do phải khác số hạng đầu). 134.

(135) Chọn số cho a3 : Có 8 cách chọn (do phải khác hai số đã chọn) Theo quy tắc nhân ta có 9.9.8  648 số tự nhiên thỏa mãn. c) Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với ai 0,1, 2,...,9 Số chia hết cho 2 thì là số chẵn nên a3 sẽ là một trong các số : 0, 2, 4, 6, 8 Do a1 phải khác 0 nên ta chia ra hai trường hợp TH1 : Chọn a3  0 khi đó : Chọn số cho a1 : Có 9 cách chọn Chọn số cho a2 : Có 8 cách chọn (do phải khác số hạng đầu và 0) Theo quy tắc nhân ta có 1.9.8  72 số tự nhiên thỏa mãn. TH2: Chọn a3 là các số 2,4,6,8 : có 4 cách chọn Chọn số cho a1 : Có 8 cách chọn (do phải khác a3 và khác 0) Chọn số cho a2 : Có 8 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 4.8.8  256 số tự nhiên thỏa mãn. Vậy ta sẽ có 72  256  328 số tự nhiên thỏa mãn. d) Số chia hết cho 5 sẽ có số hàng đơn vị là 0 hoặc 5 Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3 với ai 0,1, 2,...,9 Do a1 phải khác 0 nên ta chia ra hai trường hợp TH1 : Chọn a3  0 khi đó : Chọn số cho a1 : Có 9 cách chọn Chọn số cho a2 : Có 8 cách chọn (do phải khác số hạng đầu và 0) Theo quy tắc nhân ta có 9.8  72 số tự nhiên thỏa mãn. TH2: Chọn a3  5 Chọn số cho a1 : Có 8 cách chọn (do phải khác a3 và khác 0) Chọn số cho a2 : Có 8 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 8.8  64 số tự nhiên thỏa mãn. Vậy ta sẽ có 72  64  136 số tự nhiên thỏa mãn. 135.

(136) Ví dụ 2: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3. Giải: Số chia hết cho 3 là số có tổng chia hết cho 3. Nên ta sẽ chọn ra các bộ số có 3 số khác nhau từ các số 1, 2,3, 4,5 mà có tổng chia hết cho 3. Bao gồm các bộ: (1,2,3). (2,3,4). (3,4,5). Một lần hoán vị các bộ số sẽ cho ta một số cần tìm. Mỗi bộ số sẽ cho ta 3! số. Vậy ta có 3.3! số tự nhiên thỏa mãn. Ví dụ 3: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có: a) Có 7 chữ số khác nhau đôi một. b) Có 8 chữ số khác nhau và khác 0 trong đó số 1 và số 3 xuất hiện đúng 2 lần. c) Có 8 chữ số khác nhau trong đó số 0 xuất hiện đúng 3 lần. Giải: a) Cách 1: Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3a4 a5a6 a7 với ai 0,1, 2,..., 6 Các em tự chọn tiếp kết quả là 6.6.5.4.3.2.1  4320 số tự nhiên thỏa mãn. Cách 2: Ta thấy từ 0-6 có 7 số mà ta lập một số có 7 chữ số nên số các số cần tìm là số các hoán vị của 7, ta có 7! số tự nhiên. Nhưng do trong các số có số 0 nên sẽ xuất hiện các số có dạng 0a2 a3a4 a5a6 a7 không thỏa mãn nên ta chỉ cần tìm số các số này và trừ ra là được. Ta có số các số có dạng 0a2 a3a4 a5a6 a7 được lập từ 0-6 sẽ có : 6! số. Vậy theo phần bù thì số các số thỏa mãn là 7! 6!  4320 số tự nhiên. b) Số có 8 chữ số khác nhau và khác 0 trong đó số 1 và số 3 xuất hiện đúng 2 lần có nghĩa là số có 2 số 1, 2 số 3 và các số 2,4,5,6 xuất hiện 1 lần. Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8 Do số 1 và số 3 xuất hiện 2 lần và không xét đến thứ tự nên ta coi như xếp các số đó vào 8 vị trí cho trước : 2 Chọn 2 vị trí cho số 1 : C8 cách. 2 Chọn 2 vị trí cho số 3 : C6 cách. Các vị trí còn lại do mỗi số xuất hiện một lần nên ta chỉ cần xếp tùy ý nên có 4! cách 2 2 Vậy ta có C8 C6 4! số tự nhiên thỏa mãn.. 136.

(137) Bài tập vận dụng: 1) Có bao nhiêu số tự nhiên: a) Là số chẵn có 5 chữ số. b) Là số lẻ có 5 chữ số. c) Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau. d) Là số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5. 2) Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên từ cac số trên: a) Có 7 chữ số và là số chẵn. b) Có 7 chữ số và là số lẻ. c) Có 7 chữ số và chia hết cho 5. d) Có 3 chữ số và chia hết cho 3. 3) Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên lập từ các số trên và: a) Là số chẵn có 5 chữ số khác nhau. b) Là số chẵn có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 12. c) Là một số có 5 chữ số khác nhau và luôn luôn chứa số 5. d) Là một số có 5 chữ số sao cho số 5 xuất hiện đúng 2 lần và các số còn lại khác nhau. 4) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Có 6 chữ số phân biệt mà 2 chữ số 1 và 6 đứng liền nhau. b) Có 6 chứ số phân biệt mà 2 chữ số 1 và 6 không đứng liền nhau. c) Có 8 chữ số trong đó số 1 và số 6 xuất hiện 2 lần và các số còn lại xuất hiện đúng 1 lần. 5) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà có mặt số 0 và số 9. 6) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần. 7) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9. 8) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và lớn hơn 500000. 9) Từ các chữ số 1 đến 9 lập các số tự nhiên có 9 chữ số. Có bao nhiêu số tự nhiên: a) Có chữ số 9 đứng giữa. b) Có chữ số 9 đứng giữa và đôi một khác nhau. c) Có chữ số chẵn và chữ số lẽ xen kẽ nhau. 137.

(138) 10 ) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Có 3 chữ số khác nhau và bé hơn 345. b) Có 3 chữ số và bé hơn 345. 11 ) Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó: a) Chữ số đứng sau bé hơn chữ số đứng liền trước. b) Chữ số đứng trước bé hơn chữ số đứng liền sau. 12 ) Phương trình x  y  z  2014 có bao nhiêu bộ nghiệm (x ;y ;z) nguyên dương ? 13 ) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số : a) Các chữ số khác nhau đôi một. b) Các chữ số khác nhau đôi một luôn có chữ số 1 và 6. c) Các chữ số khác nhau đôi một luôn có chữ số 1 và 6, hai số 1, 6 phải đứng cạnh nhau. 14 ) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một, tính tổng của tất cả các số đó. 15 ) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau đôi một, tính tổng của tất cả các số đó.. 138.

(139) 3. Bài toán: Rút ra-Phân chia.  Chia một nhóm n đối tƣợng thành k nhóm nhỏ.  Do kết quả là một nhóm đối tượng nên sẽ không có thứ tự: ta dùng tổ hợp.  Chia làm nhiều giai đoạn phân chia: mỗi giai đoạn chọn đối tượng cho 1 nhóm.  Rút ra từ n đối tƣợng k đối tƣợng có tính chất khác nhau:  Tùy vào yêu cầu của đề mà ta phải sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp.  Nếu trong n đối tượng có nhiều nhóm đối tượng (a ,b ,c …) khác loại thì khi chọn đối tượng cho mỗi nhóm đối tượng đó ta dùng qui tắc nhân.  Nhừng bài toán có dạng: Số đối tượng cần chọn thuộc không quá i nhóm, thuộc nhóm a không quá m đối tượng … ta có thể dùng phần bù để làm. Ví dụ 1: Một tổ 12 thành viên gồm 8 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách chia 12 thành viên thành 4 nhóm nhỏ: a) Mỗi nhóm 3 người. b) Mỗi nhóm 3 người và có 2 nam và 1 nữ. Giải: a) Chia 12 thành viên thành 4 nhóm do cách chọn là không phân biệt thứ tự: 3 Chọn thành viên cho nhóm 1 có: C12 cách 3 Chọn thành viên cho nhóm 2 có: C9 cách 3 Chọn thành viên cho nhóm 3 có: C6 cách. Nhóm cuối là các thành viên còn lại. 3 3 3 Vậy theo quy tắc nhân ta có C12C9 C6 cách chia. 2 1 b) Chọn thành viên cho nhóm 1 có: C8 cách chọn 2 bạn nam và C4 cách chọn 1 bạn nữ nên 2 1 ta có C8 C4 cách chọn thành viên cho nhóm 1. 2 1 Chọn thành viên cho nhóm 2 có: C6 cách chọn 2 bạn nam và C3 cách chọn 1 bạn nữ nên. 2 1 ta có C6 C3 cách chọn thành viên cho nhóm 2. 2 1 Chọn thành viên cho nhóm 3 có: C4 cách chọn 2 bạn nam và C2 cách chọn 1 bạn nữ nên 2 1 ta có C4 C2 cách chọn thành viên cho nhóm 3. 2 1 2 1 2 1 Nhóm cuối gồm các thành viên còn lại. Vậy ta sẽ có C8 C4 .C6 C3 .C4 C2 cách chia.. 139.

(140) Ví dụ 2: Anh Dương có 5 tờ 50000đ, 6 tờ 20000đ và 4 tờ 10000đ các tờ tiền cùng mệnh giá là khác nhau. Đang là dịp Tết nên anh Dương quyết định lì xì cho 6 em học sinh mỗi học sinh một tờ. Hỏi có bao nhiêu cách lì xì để sau khi lì xì xong anh Dương còn lại đầy đủ cả 3 mệnh giá. Giải: Để sau khi lì xì xong anh Dương còn lại đầy đủ cả 3 mệnh giá thì mỗi mệnh giá tiền còn lại ít nhất 1 tờ. Do anh Dương chỉ lì xì cho 6 học sinh nên sẽ không có trường hợp cả 2 mệnh giá đều được lì xì hết. Ta sẽ dùng phần bù như sau: Chọn cách để anh Dương lì xì hết một mệnh giá bất kì rồi lấy phần bù sẽ là số cách lì xì mà còn lại đầy đủ cả 3 mệnh giá. TH1: Lì xì hết tờ 50000đ:. Chọn 5 tờ 50000đ: có 1 cách 1 Chọn 1 mệnh giá còn lại có: C10 cách. Lì xì cho 6 em học sinh có: 6! cách 1 Suy ra có C10 6! cách. TH2: Lì xì hết tờ 20000đ:. Chọn 6 tờ 20000đ: có 1 cách Lì xì cho 6 em học sinh có: 6! cách. Suy ra có 6! cách TH3: Lì xì hết tờ 10000đ:. Chọn 4 tờ 10000đ có: 1 cách 2 Chọn 2 mệnh giá còn lại có: C11 cách. Lì xì cho 6 em học sinh có: 6! cách 2 Suy ra có C11 6! cách. 1 2 Suy ra có C10 6! 6! C11 6!  66.6! cách lì xì để hết một mệnh giá bất kì.. 6 Số cách lì xì tùy ý là A15 cách 6 Vậy số cách để anh Dương lì xì mà còn lại đầy đủ cả 3 mệnh giá là: A15  66.6! cách.. Cách 2: Các em có thể xem như bài toán đếm và đếm, nhưng sẽ xảy ra rất nhiều trường hợp và rất dài.. 140.

(141) Bài tập vận dụng: 1) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. hỏi có bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Đáp số:. C124 C31C84C21. 2) Các thành viên trong đoàn trường gồm 12 thành viên, trong đó gồm 5 thành viên lớp A, 4 thành viên lớp B, 3 thành viên lớp C. Cần chọn 4 thành viên đi làm nhiệm vụ, Có bao nhiêu cách chọn để: a) Bốn thành viên phải có đủ học sinh của 3 lớp. b) Bốn thành viên này thuộc không quá 2 lớp. Đáp số:. 2 1 1 1 2 1 1 1 2 a) C5 C4C3  C5C4 C3  C5C4C3. b) 225. 3) Một hộp đựng 18 viên bi khác nhau, trong đó có 8 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 4 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra từ hộp 4 viên bi sao cho: a) Bốn viên bi có đủ cả 3 màu. b) Luôn có bi màu trắng. c) Bốn bi lấy ra không có đủ cả 3 màu. Đáp số:. a) 1440. b) 1320. c) 1620. 4) Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dể. Hỏi thầy giáo có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra từ 30 câu hỏi biết đề kiểm tra có 5 câu hỏi khác nhau , sao cho mỗi đề phải có đủ 3 loại câu và số câu hỏi dể không ít hơn 2. Đáp số:. 56875. 5) Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác 3 người mà có nam có nữ và có Toán và Lí. Đáp số:. 90. 6) Một thầy giáo có 12 cuốn sách khác nhau gồm 5 sách Văn, 4 sách Toán và 3 sách Lí. Thầy lấy 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh. Có bao nhiêu cách tặng mà sau khi tặng xong thì mỗi loại sách còn ít nhất 1 cuốn. Đáp số:. 579600. 7) Có 9 đội bóng tham gia một giải đấu trong đó có 3 đội bóng Việt Nam, 9 đội được chia thành ba bảng mỗi bảng 3 đội bóng. Hỏi có bao nhiêu cách chia bảng sao cho ba đội Việt Nam thuộc ba bảng khác nhau.. Đáp số:. 3!C62C42 141.

(142) B. NHỊ THỨC NEWTƠN I.. Các đại lƣợng tổ hợp: 1. Lý thuyết: . Pn  n!  1.2.3...(n  1).n. Qui ước : 0!  1 . Ank . Công thức :. n!  n  k !. Cnk  Cnnk. Cnk . n! k ! n  k !. Cnk  Cnk 1  Cnk11. Ank  Cnk .Pk. 2. Bài tập : 1/Giải các phương trình, bất phương trình sau : 1 2 3 a/ Cx  Cx  Cx . 7 x 2. k k 2 k 1 c/ C14  C14  2C14. e/. 1 2 6 A2 x  Ax2  Cx3  10 2 x. . 2 2 b/ Px Ax  72  6 Ax  2Px. . 1 2 3 2 d/ Cx  6Cx  6Cx  9 x  14 x. 3 2 f/ Ax  5 Ax  21x  0. 142.

(143) II.. Nhị thức Newton : 1. Lý thuyết :  Nhị thức Newton :.  a  b. n.  Cn0 an  Cn1 an1.b  Cn2 an 2 .b2  ...  Cnn1a.bn1  Cnn bn.  Có n  1 số hạng. k nk k  Số hạng tổng quát : Cn a .b.  Số hạng thứ k :. Cnk 1a nk 1.bk 1.  Số hạng đầu ứng với k  0  Các dạng thƣờng gặp : .  a  b. n.  Cn0 a n  Cn1a n1.b  Cn2 a n2 .b2  ...   1 Cnnbn n. k nk k Số hạng tổng quát :  1 Cn a .b k. . 1  x . n.  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn1 x n1  Cnn x n. k k Số hạng tổng quát : Cn x. . 1  x . n. k k Hệ số của x là : Cn.  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...   1. k k Số hạng tổng quát :  1 Cn x k. n 1. Cnn1 x n1   1 Cnn x n n. k k Hệ số của x là :  1 Cn k. 2. Các dạng toán thƣờng gặp : k a. Dạng toán : Tìm số hạng thứ k hay hệ số của x trong khai triển P(x).  Bƣớc 1 : Viết số hạng tổng quát của của khai triển P(x)  Bƣớc 2 : - Nếu đề yêu cầu tìm số hạng thứ k thì ta lấy số hạng tương ứng với (k-1). k - Nếu đề yêu cầu tìm hệ số của x thì ta tìm k tương ứng rồi suy ra hệ số..  Đặc biệt : k  Nếu P(x) cho dưới dạng tổng của nhiều khai triển thì hệ số của x của P(x). k là tổng các hệ số của x trong từng khai triển nhỏ..  Nếu P(x) cho dưới dạng tích của nhiều khai triển (thường là 2) thì ta phải chia nhiều trường hợp để tìm số hạng. 143.

(144) Bài tập vận dụng : 1) Viết ba số hạng đầu tiên trong khai triển :  3  2x . 8. 3 2) Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức :. b/ Q( x)   3x  2 . a/ P( x)   4  3x . 9. 10. 9 3) Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức :. a/ A( x)  1  x   1  x   1  x  b/ B( x)  3 1  x   2 1  2 x   1  3 x  9. 10. 11. c/ C ( x)  1  x 1  2 x . 10. 11. 12. d/ D( x)   2 x  3 1  x . 9. 2. . 3 4) Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển x  xy. 8. . 30.  2 1 1002 trong khai triển  x  3  2001 5) Tìm hệ số của x x   6) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : 7. 18. 2  3 b/  x  4  ; x  0 x .  3 2 a/  x  3  x   n. 1   n n 1 x   Cnn2  79 c/  2  Biết : Cn  Cn x   18. 1 5  n 1 n 8 7) Tìm số hạng chứa x trong khai triển  3  x  Biết Cn4  Cn3  7(n  3) x  2 8 8) Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 1  x (1  x) . 8. 9) Tìm hệ số lớn nhất của khai triển 1  2x  . 12. 28.  2 y 10 ) Tìm số hạng trong khai triển  x   có số mũ x gấp bốn lần số mũ y. x  n. 11 ) Biết hệ số của x. n2. 1  trong khai triển  x   bằng 31. Tìm n. 4 . 3 n 3 12 ) Với n nguyên dương, a3n 3 là hệ số của x trong khai triển thành đa thức của biểu. .   x  2 . Tìm n để a. 2 thức : x  1. n. n. 3 n 3.  26n 144.

(145) III.. Xác suất : 1. Lý thuyết :  Không gian mẫu : Tất cả các khả năng xảy ra của phép thử. Kí hiệu   Biến cố : Một biến cố A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi một tập con  A nào đó của không gian mẫu. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập  A . Mỗi phần tử của  A được gọi là một kết quả thuận lợi của A.  Xác suất của một biến cố : Giả sử phép thử T có không gian mẫu là  và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố và  A là tập hợp mô tả A thì xác suất của A được tính bằng công thức :. P( A) . A . Với  A : tất cả các biến cố thuận lợi của A ;  : là độ lớn của không gian mẫu. Tính chất : 0  P( A)  1 với mọi biến cố A  Biến cố xung khắc : Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra..  A  B    Biến cố đối : Là biến cố không A hay A không xảy ra. Kí hiệu : A Ta có : P(A)  1  P(A)  Biến cố độc lập : Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra A không ảnh hưởng gì đến xác suất xảy ra của B và ngược lại.  Biến cố hợp : Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra A hoặc xảy ra B. Kí hiệu : A  B  Biến cố giao : Biến cố giao của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra đồng thời A và B. Kí hiệu : AB. 145.

(146)  Các qui tắc xác suất :  Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì :. P( A  B)  P( A)  P( B) Tổng quát : Nếu n biến cố đôi một xung khắc A1 , A2 ,..., An. P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )  Nếu hai biến cố A và B độc lập thì :. P( AB)  P( A).P( B) Tổng quát : Nếu n biến cố đôi một độc lập A1 , A2 ,..., An. P( A1 A2 ... An )  P( A1 ).P( A2 )...P( An ). 1. Phƣơng Pháp Giải Toán :  Bài toán cơ bản :  Bƣớc 1 : Tính độ lớn không gian mẫu :   Bƣớc 2 : Gọi biến cố cần tìm xác xuất. Tính các kết quả thuận lợi của A :  A  Bƣớc 3 : Dùng công thức tính xác suất.  Các bước tìm độ lớn KGM và các kết quả thuận lợi của A ta làm như phần bài toán đếm.  Dùng qui tắc xác suất :  Bƣớc 1 : Tính độ lớn không gian mẫu :   Bƣớc 2 : Gọi các biến cố Ai liên quan. Tính P( Ai ) , P( Ai )  Bƣớc 3 : Dựa vào câu hỏi của đề gọi biến cố cần tìm. Quy các biến cố cần tìm trở thành biến cố hợp hoặc biến cố giao của các biến cố Ai .  Bƣớc 4 : Dùng qui tắc xác suất để tính. Bài toán xác suất thực tế là một bài toán tổ hợp  Xác định đúng không gian mẫu.  Định hình đƣợc đề bài và câu hỏi và tìm các khả năng xảy ra của biến cố.  Xác định đúng chỉnh hợp và tổ hợp để tránh trƣờng hợp sai đáng tiếc.  Xử dụng phần bù đúng sẽ tránh đƣợc các lỗi lặp.  Đề thi sẽ cho ở mức độ Trung Bình-Khá nhƣng phải hiểu đúng mới làm đƣợc. 146.

(147) Ví dụ 1 : Có 10 học sinh được xếp vào một dãy ghế 10 chổ ngồi trong đó có hai bạn A và B. Tính xác suất để A và B ngồi gần nhau. Giải : Không gian mẫu là số cách xếp 10 người vào 10 vị trí   10! Goi A là biến cố : „„ Hai bạn A và B ngồi gần nhau ‟‟. Số các kết quả thuận lợi của A :  A  2!9! Xác suất để A và B ngồi gần nhau là P  A . A . . 2!9! 1  10! 5. Ví dụ 2 : Bạn A đưa người yêu về ra mắt gia đình. Cả nhà 8 người cùng nhau đi ăn tại một nhà hàng và được xếp vào ngồi một bàn tròn. Cả nhà ngồi vào bàn một cách ngẫu nhiên tính xác suất để A và người yêu không ngồi gần nhau. Giải : Ta có không gian mẫu là số cách xếp 8 người vào một bàn tròn   7! Gọi A là biến cố : „„ A và người yêu không ngồi gần nhau‟‟ Suy ra A là biến cố : „„ A và người yêu ngồi gần nhau‟‟ Số các kết quả thuận lợi của A là  A  2!6!.  . Ta có xác suất để A và người yêu ngồi gần nhau P A . A . . 2!6! 2  7! 7.  . Vậy xác suất để A và người yêu không ngồi gần nhau : P  A  1  P A  1 . 2 5  7 7. Ví dụ 3 : Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi khác nhau, mỗi câu hỏi có 4 đáp án để học sinh lựa chọn. Một học sinh cá biệt khoanh đáp án một cách ngẫu nhiên, tính xác suất để học sinh này đạt được đúng 5 điểm. ( Mỗi câu đúng được một điểm) Giải : Gọi Ai là biến cố : „„ Học sinh khoanh đúng đáp án câu thứ i‟‟ với i  1, 2...,10 Suy ra Ai là biến cố : „„ Học sinh khoanh sai đáp án câu thứ i‟‟ Ta có : P  Ai  .  . 1 3  P Ai  1  P  Ai   4 4. Gọi B là biến cố : „„ Học sinh đạt được 5 điểm‟‟ 147.

(148) Để đạt được 5 điểm thì học sinh này phải đánh đúng đáp án đúng 5 câu và sai 5 câu 5 Ta có : C10 cách.   . 5 Theo quy tắc xác suất thì : P  B   C10 .  P  Ai   . P Ai 5. 5.  0.0583992. Bài tập: 1) Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để: a) Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7. b) Ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. c) Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. Đáp số:. a) 7/12. b) 11/36. c) 5/18. 2) Một bình đựng 8 bi xanh khác nhau, 4 bi đỏ khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tính xác suất để: a) Ba bi được chọn là ba bi xanh.. Đáp số : 14/55. b) Ba bi được chọn là ba bi đỏ.. Đáp số : 1/55. 3) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chon ra 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong số bi lấy ra không có đủ cả ba màu. Đáp số :. 48/91. 4) Một tổ có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chi tổ thành 3 nhóm 4 người. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên được nhóm nào cũng có nữ. Đáp số : 16/55 5) Gieo ba con xúc xắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con xúc xắc bằng 9. Đáp số : 25/216 6) Một bình đựng 6 bi xanh và 5 bi đỏ. Chọn ra 2 bi, tính xác suất để : a) Hai bi chọn ra cùng màu.. Đáp số :. 5/11. b) Hai bi chọn ra khác màu.. Đáp số :. 6/11. 7) Một chiếc xe máy có hai động cơ, hai động cơ này hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là 0,8. Xác suất để động cơ 2 chạy tốt là 0,7. Tính xác suất để : a) Cả hai động cơ đều chạy tốt.. Đáp số :. 14/25. b) Có đúng một động cơ chạy tốt.. Đáp số :. 19/50. c) Có ít nhất một động cơ chạy tốt.. Đáp số :. 47/50. 8) Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng mục tiêu là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom. Đáp số :. 47/50 148.

(149) 10 ) Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp 2 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 bi. Tìm xác suất để được ít nhất một bi đỏ. Đáp số :. 29/50. 11 ) Xác suất bắn trúng hồm tâm của một cung thủ là 0,2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập : a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần.. Đáp số :. 48/125. b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.. Đáp số :. 61/125. 12 ) Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 2 bi đỏ và 8 bi trắng. Các viên bi chỉ khác nhau về màu. Chia cho 2 người 2 hộp bi và lấy ngẫu nhiên ra 3 viên từ hộp của mình. Tìm xác suất để số bi đỏ lấy ra bằng nhau. Đáp số : 33/75 13 ) Một gia đình 4 người vào một tiệm ăn trên đường Hùng Vương. Thực đơn tiệm có 8 món ăn, mỗi thành viên chọn 1 món ngẫu nhiên. Tính xác suất để bốn người gọi bốn món khác nhau. Đáp số : 105/256 14 ) Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 bạn nam và 4 bạn nữ. Tổ chia thành 4 nhóm nhỏ, mỗi nhóm 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ. A là một bạn nam, B là một bạn nữ trong tổ. Tính xác suất để A và B được chia về cùng một nhóm. Đáp số : 1/16 15 ) An và Linh cùng 6 bạn khác chia làm 2 nhóm mỗi nhóm 4 bạn để chơi rượt bắt. Hỏi xác suất để An và Linh được ở chung một nhóm là bao nhiêu ? Đáp số : 3/7 16 ) Cuộc thi bóng đá VFF được tổ chức có 9 đội bóng tham gia, trong đó có 3 đội bóng Việt Nam và 6 đội bóng từ các nước khác. Các đội bóng tham gia được chia làm 3 bảng mỗi bảng 3 đội. Bang tổ chức cho các đội bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để 3 đội bóng Việt Nam nằm ở 3 bảng khác nhau. Đáp số : 9/28 17 ) Trong cuộc thi „„Rung chuông vàng‟‟ thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi Bang tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm. Đáp số : 1/15504 18 ) Hai thí sinh A và B tham gia buổi thí vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng một câu hỏi ; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết bộ 10 câu hỏi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau. Đáp số :. 1/120 149.

(150)

HOC KIEN THUC 12 ON THI CAP TOC

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về