Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P1 pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.8 KB, 9 trang )
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
____________________________________________________________
Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An
Hớng dẫn giải bài tập
Bài 1: Giải và biện luận bất phơng trình
4x
2
- 2(m +
m1+
)x + m
m1+
< 0 (1)
Giải: + m + 1 < 0
m1+
không có nghĩa không tồn tại bất phơng trình (m <
-1).
+ Nếu m + 1 0 m -1 giải nghiệm tam thức vế trái đợc
x
a
=
2
m
; x
b
=
2
1m +
+ Nếu
2
m
<
2
1m
+
m <
1m
+ -1 m <
2
51
+
thì nghiệm của (1) là
2
1m
x
2
m +
<<
+ Nếu
2
m
>
2
1m +
m >
2
51+
thì nghiệm của (1) là
2
m
x
2
1m
<<
+
+ Nếu
2
51
m
2
1m
2
m +
=
+
=
(1) vô nghiệm
Bài 2: Tìm m để bất phơng trình x
2
- 2mx + 2
x - m
+ 2 > 0 với
x
Giải:
+ Thêm bớt m
2
ta có:
(x - m)
2
+ 2
x - m
+ 2 - m
2
> 0 với
x
+ Đặt
x - m
= t
0
bất phơng trình trở thành
f(t) = t
2
+ 2t + 2 - m
2
> 0
t
0
t
đỉnh
= -1
Vậy t
0 hàm f(t) đồng biến và
( )
0t
tfmin
= f(0) = 2 - m
2
Do đó f(t) > 0 với
t
0
2 - m
2
> 0
m
<
2
Bài 3: Tìm a để x
2
- ax + 1 > 0 (1) với
x > 0
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
____________________________________________________________
Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An
Giải:
+ (1)
x +
a
x
1
>
+ Đặt f(x) = x +
x
1
> 0 với
x > 0 tơng đơng
( )
0x
axfmin
>
>
+ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x +
x
1
2 với
x > 0 dấu bằng xảy ra khi x
=
x
1
0x>
x = 1
()
0x
xfmin
>
= f(1) = 2 > a
+ KL: a < 2 thì (1) đúng
x > 0
Bài 4: Tìm m để bất phơng trình:
0
xcos
m1m
mmxcosm
22
22
>
+
+
với
x (1)
Giải:
+ Đặt t = cos
2
x
t
[0, 1] khi đó bất phơng trình trở thành
0
mt1m
mmmt
2
2
>
+
+
(mt - m + m
2
)(m
2
+ 1 - mt) > 0 (2)
Với
t
[0, 1]
+ Với m = 0
(2) không nghiệm
+ Với m
0
Tam thức vế trái có hệ số của t
2
là -m
2
< 0 do đó để
[0, 1]
là nghiệm.
()
()
()
()
>
<
>+
>
>
>
<
<
1m
0m
01mm
0mm
01f
00f
01fm
00fm
2
2
2
2
+ Kết luận m < 0 hoặc m > 1 bất phơng trình (1) đúng
x
Bài 5: Tìm a để 2 bất phơng trình sau tơng đơng.
(a - 1)x - a + 3 > 0 (1)
(a + 1)x - a - 2 > 0 (2)
Giải:
+ Nếu a =
1
(1):
031
>+
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
____________________________________________________________
Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An
021 >
không tơng đơng
+ Nếu a > 1 nghiệm của (1) là x >
1a
3a
và của (2): x >
1a
2a
+
+
để (1) tơng
đơng (2)
5a
1a
2a
1a
3a
=
+
+
=
.
+ Nếu -1 < a < 1: nghiệm của (1): x <
1a
3a
và nghiệm của (2): x >
1a
2a
+
+
2
khoản trên không thể trùng nhau
không tơng đơng.
+ Nếu a < -1: nghiệm của (1): x <
1a
3a
và của (2) x <
1a
2a
+
+
(1) tơng đơng (2)
1a
2a
1
a
3a
+
+
=
a = 5 (loại)
+ Kết luận: a = 5, 2 bất phơng trình tơng đơng.
Đ3. Vấn đề 3: Phơng trình - bất phơng trình bậc 2 chứa giá
trị tuyệt đối.
A. Một số phơng pháp giải:
Để giải phơng trình, bất phơng trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ngời ta
thờng tìm cách khử giá trị tuyệt đối bằng một số phơng pháp sau:
1. Phơng pháp dùng định nghĩa
a. Bất phơng trình:
f(x)
> g(x)
() ()
() ()
()
()
( ) ( )
()
()
() ()
=
<
=
=
<
>
xgxf
0xf
0xf
xgxf
xgxf;
xgxf
xgxf
b. Bất phơng trình:
f(x)
< g(x)
( )
() () ()
<<
>
xgxfxg
0xg
c.
f(x)
=
g(x)
f(x) =
g(x)
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
____________________________________________________________
Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An
2. Phơng pháp luỹ thừa
a.
f(x)
> g(x)
() ()
()
()
()
( ) ( )
()
()
()
<
=
=
>
bptcủadịnhxáctậpDx
0xg
0xg
xgxf
xgxf;
0xg
xgxf
2222
b. f(x) < g(x)
() ()
<
>
xgxf
0)x(g
22
c.
f(x)
g(x)
f
2
(x)
g
2
(x)
[f(x) + g(x)][f(x) - g(x)]
0
3. Phơng pháp chia khoảng: tìm nghiệm của các biểu thức trong giá trị tuyệt
đối, xét dấu các biểu thức đó rồi dựa vào định nghĩa phá giá trị tuyệt đối các biểu thức;
sau đó giải phơng trình - bất phơng trình trên từng khoảng đã đợc phá giá trị tuyệt
đối và kết luận.
4. Phơng pháp hàm số và đồ thị: Dùng đồ thị của hàm số bậc 2 và bậc nhất để
giải bài toán phơng trình - bất phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối bằng cách: điều
chỉnh các vế của phơng trình - bất phơng trình sao cho một vế việc vẽ đồ thị dễ
dàng và thờng cố định vế kia đồ thị di động theo tham số hoặc cũng là đồ thị cố định
và dễ vẽ. Từ đó xét vị trị tơng đối của 2 đồ thị ở 2 vế của phơng trình - bất phơng
trình mà suy ra kết quả.
B. Các ví dụ:
(1) Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:
x
2
- 5x + 5
-2x
2
+ 10x - 11(1)
Cách 1: + Đặt x
2
- 5x + 5 = y thì bất phơng trình (1) trở thành
y
-2y - 1
điều kiện -2y - 1 > 0
y < -
2
1
y < 0
Bất phơng trình trở thành: -y
-2y - 1
y
-1 vậy ta có
x
2
- 5x + 5
-1
x
2
- 5x + 6
0
2
x
3.
+ Kết luận: nghiệm của bất phơng trình là 2
x
3
Cách 2: Bằng phơng pháp khoảng: xét dấu của x
2
- 5x + 5
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng
____________________________________________________________
Trn V n Thỏi - Tr ng PTTH Chu Vn An
x
-
2
55
2
55 +
+
x
2
-5x+5 0 0 - 0 +
+ Xét trên khoảng x <
2
55
(1) x
2
- 5x + 5
-2x
2
+ 10x - 11 giải bất
phơng trình trên khoảng x <
2
55
... các em tự làm trên các khoảng vẽ có kết quả
nh trên.
2. Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phơng trình:
x
2
- 5x + 4
< 2a (1)
Giải: đặt y
1
=
x
2
- 5x + 4
=
()
<<+
+
4x1với45xx
4x1;xvới45xx
2
2
Vẽ đồ thị y =
x
2
- 5x + 4
+ Đặt y = a và vẽ đồ thị là đờng thẳng song song ox cắt oy ở điểm có tung độ
bằng 2a.
+ Từ đồ thị ta có
-2a
0 bất phơng trình vô nghiệm (vì đồ thị y
1
trên y
2
)
- 0 < a
8
9
bất phơng trình có nghiệm: x
A
< x < x
B
; x
C
< x
D
9/4
0 4
A B
C D
y
2
= a
y
1
= x
2
- 5x + 4
