Chuyên đề 6 toán 10 vecto có lời giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (818.52 KB, 55 trang )
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Bài 01
ĐỊNH NGHĨA VECTO
1. Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có
hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.
Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là
uuu
r
uuu
r
AB và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ được vectơ AB
ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút
B.
r r r r
a, b, x, y, ...
Vectơ cịn được kí hiệu là
khi khơng
cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.
2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
uuu
r
uuur
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương.
3. Hai vectơ bằng nhau
uuu
r
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của AB
uuu
r
AB ,
uuu
r
AB = AB.
được kí hiệu là
như vậy
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
r
r
r
r
Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a = b
uur
r
r
Chú ý. Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta ln tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA = a.
4. Vectơ – không
Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm
đầu và điểm cuối của nó.
Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A.
uuu
r
Vectơ này được kí hiệu la AA và được gọi là vectơ – không.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ
Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là:
uuur
DE .
uuu
r
uuur
A. DE .
B.
C. ED.
D. DE .
ABC
Câu 2. Cho tam giác
, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu và
A
,
B
,
C?
điểm cuối là các đỉnh
A. 3.
B. 6.
C. 4.
D. 9.
Câu 3. Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu và cuối là các đỉnh của
tứ giác?
A. 4.
B. 6.
C. 8.
D. 12.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vơ số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Khơng có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó:
uuur
uuu
r
A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC.
uuur
uuu
r
B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.
uuu
r
uuur
C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.
uuu
r
uuur
D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB = AC.
Câu 6. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Hỏi cặp vectơ
nào sau đây cùng hướng?
uuuu
r
uur
uuur
uuu
r
A. MN và CB. B. AB và MB.
uuur
uuur
uuur
C. MA và MB.
uur
D. AN và CA.
uuu
r
Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ khác vectơ khơng, cùng phương với OC có
điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU
uuur
Câu 8. Với DE (khác vectơ khơng) thì độ dài đoạn ED được gọi là
uuu
r
uuu
r
A. Phương của ED.
B. Hướng của ED.
uuu
r
ED.
C. Giá của
Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuu
r
r
A. AA = 0.
D. Độ dài của
uuu
r
ED.
r
B. 0 cùng hướng với mọi vectơ.
uuu
r
AB > 0.
r
C.
D. 0 cùng phương với mọi vectơ.
Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
uuu
r
D.
Chúng
cùng
uuu
r
Câu 12. Cho tứ giác ABCD . Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD ?
A. ABCD là hình bình hành.
B. ABDC là hình bình hành.
BC
C. AD và
có cùng trung điểm. D. AB = CD.
uuu
r
uuu
r
Câu 13. Từ mệnh đề AB = CD , ta suy ra
uuu
r
uuu
r
A. AB cùng hướng CD.
uuu
r
uuu
r
B. AB cùng phương CD.
uuu
r
uuu
r
AB = CD .
C.
D. ABCD là hình bình hành.
Hỏi khẳng định nào là sai?
Câu 14. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây
sai?
uuu
r
uuur
A. AB = DC.
uur
uuur
B. OB = DO.
uur
uuu
r
C. OA = OC.
uur
uuu
r
D. CB = DA.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định
nào sau đây là sai?
uuu
r
uuuu
r
QP = MN .
uuuu
r uuu
r
A. MN = QP.
uuuu
r
uuur
MN = AC .
uuur uuur
C. MQ = NP.
B.
D.
ABCD
Câu 16. Cho hình vng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuur
uuu
r
uuu
r
A. AC = BD.
uuu
r
B. AB = CD.
uuu
r
uuu
r
AB = BC .
uuu
r uuur
AB
, AC cùng hướng.
C.
D.
Câu 17. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uur uuu
r
uur
uuu
r
A. OA = OC.
B. OB và OD cùng hướng.
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
AC = BD .
C. AC và BD cùng hướng.
D.
M, N
AB, AC
ABC
Câu 18. Gọi
sau đây đúng?
lần lượt là trung điểm của các cạnh
uuur uuur
MA = MB.
uuu
r uuur
AB = AC.
A.
B.
Câu 19. Cho tam giác ABC đều cạnh
A.
uuuu
r a 3
AM =
.
2
B.
uuur uuur
MB = MC.
Câu 20. Cho hình thoi ABCD cạnh
uuu
r
BD = a.
uuu
r uuur
AB = AD.
a.
. Đẳng thức nào
uuu
r
uuuu
r
BC = 2 MN .
uuuu
r uuu
r
MN = BC.
C.
D.
Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây đúng?
C.
a
của tam giác đều
uuuu
r a 3
AM =
.
2
D.
uuuu
r
AM = a.
�
và BAD = 60�. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
uur
uuu
r
A.
B.
C. BD = AC.
D. BC = DA.
Câu 21. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O . Đẳng thức nào sau đây là sai?
A.
uuu
r uuu
r
AB = ED.
B.
uuu
r
uuur
AB = AF .
C. OD = BC.
D. OB = OE .
uuu
r
Câu 22. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các
đỉnh của lục giác là
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 6.
ABC
Câu 23. Cho tam giác
có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
A. HA = CD và AD = CH .
B. HA = CD và AD = HC .
C. HA = CD và AC = CH .
D. HA = CD và AD = HC và OB = OD .
Câu 24. Cho
A. 0.
uur
uuu
r r
AB �0
uuu
r
r
và một điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB = CD ?
uuu
r
uuu
r
Câu 25. Cho AB �0 và một điểm C , có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD.
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vô số.
Lời giải chi tiết
Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ
Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là:
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
uuur
DE .
uuu
r
uuur
A. DE .
B.
C. ED.
D. DE .
Lời giải. Chọn D.
Câu 2. Cho tam giác ABC , có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh A, B, C ?
A. 3.
B. 6.
C. 4.
D. 9.
uuu
r uuu
r uuu
r uur uur uuur
AB, BA, BC, CB, CA, AC.
Lời giải. Chọn B. Đó là các vectơ:
Câu 3. Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu và cuối là các đỉnh của
tứ giác?
A. 4.
B. 6.
C. 8.
D. 12.
Lời giải. Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 12 cách chọn 2
điểm trong 4 điểm của tứ giác (có tính thứ tự các điểm) nên có thể lập được 12 vectơ. Chọn D.
Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vơ số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Khơng có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Lời giải. Chọn A. Vì Vectơ - khơng cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó:
uuur
uuu
r
A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC.
uuur
uuu
r
B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.
uuu
r
uuur
C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.
uuu
r
uuur
D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB = AC.
Lời giải. Chọn A.
Câu 6. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Hỏi cặp vectơ
nào sau đây cùng hướng?
uuuu
r
uur
uuu
r
uuur
uuur
A. MN và CB. B. AB và MB.
Lời giải. Chọn B.
uuur
C. MA và MB.
uuur
uur
D. AN và CA.
uuu
r
Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với OC có
điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
Lời giải. Chọn B.
Đó là các vectơ:
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r uur
AB, BA, DE , ED, FC, CF
.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU
uuur
Câu 8. Với DE (khác vectơ khơng) thì độ dài đoạn ED được gọi là
uuu
r
uuu
r
A. Phương của ED.
B. Hướng của ED.
uuu
r
C. Giá của ED.
Lời giải. Chọn D.
Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuu
r
r
uuu
r
D. Độ dài của ED.
r
A. AA = 0.
B. 0 cùng hướng với mọi vectơ.
C.
D. 0 cùng phương với mọi vectơ.
uuu
r
AB > 0.
r
uuu
r
AB ۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺ
0 =
A
B.
Lời giải. Chọn C. Vì có thể xảy ra trường hợp
Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
D.
hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Lời giải. Chọn D.
Câu 11. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uur
uur
uuu
r
AB
cùng
uuur
uuu
r
A. CA = CB.
Chúng
B. AB và AC cùng phương.
uur
CB
C.
và
ngược hướng.
Lời giải. Chọn B.
D.
uuu
r
uuu
r
AB = BC .
uuu
r
uuu
r
Câu 12. Cho tứ giác ABCD . Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD ?
A. ABCD là hình bình hành.
B. ABDC là hình bình hành.
C. AD và BC có cùng trung điểm. D. AB = CD.
Lời giải. Ta có:
ۺ
uuu
r uuu
r �AB P CD
AB = CD � �
� ABDC
�
�
�AB = CD
là hình bình hành.
uuu
r uuu
r
�AB P CD
��
� AB = CD
�
�
ۺMặt khác, ABDC là hình bình hành �AB = CD
.
uuu
r uuu
r
Do đó, điều kiện cần và đủ để AB = CD là ABDC là hình bình hành. Chọn B.
uuu
r uuu
r
Câu 13. Từ mệnh đề AB = CD , ta suy ra
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
A. AB cùng hướng CD.
B. AB cùng phương CD.
uuu
r
uuu
r
AB = CD .
C.
D. ABCD là hình bình hành.
Hỏi khẳng định nào là sai?
Lời giải. Chọn D. Phải suy ra ABDC là hình bình hành.
Câu 14. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây
sai?
uuu
r
uuur
uur
uuur
uur
uuu
r
uur
uuu
r
A. AB = DC.
B. OB = DO.
C. OA = OC.
D. CB = DA.
Lời giải. Chọn C.
Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định
nào sau đây là sai?
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
uuuur uuu
r
MN
=
QP
.
A.
B.
uuu
r
uuuu
r
QP = MN .
Véc tơ 10
uuur uuur
C. MQ = NP.
D.
uuuu
r
uuur
MN = AC .
Lời giải. Chọn D.
�
MN P PQ
�
�
�
�MN = PQ
1
AC
2
Ta có
(do cùng song song và bằng
).
Do đó MNPQ là hình bình hành.
Câu 16. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
A. AC = BD.
B. AB = CD.
C.
D. AB, AC cùng hướng.
uuu
r
uuu
r
AB = BC .
uuu
r uuur
uuu
r
uuu
r
AB = BC � AB = BC .
Lời giải. Chọn C. Vì
Câu 17. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uur
uuu
r
uur
A. OA = OC.
uuur
AC
uuu
r
B. OB và OD cùng hướng.
uuur
uuu
r
AC = BD .
uuu
r
BD
C.
và
cùng hướng.
D.
Lời giải. Chọn D.
Câu 18. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Đẳng thức nào
sau đây đúng?
uuur uuur
MA = MB.
A.
Lời giải.
B.
uuu
r uuur
AB = AC.
C.
uuuu
r uuu
r
MN = BC.
D.
uuur
uuuu
r
BC = 2 MN .
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC .
uuu
r
uuuu
r
BC = 2MN ��
� BC = 2 MN .
Do đó
Chọn D.
ABC
Câu 19. Cho tam giác
đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây đúng?
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
uuur uuur
MB = MC.
A.
Lời giải. Chọn D.
uuuu
r a 3
AM =
.
2
B.
Câu 20. Cho hình thoi ABCD cạnh
uuu
r
uuur
A. AB = AD.
Lời giải.
B.
uuu
r
BD = a.
Véc tơ 10
C.
a
uuuu
r
AM = a.
uuuu
r a 3
AM =
.
2
D.
�
và BAD = 60�. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r
uuur
C. BD = AC.
uuu
r
uuur
D. BC = DA.
uuu
r
BD = a ��
� BD = a.
Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a nên
Chọn B.
Câu 21. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O . Đẳng thức nào sau đây là sai?
uuu
r uuu
r
AB = ED.
A.
B.
Lời giải. Chọn D.
uuu
r
uuur
AB = AF .
uuu
r
uuu
r
C. OD = BC.
uur
uuu
r
D. OB = OE .
uuu
r
Câu 22. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các
đỉnh của lục giác là
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 6.
Lời giải.
uuu
r uuur
Đó là các vectơ: AB, ED . Chọn A.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Câu 23. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
A. HA = CD và AD = CH .
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
B. HA = CD và AD = HC .
C. HA = CD và AC = CH .
Lời giải.
uur
uuu
r
D. HA = CD và AD = HC và OB = OD .
�
Ta có AH ^ BC và DC ^ BC (do góc DCB chắn nửa đường tròn). Suy ra AH P DC.
Tương tự ta cũng có CH P AD.
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
Suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành. Do đó HA = CD và AD = HC . Chọn B.
Câu 24. Cho
A. 0.
uuu
r r
AB �0
và một điểm
B. 1.
C
. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
C. 2.
D. Vô số.
uuu
r
uuu
r
AB = CD � AB = CD
Lời giải. Ta có
tâm C, bán kính AB . Chọn D.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB = CD ?
. Suy ra tập hợp các điểm D thỏa u cầu bài tốn là đường trịn
uuu
r
r
uuu
r
Câu 25. Cho AB �0 và một điểm C , có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD.
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vô số.
Lời giải. Chọn A.
TỔNG VÀ HIỆU CỦA 2 VECTO
1. Tổng của hai vectơ
r
r
uuu
r
r
r
r
uuu
r
r
uuur
Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a và BC = b. Vectơ AC được gọi
r
r
r
r
uuur
r
r
là tổng của hai vectơ a và b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là a + b. Vậy AC = a + b.
Phép tốn tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
2. Quy tắc hình bình hành
Véc tơ 10
uuu
r
uuur
uuur
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC.
3. Tính chất của phép cộng các vectơ
r r r
Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có
r r r r
a + b = b + a (tính chất
r r
r r r r
a +b +c = a + b + c
(
)
(
r r r r r
a + 0 = 0+ a = a
)
giao hốn);
(tính chất kết hợp);
(tính chất của vectơ –
không).
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vectơ đối
r
r
r
r
Cho vectơ a. Vectơ có độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là - a.
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của
r
r
uuu
r
AB
uuu
r uuu
r
uuur
AB
=
BA
.
BA
,
là
nghĩa là
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0.
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ
Như vậy
r
r r r
a- b = a + - b
r
a
và
r
b.
Ta gọi hiệu của hai vectơ
r
a
và
r
b
là vectơ
r
r
a+ - b ,
( )
( )
uuu
r
uur
uur
Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có AB = OB - OA.
kí hiệu
r r
a - b.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Chú ý. 1) Phép tốn tìm hiệu của hai vectơ cịn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta ln có
uuu
r uuu
r uuur
AB + BC = AC
uuu
r uuur uur
AB - AC = CB
(quy tắc ba điểm);
(quy tắc trừ).
Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.
5. Áp dụng
uur
uu
r
r
a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
r
b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA +GB +GC = 0.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r
uuur
uuu
r
uur
uuu
r
uur
r
r
uuur
uuuu
r
uuu
r
uur
uuu
r
A. AB + AC = BC.
B. MP + NM = NP.
C. CA + BA = CB.
D. AA + BB = AB.
r
uuu
r
r
r
Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai?
r r
A. Hai vectơ a, b cùng phương.
r r
a, b
r r
B. Hai vectơ a, b ngược hướng.
r r
a, b
C. Hai vectơ
cùng độ dài.
D. Hai vectơ
chung điểm đầu.
A
,
B
,
C
Câu 3. Cho ba điểm phân biệt
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uur
uur
uuu
r
uuur
uuu
r
A. CA - BA = BC.
B. AB + AC = BC.
C. AB +CA = CB.
D. AB - BC = CA.
uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r
uur
Câu 4. Cho AB = - CD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
A. AB và CD cùng hướng.
B. AB và CD cùng độ dài.
B. ABCD là hình bình hành.
D. AB + DC = 0.
uuu
r
uuur
r
uuuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r
MN
+
PQ
+
RN
+
NP
+
QR
Câu 5. Tính tổng
.
uuur
uuuu
r
uuu
r
uuur
A. MR.
B. MN .
C. PR.
D. MP.
Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:
uur uu
r
uur
uur
uur uur
A. IA = IB.
B. IA = IB.
C. IA = - IB.
D. AI = BI .
Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?
uur uur r
uur uur r
uur uu
r
A. IA = IB.
B. IA + IB = 0.
C. IA - IB = 0.
D. IA = IB.
Câu 8. Cho D ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
uuu
r uuur
AB = AC.
uuur
uuu
r
HC =- HB.
uuu
r uuu
r
AB = BC.
uuu
r uuu
r
AB = CD.
uuu
r
uuur
AB = AC .
uuu
r
uuur
A.
B.
C.
D. BC = 2HC.
Câu 9. Cho hình vng ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
B.
Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?
C.
uuur uuu
r
AC = BD.
D.
uuur
uur
AD = CB .
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
uuur
uuur
r
A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
r
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA +GB +GC = 0.
uur
uuu
r
uur
C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB +CD = CA.
D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì
uuu
r uuur
uuur
AB + BC = AC .
Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
uur
uur
uuu
r
uuur
uuu
r
uur
uuu
r
uuu
r
uur
uuu
r uuu
r
uuur
uuu
r
A. OA - OB = CD.
B. OB - OC = OD - OA.
C. AB - AD = DB.
D. BC - BA = DC - DA.
uuu
r
uur
uuu
r
Câu 12. Gọi O là tâm hình vng ABCD . Tính OB - OC .
uuu
r
uuu
r
uuu
r uur
uuu
r
A. BC.
B. DA.
C. OD - OA.
D. AB.
Câu 13. Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá. Khẳng định nào sau đây đúng?
r
A. Cộng 5 vectơ ta được kết quả là 0.
r
B. Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là 0.
r
C. Cộng 121 vectơ ta được kết quả là 0.
D. Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là 0.
Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r
uuu
r
uur
A. AB = BC = CA.
uuu
r
uuu
r
uur
AB = BC = CA = a.
uur
uuu
r
uur
uuu
r
B. CA = - AB.
C.
D. CA = - BC.
Câu 15. Cho tam giác ABC , với M là trung điểm BC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuuu
r
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
r
A. AM + MB + BA = 0.
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uur
uuur
uuur
B. MA + MB = AB.
C. MA + MB = MC.
D. AB + AC = AM .
Câu 16. Cho tam giác ABC , với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Khẳng định nào sau
đây sai?
uuur
r
A. AB + BC + AC = 0.
uuuu
r
uuu
r
uuur
r
r
B. AP + BM +CN = 0.
C. MN + NP + PM = 0.
D. PB + MC = MP.
A
,
B
,
C
Câu 17. Cho ba điểm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r
A. AB + BC = AC.
uuu
r uuu
r
uur
uuu
r
AB = BC � CA = BC .
uuu
r
uur
r
B. AB + BC +CA = 0.
uuu
r uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
C.
D. AB - CA = BC.
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uuur
r
A. AB + AC = AH .
r
B. HA + HB + HC = 0.
C. HB + HC = 0.
D. AB = AC.
ABC
Câu 19. Cho tam giác
vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
A.
uuur uuu
r
uuur uuur
AH + HB = AH + HC .
uuu
r uuu
r uuur uuu
r
BC - BA = HC - HA.
uuur
uuur
B. AH - AB = AC - AH .
uuur
uuu
r uuur
AH = AB - AH .
C.
D.
M , N, P
Câu 20. Cho
lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ
uuur uuur
MP + NP bằng
uuu
r
A. AP.
vectơ nào?
uur
B. PB.
uuuu
r
C. MN .
uuur
uuu
r
D. MB + NB.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
O
Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với ( ) tại hai điểm A và
B . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uur
uur
uuu
r
A. OA =- OB.
uur
C. OA =- OB.
B. AB = - OB.
D. AB =- BA.
Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT �( T và T �là hai tiếp điểm). Khẳng định nào
sau đây đúng?
uuuu
r
uuuur
uuur
uuuu
r
.
. C. MT = MT �
.
.
A. MT = MT �
B. MT + MT �=TT �
D. OT =- OT �
Câu 23. Cho bốn điểm A, B, C, D . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r
uuu
r
uuur
uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
A. AB +CD = AD +CB.
B. AB + BC +CD = DA.
C. AB + BC = CD + DA.
D. AB + AD = CD +CB.
uuu
r
uur
uur
Câu 24. Gọi O là tâm của hình vng ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng CA ?
uuu
r
uuu
r
uur
uur
uuu
r
uuu
r
uur
uuu
r
uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uur
A. BC + AB.
B. - OA +OC.
C. BA + DA.
D. DC - CB.
Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. OA +OC +OE = 0.
B. BC + FE = AD.
C. OA +OC +OB = EB.
D. AB +CD + EF = 0.
uuu
r
uuur
( AO Câu 26. Cho O là tâm hình bình hành ABCD . Hỏi vectơ
uuu
r
BA.
uuu
r
BC.
uuur
DO
)
uuur
DC.
bằng vectơ nào?
uuu
r
AC.
A.
B.
C.
D.
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD và tâm O của nó. Đẳng thức nào sau đây sai?
uur
uur
uuu
r
uuu
r
r
A. OA +OB +OC +OD = 0.
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuur
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
B. AC = AB + AD.
uuu
r uuu
r
uuur uuur
BA + BC = DA + DC .
uur
C.
D. AB +CD = AB +CB.
Câu 28. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ; hai điểm E , F lần lượt là trung điểm AB, BC . Đẳng thức
nào sau đây sai?
uuur
uuu
r uuu
r
A. DO = EB - EO.
uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
ur
uuur
uuu
r
uuu
r
B. OC = EB + EO.
r
C. OA +OC +OD +OE +OF = 0.
D. BE + BF - DO = 0.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. GA +GC +GD = BD.
B. GA +GC +GD = CD.
C. GA +GC +GD = O.
D. GA +GD +GC = CD.
ABCD
Câu 30. Cho hình chữ nhật
. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r
uuur
uuur
r
A. AC = BD.
B. AB + AC + AD = 0.
C.
D.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB - AD = AB + AD
uuu
r uuur
uuur uuu
r
BC + BD = AC - AB .
Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh
A.
C.
uuu
r uuur
AB + AC = a 3.
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.
a.
Khi đó
uuu
r uuur
AB + AC
bằng:
uuu
r uuur a 3
AB + AC =
.
2
B.
D. Một đáp án khác.
Câu 32. Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB = a . Tính
uuu
r uuur
AB + AC .
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
A.
C.
C.
uuu
r uuur a 2
AB + AC =
.
2
B.
uuu
r uuur
AB + AC = a.
uuu
r uuur
AB + AC = a 2.
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.
Câu 33. Cho tam giác
A.
uuu
r uuur
AB + AC = 5.
D.
ABC
B.
uuu
r uuur
AB + AC = 3.
D.
uur uuu
r
CA + AB = 2.
C.
uuu
r uuur
AB + AC = a 3.
uuu
r uuur
AB + AC = 2 3.
uur uuu
r
CA + AB
AB
=
3,
AC
=
4
A có
. Tính
.
uur uuu
r
uur uuu
r
CA + AB = 2 13.
CA + AB = 5.
C.
� = 120�
AB = AC = a, ABC
. Tính
B.
uuu
r uuur a
AB + AC = .
2
D.
uuur uuur
AB + AC = a.
độ dài vectơ tổng
uur uuur a
uur uuur 3a
CA - HC = .
CA - HC = .
2 B.
2
A.
Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác
r uuu
r uuu
r
v = GB + GC .
r
r
v = 2.
v = 2 3.
B.
A.
C.
C.
B.
uuur uuu
r
AC + BD = a 5.
r
v = 8.
D.
uuur uuu
r
AC + BD
D.
uuur uuu
r
AC + BD = a 3.
uur uuur
CA - HC .
A.
B.
uuu
r uuur
AB - DA = a.
C.
A.
B.
uur uuu
r
OB +OC = a 2.
C.
r
v = 4.
.
uuu
r uuur
AB - DA .
uuu
r uuur
AB - DA = a 2.
Câu 40. Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O . Tính
uur uuu
r
OB +OC = a.
độ dài của vectơ
uuur uuu
r
AC + BD = 5a.
Câu 39. Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính
uuu
r uuur
AB - DA = 0.
uuu
r uuur
AB + AC .
uur uuur 2 3a
uur uuur a 7
CA - HC =
.
CA - HC =
.
3 D.
2
C.
vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 . Tính
Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC = 2a, BD = a . Tính
uuur uuu
r
AC + BD = 3a.
D.
uur uuu
r
CA + AB = 13.
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.
Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a , H là trung điểm của BC . Tính
A.
uuur
uuu
r uuur
AB + AC = 2 5.
B.
Câu 35. Tam giác ABC có
A.
uuu
r
vng cân đỉnh C , AB = 2 . Tính độ dài của AB + AC.
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại
A.
Véc tơ 10
D.
uur uuu
r
OB +OC
uur uuu
r
a
OB +OC = .
2
uuu
r uuur
AB - DA = 2a.
.
uur uuu
r a 2
OB +OC =
.
2
D.
Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
uuur
uuur
uuur
r
Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác định vị trí điểm M .
A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .
B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
C. M trùng C.
D. M là trọng tâm tam giác ABC.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Câu 42. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn
A. đường thẳng AB.
B. trung trực đoạn BC.
C. đường tròn tâm A, bán kính BC.
D. đường thẳng qua A và song song với BC.
uuur uuur
uuur uuu
r
MB - MC = BM - BA
uuur
uuur
là?
uuur
uuuu
r
Câu 43. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB - MC = MD là?
A. một đường tròn.
B. một đường thẳng.
C. tập rỗng.
D. một đoạn thẳng.
uuur
uuur
uuu
r
Câu 44. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB + MC = AB . Tìm vị trí điểm M .
A. M là trung điểm của AC.
B. M là trung điểm của AB.
C. M là trung điểm của BC.
D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM .
uuur
uuur
uuur
r
Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA - MB + MC = 0 . Mệnh đề nào sau đây
sai?
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
A. MABC là hình bình hành.
B. AM + AB = AC.
C. BA + BC = BM .
D. MA = BC.
uuu
r
uuu
r
uuur
Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r
uuur
uur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuuu
r
uuu
r
uur
uuu
r
A. AB + AC = BC.
B. MP + NM = NP.
C. CA + BA = CB.
Lời giải. Xét các đáp án:
D. AA + BB = AB.
uur
uuu
r
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
uuu
r
uuu
r
ۺĐáp án A. Ta có AB + AC = AD �BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy A sai.
uuuu
r
uuur
uuu
r
ۺĐáp án B. Ta có MP + NM = NM + MP = NP . Vậy B đúng.
ۺĐáp án C. Ta có
hành). Vậy C sai.
uur uuu
r
uuur uuu
r
uuur uur
CA + BA = - AC + AB = - AD �CB
(
uuu
r
uur
r
)
r
r
(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình
uuu
r
ۺĐáp án D. Ta có AA + BB = 0+ 0 = 0 �AB . Vậy D sai.
Chọn B.
r
r
r
r
r
Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai?
r r
A. Hai vectơ a, b cùng phương.
r r
C. Hai vectơ a, b cùng độ dài.
Lời giải. Chọn D.
r
r
r
r r
B. Hai vectơ a, b ngược hướng.
r r
D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu.
r
Ta có a = - b . Do đó, a và b cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.
Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uur
uur
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uur
A. CA - BA = BC.
B. AB + AC = BC.
C. AB +CA = CB.
Lời giải. Xét các đáp án:
D. AB - BC = CA.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
uur
uuu
r
uur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uur
uur
Véc tơ 10
uur
uuu
r
ۺĐáp án A. Ta có CA - BA = CA + AB = CB = - BC . Vậy A sai.
uuu
r
ۺĐáp án B. Ta có AB + AC = AD �BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy B sai.
uuu
r
uur
ۺĐáp án C. Ta có AB +CA = CA + AB = CB . Vậy C đúng. Chọn C.
uuu
r
uuu
r
Câu 4. Cho AB = - CD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
A. AB và CD cùng hướng.
B. AB và CD cùng độ dài.
B. ABCD là hình bình hành.
D. AB + DC = 0.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
r
Lời giải. Ta có AB = - CD = DC .
Do đó:
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
ۺAB và CD ngược hướng.
ۺAB và CD cùng độ dài.
uuu
r
uuu
r
ۺABCD là hình bình hành nếu AB và CD khơng cùng giá.
uuu
r uuu
r r
AB +CD = 0.
ۺ
Chọn B.
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
Câu 5. Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR .
uuur
A. MR.
uuuu
r
B. MN .
uuu
r
uuur
C. PR.
D. MP.
uuuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuuu
r
MN
+
PQ
+
RN
+
NP
+
QR
=
MN
+
NP
+
PQ
+
QR
+
RN
=
MN
Lời giải. Ta có
.
Chọn A.
Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:
uur
uur
uur
uur
uur
uur
uur
uur
uur
uur
A. IA = IB.
B. IA = IB.
C. IA = - IB.
D. AI = BI .
Lời giải. Chọn C.
Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?
A. IA = IB.
r
B. IA + IB = 0.
uur
uur
r
C. IA - IB = 0.
D. IA = IB.
uur
uu
r
uur
uur
r
Lời giải. Điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là IA = - IB � IA + IB = 0 . Chọn
B.
Câu 8. Cho D ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
uuu
r uuur
AB = AC.
uuu
r
uuur
AB = AC .
uuur
uuu
r
HC =- HB.
uuu
r
uuur
A.
B.
C.
D. BC = 2HC.
Lời giải.
D ABC cân ở A , đường cao AH . Do đó, H là trung điểm BC
.
Ta có:
ۺ
uuu
r
uuur
AB = AC ��
� AB = AC
uuur
uuu
r
�
HC = - HB
�
BC ��
��
uuu
r
uuur
�
BC = 2HC
�
�
.
ۺH là trung điểm
Chọn A.
Câu 9. Cho hình vng ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r
AB = BC.
A.
Lời giải.
B.
uuu
r uuu
r
AB = CD.
C.
uuur uuu
r
AC = BD.
D.
uuur
uur
AD = CB .
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
uuu
r uuur
�AB = DC
�
r
uur
uuur
uur
��
��
�uuur uuu
�
AD = BC =- CB � AD = CB
�
ABCD là hình vng
�
.
Chọn D.
Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuur
uuur
r
A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
r
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA +GB +GC = 0.
uur
uuu
r
uur
C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB +CD = CA.
D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì
uuu
r uuur
uuur
AB + BC = AC .
Lời giải. Chọn D.
uuu
r uuu
r
uuur
AB + BC = AC
A, B, C
Vời ba điểm phân biệt
năm trên một đường thẳng,
khi B nằm giữa A và C .
O
ABCD
Câu 11. Gọi là tâm hình bình hành
. Đẳng thức nào sau đây sai?
uur
uur
uuu
r
uuur
uuu
r
uur
uuu
r
uuu
r
uur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
A. OA - OB = CD.
B. OB - OC = OD - OA.
C. AB - AD = DB.
Lời giải. Xét các đáp án:
D. BC - BA = DC - DA.
uuu
r
uur
uur
uuu
r
uuu
r
ۺĐáp án A. Ta có OA - OB = BA = CD . Vậy A đúng.
ۺĐáp án B. Ta có
ۺĐáp án C. Ta có
ۺĐáp án D. Ta có
Chọn B.
uur uuu
r uur
uuur
�
OB - OC = CB =- AD
�
�uuu
r uur uuur
�
OD - OA = AD
�
�
. Vậy B
uuu
r uuur uuu
r
AB - AD = DB. Vậy C đúng.
uuu
r uuu
r uuur
�
BC - BA = AC
�
�uuur uuur uuur
�
�
�DC - DA = AC
sai.
. Vậy D đúng.
uur
uuu
r
Câu 12. Gọi O là tâm hình vng ABCD . Tính OB - OC .
uuu
r
uuu
r
A. BC.
uur
B. DA.
uuu
r
uur
uuu
r
uur
C. OD - OA.
uuu
r
uuu
r
D. AB.
Lời giải. Ta có OB - OC = CB = DA . Chọn B.
Câu 13. Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá. Khẳng định nào sau đây đúng?
r
A. Cộng 5 vectơ ta được kết quả là 0.
r
B. Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là 0.
r
C. Cộng 121 vectơ ta được kết quả là 0.
D. Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là 0.
r
Lời giải. Cộng số chẵn các vectơ ngược hướng cùng độ dài ta được vectơ 0 . Chọn B.
Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r
uuu
r
uur
uur
uuu
r
uur
uuu
r
A. AB = BC = CA.
B. CA = - AB.
C.
D. CA = - BC.
uuu
r
uuu
r
uur
AB = BC = CA = a.
uuu
r
uuu
r
uur
AB = BC = CA = a
Lời giải. Độ dài các cạnh của tam giác là a thì độ dài các vectơ
.
Chọn C.
Câu 15. Cho tam giác ABC , với M là trung điểm BC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
uuuu
r
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuur
Véc tơ 10
r
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuuu
r
A. AM + MB + BA = 0.
B. MA + MB = AB.
C. MA + MB = MC.
Lời giải. Xét các đáp án:
D. AB + AC = AM .
uuuu
r
uuur
uuu
r
r
ۺĐáp án A. Ta có AM + MB + BA = 0 (theo quy tắc
ba điểm).
uuur
uuur
uuuu
r
ۺĐáp án B, C. Ta có MA + MB = 2MN (với điểm
N là trung điểm của AB ).
uuu
r
uuur
uuuu
r
ۺĐáp án D. Ta có AB + AC = 2AM .
Chọn A.
Câu 16. Cho tam giác ABC , với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Khẳng định nào sau
đây sai?
uuu
r
uuu
r
uuur
r
A. AB + BC + AC = 0.
uuuu
r
uuu
r
uuur
r
C. MN + NP + PM = 0.
Lời giải. Xét các đáp án:
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uur
uuur
uuur
r
B. AP + BM +CN = 0.
D. PB + MC = MP.
uuu
r
uur
uuu
r
r
ۺĐáp án A. Ta có AB + BC +CA = AA = 0.
ۺĐáp án B. Ta có
uuu
r uuur uuur 1 uuu
r 1 uuu
r 1 uur
AP + BM +CN = AB + BC + CA
2
2
2
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r
u
u
u
r
r
1
1
= AB + BC +CA = AA = 0.
2
2
uuuu
r uuu
r uuur uuuur r
ۺĐáp án C. Ta có MN + NP + PM = MM = 0.
uur uuur 1 uuu
r 1 uuu
r 1 uuur uuur uuur
uuur
PB + MC = AB + BC = AC = AN = PM = - MP .
2
2
2
ۺĐáp án D. Ta có
(
)
Chọn D.
Câu 17. Cho ba điểm A, B, C . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r
A. AB + BC = AC.
uuu
r
uur
r
B. AB + BC +CA = 0.
uuu
r uuu
r
uur
uuu
r
AB = BC � CA = BC .
uuu
r uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
C.
D. AB - CA = BC.
Lời giải. Đáp án A chỉ đúng khi 3 điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C . Đáp án B đúng theo
quy tắc ba điểm. Chọn B.
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uuur
r
A. AB + AC = AH .
r
B. HA + HB + HC = 0.
C. HB + HC = 0.
D. AB = AC.
Lời giải. Do D ABC cân tại A , AH là đường cao nên H là trung điểm BC .
Xét các đáp án:
uuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
r
ۺĐáp án A. Ta có AB + AC = 2AH .
uuu
r
r
uuu
r
r
ۺĐáp án B. Ta có HA + HB + HC = HA + 0 = HA �0.
ۺĐáp án C. Ta có HB + HC = 0 ( H là trung điểm BC ).
uuu
r
uuur
ۺĐáp án D. Do AB và AC không cùng hướng nên
uuu
r uuur
AB �AC.
Chọn C.
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
A.
uuur uuu
r
uuur uuur
AH + HB = AH + HC .
uuur
uuu
r
uuur
uuur
B. AH - AB = AC - AH .
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
uuur
uuu
r uuur
AH = AB - AH .
uuu
r uuu
r uuur uuu
r
BC - BA = HC - HA.
C.
D.
D
ABC
A
AH
Lời giải. Do
cân tại ,
là đường cao nên H là trung điểm BC .
Xét các đáp án:
uur uuu
r
uuu
r
�u
AH + HB = AB = a
�
�
�uuur uuur
uuur
�
�
AH + HC = AC = a
�
ۺĐáp án A. Ta có �
uuur uuu
r
uuur uuur
� AH + HB = AH + HC .
uuur uuu
r uuur
�AH - AB = BH
�
�uuur uuur uuur
uuur .
�
�AH - AC = CH = - BH
�
ۺĐáp án B. Ta có
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur
ۺĐáp án C. Ta có BC - BA = HC - HA = AC.
uuu
r uuur
uuu
r
uuur
AB - AH = HB = AH .
ۺĐáp án D. Ta có
(do D ABC vuông cân tại A ).
Chọn B.
Câu 20. Cho M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ
uuur uuur
MP + NP bằng
uuu
r
A. AP.
vectơ nào?
uur
uuuu
r
B. PB.
C. MN .
uuur
uuu
r
D. MB + NB.
Lời giải.
uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
NP = BM ��
� MP + NP = MP + BM = BP .
Ta có
Chọn B.
O
Câu 21. Cho đường trịn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với ( ) tại hai điểm A và
B . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uur
uur
uuu
r
uur
A. OA =- OB.
B. AB = - OB.
C. OA =- OB.
Lời giải.
Do hai tiếp tuyến song song và A, B là hai tiếp điểm nên
AB là đường kính. Do đó O là trung điểm của AB . Suy ra
uur
uur
OA = - OB .
D. AB =- BA.
Chọn A.
Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT �( T và T �là hai tiếp điểm). Khẳng định nào
sau đây đúng?
uuuu
r
uuuur
. C. MT = MT �
.
.
A. MT = MT �
B. MT + MT �=TT �
Lời giải.
uuur
uuuu
r
.
D. OT =- OT �
Do MT , MT �là hai tiếp tuyến ( T và T �là hai tiếp
điểm) nên MT = MT �.Chọn C.
Câu 23. Cho bốn điểm A, B, C, D . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
uuu
r
uuu
r
uuur
uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
Véc tơ 10
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
A. AB +CD = AD +CB.
B. AB + BC +CD = DA.
C. AB + BC = CD + DA.
D. AB + AD = CD +CB.
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uur
uuu
r
uuur
uuu
r
uur
uur
Lời giải. Ta có AB +CD = AD + DB +CB + BD = AD +CB . Chọn A.
uur
Câu 24. Gọi O là tâm của hình vng ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng CA ?
uuu
r
uuu
r
uur
uuu
r
A. BC + AB.
B. - OA +OC.
Lời giải. Xét các đáp án:
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
C. BA + DA.
uuu
r
uuur
uur
D. DC - CB.
uur
ۺĐáp án A. Ta có BC + AB = AB + BC = AC = - CA.
uur
uuu
r
uuu
r uur
uuur
uur
ۺĐáp án B. Ta có - OA +OC = OC - OA = AC = - CA.
ۺĐáp án C. Ta có
uuu
r uuur
uuur uuu
r
uuur uur
BA + DA =- AD + AB = - AC = CA.
(
)
uuur uur uuur uuu
r
uuu
r uur
uur
DC - CB = DC + BC =- CD + CB = - CA.
(
)
ۺĐáp án D. Ta có
Chọn C.
Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uur
uuu
r
uuu
r
uur
uuu
r
uur
A. OA +OC +OE = 0.
uuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
B. BC + FE = AD.
uuu
r
C. OA +OC +OB = EB.
Lời giải.
Ta có OABC là hình bình hành.
D. AB +CD + EF = 0.
uur uuu
r uur
uur uuu
r uur
uur
� OA +OC = OB � OA +OC +OB = 2OB.
uuu
r
uur
O là trung điểm của EB � EB = 2OB.
uur uuu
r uur uuu
r
uur
� OA +OC +OB = EB = 2OB.
Chọn C.
uuur
Câu 26. Cho
A.
uuu
r
BA.
O
Lời giải. Ta có
là tâm hình bình hành ABCD . Hỏi vectơ
uuu
r
uuur
B. BC.
C. DC.
uuur uuur uuu
r uur uuur uuu
r
AO - DO = OD - OA = AD = BC . Chọn B.
( AO -
uuur
DO
D.
)
bằng vectơ nào?
uuu
r
AC.
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD và tâm O của nó. Đẳng thức nào sau đây sai?
uur
uur
uuu
r
uuu
r
r
A. OA +OB +OC +OD = 0.
uuu
r uuu
r
uuur uuur
BA + BC = DA + DC .
C.
Lời giải. Xét các đáp án:
ۺĐáp án A. Ta có
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
B. AC = AB + AD.
uur uur uuu
r uuu
r
uur uuu
r
uur uuu
r
r
OA +OB +OC +OD = OA +OC + OB +OD = 0.
ۺĐáp án B. Ta có
bình hành).
(
uuu
r uuur uuur
AB + AD = AC
) (
(quy tắc hình
uuu
r uuu
r
uuu
r
�
BA + BC = BD = BD
�
�
�uuur uuur
uuur
�
�
DA
+
DC
=
DB = BD
�
ۺĐáp án C. Ta có �
.
uuu
r uur
uuu
r uuu
r
uuu
r uur
CD �CB � AB +CD � AB +CB .
ۺĐáp án D. Do
Chọn D.
uur
D. AB +CD = AB +CB.
(
) (
)
)
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Câu 28. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ; hai điểm E , F lần lượt là trung điểm AB, BC . Đẳng thức
nào sau đây sai?
uuur
uuu
r uuu
r
A. DO = EB - EO.
uur
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuur
B. OC = EB + EO.
r
r
C. OA +OC +OD +OE +OF = 0.
D. BE + BF - DO = 0.
Lời giải.
Ta có OF , OE lần lượt là đường trung bình của tam giác
D BCD và D ABC .
� BEOF là hình bình hành.
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uur uuu
r
BE + BF = BO � BE + BF - DO = BO - DO = OD - OB = BD.
Chọn D.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuur
ur
A. GA +GC +GD = BD.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
B. GA +GC +GD = CD.
C. GA +GC +GD = O.
Lời giải.
D. GA +GD +GC = CD.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
ur
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA +GB +GC = O.
Do đó
uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
GA + GC +GD = GA +GC + GB + BC +CD = GA +GB + GC + BC +CD
(
) (
)
uuu
r uuu
r uuu
r
= BC +CD = BD .
Chọn A.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur
uuu
r
uuu
r
A. AC = BD.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB - AD = AB + AD
C.
Lời giải.
Ta có
uuur
uuur
r
B. AB + AC + AD = 0.
D.
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
BC + BD = AC - AB .
uuur uuur
uuur
uuu
r uuur
uuur
AB - AD = DB = BD; AB + AD = AC = AC.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
BD = AC � AB - AD = AB + AD
Mà
Chọn C.
Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
Câu 31. Cho tam giác
A.
uuu
r uuur
AB + AC = a 3.
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.
C.
Lời giải.
ABC
đều cạnh
a.
Khi đó
uuu
r uuur
AB + AC
bằng:
uuu
r uuur a 3
AB + AC =
.
2
B.
D. Một đáp án khác.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Gọi H là trung điểm của BC � AH ^ BC.
BC 3 a 3
=
.
2
2
Suy ra
uuu
r uuur
uuur
a 3
AB + AC = 2AH = 2.
=a 3
2
Ta lại có
.
AH =
Câu 32. Cho tam giác vng cân
A.
ABC
tại A có
AB = a . Tính
uuu
r uuur
AB + AC .
uuu
r uuur a 2
AB + AC =
.
2
B.
uuu
r uuur
AB + AC = a.
uuu
r uuur
AB + AC = a 2.
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.
C.
D.
Lời giải.
Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình vng.
uuu
r uuur
uuur
� AB + AC = AD = AD = a 2.
Chọn A.
uuu
r
uuur
Câu 33. Cho tam giác ABC vng cân đỉnh C , AB = 2 . Tính độ dài của AB + AC.
A.
uuu
r uuur
AB + AC = 5.
B.
uuu
r uuur
AB + AC = 3.
C.
Lời giải.
D.
uuu
r uuur
AB + AC = 2 5.
uuu
r uuur
AB + AC = 2 3.
� AC = CB = 1.
Ta có AB = 2 ��
5
BC ��
� AI = AC 2 +CI 2 =
.
I
2
Gọi là trung điểm
uuur uuu
r
uur
uuur uuu
r
uur
5
AC + AB = 2AI ��
� AC + AB = 2 AI = 2.
= 5.
2
Khi đó
Chọn A.
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại
uur uuu
r
CA + AB = 2.
uur uuu
r
CA + AB
AB
=
3,
AC
=
4
A có
. Tính
.
uur uuu
r
uur uuu
r
CA + AB = 2 13.
CA + AB = 5.
A.
B.
C.
ABDC
D
Lời giải. Gọi
là điểm thỏa mãn tứ giác
là hình chữ nhật.
Ta có
uur uuu
r
uur
CA + AB = CB = BC = AC 2 + AB2 = 32 + 42 = 5
Câu 35. Tam giác ABC có
. Chọn C.
� = 120�
AB = AC = a, ABC
. Tính
uuu
r
D.
uuur
độ dài vectơ tổng AB + AC .
uur uuu
r
CA + AB = 13.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
A.
Véc tơ 10
uuu
r uuur
AB + AC = a 3.
B.
uuu
r uuur a
AB + AC = .
2
uuur uuur
AB + AC = a.
uuu
r uuur
AB + AC = 2a.
C.
D.
Lời giải.
Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình thoi.
Ta có
uuu
r uuur
uuur
AB + AC = AD = AD.
ABDC
�
Câu 36. Cho tam giác
ABC
0
là hình thoi có ABC = 120
� D ABD và D ADC là hai tam giác đều � AD = AB = a.
Chọn B.
uur uuur a
CA - HC = .
2
đều cạnh
a, H
là trung điểm của
BC
. Tính
uur uuur
CA - HC .
uur uuur 2 3a
uur uuur a 7
CA - HC =
.
CA - HC =
.
3 D.
2
uur uuur 3a
CA - HC = .
2
A.
B.
C.
Lời giải.
Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình hành.
� AHBD là hình chữ nhật.
uur uuur
uur uuur
uuu
r
CA - HC = CA +CH = CD = CD.
3a2
a 7
+ a2 =
.
4
2
CD = BD 2 + BC 2 = AH 2 + BC 2 =
Ta có:
Chọn D.
Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 . Tính độ dài của vectơ
r uuu
r uuu
r
v = GB + GC .
r
v = 2.
r
v = 2 3.
A.
B.
Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có
D.
r
v = 4.
uuu
r uuur uuu
r r
uuu
r uuu
r
uuu
r
GA +GB +GC = 0 � GB +GC = GA = GA
GA =
Mà
Chọn D.
2
2 1
BC
AM = . .BC =
= 4.
3
3 2
3
Câu 38. Cho hình thoi ABCD có
A.
C.
r
v = 8.
uuur uuu
r
AC + BD = 3a.
uuur uuu
r
AC = 2a, BD = a . Tính AC + BD
uuur uuu
r
AC + BD = a 3.
uuur uuu
r
AC + BD = a 5.
C.
Lời giải.
Gọi O = AC �BD .
Gọi M là trung điểm của CD
B.
D.
uuur uuu
r
AC + BD = 5a.
uuur uuu
r
uuu
r uuu
r
uuur
AC + BD = 2 OC +OD = 2 2OM = 4OM
1
a2
= 4. CD = 2 OD 2 +OC 2 = 2
+ a2 = a 5.
2
4
Chọn C.
Câu 39. Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính
uuu
r uuur
AB - DA .
.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
A.
uuu
r uuur
AB - DA = 0.
Lời giải. Ta có
B.
uuu
r uuur
AB - DA = a.
Véc tơ 10
C.
uuu
r uuur
AB - DA = a 2.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur
AB - DA = AB + AD = AC = AC = a 2.
Câu 40. Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O . Tính
uur uuu
r
OB +OC = a.
uur uuu
r
OB +OC = a 2.
A.
B.
Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BC .
C.
D.
uuu
r uuur
AB - DA = 2a.
Chọn C.
uur uuu
r
OB +OC
uur uuu
r
a
OB +OC = .
2
.
uur uuu
r a 2
OB +OC =
.
2
D.
uur uuu
r
uuur
� OB +OC = 2 OM = 2OM = AB = a.
Chọn A.
Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
uuur
uuur
uuur
r
Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác định vị trí điểm M .
A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .
B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
C. M trùng C.
D. M là trọng tâm tam giác ABC.
Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác D ABC .
uuu
r
uuu
r
uuu
r
GA +
GB +
GC
Ta ۺcó =
r
0
M
G.
Chọn D.
Câu 42. Cho tam giác ABC. Tập hợp các
A. đường thẳng AB.
B. trung trực đoạn BC.
C. đường tròn tâm A, bán kính BC.
điểm M thỏa mãn
uuur uuur
uuur uuu
r
MB - MC = BM - BA
là?
D. đường thẳng qua A và song song với BC.
uuur uuur
uuur uuu
r
uur
uuuu
r
MB - MC = BM - BA � CB = AM � AM = BC
Lời giải. Ta có
Mà A, B, C cố định � Tập hợp điểm M là đường trịn tâm A , bán kính BC .
Chọn C.
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
Câu 43. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB - MC = MD là?
A. một đường tròn.
B. một đường thẳng.
C. tập rỗng.
D. một đoạn thẳng.
Lời giải.
uuur uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r uuur
MA + MB - MC = MD � MB - MC = MD - MA
uur uuur
� CB = AD sai
� Khơng có điểm M thỏa mãn.
Chọn C.
uuur
uuur
uuu
r
Câu 44. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB + MC = AB . Tìm vị trí điểm M .
A. M là trung điểm của AC.
B. M là trung điểm của AB.
C. M là trung điểm của BC.
D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM .
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
Lời giải.
Gọi I là trung điểm của BC.
uuur uuur
uuu
r
� MB + MC = 2MI
uuu
r
uuu
r
� AB = 2MI � M
là trung điểm AC.
Chọn A.
uuur
uuur
uuur
r
Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA - MB + MC = 0 . Mệnh đề nào sau đây
sai?
uuuu
r
A. MABC là hình bình hành.
uuu
r uuu
r uuur
BA + BC = BM .
C.
Lời giải.
uuur
uuur
uuur
D.
r
uuu
r
uuu
r
uuur
B. AM + AB = AC.
uuur
r
uuur uuu
r
MA = BC.
uuur
uuu
r
Ta có MA - MB + MC = 0 � BA + MC = 0 � MC = AB
� MABC là hình bình hành.
Chọn A.
Bài 3. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
I – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
r r
r
r
1. Định nghĩa: Cho số k �0 và vectơ a �0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu k a .
r
r
k
0
k
a
a
+)
thì
cùng hướng với
r
r
k
0
k
a
a
+)
thì
ngược hướng với
2. Tính chất:
r r
a
Cho , b bất kì và hai số h, k ta có:
r r
r
r
r
r
r
k
(
a
b
)
k
a
kb
(
h
k
)
a
ha
k
a
ۺ
ۺ
r r
r
r
1.a a, (1)a a
r
r
h
(
k
a
)
(
hk
)
a
ۺ
ۺ
uuur uuur
uuu
r
ۺNếu I là trung điểm của AB thì với mọi điểm M ta có: MA MB 2MI
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
ۺNếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MA MB MC 3MG
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
r
r r
r
r
+) a và b �0 cùng phương � k : a kb
uuur
uuur
A
,
B
,
C
k
�
0
AB
k
AC
+) Ba điểm phân biệt
thẳng hàng khi và chỉ khi có số
để
II – CÁC DẠNG TỐN:
3.1 Xác định và tính độ dài tích của một số với một vectơ
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Véc tơ 10
uuur uuur r
Bài 1. Cho hai điểm phân biệt A, B . Xác định điểm M biết 2MA 3MB 0
Lời giải
uuur uuur r
uuur
uuur uuu
r r
uuur uuu
r r
uuuu
r
uuu
r
uuuu
r uuu
r
2
MA
3
MB
0
�
2
MA
3(
MA
AB
)
0
�
MA
3
AB
0
�
AM
3
AB
�
AM
,
AB
Ta có:
cùng
hướng và AM 3 AB .
Bài 2. Cho tam giác ABC .
uuu
r uuur uuu
r
a) Tìm điểm K sao cho KA 2 KB CB
uuur uuur uuuu
r r
MA
MB
2
MC
0
M
b) Tìm điểm
sao cho
Lời giải
uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur r
KA
2
KB
CB
�
KA
2
KB
KB
KC
�
KA
KB KC 0 � K là trọng tâm của tam
a) Ta có:
giác ABC .
uuur uuur uuuu
r r
uuu
r uuuu
r r
uuu
r uuuu
r r
MA
MB
2
MC
0
�
2
MI
2
MC
0
�
MI
MC
0
I
AB
b) Gọi
là trung điểm của
. Ta có:
� M là trung điểm của IC .
Bài 3. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính
uuur uuur uuur
uuu
r uuur
AB AC BC
AB AC
a)
b)
Lời giải
a)
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur
AB AC BC ( AB BC ) AC AC AC 2 AC 2 AC 2 AC 2a
.
