chuyen de tich phan ltdh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>LTĐH _ Chuyên đề Tích phân. www.huynhvanluong.com. TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 1) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số : b. 1) LOẠI 1:Tính I =  f[u(x)].u' (x)dx baèng caùch ñaët t = u(x) a. t  u ( x)  dt  u ' ( x) dx (đạo hàm) xb t  u (b) Bước 2: Đổi cận :  xa t  u (a). Bước 1: Đặt. Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b. u (b ). a. u (a). I   f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Bài tập1: Tính các tích phân sau  2. 1).  2. 3 2  cos x sin xdx.  4. 0.  4. 5)  sin 2x(1  sin 2 x)3 dx. 6). 0. 4. x. 7). dx. 1  ln 2 x 1 x dx. 1. 11). 0.  2. cos x  sin x 13)  dx 3  sin 2 x 0.  4. 8). 0. 3. cos x 0 6  5sin x  sin2 xdx. sin 2 x. 12). sin 2 x dx 2 0 ( 2  sin x ). 16) . . 2 2. 1.  x1 x. 2011. (1 x ). dx ; 3.. 3.  0. 1. x  2. 2 3. 0. 1. 5. x. . dx ; 2.. 0. 0. tg 4 x dx cos 2x  2. ln 5. 2 2 sin 2 x cos x x dx 17)  dx 18)  (e sin x  cos x) cos xdx 19)  11 0 1  cos x 0 x 1 Bài tập2: Tính các tích phân sau. 6..  0. dx 14)  dx 15)  x x 3 ln 3 e  2e 0 cos 2 x  4 sin 2 x.  2. 1.. 1.  cos xdx.  6. 10)  x 5 (1  x 3 )6 dx.  4. 0. 1  ln x dx x. . 1. e. 9). e. 1.  cos 0. 4)  x 3 1  x 2 dx. 3) . 0.  2. 1. sin 4x dx 1  cos2 x 0. 5  cos xdx. 2). 1 x2 dx ; 7.  x5 1 x3 dx. ; 8.. 0. 1. 3. sin x dx 11.  1  cos x 0. ; 12.. . x. dx ; 4. 4  x2. 0. 1. x2. e. xdx ;. 0. dx ; 9. 1 x2 x. e dx ; 13.  x 1  e 0. 5. 3. x. 2. 3 x dx ; 5.. 0. 2 3. 5. x. 1. 1  3 ln x ln x dx x. 3 2. 3. 2 2. e. 20) .  5.  0. x 4 x2.  2. dx. ; 10.. x dx 4 x sinx. 1cos x dx. ;. 0.  4. 2tanx dx ; 14.  2 c os x 0. 2 3. 15.. x 2. 1 2. dx. x 4. b. 2) LOẠI 2: Tính I =.  f(x)dx. baèng caùch ñaët x = (t). a. Bước 1: Đặt. Huỳnh văn Lượng. x   (t )  dx   ' (t ) dt. Trang 37. 0918.859.305-01234.444.305.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> LTĐH _ Chuyên đề Tích phân. www.huynhvanluong.com. xb t  xa t . Bước 2: Đổi cận :. Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b. . a. . I   f ( x )dx   f  (t )  ' (t ) dt (tiếp tục tính tích phân mới) a.      a2  x2 dx,  a  0 , Đặt: x=asint ;với t  ;     2 2 . . a) Dạng 1:. 0. 1 2. BT: Tính các tích phân sau:1.. 2. 1 x dx. . ; 2.. 0. 3 2. 5.. 2. 3 x dx 6.. x. 3 3. x. 0. 2. 3 x dx ; 7.. . 2. 2 3. (1 x ) dx ; 4.  x 8  x2 dx ;.  0. 0. 3. 7.  x 2  4 x  3dx ; 9.. . . 1.  x 2  8 x  7 dx. 1. 1.      dx, a  0 , Đặt: x=asint ;với t   ;  a2  x2   2 2 . . b) Dạng 2:. 4  2x dx ; 3.. . 3 x2 dx ; 8. x2. 3 2. 0. a 2. 2. 1. 3 2 2. 3 2. 6 2. 0. BT: Tính các tích phân sau: 2 2. 1..  0. 6 2. 1. dx ; 2. 2  x2.  a. 1 c) Dạng 3:  2 2 dx , x a 0. x. dx ; 3. 2 2 x. 1. a. 2 2.  0. 1 BT:: Tính tích phân: 1.  2 dx ; 2. 0 x 1. . (1 x2)3. 0. 3. dx 4.  0. 4  x2. 1. x 1 1 3 x2 dx ; 3. 0 x2 1dx ; 4. 2a. 2a. d) Dạng 4:. . 2. x3. dx. x. ; 5.. 2. 1. 1 2. dx. 4 x.      x2  a2 dx Đặt: x=a.tant ,với t   ;    2 2 . 1. 2. 1. x2. 2. x  a dx,  a  0 hoặc. . 3a 2. a. 1 x2  a2. 3. x2 1 3 x2 dx;. dx,  a  0. a a (hoặc ta đặt x2 làm nhân tử chung và đưa x2 ra ngoài, rồi đặt t  thì các tích sin t x phân này trở lại dạng 1 và dạng 2).. Cách giải: Đặt: x . 2. Tính:1..  2. dx x x2 1. 3. Huỳnh văn Lượng. (ĐS:.  ) ;2. 12. 1.  1. 2 x 4 x2  1. dx (ĐS:. 8 ) 3. 3. 2 2.  2. x2  4 dx ;4. x. 2 2.  2. x2  4 dx ; x2. 3. Trang 38. 0918.859.305-01234.444.305.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> LTĐH _ Chuyên đề Tích phân. www.huynhvanluong.com. 2) Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phân từng phân. u  u ( x) du  u ' ( x)dx (đạo hàm)  dv  v' ( x)dx v  v( x) (nguyeân haøm). Bước 1: Đặt. u  ln x - Nếu biểu thức sau dấu tích phân chứa lnx thì đặt  dv  phaàn coøn laïi. u  phần còn lại ngoài dv - Nếu biểu thức sau dấu tích phân chứa {sinx, cosx, ex} thì đặt  x dv  {sin x, cos x, e }dx b. b b. Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :. udv  uv vdu a. a.  2. BT: 1/Tính: 1..  2 2. (13x)e 0. dx ; 2.  (x  2x)e dx. 0. 3.. 0. 1 e. 3.. 2. 2. ln x 1)  5 dx 2) x 1. (2x 1)3. dx. 0. 2. xdx 3).  sin. 2. x  sin x 4)  dx cos2 x 0. xdx. 0. 0. dx. 5.  (2 x  1) ln( x  1) dx  2.  3. 2.  x cos. 2x1. 2. (4x 2x 1)e 3. 2  x ln( x  x)dx ; 1.  2. ; 6.. 0. 2. 2.  ln( x 2  x)dx ;. 2.  (x cosx)sin xdx. 1 2x. 0. 3. 3/ Tính: 1.  ln xdx ;. 4.. 1 x. 2. e. 4/ Tính:. 4. 1 2x.  2.  (x cos x)sinxdx. 3.. 0. 1. 2/ Tính: 1..  2.  2x 1 cos xdx ; 2.  x(2cos x 1)dx ; 0. a. 5)  e x s inxdx 0. III. TÍCH PHÂN CHỨA HÀM HỮU TỈ: b. Dạng:. P( x).  Q( x) dx Với P(x), Q(x) là các hàm đa thức, khi đó ta có các trường hợp sau: a. + Nếu bậc P(x).  bậc Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x). + Nếu bậc P(x) <bậc Q(x) thì phân tích. P( x ) thành các phân thức đơn giản theo 1 trong 3 quy tắc sau: Q( x ). QT1:. A P(x) P(x) A A   1  2 ...  n Q(x)  x  a1  x  a2  ... x  an  x  a1 x  a2 x  an. QT2:. A3 P ( x) P( x ) A A A4   1  2   ..  n 2 Q( x)  x  a  x  c  x  a x  c ( x  c) ( x  c) n. QT3: P ( x )  Q ( x). P( x).  x  a x. 2.  px  q . 2. . A1 A x  B2 A x  B3  22  2 3 x  a x  px  q ( x  px  q ) 2 . dx ax  bx  c . . Lưu ý tích phân dạng tổng quát sau:. I. Huỳnh văn Lượng. Trang 39. 2.  a  0 .. Xét.   b 2  4ac .. 0918.859.305-01234.444.305.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> LTĐH _ Chuyên đề Tích phân. www.huynhvanluong.com. .   0 thì I . +)Nếu. dx.  a x  b  .  . tính được I. 2.  2a . .   0 thì. +)Nếu. 1 dx I a   x  x1  x  x2 . . (trong đó. x1 . b   b   ) ; x2  2a 2a. a. +) Nếu.   0 thì đưa tích phân I về dạng 3. 3. dx BT: Tính các tích phân sau: 1.  2 x 1 2 2. 5.  1. dx ; x( x  2) 2. 2. 6..  1. ; 2.  1. 1 0 x2 a2 dx ---> Đặt: x=a.tant x 3  3x  2 dx ; 3. x( x 2  1).  2 x  1 dx x( x  2). 3. 1. 7.  0. 1. x7 0 ( x 4  1)2 dx ; 4..  x  1 dx ( x  1)( x  2). 2. dx ; 5  2).  x( x 1. 2. 2. ;. 8.  1. 1  x  dx x 2 ( x  2). ;. III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: b. Dạng 1:.  sin. m. x.cosn xdx xảy ra các trường hợp sau :. a. 1. Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt: t= cosx 2. Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt: t= sinx 3. Nếu m chẵn, n chẵn thì đặt: t= tanx 4. Nếu m chẵn, n chẵn và dương thì áp dụng công thức hạ bậc 5. Nếu m lẻ, n lẻ và dương thì áp dụng công thức hạ bậc và biến đổi tích thành tổng Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác: Loại 1:. I. . dx asinx  b cos x  c. 1 t2 và cos x  1 t2 x 2dt dx ;Đặt: t  tan   dx 2 1 t 2 4 co s x  3 sin x  5. x 2dt 2t Đặt t  tan  dx  ; sin x  2 2 1 t 1 t2 Ví dụ: a). b). . . 2 dt x tan  1 2 dx dt t  1 1  t 2   2  ln  ln 1 t2 2t x cos x  3sin x  3 t  3t  2 t  2 3 3 tan  2 2 1 t2 1 t2. .Loại 2: Tính. . I. . . m sin x  n cos x  p dx . a sin x  b cos x  c. Ta cần tìm A, B, C sao cho:. m sin x  n cos x  p  A  a sin x  b cos x  c   B  a cos x  b sin x   C , x Huỳnh văn Lượng. Trang 40. 0918.859.305-01234.444.305.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> LTĐH _ Chuyên đề Tích phân Ví dụ minh họa: Tính: Ta tìm A, B từ hệ thức: Loại 3: Tính  3. BT: 1.. I. . cosx2sinxA 4cosx3sinx B 4sinx3cosx , x để từ đó thế vào và tính I.  2. 1.  cos xdx ;2.  sin  6. 0. . cos x  2sin x dx . 4 cos x  3sin x. dx asin2 x  bsin xcos x  ccos2 x  d.  2. 1. I. www.huynhvanluong.com. 3. x. dx ;3..  3. 1.  2.  4  2 cos x dx ;4.  tan 0. 5. 1. 1. 0. 0. asin x  bcos x  c cos x  d sinx   A B  c sinx  d cos x  csinx  d cos x .  2.  2.  2.  sin x  cos x dx ;6.  1  sin xdx ;. xdx ;5.. 0. a sin x  b cos x  c s inx  d cos xdx ----> Xét:. Loại 3: I =. Chia tử và mẫu cho cos2x, sau đó đặt t = tanx. 2sinx+3cos x 2sinx-3cos x dx ; 3. dx ; 2.  BT: Tính:1.  sinx-2cos x  2 sinx  cos x  0.  4.  4. 2sinx+cos x 0 sinx-cos x dx ; 4.. 3sinx-cos x.  2sinx+cos xdx 0. 3.  2. Loại 4: I .  2. n.  2. sin x sin x cos n x  dx I  dx  -> đặt : thì x   t 0 sin n x  cos n x 0 sin n x  cos n x 0 sin n x  cos n x dx =J 2 . n. . 2 2 c os x c os 6 x   Từ đó: I+J=2I=  I  . BT: 1.  dx ;2  dx ;3. 2 4 sin x  cos x sin 6 x  c os 6 x 0 0.  2. sin 2011 x 0 sin 2011 x  cos 2011 x dx. Chú ý: Một số dạng tích phân đặc biệt, vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Lượng để được hỗ trợ miễn phí ---------------------. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I. Tính diện tích: 1. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi:. y. (C1 ) : y  f ( x ) (C ) : y  g ( x )  2 (H ) :   1 : x  a  2 : x  b. x b (C1 ) : y  f ( x). xa (H ). (C 2 ) : y  g ( x). b.  S    f ( x)  g ( x)dx. O. a. b. x. a. 2. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi: (C1 ) : x  f ( y ) (C ) : x  g ( y )  (H ) :  2  1 : y  a  2 : y  b. y. (C2 ) : x  g ( y) y b. b (H ). b.  S    f ( y )  g ( y )dy. a. a. ya x. O Huỳnh văn Lượng. Trang 41. (C1 ) : x  f ( y) 0918.859.305-01234.444.305.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> LTĐH _ Chuyên đề Tích phân. www.huynhvanluong.com. II. Tính thể tích: 1. Quay quanh Ox. y xa. (C ) : y  f ( x ) Ox : y  0  (H ) :   1 : x  a  2 : x  b b. a. O. 2. x b (C ) : y  f ( x). y0. x b.  V     f ( x) dx a. 2. Quay quanh Oy. y. (C1 ) : x  f ( y ) Oy : x  0  (H ) :   1 : y  a  2 : y  b. b x0. 2. b.  V     f ( y ) dy. y b (C ) : x  f ( y ) ya. a. a. x O 512 128 Bài tập Tính thể tích 1. y=-x +4x và trục Ox : a.Quanh Ox. (ĐS : ) ; b. Quanh Oy. (ĐS : ) 15 3 2. 2. y=(x-2)2 và y=4. a. Quanh Ox. (ĐS :. 3. y=x2+1 ,Ox ,Oy và x=2. a. Quanh Ox. 256 ) ; b. Quanh Oy 5. (ĐS :. (ĐS :. 128 ) 3. 206 ) ; b. Quanh Oy (ĐS : 12  ) 15. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường sau: ln x   1. D   y  2 , y  0, x  1, x  2  x  . ln x   ; 4. D   y  , y  0, x  1, x  e  2 x  .   x 2  3x  1 2. D   y  , y  0, x  0, x  1 x 1  .   ;5. D   y  sin 2 xcos3 x, y  0, x  0, x   2  --------------------. TỔNG HỢP CÁC BÀI TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013 Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :. y  x2  2x  3 . y  x  3. ĐS : S . 109 6. Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x2 x2 4 y  4 và y  ĐS : S  2  4 3 4 2 Bài 3 (ĐH A2003) : Tính tích phân : 2 3. I. . dx 2. ĐS : I . 1 5 ln 4 3. ĐS : I . 1 ln 2 2. x x 4 Bài 4 (ĐH B2003) : Tính tích phân : 5.  4. 1  2sin 2 x dx 1  sin 2 x 0 Bài 5 (ĐH D2003) : Tính tích phân : I. Huỳnh văn Lượng. Trang 42. 0918.859.305-01234.444.305.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> LTĐH _ Chuyên đề Tích phân. www.huynhvanluong.com. 2. I   x 2  x dx. ĐS : I  1. 0. Bài 6 (ĐH A2004) : Tính tích phân : 2 x I x 1 1 1. ĐS : I . 11  4 ln 2 3. Bài 7 (ĐH B2004) : Tính tích phân : e. 1  3ln x ln x dx. x 0 Bài 8 (ĐH D2004) : Tính tích phân :. ĐS : I . I. 116 135. 3. I   ln( x 2  x)dx.. ĐS : I  3 ln 3  2. 2. Bài 9 (ĐH A2005) : Tính tích phân :  2. I. sin 2 x  sin x. dx. ĐS : I . 0 1  3cos x Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân :. 34 27.  2. sin 2 x cos x dx. 1  cos x 0 Bài 11 (ĐH D2005) : Tính tích phân :. ĐS : I  2 ln 2  1. I  2. I   (esinx  cos x) cos xdx.. ĐS : I  e . 0.  1 4. Bài 12 (ĐH A2006) : Tính tích phân :  2. I. sin 2 x. ĐS : I . dx. cos 2 x  4sin 2 x Bài 13 (ĐH B2006) : Tính tích phân : ln 5 dx I  x . e  2e  x  3 ln3 Bài 14 (ĐH D2006) : Tính tích phân : 0. 2 3. ĐS : I  ln. 1. I   ( x  2)e2 x dx.. ĐS : I . 0. 3 2. 5  3e 2 4. Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: e 1 2 Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường . y  x ln x , y  0 , x  e . Tính thể. y  (e  1) x , y  (1  e x ) x .. ĐS : S . tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox. ĐS : V .  (5e3  2) 27. Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân : e. I   x3 ln 2 xdx .. ĐS : I . 5e4  1 32. ĐS : I . 1 10 ln(2  3)  2 9 3. 1. Bài 18 (ĐH A2008) : Tính tích phân :  6. tan 4 x dx . cos2 x 0. I. Huỳnh văn Lượng. Trang 43. 0918.859.305-01234.444.305.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> LTĐH _ Chuyên đề Tích phân Bài 19 (ĐH B2008) : Tính tích phân :   sin( x  )dx 4 4 I dx . sin2 x  2(1  s inx  cos x) 0 Bài 20 (ĐH D2008) : Tính tích phân : 2 ln x I   3 dx x 1 Bài 21 (ĐH A2009) : Tính tích phân :. www.huynhvanluong.com. ĐS : I . 43 2 4. ĐS : I . 3  2 ln 2 16. ĐS : I . 8   15 4. ĐS : I . 1 27 (3  ln ) 4 16.  2. I   (cos3  1)cos 2 xdx 0. Bài 22 (ĐH B2009) : Tính tích phân : 3 3  ln x I  dx 2 1 ( x  1) Bài 23 (ĐH D2009) : Tính tích phân : 3 dx I x e 1 1 Bài 24 (ĐH A2010) : Tính tích phân : 1 2 x  e x  2 x 2e x I dx 2e x  1 0 Bài 25 (ĐH B2010) : Tính tích phân : e ln x I  dx x(ln x  2)2 1 Bài 26 (ĐH D2010) : Tính tích phân : e 3 I   (2 x  ) ln xdx x 1 Bài 27 (ĐH A2011) : Tính tích phân :  4. I 0. ĐS : I  ln(e 2  e  1)  2. 1 1 1  2e ĐS : I   l n 3 2 3 1 3 ĐS : I    l n 3 2. x sin x  ( x  1) cos x dx x sin x  cos x. ĐS : I . e2 1 2. ĐS : I .  2     l n    1  4  2  4 . Bài 28 (ĐH B2011) : Tính tích phân :  3. 1  x sin x dx cos 2 x 0 Bài 29 (ĐH D2011) : Tính tích phân : 4 4x 1 I dx 2x 1  2 0 Bài 30 (ĐH A2012) : Tính tích phân : 3 1  ln( x  1) I dx x2 1 Bài 31 (ĐH B2012) : Tính tích phân : 1 x3 I 4 dx. x  3x 2  2 0 Bài 32 (ĐH D2012) : Tính tích phân : I. ĐS : I  3 . . . ĐS : I . 34 3  10l n   3 5. ĐS : I . 2 2  l n 3  ln 2 3 3. . 3 ĐS : I  l n 3  ln 2 2. /4. I. 2 ln 2 3 3. x(1  sin 2x)dx. ĐS : I . 0. 2 1  32 4. Bài 33 (ĐH A2013) : Tính tích phân : Huỳnh văn Lượng. Trang 44. 0918.859.305-01234.444.305.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> LTĐH _ Chuyên đề Tích phân. www.huynhvanluong.com. 2. x2  1 ln x dx x2 1 Bài 34 (ĐH B2013) : Tính tích phân :. ĐS : I . 5 3 ln 2  2 2. ĐS : I . 2 2 1 3. I 1. I   x 2  x 2 dx 0. Bài 35 (ĐH D2013) : Tính tích phân : 1 ( x  1) 2 I 2 dx x 1 0. ĐS : I  1  ln 2. TỔNG HỢP MỘT SỐ ĐỀ THI CAO ĐẲNG e. 2. x4  x 1  16 1 17  x2 1 1 2   dx  KQ :   ln 2  ln xdx KQ : e  3 ; 2.CĐ2002B      2  1 x x 4 3 2 8  4    0. 1. CĐ2002A:. 3. CĐ2002D Cho f  x  3. 4. CĐ2003. x. 3. 1. a. 1.  x 1. bxex .Tìm a, b biết rằng:f’(0)=-22 và f  x dx  5 (KQ:a=8,b=2) 3  0. 1 1076   dx  KQ :  ; x  15 .  2. 5. CĐ2003B  e. x4  x 1  16 1 17 dx  KQ :   ln 2  6. CĐ2003B  2 x 4 3 2 8  0 8.CĐ2004B. . x2 3. 0. 231   dx  KQ :  10  x 1 . sin 2 xdx  KQ : 2. 0. 2. 7. cos x.  3. 3   2  ; 7.CĐ2004A  sin x t anxdx  KQ : ln 2   8   0.  4. 9.CĐ2004D.   t anx  e. sinx. 0.  2. 4   10. CĐ2005B   x  1 sin 2xdx  KQ :  ; 13. CĐ2005D 4   0 1. 14. CĐ2006B  0. x  x 1. 3   dx  KQ :1  ln 2  ln 3  ; 2 x 4  2 . 2   1 cos x dx  KQ : ln 2  e 2 1   2  . e. x 1.  10 2 11  dx  KQ :  3 1  2ln x  . 3  2ln x 4. 15. CĐ2006A  0. 2x 1. dx  KQ : 2  ln 2  1 2x 1. -------------. CHÚC CÁC EM HỌC TỐT. Lớp bồi dưỡng kiến thức và LTĐH chất lượng cao. www.huynhvanluong.com Lớp học thân thiện của học sinh Tây Ninh 0918.859.305 – 01234.444.305 – 0996.113.305 0929.105.305-0967.859.305-0666.513.305. Huỳnh văn Lượng. Trang 45. 0918.859.305-01234.444.305.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>