TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

Chương I
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
CHỦ ĐỀ 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
A. LÝ THUYẾT:
1. Nhân đơn thức với đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng
hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
A.  B  C   A.B  A.C
2. Nhân đa thức với đa thức

WORD=>ZALO_0946 513 000

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức
này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

 A  B   C  D   AC  BC  AD  BD
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Phương pháp:
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức
để thực hiện phép tính.
Bài 1: Thực hiện phép tính:

 2 x   x
2

a)
c)

2

 2 x  3

2 x2 
 2 x  1 �
�
�

1
2

1
�
x  2�
3
�

x 1�
�2 2 �
�2
� xy �
�x y  xy   �
2 4�
�
�
b) �3

 x y  �
�x

�
2

d)

2



1
3 �
y  xy �
2
2 �

Giải

 2 x   x
2

a) Ta có:

2

 2 x  3    2 x 2  x 2    2 x 2  2 x    2 x 2  3

 2 x 4  4 x 3  6 x 2 .
x 1�
�2 2 �
�2

� xy �
�x y  xy   �
2 4�
�
�
b) Ta có: �3
�2
�
�2
� �2
�x �2
�1
 � xy 2 �x 2 y  � xy 2 �xy  � xy 2 �  � xy 2 �
�3
�
�3
� �3
�2 �3
�4


2 3 3 2 2 3 1 2 2 1 2
x y  x y  x y  xy
3
3
3
6

c) Ta có:
2

 2 x  1 �
�2 x 

�

1
1
�
�
� � 2 1
�
x  2 � 2 x.�2 x 2  x  2 � 1.�
2x  x  2 �
3
3
3
�
�
� �
�
Trang 1


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

 4 x 3 

2 2
1
8 x 2 13 x

x  4 x  2 x 2  x  2  4 x 3 

2
3
3
3
3

 x y  �
�x
�
2

d) Ta có:

2

  x  y 2  x2   x  y 2 



1
3 �
y  xy �
2
2 �

1
3
y   x  y 2  xy

2
2

1
1
3
3
 x.x 2  x 2 . y 2  x. y  y 2 . y  x. xy  y 2 . xy
2
2
2
2
xy y 3 3 x 2 y 3 xy 3
x x y 



2
2
2
2
3

2

2

WORD=>ZALO_0946 513 000

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a)

 x   x 2  1   3x  2 x 2   3x 

b)

 xy   x  xy    x   x  y    yx   2 x

c)

  x   2 x  2   x 2  x  1

2

d)

 x  y �
�x 
�

2

 2 xy 2 

1 �
� xy �
y�
1 �
�
2 �

� 3 �
Giải

a) Ta có:

 x   x 2  1   3x  2 x 2   3x   x.x 2  x.1  3x.3x  2 x 2 .3x

 x3  x  9 x 2  6 x3  7 x 3  9 x 2  x

 xy   x  xy    x   x  y    yx   2 x
2

b) Ta có:

2

 2 xy 2 

 xy 2 .x  xy 2 .xy  x.x  x. y  yx.2 x 2  yx.2 xy 2
 x 2 y 2  x 2 y 3  x 2  xy  2 x 3 y  2 x 2 y 3
 x 2 y 2  x 2  xy  2 x3 y  3 x 2 y 3
c) Ta có:

  x   2 x  2   x 2  x  1     x  .2 x    x  2   x 2  x  1

  2 x 2  2 x   x 2  x  1  2 x 2  x 2  x  1  2 x  x 2  x  1
  2 x 2  x 2   2 x 2  x   2 x 2    2 x.x 2  2 x.x  2 x 
 2 x 4  2 x 3  2 x 2  2 x 3  2 x 2  2 x  2 x 4  2 x
d) Ta có:


 x  y �
�x 
�

1 �
� xy �
y�
1 �
�
2 �
� 3 �

1
�
�
� xy �
 �x  x  y   y  x  y  �
1 �
�
2
�
�
� 3 �
Trang 2


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

�
xy y 2 �

� xy �
 �x 2  xy 
 �
1 �
�
2
2 �
� 3 �
�
�
xy y 2 � xy � 2
xy y 2 �
 �x 2  xy 
 � �x  xy 
 �
2
2 � 3�
2
2 �
�
�2
xy y 2 � � 2 xy
xy xy xy y 2 xy �
 �x  xy 
 � �x .  xy.  .  . �
2
2 �� 3
3
2 3
2 3 �

�
�
xy y 2 � �x3 y x 2 y 2 x 2 y 2 xy 3 �
 �x 2  xy 
 � � 


�
2
2 � �3
3
6
6 �
�
WORD=>ZALO_0946 513 000

 x 2  xy 
 x2 

xy y 2 x3 y x 2 y 2 x 2 y 2 xy 3





2
2
3
3
6

6

3 xy y 2 x 3 y x 2 y 2 xy 3




2
2
3
2
6

Bài 3: Tìm giá trị biểu thức
a)

A  2 x  3x 2  5   x  3 x  x 2   x 2

b)

B   x  y   x 2  xy   x  x 2  2 y 2 

c)

C  6  x 2  x   x 2  4 x  2   4 x  x 2  2 x  3

d)

D  x  x 2  xy  y 2   y  x 2  xy  y 2 


tại x  2 .
tại x  2 ; y  3 .
tại x  4 .

tại x  5 ; y  1 .
Giải

a) Ta có:
A  2 x  3x 2  5   x  3x  x 2   x 2  2 x.3x 2  2 x.5  x.3x  x.x 2  x 2
 6 x 3  10 x  3 x 2  x3  x 2  7 x3  4 x 2  10 x
3
2
Tại x  2 thay vào ta được: A  7.2  4.2  10.2  56  16  20  60

Vậy A  60 .
b) Ta có:

B   x  y   x 2  xy   x  x 2  2 y 2 

 x  x 2  xy   y  x 2  xy   x.x 2  x.2 y 2
 x.x 2  x.xy  y.x 2  y.xy  x 3  2 xy 2
 x 3  x 2 y  x 2 y  xy 2  x 3  2 xy 2  2 x 2 y  xy 2
B  2.22.  3  2.  3  24  18  6
Tại x  2 ; y  3 thay vào ta được:
2

Vậy B  6 .
Trang 3



TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP

c) Ta có:

C  6  x 2  x   x 2  4 x  2   4 x  x 2  2 x  3
 6 x 2  6 x  4 x 3  2 x 2  4 x 3  8 x 2  12 x
 6 x 2  6 x  4 x 3  2 x 2  4 x 3  8 x 2  12 x  12 x  6 x  6 x

C  6  4   24
Tại x  4 thay vào ta được:
Vậy C  24 .
d) Ta có:

D  x  x 2  xy  y 2   y  x 2  xy  y 2 
 x 3  x 2 y  xy 2  yx 2  xy 2  y 3  x 3  y 3
WORD=>ZALO_0946 513 000

D  53   1  125   1  126
Tại x  5 ; y  1 thay vào ta được:
3

Vậy D  126 .
Dạng 2: Tìm x với điều kiện cho trước
Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức
với đa thức để tìm giá trị x .
Bài 1: Tìm x , biết:
a)

�2 �
�9 x 1 �

2
� x�
�  �  3 x  x  2   3
3
2
4
�
�
b) � �

2 x  x  3  x  2 x  1  10

Giải
a) Ta có:

2 x  x  3  x  2 x  1  10 � 2 x 2  6 x  2 x 2  x  10

� 5 x  10 � x  2
�2 �
�9 x 1 �
2
� x�
�  �  3 x  x  2   3
3
2
4
�
�
b) Ta có: � �
�2 �

�9 x � �2 �1
2
� � x�
� � � x �   3x  x  2   3
3
2
3
4
� �
� �� �
� 3x 2 

x
5x
5x
 3x 2  x  2  3 �   2  3 � 
 5 � x  6
6
6
6

Bài 2: Tìm x , biết:
a)

 1  2 x   x  3   x  1  2 x  1  14

b)

 3x


2

 x  2    2 x  1  2  x    x  4   x  5   5
Giải

a) Ta có:

 1  2 x   x  3   x  1  2 x  1  14

�  1  x  3   2 x   x  3   x   2 x  1   1  2 x  1  14

� x  3  2 x 2  6 x  2 x 2  x  2 x  1  14 � 4 x  12 � x  3
Trang 4


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

Vậy x  3 .

 3x

b) Ta có:

2

 x  2    2 x  1  2  x    x  4   x  5   5

�  3 x 2  x  2     2 x   2  x   1 2  x     x  x  5   4  x  5    5
�  3 x 2  x  2    4 x  2 x 2  2  x    x 2  5 x  4 x  20   5
� 3 x 2  x  2  2 x 2  2  5 x  x 2  x  20  5

� 3 x  20  5 � x  5

Vậy x  5 .
Bài 3: Tìm x , biết:

WORD=>ZALO_0946 513 000

a)

3x 2  4  x  1  x  1  7 x  x  1  x  12

b)

 2 x  3  x  4    x  5   x  2    3 x  5   x  4 

c)

x

d)

2  x2n  2x n y n  y 2n   y n  4 x n  y n   y 2n

3n

 y 3n   x3 n  y 3n    x6 n  y 6 n

(với n  0 )
(với n  0 )


Giải
a) Ta có:

3x 2  4  x  1  x  1  7 x  x  1  x  12

� 3 x 2  4  x 2  x  x  1  7 x 2  7 x  x  12
� 3 x 2  4 x 2  4 x  4 x  4  7 x 2  7 x  x  12
� 4  7 x  x  12 � 6 x  16 � x 

Vậy

x

16
6

16
6

b) Ta có:

 2 x  3  x  4    x  5   x  2    3 x  5   x  4 

� 2 x 2  3 x  8 x  12  x 2  5 x  2 x  10  3x 2  5 x  12 x  20
� 3 x 2  4 x  22  3 x 2  17 x  20
� 3 x 2  4 x  22  3x 2  17 x  20  0
� 21x  2  0 � x  

Vậy


x

c) Ta có:

2
21

2
21 .

x

3n

 y 3n   x3n  y 3n    x6 n  y 6 n

�  x 6 n  y 3 n x 3n  x 3n y 3n  y 6 n    x 6 n  y 6 n
Trang 5


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

� x6n  y 6n   x6n  y 6n � x6n  x6n  0
2 x6n  0 � x6n  0 � x  0
Vậy x  0 .
2  x2n  2x n y n  y 2n   y n  4 x n  y n   y 2n

d) Ta có:

� 2 x2n  4 xn y n  2 y 2n  4 y n x n  y 2n  y 2n

� 2 x2n  y 2n  y 2n � 2 x2n  0 � x  0
Vậy x  0
C.PHIẾU BÀI TẬP CƠ BẢN

WORD=>ZALO_0946 513 000

PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
CẦN NHỚ
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng
hạng tử của đa thức rồi cộng các tích của chúng lại với nhau.
VÍ DỤ

(

( 4x

3

)

2x. 4x3 - 2x + 5 = 2x.4x3 + 2x.( - 2x) + 2x.5

)

- 2x + 5 .2x = 4x3.2x + ( - 2x) .2x + 5.2x
= 8x4 - 4x2 + 10x

= 8x4 - 4x2 + 10x


Khi thành thạo:

(

)

3

A.( B + C ) = A.B + A.C

3

2x. 4x - 2x + 5 = 2x.4x - 2x.2x + 2x.5

A.( B + C - D ) = A.B + A.C - A.D

= 8x4 - 4x2 + 10x

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau: [CB - Rèn kỹ năng nhân]

a)

(

- 2xy2. x3y - 2x2y2 + 5xy3

( - 2x) .( x
b)


)

3

)

(

�3x2 �x + 1

)

3x2 2x3 �x + 5

c)
f)
�4 �
2
�
�
- xy�
( 3x y �6xy + 9x) .�
�
�
�
3 �
�
( 4xy + 3y �5x) .x2y
e)


�
�� 1 �
�
2
1 �
3
�
�
�
�
10
x
+
y
z
.
xy
�
�
�
�
�
5
3 �
�
��
�2 �
�

d)

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau: [Rèn kỹ năng nhân và cộng trừ đa thức]
a)

5x2 - 3x ( x + 2)

b)

3x ( x - 5) - 5x ( x + 7)

e)

(

)

(

c)

)

4x x3 - 4x2 + 2x 2x3 - x2 + 7x

(

)

3x2y. 2x2 � y

(


� 2x2. 2x2y � y2

)

�x2.( 5y �3) �2x.( x �1) �
3x2.( 2y �1) �2
�
�
d)
f)

(

25x - 4( 3x - 1) + 7x 5 - 2x2

)

Trang 6


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP

Bài 3: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức. [Rèn kỹ năng tính và thay
số]
a)

A = 7x ( x - 5) + 3( x - 2)

b)


B = 4x ( 2x - 3) - 5x ( x - 2)

c)
d)

(

tại x = 0.
tại x = 2 .

)

C = a2 ( a + b) - b a2 - b2 + 2013

, với a = 1; b = - 1;

D = m( m - n + 1) - n ( n + 1- m)

2
1
;n = - .
3
3

m=-

, với

Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: [Rèn kỹ năng tính

WORD=>ZALO_0946 513 000

tốn]
a)
b)
c)
d)

(

)

A = x ( 2x + 1) - x2 ( x + 2) + x3 - x + 3

(

) (

)

B = x x3 + 2x2 - 3x + 2 � x2 + 2x x2 + 3x ( x �1) + x - 12

(

)

(

)


(

)

C = 3xy2 4x2 �2y �6y 2x3y + 1 + 6 xy3 + y - 3

(

D = 3x ( x �5y) + ( y - 5x) ( - 3y) - 1- 3 x2 �y2

)

Bài 5: Tìm x, biết:
�
� � 1 2�
�
1
�
�
�
�
5x �
x
2
+
3
6
x
= 12
�

�
�
�
� 3 �
�
�
5
�
�
�
�
a)

c)

2( 5x - 8) - 3( 4x - 5) = 4( 3x - 4) + 11

b)

7x ( x - 2) - 5( x - 1) = 7x2 + 3

d)

5x - 3 4x - 2�
4x - 3( 5x - 2) �
�
�= 182

{


}

Bài 6: Chứng minh đẳng thức
a)

a ( b �c) �b( a + c) + c ( a �b) = - 2bc

b)

(

)

(

)

a ( 1�b) + a a2 �1 = a a2 �b

Bài tập tương tự
2 3
Bài 7: Cho các đơn thức: A = - x y ;

. +B
Tính: a) AC

B =-

2 2
xy

9 ; C = - 3y + 2x

b) B.C - A

c) A.B.C

A
.C
d) B

Bài 8: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị của biểu thức:
a)

A = x ( x + y) - x ( y - x)

b)

B = 4x ( 2x + y) + 2y ( 2x + y) - y ( y + 2x)

với x = - 3 ; y = 2.
với

x=

1
3
y=2;
4.
Trang 7



TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

c)

(

)

C = 3x ( 3 - x) - 5x ( x + 1) + 8 x2 - x - 2

Bài

9:

Chứng

tỏ

rằng

các

đa

với x = - 1.
thức

sau


không

phụ

thuộc

vào

biến:

A = 4( x �6) �x2 ( 2 + 3x) + x ( 5x �4) + 3x2 ( x �1)

Bài 10: Tìm x
a)

3x ( 4x - 3) - 2x ( 5 - 6x) = 0

c)

3x ( 2 - x) + 2x ( x - 1) = 5x ( x + 3)

5( 2x - 3) + 4x ( x - 2) + 2x ( 3 - 2x) = 0

b)
d)

(

)


3x ( x + 1) - 5x ( 3 - x) + 6 x2 + 2x + 3 = 0

PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
WORD=>ZALO_0946 513 000

2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
CẦN NHỚ
Quy tắc: Muốn nhân một đathức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức

(

)(

)

B Ckia
+rồi
D cộng
= A.Ccác
+ Atích
.D +
B.C
+ B .D
này với từng hạng tử của A
đa+thức
với
nhau.
MINH HỌA

( 2x + 5) .( 4x


3

)

(

)

(

)

- 2x + 5 = 2x. 4x3 - 2x + 5 + 5. 4x3 - 2x + 5

= 2x.4x3 + 2x.( - 2x) + 2x.5 + 5.4x3 + 5.( - 2x) + 5.5
= 8x4 - 4x2 + 10x + 20x3 - 10x + 25
= 8x4 + 20x3 - 4x2 + 25
BÀI LUYỆN
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau: [CB - Rèn kỹ năng nhân]
b) (2x  1)(3x  2)(3– x)

2
2
a) (x – 1)(x  2x)

2
c) (x  3)(x  3x – 5)

2

3
2
d) (x  1)(x – x  1)
e) (2x  3x  1).(5x  2)
f) (x  2x  3).(x  4)
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau: [Rèn kỹ năng nhân và cộng trừ đa thức]

a) A = (4x - 1).(3x + 1) - 5x.(x - 3) - (x - 4).(x - 3)
b)

(

)

B = (5x - 2).(x + 1) - 3x. x2 - x - 3 - 2x(x - 5).(x - 4)
.

Bài 3: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức. [Rèn kỹ năng tính và thay
số]
4
3
2
a) A  (x  2)( x  2x  4x  8x  16)
7
6
5
4
3
2
b) B  (x  1)(x  x  x  x  x  x  x  1)


với x  3.
với x  2.
Trang 8


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

6
5
4
3
2
c) C  (x  1)(x  x  x  x  x  x  1)

với x  2.

2
2
d) D  2x(10x  5x  2)  5x(4x  2x  1)

với x  5 .

Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: [Rèn kỹ năng tính
tốn]
a) A  (5 x  2)( x  1)  ( x  3)(5 x  1)  17( x  3)
b) B  (6 x  5)( x  8)  (3 x  1)(2 x  3)  9(4 x  3
3
2
2

2
c) C  x(x  x  3x  2)  (x  2)(x  x  1)
WORD=>ZALO_0946 513 000

2
3
d) D  x(2x  1)  x (x  2)  x  x  3
2
2
e) E  (x  1)(x  x  1)  (x  1)(x  x  1)

Bài 5: Tìm x, biết:
a)

3( 1�4x) ( x �1) + 4( 3x + 2) ( x + 3) = 38

b)

5( 2x + 3) ( x + 2) �2( 5x �4) ( x �1) = 75

c)

2x2 + 3( x �1) ( x + 1) =�
5x ( x + 1)

d)

( 8 �5x) ( x + 2) + 4( x �2) ( x + 1) + 2( x �2) ( x + 2) = 0

Bài 6: Chứng minh đẳng thức

2

a)

(x -

y - z) = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx

b)

( x + y - z)

( x �y) ( x
c)
d)

3

( x + y) ( x

Bài

2

= x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz - 2zx

)

+ x2y + xy2 + y3 = x4 �y4
4


7:

)

�x3y + x2y2 �xy3 + y4 = x5 + y5
a)



Chứng





minh



A  (2  n). n 2  3n  1  n n 2  12  8

rằng

với

mọi

số


nguyên

n

thì

chia hết cho 5

b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab  bc  ca  abc và a  b  c  1 . Chứng minh
rằng: (a - 1).(b - 1).(c - 1) = 0

.

Bài 8: Tìm x
Trang 9


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

a)

( x �2) ( x �1) = x ( 2x + 1) + 2

( 2x - 1) ( x
c)

2

)


( x + 1) ( x + 2) ( x + 5) �x

( x + 2) ( x + 2) �( x �2) ( x �2) = 8x

( x + 1) ( x
d)

�x + 1 = 2x3 �3x2 + 2
3

e)

b)

2

)

+ 2x + 4 �x3 �3x2 + 16 = 0

�8x2 = 27

Bài 9: Tính giá trị biểu thức :
6
5
4
3
2
a) A  x  2021x  2021x  2021x  2021x  2021x  2021 tại x  2020


b)

B  x10  20 x 9  20 x 8  �  20 x 2  20 x  20 với x  19

.

LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 2
WORD=>ZALO_0946 513 000

Bài 1:

4
3
2
a) x  2x  x  2x

3
2
b) 6 x  17 x  5 x  6

3
2
c) x  6x  4x  15

3
d) x  1

4
3
2

e) 10x  4x  15x  11x  2

3
2
f) x  6x  11x  12

2
Bài 2: a) A = 6x + 23x - 13

Bài 3:

3
2
b) B = - 5x + 26x - 28x - 2

5
5
a) A  x  32 . Với x  3 thì A  3  32  211
8
8
b) B  x  1. Với x  2 thì B  2  1  256  1  255

7
7
c) C  x  1. Với x  2 thì C  2  1  128  1  129

d) D  x . Với x  5 thì D  5
Bài 4: a) A = - 50 ;

c) C  1;


b) B = - 13;

d)

D  3;

e) E  2
Bài 5: a)

x

7
59

b) x = 1

c)

x

3
5

d)

x  0; x 

3
2


Bài 6: HS tự biến đổi VT = VP.
2
Bài 7: Biến đổi: A = 5n + 5n + 10M5 (t/c chia hết của một tổng)

b) = (a - 1)(bc - b - c + 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1
= abc - ab - bc - ca + a + b + c - 1 = abc - (ab + bc + ca) + (a + b + c) - 1

= abc - abc + 1- 1 = 0

x0
�
�
x  4 ;
Bài 8: a) �

R;
b) x ��

c) x = 1 ;

d)

x

10
3

e) x = 1


Bài 9: a) Với x  2020 nên ta thay 2021  x  1 vào biểu thức, ta có:
A = x6 - (x + 1)x5 + (x + 1)x4 - (x + 1)x3 + (x + 1)x2 - (x + 1)x + x + 1
Trang 10


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

A = x6 - x6 - x5 + x5 + x4 - x3 - x3 + x2 - x2 - x + x + 1 = 1

b) Tượng tự ta cũng tính được B = 1
PHIẾU HỌC TỰ LUYỆN SỐ 3
1.

Thực hiện phép tính nhân

� 3 2 1�
a2 �
7a - a - �
�
�
�
�
�
4
�
a)

( 5xy + x - y ) x y
2


b)

3

2 3

� 3 1
�
�
- 2x - y + 4yz�
�
�
( - 7xy2)
�
�
�
4
�
�
c)
d) Tính
2.

A = ( 5x2y2m3n)

WORD=>ZALO_0946 513 000

4

.


Tính giá trị của biểu thức

x( x3 - y) - x3 ( x + y) + y( x3 - x)

tại
3.

x =-

1
2 và y = 2

Tìm x, biết:

a)

x( 5- 3,5x) + 3,5x( x - 1) = 15

b)

0,6x( x - 50) - 0,3x( 2x - 80) = 0,12

4.

Rút gọn các biểu thức sau:

a)

x( x3 + x2 + x +1) - ( x3 + x2 + x +1)


b)

xn ( x + y) - y( xn + yn )

5.

2

+ 5y2 )( 2x2 - 3y2 )

;

( a+ b+ c) ( a2 + b2 + c2 -

( x + 3xc)
3

(x
d)

4

6.

.

Nhân các đa thức và rút gọn kết quả:

( 6x

a)
b)

;

ab- bc- ca)

2x2 +1)( x2 - 4+ 3x)

;

;

- 6x3y + 4x2y2 - 9xy3 - y4 ) ( x- y)

2

.

Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào giá trị của

biến:
Trang 11


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

a)

( 3x- 5) ( 2x +11) - ( 2x + 3) ( 3x + 7)


b)

x3 - y3 - ( x2 + xy + y2) ( x - y)

c)

x( x3 + x2 - 3x + 2) - ( x2 - 2)( x2 + x + 3) + 4( x2 - x - 2)

7.
a)

.

Tính giá trị của biểu thức

( x + 2) ( x + 3) - ( x- 2) ( x + 5)

tại x =- 5.

( x - 5) ( x + 3) +( x + 4) ( x - x )
b)
2

2

tại x =- 30 .
WORD=>ZALO_0946 513 000

( 6x- 4) ( 2x - 7) +( 3x- 5) ( 1-


4x) =- 31

8.

Tìm x, biết

9.

( - 2+ x )( - 2+ x )( - 2+ x )( - 2+ x )( - 2+ x ) = 1 thì x bằng bao nhiêu?
Nếu
2

2

2

2

2

LỜI GIẢI PHIẾU BÀU TẬP SỐ 3
� 3 2 1� 5 4 1 2
a2 �
7a  a  � 7a  a  a .
4�
4
1.a) �
b)


 5xy  x

2

 y3  x 2 y 3  5x 3 y 4  x 4 y 3  x 2 y 6

.

7
� 3 1
�
2x  y  4yz �
7xy 2   14x 4 y 2  xy 3  28xy 3z

�
4
4
�
c) �
.
d)

A   5x 2 y 2 m3n   625x 8 y 8m12 n 4

2.

x  x3  y   x3  x  y   y  x3  x 

4


.

 x 4  yx  x 4  x 3 y  yx 3  yx  2yx .
Giá trị của biểu thức tại
3.a)

x

1
1
2. .2  2
2 và y  2 là
2
.

x  5  3, 5x   3,5x  x  1  15

� 5x  3,5x 2  3,5x 2  3,5x  15
� 1,5x  15
� x  15 :1,5  10 .
b)

0, 6x  x  50   0, 3x  2x  80   0,12

� 0, 6x 2  30x  0, 6x 2  24x  0,12
� 6x  0,12
� x  0,12 :  6   0, 02

.
Trang 12



TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

Chú ý. Thay cho cách sử dụng dấu tương đương, các em có thể trình bày lời giải
như sau:
b) Biến đổi vế trái, ta có
0, 6x  x  50   0,3x  2x  80 

 0, 6x 2  30x  0, 6x 2  24x  6x .
Vậy

x  0,12 :  6   0, 02

4.a)

x  x 3  x 2  x  1   x 3  x 2  x  1  x 4  1;

.

x n  x  y   y  x n  yn 

b)

WORD=>ZALO_0946 513 000

 x n 1  yx n  yx n  y n 1  x n 1  y n 1 .

 6x


5.a)
b)

2

 5y 2   2x 2  3y 2   12x 4  8x 2 y 2  15y 4 ;

 a  b  c   a 2  b2  c2  ab  bc  ca  ;

 a 3  b 3  c3  3abc;
c)

x

3

 3x  2x 2  1  x 2  4  3x 

 x 5  x 4  7x 3  18x 2  9x  4;
d) Trước hết, tính

 x  y

2

  x  y   x  y   x 2  2xy  y 2 ,

sau đó, tiếp tục, ta được

 3x


4

 6x 3 y  4x 2 y 2  9xy 3  y 4   x  y 

2

 3x 6  12x 5 y  19x 4 y 2  2x 3 y 3  21x 2 y 4  7xy 5  y 6 .
6.a)

 3x  5  2x  11   2x  3  3x  7 

 6x 2  23x  55   6x 2  23x  21  76;
b)

x 3  y3   x 2  xy  y 2   x  y   0.

c)

x  x 3  x 2  3x  2    x 2  2   x 2  x  3  4  x 2  x  2 

 2 .
7.a) 6.
Đối với bài này, thay x  5 vào trực tiếp hoặc khai triển rồi rút gọn mới thay vào,
hai phương pháp này đều thuận lợi như nhau.
b) Ta có
Trang 13


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP


x

2

 5   x  3   x  4   x  x 2    x  15

.

Giá trị của biểu thức tại x  30 là 15.
8.

 6x  4   2x  7    3x  5   1  4x 

 12x 2  42x  8x  28  3x  12x 2  5  20x
 27x  23 .
Do đó 27x  23  31 , hay 27x  54 , suy ra x  2 .
9.Theo đề bài

 2  x   2  x   2  x   2  x   2  x    2  x 
2

2

2

2

2


WORD=>ZALO_0946 513 000

2 5

 1.

Tuy nhiên, một số mà có lũy thừa 5 bằng 1 thì số đó phải bằng 1. Do đó ta có:

 2  x   1 , hay
2

x2  3 .

Vậy x  3 hoặc x   3 .
D.MỘT SỐ BÀI NÂNG CAO
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a ) A   4 x  1  3 x  1  5 x  x  3   x  4   x  3 

b) B   5 x  2   x  1  3 x  x 2  x  3   2 x  x  5   x  4 
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có:
A  12 x 2  4 x  3 x  1  5 x 2  15 x  x 2  3 x  4 x  12
 6 x 2  23 x  13
b) Ta có:
B   5 x  2   x  1  3x  x 2  x  3  2 x  x  5   x  4 
 5 x 2  5 x  2 x  2  3 x 3  3 x 2  9 x  2 x  x 2  5 x  4 x  20 
 3 x 3  8 x 2  12 x  2  2 x 3  18 x 2  40 x
 5 x 3  26 x 2  28 x  2
2. Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x:
a )  x 2  x  1  x  3


b)  x 2  3 x  1  2  4 x 

c)  x 2  3x  2   3  x  2 x 
Hướng dẫn giải – đáp số
a )  x 2  x  1  x  3
Trang 14


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

 x 3  x 2  x  3 x 2  3x  3  x 3  2 x 2  2 x  3
b)  x 2  3 x  1  2  4 x 
 2 x 2  6 x  2  4 x 3  12 x 2  4 x  4 x 3  14 x 2  10 x  2
c)  x 2  3x  2   3  x  2 x 
  x 2  3 x  2   3  x   3x 2  9 x  6  x3  3x 2  2 x
 3 x 2  9 x  6  x3  3 x 2  2 x   x 3  11x  6
3. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
a )C   5 x  2   x  1   x  3   5 x  1  17  x  3

WORD=>ZALO_0946 513 000

b) D   6 x  5   x  8    3 x  1  2 x  3   9  4 x  3 

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có :
C  5 x 2  5 x  2 x  2  5 x 2  x  15 x  3  17 x  51
� C  50
Vậy biểu thức C  50 không phụ thuộc vào x.
b) D  6 x 2  48 x  5 x  40  6 x 2  9 x  2 x  3  36 x  27

� D  13

Vậy giá trị biểu thức D  13 không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
4. Tìm x, biết :
a )5  x  3  x  7    5 x  1  x  2   25
b)3  x  7   x  5    x  1  3 x  2   13

Hướng dẫn giải – đáp số
a )5 x 2  35 x  15 x  105  5 x 2  10 x  x  2  25
41x  107  25
41x  82

x2
b)3 x 2  15 x  21x  105  3 x 2  3 x  2  13
5 x  103  13

5 x  90
x  18

5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
a) A   4  5 x   3x  2    3  2 x   x  2 

tại x  2
Trang 15


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

1
1

x


;
y


b) B  5 x  x  4 y   4 y  y  5 x 
5
2
tại
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có :
A  12 x  8  15 x 2  10 x  3 x  6  2 x 2  4 x
 17 x 2  29 x  14
Với x  2 , thay vào biểu thức ta có :
A  17  2   29  2   14
2

 68  58  14

WORD=>ZALO_0946 513 000

 140
b) Ta có :
B  5x  x  4 y   4 y  y  5x 
 5 x 2  20 xy  4 y 2  20 xy
 5x2  4 y2
1
1

x ;y 
5
2 vào biểu thức ta có ;
Thay
2

2

1
1 6
�1�
�1�
B  5�
 � 4. �
 �  5.  4. 
25
4 5
� 5�
�2�
6. Tính giá trị biểu thức:
a ) A  x 6  2021x 5  2021x 4  2021x3  2021x 2  2021x  2021 tại x  2020
b) B  x10  20 x9  20 x8  ...  20 x 2  20 x  20 với x  19
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Với x  2020 nên ta thay 2021  x  1 vào biểu thức , ta có :
A  x 6   x  1 x5   x  1 x 4   x  1 x3   x  1 x 2   x  1 x  x  1

 x 6  x 6  x5  x 5  x 4  x 4  x 3  x 3  x 2  x 2  x  x  1  1
b) Với x  19 nên ta thay 20   x  1 vào biểu thức, ta có :
B  x10    x  1 x 9    x  1 x 8  ...    x  1 x 2    x  1 x    x  1


 x10  x10  x 9  x 9  x 8  x8  ...  x 2  x 2  x  x  1
1
7. Tìm các hệ số a, b, c biết:
a )2 x 2  ax 2  2bx  4c   6 x 4  20 x 3  8 x 2

đúng với mọi x;

Trang 16


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

b)  ax  b   x 2  cx  2   x 3  x 2  2

đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải – đáp số
a )2 x 2  ax 2  2bx  4c   6 x 4  20 x 3  8 x 2
� 2ax 4  4bx 3  8cx 2  6 x 4  20 x 3  8 x 2  1

(1)

đúng với mọi x

2a  6
�
�a  3
�
�
��

4b  20 � �
b  5
�
�
8c  8
c 1
�
�

WORD=>ZALO_0946 513 000

b)  ax  b   x 2  cx  2   x 3  x 2  2
� ax3  bx 2  acx 2  bcx  2b  2ax  x 3  x 2  2
� ax 3   b  ac  x 2   2a  bc  x  2b  x 3  x 2  2  2 

(2)

đúng với mọi x

a 1
�
�
2b  2
�
��
�
b  ac  1
�
�
2a  bc  0

�

a 1
�
a 1
�
�
b  1
�
�
��
b  1
�
1  1.c  1
�
�
c  2
�
�
2


1
c

0


�


8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
A   2  n   n 2  3n  1  n  n 2  12   8

chia hết cho 5

Hướng dẫn giải – đáp số
Biến đổi đa thức, ta có :
A   2  n   n 2  3n  1  n.  n 2  12   8
 2n 2  n3  6n  3n 2  n  2  n3  12n  8
 5n 2  5n  10M5

Trang 17


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

ĐS8-C1-CD2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. LÝ THUYẾT:
1. Bình phương của một tổng:

 A  B

2. Bình phương của một hiệu:

 A  B

2

 A2  2 AB  B 2


2

 A2  2 AB  B 2

A2  B 2   A  B   A  B 

3. Hiệu hai bình phương:

4. Lập phương của một tổng:

 A  B

3

 A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3
WORD=>ZALO_0946 513 000

5. Lập phương của một hiệu:

 A  B

3

 A3  3 A2 B  3 AB 2  B 3

6. Tổng hai lập phương:

A3  B 3   A  B   A2  AB  B 2 

7. Hiệu hai lập phương:


A3  B 3   A  B   A2  AB  B 2 

Ngồi ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử
dụng trong khi biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…
A2  B 2   A  B   2 AB
2

1. Tổng hai bình phương:

A3  B 3   A  B   3 AB  A  B 
3

2. Tổng hai lập phương:

3. Bình phương của tổng 3 số hạng:

 A  B  C

2

 A2  B 2  C 2  2  AB  BC  CA 

4. Lập phương của tổng 3 số hạng:

 A  B  C

3

 A3  B 3  C 3  3  A  B   B  C   C  A 


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:
Dạng 1: Biến đổi biểu thức
Phương pháp:
Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a)

 3x  2 y 

2

b)

  x  xy 

2

2
2
c) x  4 y

d)

 x  y

2

  2  y


2

Giải
a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

 3x  2 y 

2

  3 x   2  3 x   2 y    2 y   9 x 2  12 xy  4 y 2
2

2

b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

  x  xy 

2

   x   2   x   xy    xy   x 2  2 x 2 y  x 2 y 2
2

2

Trang 18


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP


c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
x2  4 y 2  x2   2 y    x  2 y   x  2 y 
2

d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

 x  y

2

  2  y    x  y   2  y    x  y   2  y 
2

  x  2 y  2  x  2
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a)

 x  y   x 2  xy  y 2     x  y   x 2  xy  y 2 

3
2
b) 2 x  6 x  6 x  2

WORD=>ZALO_0946 513 000

3
2
c) x  6 x  12 x  8

d)


 x  y

3

  x  2y

3

Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:

 x  y   x 2  xy  y 2     x  y   x 2  xy  y 2 
 x3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2   x3  y 3  x3  y 3  2 x3
2 x 3  6 x 2  6 x  2  2  x 3  3 x 2  3 x  1

b) Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức ta được:

.

2  x3  3 x 2  3 x  1  2  x  1

3

.

3
2

3
2
2
3
c) Ta có: x  6 x  12 x  8  x  3.2 x  3.2 .x  2

Áp dụng bất đẳng thức ta được:

x3  3.2.x 2  3.22..x  23   x  2 

d) Áp dụng bất đẳng thức ta được:

 x  y



3

  x  2y

  x 3  3 x 2 y  3xy 2  y 3   x 3  3.x 2 2 y  3.x. 2 y    2 y 
2

3

3

3




 x3  3 x 2 y  3xy 2  y 3  x3  6 x 2 y  12 xy 2  8 y 3
 9 x 2 y  9 xy 2  9 y 3
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a)

 a b c dabcd

b)

 x  2 y  3z   x  2 y  3z 

c)

 x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1

d)

 x  y

3

  x  y

3

Trang 19


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP


x
e)

2

 3 x  1   3x  1  2  x 2  3 x  1  3x  1
2

2

Giải
a)

 a b c dabcd

�
.�
 a  b   c  d  �
 a  b   c  d  �
�
�
�
�  a  b    c  d 
2

2

 a 2  2ab  b 2  c 2  2cd  d 2  a 2  b 2  c 2  d 2  2ab  2cd
b)


.�
 x  2 y  3z   x  2 y  3z   �
 x  3z   2 y �
 x  3z   2 y �
�
�
�
�

  x  2 z    2 y   x 2  6 xz  9 z 2  4 y 2
2

2

WORD=>ZALO_0946 513 000

c)

 x  1  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1   x3  1  x3  1  x 6  1

d)

 x  y

3

  x  y

3


  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3    x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3 
 x3  3 x 2 y  3xy 2  y 3  x 3  3x 2 y  3 xy 2  y 3
 6 x 2 y  2 y 3  2 y  3x 2  y 2 

x
e)

2

 3 x  1   3x  1  2  x 2  3 x  1  3x  1
2

2

2
2
�
 x2  3x  1   3x  1 �
�
�   x  3 x  1  3 x  1   x  2 
2

2

2

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Phương pháp: Dạng bài tốn này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ
bản như sau:

- Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp
với biểu thức cần tính giá trị.
- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá
trị về biểu thức có liên quan đến giá trị đề bài đã cho.
- Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị.
3
3
Bài 1: Cho x  y  1 . Tính giá trị biểu thức sau: A  x  3xy  y
Giải
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:
A  x 3  y 3  3xy   x  y   x 2  xy  y 2   3 xy
  x  y

  x  y

2



 3xy  3xy

Theo bài ra x  y  1 , thay vào A ta được:
Trang 20


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

A   x  y

  x  y


2



 3xy  3xy  1. 12  3xy   3 xy  1  3xy  3 xy  1

Vậy A  1 .
B  x3  y 3   x  y 
Bài 2: Cho x  y  4 và xy  5 . Tính

2

Giải.
Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:
B  x3  y 3   x  y    x  y   x 2  xy  y 2    x  y 
2

  x  y

  x  y

2



 3xy   x  y 

2


2
WORD=>ZALO_0946 513 000

Theo bài ra x  y  4 , xy  5 thay vào B ta được:
B   x  y

  x  y

2



 3xy   x  y   4  4 2  3.5   16  140
2

Vậy B  140
Bài 3: Tính giá trị biểu thức:
2
3
a) 9 x  48 x  64  5 x tại x  2

3
2
b) x  9 x  27 x  27 tại x  4

x3  1
2
c) x  1 tại x  6

d)


x2  2 x  1 x2 1

2
x3  1
 x  1

tại x  3

Giải
9 x 2  48 x  64  5 x 3   3 x  8  5 x 3
2

a) Ta có:

 3.2  8   5.23  36
Thay x  2 vào ta được:
2

b) Ta có

x3  9 x 2  27 x  27   x  3

3

 x  3   4  3  73  343
Thay x  4 vào ta được:
3

c) Ta có:


3

2
x3  1  x  1  x  x  1 x 2  x  1


x2  1
x 1
 x  1  x  1

x 2  x  1 62  6  1 43


x 1
6 1
7
Thay x  6 vào ta được:

d) Ta có:

x2  2x  1 x2 1

2
x3  1
 x  1

 x  1
 x  1  x  1



2
 x  1  x 2  x  1
 x  1
2



x 1
x 1

x  x 1 x 1
2

3 1
3 1 2
28

 2
13
Thay x  3 vào ta được: 3  3  1 3  1 13
2

Trang 21


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Phương pháp:

+) Giá trị lớn nhất của biểu thức
dạng:

m  Q 2  x  �m

A x 

. Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về

A x   m
(với m là hằng số) � GTLN của
.

+) Giá trị lớn nhất của biểu thức

A x 

. Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về

Q 2  x   n �n
A x  n
dạng
(với n là hằng số) � GTNN của
.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
WORD=>ZALO_0946 513 000

a) A   x  2 x  5

2

b) B  9 x  3 x  4

2

Giải
A   x 2  2 x  5   x 2  2 x  1  6  6   x  1 �6
2

a) Ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6 khi x  1  0 � x  1 .
b) Ta có:
2

3
43
�9
� 27
�3
� 43
B  9 x  3x  4  3�
  2. .x  x 2 �
4
 3 �  x ��
2
4
�4
� 4
�2
� 4

2

43
3
3
x0� x
2.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 4 khi 2

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
a) A  8 x  8 x  14 b) B  x  x  2

Giải
a) Ta có:

A  8 x 2  8 x  14  2  4 x 2  4 x  1  12

 2  2 x  1  12 �12
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 12 khi

2x 1  0 � x 

1
2.

2


1
1 1
� 1� 7 7
B  x  x  2  x  2. .x    2  �x  � �
2
4 4
� 2� 4 4
b) Ta có:
2

2

7
1
1
x 0� x
2
2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 4 khi

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a)

A   x 2  x  1

2
4
3
2

b) B  x  2 x  2 x  2 x  1

Giải

Trang 22


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

2

1
1 3 � 1� 3 3
x 2  x  1  x 2  2. .x    �x  � �
2
4 4 � 2� 4 4
a) Ta có:
3
Do x  x  1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 .
2

2

�3 �
1
1
A��
x 0� x 
4
� � khi và chỉ khi

2
2.
Giá trị nhỏ nhất của
4
3
2
4
3
2
2
b) Ta có: B  x  2 x  2 x  2 x  1  x  2 x  x  x  2 x  1

 x 2  x 2  2 x  1   x 2  2 x  1  x 2  x  1   x  1 �0
2

2

WORD=>ZALO_0946 513 000

Mặt khác:

��
�
x0
x2  0
�
��
�
�
B  0 � ��

x 1 � x 1
x  1  0 � ��
�
�x  1
�
�x  1  0

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B  0 khi và chỉ khi x  1 .
2
Bài 4: Chứng minh rằng x  4 x  10 luôn dương với mọi x

Giải
x 2  4 x  10  x 2  2.2.x  4  6   x  2   6
2

Ta có:

Ta thấy

 x  2

2

�0 �  x  2   6
2

luôn dương với mọi x .


B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP
2
1. Tìm hệ số x của đa thức sau khi khai triển :

a ) A   x  2    x  2    x  3   3x  1
2

2

3

3

b) B   2 x  1   x  2    x  3   3 x  1
2

2

2

3

Giải
a ) A  x 2  4 x  4  x 2  4 x  4  x3  9 x 2  27 x  27  27 x 3  27 x 2  9 x  1
 28 x 3  38x 2  36 x  36
2
Vậy hệ số của x là 38.

b) B  4 x 2  4 x  1  x 2  4 x  4  x 3  9 x 2  27 x  27  27 x 3  27 x 2  9 x  1
 28 x3  31x 2  28 x  23

2
Vậy hệ số của x là -31.

2. Tính giá trị biểu thức
a ) A  x 2  0, 2 x  0, 01 tại x  0,9 .
b) B  x3  3 x 2  3 x  2 tại x  19 .
Trang 23


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

c )C  x 4  2 x3  3x 2  2 x  2 tại x 2  x  8
Giải
a ) Ta có :
A  x 2  0, 2 x  0, 01
 x 2  0, 2 x   0,1

  x  0,1

2

2

x  0,9 � A   0,9  0,1  1
2

Với

WORD=>ZALO_0946 513 000


b) Ta có:
B  x 3  3x 2  3 x  2

 x3  3x 2  3x  1  1   x  1  1
3

B   19  1  1  8000  1  8001
Với x  19 thì
3

c) Ta có :
C  x4  2 x3  3 x2  2 x  2

 x 4  2 x3  x2  2 x 2  2 x  2

  x 2  x   2.  x 2  x   1  1
2

  x 2  x  1  1
2

x 2  x  8 � C   8  1  1  81  1  82
2

Với

.

3. Tính hợp lý :
a) A 


3562  1442
2562  2442

c)C  1632  92.136  462

b) B  2532  94.253  47 2
d ) D   1002  982  ...  22    992  972  ...  12 

Giải

 356  144   356  144  500.212 53
3562  1442
a) A 



500.12
3
2562  2442  256  244   256  244 
b) B  2532  94.253  472  2532  2.47.253  472   253  47   3002  90000
2

c)C  1362  92.136  462  1362  2.46.136  462   136  46   902  8100
2

d ) D   1002  982  ...  22    992  972  ...  12 

  1002  992    982  972   ...   22  12 


  100  99   100  99    98  97   98  97   ...   2  1  2  1
Trang 24


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP

 1.  100  99   1.  98  97   ...  1.  2  1
 100  99  ...  1   100  1   99  2   ...   51  50 

 101  101  ...  101  101.50  5050
4. Tính giá trị biểu thức :
2
2
20212  2020  2019  2019  2020  2021
A
.
20203  1
 2020  1  20203  1

Giải

20212  20202  2019  20192  2020  2021
A
.
20203  1
 20202  1  20203  1



20212  2020 2  2020  1


WORD=>ZALO_0946 513 000

.

20192  20202  2020  1

 2020  1  2020  1  2020  1  20202  2020  1  2020  1  2020 2  2020  1
1
.2019  1
2019

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a ) A  5 x 2  5 y 2  8 xy  2 y  2 x  2020

b) M  5 x 2  y 2  z 2  4 x  2 xy  z  1

Giải
a) Ta có :
A  4 x 2  8 xy  4 y 2  x 2  2 x  1  y 2  2 y  1  2018
 4  x  y    x  1   y  1  2018 �2018
2

2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A  2018 tại x  1; y  1
c)M  x 2  2 xy  y 2  4 x 2  4 x  1  z 2  z 
  x  y


2

1
1
2
4
4

2

1
1
� 1�
  2 x  1  �z  � 2. �2
4
2
� 2�
2

�
�x  y  0
�
1
�
2x  1  0 � x  y  z 
�
2
�
� 1

�z   0
Dấu bằng xảy ra khi � 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là

2

1
1
x yz
4 khi
4

6. Tìm x, biết :

Trang 25