cac bat dang thuc co ban danh cho hs chuyen toan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (105.31 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Các bất đẳng thức cơ bản dùng cho học sinh chuyên toán a1 a2 ... an n a1a2 ...an n 1. BĐT AM-GMVới các số không âm a1, a2, ...., an ta có : Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. a1 a2 ... an. BĐT suy rộng: Cho α1, α2, ...., αn là các số hữu tỉ dương mà α1+ α2, ...+ αn =1 và các số không 1 2 n âm a1, a2, ...., an Khi đó ta có: α1a1+ α2a2 +....+ αn an ≥ a1 .a2 ...an. 2. BĐT BUNHIACOPXKI : Giả sử a1, a2, ...., an và b1, b2, ..., bn là hai dãy số tùy ý. 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó : (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn ) (a1b1 a2b2 ... anbn ). a a1 a2 ... n bn ( lưu ý rằng ở đây ta sử dụng qui ước nếu Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: b1 b2 mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0) 3. BĐT CAUCHY-SCHWARS: Giả sử a1, a2, ...., an và b1, b2, ..., bn là hai dãy số trong đó bi>0 với mọi I =1,2,…,n a 2 (a a ... an ) 2 a12 a22 ... n 1 2 bn b1 b2 ... bn Khi đó : b1 b2 a a1 a2 ... n bn Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: b1 b2 4.BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ Cho 2 dãy đơn điệu tăng a1≤ a2≤ ... ≤ an. và b1≤ b2≤ … ≤ bn. Giả sử (i1,i2...in) là một hoán vị bất kì của (1,2,3…,n) ta luôn có a1b1+a2b2+…+anbn ≥ a1bi1+a2bi2+…+anbin Nếu 2 dãy trên đơn điệu ngược chiều thì BDT đổi chiều 5. BĐT CHEBYSHEV: Cho hai dãy đơn điệu tăng a1≤ a2≤ ... ≤ an và b1≤ b2≤ … ≤ bn (hoặc đơn điệu giảm) Ta có: ( a1 a2 ... an )( b1 b2 ... bn ) ≥ n( a1b1 a2b2 ... anbn ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a1 a2 ... an hoặc b1 b2 ... bn Ngược lại a1≤ a2≤ ... ≤ an và b1≥ b2≥ … ≥ bn thì Ta có: ( a1 a2 ... an )( b1 b2 ... bn ) ≤ n( a1b1 a2b2 ... anbn ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a1 a2 ... an hoặc b1 b2 ... bn 6.BĐT BECNULI: Cho dãy số a1, a2, ...., an trong đó mọi ai cùng dấu và lớn hơn -1. Khi đó (1+a )(1+ a )( 1+ a )≥ 1+ a1 a2 ... an 1. 2. n. Đặc biệt (1+a)n ≥ 1+na ( a>-1 và n nguyên dương) .Dấu bằng xảy ra khi n=1 hoặc a=0 7. BĐT NESBITT: a b c 3 . +3 biến: Cho a,b,c>0. Khi đó : b c c a a b 2 a b c d 2. +4 biến: a,b,c,d>0. Khi đó : b c c d d a a b Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi các biến bằng nhau..
<span class='text_page_counter'>(2)</span> 8.BĐT MINKOWSKI: Dạng 1: Cho hai dãy số không âm a1, a2, ...., an và b1, b2, ..., bn n ( a b )( a b )...( a b ) n a .a ...a n b .b ...b 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n. khi đó:. a12 b12 a22 b22 ... an2 bn2 (a1 a2 ... an ) 2 (b1 b2 ... bn ) 2 Dạng 2: 9.BDT SCHUR :. Cho a,b,c là các số thực không âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau: a r (a b)(a c) b r (b c)(b a ) c r (c a )(c b) 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực a,b,c. Dạng thường sử dụng nhất của BDT SCHUR : Nếu r =1 thì a(a b)(a c) b(b c )(b a ) c (c a )(c b) 0 a3+b3+c3 +3abc a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc 4(a+b+c)(ab+bc+ca) ≤ (a+b+c)3 +9abc Nếu r =2 thì a4+b4+c4 +abc(a+b+c) ≥ a3(b+c)+b3(c+a)+c3(a+b) Nói đến Schur người ta thường nhớ đến người anh em của nó Vornicu schur: Với a,b,c ; Sa,Sb,Sc là các số thực không âm thỏa mãn a >b>c và Sa ≥ Sb hoặc Sc ≥ Sb thì : S a (a b)(a c) Sb (b c)(b a ) S c (c a )(c b) 0 10.BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER Cho hai dãy số không âm a1, a2, ...., an và b1, b2, ..., bn 1. 1. n n n 1 1 1 ( akp ) p ( bkq ) q ak bk k 1 i 1 p,q là các số hữu tỉ dương sao cho: p q , ta có: k 1. anp a1p a2p q ... q q b b2 bn 1 Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi Dạng hay dùng nhất : * (a3+x3)(b3+y3)(c3+z3)≥(abc+xyz)3 (a,b,c ,x,y,z>0). a b c x y z Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi ** (a3+b3+c3)(x3+y3+z3) (m3+n3+p3) ≥( axm+byn+cpz)3 (a,b,c,m,n,p,x,y,z>0). a b c a b c x y z m n p Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi và 11.BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Nêú f là hàm lồi trên khoảng I thì với mọi x1,x2…,xn I ta đêù có: f x1 f x 2 f x n . x1 x2 ... xn n n ≤ f( ) Nêú f là hàm lõm trên khoảng I thì với mọi x1,x2…,xn I ta đêù có: f x1 f x 2 f x n x1 x2 ... xn n n ≥ f( ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n biến bằng nhau. Tổng quát : Nếu y = f(x) là hàm lồi trong khoảng I thì với mọi x1,…xn (a,b) và mọi số thực không âm α1, α2, ...., αn. mà α1+ α2, ...+ αn =1 ta có bất đẳng thức:. 1 f ( x1) ... n f ( x n) f ( 1x1 ... n x n).
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nếu y = f(x) là hàm lõm trong khoảng I thì với mọi x1,…xn (a,b) và mọi số thực không âm α1, α2, ...., αn. mà α1+ α2, ...+ αn =1 ta có bất đẳng thức:. 1 f ( x1) ... n f ( x n) f ( 1x1 ... n x n).
<span class='text_page_counter'>(4)</span>
