Ham so mu va logarith

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. 03. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Thầy Đặng Việt Hùng 1. Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1). • Tập xác định: D = R. • Tập giá trị: T = (0; +∞). • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. 2. Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = (0; +∞). • Tập giá trị: T = R. • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. 3. Giới hạn đặc biệt của hàm mũ và logarith • lim (1 + x →0. 1 x) x. x. ln(1 + x) ln(1 + u ) = 1  → lim =1 x →0 u →0 x u.  1 = lim 1 +  = e x →±∞  x. • lim. ex −1 eu − 1 = 1  → lim =1 x →0 x u →0 u. sin x sin u ( x) = 1  → lim =1 x →0 x x →0 u ( x ). • lim. • lim. Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau:. e2 x − 1 1) lim x →0 x ln(1 + 3 x) 4) lim x →0 x. −. x 3. −1 x →0 x ln(1 + 4 x) 5) lim x →0 2x Hướng dẫn giải: 2) lim. e. e3 x − e 2 x x →0 x −4 x e −1 6) lim x →0 3x 3) lim.  e2 x − 1  e2 x − 1 = lim  .2  = 2 x →0 x →0 x  2x . 1) lim. 2) lim x →0. e. −.  −x   e 3 − 1  −1   −1 1 = lim  .   = − x → 0 x 3  −x  3    3 . x 3. e3 x − 1) − ( e 2 x − 1) ( e3 x − e 2 x e3 x − 1 e2 x − 1 3) lim = lim = lim − lim = 3 − 2 = 1. x →0 x →0 x →0 x →0 x x x x 4) lim. ln(1 + 3 x)  ln(1 + 3 x)  = lim  .3 = 3 x → 0 x  3x . 5) lim. ln(1 + 4 x)  ln(1 + 4 x)  = lim  .2  = 2 x →0 2x  4x . x →0. x →0.  e −4 x − 1  −4   e−4 x − 1 4 = lim  .   = − x →0 x →0 3x 3  −4 x  3  . 6) lim. 4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith  y = a x  → y′ = a x .ln a
Hàm mũ:   y = au  → y ′ = u ′.au .ln a. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95.  y = e x  → y′ = e x Đặc biệt, khi a = e thì ta có   y = eu  → y ′ = u ′.eu 1  → y′ =  y = log a x  x.ln a
Hàm logarith:  u′  y = log u  → y′ = a  u.ln a 1  → y′ =  y = ln x  x Đặc biệt, khi a = e thì ta có  u′  y = ln u  → y′ =  u Chú ý: Bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp:. Hàm sơ cấp. Hàm hợp.
y = k  → y′ = 0.
y = ku  → y ′ = k .u ′ 1 1  → y′ = − 2 x x 1 y = x  → y′ = 2 x. y=.
y = x n  → y′ = n.x n −1 ⇒. 1 u′  → y′ = − 2 u u u′ y = u  → y′ = 2 u y=.
y = u n  → y′ = n.u n −1 .u ′ ⇒. → y′ = cos x  y = sin x 
 → y ′ = − sin x  y = cos x  1  → y′ =  y = tan x  cos 2 x
 −1  y = cot x  → y′ =  sin 2 x. → y′ = u ′.cos u  y = sin u 
 → y ′ = −u ′.sin u  y = cos u  u′  → y′ =  y = tan u  cos 2 u
 −u ′  y = cot u  → y′ =  sin 2 u u uv′ − u ′v  → y′ =  y = 
 v v2  y = u.v  → y′ = uv′ + u ′v . Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) y = 4 x3 − 3 x + 2. 2) y = 3. (. 1) y = x − 3 x + 2 = x − 3x + 2 4. 3. 3. ). 1 4. x2 − x + 1 y = 4 x3 − 3 x + 2 x+3 Hướng dẫn giải:. (. )(. 1  → y ′ = . 3 x 2 − 3 x3 − 3 x + 2 4. 1. 2) y = 3. ). 3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1). −3 4. 3. − ′ x2 − x + 1  x2 − x + 1 3 1  x2 − x + 1  3  x2 − x + 1  ′ =  → y = . .      = x+3 3  x+3   x+3   x+3  3. 3. − − ′ 1  x 2 − x + 1  3  (2 x − 1)( x + 3) − x 2 + x − 1  1  x 2 − x + 1  3 x 2 + 5 x − 4 = .  .  = .  . 3  x+3   ( x + 3) 2 ( x + 3) 2  3  x+3  2 2 1 4 1 3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) = sin ( 2 x − 1)  3  → y′ = . . ( sin ( 2 x − 1) )′ = . cos ( 2 x − 1) 3 3 sin ( 2 x − 1) 3 3 sin ( 2 x − 1). BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau: ln (1 + 4 x ) 1) lim x →0 x sin 2. 2. 2) lim. x →0. e x − cos x x2. eax − ebx x x →0. 3) lim. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG esin 2 x − esin x 4) lim x x →0.  x  5) lim   x →+∞  1 + x . Facebook: LyHung95. x.  1 6) lim  1 +  x →+∞  x x +1. 2 x −1.  x +1   3x − 4  3 7) lim  8) lim    x →+∞  x − 2  x →+∞  3 x + 2  Bài 2: [ĐVH]. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 + 3 1 + 5x 11 1) y = 2) y = 9 + 6 5 x9 1 + 2x. (. ). (. x−. 7) y = x.e.  2x + 1  9) lim   x →+∞  x − 1 . 3) y = 4 sin. ). 5) y = x5 − x e −2 x. 4) y = x 2 − 4 x + 4 e x 1 3. 8) y =. 13) y = ecos x .ln ( cos x ). 14) y = ln x + x 2 + 1. ). 17) y =. ln. (. 2. x − cot x. 4x. (. 11) y = 2 x.ecos x. (. x+4 3. 9) y = esin 3 x −. 10) y = cos x.ecot x. 16) y = log 1 x 4 − cos 2 x. x. 6) y = e−3 x .sin 4 x. e2 x + e x e2 x − e x. (. x +1 x. 12) y = ln x 2 + 4 x − sinx. ). 15) y =. ). ln ( 2 x + 1) x +1. 18) y = (2 x − 1) ln(3x 2 + x). 3x − 4. Bài 3: [ĐVH]. Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức chỉ ra tương ứng? 1) y = x.e. −. x2 2. (. ). 2) y = ( x + 1) .e x  → y '− y = e x.  → xy ' = 1 − x 2 y. 3) y = e 4 x + 2e − x  → y '''− 13 y '− 12 y = 0 5) y = e − x .sin x  → y ''+ 2 y '+ 2 y = 0 1 7) y = x 2 .e x  → y ''− 2 y '+ y = e x 2. (. )(. ). → y' = 8) y = x 2 + 1 . e x + 2011 . 10) y =. 6) y = esin x  → y '.cos x − y.sin x − y '' = 0. (. ). 2 xy + e x x2 + 1 x2 + 1. 1  → xy ' = y ( y.ln x − 1) 1 + x + ln x. 1  → xy '+ 1 = e y 1+ x 1 + ln x 11) y =  → 2x2 y ' = x2 y 2 + 1 x (1 − ln x ). 9) y = ln. (. ). Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình và bất phương trình sau, với các hàm số cho dưới đây?. (. ). 1) f '( x) = 2 f ( x); f ( x) = e x x 2 + 3 x + 1. 1 f ( x) = 0; f ( x) = x3 ln x x 3) f '( x) = 0; f ( x) = e 2 x −1 + 2.e1−2 x + 7 x − 5 4) f '( x) > g '( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g ( x) = ln( x − 1) 1 5) f '( x) < g '( x); f ( x) = .52 x +1; g ( x) = 5 x + 4 x ln 5 2. 2) f '( x) +. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!. ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>