CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG V - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Trong các chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của mơi trường liên
tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa
hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi
trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là
xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những
nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi
tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo.
Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :
σx = f1(εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx);
σy = f2(εx, εy,...
);
σz = f3(εx, εy,...
);
Txy= f4(εx, εy,...
);
(5.1)
Tyz= f5(εx, εy,...
);
Tzx= f6(εx, εy,...
);


CHƯƠNG
CHƯƠNG V
V–
– LÝ
LÝ THUYẾT

THUYẾT ĐÀN
ĐÀN HỒI
HỒI
Cơ
Cơ học
học môi
môi trường
trường liên
liên tục
tục

Ths Phạm Văn Đạt

Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ
ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (5.1) viết thành :
σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx;
σy = a21εx + a22εy + a23εz + a24γxy + a25γyz + a26γzx;
............
(5.2)
Tzx = a61εx + a62εy + a63εz + a64γxy + a65γyz + a66γzx.
Trong đó :
- Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu.
- Trong (5.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi. Ta sẽ chứng minh rằng đối với
vật liệu hoàn tồn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập với nhau.

5.1 Công và thế của lực đàn hồi
- Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z). Các mặt của
phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,5.1). Ứng với các ứng suất ấy phần
tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc.
- Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công.



CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục

σx
τxy

P(x,y+dy,z)

τxy +

∂τxy
∂x

dx

∂
σx
dx
∂
x

σx +

dy

τxy

dz


y

N(x+dx,y,z)
Q(x,y,z+dz)
dx

τ xz +

∂τ xz
dx
∂x

x
z

5.1.1. Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:
- Ứng suất pháp trên 2 mặt vng góc trục x là : σx và σx +
.dx, có độ
dài tương đối εx, độ dãn dài tuyệt đối : εx.dx.
- Sau thời gian vô cùng bé δt, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia:
δεx. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : δεx .dx.
Số gia của công do σx sinh ra :
(σx.dydz)( δεx.dx)
Tương tự số gia của công σy và σz sinh ra :
(σy.dxdz)( δεy .dy)
(a)
(σz.dxdy)( δεy .dz).



CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
5.1.2. Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:
- Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là γxy. Sau thời gian δt,
góc trượt đó có số gia δγxy.
- Lực do Txy : Txy.dy.dz.
- Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vng góc ox :
(Txy.dydz).dx.
- Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx). δγxy.
-Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là :
(Tyz.dzdx.dy). δγxz.
(b)
(Tzx.dxdy.dz). δγzx.
- Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất
sinh ra (a+b):
δT = (σx. δεx +σy. δεy +σz. δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + zxδγzx )dxdydz. (5.3)
Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng.
*Số gia của công của một đơn vị thể tích (cơng riêng) δA sẽ là :
δA = = σx. δεx +σy. δεy +σz. δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + Tzxδγzx
(5.4)


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
* Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được
bảo toàn. Nếu gọi W là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến
dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A.
Do vậy ta có
A=W
(5.5)

Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (5.5) gọi là có thế .
Từ (5.5) ⇔ δA = δW
(5.6)
Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy
thế năng biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng :
W = f(εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx).
- Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên δW là 1 vi
phân tồn phần. Nếu bỏ qua các vơ cùng bé bậc cao khi khai triển số gia
của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :

δW =

∂W
∂W
∂W
∂W
∂W
∂W
δε x +
δε y +
δε z +
δγ xy +
δγ yz +
δγ zx (5 − 7)
∂ε x
∂ε y
∂ε z
∂γ xy
∂γ yz
∂γ zx



CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
So sánh (5-4) và (5-7) ta có:

σx =
τ xy

∂W
∂W
∂W
;σ y =
;σ z =
;
∂ε x
∂ε y
∂ε z

∂W
∂W
∂W
=
;τ yz =
;τ zx =
∂γ xy
∂γ yz
∂γ zx

(5-8)


- Từ (5.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là
các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng
tương ứng.

5.2 Định luật Hooke tổng quát và các hằng số đàn hồi của vật liệu
5.2.1. Dựa vào định lý Green :
Từ (5.2) ta có : σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
(5-8) ta có:

∂W
∂ 2W
σx =
⇒
= a15
∂ε x
∂ε x ∂γ yz

(a)

Từf (5-2) ta có:

τ yz = a51ε x + a52ε y + a53ε z + a54γ xy + a55γ yz + a56γ zx

Từ (5-8) ta có:


τ yz

∂W
∂ 2W
=
⇒
= a51
∂γ yz
∂γ yz ∂ε x

(b)

- Vì giá trị đạo hàm khơng phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và
(b) ta có : a15 = a51.
- Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (5.2) ta có: aij = aji
Vậy các hằng số của hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo
chính. Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số.
5.2.2. Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng :
- Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hồn tồn, bất kỳ mặt
phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của
vật liệu theo mọi phương là như nhau.


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
Do đó các phương trình (5.2) khơng thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :
+Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp σx của phương trình thứ nhất trong hệ
(5.2) khơng thay đổi:
σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx. (c)
Nhưng các biến dạng góc γxy và γyz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt

trước đây làm góc vng nhỏ lại nay làm cho góc vng lớn lên.
⇒ σx = a11εx + a12εy + a13εz - a14γxy a15γyz + a16γzx (d).
Đồng nhất (c) và (d) ta có :

a14 = −a14 
 ⇒ a14 = a15 = 0
a15 = −a15 

Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0.


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của ba
phương trình đầu trong hệ phương trình (5.2) đều bằng 0.
 Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương
trình (5.2) cũng bằng 0
* Hệ phương trình (5.2) trở thành :
σx = a11εx + a12εy + a13εz
σy = a21εx + a22εy + a23εz
σz = a31εx + a32εy + a33εz
(5.9)
Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx
Tyz = a54γxy + a55γyz + a56γzx
Tzx = a64γxy + a65γyz + a66γzx
Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận :
- Các ứng suất pháp khơng có quan hệ với các biến dạng góc.
- Các ứng suất tiếp khơng có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.



CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục

Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 5.9) :
Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx (e)
Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy khơng đổi nhưng γyz và γzx sẽ đổi dấu: Tyx
= a44γxy - a45γyz - a46γzx
(f)
Đồng nhất (e) và (f) ta có :
Do aij = aji ⇒ a54 = a64 = 0.
Tương tự ta có : a56 = a65 = 0.
Hệ phương trình (5.9) có thể rút gọn như sau:
σx = a11εx + a12εy + a13εz
σy = a21εx + a22εy + a23εz
σz = a31εx + a32εy + a33εz
Tyx = a44γxy
(5.10)
Tyz = a55γyz
Tzx = a66γzx
Bằng cách hốn vị vịng phương trình (3) của hệ phương trình (5.10), ta có:
x
z

y


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
σz = a31εx + a32εy + a33εz
Hốn vị vịng ta có:

σx = a31εy + a32εz + a33εx (1)
Phương trình (1) của hệ phương trình (5.10) :
σx = a12εy + a13εz + a11εx
Đồng nhất (5.11) và (1) ta có :
a31 = a12
a32 = a13
a33 = a11
Vì aij = aj i
⇒
a12 = a21
a31 = a13
a32 = a23
* Đặt
a = a11 = a22 = a33
b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23
Bằng phép hốn vị vịng các phương trình (4,5,6) của hệ (5.10) ta có :
c = a44 = a55 = a66
Do đó (5.10) có dạng :
σx = aεx + b(εy + εz)
σy = aεy + b(εx + εz)
σz = aεz + b(εx + εy)
(5.11)
Txy = cγxy
Tyz = cγyz
Tzx = cγzx


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
*Ta có: θ = εx + εy + εz: là biến dạng thể tích tương đối.

nên
σx = bθ + (a - b) εx
σy = bθ + (a - b) εy
(5.12)
σz = bθ + (a - b) εz
*Đặt
b=λ
a -b = 2 ν
σx = λθ +2νεx
(5.12) ⇔
σy = λθ +2νεy
(5.13)
σz = λθ +2νεz
Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có:
c = (a-b)/2
⇒
c=ν
→
Txy= ν γxy
Tyz= ν γyz
(5.14)
Tzx= ν γzx
Các hệ phương trình (5.13) và (5.14) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của
vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới
dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là
λ và ν. Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục


5.3. Một dạng khác của định luật hooke tổng quát
Ta có: σx+ σx +σx = 3λ θ+2νθ
tương đối.
⇒θ =

trong đó : θ=εx+ εy+ εz Độ biến dạng thể tích

1
(σ x + σ y + σ z )
3λ + 2ν

(a)

σ y − λθ 
Từ (5-18) ε y =

2ν  ⇒ ε + ε = σ y − σ z − λθ
y
z
σ z − λθ 
2ν
ν
εz =
2ν 

(b)

Thay (a) và (b) vào (c) ta có:


σ x + σ y
1
λ
(σ x + σ y + σ z ) − 
(σ x + σ y + σ z )
εx =
−
3λ + 2ν
ν (3λ + 2ν )
 2ν


σ x +σ y
λ +ν
(σ x + σ y + σ z ) −
=
ν ( 3λ + 2ν )
2ν
εx =


λ +ν 
λ
(
)
σ
−
σ
+
σ

x
x
y 
ν ( 3λ + 2ν ) 
ν ( λ +ν )


(5-15)


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
Đặt:

1
λ +ν
λ
=
;µ =
E ν ( 3λ + 2ν )
ν ( λ +ν )

(5-16)

Thay (5-16) vào (5-15) ta được

1
(σ x − µ (σ y + σ z ) ) 
E


1

ε y = (σ y − µ ( σ z + σ x ) ) 
E

1

ε z = (σ x − µ (σ x + σ y ) ) 
E


εx =
Tương tự ta có

Từ (5-16) ta có E =

(5-17)

ν ( 3λ + 2ν )
2λ + 2ν 
 ν
 ν

=ν 
+
=
ν
+
2
=ν ( 2 µ + 2 )




λ +ν
λ +ν 
λ +ν
λ +ν

E


2( µ +1) 
 ⇔G =ν
E

G=
2( µ +1) 


⇒ν =


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
Lúc này (5-10) có dạng:

τ xy

γ xy =
G


τ yz

γ
=
 yz
G

τ zx

γ
=
 zx
G


(5-18)

Các hệ phương trình (5.17) và (5.18) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết
dưới dạng biến dạng theo ứng suất.
*Định luật Hooke khối
Từ (5.17) ta có :
E(εx + εy + εz) = (σx + σy + σz) - 2µ(εx + εy + εz)
(*)
(*) ⇔ Eθ = S (1 - 2µ) ⇔
(5.19)
Với: θ = εx + εy + εz : Biến dạng thể tích tương đối.
S =σx + σy + σz: Hàm ứng suất tổng.
Phương trình (5.19) được gọi là Định luật Hooke khối.



CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục

5.4. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính
5.4.1. Các phương trình cơ bản :
Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý
của mơi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần
ứng suất : σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx.
- Ba thành phần chuyển vị : u, v, w.
- Sáu thành phần biến dạng : εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx.
Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau
1. Về mặt tĩnh học
a) Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy

��� ���� ����
�2�
‫ ەەەەەۓ‬+
+
+ � = 0(= �
)
��
��
��
��
ۖ
ۖ
���� ��� ����
�2 �
+

+
+ � = 0(= �
)
��
��
��
��
‫ەە۔‬
2
ۖ
ۖ���� + ���� + ��� + � = 0(= � � � )
‫�� ەەە‬
��
��
��


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
b) Các điều kiện biên theo ứng suất
2) Về mặt hình học
a)Hệ phương trình biến dạng Cauchy – Navier
εx =

∂u
∂x

γxy = 2 γxy =α +β =

∂v

∂
+ u
∂x
∂y

εy =

∂v
∂y

γyz =2 γyz = β + γ =

∂w ∂v
+
∂y ∂z

εZ =

∂w
∂z

γzx = 2 γzx = γ +α =

∂u ∂w
+
∂z ∂x

b)Các phương trình liên tục về biến dạng
2) Về mặt vật lý
a) Biểu diễn biến dạng qua ứng suất



CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục

1

ε
=
 x E (σ x − µ (σ y + σ z ) )

1

(σ y − µ (σ z + σ x ) )
ε
=
 y
E

1

ε
=
 z E (σ x − µ (σ x + σ y ) )

b) Biểu diễn ứng suất qua biến dạng
σx = λθ +2νεx
σy = λθ +2νεy
σz = λθ +2νεz
Txy= ν γxy

Tyz= ν γyz
Tzx= ν γzx

τ xy

γ
=
 xy
G

τ yz

γ yz =
G

τ zx

γ
=
 zx
G



CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
5.4.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :
* Về ngun tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn
cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn
chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những

phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài tốn. Những
ẩn số cịn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính.
1. Cách giải bài tốn theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm
ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm
chuyển vị u, v, w.
2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm
ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất.
3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán,
ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị
và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
5.5 Cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị
Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản :
5.5.1.Về mặt vật lý:
Từ định luật Hooke tổng quát :
σx = λθ + 2Gεx
Txy = Gγxy
(a)
Tzx = Gγzx
5.5.2. Về mặt hình học:
Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy :

εx =

;

γyx =


;

γzx =

;

Thay (b) vào (a) ta có : σx = λθ + G
Tyx = G
Tzx = G

(b)

+G
(c)


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
5.5.3 Về mặt tĩnh học:
Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy :
(d)
Thay (c) vào (d) ta có:

Với

∇2 =

: Toán tử vi phân Laplace.


=εx+εy+εz =θ : Biến dạng thể tích tương đối
(λ + G)

+ G∇2u + fx = 0

;

Tương tự (λ + G)

+ G∇2v + fy = 0

;

(λ + G)

+ G∇2w + fz = 0

;

(*)⇔

(5.20)


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục
Hệ (5.20): Hệ phương trình LaMê :
Khi thiết lập (5.20) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ
giữa ứng suất và biến dạng nên hệ (5.20) vẫn chứa các hằng số LaMê λ
và G.

Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình
học và vật lý. Giải (5.20) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến
dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng
suất theo định luật Hooke.
5.5.4 Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài tốn tĩnh, khi các lực thể
tích là hằng số ta có các hệ quả sau:
a. Hệ quả 1: Đạo hàm các phương trình của hệ (5.20) lần lượt
theo các biến x, y, z ta có :

+

(5.21)

(λ + G)

+ G∇2

=0;

(λ + G)

+ G∇2

=0;

(λ + G)

+ G∇2

=0.


(λ + G). ∇2θ + G∇2θ = 0
⇔ ∇2θ = 0


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục

Do θ tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có :
∇2S = 0
(5.22)
Phát biểu hệ quả 1: Trong bài tốn tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng
hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm
ứng suất tổng là những hàm điều hòa.
b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.21) :
(λ + G)

+ G∇2u +fx = 0 (a)

Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có :
(λ + G)
+

+ G∇2

=0;

(λ + G)

+ G∇2


=0;

(λ + G)

+ G∇2

=0.

(λ + G).

∇2θ + G∇2∇2u = 0 (b)


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục

Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng
hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm
trùng điều hòa.
c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng
nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều
kiện cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình
cơ bản đã nêu trên.
5.6 Cách giải bài toán đàn hồi theo ứng suất
Chọn các ứng suất σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính.
5.6.1. Trường hợp các lực thể tích là hằng số:
1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke
εy =
Có

(*) ⇔

(*)

S = σx + σy + σz
εy =

Tương tự εz =
γyz =

(a)
Tyz =

Tyz


CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Cơ học môi trường liên tục

2. Về mặt hình học: Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :
(b)
Thay (a) vào (b) ta có :
(1 + µ)
⇔

-µ

+(1 + µ)

-µ


= 2(1 + µ)

= 2(1 + µ)

(1 +µ)

(c)

3. Về mặt tĩnh học: Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học NavierCauchy.
;

⇒

(1)

;

⇒

(2)

;

⇒

(3)