Mot vai loai day truy hoi

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. Chuyên ñề ñại số sơ cấp : MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI Người thực hiện:. Mai Xuân Huy Nguyễn Tất Phong Lớp 4C K54 Khoa Toán.. Trong chuyên ñề này chúng ta cùng xem xét một vài loại dãy truy hồi. Khi nghiên cứu về một dãy nào ñó ta thường quan tâm ñến các vấn ñề: xác ñịnh số hạng tổng quát, tính tổng riêng hữu hạn và khảo sát dãy số ñó (xét tính ñơn ñiệu hội tụ). Sau ñây là một vài loại dãy truy hồi thường gặp: I. Dãy afine: 1. ðịnh nghĩa: Dãy afine là dãy {un }n≥0 trong một trường K ñược xác ñịnh bởi: un+1 = aun + b với a, b ∈ K . 2. Số hạng tổng quát: Xét dãy afine: un+1 = aun + b (1) với a, b ∈ K ( n ≥ 0 ) Nếu a = 1 thì dãy (1) là một dãy cộng và khi ñó ta có : un +1 = u0 + nb ( ∀n ≥ 0 ) b với ∀n ≥ 0 a −1 b b b  b  Khi ñó: vn+1 = un +1 + = aun + b + = a  vn − = avn với ∀n ≥ 0 . +b+ a −1 a −1 a −1  a −1 . Nếu a ≠ 1 lúc này ta ñặt vn = un +. ⇒ vn+1 = avn ( ∀n ≥ 0 ) ⇒ dãy {vn } là một dãy nhân với công bội a .Do vậy: vn = a n .v0 với ∀n ≥ 0 .. Nhưng vn = un +. b b b b  b  nên ta có un = vn − = a n .v0 − = a n  u0 + − a −1 a −1 a −1 a −1  a −1 . với ∀n ≥ 0 . Vậy số hạng tổng quát của (1) là: u n = u 0 + nb nếu a = 1 b b nếu a ≠ 1 )− a −1 a −1 * ðặc biệt:nếu b = 0 thì ta có: un = a n .u0 và dãy: {un }n≥0 là một dãy nhân với công bội a. u n = a n (u0 +. 3.Tổng riêng hữu hạn: Nếu a ≠ 1 MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. n. ðặt S ( n ) = ∑ ui , ta có: i =0. n −1. n. un +1 + S ( n ) = un +1 + ∑ ui = a.un + b + ∑ ( aui + b ) + u0 ( do ui +1 = aui + b ) i=0. i =0. n. n. i=0. i =1. = ∑ ( aui + b ) + u0 = u0 + a ∑ ui + nb = u0 + aS ( u ) + nb Do ñó: ( a − 1) .S ( n ) = un+1 − nb − u0 ⇒ S ( n ) =. un+1 − nb − u0 với a ≠ 1 a −1. Nếu a = 1 .Khi ñó un = u0 + nb và do ñó: n. S( n ) = ∑ ( u0 + nb ) = ( n + 1) u0 + (1 + 2 + ... + n ) b = ( n + 1) u0 + i =0. n ( n + 1) b 2. n(n + 1) b nếu a = 1 2 u − nb − u0 nếu a ≠ 1 S (n) = n +1 a −1. Vậy : S (n) = (n + 1)u0 +. II. Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số hằng. Dãy {un }n≥0 có dạng: un+ 2 = ann +1 + bun (*) trong ñó a, b ∈ ℝ ñược gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số hằng. Ký hiệu: Da ,b = {{un } un + 2 = a.un +1 + bun , ∀a, b ∈ ℝ} .Khi ñó ta có mệnh ñề sau: Mệnh ñề: Da ,b là một ℝ - không gian véc tơ hai chiều. Chứng minh: Ta có : Da ,b ≠ φ do {O}n≥ 0 thỏa mãn (*). +) Da ,b là một ℝ - không gian véc tơ Thật vậy :Với ∀ {un }n≥ 0 ; {vn }n≥0 ∈ Da ,b và ∀x, y ∈ ℝ ta có: x.un + 2 + y.vn+ 2 = x ( a.un+1 + b.un ) + y ( a.vn +1 + b.vn ) = a ( x.un+1 + yvn+1 ) + b ( x.un + yvn ) ∈ Da ,b với ∀n ≥ 0 ⇒ Da ,b là một ℝ - không gian véc tơ .. +) Da ,b là không gian véc tơ hai chiều. Thật vậy :Xét {un }n≥0 , {vn }n≥0 , ∈ Da ,b :ñược xác ñịnh bởi: u0 = 1, u1 = 0   v0 = o, v1 = 1. Khi ñó nếu x {un }n≥0 + y {vn }n≥0 ( x, y ∈ ℝ ). MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI.  xu0 + yv0 = 0 ⇒x= y=0   xu1 + yv1 = 0 ⇒ {un }n≥0 , {vn }n≥0 ñộc lập tuyến tính trong Da ,b .. Xét dãy { Pn }n≥ 0 bất kỳ thuộc Da ,b thì { Pn }n≥0 = P0. {un }n≥0 + P1 {vn }n≥0 ( **) Hay Pn = P0 .un + P1.vn. ∀n ≥ 0. Thật vậy theo quy nạp ta có : n = 0, n = 1 ⇒ (**) ñúng . Giả sử: (**) ñúng với n và n + 1 tức là  pn = p0un + p1vn   pn +1 = p0un+1 + p1vn+1. Khi ñó Pn + 2 = aPn +1bPn = a ( P0un +1 + Pv 1 n +1 ) + b ( P0 un + Pv 1 n) = P0 ( aun+1 + bun ) + P1 ( avn+1 + bvn ) = P0un+ 2 + Pv 1 n+ 2 ⇒ (**) ñúng với n + 2 ⇒ (**) ñúng với ∀n ≥ 0 ⇒ {{un }n ≥0 , {vn }n ≥0 } là một cơ sở của Da ,b. Suy ra Da ,b là không gian véctơ hai chiều ⇒ ñpcm. Vậy hai mệnh ñề ñược chứng minh. * Vấn ñề ñặt ra là muốn tìm số hạng tổng quát của các dãy dưới dạng: un + 2 = a .un +1 + b .un thì ta phải làm thế nào? đáp án của vấn ựề nằm ở mệnh ựề vừa nêu trên .Muốn giải quết vấn ựề thì ta phải tìm ñược cơ sở của Da ,b .ðể làm ñiều này trước hết ta xét phương trình ẩn t sau: t 2 − at − b = 0 (1) với ∆ = a 2 + 4b . Phương trình (1) ñược gọi là phương trình ñặc trưng. của dãy ( α ) a. Trường hợp 1: ∆ = a 2 + 4b >0. Khi ñó (1) có 2 nghiệm thực phân biệt là t1 , t2 . Không khó khăn ta có thể kiểm tra ñược. {{t } ,{t } } là một cơ sở của D n 1 n ≥0. n 2 n ≥0. a ,b. . Do ñó dãy (*). sẽ có số hạng tổng quát là: un = xt1n + yt2n. ∀n ≥ 0 , ∀x, y tùy ý thuộc ℝ .. * ðặc biệt :Nếu biết u0 , u1 thì x,y hoàn toàn xác ñịnh . Tiếp theo ta xét một số ví dụ: Ví dụ 1: Hãy tìm công thức cho số hạng tổng quát { f n }n≥0 của dãy Fibonacci xác ñịnh như sau: f 0 = 0. f1 = 1, f n + 2 = f n +1 + f n ( ∀n ≥ 0 ). Giải: Dãy ñã cho có phương trình ñặc trưng là: Nghiệm của phương trình ñặc trưng là:. t 2 − t −1 = 0. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. t1 =. 1+ 5 1− 5 , t2 = 2 2. Từ ñó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng: n. n.  1+ 5   1− 5  f n = x   + y   với ∀n ≥ 0  2   2   5 x =  5 Mà theo giả thiết ta lại có: f 0 = 0, f1 = 1 ⇒  y = − 5  5 n n 5  1 + 5   1 − 5    Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là: f n =  −   với ∀n ≥ 0 5  2   2     Ví dụ 2: Cho dãy {un } xác ñịnh như sau:. u0 = 2  2 un +1 = 3un + 8un + 1∀n ≥ 0. Hãy tìm công thức cho số hạng tổng quát : un Giải: Theo giả thiết ta có: un+1 − 3un = 8un2 + 1 ⇒ un2+1 − 6un2+1un + 9un2 = 8un2 + 1 ⇒ un2+1 − 6un +1un + un2 = 1( 2.1). Trong (2.1) thay n + 1 bởi n ta có:. un2 − 6unun −1 + un2− 2 = 1( 2.2 ). Lấy (2.1) – (2.2) ta ñược :. ( un+1 − un−1 )( un +1 + un −1 − 6un ) = 0 ( 2.3). Mặt khác: un+1 = 3un + 8n 2 + 1 ⇒ un +1 > 3un Thay n + 1 bởi n ta ñược un > 3un −1 Từ ñó suy ra : un+1 > 3un > 9un −1 > un −1 Vì thế từ (2.3) ta có: un+1 + un−1 − 6un = 0 hay un+1 = 6un − un−1 Do vậy dãy {un } xác ñịnh như sau : u0 = 2; u1 = 6 + 33  un+1 = 6un − un −1 2 t − 6t + 1 = 0 t1 = 3 + 8, t2 = 3 − 8. Phương trình ñặc trưng : Nghiệm của phương trình là: Do ñó số hạng tổng quát của dãy ñã cho có dạng :. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. (. un = x 3 + 8. ). n. (. + y 3− 8. ). n. với ∀n ≥ 0. Do u0 = 2, u1 = 6 + 33 nên ta có: x=. 8 + 66 8 − 66 và y = 8 8. Vậy số hạng tổng quát {un } của dãy ñã cho là: un. (8 + =. )(. 66 3 + 8. ) + (8 − n. )(. 66 3 − 8. ). n. 8. b. Trường hợp 2: ∆ = a + 4b = 0 . Khi ñó (1) có 1 nghiệm kép thực t. Dễ dàng kiểm tra ñược rằng: {t n }n≥0 , {t n−1}n≥0 là một cơ sở của Da ,b .Do ñó dãy (*) sẽ có số hạng tổng 2. {. }. quát là: un = xt n + ynt n −1 với ∀n ≥ 0. (quy ước 0−1 = 0 ) ∀x, y ∈ ℝ và x,y sẽ hoàn toàn xác ñịnh nếu biết u0 và u1 Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3:Tìm số hạng tổng quát của dãy số {un }n≥0 xác ñịnh như sau: u0 = u1 = 0, un + 2 = 6un +1 − 9un ( ∀n ≥ 0 ). Giải: Phương trình ñặc trưng của dãy ñã cho là: t 2 − 6t + 9 = 0 Nghiệm của phương trình ñặc trưng là: t1 = t2 = 3 ∈ ℝ Từ ñó suy ra số hạng tổng quát của dãy ñã cho là: un = x3n + yn3n −1 ( ∀n ≥ 0 )  x =1  y = −2. Theo giả thiết : u0 = u1 = 1 ⇒ . Vậy số hạng tổng quát của dãy ñã cho là:. un = 3n − 2n3n −1 ( ∀n ≥ 1). c. Trường hợp 3: ∆ = a 2 + 4b < 0 . Khi ñó (1) có hai nghiệm phức t1 , t2 liên hợp với nhau. Xét dãy số (*) trên trường số phức ℂ .Lập luận tương tự giống chứng minh mệnh ñề ta nhân ñược tất cả các dãy số phức thỏa mãn (*) lập thành một không gian vectơ hai chiều A trên ℂ . Từ ñó suy ra ñược số hạng tổng quát un của (*) là: un = xt1n + yt2n với ∀n ≥ 0 và y ∈ ℚ .. {. }. ðặt t = t1 ⇒ xt n + xt n x ∈ ℂ là tập các dãy thực của A. {. }. ⇒ xt n + xt n x ∈ ℂ ⊂ Da ,b. Ngược lại giả sử: {un }n≥ 0 ⊂ Da ,b ⇒ {un }n≥0 ∈ A . Khi ñó tồn tại các số phức c và d sao cho: un = ct1n + dt2n với ∀n ≥ 0 . Nhớ lại rằng t = t1 và t2 = t và do u0 , u1 ∈ ℝ nên c + d , ct + dt ∈ D . Do ñó : c + d = c + d =c + d và ct + dt = ct + dt = ct + dt .. Từ ñó suy ra d − c = d − c = d − c MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. và (d − c)t = (d − c)t = (d − c)t suy ra d − c ∈ ℝ và (d − c)t ∈ ℝ nên d − c = 0 . Do ñó: un = ct n + ct n với ∀n ≥ 0 .. {. } {. }. Da ,b = xt n + xt n x ∈ ℂ = 2 Re( xt n ) x ∈ ℂ. Suy ra 1 2. Giả sử: x = ( p + qi ) và r = p , α = argt 1 2 n Vậy un = r ( p cos nα − q sin nα ) với p, q ∈ ℝ và n ≥ 0 .. Khi ñó: 2 Re( xt n ) = 2 Re ( p + qi )r n (cosnα +isinnα )=r n ( p cos nα − q sin nα ). * Từ những lập luận ở trên ta rút ta thuật toán tìm số hạng tổng quát của dãy (*) trong trường hợp này như sau: Bước 1: Giải phương trình: t 2 − at − b = 0 tìm ñược một nghiệm của nó là : t=. a + i −∆ 2. Bước 2: ðặt r = t , α = argt ta nhận ñược số hạng tổng quát là: un = r n ( p cos nα − q sin nα ) với p, q ∈ ℝ và ∀n ≥ 0. Bước 3: Xác ñịnh ( p, q ) ∈ ℝ 2 theo các giá trị cho trước u0 , u1 . Áp dụng thuật toán trên ñể (làm ví dụ sau) Ví dụ 4:Tìm số hạng tổng quát của dãy {un }n≥0 xác ñịnh như sau:  u0 = 0, u1 = 1 ∀n ≥ 0  un + 2 = un+1 − un. Giải: Phương trình ñặc trưng của dãy ñã cho là: t 2 − t + 1 = 0 có nghiệm là: t1 = t2 =. 1− i 3 . 2. Ta có: t1 = t2 = 1 , argt1 = argt 2 =. 1+ i 3 , 2. π 3. Do ñó số hạng tổng quát của dãy ñã cho là: un = 1n ( p cos. nπ nπ + q sin ) với ∀ ∀n ≥ 0 . 3 3. 2 3 3 2 3 nπ Vậy dãy ñã cho có số hạng tổng quát là: un = sin với ∀n ≥ 0 . 3 3. Theo giả thiết ta có: u0 = 0, u1 = 1 nên p = 0, q =. Một số bài tập có liên quan:. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. Bài 1: Cho dãy {un } xác ñịnh như sau: u0 = 0 , u1 = 1 , un+1 = 2un + (a − 1)un −1 với ∀n ≥ 1 trong ñó a là một số nguyên dương cho trước, p0 > 2 là một số nguyên tố cố ñịnh. Tìm giá trị bé nhất của a sao cho ta có hai ñiều sau: 1)Nếu p nguyên tố và p ≤ p0 thì u p chia hết cho p 2)Nếu p nguyên tố và p > p0 thì u p không chia hết cho p Giải: Phương trình ñặc trưng của dãy: t 2 − 2t − (a − 1) = 0 có nghiệm là: t1 = 1 − a và t2 = 1 + a ( t1 ≠ t2 do a > 0 ). Số hạng tổng quát của dãy ñã cho có dạng: un = x(1 + a ) n + y (1 − a ) n với ∀n ≥ 0. u = 0 Theo giả thiết ta có:  0 suy ra  u1 = 1. 1   x = 2 a  y = − 1  2 a. Vậy dãy ñã cho có số hạng tổng quát là: un =. 1  (1 + a )n − (1 − a )n  (1)  2 a. Với số nguyên tố p bất kì khác 2 suy ra p lẻ theo công thức nhị thức Newton ta có: p −1. p  2 1  p i i up = C ( a ) − C ip (− a )i  = ∑ C p2i +1a i (2) ∑ ∑ p 2 a  i=0 i =0  i =0. Mà a ∈ ℕ và C pk ≡ 0(mod p) với p nguyên tố 1 ≤ k < p suy ra C p2i +1 ≡ 0(mod p) với ∀i = 0,1,..,. p −1 −1 2. Từ (2) ta ñược: u p ≡ a Với p = 2 ⇒ u p =. p −1 2. (mod p ) với ∀ p nguyên tố khác 2.. 1  (1 + a ) 2 − (1 − a ) 2  = 2 ≡ 0(mod p ) 2 a. Do ñó: u p ≡ 0(mod p) nếu p = 2 và u p ≡ a. p −1 2. (mod p ) nếu p nguyên tố lớn hơn 2.. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. Từ ñó suy ra a thỏa mãn ñề bài khi và chỉ khi: +) a chia hết cho p với p nguyên tố và 3 ≤ p ≤ p0 +) a không chia hết cho p với p nguyên tố và p > p0 Suy ra số a nhỏ nhất thỏa mãn là a bằng tích của tất cả các số nguyên tố p thỏa mãn 3 ≤ p ≤ p0 . Bài 2: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy: {un } biết rằng u0 = a > 0, u1 = b > 0 và un+ 2 = 3 un2un+1 với ∀n ≥ 0 .. Hướng dẫn: Xét dãy: vn = ln(un ) . Bài 3: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy: {un } biết rằng u0 = a > 0, u1 = b > 0 và un+ 2 =. 2unun+1 với ∀n ≥ 0 . un + un +1. Hướng dẫn: Xét dãy: vn =. 1 un. * Mở rộng kết quả ñược nêu trong lý thuyết (mở rộng vấn ñề). Vấn ñề 1: Nếu ta thay dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số hằng bởi dãy truy hồi tuyến tính cấp ba thì kết quả ñược chứng minh hoàn toàn tương tự: Xét dãy: un+3 = aun + 2 + bun +1 + cun Phương trình ñặc trưng:. (n ≥ 0). t 3 − at 2 − bt − c = 0. Xét các trường hợp nghiệm của phương trình ñặc trưng: +) Nếu phương trình ñặc trưng có ba nghiệm thực phân biệt t1 , t2 , t3 thì dãy ñã cho có số hạng tổng quát là: un = xt1n + yt2n + zt3n. ∀n ≥ 0. với x, y , z ∈ ℝ và phụ thuộc vào các số hạng ban ñầu của dãy. +) Nếu phương trình ñặc trưng có nghiệm kép t1 và một nghiệm thực t 2 thì số hạng tổng quát cúa dãy là: un = xt1n + ynt1n + zt2n. ∀n ≥ 0. với x, y , z ∈ ℝ và phụ thuộc vào các số hạng ban ñầu của dãy. +) Nếu phương trình ñặc trưng có nghiệm t bội 3 thì số hạng tổng quát cúa dãy là: un = xt n + ynt n + zn 2t n. ∀n ≥ 0, x, y, z ∈ ℝ. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. +) Nếu phương trình ñặc trưng có nghiệm có một nghiệm thực t và hai nghiệm phức t1 , t2 liên hợp với nhau thì số hạng tổng quát cúa dãy là: un = xt n + r n (y cos nϕ + z sin nϕ ). ∀n ≥ 0, x, y, z ∈ ℝ. trong ñó: r = t1 và ϕ = arg t1 . * Tương tự ta xét dãy truy hồi tuyến tính như trên cho trường hợp k ≥ 4 với hệ số hằng thì các kết quả thu ñược còn ñúng hay không? Xét dãy: un+ k = a1un+ k −1 + a2un+ k − 2 + ... + ak un ( a1 , a2 ..., ak ∈ ℝ(k > 3) k. Ta cũng kí hiệu Da ,a ...,a = {un + k = ∑ ai un + k −i , a1 , a2 ..., ak ∈ ℝ} 1. 2. k. i =1. Khi ñó bằng phương pháp chứng minh tương tự mệnh ñề ta thấy: Da ,a ...,a (k > 3) là một ℝ không gian vectơ k chiều. 1. 2. k. Phương trình t k − a1t k −1 − a2t k −2 − ... − ak = 0 cũng ñược gọi là phương trình ñặc trưng của dãy ñã cho. ðể xác ñịnh số hạng tổng quát ta cũng ñi giải phương trình ñặc trương ñược k nghiệm t1 , t2 ,..., tk (k ≥ 3) . * Trường hợp 1:Nếu t1 , t2 ,...tk là k nghiệm thực phân biệt thì số hạng tổng quát của dãy là: k. un = ∑ bi tin trong ñó b1 , b2 ,...bk ∈ ℝ i =1. Các số: t1 , t2 ,...tk hoàn toàn xác ñịnh nếu biết u1 , u2 ,...uk . * Trường hợp 2: Nếu t1 , t2 ,...tl là các nghiêm thực bội s1 , s2 ,...sl ( s1 + s2 + ... + sl = k kể cả nghiệm bội là 1 ) thì số hạng tổng quát của dãy là: l. si −1. i =1. j =0. un = ∑ (∑ bij n j t in ) trong dó bij ∈ ℝ. * Trường hợp 3: Nếu phương trình ñặc trưng có 1 nghiệm phức λ bội l thì nó cũng có nghiệm liên hợp với λ với l ≥ 1 và các nghiệm còn lại là thực và phân biệt t1 , t2 ,...tk −2l . ðặt r = λ và ϕ = argλ thì số hạng tổng quát của dãy là: k − 2l. l. i =1. j =1. un = ∑ ci tin +r n ∑ (a jn j −1cosnϕ + (b jn j −1 sin nϕ ) với a j , b j , ci là các số thực.. Các số a j , b j , ci hoàn toàn xác ñịnh khi biết u1 , u2 ,...uk . * Trường hợp 4: Tổng quát của tất cả các trường hợp trên. Bạn ñọc tự ñưa ra công thức tổng quát của dãy. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI.  u1 = 0, u2 = 14, u3 = −18 un+1 = 7un − 6un − 2 (n ≥ 3). Ví dụ 5: Cho dãy {un }n≥1 xác ñịnh như sau: . Chứng minh rằng nếu p nguyên tố thì u p chia hết cho p . Giải: Phương trình ñặc trưng của dãy ñã cho là: t 3 − 7t + 6 = 0. Có ba nghiệm là: t1 = 1, t2 = 2, t3 = −3 Do ñó số hạng tổng quát của phương trình ñã cho là: un = a (1)n + b(2) n + c(−3) n với ∀n ≥ 1 và a, b, c ∈ ℝ .. Từ giả thiết ban ñầu ta ñược a = b = c = 1 . Vậy số hạng tổng quát của dãy ñã cho là: un = 1 + 2n + ( −3) n với ∀n = 1, 2,.... Vì p là số nguyên tố nên theo ñịnh lý Ferma nhỏ ta có: 2 p ≡ 2(mod p ) (−3) p ≡ 3(mod p ). Suy ra: u p = 1 + 2 p + (−3) p ≡ (1 + 2 − 3)(mod p) ≡ 0(mod p) (ñpcm). Vậy nếu p nguyên tố thì u p chia hết cho p . Vấn ñề 2: Nếu từ số hạng tổng quát un của dãy: un+ k = a1un+ k −1 + a2un+ k − 2 + ... + ak un ( a1 , a2 ..., ak ∈ ℝ ( k > 3) (2.1). Liệu ta có thể tìm ñược số hạng tổng quát un của dãy cho như sau hay không: un + k = a1un + k −1 + a2un + k − 2 + ... + ak un + f n ( a1 , a2 ..., ak ∈ ℝ(k > 3) (2.2). MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. Với f n là một hàm số biến là n . Phương pháp chung ñể giải bài toán dạng này như sau: Số hạng tổng quát của dãy (2.2) có dạng: un, = un + un*. Trong ñó un là số hạng tổng quát của dãy: un+ k = a1un+ k −1 + a2un+ k − 2 + ... + ak un ( a1 , a2 ..., ak ∈ ℝ(k > 3). Và un* là một dãy bất kì thỏa mãn (2.2) và ñược gọi là nghiệm riêng của (2.2) Sau ñây là một số trường hợp thường gặp ñối với hàm f n .ðể xác ñịnh các tham số trong các dạng nghiệm riêng un* này người ta thường dùng phương pháp hệ số bất ñịnh. * Trường hợp 1: f n là ña thức bậc m của n ; m ∈ ℕ f n = Pm ( n) ,. m∈ℕ. a. Nếu tất cả các nghiệm của phương trình ñặc trưng ñều khác 1 thì un* = Qm (n) ,. m∈ℕ. Trong ñó Qm (n) là ña thức có cùng bậc m với Pm (n) . b. Nếu có nghiệm λ = 1 bội s thì: un* = n s Qm (n) ,. m∈ℕ. Trong ñó Qm (n) là ña thức có cùng bậc m với Pm (n) . Ví dụ 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: un+ 4 − un+3 − 3un + 2 + 5un +1 − 2un = 1 ( n ≥ 0 ) Giải: Phương trình ñặc trưng : t 4 − t 3 − 3t 2 + 5t − 2 = 0 có các nghiệm t1 = 1 (bội 3), t2 = −2 (bội 1) và do f n = 1 là ña thức có bậc 0 nên ta tìm nghiệm riêng dạng: un* = n3a , a = const Thay vào công thức số hạng tổng quát của dãy số ta ñược: a(n + 4)3 − a(n + 3)3 − 3a(n + 2)3 + 5a(n + 1)3 − 2an3 = 1. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. Do nó ñúng với mọi n ∈ ℕ nên ta ñược a =. 1 . 18. Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy ñã cho là: un = a + bn + cn 2 + d (−2) n +. 1 3 n , 18. a , b, c , d ∈ ℝ. * Trường hợp 2: f n = Pm (n) β n với f n là ña thức bậc m của n ; m ∈ ℕ a. Nếu các nghiệm của phương trình ñặc trưng ñều là các nghiệm khác β thì: un* = Qm (n) β n Trong ñó Qm (n) là ña thức có cùng bậc m với Pm (n) . b. Nếu β là nghiệm (bội s ) của phương trình ñặc trưng thì : un* = n s Qm ( n) β n Ví dụ 7: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: un+ 4 − 10un +3 + 35un + 2 − 50un+1 + 24un = 48.5n ( n ≥ 0 ). Giải: Phương trình ñặc trưng t 4 − 10t 3 − 35t 2 − 50t + 24 = 0 có các nghiệm: t1 = 1, t2 = 2, t3 = 3, t4 = 4 ñều khác 5 nên un* = a5n . Thay vào công thức số hạng tổng quát của dãy và rút gọn cho 5n ≠ 0 ta ñược: a = 2 Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy ñã cho là: un = a + b 2n + c3n + d 4n + 2.5n , a, b, c, d ∈ ℝ * Trường hợp 3: f n = α cos nx +β sin nx trong ñó α , β , x là các hằng số cho trước: nghiệm riêng un* có dạng: un* = a cos nx +b sin nx. Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: nπ un +3 − 2un + 2 − un +1 + 2un = (2 − 2)cos. 4. + 2sin. nπ 4. Hướng dẫn: nghiệm riêng un* có dạng: un* = acos. (n ≥ 0) nπ nπ , a=1, b=0. + b sin 4 4. * Trường hợp 4: f n = f n1 + f n 2 + ... + f nk Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng uni* ứng với từng hàm: f ni , i=1,2,…k Nghiệm riêng un* ứng với hàm f n là: * un* = un*1 + un*2 + ... + unk. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. Bài5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 3 nπ 3 nπ un + 4 − 3un +3 + 3un + 2 − 3un +1 + 2un = sin − cos + 10.2n + 2 2 3 2 3. Vấn ñề 3: Trở lại với dãy tựa afine: aun+1 + bun = f n (3.1) với a, b là các hằng số khác 0 cho trước và f n là một hàm số biến là n . Nếu hàm f n là một hàm số bất kì thì liệu bài toán có giải quyết ñược một cách trọn vẹn hay không? Bằng phương pháp biến thiên hằng số, ta có thể tìm ñược lời giải cho bài toán trên như sau: b a. Số hạng tổng quát của dãy: aun +1 + bun = 0 (cấp số nhân) là: un = C λ n trong ñó λ = − . ðể tìm nghiệm riêng của (3.1) ta xem C biến thiên theo n nghĩa là C là một hàm của n và tìm un = Cn λ n . Thay vào (3.1) ta ñược: aCn +1λ n +1 + bCn λ n = f n b a −bλ n (Cn +1 − Cn ) = f n f (Cn +1 − Cn ) = − nn bλ Lấy tổng hai vế từ 0 ñến n − 1 ta ñược:. Suy ra: aCn+1λ n (− ) + bCn λ n = f n. 1 n −1 f k ∑ b k =0 λ k 1 n −1 f   Do ñó nghiệm riêng của dãy là: un* = C0 − ∑ kk  λ n b k =0 λ  . Cn = C0 −. Vậy số hạng tổng quát của dãy là: 1 n −1 f   un = C λ n + C0 − ∑ kk  λ n , b k =0 λ  . C = const , C0 phụ thuộc vào u0. Ví dụ 8: Tìm số hạng tổng quát của dãy: 1 un +1 = 5un + (n 2 − 3n + 1)n ! 5 u1 = 0. Ta có: a = 1, c = −5 ⇒ un* = Cn 5n Theo công thức trên ta có: 1 n −1 [(k + 1)2 − 5k ]k ! Cn = C0 − (− )∑ 5 k =0 5.5k. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. [(k + 1) 2 − 5k ]k ! 5k + 2 k =0 n −1 [(k + 1)(k + 1)! k .k ! = C0 + ∑ − k +1 5( k +1)+1 5 k =0 n.n ! = 0 + n +1 − 0 5 n.n ! = n +1 5 n.n ! n.n ! Do ñó: un = C 5n + n+1 5n = C 5n + 5 5 u0 = 0 ⇒ C = 0 n −1. = C0 + ∑. Vậy số hạng tổng quát của dãy là: un =. n.n ! 5. Bài tập ñề nghị(Bài 6) Tìm số hạng tổng quát của dãy: 1. un+1 = un + (n 2 + n + 1)n !, u0 = 0. Vấn ñề 4: Dãy tựa afine với hệ số biến thiên: un +1 = qnun + f n. n = 0,1, 2.... Nghiệm tổng quát của dãy có dạng: un = vn + v trong ñó vn là nghiệm cơ bản của dãy: un +1 = qn un và vn* là nghiệm riêng của dãy. * n. n −1. un = C ∑ qi. Dễ tìm ñược. i =1. * n. và v ñược tìm bằng phương pháp biến thiên hằng số như ở vấn ñề 3. Ví dụ 9: Tím số hạng tổng quát của dãy: un +1 = nun + n.n !   9 u1 = 8. Giải: Nghiệm cơ bản của dãy: vn+1 = nvn là vn = C (n − 1)! Do ñó nghiệm riêng của dãy có dạng: vn* = Cn (n − 1)!. Thay vào dãy ta ñược: Cn+1 = Cn + n 1 1 Cn = ( n − ) 2 2 2 1 1 Suy ra : un = C (n − 1)!+ (n − ) 2 (n − 1)! 2 2. Từ ñó:. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. Do u1 =. 9 nên C = 1 8. Vậy số hạng tổng quát của dãy là: 1 1 un = (n − 1)!+ (n − ) 2 (n − 1)! 2 2. n ≥1. III.Dãy truy hồi có dạng: un+1 = f ( un ). Phần này ta sẽ khảo sát loại dãy truy hồi có dạng: un+1 = f ( un ) .Rõ ràng tính chất của. dãy {un } hoàn toàn phụ thuộc vào hàm f và phần tử xuất phát u0 . Giả sử f : M → M là một ánh xạ cho trước và u0 ∈ M 1. f ñơn ñiệu trên M. + Nếu f ñơn ñiệu tăng trên M. Nếu u0 ≤ u1 ⇒ f (u0 ) ≤ f (u1 ) ⇒ u1 ≤ u2 . Từ ñó dễ chứng minh ñược ( un )n≥0 là một dãy tăng Hoàn toàn tương tự nếu u0 ≥ u1 ⇒ un +1 ≤ un ⇒ ( un ) n≥ 0 là một dãy giảm +Nếu f ñơn ñiệu giảm trên M Khi ñó ta xét ánh xạ tích f 2 = f . f là một hàm tăng trên M Áp dụng kết quả trên ta có: -Nếu u0 ≤ u2 ⇒ dãy con {u2 n }n≥0 là một dãy tăng và {u2 n +1}n≥ 0 là 1 dãy giảm . -Nếu u0 ≥ u2 ⇒ dãy con {u2 n }n≥0 là một dãy giảm và {u2 n +1}n≥ 0 là 1 dãy tăng . 2. f liên tục trên M và M ñóng trong ℝ Giả sử {un }n≥0 hội tụ và nếu nó hội tụ về α thì α ∈ M (do M ñóng trong ℝ ). Vì f liên tục trên M nên { f ( un )}n≥0 hội tụ về f (α ) .Do ñó : α = f (α ) ⇒ α là một nghiệm ∈ M của phương trình: f (α ) = α. Ví dụ 10: Hãy khảo sát dãy số {un }n≥0 với u0 = 1, un +1 =. un ∀n ≥ 0 u +1 2 n. Giải: Nhận thấy un ≥ 0∀n ⇒ {un }n≥ 0 là 1 dãy dương . Ta có : un+1 − un =. un un3 − u = − < 0∀n ≥ 0 n un2 + 1 un2 + 1. ⇒ un +1 < un ∀n ≥ 0 ⇒ dãy {un }n ≥0 là 1 dãy giảm thực sự.. x là ánh xạ liên tục trên [ 0,1] x +1 là nghiệm của pt: f ( a ) = a với. Rõ ràng {un }n≥0 nằm trong ñoạn [ 0,1] và f ( x ) = Do ñó giới hạn a của dãy {un }n≥0 a ∈ [ 0,1] ⇒ a =. a ⇔a=0 a +1. Vậy dãy ñã cho là dãy ñơn diệu giảm thực sự,bị chặn và có giới hạn là a=0 Ví dụ 11: Cho dãy {un }n≥0 xác ñịnh như sau : MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. u1 = 2 un = 2 + un −1 ∀n ≥ 2. Hãy xác ñịnh giới hạn của dãy : lim un x →∞. Giải:Rõ ràng dãy ñã cho là một dãy dương Xét ánh xạ: f ( x ) = 2 + x trên ( 0, +∞ ) ⇒ f ′( x) =. 1 >0 2 2+ x. ∀x ∈ ( 0, +∞ ). ⇒ f ñơn ñiệu tăng trên ( 0, +∞ ) mà u2 = 2 + 2 > 2 = u1. Do ñó ta có: un+1 > un∀n ≥ 2 ⇒ dãy số ñã cho là dãy số tăng Theo nguyên lý quy nạp ta có: un < 2 (1) ∀n ∈ N Tuy vậy : + n = 1 ⇒ u1 = 2 < 2 ⇒ (1) ñúng +Giả sử (1) ñúng ñến n = K tức là : uk < 2 .ta sẽ chứng minh (1) ñúng với n = k + 1 Tức là : uk +1 < 2 Ta có : uk +1 = 2 + uk < 2 + 2 (theo giả thiết quy nạp) ⇒ uk +1 < 2 (ñpcm) {un } là một dãy tăng và bị chặn trên bởi 2 do ñó ∃ lim un = a. ). n →∞. ). Do ánh xạ f ( x ) = 2 + x liên tục từ  2, 2 vào  2, 2 nên ta có giới hạn a là nghiệm của phương trình : f ( a ) = a ⇒  2, 2 a = 2 + a ⇔ a 2 − a − 2 = 0 ⇔ a = 2 (do α ≥ 2 ). ). Vậy lim un = 2 n →∞. Ví dụ 12: Cho dãy {un }n≥0 xác ñịnh như sau: u1 = 1 un2 + u n ∀n ≥ 1 2007 u u u  Tìm lim  1 + 2 + ... + n  n →∞ u un +1   2 u3 un +1 =. Giải: 1 un2 u 1  Theo giả thiết ta có : un+1 − un = ⇔ n = 2007  −  ∀n ≥ 1 2007 un +1  un un +1 . Do ñó :. n 1  u u1 u2 1  1  + + ... + n = 2007∑  −  = 2007 1 −  (1) u 2 u3 un +1 ui +1  i =1  ui  un +1 . un2 + un > un (do un > 0∀n ≥ 0 ) ⇒ {un } là một dãy ñơn ñiệu tăng 2007 Giả sử {un } bị chặn trên . Khi ñó ∃ lim un = a >1 (a hữu hạn ). Mà un+1 =. x →∞. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. x2 + x liên tục từ (1, +∞ ) và (1, +∞ ) .Do ñó a là nghiệm của phương 2007 a2 trình f ( a ) = a trên (1, +∞ ) ⇒ a = + a ⇔ a = 0 ∉ (1, +∞ ) (vô lý ) 2007 1 ⇒ {un }n ≥0 không bị chặn trên ⇒ lim un = +∞ (do {un } tăng) ⇒ lim = 0 . n →+∞ n →∞ u n. Ánh xạ f ( x ) =.  u1 u2  u  1  + + ... + n  = lim 2007 1 −  = 2007 un +1  n →∞  u2 u3  un +1 . Từ (1) ta có : lim  n →∞. Ví dụ 13: Khảo sát sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy {un }n≥0 xác ñịnh bởi công thức: Aα , n=1,2,… với u0 cho trước, A > 0 , 0 < α < 1 là các hằng số un = (1 − α )un −1 + 1−α un −1 α. cho trước. Giải: Xét hàm số:. f ( y ) = (1 − α ) y +. Aα 1−α. y. α −. 1. f '( y ) = (1 − α )(1 − Ay α ). Ta có bảng biến thiên: y. Aα. 0. f '( y ). -. 0. +∞. +∞. + +∞. f ( y). Aα. Từ ñó suy ra: f ( y ) ≥ f ( Aα ) = Aα (1) Vì u0 > 1 ⇒ un > 0∀n ≥ 1 . Từ (1) suy ra un ≥ Aα ∀n = 1, 2... α −1. 1. Mặt khác ta có: un − un −1 = α un −α1 ( A − unα−1 ) ≤ 0∀n ≥ 2 Do ñó: {un }n≥0 là dãy không tăng và bị chặn dưới nên nó có giới hạn hữu hạn. Giới hạn ñó là nghiệm của phương trình:. f ( y ) = y trên (0, +∞) . Giải phương trình. α. này ta ñược nghiệm: y = A Vậy giới hạn của dãy số ñã cho là: y = Aα. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. IV. Dãy truy hồi quy về hàm lượng giác: Ta xét một số ví dụ sau: 1 + un −1 . 2 Hai dãy {vn },{w n } xác ñịnh như sau: v n = 4n (1 − un ) và w n = u1u2 ...un. Ví dụ 14: Cho dãy {un }n≥0 thỏa mãn ñiều kiện: −1 < u0 < 1 , un =. Tìm lim vn và lim w n n →∞. n→∞. Giải: Chọn α ∈ (o, π ) sao cho u0 = cosα 1 + cosα α = cos 2 2. ⇒ u1 =. ⇒ v1 = 4(1 − u1 ) = 4.2sin 2. α. 22. Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh ñược: un = cos Do ñó: lim vn = n →∞. w n = u1u2 ...un =. α2 2 sin α. 2 n sin lim w n =. α 2n. sin α. α. 2n. α Bài tập ñề nghị:(Bài 7) 1. Cho u0 = 2, v0 = 1 . Lập hai dãy số theo quy tắc sau: n →∞. un +1 =. 2un vn và vn+1 = un+1vn un + vn. a. Lập công thức số hạng tổng quát của dãy. b. Tìm lim un và lim vn n →∞. n →∞. đáp sô: Công thức số hạng tổng quát của hai dãy là: 1 2n +1 3 π un = = tan n π π π π 3 2 .3 cos. vn = cos. 2.3. π. cos. cos.... 2n .3. π. π. cos... n 2 2 .3 2 .3 Từ ñó tính: lim un và lim vn 2.3. cos. 22 .3 1. n →∞. cos. 2 n .3 2n +1 3 π = sin n 3 2 .3. n →∞. 2.Cho dãy {u n }n ≥1 thỏa mãn: u1 = 1. un +1 =. 1 1 − 1 − un2 2. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 18. , vn = 4n.2sin 2. α 2 n+1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số A sao cho dãy {v n }={. un }(n ∈ ℕ ) có giới hạn An. khác 0.. ***** Trên ñây là một số dạng dãy truy hồi thường gặp trong toán học sơ cấp. Hy vọng sau bài viết này chúng ta sẽ có ñược những kiến thức cơ bản nhất về một số loại dãy truy hồi và ứng dụng của chúng.. TÀI LIỆU THAM KHẢO. 1.Dương Quốc Việt (Chủ biên)-đàm Văn Nhỉ, Giáo trình đại số sơ cấp-Nhà xuất bản ðại học sư phạm 2007. 2. Phan Huy Khải, 10000 bài toán sơ cấp về dãy số-Nhà xuất bản Hà Nội. 3. Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ-Nhà xuất bản Giáo dục. 4. Lê đình Thịnh (Chủ biên), Phương trình sai phân và một số ứng dụng-Nhà xuất bản Giáo dục.. MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>