Phuong phap quy nap toan hoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHÖÔNG III: DAÕY SOÁ. CAÁP SOÁ COÄNG VAØ CAÁP SOÁ NHAÂN. §1. Phương pháp quy nạp toán học Tiết PPCT: 37 – 38 Ngày soạn: 16/11/2013 Ngày dạy:……/……/2013. Tại lớp: 11A8. ----- @&? ----I. Mục tiêu 1. Về kiến thức - Biết rõ nội dung của phương pháp quy nạp toán học. 2. Về kỹ năng - Biết cách giải một số bài toán đơn giản bằng phương pháp quy nạp toán học. 3. Về thái độ - Tập trung, cẩn thận trong tính toán. - Biết quy lạ về quen, hình thành khả năng tự học. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Chuẩn bị của giáo viên: giáo án, sách giáo khoa, thước thẳng. 2. Chuẩn bị của học sinh: xem, chuẩn bị bài trước. III. Phương pháp: Đàm thoại vấn đáp, diễn giải. IV. Tiến trình bài dạy 1. Ổn định lớp 2. Kiểm tra bài cũ 3. Nội dung bài mới Hoạt động 1 (15 phút): Tìm hiểu phương pháp quy nạp toán học Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung chính GV: Yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động 1 sách I. Phương pháp quy nạp toán học giáo khoa. Xét hai mệnh đề chứa biến:. P (n) : "3n < n + 100" và Q(n) : "2n > n " HS: Thực hiện hoạt động 1. GV: Cho học sinh điền vào bảng. n. 3n. P (n) : "3n < n + 100" n + 100 Tính Đ-S của P (n). 1 2 3 4 5. Q(n) : "2n > n ".

<span class='text_page_counter'>(2)</span> n. 2n. n. Tính Đ-S của Q(n). 1 2 3 4 5 HS: Thực hiện. GV: Từ kết quả trên, các em hãy cho biết:. Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n Î ¥ * ta làm như sau : - Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 - Giả sử mệnh đề đã cho đúng với số tự nhiên bất " n Î ¥ * , P(n) đúng hay sai? Vì sao? n = k (k ³ 1) kì (ta gọi là giả thiết quy nạp) " n Î ¥ * , Q(n) đúng hay sai? Vì sao? Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. HS: Học sinh dự đoán. * Chú ý : Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với GV: Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n ³ p thì : n Î ¥ * (ta không thể thử trực tiếp tất các các số B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p được) người ta dùng một phương pháp gọi là n = p(k ³ p) B2: Giả sử mệnh đề đúng với , ta phương pháp quy nạp toán học. n = k + 1 chứng minh mệnh đề đúng với . Hoạt động 2 (25 phút): Rèn luyện kỹ năng chứng minh một số bài toán đơn giản bằng phương pháp quy nạp toán học. Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung chính GV: Để giải bài toán này ta dùng phương pháp gì? II. Áp dụng * HS: Dùng phương pháp quy nạp. * Ví dụ: Chứng minh rằng với n Î ¥ thì: GV: Phương pháp quy nạp gồm mấy bước? 2 a) 1 + 3 + 5 + L + (2n - 1) = n (1) HS: Gồm hai bước. GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại phương pháp và b) n3 - n chia hết cho 3 (2) thực hiện từng bước. Giải HS: Nhắc lại từng bước của phương pháp. a) Với n = 1 ta có: VT =VP = 1 GV: Yêu cầu học sinh kiểm tra bước 1. n =1 HS: n = 1, VT = 1, VP = 1 2. Vậy công thức trên Vậy mệnh đề (1) đúng với S đúng. Đặt vế trái bằng n . S GV: Bước 2: Đặt VT bằng n . Giả sử (1) đúng với Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k ( k ³ 1). Tức là : n = k ³ 1, khi đó ta được điều gì? Sk = 1 + 3 + 5 + L + (2k - 1) = k2 HS: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ³ 1, nghĩa là: Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1 2 Tức là chứng minh: Sk = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2k - 1) = k (giả thiết quy ù= (k + 1)2 Sk+1 = 1+ 3 + 5 + L + (2k - 1) + é ê ë2(k+ 1) - 1ú û nạp) Thật vậy, ta có: GV: Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1 là ù= k2 + 2k + 1 Sk+1 = k2 + é cần chứng minh điều nào? ê ë2(k + 1) - 1ú û HS: 2 =2 (k + 1) ù Sk+1 = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2k - 1) + é 2 k + 1 1 = k + 1 ) ûú (Suy ra) (1) đúng với n = k + 1 ê( ë * Vậy (1) đúng với mọi n Î ¥ b) Đặt GV: Hướng dẫn, gợi ý học sinh giải ví dụ b.. An = n3 - n. A = 0M3 Với n = 1, ta có 1 (đúng) Vậy mệnh đề (2) đúng với n = 1..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> HS: Chú ý. GV: Cho học sinh thảo luận bài giải. HS: Thảo luận. GV: Gọi học sinh lên trình bày. HS: Trình bày. GV: Gọi học sinh khác nhận xét. HS: Nhận xét bài làm. GV: Nhận xét và sửa bài.. Giả sử mệnh đề đúng với n = k ( k ³ 1) A = k3 - k M3 Tức là k Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Tức là chứng minh : 3 ùM3 Ak+1 = é ê(k + 1) - (k + 1)û ú ë Thật vậy, ta có : Ak+1 = (k + 1)3 - (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1- k - 1. (. ). Ak M3 3(k3 + k)M3 ; A M3 Nên k+1 . Suy ra (2) đúng với n = k + 1 * Vậy (2) đúng với mọi n Î ¥ .. Vì. Hoạt động 3 (20 phút): Bài tập 1 SGK Hoạt động của giáo viên và học sinh GV: Yêu cầu học sinh đọc đề bài 1 SGK trang 82 và lên bảng trình bày lời giải. Hướng dẫn: + Kiểm tra với n = 1 + Giả sử với n k 1 ta có:. Nội dung chính a) Chứng minh rằng:. 2 + 5 + +8L + 3n - 1 =. n ( 3n + 1) 2. (1) Giải Với n = 1, VT chỉ có một số hạng là 2, VP bằng k (3k  1) 2  5  8  ...  (3k  1)  1) 1.( 3.1 + 1) 2 =2 + Ta phải chứng minh : 2 2  5  8  ...  (3k  1)  (3k  2) Vậy, hệ thức (1) đúng với n = 1 (k  1)(3k  4) S  Đặt VT bằng n 2 HS: Theo dõi và làm theo hướng dẫn của giáo Giả sử (1) đúng với n = k ( k ³ 1). Tức là: viên. k ( 3k + 1) Sk = 2 + 3 + 5 + ... + 3k - 1 = 2 Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: Sk+1 = 2 + 3 + 5 + ... + 3k - 1 + é 3 k + 1) - 1ù ê ú ë( û é ù ( k + 1) êë3( k + 1) + 1úû ( k + 1) ( 3k + 4) = = 2 2 3k2 + 7k + 4 = 2 Thật vậy, ta có: ù Sk+1 = 2 + 3 + 5 + ... + 3k - 1 + é ê3( k + 1) - 1û ú ë k ( 3k + 1) = + 3k + 2 2 GV: Yêu cầu học sinh khác nhận xét bài làm của 3k2 + k + 6k + 4 3k2 + 7k + 4 = = bạn trên bảng. 2 2 HS: Nhận xét bài làm. é ù k + 1 3 k + 1 + 1 ( ) êë ( ) úû GV: nhận xét, khái quát lại bài tập. = 2 Suy ra (1) đúng với n = k + 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Hướng dẫn: + Bớc 1: Kiểm tra với n = 1 (2) đúng hay sai. + Bớc 2: Giả sử (2) đúng với n k 1 - Khi đó ta có điều gì? - H·y kiÓm tra (2) víi n = k + 1.. GV: Yêu cầu HS khác nhận xét bài làm của bạn trên bảng. HS: Nhận xét bài làm. GV: Nhận xét, khái quát lại bài tập. HS: Theo dõi và ghi nhận. Hướng dẫn: + Bớc 1: Kiểm tra với n = 1 (3) đúng hay sai. + Bớc 2: Giả sử (3) đúng với n k 1 - Khi đó ta có điều gì? - H·y kiÓm tra (3) víi n = k + 1.. * Vậy, (1) đúng với mọi n Î ¥ . b) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2n - 1 + + + ... + n = 2 4 8 2 2n (2) Giải 1 21 - 1 1 VT = ; VP = = 2 2 21 Với n = 1, ta có: Vậy, hệ thức (2) đúng với n = 1 S Đặt VT bằng n Giả sử (2) đúng với n = k ( k ³ 1), tức là: 1 1 1 1 2k - 1 Sk = + + + ... + k = 2 4 8 2 2k Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: 1 1 1 1 1 2k+1 - 1 Sk+1 = + + + ... + k + k+1 = 2 4 8 2 2 2k+1 Thật vậy, ta có: 1 2k - 1 1 Sk+1 = Sk + k+1 = + k+1 k 2 2 2 k+1 2 2k - 1 1 2 - 2+1 = + k+1 = k 2.2 2 2k+1 k+1 2 - 1 = 2k+1 Suy ra (2) đúng với n = k + 1. (. ). * Vậy, hệ thức (2) đúng với mọi n Î ¥ c) Chứng minh rằng: n ( n + 1) ( 2n + 1) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6 (3) Giải n = 1, VT = 12 = 1; Với ta có: 1( 1 + 1) ( 2.1 + 1) VP = =1 6 Vậy, hệ thức (3) đúng với n = 1 S Đặt VT bằng n Giả sử (3) đúng với n = k ( k ³ 1), tức là: k ( k + 1) ( 2k + 1) Sk = 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 6 Ta phải chứng minh (3) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Sk+1 = 12 + 22 + 32 + ... + k2 + ( k + 1) =. 2. ( k + 1) ( k + 2) ( 2( k + 1) + 1) 6. ( k + 1) ( k + 2) ( 2k + 3) = 6. GV: Yêu cầu HS khác nhận xét bài làm của bạn trên bảng. HS: Nhận xét bài làm. GV: Nhận xét, khái quát lại bài tập. HS: Theo dõi và ghi nhận.. Ta có: Sk+1 = 12 + 22 + 32 + ... + k2 + ( k + 1). =. k ( k + 1) ( 2k + 1). + ( k + 1). 2. 2. 6 ék ( 2k + 1) ù ú = ( k + 1) ê + k + 1 ê ú ê 6 ú ë û é2k2 + 7k + 6ù ú = ( k + 1) ê ê ú 6 ë û é æ 3÷ ứ ê2( k + 2) ç ú ÷ k + ç ÷ ê ú ç ÷ 2 è ø ú = ( k + 1) . ê ê ú 6 ê ú ê ú ê ú ë û ( k + 1) ( k + 2) ( 2k + 3) = 6 Suy ra (3) đúng với n = k + 1 * Vậy, hệ thức (3) đúng với mọi n Î ¥. Hoạt động 4 (20 phút): Bài tập 2 SGK Hoạt động của giáo viên và học sinh GV: Yêu cầu học sinh đọc đề bài 1 SGK trang 82 và lên bảng trình bày lời giải. Hướng dẫn: + Kiểm tra với n = 1 + Giả sử với n k 1 ta có: 2  5  8  ...  (3k  1) . k (3k  1) 1) 2. + Ta phải chứng minh : 2  5  8  ...  (3k  1)  (3k  2). Nội dung chính 2 a) Chứng minh n + 3n + 5n chia hết cho 3. Giải 3 2 A = n + 3n + 5n Đặt n A = 9 M3 Với n = 1, ta có: 1 3 2 Giả sử với n = k ³ 1 , n + 3n + 5n chia hết cho 3, nghĩa là ta có: Ak = k3 + 3k2 + 5k M3 3. (. ). (k  1)(3k  4)  A M3 2 Ta phải chứng minh k+1 HS: Theo dõi và làm theo hướng dẫn của giáo Thật vậy, ta có: 3 2 viên. Ak+1 = ( k + 1) + 3( k + 1) + 5( k + 1). = k3 + 3k2 + 3k + 1+ 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5 = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9 = Ak + 3k2 + 9k + 9. (. = Ak + 3 k2 + 3k + 3. ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Vì GV: Yêu cầu học sinh khác nhận xét bài làm của bạn trên bảng. HS: Nhận xét bài làm. GV: nhận xét, khái quát lại bài tập. Hướng dẫn: + Bớc 1: Kiểm tra với n = 1 (2) đúng hay sai. + Bớc 2: Giả sử (2) đúng với n k 1 - Khi đó ta có điều gì? - H·y kiÓm tra (2) víi n = k + 1.. (. ). Ak = k3 + 3k2 + 5k M3. Nên. và. (. ). 3 k2 + 3k + 3 M3. Ak+1 M3. A = n3 + 3n2 + 5n Vậy, n chia hết cho 3 với * nÎ ¥ . n b) Chứng minh 4 + 15n - 1 chia hết cho 9. Giải n A = 4 + 15n - 1 Đặt n A = 18 M9 Với n = 1, ta có: 1 n Giả sử với n = k ³ 1 , 4 + 15n - 1 chia hết cho 9, nghĩa là ta có: Ak = 4k + 15k - 1 M9. (. ). A M9 Ta phải chứng minh k+1 Thật vậy, ta có: Ak+1 = 4k+1 + 15( k + 1) - 1 GV: Yêu cầu HS khác nhận xét bài làm của bạn trên bảng. HS: Nhận xét bài làm. GV: Nhận xét, khái quát lại bài tập. HS: Theo dõi và ghi nhận. Hướng dẫn: + Bớc 1: Kiểm tra với n = 1 (3) đúng hay sai. + Bớc 2: Giả sử (3) đúng với n k 1 - Khi đó ta có điều gì? - H·y kiÓm tra (3) víi n = k + 1.. = 4.4k + 15k + 14. (. ). = 4 4k + 15k - 1 - 45k + 18 = 4.Ak - 9( 5k - 2). Vì. (. ). Ak = 4k + 15k - 1 M9. Nên. Ak+1 M9. Vậy,. An = 4n + 15n - 1. 9( 5k - 2) M9. * chia hết cho 9 với n Î ¥ .. 3 c) Chứng minh n + 11n chia hết cho 6. Giải 3 A = n + 11n Đặt n A = 12 M6 Với n = 1, ta có: 1 3 Giả sử với n = k ³ 1 , n + 11n chia hết cho 6, nghĩa là ta có: Ak = k3 + 11k M6. Ta phải chứng minh Thật vậy, ta có: GV: Yêu cầu HS khác nhận xét bài làm của bạn trên bảng. HS: Nhận xét bài làm. GV: Nhận xét, khái quát lại bài tập. HS: Theo dõi và ghi nhận.. và. Ak+1 M6. 3. Ak+1 = ( k + 1) + 11( k + 1) = k3 + 3k + 1 + 11k + 11. (. ). (. ). = k3 + 11 + 3 k2 + k + 4. (. 2. ). = Ak + 3 k + k + 4.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ak = k3 + 11k M6. Vì và 2 k + k + 4 = k ( k + 1) + 4. (. ). là số chẵn nên. Ak+1 M6 Vậy,. An = n3 + 11n. * chia hết cho 6 với n Î ¥ .. 4. Củng cố (8 phút) - Nhắc lại các chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học. - Bài tập: Chứng minh rằng:. 4 + 9 + 14 + L + 5n - 1 =. n(5n + 3) 2. 5. Dặn dò (2 phút) - Xem lại bài. - Làm lại các bài tập. Rút kinh nghiệm sau tiết dạy: ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ DUYỆT GVHD. NGƯỜI SOẠN. NGUYỄN VĂN THỊNH. CAO THÀNH THÁI.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>